第三章流体运动学
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第三章 流体运动学.ppt
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章 流体运动学
第三章 流体运动学与动力学基础
§3-1 研究流体流动的方法 §3-2 流体运动的基本概念 §3-3 连续性方程 §3-4 理想流体运动微分方程式及伯努利方程
§3-5 实际流体总流的伯努利方程
§3-6 液流能量的增加和泵的效率 §3-7 稳定流的动量方程及其应用
§3－1 研究流体流动的方法
一、拉格朗日法（跟踪法）Lagrangian method 定义:是研究个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变 化，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
三、拉格朗日法和欧拉法表达式的转换
拉格朗日法
欧拉法
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
（1）
可求出用x，y，z，t 表达的a，b，c的关系式：
a=f1(x,y,z,t) b=f2(x,y,z,t) c=f3(x,y,z,t)
（2）
因为：
dx x u x dt t xa, b, c, t dy y ya, b, c, t u y dt t u dz z z a, b, c, t z dt t
又称随体法
拉格朗日法
着眼于流体质点
跟踪个别 流体质点
研究其位 移、速度、 加速度等随 时间的变 化情况
综合流场中 所有流体质 点的运动
流场分布
取 t=t0 时，以每个质点的空间坐标位置为 （a，b，c） 作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
设任意时刻t,质点坐标为(x,y,z) ,则： x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
（5）
将（4）式代入（5）式积分，可得 （6） x=F1(c1,c2,c3,t) c1,c2,c3是积分 y= F2(c1,c2,c3,t) 积出的常数 z= F3(c1,c2,c3,t) 据拉格朗日法，当t＝t0时，x=a，y=b，z=c，则： a=F1(c1,c2,c3,t0) （7） b= F2(c1,c2,c3,t0) c= F3(c1,c2,c3,t0) 所以 c1=Φ1(a,b,c,t0) c2= Φ2(a,b,c,t0) （8） c3= Φ3(a,b,c,t0) x=x(a,b,c,t) 将（8）式代入（6）式 y=y(a,b,c,t) 就可得到拉格朗日表达式 z=z(a,b,c,t)
§3-1 研究流体流动的方法 §3-2 流体运动的基本概念 §3-3 连续性方程 §3-4 理想流体运动微分方程式及伯努利方程
§3-5 实际流体总流的伯努利方程
§3-6 液流能量的增加和泵的效率 §3-7 稳定流的动量方程及其应用
§3－1 研究流体流动的方法
一、拉格朗日法（跟踪法）Lagrangian method 定义:是研究个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变 化，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。
三、拉格朗日法和欧拉法表达式的转换
拉格朗日法
欧拉法
x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
（1）
可求出用x，y，z，t 表达的a，b，c的关系式：
a=f1(x,y,z,t) b=f2(x,y,z,t) c=f3(x,y,z,t)
（2）
因为：
dx x u x dt t xa, b, c, t dy y ya, b, c, t u y dt t u dz z z a, b, c, t z dt t
又称随体法
拉格朗日法
着眼于流体质点
跟踪个别 流体质点
研究其位 移、速度、 加速度等随 时间的变 化情况
综合流场中 所有流体质 点的运动
流场分布
取 t=t0 时，以每个质点的空间坐标位置为 （a，b，c） 作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数。
设任意时刻t,质点坐标为(x,y,z) ,则： x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t)
（5）
将（4）式代入（5）式积分，可得 （6） x=F1(c1,c2,c3,t) c1,c2,c3是积分 y= F2(c1,c2,c3,t) 积出的常数 z= F3(c1,c2,c3,t) 据拉格朗日法，当t＝t0时，x=a，y=b，z=c，则： a=F1(c1,c2,c3,t0) （7） b= F2(c1,c2,c3,t0) c= F3(c1,c2,c3,t0) 所以 c1=Φ1(a,b,c,t0) c2= Φ2(a,b,c,t0) （8） c3= Φ3(a,b,c,t0) x=x(a,b,c,t) 将（8）式代入（6）式 y=y(a,b,c,t) 就可得到拉格朗日表达式 z=z(a,b,c,t)
第三章流体运动学与动力学基础
第三章 流体运动学与动力学基础
掌握
四、有效断面、流量和断面平均流速
有效断面：流束或总流上，垂直于流线的断面。
所有流线都垂直于有效断面，因此沿有效断面上没有流体流动。 有效断面可以是平面，也可以是曲面。
第三章 流体运动学与动力学基础
流量：单位时间内流过有效断面的流体量。
流量的表达方法：
意义：流线形象的描绘了流场中各质点的瞬时流动方向。 第三章 流体运动学与动力学基础
第三章 流体运动学与动力学基础
方程：以空间点为研究对象，基于欧拉 法推导流线方程：在M点沿流线方向取
有向微元长d s dxi dy j dzk ，质
点M速度为 u ux i uy j uz k 。因为：
掌握
欧拉法及其加速度表达式
第三章 流体运动学与动力学基础
基本概念
流体质点：一个物理点，即流体微团，是构成连续介质的流体的基
本单位，宏观上无穷小（体积非常微小，其几何尺寸可忽略），微观 上无穷大（包含许许多多的流体分子，体现了许多流体分子的统计学 特性）。
空间点：一个几何点，表示空间位置。 质点与空间点之间的关系：流体质点是流体的组成部分，在运
第三章 流体运动学与动力学基础
i 总流过流断面上，流体速度、流量、压力等运动要素通常不相等； 微小流束过流断面上，认为流体运动要素相等。因此：可以对微小流 束进行数学积分求解相应的总流断面上的运动要素——元流分析法。
如：圆管内部层流的流速分布为旋转抛物面
u2 u1 umax
u2 u1 umax
图3-5 管流总流断面流 ux uy uz
第三章 流体运动学与动力学基础
流线：
定义：某一瞬时流场中的一条曲线，其上各质点的运动方向均与曲线 相切。
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
水力学 第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章流体运动学
于是，对（3-1）式，速度表示为
d x x x(a, b, c, t ) vx x(a, b, c, t ) d t t t d y y y (a, b, c, t ) vy y(a, b, c, t ) d t t t d z z z (a, b, c, t ) vx z (a, b, c, t ) d t t t
vz 0
解：由vz=0，为二元流动，代入流线方程
dx 2 dy 2 2 (x y ) (x y2 ) ky kx
y v vy vx o x
k 0, x d x y d y 0
积分：
x y C
2 2
为以原点为圆心的圆。 因k>0，则 当x 0, y 0时
vx 0, v y 0
4、过流断面、湿周、水力半径、当量直径
与流束或总流中所有流线均垂直的断面，称过 流断面，面积用A表示。 在总流的过流断面上，与流体相接触的固体壁 面边壁周长称湿周，用χ表示[kai]。 总流过流断面积与湿周之比称水力半径，用R表 示。
4倍总流过流断面积与湿周之比称当量直径，用 de表示。
对圆管半充满
（3-4）
在不同时刻，给点上的原质点由其它质点替换而 出现不同，欧拉法不随质点走，只固定位置。 欧拉法应先确定v的表达式，而拉格朗日法先确 定x，y，z的关系式，然后给出速度。虽然变量 不同，但描述的核心不变，只是方法不同，数 学表达不同罢了。
其向量表示为：a v (v )v t
( vx ) v x vx x x x
( v y ) y vy y y v y
（3-9）
即为直角坐标系下的连续性方程。
水力学第三章 流体运动学
流速场： u
=u( x, y, z)
du dt
质 点 加 速 度
=
u t
+
(u )u
位变 加速度
由流速不均 匀性引起
时变加速度 由流速 不恒定 性引起
u du a= = +(u )u t dt
分量 形式
ux ux ux ux d u x = ax = +u x +u y +u z t x y z dt uy uy uy uy d u y= ay= +ux +u y +uz t x y z dt uz uz uz uz d u z = az = +u x +u y +u z t x y z dt
不可压
d =0 dt
=const
是其特例
§3—2 有关流场的几个基本概念
一. 恒定流、非恒定流
• 若流场中各空间点上的
任何运动要素均不随时间 变化，称流动为恒定流。 否则，为非恒定流。 例如，恒定流的
•
恒定流中，所有物 理量的欧拉表达式中 将不显含时间，它们 只是空间位置坐标的 函数，时变导数为 零。 定流的时变加速 ••恒恒 定流的时变加速 度为零，但位变加速 度为零，但位变加速 度可以不为零。 度可以不为零。
r (a , b, c, t ) d r ( a, b, c, t ) u ( a, b, c, t ) = = t dt
u(a, b, c, t ) 2 r( a , b , c, t ) d u(a, b, c, t ) a (a , b , c , t ) = = = t t2 dt
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第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
3.2 基本概念
三 质点导数
基本参数： 位移 流体y y(a，b，c，t ) z z (a，b，c，t )
物理概念 清晰，但 处理问题 十分困难
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体各个质点的标志，初始
位置坐标（a，b，c）与时间变量t无关。
3.1 研究流体运动的方法
3.1 研究流体运动的方法
一、基本概念
1. 运动要素：表征流体运动状态的物理量，如位移，速度，加速度
2. 运动要素之间的规律
① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 3. 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说
流体运动空间的每一点、在某一个时刻，都对应着描述流体运动状态
3. 流线的性质
3.2 基本概念
v1
交点
（1）定常流动时流线形状不变（速度不随时间变化，则 代表速度方向的流线形状也与时间无关），流线与迹线重合。 非定常流动时流线形状发生变化。 （2）流线是一条光滑的曲线，流线彼此不能相交， 不可能突然转折，但可以相切。
（3）流线簇的疏密反映了速度的大小；流线的弯曲程 度表示了流动速度变化的快慢程度。 （4）均匀流因质点速度大小方向不随位置而变化，故 其流向是相互平行的直线。同一条流线上的流速相等。
流场的两个特例
3.2 基本概念
v v ( x, y , z ) p p ( x, y , z )
一、定常流动和非定常流动
1. 定常流动 流动运动参量，不随时间t变化的流动,只是空间坐标的函数
( x, y , z )
特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而 与时间无关，即具有时间不变性。也即：
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不是坐标的函数 即：
u u u P P P ... 0 x y z x y z
2. 非均匀流动：如果均匀场中任何一个物理量的分布不具有空间不 变性，则为非均匀流动
3.2 基本概念
补充:一维流动、二维流动和三维流动
运动中的流体质点所具有的物理量N(速度、压强、密 度、质量、温度、动量、动能等)对时间的变化率，称为物
理量N的质点导数。
三--1、拉格朗日法表示的质点导数
质点物理量：
1. 流体质点的位置坐标：
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) 流体质点的运动方程 z z (a，b，c，t )
的参量有一个确定的值，即物理的场
场的分类： 矢量场 标量场
稳定场 时变场
4. 场的描述方法
描述流体运动就是表达流动参数在空间不同位置上随时间连续变 化的规律。
流动参数：表征流体运动的主要物理量统称为流体的流动参数。包 括：流动速度V、压力P 、位移(x,y,z)、密度、动量、动能等。
描述流体运动是从着眼于研究流体质点的运动，还是着 眼于研究流场空间点上流动参数的变化出发，可分为：拉格 朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。
v p T ... 0 t t t t
3.2 基本概念
一、定常流动和非定常流动（续）
2. 非定常流动
流动参量，随时间变化的流动。
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
3. 流体质点的加速度：
3.2 基本概念
三--2、欧拉法表示的质点导数 流体质点运动的加速度
ax
u u( x , y, z , t )
du x u x u x dx u x dy u x dz dt t x dt y dt z dt
ux dx dy dz , uy , uz dt dt dt
d x u xd t d y u yd t d z u zd t
便可得到迹线的微分方程：
dx dy dz dt ux uy uz
流线和迹线是两个不同的概念，但是，在恒定流/定常 流/稳定流中，流线不随时间变化，流线上的质点继续沿流 线运动，此时流线和迹线在几何上是一致的，两者重合。
dx ds dy ds dz ds , , ux u u y u uz u
A dz dx
dy
y
uz ux
dx dy dz ds ux u y uz u
y
x
图3－6 式中ux、uy、uz 是空间坐标x，y，z和时间t 的函数。所以流线是针对某一 时刻而言的，时间t的变化会引起速度的变化，流线的位置形状也会随之变化。 只有当流速不随时间变化时（定常流），流线才能不随时间变化。
点的运动情况，来了解整个流动空间内的流动情况。它是基
于“流场”的概念的，又称为“观察点法” 。
3.1 研究流体运动的方法
二、拉格朗日法（质点跟踪法） 基本思想：当初始时刻t0某个质点的初始位置（a,b,c）（各 个质点的a,b,c的值各不相同），经过Δt后该质点到达新的位 置(x,y,z)。x=x(a,b,c,t)……
3.1 研究流体运动的方法
描述流体运动的两种方法
拉格朗日法，研究的是流体中具体的各个质点流动参数的 变化规律，来获得整个流体的运动规律。跟踪各个流体质点 N=N(a,b,c,t)的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理 量随时间的变化及其规律。又称为“质点跟踪法”。 欧拉法，它以考察流场中流体的不同质点通过固定空间
如教材图3-1，分析在h不变和改变情况下，a段和b段 的流场及其加速度情况。
3.2 基本概念
四、迹线与流线
属拉格朗日法 的研究内容。
1、迹线定义：流体的某一个质点在不同时刻形成的曲线（轨迹线）
举例 烟火 流星
迹线方程 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。流体质 点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动方程：
3.1 研究流体运动的方法
四、两种描述的关系
两种方法的比较 拉格朗日法
同时描述所有质点的瞬时参数 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的
欧拉法
分别描述有限质点的轨迹 表达式简单 直接反映参数的空间分布 适合描述流体元的运动变形特性 流体力学最常用的解析方法
二、拉格朗日法（质点跟踪法）
几点说明：
1、对于某个确定的流体质点，初始坐标（a，b，c）为常 数，与时间无关，t为变量——轨迹 2、t为常数，（a，b，c）为变数——某一瞬时刻不同流体质 点的位置分布 3、a，b，c为Lagrange变数，不是变量，也不是空间坐标 和时间t的函数，它只是流体质点的标号
同理并推导得
u y u x u u ux x u y u z z 矢量形式： t x y z d u u u y u y u y u y a ( u ) u ay ux uy uz dt t t x y z 其中哈密顿算子 nabla i j k u u x u z u z y x y z az ux uy uz t x y z ax
2. 速度：
x ( a，b，c，t ) t y( a，b，c，t ) v v ( a，b，c，t ) t z ( a，b，c，t ) w w ( a，b，c，t ) t u u( a，b，c，t )＝
u(a，b，c，t ) 2 x (a，b，c，t ) a x a x ( a，b，c，t )＝ t t 2 2 v ( a，b，c，t ) y(a，b，c，t ) a y a y ( a，b，c，t ) t t 2 2 w (a，b，c，t ) z (a，b，c，t ) a y a y ( a，b，c，t ) t t 2
电话号码
3.1 研究流体运动的方法
优缺点：
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
2 .实际流体力学问题均为三元流动。工程中一般根据具体情况加以 简化。
3.2 基本概念
三 质点导数
基本参数： 位移 流体y y(a，b，c，t ) z z (a，b，c，t )
物理概念 清晰，但 处理问题 十分困难
独立变量：（a,b,c,t）——区分流体各个质点的标志，初始
位置坐标（a，b，c）与时间变量t无关。
3.1 研究流体运动的方法
3.1 研究流体运动的方法
一、基本概念
1. 运动要素：表征流体运动状态的物理量，如位移，速度，加速度
2. 运动要素之间的规律
① 每一运动要素都随空间与时间在变化； ② 各要素之间存在着本质联系。 3. 场的概念：流体的运动是以空间坐标和时间为变量描述的，或者说
流体运动空间的每一点、在某一个时刻，都对应着描述流体运动状态
3. 流线的性质
3.2 基本概念
v1
交点
（1）定常流动时流线形状不变（速度不随时间变化，则 代表速度方向的流线形状也与时间无关），流线与迹线重合。 非定常流动时流线形状发生变化。 （2）流线是一条光滑的曲线，流线彼此不能相交， 不可能突然转折，但可以相切。
（3）流线簇的疏密反映了速度的大小；流线的弯曲程 度表示了流动速度变化的快慢程度。 （4）均匀流因质点速度大小方向不随位置而变化，故 其流向是相互平行的直线。同一条流线上的流速相等。
流场的两个特例
3.2 基本概念
v v ( x, y , z ) p p ( x, y , z )
一、定常流动和非定常流动
1. 定常流动 流动运动参量，不随时间t变化的流动,只是空间坐标的函数
( x, y , z )
特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函数，而 与时间无关，即具有时间不变性。也即：
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不是坐标的函数 即：
u u u P P P ... 0 x y z x y z
2. 非均匀流动：如果均匀场中任何一个物理量的分布不具有空间不 变性，则为非均匀流动
3.2 基本概念
补充:一维流动、二维流动和三维流动
运动中的流体质点所具有的物理量N(速度、压强、密 度、质量、温度、动量、动能等)对时间的变化率，称为物
理量N的质点导数。
三--1、拉格朗日法表示的质点导数
质点物理量：
1. 流体质点的位置坐标：
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) 流体质点的运动方程 z z (a，b，c，t )
的参量有一个确定的值，即物理的场
场的分类： 矢量场 标量场
稳定场 时变场
4. 场的描述方法
描述流体运动就是表达流动参数在空间不同位置上随时间连续变 化的规律。
流动参数：表征流体运动的主要物理量统称为流体的流动参数。包 括：流动速度V、压力P 、位移(x,y,z)、密度、动量、动能等。
描述流体运动是从着眼于研究流体质点的运动，还是着 眼于研究流场空间点上流动参数的变化出发，可分为：拉格 朗日（Lagrange）法和欧拉（Euler）法。
v p T ... 0 t t t t
3.2 基本概念
一、定常流动和非定常流动（续）
2. 非定常流动
流动参量，随时间变化的流动。
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
3. 流体质点的加速度：
3.2 基本概念
三--2、欧拉法表示的质点导数 流体质点运动的加速度
ax
u u( x , y, z , t )
du x u x u x dx u x dy u x dz dt t x dt y dt z dt
ux dx dy dz , uy , uz dt dt dt
d x u xd t d y u yd t d z u zd t
便可得到迹线的微分方程：
dx dy dz dt ux uy uz
流线和迹线是两个不同的概念，但是，在恒定流/定常 流/稳定流中，流线不随时间变化，流线上的质点继续沿流 线运动，此时流线和迹线在几何上是一致的，两者重合。
dx ds dy ds dz ds , , ux u u y u uz u
A dz dx
dy
y
uz ux
dx dy dz ds ux u y uz u
y
x
图3－6 式中ux、uy、uz 是空间坐标x，y，z和时间t 的函数。所以流线是针对某一 时刻而言的，时间t的变化会引起速度的变化，流线的位置形状也会随之变化。 只有当流速不随时间变化时（定常流），流线才能不随时间变化。
点的运动情况，来了解整个流动空间内的流动情况。它是基
于“流场”的概念的，又称为“观察点法” 。
3.1 研究流体运动的方法
二、拉格朗日法（质点跟踪法） 基本思想：当初始时刻t0某个质点的初始位置（a,b,c）（各 个质点的a,b,c的值各不相同），经过Δt后该质点到达新的位 置(x,y,z)。x=x(a,b,c,t)……
3.1 研究流体运动的方法
描述流体运动的两种方法
拉格朗日法，研究的是流体中具体的各个质点流动参数的 变化规律，来获得整个流体的运动规律。跟踪各个流体质点 N=N(a,b,c,t)的运动全过程，记录它们在运动过程中的各物理 量随时间的变化及其规律。又称为“质点跟踪法”。 欧拉法，它以考察流场中流体的不同质点通过固定空间
如教材图3-1，分析在h不变和改变情况下，a段和b段 的流场及其加速度情况。
3.2 基本概念
四、迹线与流线
属拉格朗日法 的研究内容。
1、迹线定义：流体的某一个质点在不同时刻形成的曲线（轨迹线）
举例 烟火 流星
迹线方程 迹线是指某一质点在某一时段内的运动轨迹线。流体质 点在某一时段的运动轨迹称为迹线。由运动方程：
3.1 研究流体运动的方法
四、两种描述的关系
两种方法的比较 拉格朗日法
同时描述所有质点的瞬时参数 表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的
欧拉法
分别描述有限质点的轨迹 表达式简单 直接反映参数的空间分布 适合描述流体元的运动变形特性 流体力学最常用的解析方法
二、拉格朗日法（质点跟踪法）
几点说明：
1、对于某个确定的流体质点，初始坐标（a，b，c）为常 数，与时间无关，t为变量——轨迹 2、t为常数，（a，b，c）为变数——某一瞬时刻不同流体质 点的位置分布 3、a，b，c为Lagrange变数，不是变量，也不是空间坐标 和时间t的函数，它只是流体质点的标号
同理并推导得
u y u x u u ux x u y u z z 矢量形式： t x y z d u u u y u y u y u y a ( u ) u ay ux uy uz dt t t x y z 其中哈密顿算子 nabla i j k u u x u z u z y x y z az ux uy uz t x y z ax
2. 速度：
x ( a，b，c，t ) t y( a，b，c，t ) v v ( a，b，c，t ) t z ( a，b，c，t ) w w ( a，b，c，t ) t u u( a，b，c，t )＝
u(a，b，c，t ) 2 x (a，b，c，t ) a x a x ( a，b，c，t )＝ t t 2 2 v ( a，b，c，t ) y(a，b，c，t ) a y a y ( a，b，c，t ) t t 2 2 w (a，b，c，t ) z (a，b，c，t ) a y a y ( a，b，c，t ) t t 2
电话号码
3.1 研究流体运动的方法
优缺点：