(完整)初中数学一题多解题
河南初三初中数学专题试卷带答案解析
河南初三初中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC＝12cm，BC边上的中线AD=10cm则sinB=2.如图，某建筑物BC直立于水平地面，∠BAC=30°，AC=9m，需建造阶梯AB，使每阶高不超过20cm，则此阶梯最少要建阶。
（取1.732）3.如图，当矩形ABCD变成边长不变的BCEF时，面积变为原来是的一半，则∠FBG= 。
4.、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，斜边AB在x轴上，点C在y轴的正半轴上，点A的坐标为（2，0），则直角边BC所在直线的解析式为。
5.某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40个，若销售单价每涨一元，销售量就减少一个，则为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为 _____元。
6.x人去旅游共需支出y元，若x,y之间满足关系式y="2x2" - 20x + 1050,则当人数为_____时总支出最少。
7.已知一直角三角形两条直角边的和是6cm，则以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积的最小值是______.8.周长为16cm的矩形的最大面积为____,此时矩形边长为____,实际上此时矩形是______.9.某厂的年利润为50万元，年增长率为x, 第三年的利润为y万元，则y与x之间的函数关系式为____________.10.已知等腰三角形的面积s与底边x有如下关系：s=-5x2+10x+14,要使s有最大值，则x=_____.11.把4m的木料锯成六段，制成如图所示的窗户，若用Xm表示横料AB的长，Ym2表示窗户的面积，则Y与X 之间的函数关系式为________,当X=____时窗户面积最大。
12.周长为8米的铝合金条制成如图形状的窗框，使窗户的透光面积最大，则最大透光面积是____.二、解答题1.计算。
初二数学解答题练习试题集
初二数学解答题练习试题答案及解析1. 如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠B=60°，∠C=45°． （1）求∠BAC 的度数．（2）若AC=2，求AD 的长．【答案】（1）75°；（2）.【解析】（1）根据三角形内角和定理，即可推出∠BAC 的度数； （2）由题意可知AD=DC ，根据勾股定理，即可推出AD 的长度． 试题解析：（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°； （2）∵AD ⊥BC ，∴△ADC 是直角三角形， ∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=DC ， ∵AC=2， ∴AD=.【考点】勾股定理．2. 在图①至图③中，已知△ABC 的面积为.（1）如图①，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD=BC ，连结DA 。
若△ACD 的面积为S 1，则S 1=______（用含的代数式表示）；（2）如图②，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD=BC ，AE=CA ，连结DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含的代数式表示）；（3）在图①—②的基础上延长AB 到点F ，使BF=AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图③）． 阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含的代数式表示），并运用上述（2）的结论写出理由.理由:【答案】（1）a ；（2）2a ；（3）6a;等底同高的三角形面积相等.【解析】（1）由三角形ABC 与三角形ACD 中BC=CD ，且这两边上的高为同一条高，根据等底同高即可得到两三角形面积相等，由三角形ABC 的面积即可得到三角形ACD 的面积，即为S 1的值.（2）连接AD ，由CD=BC ，且三角形ABC 与三角形ACD 同高，根据等底同高得到两三角形面积相等，同理可得三角形ABC 与三角形ADC 面积相等，而三角形CDE 面积等于两三角形面积之和，进而表示出三角形CDE 的面积.（3）根据第二问的思路，同理可得阴影部分的面积等于3S 2，由S 2即可表示出S 3． 试题解析：（1）∵BC=CD ，且△ABC 与△ACD 同高， ∴S △ABC =S △ADC ，又S △ABC ="a." ∴S △ADC =a. （2）连接AD ，如图2所示，∵BC=CD ，且△ABC 与△ACD 同高，∴S △ABC =S △ADC =a.同理S △ADE =S △ADC =a ，∴S △CDE =2S △ABC =2a. （3）如图3，连接AD ，EB ，FC ， 同理可得：S △AEF =S △BFD =S △CDE ， 则阴影部分的面积为S 3=3S △CDE =6a ．理由:等底同高的三角形面积相等.【考点】等腰三角形的性质；三角形的面积．3. 希望中学八年级学生开展踢毽子活动，每班派5名学生参加，按团体总分排列名次，在规定时间内每人踢100个以上（含100）为优秀．下表是成绩较好的甲班和乙班5名学生的比赛成绩（单位：个）经统计发现两班5名学生踢毽子的总个数相等．此时有学生建议，可以通过考查数据中的其它信息作为参考．请你回答下列问题： （1）求两班比赛数据的中位数；（2）计算两班比赛数据的方差，并比较哪一个小；（3）根据以上信息，你认为应该把冠军奖状发给哪一个班？简述理由. 【答案】（1）甲班的中位数为100，乙班为97；（2）甲班的方差为，乙班为；；（3）冠军应发给甲，理由见解析.【解析】（1）中位数就是一组数据中先把所有数据按从大到小或从小到大的顺序排列起来，如果是奇数个时，就是中间的那一个数，如果是偶数个时，就是中间两个数的平均数.（2）方差就是就是反映一组数据波动大小的幅度，方差大，波动大，方差小则波动小． （3）根据计算出来的统计量的意义分析判断． （1）两班5名学生踢毽子个数近大小排列为甲班8998100103110（2）甲的平均数为：100+98+110+89+103）÷5=100，；乙的平均数为：（89+100+95+119+97）÷5=100，.∵；∴.（3）∵甲班的中位数比乙班高；甲班的方差比乙班低，比较稳定，综合评定甲班比较好，∴冠军应发给甲．【考点】1.中位数；2.方差．4.端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元.经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子.为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0﹤m﹤1）元.（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元（用含m的代数式表示）；（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？【答案】（1）；（2）0.4.【解析】（1）每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到.（2）利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．（1）.（2）令，化简得，100m2-70m+12=0．即，m2-0.7m+0.12=0．解得m=0.4或0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多.答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．【考点】一元二次方程的应用．5.某市对一大型超市销售的甲、乙、丙3种大米进行质量检测，共抽查大米200袋，质量评定分为A、B两个等级（A级优于B级），相应数据的统计图如下：根据所给信息，解决下列问题：（1）a＝，b＝；（2）已知该超市现有乙种大米750袋，根据检测结果，请你估计该超市乙种大米中有多少袋B级大米？（3）对于该超市的甲种和丙种大米，你会选择购买哪一种？运用统计知识简述理由．【答案】（1）a=55，b=5；（2）该超市乙种大米中有100袋B级大米；（3）应选择购买丙种大米．【解析】（1）根据甲的圆心角度数是108°，求出所占的百分比，再根据总袋数求出甲种大米的袋数，即可求出a、b的值；（2）根据题意得先求出该超市乙种大米中B级大米所占的百分比，再乘以乙种大米的总袋数即可；（3）分别求出超市的甲种大米A等级大米所占的百分比和丙种大米A等级大米所占的百分比，即可得出答案．（1）∵甲的圆心角度数是108°，所占的百分比是×100=30%，∴甲种大米的袋数是：200×30%=60（袋），∴a=60﹣5=55（袋），∴b=200﹣60﹣65﹣10﹣60=5（袋）；（2）根据题意得：750×=100，答：该超市乙种大米中有100袋B级大米；（3）∵超市的甲种大米A等级大米所占的百分比是×100%=91.7%，丙种大米A等级大米所占的百分比是×100%=92.3%，∴应选择购买丙种大米．【考点】1.条形统计图2.用样本估计总体3.扇形统计图．6.已知点P(2x,3x-1)是平面直角坐标系上的点。
初中一年级数学试题及答案解析
初中一年级数学试题及答案解析一．仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列四个数中，结果为负数的是（）A．﹣（﹣）B．|﹣|C．（﹣）2D．﹣|﹣|考点：正数和负数．分析：根据相反数，可判断A，根据负数的绝对值，可判断B，根据负数的偶次幂是正数，可判断C，根据绝对值的相反数，可判断D．解答：解：A、﹣（﹣）=＞0，故A错误；B、|﹣|=＞0，故B错误；C、（﹣）2=＞0，故C错误；D、﹣|﹣|=﹣＜0，故D正确；故选：D．点评：本题考查了正数和负数，小于零的数是负数，先化简再判断负数．2．下列计算正确的是（）A．B．=﹣2C．D．（﹣2）3×（﹣3）2=72考点：实数的运算．分析：A、根据算术平方根的定义即可判定；B、根据立方根的定义即可判定；C、根据立方根的定义即可判定；D、根据乘方运算法则计算即可判定．解答：解：A、=3，故选项A错误；B、=﹣2，故选项B正确；C、=，故选项C错误；D、（﹣2）3×（﹣3）2=﹣8×9=﹣72，故选项D错误．故选B．点评：本题主要考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记二次根式、三次根式和立方、平方的运算法则．开平方和开立方分别和平方和立方互为逆运算．立方根的性质：任何数都有立方根，①正数的立方根是正数，②负数的立方根是负数，③0的立方根是0．3．用代数式表示：“a，b两数的平方和与a，b乘积的差”，正确的是（）pA．1.394×107B．13.94×107C．1.394×106D．13.94×105考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：13940000=1.394×107，故选：A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．若﹣2am﹣1b2与5abn可以合并成一项，则m+n的值是（）A．1B．2C．3D．4考点：合并同类项．分析：根据可以合并，可得同类项，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得m、n的值，根据有理数的加法，可得答案．解答：解：由﹣2am﹣1b2与5abn可以合并成一项，得m﹣1=1，n=2．解得m=2，n=2．m+n=2+2=4，故选：D．点评：本题考查了合并同类项，利用了同类项得出m、n的值是解题关键．6．如图，A是直线l外一点，点B、C、E、D在直线l上，且AD⊥l，D为垂足，如果量得AC=8cm，AD=6cm，AE=7cm，AB=13cm，那么，点A到直线l的距离是（）A．13cmB．8cmC．7cmD．6cm考点：点到直线的距离．分析：根据点到直线的距离是点与直线上垂足间线段的长，可得答案．解答：解：点A到直线l的距离是AD的长，故点A到直线l的距离是6cm，故选：D．点评：本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是点与直线上垂足间线段的长．7．下列式子变形正确的是（）A．﹣（a﹣1）=﹣a﹣1B．3a﹣5a=﹣2aC．2（a+b）=2a+bD．|π﹣3|=3﹣π考点：合并同类项；绝对值；去括号与添括号．专题：常规题型．分析：根据去括号与添括号的法则以及合并同类项的定义对各选项依次进行判断即可解答．解答：解：A、﹣（a﹣1）=﹣a+1，故本选项错误；B、3a﹣5a=﹣2a，故本选项正确；C、2（a+b）=2a+2b，故本选项错误；D、|π﹣3|=π﹣3，故本选项错误．故选B．点评：本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是”+“，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是”﹣“，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．同时要注意掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．8．若有理数m在数轴上对应的点为M，且满足m＜1＜﹣m，则下列数轴表示正确的是（）A．B．C．D．考点：数轴；相反数；有理数大小比较．分析：根据m＜1＜﹣m，求出m的取值范围，进而确定M的位置即可．解答：解：∵m＜1＜﹣m，∴，解得：m＜﹣1．故选：A．点评：此题主要考查了不等式组的解法以及利用数轴确定点的位置，根据已知得出m的取值范围是解题关键．9．下列说法：①两点确定一条直线；②射线AB和射线BA是同一条射线；③相等的角是对顶角；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短．正确的是（）A．①③④B．①②④C．①④D．②③④考点：三角形三边关系；直线、射线、线段；直线的性质：两点确定一条直线；对顶角、邻补角．分析：利用确定直线的条件、射线的定义、对顶角的性质、三角形的三边关系分别判断后即可确定正确的选项．解答：解：①两点确定一条直线，正确；②射线AB和射线BA是同一条射线，错误；③相等的角是对顶角，错误；④三角形任意两边和大于第三边的理由是两点之间线段最短，正确，故选C．点评：本题考查了确定直线的条件、射线的定义、对顶角的性质、三角形的三边关系，属于基础知识，比较简单．10．已知线段AB=8cm，在直线AB上有一点C，且BC=4cm，点M是线段AC的中点，则线段AM的长为（）A．2cmB．4cmC．2cm或6cmD．4cm或6cm考点：两点间的距离．分析：分类讨论：点C在线段AB上，点C在线段BC的延长线上，根据线段的和差，可得AC的长，根据线段中点的性质，可得AM的长．解答：解：当点C在线段AB上时，由线段的和差，得AC=AB﹣BC=8﹣4=4（cm），由线段中点的性质，得AM=AC=×4=2（cm）；点C在线段BC的延长线上，由线段的和差，得AC=AB+BC=8+4=12（cm），由线段中点的性质，得AM=AC=×12=6（cm）；故选：C．点评：本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．二．认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．若∠1=40°50′，则∠1的余角为49°10′，∠1的补角为139°10′．考点：余角和补角；度分秒的换算．分析：根据余角的定义求出90°﹣∠1°，即可得出答案，根据补角的定义求出180°﹣∠1，即可得出答案．解答：解：∵∠1=40°50′，∴∠1的余角为90°﹣∠1=49°10′，∠1的补角为180°﹣∠1=139°10′，故答案为：49°10′，139°10′．点评：本题考查了余角和补角的应用，注意：∠1是的余角是90°﹣∠1，补角是180°﹣∠1．12．在实数，，0，，，﹣1.414，0.131131113…（两个“3”之间依次多一个“1”），﹣中，其中无理数是，，0.131131113…（两个“3”之间依次多一个“1”）．考点：无理数．分析：无理数是指无限不循环小数，根据无理数的定义判断即可．解答：解：无理数有，，0.131131113…（两个“3”之间依次多一个“1”），故答案为：，，0.131131113…（两个“3”之间依次多一个“1”）．点评：本题考查了对无理数的定义的应用，注意：无理数包括三方面的数：①含π的，②开方开不尽的根式，③一些有规律的数．13．关于x的方程3x+2a=6的解是a﹣1，则a的值是．考点：一元一次方程的解．分析：把x=a﹣1代入方程计算即可求出a的值．解答：解：把x=a﹣1代入方程得：3a﹣3+2a=6，解得：a=，故答案为：．点评：此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．14．如果a﹣3b=6，那么代数式5﹣3a+9b的值是﹣13．考点：代数式求值．分析：将原式提取公因式，进而将已知代入求出即可．解答：解：∵a﹣3b=6，∴5﹣3a+9b=5﹣3（a﹣3b）=5﹣3×6=﹣13．故答案为：﹣13．点评：此题主要考查了代数式求值，正确应用已知得出是解题关键．15．若当x=3时，代数式（3x+4+m）与2﹣mx的值相等，则m=﹣．考点：解一元一次方程．专题：计算题．分析：把x=3代入两代数式，使其值相等求出m的值即可．解答：解：把x=3代入得：（13+m）=2﹣m，去分母得：4（13+m）=28﹣21m，去括号得：42+4m=28﹣21m，移项合并得：25m=﹣14，解得：m=﹣，故答案为：﹣点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．16．下面每个正方形中的五个数之间都有相同的规律，根据这种规律，则第4个正方形中间数字m为29，第n个正方形的中间数字为8n﹣3．（用含n的代数式表示）考点：规律型：图形的变化类．分析：由前三个正方形可知：右上和右下两个数的和等于中间的数，根据这一规律即可求出m的值；首先求得第n个的最小数为1+4（n﹣1）=4n﹣3，其它三个分别为4n ﹣2，4n﹣1，4n，由以上规律求得答案即可．解答：解：如图，因此第4个正方形中间数字m为14+15=29，第n个正方形的中间数字为4n﹣2+4n﹣1=8n﹣3．故答案为：29，8n﹣3．点评：此题考查图形的变化规律，通过观察，分析、归纳发现数字之间的运算规律，并应用发现的规律解决问题．三．全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.17．计算（1）（﹣2.25）﹣（+）+（﹣）﹣（﹣0.125）（2）﹣32+5×（﹣6）﹣（﹣4）2÷p分析：（1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．解答：解：（1）方程移项合并得：x=2﹣；（2）去分母得：4x+2=1﹣2x﹣12，移项合并得：6x=﹣13，解得：x=﹣．点评：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解．19．如图，O在直线AC上，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC内．（1）若OE是∠BOC的平分线，则有OD⊥OE，试说明理由；（2）若∠BOE=∠EOC，∠DOE=72°，求∠EOC的度数．考点：角平分线的定义．分析：（1）根据角平分线的定义可以求得∠DOE=∠AOC=90°；（2）设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x 的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．解答：解：（1）如图，∵OD是∠AOB的平分线，OE是∠BOC的平分线，∴∠BOD=∠AOB，∠BOE=∠BOC，∴∠DOE=（∠AOB+∠BOC）=∠AOC=90°，即OD⊥OE；（2）设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=（180°﹣3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+（180°﹣3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．点评：本题考查了角平分线的定义．设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．20．在同一平面内有n条直线，当n=1时，如图①，一条直线将一个平面分成两个部分；当n=2时，如图②，两条直线将一个平面最多分成四个部分．（1）在作图区分别画出当n=3时，三条直线将一个平面分成最少部分和最多部分的情况；（2）当n=4时，请写出四条直线将一个平面分成最少部分的个数和最多部分的个数；（3）若n条直线将一个平面最多分成an个部分，（n+1）条直线将一个平面最多分成an+1个部分，请写出an，an+1，n之间的关系式．考点：规律型：图形的变化类．分析：（1）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最少可以把平面分成4部分，最多可以把平面分成7部分，由此画出图形即可；（2）四条直线最少可以把平面分成5部分，最多可以把平面分成11部分；（3）可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分．．解答：解：（1）如图，（2）四条直线最少可以把平面分成5部分，最多可以把平面分成11部分；（3）当n=1时，分成2部分，当n=2时，分成4=2+2部分，当n=3时，分成7=4+3部分，当n=4时，分成11=7+4部分，…可以发现，有几条线段，则分成的部分比前一种情况多几部分，an、an+1、n之间的关系是：an+1=an+（n+1）．点评：此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．21．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东500m处，商场在学校西300m处，医院在学校东600m处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．（1）请画一条数轴并在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离；（3）若小新家也位于这条马路旁，在青少年宫的西边，且到商场与青少年宫的距离之和等于到医院的距离，试求小新家与学校的距离．考点：数轴．分析：（1）规定向东为正，单位长度是以100米为1个单位，根据青少年宫、学校、商场、医院的位置画出数轴即可，（2）根据数轴上两点之间的距离是表示这两点的数的差的绝对值求值即可．（3）由题意可得小新家到医院的距离为800m，设小新家在数轴上为xm，列出方程求出x，即可确定小新家与学校的距离．解答：解：（1）如图，（2）青少年宫与商场之间的距离|500﹣（﹣300）|=800m，（3）①∵小新家在青少年宫的西边，且到商场与青少年宫的距离之和等于到医院的距离，∴小新家到医院的距离为800m，设小新家在数轴上为xm，则600﹣x=800，解得x=﹣200m，∴小新家与学校的距离为200m．②当小新家在商场的西边时，设小新家在数轴上为xm，则﹣300﹣x+500﹣x=600﹣x，解得x=﹣400m∴小新家与学校的距离为400m．点评：此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．22．图1为全体奇数排成的数表，用十字框任意框出5个数，记框内中间这个数为a（如图2）．（1）请用含a的代数式表示框内的其余4个数；（2）框内的5个数之和能等于2015，2020吗？若不能，请说明理由；若能，请求出这5个数中最小的一个数，并写出最小的这个数在图1数表中的位置．（自上往下第几行，自左往右的第几个）考点：一元一次方程的应用．分析：（1）上下相邻的数相差18，左右相邻的数相差是2，所以可用a表示；（2）根据等量关系：框内的5个数之和能等于2015，2020，分别列方程分析求解．解答：解：（1）设中间的数是a，则a的上一个数为a﹣18，下一个数为a+18，前一个数为a﹣2，后一个数为a+2；（2）设中间的数是a，依题意有5a=2015，a=403，符合题意，这5个数中最小的一个数是a﹣18=403﹣18=385，2n﹣1=385，解得n=193，193÷9=21…4，最小的这个数在图1数表中的位置第22排第4列．5a=2020，a=404，404是偶数，不合题意舍去；即十字框中的五数之和不能等于2020，能等于2015．点评：本题考查一元一次方程的应用，关键是看到表格中中间位置的数和四周数的关系，最后可列出方程求解．23．某超市在“元旦”促销期间规定：超市内所有商品按标价的75%出售，同时当顾客在消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额a（元）的范围100≤a＜400400≤a＜600600≤a＜800获得奖券金额（元）40100130根据上述促销方法知道，顾客在超市内购物可以获得双重优惠，即顾客在超市内购物获得的优惠额=商品的折扣+相应的奖券金额，例如：购买标价为440元的商品，则消费金额为：440×75%=330元，获得的优惠额为：440×（l﹣75%）+40=150元．（1）购买一件标价为800元的商品，求获得的优惠额；（2）若购买一件商品的消费金额在450≤a＜800之间，请用含a的代数式表示优惠额；（3）对于标价在600元与900元之间（含600元和900元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品时可以得到的优惠率？（设购买该商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价）考点：一元一次方程的应用．分析：（1）先求出标价为450元的商品按80%的价格出售，消费金额为360元，再根据消费金额360元在200≤x≤400之间，即可得出优惠额；（2）分两种情况：当400＜a≤600时；当600≤a＜800时；讨论可求该顾客获得的优惠额；（3）设购买标价为x元时，可以得到的优惠率，根据（2）的计算方法列出方程解答即可．解答：解：（1）优惠额为800×（l﹣75%）+130=330元；（2）消费金额在400＜a≤600之间时，优惠额为（a÷70%）（1﹣75%）+100=a+100；消费金额在600≤a＜800之间时，优惠额为（a÷70%）（1﹣75%）+130=a+130；（3）设购买标价为x元时，由题意得0.25x+130=x，或x+130=x，解得：x=832或x=（不合题意，舍去）答：购买标价为832元的商品时可以得到的优惠率．点评：此题考查一元一次方程的实际运用，列代数式，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键．分类精心精选精品文档，欢迎下载，所有文档经过整理后分类挑选加工，下载后可重新编辑，正文所有带XX或是空格类下载后可自行代入字词。
初中数学八年级上册解答题汇总
初中数学八年级上解答题汇总一．解答题（共50小题）1．如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，点E在AC上，点F在CD上，连接DE，EF．（1）若∠ACB＝70°，∠CDE＝35°，求∠AED的度数；（2）在（1）的条件下，若∠BDC+∠EFC＝180°，试说明：∠B＝∠DEF．2．如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD 若记∠ABC＝x，∠ACB＝y（不妨设y≥x），求∠CFE的大小（用含x，y的代数式表示）4．一副三角板如图所示摆放，OA边和OC边与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．（1）求图1中∠BOD的度数是多少；（2）如图2，三角板COD固定不动，若将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，在转动过程中当OB分别平分∠EOD、∠DOC时，求此时α的值．5．如图，∠CAB+∠ABC＝86°，AD平分∠CAB，与BC边交于点D，BE平分∠ABC，与AC边交于点E．（1）依题意补全图形，并猜想∠DAB+∠EBA的度数等于；（2）填空，补全下面的证明过程．∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴∠DAB＝∠CAB，∠EBA＝．（理由：）∵∠CAB+∠ABC＝86°，∴∠DAB+∠EBA＝×（∠+∠）＝°．6．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，求∠BCD的度数．7．如图，在△ABC中，AD、CE分别平分∠BAC和∠ACB，AD、CE交于点O，若∠B＝50°，求∠AOC．8．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠B﹣∠A＝30°．（1）求∠A、∠B、∠C的度数；（2）△ABC按角分类，属于什么三角形？△ABC按边分类，属于什么三角形？9．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求证：AD⊥AC；（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，求∠CAD的度数．11．如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．求证：△ABC≌△EDB．12．已知：如图，E，F，为AC上两点，AD∥BC，∠1＝∠2，AE＝CF，求证：△ADF≌13．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，且BE＝AF．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）连接BD，且BD平分∠ABE交AF于点G．求证：△BCD是等腰三角形．15．如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D、E在边BC上，且AD＝AE，求证：BE＝CD．16．已知五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，点F为CD的中点，∠B＝∠E．求证：17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．AD ＝5，DE＝3．求BC的长．18．已知△ACD≌△ABE，且BE交AD于点F，交CD于点H，AE交DC于点G．求证：△ACG≌△ABF．19．如图，△ABC中，AB＝AC，BG，CF分别是AC，AB边上的高线．求证：BG＝CF．20．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．求证：AB∥DE．21．如图是8×8的正方形网格，每个小方格都是边长为1的正方形，在网格中建立平面直角坐标系xOy，使点A坐标为（2，﹣3），点B坐标为（4，﹣1）．（1）试在图中画出这个直角坐标系；（2）标出点C（1，1），连接AB、AC，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，且CD＝AC，求∠D的度数．23．在下面的方格纸中，（1）先画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l1对称；再画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于直线l2对称；（2）若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向平移格．24．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．试作出图形，写出已知、求证，并给出证明．25．小明在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”、“求证”（如图），他对辅助线描述如下：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”．（1）请你简要说明小明的辅助线作法错在哪里？（2）请你正确完整地写出这一命题的证明过程．26．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣5，5），（﹣2，3）．（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系xOy；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标；（3）请在x轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小．请标出点P的位置（保留作图痕迹，不需说明作图方法）．27．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，直线l经过点（0，1），并且与x 轴平行，△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．（1）画出三角形A1B1C1；（2）若点P（m，n）在AC边上，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为；（3）在直线l上画出点Q，使得QA+QC的值最小．28．如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．29．如图，（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；（2）请写出点A′、B′、C′的坐标A′（，）B′（，）C′（，）30．△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，﹣2），B（4，﹣3），C（2，1）．（1）在所给的平面直角坐标系中画出△ABC．（2）以y轴为对称轴，作△ABC的轴对称图形△A′B′C′，并写出B′的坐标．31．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．32．分解因式：（1）x3﹣x；（2）3x2y﹣6xy+3y．33．阅读下列材料分解因式：4x﹣16x3小云的做法：原式＝16x3﹣4x①＝4x（4x2﹣1）②＝4x（2x﹣1）（2x+1）③小朵的做法：原式＝4x（1﹣4x2）①＝4x（1﹣4x）（1+4x）②小天的做法：原式＝x（4﹣16x2）①＝x[22﹣（4x）2]②＝x（2﹣4x）（2+4x）③请根据上述材料回答下列问题：（1）小云的解题过程从步出现错误的，错误的原因是：．小朵的解题过程从步出现错误的，错误的原因是：．小天的解题过程从步出现错误的，错误的原因是：．（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．34．分解因式：（1）xy﹣x+y﹣1；（2）a（a﹣2b）+（b﹣1）（b+1）．35．探究下面的问题：（1）如图甲，在边长为a的正方形中去掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成如图乙的一个长方形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，这个等式是（用式子表示），即乘法公式中的公式．（2）运用你所得到的公式计算：①10.3×9.7；②（x+2y﹣3z）（x﹣2y﹣3z）．36．因式分解：（1）﹣3x3y2+6x2y3﹣3xy4（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）37．因式分解：（1）（x﹣1）（x﹣3）+1（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）38．因式分解：（1）2a2﹣8b2（2）1+（x﹣1）（x﹣3）39．（1）分解因式：64m3n﹣16mn3．（2）计算：[（x+2）（x﹣2）]240．计算：（﹣2x2）（4xy3﹣y2）+（2xy）3．41．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足c2+b2＝53，ab＝14．求：①a+b的值；②a2﹣b2的值．42．如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：（1）请用两种不同的方法表示正方形ABCD的面积，并写成一个等式；（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；②已知x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，求（x﹣y）2+z2的值．43．分解因式：（1）x3﹣x（2）2ax2﹣20ax+50a44．计算：．45．计算：．46．先化简，再求值：÷，其中a是满足|a﹣3|＝3﹣a的最大整数．47．先化简，再求值：（1+）÷，其中x＝﹣2．48．解方程：．49．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式中，是和谐分式（填写序号即可）；①；②；③；④（2）若a为整数，且为和谐分式，请写出a的值；（3）在化简﹣÷时，小冬和小奥分别进行了如下三步变形：小冬：原式＝﹣＝﹣＝小奥：原式＝﹣＝﹣＝显然，小奥利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小冬的结果简单，原因是：，请你接着小奥的方法完成化简．50．解方程：．初中数学八年级上解答题汇总参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，点E在AC上，点F在CD上，连接DE，EF．（1）若∠ACB＝70°，∠CDE＝35°，求∠AED的度数；（2）在（1）的条件下，若∠BDC+∠EFC＝180°，试说明：∠B＝∠DEF．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠BCD＝35°，再由平行线的判定和性质可得结论；（2）根据同角的补角相等可得∠EFD＝∠BDC，则AB∥EF，由平行线的性质和等理代换可得结论．【解答】（1）解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ACB，∵∠ACB＝70°，∴∠BCD＝35°，∵∠CDE＝35°，∴∠CDE＝∠BCD，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝70°；（2）证明：∵∠EFC+∠EFD＝180°，∠BDC+∠EFC＝180°，∴∠EFD＝∠BDC，∴AB∥EF，∴∠ADE＝∠DEF，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∴∠DEF＝∠B．【点评】此题主要考查了平行线的性质和判定，补角的性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握这些性质是关键．2．如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．【分析】直接利用连接CD并延长点E，再利用三角形外角的性质得出答案．【解答】解：连接CD并延长点E，∵∠ACD＝∠ADE﹣∠A＝∠ADE﹣37°，∴∠A＝37°，∠ADE＝∠A+∠ACD，同理可得：∠BCD＝∠BDE﹣28°，∵∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠ADB＝148°，∠ACB＝∠ADB﹣∠A﹣∠B，＝148°﹣37°﹣28°＝83°．【点评】此题主要考查了三角形的外角，正确得出∠ADB的度数是解题关键．3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，且CF∥AD 若记∠ABC＝x，∠ACB＝y（不妨设y≥x），求∠CFE的大小（用含x，y的代数式表示）【分析】求出∠DAE，再利用平行线的性质解决问题即可．【解答】解：∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣x﹣y，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝90°﹣（x+y），∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠ADC＝x+90°﹣（x+y）＝90°+（x﹣y），∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝（y﹣x），∵AD∥CF，∴∠CFE＝∠DAE＝（y﹣x）．【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．一副三角板如图所示摆放，OA边和OC边与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°．（1）求图1中∠BOD的度数是多少；（2）如图2，三角板COD固定不动，若将三角板AOB绕着点O顺时针旋转一个角度α，在转动过程中当OB分别平分∠EOD、∠DOC时，求此时α的值．【分析】（1）利用平角是180°的知识点来分析；（2）先根据角平分线的定义计算∠BOC的度数，可得∠EOA的度数，就是旋转角α的度数．【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB+∠BOD+∠COD＝180°，又∠AOB＝45°，∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°；则∠BOD的度数是75°；（2）如图2，当OB平分∠EOD时，∵∠DOC＝60°，∴∠DOE＝120°，∵OB平分∠EOD，∴∠EOB＝∠BOD＝60°．∵∠BOA＝45°，∴∠EOA＝α＝15°．当OB平分∠DOC时，如图3，∵∠DOC＝60°，OB平分∠DOC，∴∠DOB＝∠BOC＝30°．∴∠BOE＝150°．∵∠BOA＝45°，∴∠EOA＝α＝105°．【点评】本题考查角的相关计算，难度适中．本题的易错点在（2）题，需要考虑OB分别平分∠EOD、∠DOC时两种情况，并注意利用数形结合的思想．5．如图，∠CAB+∠ABC＝86°，AD平分∠CAB，与BC边交于点D，BE平分∠ABC，与AC边交于点E．（1）依题意补全图形，并猜想∠DAB+∠EBA的度数等于43°；（2）填空，补全下面的证明过程．∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴∠DAB＝∠CAB，∠EBA＝∠CBA．（理由：角平分线的定义）∵∠CAB+∠ABC＝86°，∴∠DAB+∠EBA＝×（∠CAB+∠CBA）＝43°．【分析】（1）作出∠CBA的角平分线即可．（2）利用角平分线的定义计算即可解决问题．【解答】解：（1）如图，线段BE即为所求．猜想∠DAB+∠EBA＝43°．故答案为43°．（2）∵AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，∴∠DAB＝∠CAB，∠EBA＝∠CBA．（理由：角平分线的定义）∵∠CAB+∠ABC＝86°，∴∠DAB+∠EBA＝×（∠CAB+∠CBA）＝43°．故答案为∠CBA，角平分线定义，，CAB，CBA，43°．【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，求∠BCD的度数．【分析】分∠ADC＝90°、∠ACD′＝90°两种情况，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算．【解答】解：当∠ADC＝90°时，∵∠ADC＝∠B+∠BCD，∠B＝30°，∴∠BCD＝∠ADC﹣∠B＝90°﹣30°＝60°．当∠ACD′＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣30°＝100°，∴∠BCD′＝∠ACB﹣∠ACD′＝100°﹣90°＝10°，∴∠BCD＝10°或∠BCD＝60°．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．7．如图，在△ABC中，AD、CE分别平分∠BAC和∠ACB，AD、CE交于点O，若∠B＝50°，求∠AOC．【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠OAC+∠OCA，然后根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解；【解答】解：∵∠ABC＝50°，∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵AD，CE分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC＝∠BAC，∠OCA＝∠ACB，∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠ACB）＝×130°＝65°，在△AOC中，∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣65°＝115°．【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠B﹣∠A＝30°．（1）求∠A、∠B、∠C的度数；（2）△ABC按角分类，属于什么三角形？△ABC按边分类，属于什么三角形？【分析】（1）根据三角形内角和定理根据方程组即可解决问题．（2）根据三角形的分类解决问题即可．【解答】解：（1）由题意：，解得．（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°，∴按角分类，属于直角三角形．△ABC按边分类，属于不等边三角形．【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的分类等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD．（1）求证：AD⊥AC；（2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余可得∠ACB+∠BAC＝90°，根据三角形内角和定理可得∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，再根据∠ABD+∠ADB＝∠ACB，可得∠ACB+∠BAD＝180°，即∠ACB+∠BAC+∠CAD＝180°，进而得出∠CAD＝90°，从而得证；（2）由题意可得∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（∠BCD﹣∠ACD），由（1）的结论可得∠DAC＝90°，可得∠ADC＝90°﹣∠ACD，再由∠ADC＝∠BCD，可得∠BCD＝90°﹣∠ACD，据此即可得出∠BAC＝2∠ACD．【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，在△ABD中，∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，∵∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB+∠BAD＝180°，即∠ACB+∠BAC+∠CAD＝180°，∴∠CAD＝90°，∴AD⊥AC．（2）∠BAC＝2∠ACD；∵∠ABC＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣（∠BCD﹣∠ACD），∵∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠ACD，∵∠ADC＝∠BCD，∴∠BCD＝90°﹣∠ACD，∴∠BAC＝90°﹣（90°﹣∠ACD﹣∠ACD）＝2∠ACD．【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角，利用数形结合的方法，理清角的和差关系是解答本题的关键．10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，求∠CAD的度数．【分析】根据∠AOB＝125°和三角形内角和，可以得到∠OAB+∠OBA的度数，再根据AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，即可得到∠BAC+∠ABC的度数，进而得到∠C的度数，再根据AD是BC边上的高，即可得到∠CAD的度数．【解答】解：∵∠AOB＝125°，∴∠OAB+∠OBA＝55°，∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠OAB+∠OBA）＝110°，∴∠C＝70°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝20°，即∠CAD的度数是20°．【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．11．如图，点B是线段AD上一点，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．求证：△ABC≌△EDB．【分析】先根据平行线的性质得到∠ABC＝∠D，然后根据“SAS”判断△ABC≌△EDB．【解答】证明：∵BC∥DE，∴∠ABC＝∠D，在△ABC和△EDB中，∴△ABC≌△EDB（SAS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：灵活运用全等三角形的5种判定方法．12．已知：如图，E，F，为AC上两点，AD∥BC，∠1＝∠2，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE．【分析】先利用平行线的性质得到∠A＝∠C，再证明AF＝CE，然后根据“ASA”判断△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF∴AE+EF＝CF+EF即：AF＝CE在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）．【点评】本题考查了全等三角形的判定：灵活运用全等三角形的5种判定方法．13．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AD＝AE．连接BD，CE，∠ABD＝∠ACE．求证：AB＝AC．【分析】由“AAS”可证△BAD≌△CAE，可得AB＝AC．【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（AAS），∴AB＝AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△BAD≌△CAE是本题的关键．14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，过点B作BE⊥CD，垂足为点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，且BE＝AF．（1）求证：△ABF≌△BCE；（2）连接BD，且BD平分∠ABE交AF于点G．求证：△BCD是等腰三角形．【分析】（1）由“ASA”可证△ABF≌△BCE；（2）由余角的性质可证∠DBC＝∠BDE，可得BC＝CD，可得结论；【解答】证明：（1）∵BE⊥CD，AF⊥BE，∴∠AFB＝∠BEC＝90°．∴∠ABE+∠BAF＝90°．∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝90°，∴∠BAF＝∠EBC．在△ABF和△BCE中，∴△ABF≌△BCE（ASA）．（2）∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠DBC＝90°．∵∠BEC＝90°，∴∠DBE+∠BDE＝90°，∵BD平分∠ABE，∴∠ABD＝∠DBE．∴∠DBC＝∠BDE．∴BC＝CD，即△BCD是等腰三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质是本题的关键．15．如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D、E在边BC上，且AD＝AE，求证：BE＝CD．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BDA＝∠CEA，进而利用全等三角形的判定方法即可得出△ABD≌△ACE，则结论可得出．【解答】证明：∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠BDA＝∠CEA，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）．∴BD＝CE，∴BE＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据等边对等角的性质得到三角形全等的条件是解题的关键．16．已知五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝DE，点F为CD的中点，∠B＝∠E．求证：AF⊥CD．【分析】由SAS可证△ACB≌△ADE，而看到AC＝AD，由等腰三角形的性质可得结论．【解答】证明：连结AC、AD．在△ACB和△ADE中，∴△ACB≌△ADE（SAS）∴AC＝AD且点F为CD的中点∴AF⊥CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是连接AC，AD构造全等三角形．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．AD ＝5，DE＝3．求BC的长．【分析】先根据角平分线的定义得到DC＝DE＝3，再根据线段垂直平分线的性质得到DB＝AD＝5，然后计算CD和BD即可．【解答】解：∵∠C＝90°∴DC⊥AC∵∵AD平分∠CAB，DE⊥AB∴DC＝DE＝3，又∵E为AB的中点，∴DE垂直平分AB，∴DB＝AD＝5，∴BC＝CD+BD＝5+3＝8【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．18．已知△ACD≌△ABE，且BE交AD于点F，交CD于点H，AE交DC于点G．求证：△ACG≌△ABF．【分析】根据ASA即可证明三角形全等．【解答】证明：∵△ACD≌△ABE，∴AB＝AC，∠B＝∠C，∠EAB＝∠DAC．∴∠EAB﹣∠DAE＝∠DAC﹣∠DAE．∴∠DAB＝∠EAC在△ACG和△ABF中，∴△ACG≌△ABF（ASA）．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．如图，△ABC中，AB＝AC，BG，CF分别是AC，AB边上的高线．求证：BG＝CF．【分析】由三角形面积得出，由AB＝AC，即可得出BG＝CF．【解答】解：∵BG⊥AC，CF⊥AB，∴，又∵AB＝AC，∴BG＝CF．【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形面积；熟练掌握等腰三角形的性质和面积公式是解题的关键．20．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF．求证：AB∥DE．【分析】证明Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），得出∠B＝∠D，即可得出AB∥DE．【解答】证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴△ABC和△EDF为直角三角形，∵CD＝BF，∴CF+BF＝CF+CD，即BC＝DF，在Rt△ABC和Rt△EDF中，，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（HL），∴∠B＝∠D，∴AB∥DE．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即对应边相等、对应角相等）是解题的关键．21．如图是8×8的正方形网格，每个小方格都是边长为1的正方形，在网格中建立平面直角坐标系xOy，使点A坐标为（2，﹣3），点B坐标为（4，﹣1）．（1）试在图中画出这个直角坐标系；（2）标出点C（1，1），连接AB、AC，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．【分析】（1）依据点A坐标为（2，﹣3），点B坐标为（4，﹣1），即可得到坐标轴的位置．（2）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．【解答】解：（1）如图所示．（2）如图所示，△A1B1C1即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称变换的性质是解答此题的关键．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，点D在BC的延长线上，且CD＝AC，求∠D的度数．【分析】由已知条件，可求得底角和顶角的大小，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理进行分析，从而求得∠D的度数．【解答】解：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°．在△ADC中，∵AC＝DC，∴∠DAC＝∠D．在△ADC中，∵∠ACB为△ADC的外角，∴∠DAC+∠D＝∠ACB＝70°．∴．【点评】本题考查的是等腰三角形及三角形内角与外角的关系；利用内角和求得∠1的度数是解答本题的关键．23．在下面的方格纸中，（1）先画△A1B1C1，使它与△ABC关于直线l1对称；再画△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于直线l2对称；（2）若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向右平移2格．【分析】（1）依据轴对称变换，即可得到△A1B1C1，△A2B2C2；（2）依据△ABC平移的方向和距离，即可得到△A1B1C1的位置，即可得出△A2B2C2的位置．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1，△A2B2C2即为所求；（2）若△ABC向右平移2格，则△A2B2C2向右平移2格．故答案为：右，2．【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．24．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．试作出图形，写出已知、求证，并给出证明．【分析】借助等边三角形的判定和性质证明即可．【解答】解：已知：Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，求证：BC＝AB．证明：如答图所示，延长BC到D，使CD＝BC，连接AD，易证AD＝AB，∠BAD＝60°．∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD，∴BC＝CD＝AB，即BC＝AB．【点评】此题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．25．小明在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”、“求证”（如图），他对辅助线描述如下：“过点A作BC的中垂线AD，垂足为D”．（1）请你简要说明小明的辅助线作法错在哪里？（2）请你正确完整地写出这一命题的证明过程．【分析】（1）过直线外一定点作一条线段的垂线可以，但不能同时满足既垂直又平分．（2）过点A作AD⊥BC于点D，判定△BAD≌△CAD（AAS）即可得到△ABC为等腰三角形．【解答】解：（1）过直线外一定点作一条线段的垂线可以，但中垂线要过线段的中点，不能同时满足既垂直又平分．（2）证明：过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝∠ADC＝90°，又∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（AAS）∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．26．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A、C的坐标分别是（﹣5，5），（﹣2，3）．（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系xOy；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出顶点A1，B1，C1的坐标；（3）请在x轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小．请标出点P的位置（保留作图痕迹，不需说明作图方法）．【分析】（1）根据A、C两点坐标即可得到平面直角坐标系；（2）画出A、B、C关于y轴对称的A1、B1、C1即可；（3）作点B1关于x轴的对称点B2，连接CB2交x轴于点P．【解答】解：（1）平面直角坐标系xOy如图所示；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）如图所示，作点B1关于x轴的对称点B2，连接CB2交x轴于点P．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、最短距离问题等知识，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．27．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，直线l经过点（0，1），并且与x 轴平行，△A1B1C1与△ABC关于直线l对称．（1）画出三角形A1B1C1；（2）若点P（m，n）在AC边上，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（m，2﹣n）；（3）在直线l上画出点Q，使得QA+QC的值最小．【分析】（1）分别作出△ABC的三个顶点关于直线l的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）由题意得出两点的横坐标相等，对称点P1的纵坐标为1﹣（n﹣1），从而得出答案；（3）利用轴对称的性质求解可得．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）若点P（m，n）在AC边上，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为（m，2﹣n），故答案为：（m，2﹣n）；（3）如图所示，点Q即为所求．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．28．如图，在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线相交于点O，分别交BC边于点M、N，连接AM，AN．（1）若△AMN的周长为6，求BC的长；（2）若∠MON＝30°，求∠MAN的度数；（3）若∠MON＝45°，BM＝3，BC＝12，求MN的长度．【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到MA＝MB，NA＝NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；（3）根据（2）的解法得到∠MAN＝90°，根据勾股定理列式计算即可．【解答】解：（1）∵直线OM是AB的垂直平分线，∴MA＝MB，同理，NA＝NC，∵△AMN的周长为6，∴MA+MN+NA＝6，即MB+MN+NC＝BC＝6；（2）∵∠MON＝30°，∴∠OMN+∠ONM＝150°，∴∠BME+∠CNF＝150°，∵MA＝MB，ME⊥AB，∴∠BMA＝2∠BME，同理，∠ANC＝2∠CNF，∴∠BMA+∠ANC＝300°，∴∠AMN+∠ANM＝360°﹣300°＝60°，∴∠MAN＝180°﹣60°＝120°；（3）由（2）的作法可知，∠MAN＝90°，由（1）可知，MA＝MB＝3，NA＝NC设MN＝x，∴NA＝NC＝12﹣3﹣x＝9﹣x，由勾股定理得，MN2＝AM2+AN2，即x2＝32+（9﹣x）2，解得，x＝5，即MN＝5．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．29．如图，（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A′B′C′；（2）请写出点A′、B′、C′的坐标A′（3，2）B′（4，﹣3）C′（1，﹣1）【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到点A′、B′、C′的位置，进而得出△ABC 关于y轴对称的图形△A′B′C′；（2）依据轴对称的性质，即可得到点A′、B′、C′的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；（2）由图可得，A′（3，2）、B′（4，﹣3）、C′（1，﹣1）．故答案为：3，2；4，﹣3；1，﹣1．【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．30．△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，﹣2），B（4，﹣3），C（2，1）．（1）在所给的平面直角坐标系中画出△ABC．（2）以y轴为对称轴，作△ABC的轴对称图形△A′B′C′，并写出B′的坐标．【分析】（1）依据△ABC的三个顶点的坐标即可得到△ABC．（2）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的轴对称图形△A′B′C′，进而写出B′的坐标．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求．（2）如图所示，△A′B′C′即为所求，点B′的坐标为（﹣4，﹣3）．【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网结构准确找出对应点的位置是解题的关键．31．阅读下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．利用分组分解法解决下面的问题：（1）分解因式：x2﹣2xy+y2﹣4；（2）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．【分析】（1）前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可．（2）前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2﹣ab﹣ac+bc分解因式，进而判断出△ABC的形状即可．【解答】解：（1）x2﹣2xy+y2﹣4＝（x﹣y）2﹣4＝（x﹣y+2）（x﹣y﹣2）（2）∵a2﹣ab﹣ac+bc＝0，∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，∴（a﹣b）（a﹣c）＝0，∴a﹣b＝0或a﹣c＝0，∴a＝b或a＝c，∴△ABC是等腰三角形．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．32．分解因式：（1）x3﹣x；（2）3x2y﹣6xy+3y．【分析】（1）原式提取x，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取3y，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1）；（2）原式＝3y（x2﹣2x+1）＝3y（x﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．33．阅读下列材料分解因式：4x﹣16x3小云的做法：原式＝16x3﹣4x①＝4x（4x2﹣1）②＝4x（2x﹣1）（2x+1）③小朵的做法：原式＝4x（1﹣4x2）①＝4x（1﹣4x）（1+4x）②小天的做法：原式＝x（4﹣16x2）①＝x[22﹣（4x）2]②＝x（2﹣4x）（2+4x）③请根据上述材料回答下列问题：（1）小云的解题过程从①步出现错误的，错误的原因是：提取负号后，负号丢失，没弄清方程还是多项式．小朵的解题过程从②步出现错误的，错误的原因是：平方差公式用错．小天的解题过程从③步出现错误的，错误的原因是：分解因式不完整还可以继续分解．（2）若都不正确，请你写出正确的解题过程．【分析】（1）观察小云的解题过程，找出出错的步骤，分析原因即可；（2）写出正确的解题过程即可．。
初中数学：分式方程应用题专题练习附详解(精)
（1）实际购买时，该农产品多少元每千克？
（2）据预测，该农产品的市场价格在实际购买价的基础上每天每千克上涨0.5元，已知冷库存放这批农产品，每天需要支出各种费用合计为280元，同时，平均每天将有8千克损坏不能出售．则将这批农产品存放多少天后一次性全部出售，该公司可获得利润19600元？
（1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？
（2）如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买．设购买口罩m盒（m为正整数），则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含m的代数式表示．
（3）在健康大药房累计购医用品超过1800元后，超出1800元的部分可享受8折优惠．该校按（2）中的配套方案购买，共支付w元，求w关于m的函数关系式．若该校九年级有1000名学生，需要购买口罩和水银体温计各多少盒？所需总费用为多少元？
经检验，x=40原方程的解，
∴x+8=48．
答：每件乙种商品的价格为40元，每件甲种商品的价格为48元．
（2）
解：设购买y件甲种商品，则购买（80-y）件乙种商品，
根据题意得：48y+40（80-y）≤3600，
解得：y≤50．
答：最多可购买50件甲种商品．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据数量=总价÷单价，列出关于x的分式方程；（2）根据总价=单价×购买数量，列出关于y的一元一次不等式．
3．第十一届江苏书展在苏州国际博览中心设有400个展台，并在全省多地线上、线下同步举行．本届书展设置了“读经典、学四史、童心向党和百年辉煌”等活动．为保障书展的准备工作比原计划提前2天完成，每天准备展台的个数需比原计划增加 ．
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初中数学一题多解题例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数方法一、设较小的奇数为x,另外一个就是x+2x(x+2)=323解方程得：x1=17,x2=-19所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法二、设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x则有：x-323/x=2解方程得：x1=19,x2=-17同样可以得出这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法三、设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：2x-1,2x+1(2x-1)(2x+1)=323即4x^2-1=323x^2=81x1=9,x2=-92x1-1=17,2x1+1=192x2-1=-19,2x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19方法四、设两个连续奇数为x-1,x+1则有x^2-1=323x^2=324=4*81x1=18,x2=-18x1-1=17,x1+1=19x2-1=-19,x2+1=-17所以，这两个奇数分别是：17、19，或者-17，-19例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得135992512433202x y z x y z ++=<>++=<>⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。
1. 凑整法解1：<>+<>123，得5344153x y z ++=<>.<>+<>23，得7735().x y z ++=∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为134292522320()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩ 解之得：x y z ++=105.2. 主元法解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>得x z =-0505..，y z =-05505.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105...解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>得y x z x =+=-00512.，∴++=+-+=x y z x x x 1052105..解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>得x y z y =-=-005112..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105...3. “消元”法解6：令x =0，则原方程组可化为5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩... ∴++=x y z 105.解7：令y =0，则原方程组可化为1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.解8：令z =0，则原方程组可化为1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩.... ∴++=x y z 105.4. 参数法解9：设x y z k ++=，则1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>⎧⎨⎪⎩⎪..∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.∴由<4>、<5>得332005k -=-..∴=k 105.即x y z ++=105.5. 待定系数法解10. 设x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()()()()135924313254931则比较两边对应项系数，得1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 将其代入<1>中，得x y z ++=⨯+⨯=⨯=121925421321212205105....附练习题1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。
求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？（答案：24.5吨）2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元。
问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？（答案：1.05元）平面几何在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。
如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。
“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。
19、（增加题1的条件）AE平分∠BAC交BC于E，求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题1的条件）CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F求证：（1）BF·CE= BE·DF（2）AE⊥CF（3）设AE与CD交于Q，则FQ‖BC21、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC 于E、F，求证：CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）22、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证：EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线23、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（A T=AC）24、已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，内公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。
题14解答：因为CD^2=AD·DBAC^2=AD·ABBC^2=BD·AB所以1/AC^2+1/BC^2=1/（AD·AB）+1/（BD·AB）=（AD+DB）/（AD·BD·AB）=AB/AD·BD·AB=1/AD·BD=1/CD^215题解答：因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB=(AD-DB)AB=2DM*AB26、（在19题基础上增加一条平行线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD 于F，FG‖AB交BC于点G，求证：CE=BG27、（在19题基础上增加一条平行线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD 于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形28、（对19题增加一个结论）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD 于F，求证：CE=CF29、（在23题中去掉一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，求证：过点D的圆O1的切线平分BC30、（在19题中增加一个圆）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD 于F，求证：⊙CED平分线段AF31、（在题1中增加一个条件）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第117页第3题）32、（在18题基础上增加一条直线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：作NS‖CD交直线AC与点S，则PQ/PN=CQ/SN又∠BCE=∠BCD∴QM/MN=CQ/CN（三角形内角平分线性质定理）∠BCE+∠NCS=∠BCD +∠ACDNS‖CD，∴∠NSC=∠ACD∴∠NSC=∠NCS∴SN=CN∴PQ/PN=QM/MN题33在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB= AE·BE题33证明CB^2= BD·AB因EB=CB∴EB^2= BD·AB∴EB：BD=AB：BE又∠EBD=∠ABE∴△EBD∽△ABE∴EB：AB=DE：AE∴DE·AB= AE·BE题34（在19题基础上增加一条垂线）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，求证：EG^2= BE·EC证明：延长AC、GE，设交点为H，∴△EBG∽△EHC∴EB：EH=EG：EC∴EH·EG= BE·EC又HG‖CD，CF=FD∴EH=EG∴EG^2= BE·EC题35（在题19中增加点F）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CF·FD = AF·EF题36、（在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件）已知，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：CE/BC=CF/AC题37（在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC）已知，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD求证：AE^2= AD·AB题38已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线求证：PA/AD=PB/BD题39（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，求证：△ADF∽△AEB题40：已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB题41已知，如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，求∠ACB的度数。