2020年江西省中考数学试卷(附答案与解析)

绝密★启用前

2020年江西省初中学业水平考试

数 学

说明：1.全卷满分120分，考试时间120分钟.

2.请将答案写在答题卡上，否则不给分.

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1.3-的倒数是

（ ）

A .3

B .3-

C .1

3

- D .13

2.下列计算正确的是

（ ）

A .3

2

5

a a a += B .3

2

a a a -= C .326a a a ?=

D .32a a a ÷=

3.教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报，经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50 175亿元，比上年增长8.74%，将50 175亿用科学记数法表示为

（ ）

A .115.0 17510?

B .125.0 17510?

C .130.50 17510?

D .140.50 17510?

4.如图，1265∠=∠=?，335∠=?，则下列结论错误的是

（ ）

A .A

B CD ∥

B .30B ∠=?

C .2C EFC ∠+∠=∠

D .CG FG ＞ 5.如图所示，正方体的展开图为

（ ）

A

B

C

D

6.在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线223y x x =--与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，连接AB ，将Rt OAB △向右上方平移，得到Rt O A B '''△，且点O '，A '落在抛物线的对称轴上，点B '落在抛物线上，则直线A B ''的表达式为 （ ）

A .y x =

B .1y x =+

C .1

2y x =+ D .2y x =+

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7.计算：()2

1x -=________．

8.若关于x 的二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为________．

9.公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是________．

10.祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献，胡老师对圆周率的小数点后100位数字进行了如下

那么，圆周率的小数点后100位数字的众数为________．

-------------在------------------

此------------------

卷------------------

上-------------------

答-------------------

题-------------------

无-------------------

效-------------

---

毕业学校_____________姓名________________考生号_____________________________________________

11.如图，AC 平分DCB ∠，CB CD =，DA 的延长线交BC 于点E ，若49EAC ∠=?，则BAE ∠的度数为________．

12.矩形纸片ABCD ，长8 cm AD =，宽 4 cm AB =，折叠纸片，使折痕经过点B ，交AD 边于点E ，点A 落在点'A 处，展平后得到折痕BE ，同时得到线段'BA ，'EA ，不再添加其它线段，当图中存在30?角时，AE 的长为________厘米．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13.（本题共2小题，每小题3分）

（1）计算：2

1(13)|2|2-??

---+ ???

；

（2）解不等式组：3215 2.x x -??-?

≥，

＞

14.先化简，再求值：221111x

x x x x ??-÷ ?--+??

，其中2x =． 15.某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员，小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试． （1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为________；

（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率． 16.如图，在正方形网格中，ABC △的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺．．．．．．．．

完成以下作图（保留作图痕迹）．

（1）在图1中，作ABC △关于点O 对称的'''A B C △；

（2）在图2中，作ABC △绕点A 顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的

'''A B C △．

图1

图2

17.放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元．

（1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；

（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的

文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=?，顶点A ，B 都在反比例函数()0k

y x x

=

＞的图象上，直线AC x ⊥轴，垂足为D ，连结OA ，OC ，并延长OC 交AB 于点E ，当2AB OA =时，点E 恰为AB 的中点，若45AOD ∠=?，

22OA =．

（1）求反比例函数的解析式； （2）求EOD ∠的度数．

19.为积极响应教育部“停课不停学”的号召，某中学组织本校优秀教师开展线上教学，

经过近三个月的线上授课后，在五月初复学，该校为了解学生不同阶段学习效果，决定随机抽取八年级部分学生进行两次跟踪测评，第一次是复学初对线上教学质量测评，第二次是复学一个月后教学质量测评，根据第一次测试的数学成绩制成频数分布直方图（图1）

图1

图2

根据以上图表信息，完成下列问题：

（1）m =________；

（2）请在图2中作出两次测试的数学成绩折线图，并对两次成绩作出对比分析（用

一句话概述）；

（3

）某同学第二次测试数学成绩为78分，这次测试中，分数高于78分的至少有

________人，至多有________人；

（4）请估计复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人

数．

20.如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长120 mm AB =，支撑板长80 mm CD =，底座长

90 mm DE =，托板AB 固定在支撑板顶端点C 处，且40 mm CB =，托板AB 可绕点

C 转动，支撑板C

D 可绕点D 转动．

（结果保留小数点后一位） （1）若80DCB ∠=?，60CDE ∠=?，求点A 到直线DE 的距离；

（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把AB 绕点C 逆时针旋转10后，再将CD 绕

点D 顺时针旋转，使点B 落在直线DE 上即可，求CD 旋转的角度．（参考数据：

sin400.643?≈，cos400.766?≈，tan400.839?≈，sin26.60.448?≈，cos26.60.894?≈，tan26.60.500?≈

1.732≈）

图1

图2

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.已知MPN ∠的两边分别与圆O 相切于点A ，B ，

O 的半径为r ．

（1）如图1，点C 在点A ，B 之间的优弧上，80MPN ∠=?，求ACB ∠的度数；

（2）如图2，点C 在圆上运动，当PC 最大时，要使四边形APBC 为菱形，APB

∠的度数应为多少？请说明理由； （3）若PC 交

O 于点D ，求第（2）问中对应的阴影部分的周长．．

（用含r 的式子表示）．

图1

图2

备用

22.已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部-------------在------------------

此------------------

卷------------------上-------------------

答-------------------

题-------------------

无-------------------

效-------------

---

毕业学校_____________姓名________________考生号

_____________________________________________

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为________； （2）求抛物线的表达式及m ，n 的值；

（3）请在图1中画出所求的抛物线，设点P 为抛物线上的动点，OP 的中点为'P ，

描出相应的点'P ，再把相应的点'P 用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

（4）设直线y m =（2m -＞）与抛物线及（3）中的点P'所在曲线都有两个交点，

交点从左到右依次为1A ，2A ，3A ，4A ，请根据图象直接写出线段1A ，2A ，

3A ，4A 之间的数量关系________．

图1

备用

六、本大题共12分

23.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：

图1 图2 图3

类比探究

（1）如图2，在Rt ABC △中，BC 为斜边，分别以AB ，AC ，BC 为斜边向外侧作

Rt ABD △，

Rt ACE △，Rt BCF △，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S

之

间的关系式为________； 推广验证

（2）如图3，在Rt ABC △中，

BC 为斜边，分别以

AB

，

AC ，BC 为边向外侧作任

意ABD △，ACE △，BCF △，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用

（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=?，90ABC ∠=?，

AB =2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=?，PE =求五边形ABCDE 的面积．

图4

2020年江西省初中学业水平考试

数学答案解析

一、

1．【答案】C

【解析】3

-的倒数为

1

3 -．

故选：C．

【考点】倒数

2.【答案】D

【解析】解：A.32

a a

+，不能合并，故此选项错误；

B.32

a a

-，无法计算，故此选项错误；

C.325

a a a

?=，故此选项错误；

D.32

a a a

÷=，故此选项正确；

故选：D．

【考点】同底数幂的乘除法运算，合并同类项

3.【答案】B

【解析】解：将数字50 175亿用科学记数法表示为12

5 017 500 000 000 5.0 17510

=?，故本题选B．

【考点】科学记数法

4.【答案】C

【解析】1265

∠=∠?

=

∵，

AB CD

∴∥，故选项A正确；

335?

∠=

∵，

35

EFB=?

∠

∴，

又1EFB B

∠=∠+∠，

1653530

B EFB

∠=∠-∠=?-?=?

∴，故选项B正确；

AB CD

∵∥，

30

C B

∠?

∠==

∴，

3530

??

∵＞，

3C

∠∠

∴＞

CG FG

∴＞，故选项D正确；

335?

∠=

∵，3180

EFC

∠+∠=?

1

18035145

EFC?-?=?

∠=

∴，

而2306595145

C

∠+∠=+=≠

????

2

C EFC

∠+∠≠∠

∴，故选项C错误．

故选C．

【考点】平行线的判定与性质，三角形外角的性质

5.【答案】A

【解析】A中展开图正确；

B中对号面和等号面是对面，与题意不符；

C中对号的方向不正确，故不正确；

D中三个符号的方位不相符，故不正确；

故答案选A．

【考点】正方体的展开图

6.【答案】B

【解析】解：当0

y=时，2230

x x

--=，解得

1

1

x=-，

2

3

x=，

当0

x=时，3

y=-，

()

A03

-

∴,，()

B30,，

对称轴为直线1

2

b

x

a

=-=，

经过平移，'A落在抛物线的对称轴上，点B'落在抛物线上，

∴三角形Rt OAB

△向右平移1个单位，即B'的横坐标为314

+=，当4

x=时，242435

y=-?-=，

()

B'4,5

∴，三角形Rt OAB

△向上平移5个单位，

此时()

'01,35

A+-+，()

'1,2

A

∴，

设直线''

A B的表达式为y kx b

=+，

代入()'1,2A ，()'4,5B ， 可得254k b k b =+??

=+?，解得：1

1k b =??=?

，

故直线''A B 的表达式为1y x =+， 故选：B ．

【考点】二次函数的图象，与坐标轴的交点坐标，图形的平移，待定系数法求一次函数

表达式 二、

7.【答案】221x x -+

【解析】解：()2

2121x x x -=-+． 【考点】平方差公式 8.【答案】2-

【解析】解：将1x =代入一元二次方程2

20x kx --=有：120k --=，1k =-，方程

2+20x x -=，(2)(1)0x x +-=，即方程的另一个根为2x =-；故本题的答案为2-．

【考点】一元二次方程用已知根求方程未知系数，利用因式分解法解一元二次方程 9.【答案】25

【解析】根据图形可得：两位数十位上数字是2，个位上的数字是5， 因此这个两位数是2105125?+?=， 故答案为：25．

【考点】有理数的混合运算 10.【答案】9

【解析】解：由题目的频数分布表可观察到数字9的频数为14，出现次数最多； 故本题答案为9． 【考点】众数的定义 11.【答案】82°

【解析】解：如图，连接BD ，延长CA 与BD 交于点F ， AC ∵平分DCB ∠，CB CD =， CF BD ⊥∴，DF BF =

CF ∴是BD 的垂直平分线， AB AD =∴， DAF BAF ∠=∠∴，

49EAC ∠=?∵，

49DAF BAF EAC ∠=∠=∠=?∴， 180494982BAE ∠=?-?-?=?∴，

故答案为：82°

【考点】等腰三角形的性质

12.

或【解析】当30ABE ∠=?时， 4 cm AB =∵，90A ∠=?，

tan30AE AB =??=

∴ 当30AEB ∠=?时，则60ABE ∠=? 4 cm AB =∵，90A ∠=?，

tan60AE AB =??=∴厘米；

或 【考点】折叠的性质，解直角三角形，分类讨论 三、

13.【答案】解：（1

）2

1(1|2|2-??

--+ ???

=124-+ 3=；

（2）32152x x -??

-?

≥①

＞②

由①得：1x ≥ 由②得：3x ＜

所以该不等式组的解集为：13x ≤＜． 【解析】具体解题过程参照答案． 【考点】实数的运算，不等式组的解法 14.【答案】解：原式=()()()()2111111x x x

x x x x x ?

?+-÷

?

?-+-++????

， ()()21111x x x

x x x --=÷

-++， ()()11

11x x x x x

-+=

?

-+， 1x

=

，

把x 代入上式得， 原式

． 【解析】具体解题过程参照答案． 【考点】分式的化简求值 15.【答案】（1）1

4

（2）分别记小贤、小艺、小志、小晴为A ，B ，C ，D ， 画树状图如下：

一共有12种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级的有2种可能， 所以：两名同学均来自八年级的概率21

.126

P =

= 【解析】（1）由概率公式得：随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为14

，故答

案为：1

4

．

（2）具体解题过程参照答案．

【考点】简单随机事件的概率，利用画树状图求解复杂的随机事件的概率 16.【答案】（1）如图1所示；

（2

）根据勾股定理可计算出AB =5AC =，再作图，如图2所示．

【解析】具体解题过程参照答案． 【考点】复杂-应用与设计，勾股定理

17.【答案】（1）解：设单独购买一支笔芯的价格为x 元，一本笔记本的价格为y 元， 有3219726x y x y +=??

+=?，解得3

5x y =??=?

；

故笔记本的单价为5元，单独购买一支笔芯的价格为3元． （2）两人共有金额1926247++=元，

若两人共购买10支笔芯（一盒），3本笔记本，由题目已知整盒买比单支买每支可优惠

0.5元，

故两人买到各自的文具需要花费10 2.53540?+?=（元），剩余47407-=（元），可购买

两件单价为3元的小工艺品；

故只有当两人一同购买笔芯，享受整盒购买优惠，即可能让他们既买到各自的文具，又

都买到小工艺品．

【解析】具体解题过程参照答案． 【考点】二元一次方程组的求解 四、

18.【答案】（1）AD x ⊥∵轴，45AOD ∠=?

，OA = 2AD OD ==∴，

()2,2A ∴，

∵点A 在反比例函数图象上，

224k =?=∴，

即反比例函数的解析式为4

y x

=

． （2）ABC ∵△为直角三角形，点E 为AB 的中点， AE CE EB ==∴，2AEC ECB ∠=∠， 2AB OA =∵， AO AE =∴，

2AOE AEO ECB ∠=∠=∠∴， 90ACB ∠=?∵，AD x ⊥轴，

BC x ∴∥轴，

ECB EOD ∠=∠∴， 2AOE EOD ∠=∠∴，

45AOD ∠=?∵，

11

4533

EOD AOD ∠=∠=??=15?∴．

【解析】具体解题过程参照答案．

【考点】反比例函数的解析式，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三

角形的性质 19.【答案】（1）14 （2）

通过第一次和第二次测试情况发现，复学初线上学习的成绩大部分在70分以下，复学后

线下学习的成绩大部分在70分以上，说明线下上课的情况比线上好； （3）20 34 （4）14+6

=3202+8+10+15+10+4+1

800?

（人）

答：复学一个月后该校800名八年级学生数学成绩优秀（80分及以上）的人数为320人． 【解析】（1）由图1可知总人数为：281015104150++++++=人，所以

50133815614m =------=人；

（2）具体解题过程参照答案．

（3）由统计表可知，至少14620+=人，至多15146134++-=人； （4）具体解题过程参照答案．

【考点】条形统计图，折线统计图与统计表，读懂统计图

20.【答案】（1）如图所示，过点A 作AM DE ⊥，CN DE ⊥，CP AM ⊥， 则90CPM CMD CND ∠=∠=∠=?，

120 mm AB =∵，40 mm CB =， 80 mm AC =∴，

又80DCB =?∠∵，60CDE ∠=?， 100ACD ∠=?∴，120CDM ∠=?， 360909012060PCD =?-?-?-?=?∠∴， 1006040ACP ?∠=-?=?∴，

sin40800.64351.44πm AP AC =??=?=∴，

又60CDN =?∵，80 mm CD =

，sin 608069.28 mm CN CD =??==≈∴ 69.2851.44120.72120.7 mm AM =+=≈∴． ∴点A 到直线DE 的距离是120.7 m m ．

（2）如图所示，

根据题意可得90DCE ∠=?，40 mm CB =，80 mm CD =，

401

tan 802

BC CDB DC ∠=

==∴，26.6CDB ∠=?∴， 根据（1）可得60CDE ∠=?， CD ∴旋转的角度6026.633.4=?-?=?．

【解析】具体解题过程参照答案． 【考点】解直角三角形的应用 五、

21.【答案】（1）如图1，连接OA 、OB PA ∵，PB 为O 的切线

90PAO PBO ∠=∠=?∴

180AOB MPN ∠+∠=?∴ 80MPN ∠=?∵

180100AOB MPN ∠=?-∠=?∴

100501

2

AOB ACB ∠=?=∠=?∴；

（2）当60APB ∠=?时，四边形APBC 为菱形，理由如下： 如图2：连接OA 、OB

由（1）可知180AOB APB ∠+∠=? 60APB ∠=?∵ 120AOB ∠=?∴ 60ACB APB ∠=?=∠∴

∵点C 运动到PC 距离最大

PC ∴经过圆心

PA ∵、PB 为O 的切线 ∴四边形APBC 为轴对称图形

PA PB =∵，CA CB =，PC 平分APB ∠和ACB ∠

60APB ACB ∠=∠=?∴

30APO BPO ACP BCP ∠=∠=∠=∠=?∴ PA PB CA CB ===∴ ∴四边形APBC 为菱形；

.

（3）O ∵的半径为r OA r =∴，2OP r =

AP =∴，PD r =

60AOP ∠=?∵

60ππ

1803

AD r l r ?==?∴

π13D C PA PD l r α?=++=+??阴影∴．

【解析】具体解题过程参照答案．

【考点】圆的切线的性质，圆周角定理，菱形的判定，弧长公式

22.【答案】（1）由表可知：1x =，0y =；0x =，3y =-，2x =，3y =-可知抛物线开

后方向向上；

由表可知：0x =，3y =-；2x =，3y =-，可知抛物线的对称轴为：02

12

x +== 故答案为：上，1x =

（2）由表可知：代入点(1,0)-，(0,3)-，(2,3)-得 03

423a b c c a b c -+=??=-??++=-?，解得1

23a b c =??

=-??=-?

∴抛物线的表达式为：223y x x =--

当2x =-时，2

(2)2(2)35m =--?--=

当1x =时，2

12134n =-?-=- （3）作图如下：

OP 中点P '连接后的图象如图所示：为抛物线

（4）如图所示：可得14122334A A A A A A A A =++

【解析】具体解题过程参照答案． 【考点】二次函数的探究题

23.【答案】（1）ABC ∵△是直角三角形， 222AB AC BC +=∴，

ABD ∵△、ACE △、BCF △均为直角三角形，且123∠=∠=∠，

Rt Rt Rt ABD ACE BCF ∴△∽△∽△，

2123S AB S BC =

∴，2

22

3S AC S BC =， 22222

12122222

3331S S S S AC AB AC AB BC S S S BC BC BC BC +++==+===∴ 312S S S =+∴得证．

（2）成立，理由如下：

ABC ∵△是直角三角形， 222AB AC BC +=∴，

∵在ABD △、ACE △、BCF △中，123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，

∴ABD ACE BCF △∽△∽△，

2123S AB S BC =

∴，2

22

3S AC S BC =， 2222212122222

3331S S S S AC AB AC AB BC S S S BC BC BC BC +++==+===∴ 312S S S =+∴得证．

（3）过点A 作AH BP ⊥于点H ，连接PD ，BD ， 30ABH ∠=?∵

，AB =

AH =∴3BH =，60BAH ∠=?

105BAP ∠=∵， 45HAP ∠=?∴，

PH AH ==∴

AP =∴

3BP BH PH =+=，

2ABP

BP AH S ?==△∴

PE =∵2ED =，

PE AP ==∴

ED AB =

， PE ED AP AB =∴， 105E BAP ∠=∠=?∵， ABP EDP ∴∽△，

45EPD APB ∠=∠=?∴

，

PD PE BP AP ==

90BPD ∠=?∴

，1PD =

213PED ABP S S =?==

△△∴，

32BPD BP PD S ?=

==+△

tan PD PBD BP ∠=∵， 30PBD ∠=?∴

90ABC ∠=?∵，30ABP ∠=? 30DBC ∠=?∵ 105C ∠=?∵

ABP EDP CBD ∵△∽△∽△

2BCD ABP EPD S S S =+=+△△△∴

(2(37BCD ABP EPD BPD ABCD S S S S S =+++=+++=△△△△四边形

故最后答案为7．

【解析】具体解题过程参照答案．

【考点】相似三角形的性质，不规则四边形面积的计算