第三章 流体运动学
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第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章 流体运动学.ppt
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
第三章 流体运动学基础
一、流场：充满运动流体的空间
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
z
v
t
x
x
y
y
z
z
xvi
y
v
j z
v k
v
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
vi
y
t
x
y
x
y
dt
dt
dt
y x
xy
yx
d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
z
v
t
x
x
y
y
z
z
xvi
y
v
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v k
v
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
vi
y
t
x
y
x
y
dt
dt
dt
y x
xy
yx
d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
流体力学与传热：3-1_第三章 流体运动学
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值 之差。而与曲线的形状无关。
B
B
B
AB Vds (udx vdy wdz) d B A
A
A
A
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单
值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，
即 AB 0 。
（3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
vx
x
vy
y
vz
z
若流动无旋，则存在速度势
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
o
Dxy C
y
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有
x
4x
y
0
该流动无旋，存在速度势函数。
（2）由流函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uydx
uxdy
4
ydx
4xdy
积分
4xy C
由速度势函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uxdx
uydy
different directions of motion.
• 代入流线微分方程式中，得
dx dy 0
x
y
• 即 d 0
• 所以 C
• 上式说明流函数的等值线与流线重合。
流体运动学
在流体运动的某一初始时刻t = t。每一个流体质点都占有唯一确 定的空间位置，这样，我们就可以用这一质点在t = t。时刻的空间坐 标（X，Y，Z）来标记它。如对于某一流体质点，当t = t。时的坐标 为 ，则该点的轨迹 。 对于任一质点：
流体在初始时刻的坐标或（X，Y，Z）就称为拉格朗日坐标，显然，在以 上描述中 ，或
4. 在定常流中，流线和迹线重合。
所以在定常流中，可以用烟线来显示流谱，问题：在非定常流 场中，烟线是流线还是迹线？——脉线
例2：给定欧拉描述的速度场：u=x+t，v=-y-t。求： 1）t=1时过x=1，y=1点的流体质点的迹线方程；
2）过该点的流线方程。
解：由迹线的微分方程，
积分得： 1）代入t=1时过x=1，y=1点的质点的条件可确定积分常数：
将其代入数度场的关系即可得到数度场的欧拉描述：
对上式求质点到数可得加速度：
与前面得到的结果相同。
那么我们究竟采用那种描述方法呢，仿佛拉格朗日法更符合我们 的习惯，事实是，在流体力学里，除了极特殊的情况，我们一般都采 用欧拉法而不是拉格朗日法。虽然因为拉氏法对运动的描述与理论力 学相同使我们感到熟悉，虽然欧氏法的加速度表述比较复杂，但是：
第二节 迹线和流线
一、 迹线
流体质点运动的轨迹叫迹线。在拉格 朗日法中，流体质点的位移方程就是迹线 方程： 。在欧拉法中，流体质 。 点运动的微分方程为：
可知，迹线是基于拉格朗日观点的流 体运动描述。 欧拉法在直角坐标中的分量表述可以写成：
所以：
二、 流线
流线是这样的一条空间曲线，在某一 时刻，此曲线上任一点的切线方向与流体 在该点的速度方向一致。(场，如电力线、
任一不与流管侧面平行的面被流管截
流体在初始时刻的坐标或（X，Y，Z）就称为拉格朗日坐标，显然，在以 上描述中 ，或
4. 在定常流中，流线和迹线重合。
所以在定常流中，可以用烟线来显示流谱，问题：在非定常流 场中，烟线是流线还是迹线？——脉线
例2：给定欧拉描述的速度场：u=x+t，v=-y-t。求： 1）t=1时过x=1，y=1点的流体质点的迹线方程；
2）过该点的流线方程。
解：由迹线的微分方程，
积分得： 1）代入t=1时过x=1，y=1点的质点的条件可确定积分常数：
将其代入数度场的关系即可得到数度场的欧拉描述：
对上式求质点到数可得加速度：
与前面得到的结果相同。
那么我们究竟采用那种描述方法呢，仿佛拉格朗日法更符合我们 的习惯，事实是，在流体力学里，除了极特殊的情况，我们一般都采 用欧拉法而不是拉格朗日法。虽然因为拉氏法对运动的描述与理论力 学相同使我们感到熟悉，虽然欧氏法的加速度表述比较复杂，但是：
第二节 迹线和流线
一、 迹线
流体质点运动的轨迹叫迹线。在拉格 朗日法中，流体质点的位移方程就是迹线 方程： 。在欧拉法中，流体质 。 点运动的微分方程为：
可知，迹线是基于拉格朗日观点的流 体运动描述。 欧拉法在直角坐标中的分量表述可以写成：
所以：
二、 流线
流线是这样的一条空间曲线，在某一 时刻，此曲线上任一点的切线方向与流体 在该点的速度方向一致。(场，如电力线、
任一不与流管侧面平行的面被流管截
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
水力学 第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章流体运动学
于是，对（3-1）式，速度表示为
d x x x(a, b, c, t ) vx x(a, b, c, t ) d t t t d y y y (a, b, c, t ) vy y(a, b, c, t ) d t t t d z z z (a, b, c, t ) vx z (a, b, c, t ) d t t t
vz 0
解：由vz=0，为二元流动，代入流线方程
dx 2 dy 2 2 (x y ) (x y2 ) ky kx
y v vy vx o x
k 0, x d x y d y 0
积分：
x y C
2 2
为以原点为圆心的圆。 因k>0，则 当x 0, y 0时
vx 0, v y 0
4、过流断面、湿周、水力半径、当量直径
与流束或总流中所有流线均垂直的断面，称过 流断面，面积用A表示。 在总流的过流断面上，与流体相接触的固体壁 面边壁周长称湿周，用χ表示[kai]。 总流过流断面积与湿周之比称水力半径，用R表 示。
4倍总流过流断面积与湿周之比称当量直径，用 de表示。
对圆管半充满
（3-4）
在不同时刻，给点上的原质点由其它质点替换而 出现不同，欧拉法不随质点走，只固定位置。 欧拉法应先确定v的表达式，而拉格朗日法先确 定x，y，z的关系式，然后给出速度。虽然变量 不同，但描述的核心不变，只是方法不同，数 学表达不同罢了。
其向量表示为：a v (v )v t
( vx ) v x vx x x x
( v y ) y vy y y v y
（3-9）
即为直角坐标系下的连续性方程。
北航水力学第三章—流体运动学
第三章 流体运动学
自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体 的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。
本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线 等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念
第三章 流体运动学
第一节 描述流体运动的方法
描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法
三元流：流动参数是三个空间坐标函数, ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元 流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。
ux uy uz 0 x y z
得
uz (ux uy ) 2(x y)
z
x y
积分得
uz z
dz
2(x
y)dz
得 uz 2(x y)z c 其中，c可为某一常数，也可以是与 z 无关的某一函数 f (x, y)
所以 uz 2(x y)z f (x, y)
(3)
ux 2ln(xy)
uy
3y x
uz 4
(4) ux x2 z2 5 uy y2 z2 3
解： (1)
ux uy uz 2 11 0 x y z
满足
(2)
ux uy uz 2x y 2 y 0
x y z
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)
自然界和工程实际中，流体大多数处于流动状态，流体 的流动性是流体在存在状态上与固体的最基本区别。
本章介绍研究流体运动的两种方式；以及相应的运动要素表达；迹线流线 等概念；连续性方程；有旋运动与无旋运动；环量与涡量概念
第三章 流体运动学
第一节 描述流体运动的方法
描述流体运动形态和方式：拉格朗日法和欧拉法
三元流：流动参数是三个空间坐标函数, ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
实际流动一般都是三元流动。 三元流分析时分析起来十分复杂，一般我们设法将其简化为二元流或一元 流。简化过程中要引进修正系数，修正系数可通过实验方法来确定。
ux uy uz 0 x y z
得
uz (ux uy ) 2(x y)
z
x y
积分得
uz z
dz
2(x
y)dz
得 uz 2(x y)z c 其中，c可为某一常数，也可以是与 z 无关的某一函数 f (x, y)
所以 uz 2(x y)z f (x, y)
(3)
ux 2ln(xy)
uy
3y x
uz 4
(4) ux x2 z2 5 uy y2 z2 3
解： (1)
ux uy uz 2 11 0 x y z
满足
(2)
ux uy uz 2x y 2 y 0
x y z
三维定常流：流动参数是三个空间坐标函数，与时间无关
ux ux (x, y, z) uy uy (x, y, z) uz uz (x, y, z)
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（3）拉格朗日变数和欧拉变数的相互转换 （略）。
3.1.2
欧拉法中流体运动的基本概念
在研究流体运动时，为了便于分析，常根据流体流动的 性质和特点，将流体的运动区分为各种类型。 （1） 流体的恒定流与非恒定流 恒定流 ：流场中所有空间点上一切运动要素（如流速向量、 压强、密度等等）均不随时间变化 ，即
表示成各分量形式：
( 3.4)
在x， 式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。 ux , u y , uz 分别是速度 u y，z上的分量。
写成矢量形式：
u ux i u y j uz k
( 3.5)
同理，在欧拉法中，密度ρ 、压强 p也可以表示为欧拉变 量的函数：
( x, y, z, t )
流线的形状和位置是在不停地变化的。
流线微分方程 速度矢量
u ux i u y j uz k
ds dxi dyj dzk
通过该点流线上的微元线段
速度与流线相切
i j k u ds ux u y uz 0 dx dy dz
dx dy 【解】（1）流线： ux u y
积分：
y
dx dy a bt
——流线方程
y c=2 c=1 c=0
bt y xc a
y c=2 c=1 c=0 o
o
c=2 c=1 c=0 x
x
o
பைடு நூலகம்
x
t=2时流线
t=0时流线
t=1时流线
（2）迹线
dx dy dt a bt
dx dt x at m 即 a
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶
和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度
和加速度：
速度表达式
x(a , b, c , t ) u x u x ( a , b, c , t ) t y(a , b, c , t ) u y u y ( a , b, c , t ) t z(a , b, c , t ) uz uz (a , b, c , t ) t
u u( x, y, z )
u 0 t
p p( x, y, z )
p 0 t
( x, y, z )
0 t
加速度
u a ( u )u t
等于零
对于恒定流，当地加速度等于零，只存在迁移加速度。 不满足恒定流的条件即为非恒定流：
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。 流 场：充满运动流体的空间。 流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续 介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立 描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和
欧拉法。
3.1.1
（1）
拉格朗日法和欧拉法
Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总 和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不 同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点 运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也 称为质点系法。 这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的 方法是一致的。
第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
几个基本概念： 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。
流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。
空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点， 在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新 的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中， 同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点 在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。 因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
（3.2）
ux 2 x(a , b, c, t ) ax t t 2
加速度表达式
u y 2 y ( a , b , c , t ) ay t t 2
（3.3）
uz 2 z(a , b, c, t ) az t t 2
式（3.2）、（3.3）仍为a、b、c、t 的函数。 同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写 成a、b、c和 t 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b， c，t )，T=T (a，b，c，t )。
化而产生的，称为迁移加速度（对流加速度），或称为位 变加速度（变位加速度）。它表示在同一时刻，因空间不 同点处流体质点由于速度不同而引起的加速度，即由流场 的不均匀性引起的，也就是流场非均匀性给予流体质点的
速度变化率。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
a 流体质点加速度 在坐标轴上的分量，即式（3.9）可写为：
为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。
设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标 为 (a, b, c ) 。当赋予(a, b, c ) 为一组确定值时，即表示跟踪这 一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质 点在空间所处的位置，即坐标 ( x, y, z ) ，又与时间 t 有关。
（2） 欧拉法 欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察
不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流
动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场， 所以欧拉法又称空间点法或流场法。 欧拉法把流场中各 运动要素表示成空间坐
标（x，y，z）和时间 t
的连续函数。
如图3.2 ，取空间任一固
谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过
该空间点时所具有的加速度。
设已知速度场为 u u( x, y, z, t ) ，在研究 t 时刻某一
流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视 为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运 动到新位置M’点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x， y，z也是时间 t 的函数，因此有：
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中 的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速 度 u 可表示为：
u u( x, y, z, t )
ux ux ( x , y , z , t ) uy uy ( x, y, z, t ) u u ( x, y, z, t ) z z
所以质点在空间的坐标 ( x, y, z ) 可以表示为起始坐标 (a, b, c )
和时间 t 的函数，即：
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) z z (a，b，c，t )
( 3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质
定义：表示流速场内某瞬时流速方向的曲线。在同一时刻，流 线上各空间点的流体质点的流速方向均与该曲线相切。 强调的是空间连续质点 而不是某单个质点 形成是在某一瞬间而不
是一段连续时间内
表示的是质点的速度方
向而不是空间位置连线
流线的几个性质：
① 流线是一条光滑的连续曲线，不能是折线 。
② 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，流线不能相交 和分支。 ③ 在恒定流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非恒定流动中，由于各空间点上速度随时间变化，
根据矢量的点积公式，上式可写为
( 3.8)
du u a ( u )u dt t ( u )u t ( 3.9)
式中 i j k 为哈密尔顿算子。 x y z
质点加速度：
du u a ( u )u dt t
dux ux ux ux ux ax ux uy uz dt t x y z
duy u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z
（3.10）
duz uz uz uz uz az ux uy uz dt t x y z
u x d y u y dx 0 u y d z u z dy 0 u z dx u x dz 0
（3.21）
dx dy dz ux u y uz
【例3.1】速度场ux=a，uy=bt，uz=0（a、b为常数）
求:（1）流线方程及t=0、1、2时流线图；
（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。
点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这
一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。 对于某个确定的时刻，t 为 常数， a、b、c为变量，x、y、
z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
迁移加速度
当地加速度
第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的，称为当地加速度（或称局部加速度），或称
为时变加速度（定位加速度）。它表示在固定空间点处，流
体质点由于速度随时间变化而引起的加速度，这是由流场的 非恒定性引起的，也就是非恒定性所给予流体质点的速度变 化率；
第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变
u u( x, y, z, t ) u 0 t
3.1.2
欧拉法中流体运动的基本概念
在研究流体运动时，为了便于分析，常根据流体流动的 性质和特点，将流体的运动区分为各种类型。 （1） 流体的恒定流与非恒定流 恒定流 ：流场中所有空间点上一切运动要素（如流速向量、 压强、密度等等）均不随时间变化 ，即
表示成各分量形式：
( 3.4)
在x， 式中x，y，z及 t 称为欧拉变量。 ux , u y , uz 分别是速度 u y，z上的分量。
写成矢量形式：
u ux i u y j uz k
( 3.5)
同理，在欧拉法中，密度ρ 、压强 p也可以表示为欧拉变 量的函数：
( x, y, z, t )
流线的形状和位置是在不停地变化的。
流线微分方程 速度矢量
u ux i u y j uz k
ds dxi dyj dzk
通过该点流线上的微元线段
速度与流线相切
i j k u ds ux u y uz 0 dx dy dz
dx dy 【解】（1）流线： ux u y
积分：
y
dx dy a bt
——流线方程
y c=2 c=1 c=0
bt y xc a
y c=2 c=1 c=0 o
o
c=2 c=1 c=0 x
x
o
பைடு நூலகம்
x
t=2时流线
t=0时流线
t=1时流线
（2）迹线
dx dy dt a bt
dx dt x at m 即 a
若起始坐标a、b、c及时间t为均为变量，x、y、z是两
者的函数，则式（3.1）所表达的是任意一个流体质点的运 动轨迹。
将式（3.1）的起始坐标a、b、c看作常数，对 t 求一阶
和二阶偏导数，就可得到任一流体质点在任意时刻的速度
和加速度：
速度表达式
x(a , b, c , t ) u x u x ( a , b, c , t ) t y(a , b, c , t ) u y u y ( a , b, c , t ) t z(a , b, c , t ) uz uz (a , b, c , t ) t
u u( x, y, z )
u 0 t
p p( x, y, z )
p 0 t
( x, y, z )
0 t
加速度
u a ( u )u t
等于零
对于恒定流，当地加速度等于零，只存在迁移加速度。 不满足恒定流的条件即为非恒定流：
空间点上的物理量：是指占据该空间点的流体质点的物理量。 流体的运动要素（流动参数）：表征流体运动的各种物理量， 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。 流 场：充满运动流体的空间。 流体运动的描述方法： 流体和固体不同，流体运动是由无数质点构成的连续 介质的流动。要研究这种连续介质的运动，首先必须建立 描述流体运动的方法。常用的方法有两种：拉格朗日法和
欧拉法。
3.1.1
（1）
拉格朗日法和欧拉法
Lagrange法（拉格朗日法）
拉格朗日法是把流体的运动看作是无数个质点运动的总 和。以个别质点作为研究对象，跟踪观察这一流体质点在不 同时间的位置、流速和压力的变化规律。通过对每一个质点 运动规律的研究来获得整个流体运动的规律性。这种方法也 称为质点系法。 这种方法和理论力学中研究固体质点和质点系运动的 方法是一致的。
第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
几个基本概念： 流体质点：微观上充分大，宏观上充分小的流体分子团。
流体是由无任何空隙的流体质点所组成的连续体。
空间点：表示空间位置的几何点。 空间点是不动的，而流体质点是流动的。对同一空间点， 在某一瞬时为某一流体质点所占据，在另一瞬时又被另一新 的流体质点所占据。也就是说，在流体连续流动的过程中， 同一空间点先后为不同的流体质点所经过。而同一流体质点 在运动的过程中，在不同的瞬时，占据不同的空间点。 因而，流体质点和空间点是两个完全不同的概念。
（3.2）
ux 2 x(a , b, c, t ) ax t t 2
加速度表达式
u y 2 y ( a , b , c , t ) ay t t 2
（3.3）
uz 2 z(a , b, c, t ) az t t 2
式（3.2）、（3.3）仍为a、b、c、t 的函数。 同样，流体的密度、压强和温度也可用拉格朗日法写 成a、b、c和 t 的函数，即ρ= ρ （a，b，c，t），p=p (a，b， c，t )，T=T (a，b，c，t )。
化而产生的，称为迁移加速度（对流加速度），或称为位 变加速度（变位加速度）。它表示在同一时刻，因空间不 同点处流体质点由于速度不同而引起的加速度，即由流场 的不均匀性引起的，也就是流场非均匀性给予流体质点的
速度变化率。
当地加速度和迁移加速度之和称为总加速度。
a 流体质点加速度 在坐标轴上的分量，即式（3.9）可写为：
为了研究流体质点的运动，首先要识别各个不同的质点。
设在直角坐标系中，起始时刻 t0 ，质点的起始位置坐标 为 (a, b, c ) 。当赋予(a, b, c ) 为一组确定值时，即表示跟踪这 一质点，因此，起始坐标可作为识别质点的标志；此外，质 点在空间所处的位置，即坐标 ( x, y, z ) ，又与时间 t 有关。
（2） 欧拉法 欧拉法以流动的空间（即流场）作为研究对象，观察
不同时刻各空间点上流体质点的运动要素，来了解整个流
动空间的流动情况。它着眼于研究各运动要素的分布场， 所以欧拉法又称空间点法或流场法。 欧拉法把流场中各 运动要素表示成空间坐
标（x，y，z）和时间 t
的连续函数。
如图3.2 ，取空间任一固
谓流场中某点的加速度，应理解为流体质点沿其轨迹线通过
该空间点时所具有的加速度。
设已知速度场为 u u( x, y, z, t ) ，在研究 t 时刻某一
流体质点通过空间点M(x,y,z)的加速度时，不能将x，y，z视 为常数，因为在微分时段dt中，这一流体质点将从M点运 动到新位置M’点，即运动着的流体质点本身的位置坐标x， y，z也是时间 t 的函数，因此有：
定点M，其位置坐标（x,
y, z）确定。 M为流场中 的点，其运动情况是M点
坐标（x, y, z）的函数，
也是时间 t 的函数。如速 度 u 可表示为：
u u( x, y, z, t )
ux ux ( x , y , z , t ) uy uy ( x, y, z, t ) u u ( x, y, z, t ) z z
所以质点在空间的坐标 ( x, y, z ) 可以表示为起始坐标 (a, b, c )
和时间 t 的函数，即：
x x(a，b，c，t ) y y(a，b，c，t ) z z (a，b，c，t )
( 3.1)
式中a、b、c、t 称为拉格朗日变量。
在（3.1）式中如果设a、b、c 为常数（表示跟踪这一质
定义：表示流速场内某瞬时流速方向的曲线。在同一时刻，流 线上各空间点的流体质点的流速方向均与该曲线相切。 强调的是空间连续质点 而不是某单个质点 形成是在某一瞬间而不
是一段连续时间内
表示的是质点的速度方
向而不是空间位置连线
流线的几个性质：
① 流线是一条光滑的连续曲线，不能是折线 。
② 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，流线不能相交 和分支。 ③ 在恒定流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非恒定流动中，由于各空间点上速度随时间变化，
根据矢量的点积公式，上式可写为
( 3.8)
du u a ( u )u dt t ( u )u t ( 3.9)
式中 i j k 为哈密尔顿算子。 x y z
质点加速度：
du u a ( u )u dt t
dux ux ux ux ux ax ux uy uz dt t x y z
duy u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z
（3.10）
duz uz uz uz uz az ux uy uz dt t x y z
u x d y u y dx 0 u y d z u z dy 0 u z dx u x dz 0
（3.21）
dx dy dz ux u y uz
【例3.1】速度场ux=a，uy=bt，uz=0（a、b为常数）
求:（1）流线方程及t=0、1、2时流线图；
（2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。
点），t 为变量，则 x、y、z只是时间 t 的函数，就可得到这
一质点任意时刻的位置情况。此时式（3.1）所表达的，就是 这一流体质点运动迹线，如图3.1所示。 对于某个确定的时刻，t 为 常数， a、b、c为变量，x、y、
z只是起始坐标a、b、c的函数，
则式（3.1）所表达的是同一时 刻不同质点组成的整个流体在 空间的分布情况。
迁移加速度
当地加速度
第一部分：是由于某一空间点上的流体质点的速度随时间的 变化而产生的，称为当地加速度（或称局部加速度），或称
为时变加速度（定位加速度）。它表示在固定空间点处，流
体质点由于速度随时间变化而引起的加速度，这是由流场的 非恒定性引起的，也就是非恒定性所给予流体质点的速度变 化率；
第二部分：是某一瞬时由于流体质点的速度随空间点的变
u u( x, y, z, t ) u 0 t