高中数学概率教案
15.3.2独立事件的概率-年苏教版(2019)高中数学必修第二册同步教案(学生版+教师版)
编号：039 课题:§15.3.2 独立事件的概率目标要求1、理解并掌握独立事件的概念．2、理解并掌握事件独立性的判断．3、会求相互独立事件的概率．4、理解并掌握独立事件概率的应用.学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：求相互独立事件的概率；难点：独立事件概率的应用．教学过程基础知识点独立事件(1)定义:一般地,如果事件A 是否发生不影响事件B 发生的概率,那么称A ,B 为相互独立事件.(2)独立事件的概率计算公式: A ,B 相互独立⇔P (AB )=P (A )P (B ).说明:若A ,B 相互独立,则A 与B ,A 与B 也相互独立.【课前基础演练】题1.（多选．．）下列命题正确．．的是 ( ) A . 不可能事件与任何一个事件相互独立.B . 必然事件与任何一个事件相互独立.C . “P (AB )=P (A )·P (B )”是“事件A ,B 相互独立”的充要条件.D . 若事件A 和B 为独立事件,则()()()P AB P A P B =+.题2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为 ( )A.1-a-bB.1-abC.(1-a)(1-b)D.1-(1-a)(1-b)题3.甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为0.35,乙译出密码的概率为0.25,则恰有1人译出密码的概率为________.关键能力·合作学习类型一事件独立性的判断(逻辑推理)【题组训练】题4.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则事件A1与2A是 ( )A.相互独立事件B.不相互独立事件C.互斥事件D.对立事件题5.抛掷3枚质地均匀的硬币,若A={既有正面向上又有反面向上},B={至多有1枚反面向上},则A与B ( )A.是互斥事件B.是对立事件C.是相互独立事件D.不是相互独立事件题6.若121(),(),()933P AB P A P B===,则事件A与B的关系是 ( )A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又独立【解题策略】两事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B相互独立.类型二求相互独立事件的概率(逻辑推理、数学运算)【典例】题7.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.8,乙破译密码的概率为0.7.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;(2)求恰有一人破译密码的概率;(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下: 【跟踪训练】题8.甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为13和14,求:(1)2个人都译出密码的概率;(2)2个人都译不出密码的概率;(3)至多1个人译出密码的概率.类型三独立事件概率的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】题9.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24;两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.【解题策略】求解概率综合应用问题的思路(1)“大化小”,即将问题化为若干个彼此互斥或相互独立的事件.(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立,只有相互独立才能运用乘法公式.(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,若遇到“至少…”或“至多…”等概率问题,可从求对立事件的概率计算.【跟踪训练】题10.A,B,C三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,已知他们能达标的概率分别是431,,552,则三人都能达标的概率是________,三人中至少有一人能达标的概率是________. 题11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为231,,543,若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检测,则(1)三人都合格的概率;(2)三人都不合格的概率;(3)出现几人合格的概率最大.课堂检测·素养达标题12.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为 ( )A.0.28B.0.12C.0.42D.0.16题13.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B 表示“第二次摸得白球”,则A与B是 ( )A.互斥事件B.相互独立事件C.对立事件D.不相互独立事件题14.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是 ( )A.1425B.1225C.34D.35题15.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是________.题16.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为12,求灯亮的概率.编号：039 课题:§15.3.2 独立事件的概率目标要求1、理解并掌握独立事件的概念．2、理解并掌握事件独立性的判断．3、会求相互独立事件的概率．4、理解并掌握独立事件概率的应用.学科素养目标通过本章学习，使学生充分感受大千世界中的随机现象，并了解到不仅确定性现象有规律、可以预知结果，可以用数学方法去研究，而且不确定性现象也是有规律可循，能够用数学方法进行研究的．从而使学生对客观世界、自然科学和社会科学的看法和认识更深入、全面，初步形成用科学的态度、辩证的思想，用随机的观念去观察、分析和研究客观世界的态度，寻求并获得认识世界的初步知识和科学方法．重点难点重点：求相互独立事件的概率；难点：独立事件概率的应用．教学过程基础知识点独立事件(1)定义:一般地,如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率,那么称A,B为相互独立事件. (2)独立事件的概率计算公式: A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B).说明:若A,B相互独立,则A与B,A与B也相互独立.【课前基础演练】题1.（多选．．的是 ( )．．）下列命题正确A. 不可能事件与任何一个事件相互独立.B. 必然事件与任何一个事件相互独立.C. “P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互独立”的充要条件.D . 若事件A 和B 为独立事件,则()()()P AB P A P B =+.【答案】选ABC提示:A √.不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.B √.必然事件的发生对任何一个事件的发生没有影响.C √.根据相互独立的定义可知正确.D ×.若事件A 和B 为独立事件,则()()()P AB P A P B =⋅.题2.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为 ( )A .1-a -bB .1-abC .(1-a )(1-b )D .1-(1-a )(1-b )【解析】选C .设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,则P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).题3.甲、乙两人独立地破译某个密码,甲译出密码的概率为0.35,乙译出密码的概率为0.25,则恰有1人译出密码的概率为________.【解析】记甲,乙两人译出密码分别为事件A ,B ,则P (A )=0.35,P (B )=0.25,恰有一人译出密码为事件AB AB +,所以()()()()()P AB AB P A P B P A P B +=+=0.35×(1-0.25)+0.25×(1-0.35)=0.425. 答案:0.425关键能力·合作学习类型一 事件独立性的判断(逻辑推理)【题组训练】题4.一袋中装有5只白球,3只黄球,在有放回地摸球中,用A 1表示第一次摸得白球,A 2表示第二次摸得白球,则事件A 1与2A 是 ( )A .相互独立事件B .不相互独立事件C .互斥事件D .对立事件 【解析】选A .由题意可得2A 表示第二次摸到的不是白球,即2A 表示第二次摸到的是黄球,由于采用有放回地摸球,故每次是否摸到黄球互不影响,故事件1A 与2A 是相互独立事件. 题5.抛掷3枚质地均匀的硬币,若A ={既有正面向上又有反面向上},B ={至多有1枚 反面向上},则A 与B ( )A.是互斥事件B.是对立事件C.是相互独立事件D.不是相互独立事件【解析】选C.抛掷3枚质地均匀的硬币的样本空间Ω={(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)},事件A中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反),(反,反,正),因此3()4P A=,事件B中所含的样本点为(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此1()2P B=,事件AB中所含的样本点为(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),因此3()8P AB=,因此P(AB)=P(A)P(B),即事件A、B相互独立.题6.若121(),(),()933P AB P A P B===,则事件A与B的关系是 ( )A.事件A与B互斥B.事件A与B对立C.事件A与B相互独立D.事件A与B既互斥又独立【解析】选C.因为2()3P A=,所以1()3P A=,又11(),()39P B P AB==,所以有P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与B相互独立但不一定互斥.【解题策略】两事件是否相互独立的判断(1)直接法:由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响;(2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,则事件A,B相互独立.类型二求相互独立事件的概率(逻辑推理、数学运算)【典例】题7.甲、乙二人独立破译同一密码,甲破译密码的概率为0.8,乙破译密码的概率为0.7.记事件A:甲破译密码,事件B:乙破译密码.(1)求甲、乙二人都破译密码的概率;(2)求恰有一人破译密码的概率;(3)小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下:解:“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”,所以随机事件“密码被破译”可以表示为A+B,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5.请指出小明同学错误的原因并给出正确解答过程.【解题策略】求相互独立事件概率的步骤(1)确定各事件之间是相互独立的.(2)确定这些事件可以同时发生.(3)求出每个事件发生的概率,再根据相互独立事件的概率计算公式求解. 【跟踪训练】题8.甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为13和14,求:(1)2个人都译出密码的概率;(2)2个人都译不出密码的概率;(3)至多1个人译出密码的概率.【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A ,“乙独立地译出密码“为事件B ,A 与B 为相互独立事件,且11(),()34P A P B ==. (1)“2个人都译出密码”的概率为:111()()()3412P AB P A P B ==⨯=. (2)“2个人都译不出密码”的概率为:111()()()[1()][1()](1)(1)342P AB P A P B P A P B ==--=--=. (3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”,所以至多1个 人译出密码的概率为:11111()1()()13412P AB P A P B -=-=-⨯=. 类型三 独立事件概率的应用(逻辑推理、数学建模)【典例】题9.随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24;两人租车时间都不会超过三小时. (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.【思路导引】(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,求出概率,由此利用互斥事件概率加法公式能求出所付费用相同的概率.(2)先分析两人费用之和大于或等于8的事件所包含的事件,由此能求出两人费用之和大于或等于8的概率.【解析】(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元.都付2元的概率为1111428P =⨯=; 都付4元的概率为2111248P =⨯=;都付6元的概率为31114416P =⨯=;故所付费用相同的概率为1231115881616P P P P =++=++=. (2)设两人费用之和为8,10,12的事件分别为A ,B ,C ,1111115()44242416P A =⨯+⨯+⨯=;11113()442416P B =⨯+⨯=;111()4416P C =⨯=. 设两人费用之和大于或等于8的事件为W ,则W =A +B +C ,所以,两人费用之和大于或等于8的概率5319()()()()16161616P W P A P B P C =++=++=. 【解题策略】求解概率综合应用问题的思路 (1)“大化小”,即将问题化为若干个彼此互斥或相互独立的事件.(2)运用概率的加法公式和乘法公式求解,在运用乘法公式时一定要注意是否满足相互独立,只有相互独立才能运用乘法公式.(3)正难则反,间接处理.在求事件的概率时,若遇到“至少…”或“至多…”等概率问题,可从求对立事件的概率计算.【跟踪训练】题10.A ,B ,C 三人将参加某项测试,三人能否达标互不影响,已知他们能达标的概率分别是431,,552,则三人都能达标的概率是________,三人中至少有一人能达标的概率是________. 【解析】A ,B ,C 三人将参加某项测试,三人都能达标的概率是431655225⨯⨯=;A ,B ,C 三人将参加某项测试,都没有达标的概率是4311(1)(1)(1)55225-⨯-⨯-=,因此A ,B ,C 三人将参加某项测试,三人中至少有一人能达标的概率是12412525-=. 答案:6242525题11.某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100m 跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为231,,543,若对这三名短跑运动员的100 m 跑的成绩进行一次检测,则(1)三人都合格的概率;(2)三人都不合格的概率;(3)出现几人合格的概率最大.【解析】记“甲、乙、丙三人100 m 跑成绩合格”分别为事件A ,B ,C ,显然事件 A ,B ,C 相互独立,则231(),(),()543P A P B P C ===. 设恰有k 人合格的概率为(0,1,2,3)k P k =, (1)三人都合格的概率:32311()()()()54310P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=. (2)三人都不合格的概率: 03121()()()()54310P P ABC P A P B P C ===⨯⨯=.(3)恰有两人合格的概率:223221133123()()()54354354360P P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=. 恰有一人合格的概率10231231255111060106012P P P P =---=---==. 综合(1)(2)(3)可知1P 最大.所以出现恰有1人合格的概率最大.课堂检测·素养达标题12.在某次考试中,甲、乙通过的概率分别为0.7,0.4,若两人考试相互独立,则甲未通过而乙通过的概率为 ( )A .0.28B .0.12C .0.42D .0.16【解析】选B .甲未通过的概率为0.3,则甲未通过而乙通过的概率为0.3×0.4=0.12. 题13.袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,用A 表示“第一次摸得白球”,用B 表示“第二次摸得白球”,则A 与B 是 ( )A .互斥事件B .相互独立事件C .对立事件D .不相互独立事件【解析】选D .互斥事件是在一定条件下不可能同时发生的事件,故可判断A ,B 不互斥,则也不对立,事件A 发生对事件B 的概率有影响,故A 与B 是不相互独立事件.题14.打靶时,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若两人同时射击一个目标,则他们同时中靶的概率是 ( )A .1425B .1225C .34D .35【解析】选A .因为甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,所以P (甲)45=,P (乙)710=,所以他们都中靶的概率是471451025P =⨯=. 题15.某光学仪器厂生产的透镜,第一次落地打破的概率为0.3;第一次落地没有打破,第二次落地打破的概率为0.4;前两次落地均没打破,第三次落地打破的概率为0.9.则透镜落地3次以内(含3次)被打破的概率是________.【解析】透镜落地3次,恰在第一次落地打破的概率为10.3P =,恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =⨯=,恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =⨯⨯=,所以落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=.答案:0.958题16.已知电路中有4个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为12,求灯亮的概率.【解析】因为A,B断开且C,D至少有一个断开时线路才断开,导致灯不亮,11113 ()[1()]()()[1()](1)222216P P AB P CD P A P B P CD=-=-=⨯⨯-⨯=.所以灯亮的概率为313 11616 -=.。
高中数学第3章概率3.3几何概型(2)教案苏教版必修3
3.3 几何概型第2课时导入新课设计思路一：〔问题导入〕以下图是卧室与书房地砖示意图，图中每一块地砖除颜色外完全一样，小猫分别在卧室与书房中自由地走来走去.在哪个房间里，小猫停留在黑砖上概率大？卧室〔书房〕设计思路二：〔情境导入〕在概率论开展早期，人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果随机试验是不够，还必须考虑有无限多个试验结果情况.例如一个人到单位时间可能是8：00 至9：00之间任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中任何一点……这些试验可能出现结果都是无限多个.推进新课新知探究对于导入思路一：由于地砖除颜色外完全一样，小猫自由地走来走去，因此，小猫可能会停留在任何一块地砖上，而且在任何一块地砖上停留可能性一样，对于这样一个随机事件概率，有如下结论：对于一个随机试验，如果我们将每个根本领件理解为从某特定几何区域内随机地抽取一点，而该区域内每一点被取到时机都一样，这样就可以把随机事件与几何区域联系在一起.如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型与古典概型一样也是一种等可能事件概率模型，它特点是：〔1〕试验中所有可能出现结果，也就是根本领件有无限多个. 〔2〕根本领件出现可能性相等.实际上几何概型是将古典概型中有限性推广到无限性，而保存等可能性，这就是几何概型.几何概型概率计算方法如下：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内〞为事件A ，那么事件A 发生概率为P(A)= .这里要求D 测度不为0，其中“测度〞意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形与立体图形时，相应“测度〞分别是长度、面积与体积等.对于导入思路二：〔1〕几何概率模型：如果每个事件发生概率只与构成该事件区域长度〔面积或体积〕成比例，那么称这样概率模型为几何概率模型.〔2〕几何概型概率公式：P 〔A 〕=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A . 〔3〕几何概型特点：1°试验中所有可能出现结果〔根本领件〕有无限多个.2°每个根本领件出现可能性相等.应用例如思路1例1 取一个边长为2a 正方形及其内切圆〔如下图〕，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内概率.分析：由于是随机丢豆子，故可以认为豆子落入正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，豆子落入圆中概率应该等于圆面积与正方形面积比.解：记“豆子落入圆内〞为事件A ，那么 P(A)=4422ππ==a a 正方形面积圆的面积. 答：豆子落入圆内概率为4π.点评：在解题时，首先要区分是古典概型还是几何概型，这两种随机事件概率类型虽然每一个事件发生都是等可能，但是几何概型是有无数个根本领件情形，古典概型是有有限个根本领件情形.此外，本例可以利用计算机模拟，过程如下：〔1〕在Excel 软件中，选定A1，键入“=〔rand 〔〕-0.5〕*2”. 〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞.选定A2～A1 000，B1～B1 000，按“ctrl+V〞.此时，A1～A1 000，B1～B1 000均为［-1，1］区间上均匀随机数.〔3〕选定D1，键入“=power 〔A1，2〕+ power 〔B1，2〕〞；再选定D1，按“ctrl+C〞；选定D2～D1 000，按“ctrl+V〞，那么D列表示A2+B2.〔4〕选定F1，键入“=IF〔D1＞1，1，0〕〞；再选定F1，按“ctrl+C〞；选定F2～F1 000，按“ctrl+V〞，那么如果D列中A2+B2＞1，F列中值为1，否那么F列中值为0.〔5〕选定H1，键入“FREQUENCY〔F1：F10，0.5〕〞，表示F1～F10中小于或等于0.5个数，即前10次试验中落到圆内豆子数；类似，选定H2，键入“FREQUENCY〔F1：F20，0.5〕〞，表示前20次试验中落到圆内豆子数；选定H3，键入“FREQUENCY 〔F1：F50，0.5〕〞，表示前50次试验中落到圆内豆子数；选定H4，键入“FREQUENCY〔F1：F100，0.5〕〞，表示前100次试验中落到圆内豆子数；选定H5，键入“FREQUENCY〔F1：F500，0.5〕〞，表示前500次试验中落到圆内豆子数；选定H6，键入“FREQUENCY〔F1：F1 000，0.5〕〞，表示前1 000次试验中落到圆内豆子数.〔6〕选定I1，键入“H1*4/10〞，表示根据前10次试验得到圆周率π估计值；选定I2，键入“H2*4/10〞，那么I2为根据前20次试验得到圆周率π估计值；类似操作，可得I3为根据前50次试验得到圆周率π估计值，I4为根据前100次试验得到圆周率π估计值，I5为根据前500次试验得到圆周率π估计值，I6为根据前1 000次试验得到圆周率π估计值.如图：例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC概率.分析：在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度.那么原问题就转化为求AM小于AC′概率.所以，当点M 位于以下图中线段AC′上时，AM＜AC，故线段AC′即为区域d.区域d测度就是线段AC′长度，区域D测度就是线段AB长度.解：在AB上截取AC′=AC.于是P(AM<AC)=P(AM<AC′)=.2.答：AM小于AC′概率为2变式训练：假设将例2改为：如以下图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM小于AC概率.解：此时，应该看作射线CM落在∠ACB内部是等可能.公式中区域D是∠ACB〔内部〕，而区域d求法应该与原题是一样，即在线段AB上取一点C′，使得线段AC′长度等于线段AC长度〔如图〕，那么区域d就是∠ACC′〔内部〕.从而区域d测度就是∠ACC′度数，区域D测度就是∠ACB度数.∠ACC′==67.5°，所以所求事件概率为.点评：由此可见，背景相似问题，当等可能角度不同时，其概率是不一样.此题可参考习题3.3第6题.例3 (会面问题)甲、乙二人约定在12 点到下午5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去.设二人在这段时间内各时刻到达是等可能，且二人互不影响.求二人能会面概率.分析：两人相约时间都是5小时，设X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，因此，0≤X≤5,0≤Y≤5，这样两人到达时刻就构成一个正方形，而两人能会面必须满足|X －Y|≤1，而这个不等式所表示是一个带状，位于正方形内图形，由于两人到达时刻是随机，而且，在每一个时刻到达可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：记A={二人能会面}.以 X ,Y 分别表示甲、乙二人到达时刻，于是0≤X≤5,0≤Y≤5,即点M 落在图中阴影局部.所有点构成一个正方形，即有无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达都是等可能，所以落在正方形内各点是等可能，符合几何概型条件.二人会面条件是：|X －Y|≤1,故正方形面积为5×5=25，阴影局部面积为5-2×21×42259. 点评： 建立适当数学模型，是解决几何概型问题关键.对于“碰面问题〞可以模仿此题建立数学模型.例4 如图，随机投掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不扎在黑色靶心，也不扎在两个区域之间，更不会脱靶，求飞镖扎在以下区域概率：(1)编号为25区域；(2)编号在6到9之间区域；(3)编号为奇数区域.〔每一个小区域面积一样〕分析：由于飞镖是随机投掷到靶子上，并且落在靶子每一个位置可能性一样，因此，符合几何概型特点.解： 假设靶子每一个区域面积为1个单位，那么靶子所在圆面积为28个单位.〔1〕记事件A 为“飞镖扎在编号为25区域〞，那么P(A)= 281. 〔2〕记事件B 为“飞镖扎在编号为6到9之间区域〞，那么P(B)= .〔3〕记事件C 为“飞镖扎在编号为奇数区域〞，那么P(C)=.答：〔1〕飞镖扎在编号为25区域概率为281；(2)飞镖扎在编号在6到9之间区域概率为71；(3)飞镖扎在编号为奇数区域概率为21. 点评：仔细研读题目，从题目提供信息进展分析，寻找适当解题方法，是解决此题要害所在.思路2例1 在1 L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病种子，从中随机取出10 mL ，含有麦诱病种子概率是多少分析：病种子在这1 L 种子中分布可以看作是随机，取得10 mL 种子可视为区域d ，所有种子可视为区域D.解：取出10 mL 麦种，其中“含有病种子〞这一事件记为A ，那么 P(A)=1001100010==所有种子的体积取出种子的体积. 答：含有麦诱病种子概率为1001. 点评：由于病种子是随机地处在容器中，它可以位于容器任何一个位置，而且在每一个位置可能性一样，符合几何概型特点，所以运用几何概型概率计算方法来解决此题.例2 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)概率是多少？分析：由于两人到达与离开时刻是随机，而且，在每一个时刻到达或离开可能性是一样，因此，符合几何概型所具有特点，可以运用几何概型概率计算方法来计算.解：如图，以横坐标x表示报纸送到时间，纵坐标y表示父亲离家时间建立平面直角坐标系，假设随机试验落在方形区域内任何一点是等可能，所以符合几何概型条件.根据题意，只要点落到阴影局部，就表示父亲在离开家前能得到报纸，即事件A发生，所以P(A)==87.5%.点评：建立适当数学模型，该模型符合几何概型特点，这是解答此题关键所在.另外我们还可以运用计算机产生随机数来模拟该试验.设X是0到1之间均匀随机数，Y也是0到1之间均匀随机数.如果Y+7＞X+6.5，即Y＞X-0.5，那么父亲在离开家前能得到报纸.计算机模拟方法：〔1〕选定A1，键入函数“=rand〔〕〞；〔2〕选定A1，按“ctrl+C〞，选定A2～A50，B1～B50，按“ctrl+V〞.此时，A1～A50，B1～B50均为［0，1］区间上均匀随机数.用A列数加7表示父亲离开家时间，B列数加6.5表示送报人送到报纸时间.如果A+7＞B+6.5，即A-B＞-0.5，那么表示父亲在离开家前能得到报纸.〔3〕选定D1，键入“=A1-B1”；再选定D1，按“ctrl+C〞，选定D2D50，按“ctrl+V〞.〔4〕选定E1，键入函数“=FREQUENCY〔D1：D50，-0.5〕〞，E1表示统计D列中小于或等于-0.5数个数，即父亲在离开家前不能得到报纸频数.〔5〕选定F1，键入“=〔50-E1〕/50.F1表示统计50次试验中，父亲在离开家前能得到报纸频率.下面是我们在计算机上做50次试验，得到结果是P(A)=0.88，如图：例3 假设一个直角三角形两直角边长都是0到1之间随机数，试求斜边长小于34事件概率.分析：由于直角边长是0到1之间随机数，因此设两直角边长分别为x,y，而x,y满足0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，x,y可以落在0≤x≤1,0≤y≤1所表示图形任何一个位置，而且在每个位置可能性一样，满足几何概型特点.解：设两直角边长分别为x,y，那么0≤x≤1,0≤y≤1，斜边长=，如右图，样本空间为边长是1正方形区域，而满足条件事件所在区域面积为.因此，所求事件概率为P=.点评：根据条件，构造满足题目条件数学模型，再运用几何概型概率计算方法来计算某个事件发生概率，是一种常用求解概率问题方法.例4 甲、乙两人相约于中午12点到13点之间在某一个地方碰面，并约定先到者等候20分钟后可以离开，试设计模拟方法估计两人能碰面概率.分析：当两人到达碰面地点时间相差在20分钟之内时，两人能碰面.我们可以用两个转盘来模拟两人到达碰面地点时间.解： 运用转盘模拟方法.具体步骤如下：〔1〕做两个带指针〔分针〕转盘，标上刻度在0到60来表示时间，如右图；〔2〕每个转盘各转m 次，并记录转动得到结果，以第一个转盘结果x 表示甲到达碰面地点时间，以第二个转盘结果y 表示乙到达碰面地点时间；〔3〕统计两人能碰面〔满足|x －y|<20〕次数n ；〔4〕计算m n 值，即为两人能碰面概率近似值〔理论值为95〕. 点评：实施模拟方法除了转盘模拟方法外，还可以运用现代信息技术即计算机来模拟，具体操作如下：〔1〕新建一个电子表格文件，在A1位置输入：=RAND( )60，产生一个0到60随机数x ；〔2〕将A1位置处表达式复制到B1处，这样又产生一个0到60随机数y ；〔3〕在C1位置处输入：=IF 〔A1-B1<=-20，0，IF 〔A1-B1<20，1，0〕，判断两人能否碰面〔即是否满足|x －y|<20〕，如果是，就返回数值1，否那么返回数值0；〔4〕将第一行三个表达式复制100行，产生100组这样数据，也就是模拟了100次这样试验，并统计每次结果；〔5〕在C101处输入：=SUM(C1:C100)/100统计这100次重复试验中正好两人能碰面频率，即事件“两人能碰面〞发生概率近似值.知能训练课本本节练习4、5.解答:4.设A={射线OA落在∠xOT内}.因为射线OA落在∠xOT内是随机，也就是射线OA可以落在∠xOT内任意一个位置，这符合几何概型条件，区域d测度是60，区域D测度是360，根据几何概型概率计算公式，得P(A)=.5.运用计算机模拟结果大约为2.7左右.点评：根据实际问题背景，判断是否符合几何概型特点，如是那么选择符合题意“测度〞，运用求几何概型概率方法来解决问题，此外我们还可以设计符合问题模拟方法来模拟得到问题近似解.课堂小结在这节课上我们主要是运用几何概型求解一些问题概率，以及运用模拟方法求某一个事件概率近似值.结合上节课内容可以知道，几何概型概率问题仍然是随机事件概率，与古典概型区别是古典概型所含根本领件个数是有限个，而几何概型所包含根本领件个数是无限.对于几何概型我们着重研究如下几种类型：〔1〕与长度有关几何概型；〔2〕与面积有关几何概型；〔3〕与体积有关几何概型；(4)与角度有关几何概型.其中我们对与面积有关几何概型与与体积有关几何概型要求重点掌握.作业课本习题3.3 4、5、6.设计感想几何概型是区别于古典概型又一随机事件概率模型，在解决实际问题时首先根据问题背景，判断该事件是属于古典概型还是几何概型，这两者区别在于构成该事件根本领件个数是有限个还是无限个.在使用几何概型概率计算公式时，一定要注意其适用条件：每个事件发生概率只与构成该事件区域长度成比例.随机数在日常生活中，有着广泛应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣量〔如概率值、常数〕有关，然后设计适当试验，并通过这个试验结果来确定这些量.这种方法也是我们研究问题常用方法.习题详解1.记A={灯与两端距离都大于2 m}.因为把一盏灯挂在绳子上位置是随机，也就是说灯挂在绳子上位置可以是绳子上任意一点，这符合几何概型条件，根据P=，得P(A)= .答：灯与两端距离都大于2 m概率为13.2.记A={所投点落入小正方形内}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入大正方形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入小正方形内概率应该等于小正方形内面积与大正方形面积比，即 P(A)=943222==大正方形面积小正方形面积. 答：所投点落入小正方形内概率为94.3.记A={所投点落在梯形内部}.由于是随机投点，故可以认为所投点落入矩形内任意一点都是时机均等，这符合几何概型条件，可以看成几何概型.于是利用几何概型求概率公式，所投点落入梯形内部概率应该等于梯形面积与矩形面积比，即 P(A)=125)2131(21=⨯⨯+⨯=b a b a a 矩形面积梯形面积. 答：所投点落在梯形内部概率为125. 4.设A={该点落在正方形内}.因为该点落在正方形内是随机，也就是该点可以落在正方形内任意一个位置，这符合几何概型条件，根据几何概型求概率计算公式，得P(A)=. 答：乘客到达站台立即乘上车概率为π21. 5.分析：直接求“硬币落下后与格线有公共点〞概率比拟困难，可以考虑先求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，再求“硬币落下后与格线有公共点概率〞.解：因为直径等于2 cm 硬币投掷到正方形网格上是随机，也就是硬币可以落在正方形网格上任意一个位置，这符合几何概型条件.要求“硬币落下后与格线无公共点〞概率，根据几何概型求概率计算公式：P(A)=，因为每个小正方形边长都等于6 cm ，硬币直径为2 cm ，设有n 个小正方形，那么区域d 测度为n·π·12，区域D 测度n·62，故“硬币落下后与格线无公共点〞概率为，而事件“硬币落下后与格线有公共点〞是“硬币落下后与格线无公共点〞对立面，所以事件“硬币落下后与格线有公共点〞概率为1－36π.答：硬币落下后与格线有公共点概率为1－36π.6.贝特朗算出了三种不同答案，三种解法似乎又都有道理.人们把这种悖论称为概率悖论，或贝特朗奇怪论.贝特朗解法如下：解法一：任取一弦AB ，过点A 作圆内接等边三角形〔如图1〕.因为三角形内角A 所对弧，占整个圆周31.显然，只有点B 落在这段弧上时，AB 弦长度才能超过正三角形边长a ，故所求概率是31.解法二：任取一弦AB ，作垂直于AB 直径PQ.过点P 作圆内接等边三角形，交直径于N ，并取OP 中点M 〔如图2〕.容易证明QN=NO=OM=MP.我们知道，弦长与弦心距有关.一切与PQ 垂直弦，如果通过MN 线段，其弦心距均小于QN ，那么该弦长度就大于等边三角形边长，故所求概率是21.解法三：任取一弦AB.作圆内接等边三角形内切圆〔如图3〕，这个圆是大圆同心圆，而且它半径是大圆21，它面积是大圆4141. 图1 图2 图3细细推敲一下，三种解法前提条件各不一样：第一种假设了弦端点在四周上均匀分布；第二种假设弦中点在直径上均匀分布；第三种假设弦中点在小圆内均匀分布.由于前提条件不同，就导致三种不同答案.这是因为在那时候概率论一些根本概念〔如事件、概率及可能性等〕还没有明确定义，作为一个数学分支来说，它还缺乏严格理论根底，这样，对同一问题可以有不同看法，以致产生一些奇谈怪论.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案随机事件的概率1
第四节 随机事件的概率事件与概率了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意 义，了解频率与概率的区别． 了解两个互斥事件的概率加法公式． 知识点一 概率与频率1．在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A 发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫作随机事件A 的概率，记作P (A )．2．频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值．3．概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率：P (A )＝1. (3)不可能事件的概率：P (A )＝0.易误提醒 易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．[自测练习]1．给出下列三个命题，其中正确命题有________个．①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是37；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．解析：①错，不一定是10件次品；②错，37是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．答案：02．某城市2015年的空气质量状况如下表所示：污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130100<T ≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2015年空气质量达到良或优的概率为________．解析：由题意可知2015年空气质量达到良或优的概率为P ＝110＋16＋13＝35.答案：35知识点二 互斥事件和对立事件 事件定义性质互斥事件在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A 与B 称作互斥事件P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，(事件A ，B是互斥事件)；P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )(事件A 1，A 2，…，A n 任意两个互斥)对立事件在一个随机试验中，两个试验不会同时发生，并且一定有一个发生的事件A 和A 称为对立事件P (A )＝1－P (A )易误提醒 互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．[自测练习]3．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”． A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③解析：从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．答案：A4．运动会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为( )A.310B.58C.710D.25解析：从1,2,3,4,5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.答案：A考点一 事件的关系|1．一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A ∩B ＝{出现点数1或3}，事件A ，B 不互斥也不对立；B ∩C ＝∅，B ∪C ＝Ω，故事件B ，C 是对立事件．答案：D2．设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P (A )＋P (B )＝1”，则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P (A )＋P (B )＝1.设掷一枚硬币3次，事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“3次出现正面”，则P (A )＝78，P (B )＝18，满足P (A )＋P (B )＝1，但A ，B 不是对立事件．答案：A3．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A ．至多有一张移动卡B ．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，故选A.答案：A集合法判断互斥事件与对立事件的方法1．由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．2．事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．考点二随机事件的概率|(2015·高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：日123456789101112131415 期天晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴气日161718192021222324252627282930 期天晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨气．．．(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天．．开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨．．．的概率．[解](1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.1．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．解析：由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为1432＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.答案：32 0.437 5考点三 互斥事件与对立事件的概率|某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A ，B ，C .求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [解] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120.(2)因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝11 000＋1100＋120＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)P (A ∪B )＝1－P (A ＋B )＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P (A )＝1－P (A )求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便．2．根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率； (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．解：记A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D 表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．(1)由题意得P (A )＝0.5，P (B )＝0.3，又C ＝A ∪B ， 所以P (C )＝P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.5＋0.3＝0.8.(2)因为D 与C 是对立事件，所以P (D )＝1－P (C )＝1－0.8＝0.2. 31.正难则反思想求互斥事件的概率【典例】 某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量 1至4件5至8件 9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10 结算时间(分钟/人)11.522.53(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率．(将频率视为概率)[思路点拨] 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．[解] (1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P (A 1)＝20100＝15，P (A 2)＝10100＝110.P (A )＝1－P (A 1)－P (A 2)＝1－15－110＝710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.[思想点评] (1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义． (2)正确判定事件间的关系，善于将A 转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．(3)需准确理解题意，特别留心“至多…”“至少…”“不少于…”等语句的含义．[跟踪练习] 某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( )A ．0.95B ．0.97C ．0.92D ．0.08解析：记抽检的产品是甲级品为事件A ，是乙级品为事件B ，是丙级品为事件C ，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P (A )＝1－P (B )－P (C )＝1－5%－3%＝92%＝0.92.答案：CA 组 考点能力演练1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件解析：根据对立事件与互斥事件的关系知，甲是乙的必要但不充分条件． 答案：B2．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A ．0.5B ．0.3C ．0.6D ．0.9解析：依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5. 答案：A3．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B ．“至少有一个黑球”与“都是红球”C ．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D ．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”解析：A 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B 中的两个事件是对立事件；C 中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D 中的两个事件是互斥而不对立的关系．故选D.答案：D4．(2016·云南一检)在2,0,1,5这组数据中，随机取出三个不同的数，则数字2是取出的三个不同数的中位数的概率为( )A.34 B.58 C.12D.14解析：分析题意可知，共有(0,1,2)，(0,2,5)，(1,2,5)，(0,1,5)4种取法，符合题意的取法有2种，故所求概率P ＝12.答案：C5．(2015·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15解析：已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.答案：A6．(2016·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数，从这些两位数中任取一个，其个位数为1的概率为________．解析：根据题意，个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有：10,12,14,21,23,30,32,41,50，共9个，其中个位是1的有21,41，共2个，因此所求的概率为29.答案：297．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．解析：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A 、B 、C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65，P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6， 又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35， ∴P (B )＝0.25. 答案：0.258．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.答案：19289．近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23. (2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确．事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )约为400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )约为1－0.7＝0.3.10．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：求：(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A ，“1人排队等候”为事件B ，“2人排队等候”为事件C ，“3人排队等候”为事件D ，“4人排队等候”为事件E ，“5人及5人以上排队等候”为事件F ，则事件A 、B 、C 、D 、E 、F 互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G ，则 G ＝A ∪B ∪C ，所以P (G )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H ，则H ＝D ∪E ∪F ，所以P (H )＝P (D ∪E ∪F )＝P (D )＋P (E )＋P (F )＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H ，则其对立事件为事件G ，所以P (H )＝1－P (G )＝0.44.B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：(1)(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．解：(1)设A 表示事件“赔付金额为3 000元”，B 表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得P (A )＝1501 000＝0.15，P (B )＝1201 000＝0.12.由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元，所以其概率为P (A )＋P (B )＝0.15＋0.12＝0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100辆，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24辆，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P (C )＝0.24.2．(2015·高考北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ 解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．。
高中数学教案概率分布的协方差与相关系数
高中数学教案概率分布的协方差与相关系数当定义一个新课程的数学教案时，教师需要充分了解各个主题以确保学生的学习效果。
在高中数学的课程中，概率分布的协方差和相关系数是非常重要的概念。
本文将介绍关于这两个概念的背景知识、计算方法以及在课堂上引入这些概念的教学方法。
通过合理的设计和教学，学生将能够更好地理解和应用概率分布的协方差和相关系数。
一、概率分布的协方差1.1 协方差的定义协方差是用来衡量两个随机变量（或者称为信号）之间的相关性的度量。
在概率论中，协方差可以通过以下公式计算：Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]这里，Cov(X,Y)表示变量X和Y的协方差；E表示取期望值（也就是平均值）的运算符；X-E(X)和Y-E(Y)分别表示X和Y与其期望值的偏差。
1.2 协方差的意义协方差的数值可以用来判断两个变量之间的相关性。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系；当协方差为零时，表示两个变量之间无线性相关性。
1.3 例子和计算方法为了帮助学生更好地理解协方差的概念，我们可以通过一个例子进行说明。
假设我们有两个变量X和Y，其取值分别为[2, 4, 5, 7, 9]和[3, 6, 4, 8, 10]。
首先，我们需要计算X和Y的期望值，即E(X)和E(Y)。
然后，我们根据协方差的公式计算协方差Cov(X,Y)。
最后，我们可以根据协方差的数值来判断X和Y之间的相关性。
二、概率分布的相关系数2.1 相关系数的定义相关系数是用来衡量两个变量之间线性相关程度的度量。
在概率论中，相关系数可以通过协方差和两个变量的标准差来计算：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y))这里，ρ(X,Y)表示变量X和Y的相关系数；Cov(X,Y)表示变量X 和Y的协方差；σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
2.2 相关系数的意义相关系数的取值范围是[-1, 1]，可以用来评估两个变量之间的线性关系强度。
学新教材高中数学概率与统计条件概率与事件的独立性全概率公式贝叶斯公式教案新人教B版选择性必修第二册
第２课时全概率公式、贝叶斯公式学习目标核心素养１．理解并掌握全概率公式．（重点）２．了解贝叶斯公式．（难点）３．会用全概率公式及贝叶斯公式解题．（易错点）１．通过学习全概率公式及贝叶斯公式，体会逻辑推理的数学素养．２．借助全概率公式及贝叶斯公式解题，提升数学运算的素养.有三个罐子，１号装有２红１黑球，２号装有３红１黑球，３号装有２红２黑球．某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率．问题：如何求取得红球的概率？１．全概率公式（１）P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（错误!）P（B|错误!）；（２）定理１若样本空间Ω中的事件A１，A２，…，A n满足：１任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝１,２，…，n，i≠j；２A１＋A２＋…＋A n＝Ω；３P（A i）＞0，i＝１,２，…，n.则对Ω中的任意事件B，都有B＝BA１＋BA２＋…＋BA n，且P（B）＝错误!＝错误!.思考：全概率公式体现了哪种数学思想？[提示] 全概率公式体现了转化与化归的数学思想，即采用化整为零的方式，把各块的概率分别求出，再相加求和即可．２．贝叶斯公式（１）一般地，当0＜P（A）＜１且P（B）＞0时，有P（A|B）＝错误!＝错误!.（２）定理２若样本空间Ω中的事件A１，A２，…，A n满足：１任意两个事件均互斥，即A i A j＝∅，i，j＝１,２，…，n，i≠j；２A１＋A２＋…＋A n＝Ω；３１＞P（A i）＞0，i＝１,２，…，n.则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P（A j|B）＝错误!＝错误!.拓展：贝叶斯公式充分体现了P（A|B），P（A），P（B），P（B|A），P（B|错误!），P（AB）之间的转化．即P（A|B）＝错误!，P（AB）＝P（A|B）P（B）＝P（B|A）P（A），P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（错误!）P（B|错误!）之间的内在联系．１．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）P（A）＝P（B）P（A|B）＋P（错误!）P（A|错误!）．（）（２）P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（A）P（错误!|A）．（）（３）P（A|B）＝错误!＝错误!. （）[答案] （１）√（２）×（３）×２．已知事件A，B，且P（A）＝错误!，P（B|A）＝错误!，P（B|错误!）＝错误!，则P（B）等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!C[P（B）＝P（A）P（B|A）＋P（错误!）P（B|错误!）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.故选Ｃ．]３．一袋中装有大小、形状均相同的５个球，其中２个黑球，３个白球，从中先后不放回地任取一球，则第二次取到的是黑球的概率为________．错误![设事件A，B分别表示第一、二次取到的是黑球，由古典概型可知P（A）＝错误!，P（B|A）＝错误!，P（B|错误!）＝错误!.则P（B）＝P（AB）＋P（错误!B）＝P（A）P（B|A）＋P（错误!）P（B|错误!）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.]４．对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时，其合格率为５５%. 每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为9５%.则已知某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率约是________．0.97 [设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”．P（A|B）＝0．98，P（A|错误!）＝0．５５，P（B）＝0．9５，P（错误!）＝0．0５，所求的概率为P（B|A）＝错误!≈0．97．]全概率公式及其应用（１）从甲箱中任取２个产品，求这２个产品都是次品的概率；（２）若从甲箱中任取２个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．[解] （１）从甲箱中任取２个产品的事件数为C错误!＝错误!＝２8，这２个产品都是次品的事件数为C错误!＝３．∴这２个产品都是次品的概率为错误!.（２）设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B１为“从甲箱中取出２个产品都是正品”，事件B２为“从甲箱中取出１个正品１个次品”，事件B３为“从甲箱中取出２个产品都是次品”，则事件B１、事件B２、事件B３彼此互斥．P（B１）＝错误!＝错误!，P（B２）＝错误!＝错误!，P（B３）＝错误!＝错误!，P（A|B１）＝错误!，P（A|B２）＝错误!，P（A|B３）＝错误!，∴P（A）＝P（B１）P（A|B１）＋P（B２）P（A|B２）＋P（B３）P（A|B３）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.通过本例我们发现，当直接求事件A发生的概率不好求时，可以采用化整为零的方式，即把A事件分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率.错误!１．１号箱中有２个白球和４个红球，２号箱中有５个白球和３个红球，现随机地从１号箱中取出一球放入２号箱，然后从２号箱随机取出一球，问：（１）从１号箱中取出的是红球的条件下，从２号箱取出红球的概率是多少？（２）从２号箱取出红球的概率是多少？[解] 记事件A：最后从２号箱中取出的是红球；事件B：从１号箱中取出的是红球．P（B）＝错误!＝错误!，P（错误!）＝１—错误!＝错误!.（１）P（A|B）＝错误!＝错误!.（２）∵P（A|错误!）＝错误!＝错误!，∴P（A）＝P（AB）＋P（A错误!）＝P（A|B）P（B）＋P（A|错误!）P（错误!）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.贝叶斯公式及其应用的人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有１%的人呈阳性反应．某地区此种病的患者仅占人口的0．５%.若某人化验结果为阳性，问此人确实患有此病的概率是多大？[解] 设A＝“呈阳性反应”，B＝“患有此种疾病”，则P（A）＝P（B）·P（A|B）＋P（错误!）·P （A|错误!）＝0．５%×9５%＋99．５%×１%＝１．４7%.所以P（B|A）＝错误!＝错误!＝３２．３%.利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算P（A），即P（A）＝错误!P（B i）P（A|B i）；第二步：计算P（AB），可利用P（AB）＝P（B）P（A|B）求解；第三步：代入P（B|A）＝错误!求解．错误!２．某工厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的１５%、２0%、３0%、３５%，又这四条流水线的不合格品率依次为0．0５、0．0４、0．0３及0．0２，现在从该厂产品中任取一件，问恰好抽到不合格品的概率为多少？该不合格品是由第四条流水线上生产的概率为多少？[解] 设A i＝第i条流水线生产的产品，i＝１,２,３,４；B＝抽到不合格品，∴P（A１）＝0．１５；P（A２）＝0．２0；P（A３）＝0．３0；P（A４）＝0．３５．∴P（B|A１）＝0．0５；P（B|A２）＝0．0４；P（B|A３）＝0．0３；P（B|A４）＝0．0２，（１）P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）＝0．0３１５．（２）P（A４|B）＝错误!≈0．２２２２．全概率公式与贝叶斯公式的综合应用贝叶斯公式的实质是什么？[提示] 贝叶斯公式实质上是条件概率公式P（B i|A）＝错误!，P（B i A）＝P（B i）·P（A|B i），全概率公式P（A）＝错误!P（B i）P（A|B i）的综合应用．【例３】假定具有症状S＝{S１，S２，S３，S４}的疾病有d１，d２，d３三种，现从２0 000份患有疾病d１，d２，d３的病历卡中统计得到下列数字：疾病人数出现S症状人数d１7 7５07 ５00d２５２５４２00d３7 000３５00试问当一个具有S据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？[解] 以A表示事件“患有出现S中的某些症状”，D i表示事件“患者患有疾病d i”（i＝１,２,３），由于该问题观察的个数很多，用事件的频率作为概率的近似是合适的，由统计数字可知P（D１）＝错误!＝0．３87 ５，P（D２）＝错误!＝0．２6２５，P（D３）＝错误!＝0．３５，P（A|D１）＝错误!≈0．967 7，P（A|D２）＝错误!＝0．8，P（A|D３）＝错误!＝0．５．从而P（A）＝P（A|D１）P（D１）＋P（A|D２）P（D２）＋P（A|D３）P（D３）＝0．３87 ５×0．967 7＋0．２6２５×0．8＋0．３５×0．５≈0．76．由贝叶斯公式得P（D１|A）＝错误!＝错误!≈0．４9３４，P（D２|A）＝错误!＝错误!≈0．２76 ３，P（D３|A）＝错误!＝错误!≈0．２３0 ３，从而推测病人患有疾病d１较为合理．若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：１如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；２如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率，熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效.错误!３．同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0．9５、0．90、0．80，三家产品数所占比例为２∶３∶５，将三家产品混合在一起．（１）从中任取一件，求此产品为正品的概率；（２）现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？[解] 设事件A表示“取到的产品为正品” ，B１，B２，B３分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”，由已知P（B１）＝0．２，P（B２）＝0．３，P（B３）＝0．５，P（A|B１）＝0．9５，P（A|B２）＝0．9，P（A|B３）＝0．8．（１）由全概率公式得：P（A）＝错误!P（B i）P（A|B i）＝0．２×0．9５＋0．３×0．9＋0．５×0．8＝0．86．（２）由贝叶斯公式得P（B１|A）＝错误!＝错误!≈0．２２0 9，P（B２|A）＝错误!＝错误!≈0．３１４0，P（B３|A）＝错误!＝错误!≈0．４6５１．由以上３个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大．１．全概率公式P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）在解题中体现了化整为零的转化化归思想．２．贝叶斯概率公式反映了条件概率P（B|A）＝错误!，全概率公式P（A）＝错误!P（B i）P（A|B i）及乘法公式P（AB）＝P（B）P（A|B）之间的关系．即P（B j|A）＝错误!＝错误!＝错误!.１．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0．３，0．２,0．１,0．４，迟到的概率分别为0．２５,0．３,0．１,0．则他迟到的概率为（）Ａ．0．6５Ｂ．0．07５Ｃ．0．１４５Ｄ．0C[设A１＝他乘火车来，A２＝他乘船来，A３＝他乘汽车来，A４＝他乘飞机来，B＝他迟到．易见：A１，A２，A３，A４构成一个完备事件组，由全概率公式得P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）＝0．３×0．２５＋0．２×0．３＋0．１×0．１＋0．４×0＝0．１４５．]２．两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0．0４，第二台的废品率为0．07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的２倍，现任取一零件，则它是合格品的概率为（）Ａ．0．２１Ｂ．0．06Ｃ．0．9４Ｄ．0．9５D[令B＝取到的零件为合格品，A i＝零件为第i台机床的产品，i＝１,２．由全概率公式得：P（B）＝P（A１）P（B|A１）＋P（A２）P（B|A２）＝错误!×0．96＋错误!×0．9３＝0．9５．故选Ｄ．]３．某小组有２0名射手，其中一、二、三、四级射手分别有２、6、9、３名．又若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0．8５、0．6４、0．４５、0．３２，今随机选一人参加比赛，则该小组在比赛中射中目标的概率为________．0.５２7 ５[设B＝{该小组在比赛中射中目标}，A i＝{选i级射手参加比赛}，（i＝１,２,３,４）．由全概率公式，有P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）＝错误!×0．8５＋错误!×0．6４＋错误!×0．４５＋错误!×0．３２＝0．５２7 ５．]４．袋中有１0个黑球，５个白球．现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球．若已知取出的球全是白球，则掷出３点的概率为________．0.0４8３５[设B＝{取出的球全是白球}，A i＝{掷出i点}（i＝１,２，…，6），则由贝叶斯公式，得P（A３|B）＝错误!＝错误!＝0．0４8 ３５．]５．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为错误!，错误!，错误!.现从这三个地区任抽取一个人．（１）求此人感染此病的概率；（２）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．[解] 设A i＝第i个地区，i＝１,２,３；B＝感染此病∴P（A１）＝错误!；P（A２）＝错误!；P（A３）＝错误!.∴P（B|A１）＝错误!；P（B|A２）＝错误!；P（B|A３）＝错误!.（１）P（B）＝错误!P（A i）P（B|A i）＝错误!≈0．１98，（２）P（A２|B）＝错误!＝错误!≈0．３３7．。
数学教案：古典概型的特征和概率计算公式
§2古典概型2．1 古典概型的特征和概率计算公式错误!教学分析本节课是高中数学（必修3)第三章“概率”的第二节“古典概型”的第一课时，是在随机事件的概率之后,几何概型之前,尚未学习排列组合的情况下教学的．古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位．学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率,有利于解释生活中的一些问题．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征:试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式,体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．适当地增加学生合作学习交流的机会,尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例．使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．三维目标1．根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，正确理解古典概型的两大特点;树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性地理解世界，使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．2．鼓励学生通过观察、类比，提高发现问题、分析问题、解决问题的能力，归纳总结出古典概型的概率计算公式，掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P（A）＝错误!的使用条件——古典概型，体现了化归的重要思想．掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题，增强学生数学思维情趣，形成学习数学知识的积极态度．重点难点教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率．教学难点:如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．课时安排1课时错误!导入新课思路1.（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个,即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件．（2)一个盒子中有10个完全相同的球,分别标有号码1,2，3,...，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1,2，3， (10)思考讨论根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？为此我们学习古典概型，教师板书课题．思路2。
【优教通-同步备课】高中数学(北师大版)选修2-3教案：第2章-同步检测：条件概率
2.2.1条件概率 基础训练1．已知P (B |A )=103,P (A )=51,则P (AB )=【 】A ．21B .23C ．32D .5032．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“其次位数字为0”的大事，用B 表示“第一位数字为0”的大事，则P (A |B )=【 】A .21B .31C .41D .813.在5本书，其中有3本语文书和2本数学书.假如不放回地依次抽取2 本，则在第 1 次抽到语文书的条件下，第2次抽到语文书的概率是 ．4．设某种动物有诞生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 .5．某种元件用满6000小时未坏的概率是43，用满10000小时未坏的概率是21，现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率6． 某个班级共有同学40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有同学10人，其中团员4人.假如要在班内任选一人当同学代表（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率 （2）求这个代表恰好是团员代表的概率 （3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率7． 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70％，乙厂占30％，甲厂产品合格率是95％，乙厂合格率是80％，则(1)市场上灯泡的合格率是多少？(2)市场上合格品中甲厂占百分之几？（保留两位有效数字）拓展训练1．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为【 】A .2258B .21C .83D .432．一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则（1）先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是 ； （2）先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率是 .3．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，此时问另一个小孩也是女孩的概率是 （设每个小孩是男孩和女孩的概率相等）4． 在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少？参考答案 基础训练1.D2.A3.214.215.设A ={用满10000小时未坏}，B ={用满6000小时未坏}，所以324321)()()()()|(====B P A P B P AB P B A P .6 A ={在班内任选一个同学，该同学属于第一小组}，B ={在班内任选一个同学，该同学是团员}.（1）414010)A (P ==, (2)834015)B (P ==,(3)101404)AB (P ==，（4）15483101)B (P )AB (P )B |A (P ===.7．设A ={甲厂产品}，B ={乙厂产品}，C ={合格产品}，则由题意P (A )=70％,P (B )=30％,P (C |A )=95％,P (C |B )=80％所以（1）合格率P (C )=P (AC )+P (BC )= 95％⨯70％+80％⨯30％=0.905；（2）合格品中是甲厂的概率73.0905.07.095.0P(C))AC (P )C |A (P ≈⨯==.拓展训练1.C2.（1）25；（2）14 3． 13.4．设取一件产品是不合格品为大事A ，是废品为大事B ，则)A (P )AB (P )A (P P(A))B A (P )A |B (P -==9.01.001.01.0)A (P )B (P )A (P =-=-=。
数学：2.2.1《条件概率》教案(新人教B版选修2-3)
2．2．1条件概率教学目标：知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：条件概率定义的理解教学难点：概率计算公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：一、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则 B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1 ()3 P B=.思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) .思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此(|)P B A =12=()()n AB n A .其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =()()()()()()()()n A B n A B P A B n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =.由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅. 并称上式微概率的乘法公式.2.P （·|B ）的性质：（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；（2）规范性：P （Ω|B ）=1；（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+ .更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞= 1|i i B A =)|(1B A P i i ∑∞=.例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为n （Ω）=35A =20.根据分步乘法计数原理，n (A ）=1134A A ⨯=12 ．于是 ()123()()205n A P A n ===Ω.(2）因为 n (AB)＝23A =6 ，所以()63()()2010n AB P AB n ===Ω.(3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概3()110(|)3()25P AB P B A P A ===. 解法2 因为 n (AB ）=6 , n (A ）=12 ，所以()61(|)()122P AB P B A P A ===.例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则112()A A A A = 表示不超过2次就按对密码．(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得1121911()()()101095P A P A P A A ⨯=+=+=⨯.(2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+14125545⨯=+=⨯.课堂练习.1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。
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高中数学新人教版必修3 第3章3.1 随机事件的概率 第3章 3.1.1 随机事件的概率 【学习目标】
知识与能力 1.（C层）了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念；正确理解事件A出现的频率的意义。 2.（AB层）理解并掌握随机事件、必然事件、不可能事件的概念；正确理解事件A出现的频数与频率的意义，能区分频率与概率的概念。 过程与方法 发现法教学，通过在抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高； 情感、态度、价值观 通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系。 【教学重点】 事件的分类； 【教学难点】 用概率的知识解释现实生活中的具体问题． 【教学过程设计】 一、创设情境 日常生活中，有些问题是很难给予准确无误的回答的。例如，你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等。 二、学习新知 （一）基本概念：阅读课本P108，思考： 1、什么是必然事件？什么是不可能事件？什么是确定事件？什么是随机事件？ 2、你能分别举出现实中的生活加以说明吗？ 3、什么是概率？如何才能获得随机事件发生的概率？ （二）探究活动：（抛硬币试验） 1、全班每人各取一枚同样的硬币，做10次掷硬币的试验，每人记录下试验结果，填在下表中。 姓名 试验次数 正面朝上的次数 正面朝上的比例
思考：与其他同学的试验结果比较，你的结果和他们一致吗？为什么会出现这样的情况？ 2、每个小组把本组同学的试验结果统计一下，填在下表中。 组次 试验总次数 正面朝上的总次数 正面朝上的比例
思考：与其他小组的试验结果比较，各组的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？ 3、让一个同学把全班同学的试验结果统计一下，填在下表中。 班级 试验总次数 正面朝上的总次数 正面朝上的比例
4、请把全班每个的试验中正面朝上的次数收集起来，并用条形图表示。 观察：条形图有何特点？ （三）阅读课本P110，思考： 1、什么是频数和频率？两个概念有何区别？ 2、频率的范围是什么？ 3、人工抛硬币太费时，有无更佳方法呢？ （四）计算机模拟硬币试验 请同学们观察P111表3-1及掷硬币的频率图，能发现什么规律？ （五）历史上一些掷硬币的试验结果 请同学们观察P112表3-2，能发现什么规律？ （六）思考：事件A发生的频率fn(A)是不是不变的？事件A的概率P（A）是不是不变的？它们之间有什么区别与联系？ 三、例题分析 例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？ （1）“抛一石块，下落”. （2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”； （3）“某人射击一次，中靶”； （4）“如果a＞b,那么a－b＞0”; （5）“掷一枚硬币，出现正面”； （6）“导体通电后，发热”； （7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （9）“没有水份，种子能发芽”； （10）“在常温下，焊锡熔化”． 例2 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示： 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率nm
（1）填写表中击中靶心的频率； （2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？ 分析：事件A出现的频数nA与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。 小结：概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。 四、巩固练习 P113 练习1，2， （AB层）3 五、课堂小结 概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。 六、课后作业 1．将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是（ ） A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定 2．下列说法正确的是（ ） A．任一事件的概率总在（0.1）内 B．不可能事件的概率不一定为0 C．必然事件的概率一定为1 D．以上均不对 3、一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5544 9607 13520 17190 男婴数 2883 4970 6994 8892 男婴出生的频率
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？ P124 B组3 （AB层）
第3章 3.1.2概率的意义 【学习目标】
知识与能力 1.正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率fn（A）与事件A发生的概率P（A）的区别与联系； 2.（AB层）利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题． 过程与方法 通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法． 情感、态度、价值观 培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识． 【教学重点】 概率的定义以及和频率的区别与联系 【教学难点】 用概率的知识解释现实生活中的具体问题． 【教学过程设计】 一、复习引入 （一）什么是必然事件？什么是不可能事件？什么是确定事件？什么是随机事件？ （二）什么是频数和频率？两个概念有何区别？频率的范围是什么？ （三）什么是概率？它与频率有何区别？ 二、学习新知 （一）概率的正确理解 1、思考：有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。你认为这种想法正确吗？ 2、探究： 全班同学各取一枚同样的硬币，连续两次抛掷，观察它落地后朝向，并记录结果。重复上面的过程10次，将全班同学的试验结果汇总，计算三种结果发生的频率。你有什么发现？ 3、思考：如果某种彩票的中奖概率为1/1000，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？（假设彩票有足够多的张数？ （二）游戏的公平性 1、在一场乒乓球比赛前，要决定由谁先发球，你注意到裁判是怎样确定发球权的吗？为什么要这样做？ 2、探究：青云中学高一年级有10个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动。由于某种原因，一班必须参加，另外再从二至十班中选1个班。有人提议用如下方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为此方法公平吗？ （三）决策中的概率思想 1、思考：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地均匀吗？为什么？ 2、似然法与极大似然法：见课本P116 （四）天气预报的概率解释 1、思考：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%。你认为下面两个解释哪一个能代表气象局的观点？ （1）明天本地有70%的区域下雨，有30%的区域不下雨；（2）明天本地下雨的机会是70%。 2、生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果一点雨没下，天气预报也太不准确了。”学也概率后，你能给出解释吗？ （五）试验与发现 阅读P117了解孟德尔如何经过多年碗豆试验，最终发现遗传学规律。你能作出简单的解释吗？ 三、例题 例1 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？ 例2 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。 小结：事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。 三、课堂小结 正确理解频率与概率的区别，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题． 四、课堂练习 1．下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。 每批粒数 2 5 10 70 130 700 1500 2000 3000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 282 639 1339 2715 发芽的频率
（1）完成上面表格： （2）该油菜子发芽的概率约是多少？ （AB层）P118 2，3
第3章 3.1.3 概率的基本性质 【学习目标】 知识与能力 （1）正确理解事件的包含、并事件、交事件、相等事件，以及互斥事件、对立事件的概念； （2）概率的几个基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) （AB层）正确理解和事件与积事件，以及互斥事件与对立事件的区别与联系. 过程与方法 通过事件的关系、运算与集合的关系、运算进行类比学习，培养学生的类化与归纳的数学思想。 情感、态度、价值观 通过数学活动，了解教学与实际生活的密切联系，感受数学知识应用于现实世界的具体情境，从而激发学习 数学的情趣。 【教学重点】