第三章流体运动学
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第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
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折点
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强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章 流体运动学.ppt
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章 流体运动学基础
一、流场：充满运动流体的空间
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
z
v
t
x
x
y
y
z
z
xvi
y
v
j z
v k
v
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
vi
y
t
x
y
x
y
dt
dt
dt
y x
xy
yx
d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
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v
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x
x
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xvi
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dt
dt
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d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
第3章 流体运动学
第三章流体运动学§3.1 流体运动的描述方法§3.2 有关流场的几个基本概念§3.3 流体微团的运动分析§3.4 连续方程本章学习要点:研究流体运动的两种方法 研究流体运动的若干基本概念 流体的质量守恒定律——连续性方程 流体微团运动分析 有旋运动和无旋运动中国海洋大学高等流体力学王树青§3.1 流体运动的描述方法一、拉格朗日法（Lagrangian method）二、欧拉法 （Euler method）中国海洋大学高等流体力学王树青质点系和刚体运动的描述方法？质点系： 对有限的质点进行编号，给出每个质点的位移 随时间的变化过程。
刚体： 尽管无穷多质点组成，但没有变形，其运动可 以分解成随基点的平移及绕基点的转动。
中国海洋大学高等流体力学王树青流体的运动描述？同质点系法比较：流体质点有无穷多个， 编号困难； 同刚体比较：流体易于变形，运动及其复杂；中国海洋大学高等流体力学王树青一、拉格朗日法（Lagrangian method）1.方法概要拉格朗日法是质点系法（随体法）；着眼于流体各质点 的运动情况，即跟随流体质点运动，记录该质点在运动 过程中物理量（位移、速度、压力、密度等）随时间变 化规律，并通过综合所有被研究流体质点（即质点系） 的运动情况来获得整个流体运动的规律。
2.特点跟随选定的流体质点，研究其运动规律。
3.研究对象运动流体质点或质点系。
中国海洋大学 高等流体力学 王树青4. 运动描述区分质点？用流体质点在初始时刻t=t0的空间坐标(a,b,c)来标记。
(a,b,c)取不同的值代表不同的流体质点。
(a,b,c,t)称为拉格朗日坐标。
y M （a,b,c） M （a,b,c）o a中国海洋大学b c xy z王树青xz高等流体力学4. 运动描述设某质点标记为（a,b,c），该质点的物理量B在某时刻t时 的拉格朗日表示式为 B=B(a, b ,c, t) y M （a,b,c） M （a,b,c）B=B(a, b ,c, t) o a z中国海洋大学 高等流体力学b c xy zx王树青（1）位置(矢径）r (t ) = r (a, b, c, t )⎧ x = x ( a , b, c , t ) ⎪ ⎨ y = y ( a , b, c , t ) ⎪ z = z ( a , b, c , t ) ⎩yM （a,b,c） r0 r(t) b c a y z xox z （a,b,c）=const , t为变数，可以得出某个指定质点在 任意时刻所处的位置——轨迹。
第3章1 流体运动学基础
2、拉格朗日坐标：
在某一初始时刻t0，以不同的一组数(a,b,c)
来标记不同的流体质点，这组数 (a,b,c)就叫
拉格朗日变数。或称为拉格朗日坐标。
物理量的表示形式：若以f表示流体质点的某 一物理量，其拉格朗日描述的数学表达是： f=f(a,b,c,t)
如任意时刻t，任何质点在空间的位置(x,y,z) 都可以看成为拉格郎日变数和时间t的函数
流进的流体质量：
1u1dA1
在单位时间内从 2-2断面 流出的流体质量：
2u2 dA2
在单位时间内流入控制体的流体质量为：
dM 1u1dA1 2u2 dA2
对稳定流，各点的运动要素不随时间变化，且流体又是 无空隙的连续介质，由质量守恒定律得：
dM 0
即
1u1dA1 2u2 dA2
求：（1）流线方程以及t=0，1，2时的流线图
（2）迹线方程以及t=0时通过（0，0）点的迹线 dx dy dz dx dy 解：（1）由流线方程 得： 。 ux uy uz a bt 对自变量x，y积分，得： ay btx C bt y xC a 因此，流线为一簇平行的斜线。在不同的瞬时，流线的斜率不同。
后三项反映了在同一瞬时（即t不变）流体质点从 一个空间转移到另一个空间点，即流体质点所在空 间位置的变化而引起的速度变化率，称迁移加速度。
欧拉法的优越性：
1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容
p p( x, y, z, t )
流体力学 3-1-2流体运动学-33页PPT资料
ayd d y t ty xyd d x t yyd d y t zyd dz tayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x zd d x t y zd d y t zzd dx ta zd d z t tz x xz y yz z zz
a xd d x t tx x x x y y x z zx ayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x xz y yz z zz
描述方法
拉格朗日法 欧拉法
质点轨迹：r r(a,b,c),t 参数分布：B = B（x, y, z,t）
一、拉格朗日法
着眼于流体质点，设法描述单个流体质点的运动过程，研 究流体质点的运动参数随时间的变化规律，以及相邻流体 质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点 的运动状况，整个流场的运动状况也就明了了。 实质是一种质点系法。
y, z,t)
y,
z
,
t
)
或
uu(x,y,z,t)
uz
uz (x,
y,
z
,
t
)
固定x,y,z而令t改变，各函数代表：
空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。
固定t而令 x,y,z改变，各函数代表：
某时刻各物理量在空间中的分布规律。
二、欧拉法
压力场、密度场和温度场表示为：
p px, y, z,t x, y, z,t T T x, y, z,t
第三章 流体运动学（Fluid Kinematics）
•流体运动学（kinematics）：研究流体运动的方式和 速度、加速度、位移、转角等参量随空间和时间的变 化；流体运动学主要研究流场中各个运动参数的变化 规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。由于这 些问题并不涉及这些运动参量与力之间的关系，因此 流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。
a xd d x t tx x x x y y x z zx ayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x xz y yz z zz
描述方法
拉格朗日法 欧拉法
质点轨迹：r r(a,b,c),t 参数分布：B = B（x, y, z,t）
一、拉格朗日法
着眼于流体质点，设法描述单个流体质点的运动过程，研 究流体质点的运动参数随时间的变化规律，以及相邻流体 质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点 的运动状况，整个流场的运动状况也就明了了。 实质是一种质点系法。
y, z,t)
y,
z
,
t
)
或
uu(x,y,z,t)
uz
uz (x,
y,
z
,
t
)
固定x,y,z而令t改变，各函数代表：
空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。
固定t而令 x,y,z改变，各函数代表：
某时刻各物理量在空间中的分布规律。
二、欧拉法
压力场、密度场和温度场表示为：
p px, y, z,t x, y, z,t T T x, y, z,t
第三章 流体运动学（Fluid Kinematics）
•流体运动学（kinematics）：研究流体运动的方式和 速度、加速度、位移、转角等参量随空间和时间的变 化；流体运动学主要研究流场中各个运动参数的变化 规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。由于这 些问题并不涉及这些运动参量与力之间的关系，因此 流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。
第三章 流体运动学(Y)
而与时间无关，这种流动称为恒定流动。 如图所示，当经过流场中A点的流体质点具有不变的速度和压强时， 则为恒定流动；这表明在恒定流动中，流场的运动图象是不变的。 当运动参数不随时间改变时，即
z p=常数
0 称为恒定流动（定常流动） t
u=常数
A
H=常数
E y x
F
定水头的孔口出流
自孔口射出的 流股形状是不 变的，但是E 点的速度并不 等于F点的速 度，即速度随 位臵变化
（2）非恒定流动
如果流体质点的运动要素既是坐标的函数又是时间的函数， 这种流动称为非恒定流动 流场的运动图 象随时间而变。 当 水 头 从 t0 时 刻 的 H0 变 到 t1 时刻的H1 时， 流股从黑线变 为红线，E点 的速度也将变 小。 变水头的孔口出流 当运动参数随时间和位臵改变时，
z
p =f ( t ) u=F(t ) B
p F4 ( x, y, z, t )
F5 ( x, y, z, t )
（a）当时间t 为常数时，表示在同一瞬时通过空间不同点的速度、 加速度、压强、密度等随位臵的变化规律。 （b）当x、y、z、t 都为变量时，表示在任意时刻t 通过空间任意点 x、y、z的流体质点的速度、加速度、压强、密度等随时间的 变化规律。 （c）当时间t 变化时，流体质点从一个空间点运动到另一个空间
流体运动学主要是研究运动参数（速度、加速度等） 随空间位臵和时间的变化规律。 流体只能在固体壁面所限制的空间内进行运动； 流场 —— 充满运动流体的空间称为流场 流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动参 数（速度、加速度等）和物理参数（压强、密度等） 在流场中也是连续的。
一、描述流体运动的两种方法
（2）流线 ——流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线
z p=常数
0 称为恒定流动（定常流动） t
u=常数
A
H=常数
E y x
F
定水头的孔口出流
自孔口射出的 流股形状是不 变的，但是E 点的速度并不 等于F点的速 度，即速度随 位臵变化
（2）非恒定流动
如果流体质点的运动要素既是坐标的函数又是时间的函数， 这种流动称为非恒定流动 流场的运动图 象随时间而变。 当 水 头 从 t0 时 刻 的 H0 变 到 t1 时刻的H1 时， 流股从黑线变 为红线，E点 的速度也将变 小。 变水头的孔口出流 当运动参数随时间和位臵改变时，
z
p =f ( t ) u=F(t ) B
p F4 ( x, y, z, t )
F5 ( x, y, z, t )
（a）当时间t 为常数时，表示在同一瞬时通过空间不同点的速度、 加速度、压强、密度等随位臵的变化规律。 （b）当x、y、z、t 都为变量时，表示在任意时刻t 通过空间任意点 x、y、z的流体质点的速度、加速度、压强、密度等随时间的 变化规律。 （c）当时间t 变化时，流体质点从一个空间点运动到另一个空间
流体运动学主要是研究运动参数（速度、加速度等） 随空间位臵和时间的变化规律。 流体只能在固体壁面所限制的空间内进行运动； 流场 —— 充满运动流体的空间称为流场 流场中流体质点的连续性决定表征流体质点运动参 数（速度、加速度等）和物理参数（压强、密度等） 在流场中也是连续的。
一、描述流体运动的两种方法
（2）流线 ——流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，在这条曲线
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度 u可表示为： u u (uxy
ux(x, uy(x,
y,z,t) y,z,t)
uz uz(x,y,z,t)
(3.4)
式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。ux,uy,uz 分别是速度 u在x，
y，z上的分量。
写成矢量形式：
u u x i u y j u z k ( 3 . 5 )
同理，在欧拉法中，密度ρ、压强 p也可以表示为欧拉变
量的函数：
( x ,y ,z ,t) ( 3 .6 )
p p ( x ,y ,z ,t) ( 3 .7 )
在式（3.4）中，当 t 为常数，x，y，z 为变数，式（3.4） 表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即 流体运动的流速场。
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
ayu ty2y(a ,tb 2,c,t) azu tz 2z(a ,tb 2,c,t)
式（3.2）、（3.3）仍为a、b、c、t 的函数。
（3.3）
同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写
成a、b、c和 t 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b， c，t )，T=T (a，b，c，t )。
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶
（2） 欧拉法
欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察 不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流 动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场， 所以欧拉法又称空间点法或流场法。
欧拉法把流场中各 运动要素表示成空间坐 标（x，y，z）和时间 t 的连续函数。
如图3.2 ，取空间任一固 定点M，其位置坐标（x, y, z）确定。 M为流场中 的点，其运动情况是M点 坐标（x, y, z）的函数， 也是时间 t 的函数。如速
当 x，y，z 为常数， t 为变数，式（3.4）表示某一固定空 间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。
欧拉法加速度的表示方法：加速度是个物理量，其物理 意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所 谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过 该空间点时所具有的加速度。
设已知速度场为 u u (x ,y ,z ,t) ，在研究 t 时刻某一
介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立 描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和 欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法和欧拉法
（1） Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总 和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不 同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点 运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也 称为质点系法。
这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的 方法是一致的。
为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。 设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标 为 (a,b,c)。当赋予(a,b,c)为一组确定值时，即表示跟踪这 一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质 点在空间所处的位置，即坐标 (x,y,z)，又与时间 t 有关。 所以质点在空间的坐标(x,y,z) 可以表示为起始坐标(a,b,c) 和时间 t 的函数，即：
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
(3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质 点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这 一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。
流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视 为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运 动到新位置M’点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x， y，z也是时间 t 的函数，因此有：
a d u u u d x u d y u dz dt t xdt ydt zdt
第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
几个基本概念： 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。
流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。
空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点，
在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新 的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中， 同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点 在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。
和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度 和加速度：
速度表达式
x (a ,b ,c,t) u xu x(a ,b ,c,t) t
y(a ,b ,c,t) u yu y(a ,b ,c,t) t
（3.2）
u zu z(a ,b ,c,t) z(a , b t,c,t)
加速度表达式
axu tx2x(a ,tb 2,c,t)
因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
ux(x, uy(x,
y,z,t) y,z,t)
uz uz(x,y,z,t)
(3.4)
式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。ux,uy,uz 分别是速度 u在x，
y，z上的分量。
写成矢量形式：
u u x i u y j u z k ( 3 . 5 )
同理，在欧拉法中，密度ρ、压强 p也可以表示为欧拉变
量的函数：
( x ,y ,z ,t) ( 3 .6 )
p p ( x ,y ,z ,t) ( 3 .7 )
在式（3.4）中，当 t 为常数，x，y，z 为变数，式（3.4） 表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即 流体运动的流速场。
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
ayu ty2y(a ,tb 2,c,t) azu tz 2z(a ,tb 2,c,t)
式（3.2）、（3.3）仍为a、b、c、t 的函数。
（3.3）
同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写
成a、b、c和 t 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b， c，t )，T=T (a，b，c，t )。
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶
（2） 欧拉法
欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察 不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流 动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场， 所以欧拉法又称空间点法或流场法。
欧拉法把流场中各 运动要素表示成空间坐 标（x，y，z）和时间 t 的连续函数。
如图3.2 ，取空间任一固 定点M，其位置坐标（x, y, z）确定。 M为流场中 的点，其运动情况是M点 坐标（x, y, z）的函数， 也是时间 t 的函数。如速
当 x，y，z 为常数， t 为变数，式（3.4）表示某一固定空 间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。
欧拉法加速度的表示方法：加速度是个物理量，其物理 意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所 谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过 该空间点时所具有的加速度。
设已知速度场为 u u (x ,y ,z ,t) ，在研究 t 时刻某一
介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立 描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和 欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法和欧拉法
（1） Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总 和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不 同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点 运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也 称为质点系法。
这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的 方法是一致的。
为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。 设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标 为 (a,b,c)。当赋予(a,b,c)为一组确定值时，即表示跟踪这 一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质 点在空间所处的位置，即坐标 (x,y,z)，又与时间 t 有关。 所以质点在空间的坐标(x,y,z) 可以表示为起始坐标(a,b,c) 和时间 t 的函数，即：
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
(3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质 点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这 一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。
流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视 为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运 动到新位置M’点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x， y，z也是时间 t 的函数，因此有：
a d u u u d x u d y u dz dt t xdt ydt zdt
第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
几个基本概念： 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。
流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。
空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点，
在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新 的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中， 同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点 在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。
和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度 和加速度：
速度表达式
x (a ,b ,c,t) u xu x(a ,b ,c,t) t
y(a ,b ,c,t) u yu y(a ,b ,c,t) t
（3.2）
u zu z(a ,b ,c,t) z(a , b t,c,t)
加速度表达式
axu tx2x(a ,tb 2,c,t)
因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续