荷载与结构设计方法作业4(可靠度参考答案)

可靠度作业参考答案

1. 已知一伸臂梁如图所示。梁所能承担的极限弯矩为M u ，若梁内弯矩M >M u 时，梁便失败。现已知各变量均服从正态分布，其各自的平均值及标准差为：荷载统计参数，4kN 0.8kN p p μσ==，；跨度统计参数，6m 0.1m l l μσ==，；极限弯矩统计参数，20kN m u

M μ=?，2kN m u

M σ=?。试用中

心点法计算该构件的可靠指标β。

习题1图

解：（1）荷载效应统计参数

PL M S 31=

= m kN L P M S -=??===8643

1

31μμμμ

067.031312

2

2

2=???

? ??+???? ??=+==L

L P P L P M S μσμσδδδδ m kN S S S -=?==535.0067.08.δμσ

（2）抗力统计参数

m kN Mu R -==20μμ m kN Mu R -==2σσ

（3）计算可靠指标

80.5535

.028202

2

22=+-=

+-=

S

R

S R σ

σμμβ

2. 假定钢梁承受确定性的弯矩M =128.8kN ?m ，钢梁截面的塑性抵抗矩W 和屈服强度f 都是随机变量，已知分布类型和统计参数为：

抵抗矩W ：正态分布，μW =884.9?10-6m 3，δW =0.05； 屈服强度f ：对数正态分布，μf =262MPa ，δf =0.10； 该梁的极限状态方程：Z = Wf -M =0 试用验算点法求解该梁可靠指标。

解： 2

3/4424505.0109.884mm N w =??=σ

2/2.2610.0262mm N f =?=σ

（1）取均值作为设计验算点的初值

33*109.884mm W W ?==μ 2

*/262mm N f f ==μ

（2）计算αi 的值

**

f W

g X

=??

**

W f

g X

=??

447

.0)

2.26109.884()44245262(44245

262)()(2

3

2

2

2*

*

*

=??+??=

??+????=

f X

W X

W

X W f

g W

g W

g σσσα

894

.0)

2.26109.884()44245262(2

.26109.884)()(2

3

2

322***=??+???=

??+????=

f X W X f

X

f f

g W g f g

σσσα

（3）计算X i *

βββσαμ52.19777109.88444245447.0109.8843

3*-?=??-?=-=W W W W

βββσαμ423.232622.26894.0262*-=??-=-=f f f f

(4)求解β值

代入功能函数W*f*-M=0

0108.128)423.23262)(52.19777109.884(63=?---?ββ

得： β1=4.32 β2=51.60(舍去) （5）求X i *的新值

将β=4.32代入 i X i Xi i X σβαμ-=*

3

33*107.79944245447.031.4109.884mm W W W W ?=??-?=-=σβαμ

2*

/1.1612.26894.031.4262mm N f

f f f =??-=-=σβαμ

重复上述计算，有

αW =0.322 αf =0.946

W *=824.1?103mm 3 f *=156.3N/mm 2 β=4.262

进行第三次迭代,求得β=4.261，与上次的β=4.262比较接近，已收敛。 取β=4.26，相应的设计验算点

W *=827.4?103mm 3 f *=155.7N/mm 2

3. 某随机变量X 服从极值I 型分布，其统计参数为：μX =300，δX =0.12。试计算x *=μX 处的当量正态化参数。

解：3612.0300=?==X X X δμσ

0356.0361

616=?

=

?

=

π

σπX a

7985.2833000356

.05772.05772.0=+-=+-=X a μμ

令5772.0)7985.283300(0356.0)(*

*=-=-=μX a y

有 0114.0*)]e xp (e xp [*)ex p(*)(=---?=y y a X f X

5704.0*)]ex p(ex p[*)(=--=y X F X

421.340114.0/)]5704.0([*)(/)]}([{1*1'=Φ=Φ=--??σX f X F X X X

896.29336)]5704.0(300)]([*1'*1'=?Φ-=?Φ-=--X X X X F X σμ

4. 某结构体系有4种失效可能，其功能函数分别g 1、g 2、g 3和g 4。经计算对失效模式1，β1=3.32，P f 1=Φ(-3.32)=4.5?10-4；失效模式2，β2=3.65，P f 1=Φ(-3.65)=1.33?10-4；失效模式3，β3=4.51，P f 3=Φ(-4.51)=3.25?10-6；失效模式4，β4=4.51，P f 3=Φ(-4.51)=3.25?10-6。已知g 1与g 2的相关系数为0.412，g 1与g 3的相关系数为0.534，g 1与g 4的相关系数为0.534；g 2与g 3的相关系数为0.856，g 2与g 4的相关系数为0.534。试用窄界限估算公式计算该结构体系的失效概率。 解：（1）选取失效模式代表

按失效概率由小到大依次排列，分别为失效模式1、失效模式2、失效模式3和失效模式4。以失效模式1为依据，g1(x)与g2(X)、g3(X)、g4(X)的相关系数，分别为： ρ12=0.412；ρ13=0.534；ρ14=0.534

取ρ0=0.8，失效模式2、3、4均不能用失效模式1代表。

以失效模式2为依据，g2(X)与g3(X)、g4(X)的相关系数，分别为： ρ23=0.856；ρ24=0.534

失效模式2、3可用失效模式2代表

因此，4种失效模式可由失效模式1、失效模式2和失效模式4代表 （2）计算共同事件发生的概率 对失效模式1和2， 有：

6212

1122110756.2)51.2()32.3(1)()(-?=-Φ?-Φ=????

??---Φ-Φ=ρβρββA P 6212

2121210033.3)993.1()65.3(1)()(-?=-Φ?-Φ=???

?

??---Φ-Φ=ρβρββB P Max[P(A)，P(B)]≤P （E 1E 2）≤P(A)+P(B) 3.033?10-6 ≤P （E 1E 2）≤5.789?10-6

对失效模式1和4， 有：

72141144110690.2)24.3()32.3(1)()(-?=-Φ?-Φ=????

??---Φ-Φ=ρβρββA P 72144141410540.4)08.1()51.4(1)()(-?=-Φ?-Φ=???

? ??---Φ-Φ=ρβρββB P

Max[P(A)，P(B)]≤P （E 1E 4）≤P(A)+P(B) 4.540?10-7 ≤P （E 1E 4）≤7.230?10-7

对失效模式2和4， 有：

7224

2244210603.1)03.3()65.3(1)()(-?=-Φ?-Φ=????

??---Φ-Φ=ρβρββA P 7224

4242410294.2)47.1()51.4(1)()(-?=-Φ?-Φ=???

?

??---Φ-Φ=ρβρββB P Max[P(A)，P(B)]≤P （E 2E 4）≤P(A)+P(B) 2.294?10-7 ≤P （E 1E 2）≤3.897?10-7

（3）求解失效概率窄界限范围

P(E 1)+max{[P(E 2)-P(E 2E 1)+P(E 4)-P(E 4E 1)-P(E 2E 4)]，0} ≤ P ≤ P(E 1)+ P(E 2) +P(E 4)-{ P(E 2E 1)+max[P(E 4E 1), P(E 4E 2)]} 即:

P(E 1)+P(E 2) +P(E 4)-[P(E 2E 1)+P(E 4E 1)+P(E 2E 4)]

≤ P ≤ P(E 1)+ P(E 2) +P(E 4)-{P(E 2E 1)+max[P(E 4E 1), P(E 4E 2)]}

P(E 1)+P(E 2) +P(E 4)= 4.5?10-4+1.33?10-4+3.25?10-6=5.8625?10-4

P(E 2E 1)+P(E 4E 1)+P(E 2E 4)= 5.789?10-6+7.230?10-7+3.897?10-7=6.9017?10-6 P(E 2E 1)+max[P(E 4E 1), P(E 4E 2)]= 3.033?10-6+mxa(4.540?10-7 , 2.294?10-7) =3.033?10-6+4.540?10-7=3.487?10-6

5.8625?10-4-

6.9017?10-6 ≤ P f ≤ 5.8625?10-4-3.487?10-6 5.7935?10-4 ≤ P f ≤ 5.8276?10-4

5. 单跨2层刚架如图 9.14(a)所示。已知各随机变量及统计特征，竖向杆的抗弯力矩M1=(111，1

6.7)kN?m；水平杆的抗弯力矩M2=(277，41.5)kN?m；荷载F1=(91，22.7)kN，F2=(182，2

7.2)kN，P=(15.9，4)kN。刚架可能出现塑性铰的位置如图9.14(b)所示，共14个，主要失效机构为8个，相应的功能函数以及其对应的可靠指标和失效概率列于表9-3中。试用PNET法求该刚架体系的可靠度。

表9-3 主要机构的功能函数以及其对应的可靠指标和失效概率

(a) (b)

图9.14 习题5图

[解] (1)各机构间的相关系数计算

69.02242

12

2

2

222

12=???? ??+?=Z Z F M L σσσσρ

88.02343

1222

22

2

12=???? ??+?=Z Z F M L σσσσρ (2) 刚架体系的可靠度

显然，代表机构为1、2和5。用PNET 方法计算刚架体系的可靠度，得：

00291.010)36.011.144.1(P P P 3f5f2f1=?++=++=-f P