人教a版必修4学案：2.2.1向量加法运算及其几何意义(含答案)

§2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量加法运算及其几何意义

自主学习

知识梳理

1．向量加法的定义

求____________的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是一个向量． 2．向量的加法法则 (1)三角形法则

如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →

＝b ，则向量__________

叫做a 与b 的和(或和向量)，记作__________，即a ＋b ＝AB →＋BC →

＝________.上述求两个向量和的方法，叫做向量加法的三角形法则．

对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝______＋______＝______. (2)平行四边形法则

如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以________，________为邻边作______________，则对角线上的向量________＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．

(3)多边形法则

已知n 个向量，依次把这n 个向量首尾相连，以第一个向量的______为始点，第n 个向

量的________为终点的向量叫做这n 个向量的和向量．即A 1A 2→＋A 2A 3→＋…＋A n A →

n ＋1＝__________.这个法则叫做向量求和的多边形法则．

3．向量加法的运算律

(1)交换律：a ＋b ＝__________.

(2)结合律：(a ＋b )＋c ＝__________.

自主探究

根据向量加法的三角形法则完成下列填空．

当向量a 与b __________时，总有：|a ＋b |<|a |＋|b |. 当向量a 与b ____________时，总有：|a ＋b |＝|a |＋|b |. 当向量a 与b __________时，总有：|a ＋b |＝||a |－|b ||. 此时，若|a |≥|b |，则有|a ＋b |＝____________； 若|a |≤|b |，则有|a ＋b |＝__________.

总之，对于任意向量a 、b ，总有：______________≤|a ＋b |≤__________.

对点讲练

知识点一 运用向量加法法则作和向量

例1 如图所示，已知向量a 、b ，求作向量a ＋b .

回顾归纳 作两向量和，若用三角形法则，要保持两向量“首尾相接”；若用平行四边形法则，要保持两向量的起点相同．

变式训练1

如图所示，已知向量a 、b 、c ，试作和向量a ＋b ＋c .

知识点二 运用向量加法法则化简和向量

例2 化简： (1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →.

回顾归纳 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．

变式训练2 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．

(1)AB →＋AD →

＝________； (2)AC →＋CD →＋DO →

＝________； (3)AB →＋AD →＋CD →

＝________； (4)AC →＋BA →＋DA →

＝________.

1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．

2．向量的加法满足交换律和结合律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行.

课时作业

一、选择题

1．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( )

A.AB →＝CD →，BC →＝AD →

B.AD →＋OD →＝DA →

C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →

D.AB →＋BC →＋CD →＝DA →

2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →

，则( ) A ．四边形ABCD 一定是矩形 B ．四边形ABCD 一定是菱形 C ．四边形ABCD 一定是正方形

D ．四边形ABCD 一定是平行四边形

3．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，则AB →＋BC →＋AC →

的模等于( ) A ．0 B ．5 C.13 D ．213

4. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →

等于( )

A.BD →

B.DB →

C.BC →

D.CB →

5. 如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →

|等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．2 3

二、填空题

6．已知|AB →|＝3，|BC →|＝5，则|AC →

|的取值范围是________．

7．已知点G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →

＝________.

8．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：

(1)DE →＋EA →

＝________； (2)BE →＋AB →＋EA →

＝______； (3)DE →＋CB →＋EC →

＝______；

(4)BA →＋DB →＋EC →＋AE →

＝______.

三、解答题

9．一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．

10．求证：三角形的三条中线构成的向量首尾相连正好构成一个三角形．

§2.2 平面向量的线性运算 2．2.1 向量加法运算及其几何意义

答案

知识梳理

1．两个向量和

2．(1)AC → a ＋b AC →

0 a a

(2)OA OB 平行四边形 OC →

(3)始点 终点 A 1A n ＋1 3．(1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 自主探究

不共线 共线且同向 共线且反向 |a |－|b | |b |－|a | ||a |－|b || |a |＋|b | 对点讲练

例1 解 方法一 在平面内任取一点O ，如图1所示，作OA →＝a ，AB →

＝b ， 则OB →

＝a ＋b .

图1 图2

方法二 在平面内任取一点O ，如图2所示，作OA →＝a ，OB →

＝b ，以OA 、OB 为邻边作

?OACB ，连接OC ，则OC →＝OA →＋OB →

＝a ＋b .

变式训练1 解 如图所示，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB

→

＝c ，则向量OB →就是a ＋c ，即OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ，则向量OC →

＝a ＋b ＋c 为所求和向量．

例2 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →

. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →

＝0.

(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AC →＋CD →＋DF →＋F A →＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →

＝0.

变式训练2 (1)AC → (2)AO → (3)AD →

(4)0 课时作业 1．C

2．D [∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →

，

即BC 綊AD .∴四边形ABCD 是平行四边形．]

3．D [|AB →＋BC →＋AC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →

| ＝2AB 2＋BC 2＝213.]

4．C [BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋AB →＋BA →

＝BC →.]

5．B [|AB →＋FE →＋CD →|＝|AB →＋BC →＋CD →

| ＝|AD →

|＝2.] 6．[2,8]

解析 |AC →|＝|AB →＋BC →|≤|AB →|＋|BC →

|＝8， 且|AC →|＝|AB →＋BC →|≥||AB →|－|BC →

||＝2.

∴2≤|AC →

|≤8. 7．0

解析 如图所示，连接AG 并延长交BC 于E 点，点E 为BC 的中点，延长AE 到D 点， 使GE ＝ED ，

则GB →＋GC →＝GD →，GD →＋GA →

＝0， ∴GA →＋GB →＋GC →

＝0.

8．(1)DA → (2)0 (3)DB → (4)DC → 9．解