高中数学-基本计数原理复习
高二数学(选修2-3人教B版)-计数原理全章总结
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和. 解：（2）由通项可知，展开式的第三项是
T3 C52 13 (2x)2 40x2
所以，第三项的系数为40.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
表示？
(a b)n (a b)(a b) (a b)
n个a b
Tr1 Cnr anr br
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
例6、求 (1 2x)5的展开式的：
（1）第三项的二项式系数； （2）第三项的系数； （3）所有项的系数和.
解：首先将A、B、C、D排成一排，共有 A44 种排法，每一种
排法都会产生五个“空”，在这五个“空”中任选一个，将E
放入，共有 C51 种方法；其次，E中的两个元素可以交换，有 A22
种方法.
所以，共有 A44 C51 A22 240 种不同的排法.
问题4 (a b)n 的展开式中的系数为什么可以用组合数的形式
（
Cm n1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Cmn
Cm1 n
）？
作业： 1.一个集合由8个元素组成，这个集合含有3个元素的子集有多 少个？ 2.将6名应届大学毕业生分配到两个用人单位，每个单位至少 两人，一共有多少种不同的分配方案？ 3.求 (9x 1 )18 展开式的常数项，并说明它是展开式的第几项.
3x
入，共有 A43 种排法. 所以，一共有A33 A43 144 种不同的排法.
例5、有6位同学站成一排，符合下列各题要求的不同排法有多 少种？ （2）甲、乙相邻. 解：（2） 设除甲、乙之外的另外四个同学为A、B、C、D. 因为甲、乙要相邻，所以可以把甲、乙“绑”在一起看作一个 元素(记为E).
人教B版高中数学选择性必修第二册精品课件 第3章 排列、组合与二项式定理 3.1.1 基本计数原理
规律方法 应用两个计数原理解题的策略 对于两个计数原理的综合应用问题,一般是先分类再分步.分类时要设计好 标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏;分步时要注意步与步之间的连续 性,同时应合理设计步骤的顺序,使各步互不干扰.也可以根据题意合理地 画出示意图或者列出表格,使问题的实质直观地显现出来,从而便于我们 解题.
变式探究 本例中条件不变,求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数 的个数.
解 当个位数字是8时,十位数字取9,只有1个. 当个位数字是6时,十位数字可取7,8,9,共3个. 当个位数字是4时,十位数字可取5,6,7,8,9,共5个. 同理可知,当个位数字是2时,共7个. 当个位数字是0时,共9个. 由分类加法计数原理知,符合条件的个数为1+3+5+7+9=25.
过关自诊 1.从甲地到乙地,一天中有5个班次的火车、12个班次的客车、3个班次的 飞机,还有6个班次的轮船.某人某天要从甲地到乙地,则他不同出行方式的 选法种数是( A ) A.26 B.60 C.18 D.1 080 解析 由分类加法计数原理知有5+12+3+6=26种不同的选法.故选A.
2.[北师大版教材习题改编]在平面直角坐标系中,确定若干个点,点的横坐 标取自集合P={1,2,3},点的纵坐标取自集合Q={1,4,5,6},这样的点共有
探究点二 利用分步乘法计数原理解题
【例2】 现要排一份5天的值班表,每天有1人值班,共有5人,每人都可以值 多天班或不值班,但相邻两天不准由同一人值班,问此值班表有多少种不同 的排法? 解 先排第一天,可排5人中任意一人,有5种排法; 再排第二天,此时不能排第一天已排的人,有4种排法; 再排第三天,此时不能排第二天已排的人,有4种排法; 同理第四、五天均有4种排法.
分步乘法计数原理-高中数学知识点讲解
分步乘法计数原理1．分步乘法计数原理【知识点的认识】1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第 1 步有m 种不同的方法，做第 2 步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n 种不同的方法．2．推广：完成一件事需要分成n 个步骤：做第 1 步有m1 种不同的方法，做第 2 步有m2 种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×m n 种不同的方法．3．特点：完成一件事的n 个步骤相互依存，必须依次完成n 个步骤才能完成这件事；4．注意：与分类加法计数原理区别分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点计算“完成一件事”的方法种数不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方案中的每一种方法都每步依次完成才算完成这件能独立完成这件事事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整【解题步骤】如果完成一件事情有n 个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．实现步骤：（1）分步；（2）对每一步的方法进行计数；（3）用分步乘法计数原理求积；【命题方向】1/ 2与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．例：从 1，2，3，4，5，6，7 这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）A.432B.288C.216D.108分析：本题是一个分步计数原理，先从 4 个奇数中取 2 个再从 3 个偶数中取 2 个共C42C32，再把 4 个数排列，其中是奇数的共A21A33 种，根据分步计数原理得到结果．解答：∵由题意知本题是一个分步计数原理，第一步先从 4 个奇数中取 2 个再从 3 个偶数中取 2 个共C42C32＝18 种，第二步再把 4 个数排列，其中是奇数的共A21A33＝12 种，∴所求奇数的个数共有 18×12＝216 种．故选C．点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．2/ 2。
2021年上海高中数学 第三轮复习讲义 第17讲 计数原理、排列组合与二项式定理
第17讲排列组合与二项式定理一、考点剖析：1．排列有序、组合无序；分类为加、分步为乘2．排列数、组合数计算公式你还记得吗？组合数的性质你知道吗？①排列数公式：)()!(!)1()2)(1(n m m n n m n n n n P m n ≤-=+---= ②组合数公式：)()!(!!123)2)(1()1()2)(1(n m P P m n m n m m m m n n n n C m m m n m n ≤=-⋅=⋅⋅--+---= ③)()1(321!N n nn n P P n n n ∈⋅-⋅⋅=== ；1!0=；10=n C ；m n n m n C C -=；m n m n m n C C C 11+-=+；11--=m n m n C mn C ；()!!1!n n n n -+=⋅3．解排列组合问题的依据：分类相加；分步相乘；有序排列；无序组合。
4．解排列组合的基本方法：枚举法、捆绑法、插入法、排除法；5．解排列组合的基本思想：先选后排。
6．解排列组合问题的注意点：①必须先确定类型，然后才能进行计算；②特殊元素、特殊位置要优先考虑；例1将5封信投入3个邮筒，则不同的投法共有种。
例2在平面直角坐标系中，由六个点()0,0，()2,1，()1,2--，()2,1--，()4,2，()3,6，可以确定三角形的个数为例3设A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共有10个点，以这些点为顶点，可以构成个三角形。
例4某人射击8枪，命中4枪，4枪命中中恰好有3枪连在一起的不同种数为例5已知3人坐在一排8个座位上，若每人的左右两边都有空位，则不同的坐法有种。
例6现有某种产品10只，其中4只为次品，6只为正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情况种数是7、公式：n n n k k n k n n n n n n n n b C b a C b a C b aC a C b a ++++++=+--- 222110)(n ∈N 等号右边的表达式叫做二项展开式，共1+n 项；通项公式：k k n k n k b a C T -+=1(0,1,2,,)k n = ;其中：k n C (0,1,2,,)k n = 叫做二项式系数；8、二项式系数的性质：(0,1,2,,)k n = ①在二项展开式中，与首、尾“等距离”的两项的二项式系数相等，即：k n nk n C C -=；②在二项展开式中，所有的二项式系数之和等于：n 2，即：n n n n n n n C C C C 2)11(210=+=++++ ；奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和等于：12-n ，即：15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C N n ∈；9、在二项展开式中：①当n 为偶数时⇒共有1+n 项⇒第12+n 项的二项式系数最大，即2nn C ；②当n 为奇数时⇒共有1+n 项⇒第21+n 项和第23+n 项的二项式系数最大，即21-n n C ，21+n n C ；10、注意点：①注意二项式系数、项的系数、以及项与项之间的联系与区别；②在二项展开式的化简计算中，注意特殊值的选取；二、满分提醒：1、解排列组合问题的依据，原则，关键：（1）解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合；（2）解排列组合问题的原则是：三先三后，先分类后分步；先特殊后一般，先组合后排列；（3）解排列组合问题的关键是注意分类讨论。
高中数学计数原理公式
高中数学计数原理公式
高中数学中的计数原理公式包括排列公式、组合公式和多重集合的组合公式。
排列公式：
排列公式是用来计算从n个不同元素中取出r个元素进行排列
的方法数。
根据排列公式，用下述方式表示：
P(n, r) = n! / (n-r)!
其中，n!表示n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1。
组合公式：
组合公式是用来计算从n个不同元素中取出r个元素进行组合
的方法数。
根据组合公式，用下述方式表示：
C(n, r) = n! / (r!*(n-r)!)
其中，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示(n-r)的阶乘。
多重集合的组合公式：
多重集合是指元素可以重复取出的集合。
在多重集合中，从n
个不同元素中取出r个元素进行组合的方法数由下述公式给出：C(r+n-1, r) = (r+n-1)! / (r!*(n-1)!)
其中，r+n-1表示总共的元素个数。
这些计数原理公式在高中数学的排列组合等知识中经常用到，可以帮助解决各类与元素选取、排列组合相关的问题。
高中数学计数原理
高中数学计数原理计数原理是数学中的一个重要概念，它在解决组合、排列和概率等问题时起着至关重要的作用。
在高中数学教学中，计数原理的应用也是非常广泛的。
本文将对高中数学计数原理进行系统的介绍和讲解，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
一、基本概念。
计数原理是指在一定条件下，通过对个体进行分类、分解、排列和组合等方法，确定事件的总数的一种数学方法。
在实际问题中，常常需要根据计数原理来确定某一事件的发生总数。
在计数原理中，最基本的概念就是排列和组合。
排列是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。
而组合是指从给定的n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。
二、排列。
1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，这个过程称为排列。
2. 排列的计算公式为Anm=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
在实际问题中，排列常常用于解决有序排列的问题，比如从5个不同的球中取出3个球，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方式。
三、组合。
1. 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，不考虑顺序，这个过程称为组合。
2. 组合的计算公式为Cnm=n!/(m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1。
在实际问题中，组合常常用于解决不考虑顺序的问题，比如从8个不同的人中选出3个人组成一个委员会，共有多少种不同的组合方式。
四、应用举例。
1. 案例一，某班有10名学生，要从中选出3名学生组成一个小组，问共有多少种不同的组合方式？解答，根据组合的计算公式，Cn3=10!/(3!(10-3)!)=120，所以共有120种不同的组合方式。
高中数学知识点-计数原理-排列与组合-排列及排列数公式(区一等奖)
排列(一)【目的】1.理解排列、排列数的概念.2.了解排列数公式的推导,培养学生化归的数学思想方法.3.能用排列数公式计算排列数.【过程】：一、复习引入1.分类计数原理和分步计数原理及其区别(“分类”、“分步”完成一件事)2.用分步计数原理计算下面两个问题.(用多媒体显示教材上的问题1、问题2)问题1分析:分2步完成,第1 步,确定参加上午活动的同学,有3种方法;第2步,确定参加下午活动的同学,有2种方法,根据分步计数原理,共有3×2=6种方法.问题2分析:仿问题1分析 引入新课二、新课1.排列和排列数的概念从以上两个实例的结果中,引出排列和排列数的概念一般地,从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数.指出:1)排列定义中包括:a.取出元素,b.按照一定顺序排列.因此,两个排列相同,必须它们的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.2)排列和排列数是两个既有联系又有区别的两个概念.3)排列数用m n A 表示.2.排列数公式的推导提问:从n 个不同的元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少? 3n A 呢?分析:求2n A 化归为从n 个元素中任取2个填入排好顺序的2个空位.分两步进行:第1步,填第1个位置的元素,有n 中方法;第2步,填第2个位置的元素,有(n-1)种方法.根据分步计数原理共有n(n-1)种方法,从而)1(2-=n n A n. 求3n A (仿求2n A 的方法)得)2)(1(3--=n n n A n2n A 、3n A 后,求出用同样的方法,求m n A第1位 第3位 第2位 第2位 第1位第1位 第2位 第3位 第m 位所以得到公式:这里*,N m n ∈,且n m ≤,这个公式叫做排列数公式.公式特点:左边第一个因数是n ,后面的每个因数都比它前面一个因数少1,最后一个因数为1+-m n ,共有m 个因数相乘.3.例题:例1 (教材91页例1)通过例1的讲解,使学生熟悉公式,掌握公式的特点.引伸:1)若451617⨯⨯⨯⨯= m nA ,则=n ,=m .(17,14) 2)若N n ∈,则)69)(68()57)(56)(55(n n n n n ----- 用排列数符号表示为 .(1569n A -)3)若33210n n A A =,则=n .( 8 )例2 写出从A,B,C,D 四个元素中任取两个元素的所有排列.分析:如何不重不漏地写出所有的排列－－树图.4.练习:教材第94页练习1、2、3题三、小结:1.排列的定义中包含下列两个基本内容(1)选元素 从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素,要注意被取的元素是什么?取出的元素是什么?即明确m,n.(2)排顺序 将取出的m 个元素按照一定顺序排成一列,是排列问题的基本属性.2.排列数公式要抓住其特点,能用它求排列数.3.如何写出符合条件的所有排列:一般先分类,后分步,用画树图的方法,逐一写出所有的排列.4.注意分步思想在本节中的应用.四、作业:教材第95页 习题第1、3、4题.。
【全程复习方略】2013版高中数学 (主干知识+典例精析)11.1基本计数原理课件 理 新人教B版
【例2】(2012·烟台模拟)如图，电路中共有7个电阻与一个电 灯A，若灯A不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况？
【解题指南】每条支线至少同时有一个电阻断路，灯A就不亮. 故应分别计算三条支线电阻断路情况，再用分步乘法计数原理 求解.
【规范解答】每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到
对其中一边分类讨论；(2)对十位数字进行分类或对个位数字
进行分类.
【规范解答】(1)用x，y表示另两边长，且不妨设1≤x≤y≤11，
要构成三角形，必须x＋y≥12. 当y取值11时，x＝1,2,3，„，11，可有11个三角形；当y取值 10时，x＝2,3，„，10，可有9个三角形；„当y取值6时，x只 能取6，只有一个三角形． 由分类加法计数原理知：符合条件的三角形个数是： 11+9+7+5+3+1=36(个)，故共有36个.
第一节 基本计数原理
三年8考
高考指数:★★★
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些
简单的实际问题.
1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是考查重点，在考查
两个计数原理的同时还考查分类讨论的思想；
2.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点交汇则以解答题
进行分类讨论.
【易错误区】对“至多”与“至少”的理解出现偏差致误 【典例】(2011·北京高考)用数字2，3组成四位数，且数字2，3 至少都出现一次，这样的四位数共有______个.(用数字作答) 【解题指南】先求出所有的四位数的个数，再去掉不满足条件的.
【规范解答】用数字2，3可以组成24=16个四位数.其中，只由2可