3第三章-流体运动学
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第三章流体运动学
第三章 流体运动学
机械工程学院
第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
第三章 流体运动学.ppt
1786年，他接受法王路易十六的邀请， 定居巴黎，直至去世。近百余年来，数学领 域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于 拉格朗日的工作。
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
ax
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
欧拉简介
瑞士数学家及自然科学家。1707年4月 15日出生於瑞士的巴塞尔，1783年9月18日 於俄国彼得堡去逝。欧拉出生於牧师家庭， 自幼受父亲的教育。13岁时入读巴塞尔大学， 15岁大学毕业，16岁获硕士学位。
流线不能是折线，是一条光滑的连续曲线。
在定常流动中，流线不随时间改变其位置和形状，流线和迹 线重合。在非定常流动中，由于各空间点上速度随时间变化， 流线的形状和位置是在不停地变化的。
3、流线微分方程 速度矢量 u uxi uy j uzk
通过该点流线上的微元线段
流体质点的位移
x x(a，b，c，t) y y(a，b，c，t) z z(a，b，c，t)
速度表达式 加速度表达式
ux
ux (a,b, c,t)
x(a,b, c,t) t
y(a,b, c,t)
uy uy (a,b, c,t)
t
uz
uz (a,b, c,t)
z(a,b, c,t) t
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欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一， 他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几 乎整个物理的领域。他是数学史上最多产的 数学家，平均每年写出八百多页的论文，还 写了大量的力学、分析学、几何学、变分法 等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学 原理》、《积分学原理》等都成为数学中的 经典著作。欧拉对数学的研究如此广泛，因 此在许多数学的分支中也可经常见到以他的 名字命名的重要常数、公式和定理。
第三章流体运动学
§3-1研究流体运动的方法 §3-2流场的基本概念 §3-3流体的连续性方程 §3-4流体微团的运动 §3-5速度势函数及流函数 §3-6简单平面势流 §3-7势流叠加原理
流体力学-第三章
空间各点只要有一个运动要素随时间变化，流体运动称为非恒 定流。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
工程流体力学第3章-运动学2013.
3.4 连续性方程 — 质量守恒定律在流动中的体现 （1）物理意义：在流体运动中，流体质量不生不灭。
（2）不可压定常流流束和总流的连续性方程
1v1dA 1 2 v2 dA2
A1
v dA v dA
1 1 1 2 2 A2
2
1V1A1 2 V2 A 2
2018/10/7
基 本 概 念
3.3 迹线、流线、流管、流量等
（1）迹线：是拉格朗日观点下描述流动的曲线， 是一段时间内给定质点在空间走过的轨迹。
当速度场u,v,w给定时，迹线微分方程可写为：
dx dy dz u, v, w, 其中 t是自变量 dt dt dt
上式对时间 t 积分后可得迹线的参数方程。
ay
v v v v 1 1 y u v w 0 y 0 t x y z 2 2 4
w w w w y xy u v w x 2 y 2 y x 0 x 2 y3 t x y z 2 2
az
2018/10/7
（3）流面，流管，流束；流束的极限是流线。 （4）流量：体积流量和质量流量
QV (V .n)dA Vn dA V cos dA
A A A
平均速度： V
（5）其它概念：
QV / A
V cos dA
A
A
有效截面、湿周、水力半径、当量直径
2018/10/7
连续性方程
2018/10/7
三
流体运动学
3.1 流场及描述方法 （1）流场：流体质点运动的全部空间。 （2）描述流体运动的参数，如速度、加速度等， 均为所选坐标的连续函数 。 （3）流体运动的描述方法：Lagrange法和 Euler法
（2）不可压定常流流束和总流的连续性方程
1v1dA 1 2 v2 dA2
A1
v dA v dA
1 1 1 2 2 A2
2
1V1A1 2 V2 A 2
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基 本 概 念
3.3 迹线、流线、流管、流量等
（1）迹线：是拉格朗日观点下描述流动的曲线， 是一段时间内给定质点在空间走过的轨迹。
当速度场u,v,w给定时，迹线微分方程可写为：
dx dy dz u, v, w, 其中 t是自变量 dt dt dt
上式对时间 t 积分后可得迹线的参数方程。
ay
v v v v 1 1 y u v w 0 y 0 t x y z 2 2 4
w w w w y xy u v w x 2 y 2 y x 0 x 2 y3 t x y z 2 2
az
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（3）流面，流管，流束；流束的极限是流线。 （4）流量：体积流量和质量流量
QV (V .n)dA Vn dA V cos dA
A A A
平均速度： V
（5）其它概念：
QV / A
V cos dA
A
A
有效截面、湿周、水力半径、当量直径
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连续性方程
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三
流体运动学
3.1 流场及描述方法 （1）流场：流体质点运动的全部空间。 （2）描述流体运动的参数，如速度、加速度等， 均为所选坐标的连续函数 。 （3）流体运动的描述方法：Lagrange法和 Euler法
流体力学与传热：3-1_第三章 流体运动学
（2）任意曲线上的速度环量等于曲线两端点上速度势函数值 之差。而与曲线的形状无关。
B
B
B
AB Vds (udx vdy wdz) d B A
A
A
A
对于任意封闭曲线，若A点和B点重合，速度势函数是单
值且连续的，则流场中沿任一条封闭曲线的速度环量等于零，
即 AB 0 。
（3）在空间无旋流场中，势函数相等的面为等势面；在平面 无旋流动中，势函数相等的线是等势线。
vx
x
vy
y
vz
z
若流动无旋，则存在速度势
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ取
上侧,有向曲线 C 为Σ的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
o
Dxy C
y
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有
x
4x
y
0
该流动无旋，存在速度势函数。
（2）由流函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uydx
uxdy
4
ydx
4xdy
积分
4xy C
由速度势函数的全微分得：
d
x
dx
y
dy
uxdx
uydy
different directions of motion.
• 代入流线微分方程式中，得
dx dy 0
x
y
• 即 d 0
• 所以 C
• 上式说明流函数的等值线与流线重合。
工程流体力学-第三章
三、流管、流束和总流
1. 流管：在流场中任取一不是流 线的封闭曲线L，过曲线上的每 一点作流线，这些流线所组成的 管状表面称为流管。 2. 流束：流管内部的全部流体称 为流束。 3. 总流：如果封闭曲线取在管道 内部周线上，则流束就是充满管 道内部的全部流体，这种情况通 常称为总流。 4. 微小流束：封闭曲线极限近于 一条流线的流束 。
ax
dux dt
dux (x, y, z,t) dt
ux t
ux
ux t
uy
ux t
uz
ux t
ay
du y dt
duy (x, y, z,t) dt
u y t
ux
u y t
uy
u y t
uz
u y t
az
du z dt
duz (x, y, z,t) dt
x x(a,b,c,t)
y y(a,b,c,t)
z z(a,b,c,t)
欧拉法中的迹线微分方程
速度定义
u dr (dr为质点在时间间隔 dt内所移动的距离) dt
迹线的微分方程
dx dt
ux (x, y, z,t)
dy dt uy (x, y, z,t)
dz dt uz (x, y, z,t)
说明： （1）体积流量一般多用于表示不可压缩流体的流量。 （2）质量流量多用于表示可压缩流体的流量。
(3) 质量流量与体积流量的关系
Qm Q
(4) 流量计算 单位时间内通过dA的微小流量
dQ udA
通过整个过流断面流量
Q dQ udA A
水力学 第三章 流体运动学
§3-1 描述流体运动的两种方法
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
4
2、速度(velocity)
x xa , b, c, t ux t t y y a , b, c, t uy t t z z a , b, c, t uz t t
（1）若(a，b，c)为常数，t 为变数，可得某个指定质点在任何 时刻的速度变化情况 。 （2）若 t 为常数，(a，b，c)为变数，可得某一瞬时流体内部各 质点的速度分布。
ux
u y
uy
u y
uz
u y
斯托克斯(Stokes) 表示式
Du u a (u )u Dt t
全加速度， 随体导数， 质点导数， （material derivative) 当地加速度， 时变导数 (Local derivative) 迁移加速度， 位变导数 (Convective derivative)
拉格朗日法的优点：物理意义较易理解 。 拉格朗日法的缺点：函数求解繁难；测量不易做到。
§3-1 描述流体运动的两种方法
6
3-1-2 欧拉法
一、欧拉法（Euler Method）
从分析通过流场中某固定空间点的流体质点的运动着手，设法 描述出每一个空间点上流体质点运动随时间变化的规律。 运动流体占据的空间，称流场(flow field)。通过流场中所有 空间点上流体质点的运动规律研究整个流体运动的状况，又称流场 法。
15
例3-1 已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为: (t ) (t ) x a cos 2 b sin 2 2 a b a b2 (t ) (t ) y b cos 2 a sin 2 2 a b a b2 式中， (t ) 为时间，的某一函数。试求流体质点的迹线。
第三章运动学基础
第三章流体运动学基础一、学习导引1、流体的速度流体的速度是一个矢量，记作V 。
x , y , z 方向的速度分量分别记作u , v , w ,即V ui vj wk ，流场的速度分布与空间坐标 x ，y ，z 以及时间t 有关，即u v r cos v sin ,v v r sin v cos v r u cos vsin ,v usinvcos3、连续性方程工程上常用的不可压缩流体的一元总流连续性方程为V 宀 V 2 A 2微分形式的连续性方程为_( u) ( V) ( w) 0t x yz对于不可压缩流体，连续性方程为V V(x,y,z,t)流体质点的加速度等于质点速度对时间的变化率，即dV V V dx V dy V dz adt t x dt y dtzdtt xyz投影形式：uuu ua x uv-w —— tx y z vv v v a y u — v- — w — tx y z www w a zuvw txy z2、流线微分方程在直角坐标中，流线方程为dx dy dzuv w在柱坐标中，流线方程为dr rddzv r vv zu —— v —— w 对于平面流动，这两种坐标系的速度分量的关系分别为u 12i 2j从而3.1 度, 3.2u v x yw0 z二、习题详解流体在等截面直圆管内作层流流动，过流断面上的流速分布为2U Umax 1—式中R 表示圆管的内半径，U max 和U 分别表示断面上的最大流速和断面上的分布速 R 。
求断面平均流速。
u ，则Ru 2 r dr0 r解：设管中平均速度为 R 2—Umax2流体在等截面直圆管中作湍流流动，过流断面上的流速分布为U U max式中n 为常数，R 、U max 及U 的意义与上题相同。
求平均流速；若n=7,平均流速为多少?解： U当n 7时：3.3已知速度场为U (2x 2y)i ( y x)j (x z)k求：(2,4,2 )点的速度(大小和方向)。
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uy＝ ，uz＝0；（4）ux＝ay，uy＝uz＝0；（5）ux＝4，uy＝uz＝0；（6）ux＝1，
uy＝2；（7）ux＝4x，uy＝0；（8）ux＝4xy，uy＝0。
解：平面流动中，不可压缩均质流体的连续性方程为
（1）0＋0＝0；（2）k－k=0；（3） ；（4）0＋0＝0；
（5）0＋0＝0，（6）0＋0＝0；（7）4＋0≠0，（8）4y＋0≠0。
积分，得 ，
圆心（0，0），半径 。
当x=1，y=0，代入上式得C2=1。（ ）=1，
为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。
3－7已知 ， ， =0，式中 是不为零的常数。试求：（1）流线方程，（2）t=1时，通过点A（1，0）流线的形状，（3）将求得的流线方程与习题3－6求得的流线方程相比较，它们有什么异同。
解：由状态方程 ，计算压气机出口处的气体密度 ，即
由连续性方程求出口管径d，因 ， 。
3－15在直径为d的圆形风管断面上，用下法选定五个点来测量局部风速。设想用与管轴同心，但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分，如图所示。测点即位于等分此部分面积的圆周上。这样测得的各点流速，分别代表相应断
解： （1）
（2）
联立解（1）、（2）两式，可得
3－14空气以标准状态（温度t0=15℃，密度ρ0=1.225 kg/m3，压强p0=1.013×105Pa）进入压气机，流量Qv为20m3/min；流出时温度t为60℃，绝对压强p为800×103Pa；如果压气机出口处流速ν限制为20m/s。试求压气机的出口管径d。
（1）~(6)的流体运动满足连续性方程；（7）、（8）的流体运动不满足连续性方程，实际上流动是不能实现的。
3－9已知水平圆管过流断面上的流速分布为 ，umax为管轴处最大流速，r0为圆管半径，r为点流速u距管轴的径距。试求断面平均速度v。
解：
3－10已知水平圆管过流断面上的流速分布为 ，umax为管轴处最大流速， 为圆管半径，y为点流速ux距管壁的距离。试求断面平均流速v。
第三章流体运动学
3－1已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为x =aekt，y =be-kt，z =c，式中k是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。
解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c的平面上运动，消去时间t后，得
xy=ab
上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a，b）,则为一确定的双曲线。
面的平均流速。试计算各测点到管轴的距离，以直径的倍数表示；若各点流速分别为u1、u2、u3、u4、u5，空气密度为ρ，试求质量流量Qｍ。
解：根据题意先将总圆面积五等分，再将每一等分面积用同心圆划分为相等的两部分。这样，由内到外的同心圆所包围的面积，分别为总圆面积的1/10、3/10、5/10、7/10、9/10，相应的半径即为测点到管轴的距离。因此，
解： =0，为平面（二维）流动。
（1）流线方程 将 、 代入上式，得
，
积分得 ，流线方程一般形式： 。
（2）t=1，x=1，y=0，代入上式，得C2=1；流线为 =1，流线的形状为一圆。
（3）因是非恒定流，不同时间为不同的圆，如t=2，x=1，y=0，C2=2，
3－8试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性方程。（1）ux＝－ky，uy＝kx，uz＝0；（2）ux＝kx，uy＝－ky，uz＝0；（3）ux＝ ，
解：Q= =5
，
，
，
3－13蒸汽管道如图所示。已知蒸汽干管前段的直径d0＝50mm，流速v0＝25m/s，蒸汽密度ρ0＝2.62kg/m3；后段的直径d1＝45mm，蒸汽密度ρ1＝2.24kg/m3。接出的支管直径d2＝40mm，蒸汽密度ρ2＝2.30kg/m3；试求分叉后的两管末端的断面平均流速ν1、ν2为多大，才能保证该两管的质量流量相等。
解：
。
3－11设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴，如图所示。已知圆管直径dA＝0.2m，流量Q＝0.014m3/s；dB＝0.1m。试求经过圆管内点A和收敛管嘴内点B的过流断面的平均流速vA、vB。注：经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺或球冠表面积，为 （不包括底面面积）。
解： = =
经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺面积
（2）
（3）
3－2已知流体运动，由欧拉变数表示为ux=kx，uy=－ky，uz=0，式中k是不为零的常数。试求流场的加速度。
解：
，
3－3已知ux=yzt，uy=zxt，uz=0，试求t=1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。
解：
3－4已知平面不可压缩液体的流速分量为ux=1－y，uy=t。试求（1）t=0时，过（0，0）点的迹线方程；（2）t=1时，过（0，0）点的流线方程。
AB＝ ，式中h＝（0.05－0.05cos450）m=0.015m，Ｒ＝0.05m。
因此
3－12送风管的断面面积为50 cm×50cm，通过a、b、c、d四个送风口向室内输送空气，如图所示。已知送风口断面面积均为40 cm×40cm，气体平均速度均为5m/s，试求通过送风管过流断面1－1、2－2、3－3的流量和流速。，,，， Nhomakorabea，
（１）等分面积A`= ，质量流量 为 =
3－16试求下列流动中的线变率、角变率。（1）ux＝ ， ；（2）ux＝2y，uy＝2x。
解：由例3－3可得：
当t=2，x=－1，y=－1，C=3。因此，通过点A（－1，－1）的流线为
上式不同于例3－3，即当t=0时通过A点的流线为xy＝1，说明不同时刻的流线不同。
3－6试求例3－6流体运动的流线方程和流体质点通过点A（1，0）流线的形状。
解：例3－6流体运动如题3-6图所示 ，
流线方程：
解：（1）迹线的微分方程式为
积分上式得： ，当t=0时，y=0，C1=0，所以
(1)
，积分上式得：
当t=0时，x=0，C2=0，所以
(2)
消去（1）、（2）两式中的t，得 有理化后得
（2）流线的微分方程式为 ，积分上式得
当t=1时，x=y=0，C=0，所以可得： （为非恒定流）
3－5已知ux＝x＋t，uy＝－y＋t，uz＝0，试求t＝2时，通过点A（－1，－1）的流线，并与例3－3相比较。
uy＝2；（7）ux＝4x，uy＝0；（8）ux＝4xy，uy＝0。
解：平面流动中，不可压缩均质流体的连续性方程为
（1）0＋0＝0；（2）k－k=0；（3） ；（4）0＋0＝0；
（5）0＋0＝0，（6）0＋0＝0；（7）4＋0≠0，（8）4y＋0≠0。
积分，得 ，
圆心（0，0），半径 。
当x=1，y=0，代入上式得C2=1。（ ）=1，
为一圆，因是恒定流，不同时间为同一圆。
3－7已知 ， ， =0，式中 是不为零的常数。试求：（1）流线方程，（2）t=1时，通过点A（1，0）流线的形状，（3）将求得的流线方程与习题3－6求得的流线方程相比较，它们有什么异同。
解：由状态方程 ，计算压气机出口处的气体密度 ，即
由连续性方程求出口管径d，因 ， 。
3－15在直径为d的圆形风管断面上，用下法选定五个点来测量局部风速。设想用与管轴同心，但不同半径的圆周，将全部断面分为中间是圆，其他是圆环的五个面积相等的部分，如图所示。测点即位于等分此部分面积的圆周上。这样测得的各点流速，分别代表相应断
解： （1）
（2）
联立解（1）、（2）两式，可得
3－14空气以标准状态（温度t0=15℃，密度ρ0=1.225 kg/m3，压强p0=1.013×105Pa）进入压气机，流量Qv为20m3/min；流出时温度t为60℃，绝对压强p为800×103Pa；如果压气机出口处流速ν限制为20m/s。试求压气机的出口管径d。
（1）~(6)的流体运动满足连续性方程；（7）、（8）的流体运动不满足连续性方程，实际上流动是不能实现的。
3－9已知水平圆管过流断面上的流速分布为 ，umax为管轴处最大流速，r0为圆管半径，r为点流速u距管轴的径距。试求断面平均速度v。
解：
3－10已知水平圆管过流断面上的流速分布为 ，umax为管轴处最大流速， 为圆管半径，y为点流速ux距管壁的距离。试求断面平均流速v。
第三章流体运动学
3－1已知流体质点的运动，由拉格朗日变数表示为x =aekt，y =be-kt，z =c，式中k是不为零的常数。试求流体质点的迹线、速度和加速度。
解：（1）由题给条件知，流体质点在z=c的平面上运动，消去时间t后，得
xy=ab
上式表示流体质点的迹线是一双曲线族：对于某一给定的（a，b）,则为一确定的双曲线。
面的平均流速。试计算各测点到管轴的距离，以直径的倍数表示；若各点流速分别为u1、u2、u3、u4、u5，空气密度为ρ，试求质量流量Qｍ。
解：根据题意先将总圆面积五等分，再将每一等分面积用同心圆划分为相等的两部分。这样，由内到外的同心圆所包围的面积，分别为总圆面积的1/10、3/10、5/10、7/10、9/10，相应的半径即为测点到管轴的距离。因此，
解： =0，为平面（二维）流动。
（1）流线方程 将 、 代入上式，得
，
积分得 ，流线方程一般形式： 。
（2）t=1，x=1，y=0，代入上式，得C2=1；流线为 =1，流线的形状为一圆。
（3）因是非恒定流，不同时间为不同的圆，如t=2，x=1，y=0，C2=2，
3－8试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性方程。（1）ux＝－ky，uy＝kx，uz＝0；（2）ux＝kx，uy＝－ky，uz＝0；（3）ux＝ ，
解：Q= =5
，
，
，
3－13蒸汽管道如图所示。已知蒸汽干管前段的直径d0＝50mm，流速v0＝25m/s，蒸汽密度ρ0＝2.62kg/m3；后段的直径d1＝45mm，蒸汽密度ρ1＝2.24kg/m3。接出的支管直径d2＝40mm，蒸汽密度ρ2＝2.30kg/m3；试求分叉后的两管末端的断面平均流速ν1、ν2为多大，才能保证该两管的质量流量相等。
解：
。
3－11设一有压管流经圆管进入圆锥形的收敛管嘴，如图所示。已知圆管直径dA＝0.2m，流量Q＝0.014m3/s；dB＝0.1m。试求经过圆管内点A和收敛管嘴内点B的过流断面的平均流速vA、vB。注：经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺或球冠表面积，为 （不包括底面面积）。
解： = =
经过点B的过流断面面积，可近似地视为球缺面积
（2）
（3）
3－2已知流体运动，由欧拉变数表示为ux=kx，uy=－ky，uz=0，式中k是不为零的常数。试求流场的加速度。
解：
，
3－3已知ux=yzt，uy=zxt，uz=0，试求t=1时流体质点在（1，2，1）处的加速度。
解：
3－4已知平面不可压缩液体的流速分量为ux=1－y，uy=t。试求（1）t=0时，过（0，0）点的迹线方程；（2）t=1时，过（0，0）点的流线方程。
AB＝ ，式中h＝（0.05－0.05cos450）m=0.015m，Ｒ＝0.05m。
因此
3－12送风管的断面面积为50 cm×50cm，通过a、b、c、d四个送风口向室内输送空气，如图所示。已知送风口断面面积均为40 cm×40cm，气体平均速度均为5m/s，试求通过送风管过流断面1－1、2－2、3－3的流量和流速。，,，， Nhomakorabea，
（１）等分面积A`= ，质量流量 为 =
3－16试求下列流动中的线变率、角变率。（1）ux＝ ， ；（2）ux＝2y，uy＝2x。
解：由例3－3可得：
当t=2，x=－1，y=－1，C=3。因此，通过点A（－1，－1）的流线为
上式不同于例3－3，即当t=0时通过A点的流线为xy＝1，说明不同时刻的流线不同。
3－6试求例3－6流体运动的流线方程和流体质点通过点A（1，0）流线的形状。
解：例3－6流体运动如题3-6图所示 ，
流线方程：
解：（1）迹线的微分方程式为
积分上式得： ，当t=0时，y=0，C1=0，所以
(1)
，积分上式得：
当t=0时，x=0，C2=0，所以
(2)
消去（1）、（2）两式中的t，得 有理化后得
（2）流线的微分方程式为 ，积分上式得
当t=1时，x=y=0，C=0，所以可得： （为非恒定流）
3－5已知ux＝x＋t，uy＝－y＋t，uz＝0，试求t＝2时，通过点A（－1，－1）的流线，并与例3－3相比较。