第三章 流体运动学
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第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
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v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章 流体运动学.ppt
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章 流体运动学基础
一、流场：充满运动流体的空间
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
z
v
t
x
x
y
y
z
z
xvi
y
v
j z
v k
v
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
vi
y
t
x
y
x
y
dt
dt
dt
y x
xy
yx
d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
z
v
t
x
x
y
y
z
z
xvi
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v k
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x
y
z
x
z
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t
x
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x
y
dt
dt
dt
y x
xy
yx
d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
第3章1 流体运动学基础
2、拉格朗日坐标：
在某一初始时刻t0，以不同的一组数(a,b,c)
来标记不同的流体质点，这组数 (a,b,c)就叫
拉格朗日变数。或称为拉格朗日坐标。
物理量的表示形式：若以f表示流体质点的某 一物理量，其拉格朗日描述的数学表达是： f=f(a,b,c,t)
如任意时刻t，任何质点在空间的位置(x,y,z) 都可以看成为拉格郎日变数和时间t的函数
流进的流体质量：
1u1dA1
在单位时间内从 2-2断面 流出的流体质量：
2u2 dA2
在单位时间内流入控制体的流体质量为：
dM 1u1dA1 2u2 dA2
对稳定流，各点的运动要素不随时间变化，且流体又是 无空隙的连续介质，由质量守恒定律得：
dM 0
即
1u1dA1 2u2 dA2
求：（1）流线方程以及t=0，1，2时的流线图
（2）迹线方程以及t=0时通过（0，0）点的迹线 dx dy dz dx dy 解：（1）由流线方程 得： 。 ux uy uz a bt 对自变量x，y积分，得： ay btx C bt y xC a 因此，流线为一簇平行的斜线。在不同的瞬时，流线的斜率不同。
后三项反映了在同一瞬时（即t不变）流体质点从 一个空间转移到另一个空间点，即流体质点所在空 间位置的变化而引起的速度变化率，称迁移加速度。
欧拉法的优越性：
1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。
2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二 阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏 微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容
p p( x, y, z, t )
流体力学与传热：3-1_第三章 流体运动学
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值 之差。而与曲线的形状无关。
B
B
B
AB Vds (udx vdy wdz) d B A
A
A
A
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单
值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，
即 AB 0 。
（3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
vx
x
vy
y
vz
z
若流动无旋，则存在速度势
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
o
Dxy C
y
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有
x
4x
y
0
该流动无旋，存在速度势函数。
（2）由流函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uydx
uxdy
4
ydx
4xdy
积分
4xy C
由速度势函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uxdx
uydy
different directions of motion.
• 代入流线微分方程式中，得
dx dy 0
x
y
• 即 d 0
• 所以 C
• 上式说明流函数的等值线与流线重合。
流体运动学
在流体运动的某一初始时刻t = t。每一个流体质点都占有唯一确 定的空间位置，这样，我们就可以用这一质点在t = t。时刻的空间坐 标（X，Y，Z）来标记它。如对于某一流体质点，当t = t。时的坐标 为 ，则该点的轨迹 。 对于任一质点：
流体在初始时刻的坐标或（X，Y，Z）就称为拉格朗日坐标，显然，在以 上描述中 ，或
4. 在定常流中，流线和迹线重合。
所以在定常流中，可以用烟线来显示流谱，问题：在非定常流 场中，烟线是流线还是迹线？——脉线
例2：给定欧拉描述的速度场：u=x+t，v=-y-t。求： 1）t=1时过x=1，y=1点的流体质点的迹线方程；
2）过该点的流线方程。
解：由迹线的微分方程，
积分得： 1）代入t=1时过x=1，y=1点的质点的条件可确定积分常数：
将其代入数度场的关系即可得到数度场的欧拉描述：
对上式求质点到数可得加速度：
与前面得到的结果相同。
那么我们究竟采用那种描述方法呢，仿佛拉格朗日法更符合我们 的习惯，事实是，在流体力学里，除了极特殊的情况，我们一般都采 用欧拉法而不是拉格朗日法。虽然因为拉氏法对运动的描述与理论力 学相同使我们感到熟悉，虽然欧氏法的加速度表述比较复杂，但是：
第二节 迹线和流线
一、 迹线
流体质点运动的轨迹叫迹线。在拉格 朗日法中，流体质点的位移方程就是迹线 方程： 。在欧拉法中，流体质 。 点运动的微分方程为：
可知，迹线是基于拉格朗日观点的流 体运动描述。 欧拉法在直角坐标中的分量表述可以写成：
所以：
二、 流线
流线是这样的一条空间曲线，在某一 时刻，此曲线上任一点的切线方向与流体 在该点的速度方向一致。(场，如电力线、
任一不与流管侧面平行的面被流管截
流体在初始时刻的坐标或（X，Y，Z）就称为拉格朗日坐标，显然，在以 上描述中 ，或
4. 在定常流中，流线和迹线重合。
所以在定常流中，可以用烟线来显示流谱，问题：在非定常流 场中，烟线是流线还是迹线？——脉线
例2：给定欧拉描述的速度场：u=x+t，v=-y-t。求： 1）t=1时过x=1，y=1点的流体质点的迹线方程；
2）过该点的流线方程。
解：由迹线的微分方程，
积分得： 1）代入t=1时过x=1，y=1点的质点的条件可确定积分常数：
将其代入数度场的关系即可得到数度场的欧拉描述：
对上式求质点到数可得加速度：
与前面得到的结果相同。
那么我们究竟采用那种描述方法呢，仿佛拉格朗日法更符合我们 的习惯，事实是，在流体力学里，除了极特殊的情况，我们一般都采 用欧拉法而不是拉格朗日法。虽然因为拉氏法对运动的描述与理论力 学相同使我们感到熟悉，虽然欧氏法的加速度表述比较复杂，但是：
第二节 迹线和流线
一、 迹线
流体质点运动的轨迹叫迹线。在拉格 朗日法中，流体质点的位移方程就是迹线 方程： 。在欧拉法中，流体质 。 点运动的微分方程为：
可知，迹线是基于拉格朗日观点的流 体运动描述。 欧拉法在直角坐标中的分量表述可以写成：
所以：
二、 流线
流线是这样的一条空间曲线，在某一 时刻，此曲线上任一点的切线方向与流体 在该点的速度方向一致。(场，如电力线、
任一不与流管侧面平行的面被流管截
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
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间变化而引起的加速度,又叫“局部加速度”。
２) vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
:变位导数
它是在同一时间，在空间不同点处速度不同
而引起的加速度，又叫“对流加速度”。
讨论问题：
1)什么情况下只有局部加速度？
2.什么情况下只有位移加速度？ 3.什么情况下两部分加速度都有？ 4.DDt ( ) :称为流体的质点导数
的速度变化率：
r
r
lim ar
V (x x, y y, z , t t, ) V (x, y, z, t)
t 0
t
rr
r
r
V V dx V dy V dz
t x dt y dt z dt
r
r
r
r
V t
ux
V x
uy
V y
uz
V z
r
DV
Dt
加速度的矢量试:
ar
r DV
r V
t t t t t
2.非定常(non-steady flow) 在流场某点处有物理量随时间变化.
定常运动与坐标的选取有关
二、轨迹线(path line)
1.定义：连续时间内流体质点在空间经过的曲 线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点， 因此它是与拉格朗日法相联系的。
2. 特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同 一流体质点在不同时刻的速度方向。
度(accleration)为：
vx
dx dt
vx (a, b, c, t )
vy
dy dt
vy (a, b, c, t )
vz
dz dt
vz (a, b, c, t )
ax
d 2x dt 2
ax (a, b, c, t )
ay
d2y dt 2
ay (a, b, c, t )
az
d 2z dt 2
rr (V )V
Dt t
从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：
ax
dvx dt
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
ay
dvy dt
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
az
dvz dt
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
1）vtx : 局部导数，在固定空间点处， vx随时
dx
dy
dz
dt
vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
3. 轨迹线的方程式 ：
dx dy dz dt
ux
uy
uz
给定速度分布积分上式可得迹线方程。
一条迹线：一个流体质点在一段时间内描 述的路径。
t1
A
A
A AA
t2
t3
t4
A
t5
ts
三、流线(stream line)
B A
B A
流体的其它物理量都可以写为质点导数的形式: 例如:
D
Dt t Vx x Vy x Vz x
§３-２ 几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
1. 定常流动(steady flow) 在任意固定空间点处，所有物理量均不随时
间而变化的流动。即有
vx vy vz p 0
• 定常运动，流线的形状，不随时间变化，流 体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。
• 流线一般不相交
• 流线不转折，为光滑曲线。
3. 流线的微分方程
dx dy dz vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
上述可组成一微分方程组，给定速度分布积 分可得一族流线，确定积分常数后可得一条流 线。 注意：积分时时间作为参量。
§3-1 研究流体运动的两种方法
两个基本概念：
流体质点(particle)——体积很小的流体微团 流体就是由这种流体微团连续组成的。
流体微团在运动的过程中，在不同的瞬 时，占据不同的空间位置。
空间点: 空间点仅仅是表示空间位置的几何
点，并非实际的流体微团。空间点是不动的， 而流体微团则动。同一空间点，在某一瞬时为 某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新 的流体团所占据。也就是说，在连续流动过程 中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过
拉格朗日变量： ｘ＝ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｙ＝ｙ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） (a1,b1, c1,t0 )
ｚ＝ｚ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
(a2 , b2 , c2 , t0 )
思考题：
1. 当ａ，ｂ，ｃ为常数时，代表一个流 体质点随时间的变化？还是代表一群流 体质点随时间的变化？
2.若t为常数时又代表什么情况？其速度和加速
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
x
x
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
y
y
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
z
z
ｐ ＝ ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
Ρ ＝ ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
r V (x, y, z,t)
A
B
r
V (x Vxdt, y Vydt, z Vzdt,t dt)
加速度(accleration)：单位时间内流体质点
第三章 流体运动学
课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？
流体运动学用几何的观点来研究流体的运 动，暂不涉及力。
主要内容： 1.介绍研究流体运动的两种方法 2.用这两种方法来表达流体质点的运动 3.介绍流线、迹线、速度环量等基本概念 4.建立连续性方程
5. 引入流函数的概念 6.用分析的方法将流体运动速度分解为平移 变形速度以及旋转角速度；建立旋涡运动与无 旋运动的概念并引入速度势函数。
az (a, b, c, t )
பைடு நூலகம்
二、欧拉法(Euler)（空间点法）
欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的 空间点，空间点在不同的时刻为不同的流体质 点所占据。研究与流动有关的物理量。流动物 理量是空间坐标ｘ，ｙ，ｚ以及时间ｔ的函数。
例如流体质点的速度(velocity)、压力 (pressure)和密度(density)可表示成欧拉变 量如下:
研究流体运动的两种方法
一、拉格朗日（Lagrange)法（质点法）
始终跟随每一个流体质点，研究其在运动过程 中的位置、有关物理量（速度、压力、密度等） 的变化规律。
设任意时刻，任意流体质点的空间坐标为 ｘ,ｙ,z，则以a,b,c标认的流体质点在ｔ时刻 所对应的位置, x,y,z应该是a,b,c和时间ｔ的 函数，即
1. 定义：流场中这样一条连续光滑曲线：它上 面每一点的切线方向与该点的速度矢 量方向重合。
r
Va
r
a
b
c
Vc
r
Vb
流线
r
r t=t1的流线r
Va
Vb
Vc
b
a
t1
a
t1+ Δt
c t1+ 2Δt
a
质点a的轨迹
2. 流线特点 • 流线上各点的切线方向所表示的是在同一时
刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形 状一般都随时间而变。
２) vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
:变位导数
它是在同一时间，在空间不同点处速度不同
而引起的加速度，又叫“对流加速度”。
讨论问题：
1)什么情况下只有局部加速度？
2.什么情况下只有位移加速度？ 3.什么情况下两部分加速度都有？ 4.DDt ( ) :称为流体的质点导数
的速度变化率：
r
r
lim ar
V (x x, y y, z , t t, ) V (x, y, z, t)
t 0
t
rr
r
r
V V dx V dy V dz
t x dt y dt z dt
r
r
r
r
V t
ux
V x
uy
V y
uz
V z
r
DV
Dt
加速度的矢量试:
ar
r DV
r V
t t t t t
2.非定常(non-steady flow) 在流场某点处有物理量随时间变化.
定常运动与坐标的选取有关
二、轨迹线(path line)
1.定义：连续时间内流体质点在空间经过的曲 线称为轨迹线。它的着眼点是个别流体质点， 因此它是与拉格朗日法相联系的。
2. 特点：轨迹线上各点的切线方向表示的是同 一流体质点在不同时刻的速度方向。
度(accleration)为：
vx
dx dt
vx (a, b, c, t )
vy
dy dt
vy (a, b, c, t )
vz
dz dt
vz (a, b, c, t )
ax
d 2x dt 2
ax (a, b, c, t )
ay
d2y dt 2
ay (a, b, c, t )
az
d 2z dt 2
rr (V )V
Dt t
从而欧拉法表示的加速度在直角坐标系中为：
ax
dvx dt
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
ay
dvy dt
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
az
dvz dt
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
1）vtx : 局部导数，在固定空间点处， vx随时
dx
dy
dz
dt
vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
3. 轨迹线的方程式 ：
dx dy dz dt
ux
uy
uz
给定速度分布积分上式可得迹线方程。
一条迹线：一个流体质点在一段时间内描 述的路径。
t1
A
A
A AA
t2
t3
t4
A
t5
ts
三、流线(stream line)
B A
B A
流体的其它物理量都可以写为质点导数的形式: 例如:
D
Dt t Vx x Vy x Vz x
§３-２ 几个基本概念
一、定常运动与非定常运动
1. 定常流动(steady flow) 在任意固定空间点处，所有物理量均不随时
间而变化的流动。即有
vx vy vz p 0
• 定常运动，流线的形状，不随时间变化，流 体质点沿流线前进，流线与轨迹线重合。
• 流线一般不相交
• 流线不转折，为光滑曲线。
3. 流线的微分方程
dx dy dz vx (x, y, z,t) vy (x, y, z,t) vz (x, y, z,t)
上述可组成一微分方程组，给定速度分布积 分可得一族流线，确定积分常数后可得一条流 线。 注意：积分时时间作为参量。
§3-1 研究流体运动的两种方法
两个基本概念：
流体质点(particle)——体积很小的流体微团 流体就是由这种流体微团连续组成的。
流体微团在运动的过程中，在不同的瞬 时，占据不同的空间位置。
空间点: 空间点仅仅是表示空间位置的几何
点，并非实际的流体微团。空间点是不动的， 而流体微团则动。同一空间点，在某一瞬时为 某一流体微团所占据，在另一瞬时又为另一新 的流体团所占据。也就是说，在连续流动过程 中，同一空间点先后为不同的流体微团所经过
拉格朗日变量： ｘ＝ｘ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
ｙ＝ｙ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ） (a1,b1, c1,t0 )
ｚ＝ｚ（ａ，ｂ，ｃ，ｔ）
(a2 , b2 , c2 , t0 )
思考题：
1. 当ａ，ｂ，ｃ为常数时，代表一个流 体质点随时间的变化？还是代表一群流 体质点随时间的变化？
2.若t为常数时又代表什么情况？其速度和加速
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
x
x
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
y
y
ｖ ＝ｖ （ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
z
z
ｐ ＝ ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
Ρ ＝ ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）
r V (x, y, z,t)
A
B
r
V (x Vxdt, y Vydt, z Vzdt,t dt)
加速度(accleration)：单位时间内流体质点
第三章 流体运动学
课堂提问：流体运动与刚体运动有什么差别？
流体运动学用几何的观点来研究流体的运 动，暂不涉及力。
主要内容： 1.介绍研究流体运动的两种方法 2.用这两种方法来表达流体质点的运动 3.介绍流线、迹线、速度环量等基本概念 4.建立连续性方程
5. 引入流函数的概念 6.用分析的方法将流体运动速度分解为平移 变形速度以及旋转角速度；建立旋涡运动与无 旋运动的概念并引入速度势函数。
az (a, b, c, t )
பைடு நூலகம்
二、欧拉法(Euler)（空间点法）
欧拉法不跟踪流体质点，而着眼于选定的 空间点，空间点在不同的时刻为不同的流体质 点所占据。研究与流动有关的物理量。流动物 理量是空间坐标ｘ，ｙ，ｚ以及时间ｔ的函数。
例如流体质点的速度(velocity)、压力 (pressure)和密度(density)可表示成欧拉变 量如下:
研究流体运动的两种方法
一、拉格朗日（Lagrange)法（质点法）
始终跟随每一个流体质点，研究其在运动过程 中的位置、有关物理量（速度、压力、密度等） 的变化规律。
设任意时刻，任意流体质点的空间坐标为 ｘ,ｙ,z，则以a,b,c标认的流体质点在ｔ时刻 所对应的位置, x,y,z应该是a,b,c和时间ｔ的 函数，即
1. 定义：流场中这样一条连续光滑曲线：它上 面每一点的切线方向与该点的速度矢 量方向重合。
r
Va
r
a
b
c
Vc
r
Vb
流线
r
r t=t1的流线r
Va
Vb
Vc
b
a
t1
a
t1+ Δt
c t1+ 2Δt
a
质点a的轨迹
2. 流线特点 • 流线上各点的切线方向所表示的是在同一时
刻流场中这些点上的速度方向，因而流线形 状一般都随时间而变。