第三章流体运动学
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同理，在欧拉法中，密度ρ、压强 p也可以表示为欧拉变
量的函数：
( x ,y ,z ,t) ( 3 .6 )
p p ( x ,y ,z ,t) ( 3 .7 )
在式（3.4）中，当 t 为常数，x，y，z 为变数，式（3.4） 表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即 流体运动的流速场。
度 u可表示为： u u (x ,y ,z ,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux(x, uy(x,
y,z,t) y,z,t)
uz uz(x,y,z,t)
(3.4)
式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。ux,uy,uz 分别是速度 u在x，
y，z上的分量。
写成矢量形式：
u u x i u y j u z k ( 3 . 5 )
这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的 方法是一致的。
为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。 设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标 为 (a,b,c)。当赋予(a,b,c)为一组确定值时，即表示跟踪这 一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质 点在空间所处的位置，即坐标 (x,y,z)，又与时间 t 有关。 所以质点在空间的坐标(x,y,z) 可以表示为起始坐标(a,b,c) 和时间 t 的函数，即：
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶
因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
当 x，yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz 为常数， t 为变数，式（3.4）表示某一固定空 间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。
欧拉法加速度的表示方法：加速度是个物理量，其物理 意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所 谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过 该空间点时所具有的加速度。
设已知速度场为 u u (x ,y ,z ,t) ，在研究 t 时刻某一
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度 和加速度：
速度表达式
x (a ,b ,c,t) u xu x(a ,b ,c,t) t
y(a ,b ,c,t) u yu y(a ,b ,c,t) t
（3.2）
u zu z(a ,b ,c,t) z(a , b t,c,t)
加速度表达式
axu tx2x(a ,tb 2,c,t)
第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
几个基本概念： 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。
流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。
空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点，
在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新 的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中， 同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点 在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。
介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立 描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和 欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法和欧拉法
（1） Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总 和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不 同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点 运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也 称为质点系法。
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
(3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质 点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这 一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。
流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视 为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运 动到新位置M’点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x， y，z也是时间 t 的函数，因此有：
a d u u u d x u d y u dz dt t xdt ydt zdt
ayu ty2y(a ,tb 2,c,t) azu tz 2z(a ,tb 2,c,t)
式（3.2）、（3.3）仍为a、b、c、t 的函数。
（3.3）
同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写
成a、b、c和 t 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b， c，t )，T=T (a，b，c，t )。
（2） 欧拉法
欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察 不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流 动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场， 所以欧拉法又称空间点法或流场法。
欧拉法把流场中各 运动要素表示成空间坐 标（x，y，z）和时间 t 的连续函数。
如图3.2 ，取空间任一固 定点M，其位置坐标（x, y, z）确定。 M为流场中 的点，其运动情况是M点 坐标（x, y, z）的函数， 也是时间 t 的函数。如速
量的函数：
( x ,y ,z ,t) ( 3 .6 )
p p ( x ,y ,z ,t) ( 3 .7 )
在式（3.4）中，当 t 为常数，x，y，z 为变数，式（3.4） 表示同一时刻，通过不同空间点上流体的速度分布情况，即 流体运动的流速场。
度 u可表示为： u u (x ,y ,z ,t)
表示成各分量形式：
uuxy
ux(x, uy(x,
y,z,t) y,z,t)
uz uz(x,y,z,t)
(3.4)
式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。ux,uy,uz 分别是速度 u在x，
y，z上的分量。
写成矢量形式：
u u x i u y j u z k ( 3 . 5 )
这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的 方法是一致的。
为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。 设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标 为 (a,b,c)。当赋予(a,b,c)为一组确定值时，即表示跟踪这 一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质 点在空间所处的位置，即坐标 (x,y,z)，又与时间 t 有关。 所以质点在空间的坐标(x,y,z) 可以表示为起始坐标(a,b,c) 和时间 t 的函数，即：
对于某个确定的时刻，t 为
常数， a、b、c为变量，x、y、 z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶
因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。
流 场：充满运动流体的空间。
流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续
当 x，yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱz 为常数， t 为变数，式（3.4）表示某一固定空 间点上流体质点在不同时刻通过该点的流速变化情况。
欧拉法加速度的表示方法：加速度是个物理量，其物理 意义只能是流体质点的加速度（不是空间点的加速度）。所 谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过 该空间点时所具有的加速度。
设已知速度场为 u u (x ,y ,z ,t) ，在研究 t 时刻某一
拉格朗日法物理概念清晰，简明易懂，与研究固体质 点运动的方法没什么不同的地方。但由于流体质点运动轨 迹极其复杂，要寻求为数众多的质点的运动规律，除了较 简单的个别运动情况之外，将会在数学上导致难以克服的 困难。而从实用观点看，也不需要了解质点运动的全过程。 所以，除个别简单的流动用拉格朗日法描述外，一般用欧 拉法。
和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度 和加速度：
速度表达式
x (a ,b ,c,t) u xu x(a ,b ,c,t) t
y(a ,b ,c,t) u yu y(a ,b ,c,t) t
（3.2）
u zu z(a ,b ,c,t) z(a , b t,c,t)
加速度表达式
axu tx2x(a ,tb 2,c,t)
第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
几个基本概念： 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。
流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。
空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点，
在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新 的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中， 同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点 在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。
介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立 描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和 欧拉法。
3.1.1 拉格朗日法和欧拉法
（1） Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总 和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不 同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点 运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也 称为质点系法。
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
(3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质 点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这 一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。
流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视 为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运 动到新位置M’点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x， y，z也是时间 t 的函数，因此有：
a d u u u d x u d y u dz dt t xdt ydt zdt
ayu ty2y(a ,tb 2,c,t) azu tz 2z(a ,tb 2,c,t)
式（3.2）、（3.3）仍为a、b、c、t 的函数。
（3.3）
同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写
成a、b、c和 t 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b， c，t )，T=T (a，b，c，t )。
（2） 欧拉法
欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察 不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流 动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场， 所以欧拉法又称空间点法或流场法。
欧拉法把流场中各 运动要素表示成空间坐 标（x，y，z）和时间 t 的连续函数。
如图3.2 ，取空间任一固 定点M，其位置坐标（x, y, z）确定。 M为流场中 的点，其运动情况是M点 坐标（x, y, z）的函数， 也是时间 t 的函数。如速