第三章流体运动学与动力学基础(第8节)解读

4.根据问题的要求，取选定的两个渐变流面间的液流作 为隔离体，作用在其上的外力，包括质量力的重力（不
包括惯性力，因为是在惯性系统中）以及作用在隔离体
表面上的表面力。表面力有两端断面上的液流压力及固 体边壁边对液流的压力。对固体边界附近的液流摩擦力， 通常略去不计。由于大气压力到处存在，应用动量方程 时，一律采用相对压力计算。
第三章流体运动学与动力学基础

主要内容 §3-1 研究流体流动的方法 §3-2 流体运动的基本概念 §3-3 连续性方程 §3-4 理想流体运动微分方程及伯诺利方程 §3-5 实际流体总流的伯努利方程
§3-6 泵对流体能量的增加
§3-7 系统与控制体(不讲)
§3-8 稳定流的动量方程和动量矩方程
§3-8 稳定流的动量方程和动量矩方程
Rx为负号，说明图2-43中管壁 对流体流作用力Rx方向应向左 （与假定方向相反），而流体 流对管壁作用力的x方向分量 Fx方向应该向右。
写出y方向的动量方程：
上式为管壁对流体流的作用力，则流体流对管壁作用力 的y方向分量Fy，方向应向下，其合力
合力与流体平方向夹角：
θ角为负值说明合力F向右下方作用。 通过上述例题的分析，应学会运用连续方程、能量方程 及动量方程（简称三大方程）联合应用求解问题。此题断面2 －2处产生真空，p2方向背离断面2－2；要注意投影到坐标 轴时p2方向的正负号。
量方程。该方程将运动液体与固体边壁相互间的作用力直接 同运动液体的动量变化联系起来。它的优点是不需知道流动 范围内部的流动情况，而只需知道其边界面上的流动状况 。
工程中应用动量方程来计算液流与固体边界作用力的实例 很多。例如在弯管处（图2-40a）,管道迫使液流转变方向，液
流对弯管便有一个反作用力，需要正确计算它以作为设计相应
为了便于计算这两个断面上的动流体压力和用断面平均流速表 示的断面上的动量，应使断面1－1和2－2液流符合渐变流条件。下 面分析1122流段的动量增量和作用于其上的外力之间的关系。 在外力作用下，流段1122经过微小的 时间dt后，原来在断面1－1和2－2之间 的液体，沿流动方向移动到断面1′－ 1′和2′－2′之间。由于流动是不可 压缩的恒定流，故在断面1'－1′和2′ －2′之间的液体，虽经过时段dt后， 液流质点在流动和更换，但流段1′－ 1′和2－2之间的质量和流速均保持不 变，即动量不变。所以流段在dt时间内 的动量增量，实际上就是图示两块阴影 部分222′2′和111′1′液流的动量差。
（二）螺栓所受的拉力 例2 有一流体枪，其喷流体管嘴是圆锥形的，如图2-44所 示。出口直径d2＝50mm，入口直径d1＝150mm，用螺栓与 流体平段相接。当喷射流量为60 l/s时，求管嘴作用于螺 栓上的拉力是多少?
解：
流体流通过管嘴时，对管嘴内壁作用着动流体压力p和剪切 力τ，如图2-44a所示。以管嘴为隔离体，管嘴所受流体流 的作用力，依靠接头螺栓承受的拉力T平衡。所有作用于管 嘴的流体流作用力的合力，在x方向的总和以F表示，以T表 示接头的总拉力，可写出x方向的平衡方程式为F-T=0，即 T=F。为了求接头螺栓的拉力T，则应求合力F。
则 即 或 式中R为曲面壁对射流的 反作用力的合力；β为反作
用力R与x方向轴线的夹角。
下面通过例题分析射流 对平面壁、曲面壁冲击力的 具体计算问题。
例3 （1）射流对固定垂直平面壁的冲击力 如图2-46所示，射流以流量Q沿x方向作用在平面壁上。射 流冲击平面壁后，沿壁面流出。此时，α1=α2=90°， β=0，m1=m2，和v1和v2在x方向无投影。写x方向的总流动 量方程 则
R是壁面对射流的反作用力， 则射流作用于来自百度文库面壁上冲击力
F的方向向右。
（2）射流对固定曲面壁的冲击力 如图2-47a所示，射流以流量Q沿x方向作用在某一对称于x轴的 曲面上，射流冲击曲面壁后，沿两个方向分流，最后从曲面外 边流出。两个分流与原来流动的x方向轴线成α1和α2角度， 若略去水头损失，在对称情况下，由总流能量方程知vo=v1=v2， α1=α2，这里β=0，则有m1=m2=mo/2，po=p1=p2=0，R是曲面 壁对射流的反作用力，取动量校正系数αo1=αo2=1，写出x方 向的总流动量方程 当α1=π时（图2-47b）， cosα1=-1，则 式中Ao为主射流断面面积。 α1=α2=180°时，射流冲击力 为平面壁射流冲击力的两倍。
的锚固措施的依据。又如液流通过钢管的喷嘴时（图2-40b）， 喷嘴内壁作用着动流体压力和剪切力，这些作用力就靠接头处 螺栓承受的拉力来平衡。此外，如喷射液流对平板的冲击力F的 计算（图2-41a）等。上面所提到的几种作用力的计算问题全是 应用动量方程来解决的。
在介绍动量方程之前，先看一个实验，图2-41a为实验设备 的示意图。液流从喷嘴射出，垂直冲击在平板上，冲击后的液 流，在平板上转了一个90°的方向向四周散开。平板与秤杆相 连，由于液流冲击力F对平板的作用，必须在秤杆的另一端加 一定的重量G，才能使秤杆平衡。如果改变射流的流量Q时，则 平衡的重量G也要改变，说明射流对平板的冲击力F也改变，而 且F和Q成正比。如果把平板换成图2-41b那种凹面板，射流冲 击到凹面板上以后再射出时，它转的方向就大于90°。通过量 测可以看出，在射流流量Q相同的情况下，作用于凹面板的力 大于作用于平板的力。
用证明动能校正系数α相似的方法，同样可以证明αo为 大于1的系数，αo称为动量校正系数，它取决于断面流速分
布的不均匀性。不均匀性愈大，αo愈大。工程上常见的管
流αo值在1.01～1.05之间，所以可写成
式中αo1和αo2分别代表断面1－1和2－2的动量校正系数。 为了便于计算，把恒定总流动量方程写成标量形式
恒定总流动量方程物理意义是，单位时间内液流 在某一方向的动量增量，等于同一方向作用在液流上 外力的合力。恒定总流动量方程建立了液流的外力与 流速、流量之间的关系。动量方程不包括能量损失一
项，因而不必了解这段液流内部的细节。对于有些流
体力学问题，能量损失预先难以确定时，用动量方程
进行分析是方便的。
动量方程是动力学基本方程中最重要的方程之一，应 用十分广泛。在应用总流动量方程时，要注意以下几点： 1.动量方程是矢量式，式中流速和作用力都是有方向的， 因此写动量方程时，必须先选坐标轴，并标明坐标轴的指 向，然后把流速和作用力向该坐标轴投影。凡是和坐标轴 指向一致的流速和作用力均为正值，反之为负值。 2.动量方程中的流速v1，表示上游断面的平均流速；v2 表示下游断面的平均流速，切不可颠倒。也就是说，计算 动量增量时，一定是流出的动量减流进的动量。 3.所选择的两个过流体断面，应符合渐变流条件，这样 便于计算两端过流体断面上的动流体压力p1和p2。因为是 渐变流断面，动流体压力可按静流体压力公式计算，即 P=pcA（pc为断面形心处压力）；动量校正系数αo可取等 于1。
下面讨论在恒定流的条件下，怎样表示液流的动量增 量与所受外力的关系。 对于固体，确定了研究对象以后，它的质量大小及速度 都是很明确的。对于液流，由于连续不断流动的特点，首先 必须将其中的一段液流隔离出来，作为研究对象，分析这段 隔离出的液流，在运动过程中动量的增量和作用于其上外力 的关系。 如图2-42所示，在一恒定总流 中，于某一时刻，取出1122流 段为隔离体，该流段两端的过 流体断面为1－1及2－2，其面 积分别为A1和A2，断面平均流 速分别为v1和v2。
由此可见，液流对固体边界面的总作用力和流量以及作 用前后流速的变化有关。那么这种关系又有什么数量上的规 律呢？从力学上作用力等于反作用力的原则，平板对液流的 反作用力R应等于液流的作用力F。如果我们把作用在平板上 的这股液流作为研究对象，上述关系就是液流受力与它运动 状态的改变之间的关系。这个问题在物理学中讨论动量守恒 定律时原则上已经解决，只不过当时研究的对象是固体，现 在是液流罢了。
头损失，试求流体流作用在弯管上的力。
解： （1）求出v2、p2、Q 先由连续方程：
得
再写出断面1－1和2－2的总流能量方程，取α1=α2=1，得
因断面2－2出现负的相对压力，说明存在真空现象。注意压力 p2方向是断面2－2的外法线方向。
（2）求流体流对弯管的作用力 取断面1－1和2－2一段的流体流为隔离体，坐标为xoy， 如图2-43所示。设管壁对流体流的作用力为Rx和Ry，取 αo1=αo2=1，写x方向的总流动量方程，则
物理学中已讨论过，物体的质量m和速度 的乘积 被 称为物体的动量。物体受到外力作用时，它的速度会改变， 因而它的动量也就改变。质量为m的物体，设在时间t内， 它的速度由 ，变为 。则它的加速度为
物体所受外力的合力以 表示，按牛顿运动第二定律， 合力和加速度有下列关系：
或
或 是物体动量的增量。上式说明，运动物 体单位时间内动量的增量等于物体所受外力的合力。 这就是动量定律。 式中 、 符号上面都有→号，说明外力和速度 都是有方向的，是矢量，因而动量 也是有方 向的。动量的改变不但和外力与速度的大小有关， 而且和外力和速度的方向有关。
动量方程中的力，必须是管嘴作用在流体流上的力，例如该 作用力的合力在x方向的分力为R，求出R后，就知道F，再求 出T（螺栓承受的拉力）。必须弄清这几个力（F、T、R）之 间的关系。T不是直接作用在流体流上的，应用动量方程时
不能把T列入方程中。
（三）射流对曲面壁的冲击力 如图2-45所示，射流沿x方向流体平射出，冲击到曲 面壁AB后，即沿两个方向分流。这两个分流与原来流动的 x方向成α1和α2角度在主射流中取渐变流断面0－0，在 分射流中取渐变流断面1－1和2－2。由于主射流遇到曲 面壁AB后，流速大小和方向均发生了变化，因而引起了 动量的变化。如果主射流每秒通过的液体质量为mo，射 流流速为vo，各分射流的质量和流速相应为m1、v1及 m2、v2。写出x方向的总流动量方程，并且动量校正系 数αo1=αo2=1，射流断面0－0、1－1和2－2的压力均为 零。
利用总流动量方程，必须取喷嘴断面1－1和2－2一段的 流体流为隔离体，则管嘴对流体流作用力如图2-44c所示。 按照作用力等于反作用力的原则，管嘴对流体流的作用力， 在x方向分力的总和以R表示，显然有F=R，这样求力F的问题 又转为求R的问题。流体流通过管嘴时，断面由1－1变到2－ 2，流速由v1增大为v2，则动量发生增量，取αo1=αo2=1， 写出x方向的动量方程为
前一节是从能量的角度研究液流在一定边界条件下的运
动变化规律。本节着重从作用力的角度研究液流与固体边界
的相互作用。液流的连续方程和能量方程，它们在解决实际 流体力学问题时极为有用。 但工程实践中往往需要计算运动液体与固体边壁相互间 的作用力。当有些流动的水头损失以及压力与切应力分布难
以确定时，应用能量方程是无法求解的。为此，需要利用动
5.当所求的未知作用力的方向不能事先肯定时，可任
意假定一个方向，若计算结果其值为正，说明假定的方 向正确；若其值为负，说明应与假定方向相反。
恒定总流动量方程应用
（一）液流对弯管的作用力 例1 图2-43为流体流通过一流体平面上的渐变弯管。已知： 断面1－1处压力p1=98.1×103N/m2，流速v1=4m/s，管径 d1=200mm，管径d2=100mm，转角α=45°，略去弯段的水
又因T=F=R=6538N（即是接头螺栓承受的拉力）。这 里要注意T和F是一对平衡力，它们分别作用在两个构件上 （管嘴和螺栓），流体流作用的力F是靠螺栓承受的拉力T
来平衡。而F=R是一对作用力与反作用力关系，它们是作
用在同一构件（管嘴）上。 该题也是三大方程联合应用的实例，如断面1－1压力是
未知的，需先用总流能量方程求出后，再用动量方程解出R。
断面1－1是渐变流断面，压力分布符合静流体压力分布规 律。所以P1=p1A1。p1为断面1－1形心处的动流体压力，其值可 通过能量方程求出。取α1=α2=1写出断面1－1和2－2的总流能 量方程
因管嘴很短，可略hw1-2，且z1=z2，p2=0， 所以 压力 p1=462560N/m2 因此 R=P1-ρQ(v2-v1)=8170-1000×0.06(30.6-3.4)=6538N 方向向左 （图2-44c）
在x方向作用于断面1－1和2－2间流体流段的力，除管 嘴对流体流的作用力R外，还有两端断面流体流的压力P1和 P2。由于流入大气中，出口断面2－2的压力为大气压力， 两端压力都按相对压力计算，则p2=0。又因重力在x方向分 力等于零，所以 应用动量方程
式中Q是已知的，问题在于求v1、v2和P1。 由于 用连续方程求v2