3第三章-流体运动学
流体力学习题及答案-第三章
第三章 流体运动学3-1粘性流体平面定常流动中是否存在流函数？ 答：对于粘性流体定常平面流动，连续方程为：()()0=∂∂+∂∂yv x u ρρ； 存在函数：v t y x P ρ-=),,(和()u t y x Q ρ=,,，并且满足条件：()()yP x Q ∂∂=∂∂。
因此，存在流函数，且为：()()()dy u dx v Qdy Pdx t y x ρρψ+-=+=⎰⎰,,。
3-2轴对称流动中流函数是否满足拉普拉斯方程?答：如果流体为不可压缩流体，流动为无旋流动，那么流函数为调和函数，满足拉普拉斯方程。
3-3 就下面两种平面不可压缩流场的速度分布分别求加速度。
（1）22222 ,2yx ym v y x x m u +⋅=+⋅=ππ （2）()()()222222222 ,yxKtxyv yxx y Kt u +-=+-=，其中m ，K 为常数。
答：（1）流场的加速度表达式为：yv v x v u t v a y u v x u u t u a x ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=y ,。
由速度分布，可以计算得到：0 ,0=∂∂=∂∂tvt u ，因此： ()222222y x x y m x u +-⋅=∂∂π，()22222y x xy m y u +-⋅=∂∂π；()22222y x xy m x v +-⋅=∂∂π，()222222y x y x m y v +-⋅=∂∂π。
代入到加速度表达式中：()()()22222222222222222222220y x x m y x xym y x y m y x x y m y x x m a x +⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅⋅+⋅++-⋅⋅+⋅+=πππππ()()()22222222222222222222220y x y m y x y x m y x y m y x xym y x x m a y +⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=+-⋅⋅+⋅++-⋅⋅+⋅+=πππππ（2）由速度分布函数可以得到：()()()322222222 ,y x Kxyt v y x x y K t u +-=∂∂+-=∂∂ ()()3222232y x y x Ktx x u +-⋅=∂∂，()()3222232y x y x Kty y u +-⋅=∂∂； ()()3222232y x x y Kty x v +-⋅-=∂∂，()()3222232yx y x Ktx y v +-⋅-=∂∂。
第三章流体运动学
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
流体力学-第三章
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
工程流体力学第3章-运动学2013.
（2）不可压定常流流束和总流的连续性方程
1v1dA 1 2 v2 dA2
A1
v dA v dA
1 1 1 2 2 A2
2
1V1A1 2 V2 A 2
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基 本 概 念
3.3 迹线、流线、流管、流量等
（1）迹线：是拉格朗日观点下描述流动的曲线， 是一段时间内给定质点在空间走过的轨迹。
当速度场u,v,w给定时，迹线微分方程可写为：
dx dy dz u, v, w, 其中 t是自变量 dt dt dt
上式对时间 t 积分后可得迹线的参数方程。
ay
v v v v 1 1 y u v w 0 y 0 t x y z 2 2 4
w w w w y xy u v w x 2 y 2 y x 0 x 2 y3 t x y z 2 2
az
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（3）流面，流管，流束；流束的极限是流线。 （4）流量：体积流量和质量流量
QV (V .n)dA Vn dA V cos dA
A A A
平均速度： V
（5）其它概念：
QV / A
V cos dA
A
A
有效截面、湿周、水力半径、当量直径
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连续性方程
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三
流体运动学
3.1 流场及描述方法 （1）流场：流体质点运动的全部空间。 （2）描述流体运动的参数，如速度、加速度等， 均为所选坐标的连续函数 。 （3）流体运动的描述方法：Lagrange法和 Euler法
工程流体力学-第三章
四、有效断面、流量和平均流速
1. 有效断面 流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的有效断面， 又称过流断面。 说明：
（1）所有流体质点的
速度矢量都与有效断面 相垂直，沿有效断面切
向的流速为0。
（2）有效断面可能是 平面，也可能是曲面。
2. 流量
(1) 定义：单位时间内通过某一过流断面的流体量称为流量。
压强的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)
密度的格朗日描述是：
(a, b, c, t)
二、欧拉法（Euler）
1. 欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上 的分布规律的流体运动描述方法。 2. 欧拉坐标（欧拉变数）：欧拉法中用来表达流场中流体运动 规律的质点空间坐标(x,y,z)与时间t变量称为欧拉坐标或欧拉变 数。
（1）x,y,z固定t改变时， 各函数代表空间中某固
定点上各物理量随时间
的变化规律； （2）当t固定x,y,z改变 时，它代表的是某一时 刻各物理量在空间中的 分布规律。
密度场
压力场
( x, y , z , t )
p p ( x, y , z , t ) T T ( x, y , z , t )
u y du z du z ( x, y , z , t ) u z u z u z az ux uy uz dt dt t t t t du u a (u )u dt t
在同一空间上由于流动的不稳定性引起的加速度，称 为当地加速度或时变加速度。 在同一时刻由于流动的不均匀性引起的加 速度，称为迁移加速度或位变加速度。
一元流动
按照描述流动所需的空间坐标数目划分
二元流动
三元流动
流体运动学
流体在初始时刻的坐标或（X，Y，Z）就称为拉格朗日坐标，显然，在以 上描述中 ，或
4. 在定常流中，流线和迹线重合。
所以在定常流中，可以用烟线来显示流谱，问题：在非定常流 场中，烟线是流线还是迹线？——脉线
例2：给定欧拉描述的速度场：u=x+t，v=-y-t。求： 1）t=1时过x=1，y=1点的流体质点的迹线方程；
2）过该点的流线方程。
解：由迹线的微分方程，
积分得： 1）代入t=1时过x=1，y=1点的质点的条件可确定积分常数：
将其代入数度场的关系即可得到数度场的欧拉描述：
对上式求质点到数可得加速度：
与前面得到的结果相同。
那么我们究竟采用那种描述方法呢，仿佛拉格朗日法更符合我们 的习惯，事实是，在流体力学里，除了极特殊的情况，我们一般都采 用欧拉法而不是拉格朗日法。虽然因为拉氏法对运动的描述与理论力 学相同使我们感到熟悉，虽然欧氏法的加速度表述比较复杂，但是：
第二节 迹线和流线
一、 迹线
流体质点运动的轨迹叫迹线。在拉格 朗日法中，流体质点的位移方程就是迹线 方程： 。在欧拉法中，流体质 。 点运动的微分方程为：
可知，迹线是基于拉格朗日观点的流 体运动描述。 欧拉法在直角坐标中的分量表述可以写成：
所以：
二、 流线
流线是这样的一条空间曲线，在某一 时刻，此曲线上任一点的切线方向与流体 在该点的速度方向一致。(场，如电力线、
任一不与流管侧面平行的面被流管截
水力学 第三章 流体运动学
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2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
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3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
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例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章流体运动学
于是，对（3-1）式，速度表示为
d x x x(a, b, c, t ) vx x(a, b, c, t ) d t t t d y y y (a, b, c, t ) vy y(a, b, c, t ) d t t t d z z z (a, b, c, t ) vx z (a, b, c, t ) d t t t
vz 0
解：由vz=0，为二元流动，代入流线方程
dx 2 dy 2 2 (x y ) (x y2 ) ky kx
y v vy vx o x
k 0, x d x y d y 0
积分：
x y C
2 2
为以原点为圆心的圆。 因k>0，则 当x 0, y 0时
vx 0, v y 0
4、过流断面、湿周、水力半径、当量直径
与流束或总流中所有流线均垂直的断面，称过 流断面，面积用A表示。 在总流的过流断面上，与流体相接触的固体壁 面边壁周长称湿周，用χ表示[kai]。 总流过流断面积与湿周之比称水力半径，用R表 示。
4倍总流过流断面积与湿周之比称当量直径，用 de表示。
对圆管半充满
（3-4）
在不同时刻，给点上的原质点由其它质点替换而 出现不同，欧拉法不随质点走，只固定位置。 欧拉法应先确定v的表达式，而拉格朗日法先确 定x，y，z的关系式，然后给出速度。虽然变量 不同，但描述的核心不变，只是方法不同，数 学表达不同罢了。
其向量表示为：a v (v )v t
( vx ) v x vx x x x
( v y ) y vy y y v y
（3-9）
即为直角坐标系下的连续性方程。
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第三章 流体运动学
3－1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为 x =ae kt ，y =be -kt ，z =c ，式中k 是不为零的常数。
试求流体质点的迹线、速度和加速度。
解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c 的平面上运动，消去时间t 后，得
xy =ab
上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a ，b ）,则为一确定的双曲线。
（2）0kt kt x y z x y z u kae u kbe u t t t
-∂∂∂=
===-==∂∂∂，， （3）220y kt kt x z x y z u u u a k ae a k be a t t t -∂∂∂======∂∂∂，， 3－2 已知流体运动，由欧拉变数表示为u x =kx ，u y =－ky ，u z =0，式中k 是不为零的常数。
试求流场的加速度。
解：2d d x x x x x x x y z u u u u u a u u u k x t t x y z
∂∂∂∂==+++=∂∂∂∂ 2d d y y u a k y t ==，d 0d z z u a t
== 3－3 已知u x =yzt ，u y =zxt ，u z =0，试求t =1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。
解：2()3m/s x x x x x x y z u u u u a u u u yz zxt zt t x y z
∂∂∂∂=+++=+=∂∂∂∂ 2()3m/s y y y y y x y z u u u u a u u u zx yzt zt t x y z
∂∂∂∂=+++=+=∂∂∂∂ 0z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z
∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂ 3－4 已知平面不可压缩液体的流速分量为u x =1－y ，u y =t 。
试求（1）t =0时，过（0，0）点的迹线方程；（2）t =1时，过（0，0）点的流线方程。
解：（1）迹线的微分方程式为d d d d d d d d d d y x y x y
x y x y t t t y u t t t u u u u ======，，，， 积分上式得：12
2
C t y +=，当t=0时，y=0，C 1=0，所以 2
2
t y = (1) 2d d (1)d (1)d 2x t x u t y t t ==-=-，积分上式得：23
6
C t t x +-= 当t =0时，x =0，C 2=0，所以
6
3
t t x -= (2) 消去（1）、（2）两式中的t
，得x =有理化后得 023
492223=-+-x y y y （2）流线的微分方程式为d d d d d (1)d 1===--，即，x y x y x y t x y y u u y t
，积分上式得
C y y tx +-=)2(2 当t =1时，x =y =0，C =0，所以可得：)2
(12
y y t x -=（为非恒定流） 3－5 已知u x ＝x ＋t ，u y ＝－y ＋t ，u z ＝0，试求t ＝2时，通过点A （－1，－1）的流线，并与例3－3相比较。
解：由例3－3可得：()()x t y t C +-+=
当t =2，x =－1，y =－1，C =3。
因此，通过点A （－1，－1）的流线为
3)2)(2(=+-+y x
上式不同于例3－3，即当t =0时通过A 点的流线为xy ＝1，说明不同时刻的流线不同。
3－6 试求例3－6流体运动的流线方程和流体质点通过点A （1，0）流线的形状。
解：例3－6流体运动如题3-6图所示 22y
x ky u x +-=，22y x kx u y += 流线方程：2222d ()d ()x x y y x y ky kx
-++= 2222d ()d ()0kx x x y ky y x y +++=
2222d ()()02
k x y x y +?= 积分，得122)(2
C y x k =+，222)(C y x =+ 圆心（0，0），半径2C R =。
当x =1，y =0，代入上式得C 2=1。
（22y x +）=1，
为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。
3－7 已知2
2y x kyt u x +-=，22y x kxt u y +=，z u =0，式中k 是不为零的常数。
试求：（1）流线方程，（2）t =1时，通过点A （1，0）流线的形状，（3）将求得的流线方程与习题3－6求得的流线方程相比较，它们有什么异同。
解：z u =0，为平面（二维）流动。
（1）流线方程 d d x y x y u u = 将x u 、y u 代入上式，得 2222
()d d x y x y x y kyt kxt
-++= 2222()d ()d x y x kxt
x y y kyt -+?+? 2222()d ()d 0x y kxt x x y kyt y +++= 22()(d d )0kt x y x x
y y +?=，22221()d()02kt x y x y ++= 积分得 221()2
kt x y C +=，流线方程一般形式：222()x y t C +=。
（2）t=1，x=1，y=0，代入上式，得C 2=1；流线为22y x +=1，流线的形状为一圆。
（3）因是非恒定流，不同时间为不同的圆，如t=2，x=1，y=0，C 2=2，222(2)x y +=
3－8 试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性题3-6图。