流体力学与传热：3-1_第三章 流体运动学

（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值 之差。而与曲线的形状无关。
B
B
B
AB Vds (udx vdy wdz) d B A
A
A
A
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单
值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，
即 AB 0 。
（3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
vx
x
vy
y
vz
z
若流动无旋，则存在速度势
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
o
Dxy C
y
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有
x
4x
y
0
该流动无旋，存在速度势函数。
（2）由流函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uydx
uxdy
4
ydx
4xdy
积分
4xy C
由速度势函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uxdx
uydy
different directions of motion.
• 代入流线微分方程式中，得
dx dy 0
x
y
• 即 d 0
• 所以 C
• 上式说明流函数的等值线与流线重合。
• 但应注意的是， 流线并不一定是 流函数的等值线。
3.流函数与流场中任意两点间流量的关系
4.在不可压缩二维无旋流场中，流函数满足拉普拉斯方程
• 对不可压缩二维无旋流场有
v y vx 0 x y
§3-2 不可压缩流体平面流动的流函数
• 流函数的存在条件为：在流场中，连续方程可简化为两项 的流场。也就是说，对于不可压缩的二元流动，无论是定 常流还是非定常流、是理想流体还是粘性流体，都存在流 函数。
• 流函数的作用在于流函数与速度的关系。当通过数学的手 段求得流场的流函数时，便可以利用流函数与速度的关系 求得速度场。
ux 4x，uy 4 y
①该平面流动是否存在流函数和速度势函数；②若存在， 试求出其表达式；
解： （1）由不可压流体平面流动的连续性方程，知
ux uy (4x) (4 y) 0
x y x
y
该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。
z
1 2
uy x
ux y
1 2
4 y
第三章流体运动学
§3-2 不可压缩流体平面流动的流函数 §3-3 速度势函数
§3-2 不可压缩流体平面流动的流函数
一、格林公式
用到的高等数学的 知识-复习
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
三、二元函数的全微分求积
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都
属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通
x0
z
y0
o
y
R( x, y, z)dz
z0
x
M1
M2
便于记忆形式
dydz dzdx dxdy
x
y
z Pdx Qdy Rdz
PQ R
另一种形式
cos cos cos
x
y
z
ds Pdx Qdy Rdz
其P中n
QR
{cos ,cos
,cos
}
3.速度势函数的性质
（1）速度势函数是调和函数，满足拉普拉斯方程的函数，在数 学上称为调和函数。
三、和 的关系
（1）满足柯西-黎曼
条件。 和 互为共
轭调和函数，这就有 可能使我们利用复变 函数这样一种有力的 工具求解此类问题。
，
x y y x
0
x x y y
柯西-黎曼条件
（2）流线与等势线正交。流 线和等势线构成正交网格，称 为流网。
例1-1一不可压流体平面流动的速度分布为：
连续的一阶偏导数，则Pdx Qdy Rdz
在G内是某一函数u( x, y, z)的全微分的充要条件
P Q , Q R , R P 在G内恒成立 y x z y x z
( x,y,z)
u( x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
zM
x
y
u( x, y, z) P( x, y0, z0 )dx Q( x, y, z0 )dy M0
§3-2 不可压缩流体平面流动的流函数
• 函数就定义为流函数（stream function）。 1. 流函数与速度的关系
x
vy
y vx
2.流函数与流线的关系
• 平面流场中的流线微分方程为
dx dy vx vy
• 将流函数与速度的关系
x
vy
y
vx
A visualization of the strealines for an example video. The curves represent the streaklines for every tenth row and column. Red and yellow colors represent the
lD L
等价条件 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
Pdx QdБайду номын сангаас L
在 D 内与路径无关.
对 D 内任意闭曲线 L 有L Pdx Qdy 0;
在 D 内有 P Q . y x
在 D 内有 du Pdx Qdy.
§3-2 不可压缩流体平面流动的流函数 • 对于平面不可压缩流体，满足连续方程
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”） 的
区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。
例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x2 y2 <4 } 或
{（x,y）| 0< x2 y2 <2}都是复连通区域。
对平面区域D的边界曲线L，我们规定L的正方向如下： 当观察者沿L的这个方向行走时，D内在他近处的那一部 分总在他的左边.例如：D是边界曲线L及l 所围成的复连通 区域，作为D的正向边界，L的正向是逆时针方向，而l 的 正向是顺时针方向。
§3-3速度势函数
一、速度势
1.势:如果某一矢量函数沿某方向的投影恰好等于某一标量 函数在该方向上的偏导数，则称该矢量为有势矢量，此标量 函数称为该矢量的势函数。
由数学分析可知， u 是0 udx vd成y 为w某dz一标量函
数
全微(x，分y，的z，充t)分必要条件。
2.速度势: (x, y, z,t)