含噪复信号频率估计算法研究

摘要

摘要

频率估计是数字信号处理的重要内容，特别是对含有高斯白噪声的信号进行频率估计一直是信号处理的经典课题，频率估计不仅在理论上，而且在实际应用中，都有着重要的研究价值，本文采用空间谱估计的典型代表MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法，对含有高斯白噪声的复正弦信号进行频率估计，同时也通过MALTAB软件对其进行了仿真，仿真结果表明对含有噪声的复正弦信号而言，MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR 算法具有良好的频率特性，并达到预期效果。

关键字：频率估计MUSIC root-MUSIC ESPRIT MVDR

ABSTRACT

Frequency estimate is an important part of digital signal processing，Especially with the Gaussian white noise of signal frequency estimate has been a classic signal processing tasks. Not only in theory but in practice frequency estimate has very important research value. For with the Gaussian white noise of complex sinusoidal signals frequency estimation, the paper uses the MUSIC algorithm the root-MUSIC algorithm the ESPRIT algorithm and the MVDR algorithm, the typical representative of spatial spectrum estimation, and simulates through the MATLAB software. For complex sinusoidal signals with Gaussian white noise, simulation results have shown that those algorithms have good frequency characteristics and achieves the desired results.

Key Words: Frequency estimate MUSIC root-MUSIC ESPRIT MVDR

目录

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摘要 ...................................................................................................................................................... I ABSTRACT........................................................................................................................................ I I 目录 ................................................................................................................................................... III 第1章绪论 . (1)

1.1 选题背景与课题意义 (1)

1.2 课题研究现状 (2)

1.3 论文研究内容 (2)

第2章频率估计的基础理论 (4)

2.1 引言 (4)

2.2 信号子空间和噪声子空间的概念 (4)

2.3 MUSIC算法 (7)

2.4 Root-MUSIC算法 (8)

2.5 ESPRIT算法 (9)

2.6 MVDR 算法 (11)

第3章频率估计的算法仿真 (13)

3.1 MUSIC算法仿真 (13)

3.2 Root-MUSIC算法仿真 (14)

3.3 ESPRIT算法仿真 (16)

3.4 MVDR 算法仿真 (17)

第4章频率估计算法比较Equation Chapter (Next) Section 1 (18)

结束语 (19)

参考文献 (20)

附录 (21)

第1章绪论

1.1选题背景与课题意义

频率概念源于周期性信号的经典物理学定义，其实质是表征信号在一定时间内的总体特征。正弦信号是典型的周期信号，其频率定义为信号周期的倒数，物理意义为单位时间内周期运动的次数。对于非正弦周期信号，可以分解成无限多个单频正弦周期信号的加权组合[1]，分析每个单频信号的频率特征就可以得到信号总体的特征。

正弦信号有实正弦信号和复正弦信号(复指数信号)之分，复正弦信号可以看成是实部和虚部皆为实正弦信号的组合。复正弦信号因其频率特性简单，如单频复正弦信号在频谱上表现为一条唯一的谱线，在理论分析中比较受青睐。而实正弦信号在频谱上除有正频率之外，还有对应的“负频率”出现，使得在理论分析中由于比复正弦信号复杂而比较少使用。但是，在实际工程应用中，实正弦信号更为常见，而且很多复正弦信号的特性，不能简单地对应到实正弦信号上，所以这引起了很多研究者的兴趣。本文也主要针对复正弦信号进行研究。

信号频率估计是指通过对信号采样值的计算和变换，估计出淹没于噪声中的信号的频率。其研究可追溯到19 世纪研究者所关注的“信号中的隐周期性”问题——这一研究最终导致了信号处理中非周期信号傅立叶级数的展开理论[1]和傅立叶变换的提出[2]。信号频率估计是信号频谱分析中的重要内容，而频率又是信号的重要特征。在很多情况下，信号的频域形式比较易于解释和表征，频率、频率间隔等参数反映了信号大量的信息，同时更容易解释信号通过线性系统以后的变化特点。信号频率估计也是信号参数估计的一个重要物理量，参数估计是信号检测和信号表征的重点。因此对信号的频率估计以及各种适用于工程应用的算法研究受到普遍关注和重视，是当前信号处理技术中一个十分活跃的课题。由于任意的信号可以分解成无限多个正弦信号的加权组合，而且高斯白噪声是常见的噪声模型，因此高斯白噪声中正弦信号的频率估计问题是信号频率估计的基础。频率估计的研究最早可以追溯到上世纪30 年代的第二次世界大战中人们对雷达和声纳技术的研究,淹没于噪声中的正弦信号频率估计问题是这两种技术的关键。最近几十年来，频率估计的研究取得了丰硕的成果[3-5]。频率估计不仅在理论上，而且

1

在实际应用中，都有着非常重要的研究价值。频率估计的研究最初是受其在军事领域应用的影响才逐渐发展成为一个独立的研究领域，且广泛渗透到各工程领域。在工程学的诸多领域，如通信、语音处理与识别、生物医学、电力系统、检测理论等研究中，都会遇到这样一个技术问题，即如何对噪声背景下的具有有限个样本的正弦信号进行频率估计[1]

频率是参量估计中的一个重要物理量,频率估计有着广泛的应用领域。而在通信技术领域,目前对空目标的多普勒无线电通信仅利用了多普勒幅度信息,从而造成炸点分散;而对水下目标的水中兵器通信,多普勒信号的利用在我国尚为空白。据悉,英美等国已研制立足于频率信息提取的多普勒无线电通信,以实现炸点的精确控制。其中,信号频率的精确快速估计是关键技术难题。

1.2课题研究现状

信号频率估计研究已有多年历史,一般地分为经典法和现代法两大类。经典法主要为以傅利叶分解为基础的周期图法等,随着快速傅利叶变换(FFT)的发现,经典法一度得到广泛的应用,但是,经典法的局限性在于其分辨力低(其分辨力为1/N,N 为数据长度),所以要提高分辨力则需增加数据长度N,从而增加了运算时间；反之,要想减少运算时间,只能采用短数据,这样则不能得到高的分辨率。因此经典法在快速高分辨频率估计中遇到了无法克服的困难。60年代末70年代初,学者们提出了许多旨在提高频率分辨率的谱估计方法,由于信号的频率可由谱峰的位置得到,因而现代谱估计方法也广泛地用于频率估计。现代谱估计方法主要有两大类,一类是参数模型法,主要有自回归(AR)模型、滑动平均(MA)模型和自回归滑动平均(ARMA)模型等,参数模型法有较好的频率分辨能力,也有一些快速算法,但该法的性能受参数的选取、初相位等因素的影响,限制了其更加广泛的实际应用。另一类现代谱估计方法是非参数模型法,其中的特征分解法是一类性能良好、很有工程应用前景的方法,主要有最小方差无失真(MVDR)法、多信号分类(MUSIC)法和子空间旋转不变(ESPRIT)法等。

1.3论文研究内容

本文重点介绍了在高斯白噪声背景下分别利用MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法对复正弦信号进行频率估计，并且利用MALTAB

2

其进行了仿真。通过仿真结果验证MUSIC算法，root-MUSIC算法，ESPRIT算法和MVDR算法对含有噪声的复正弦信号进行频率估计的可行性，并且比较仿真结果讨论这些算法的优势与局限。

3

4

第2章 频率估计的基础理论

2.1 引言

淹没于高斯白噪声中的正弦信号的频率估计问题是频谱分析的重要内容，复正弦信号频率估计是指通过对信号采样值的计算和变换，估计出淹没于噪声中的信号的频率的过程。频率估计不仅在理论上，而且在实际应用中，都有着非常重要的研究价值。频率估计目前国内外已经提出了不少方法，主要分为时域、频域及时频分析算法等。时域方法主要有基于自相关、线性预测两大类，在此基础上有计算量较为复杂的 MUSIC 算法[6-9]、AR 模型算法[10-11]以及最大似然估计算法

[12-16]等现代谱估计的方法。频域方法多是基于离散傅立叶变换(Discret Fourier Transfer, DFT)类的直接谱估计法，这类方法物理意义明确，计算量小(借助于 FFT)，得到了广泛的应用。但 DFT 中存在能量泄漏和栅栏效应，使得这种方法具有较大的误差，并且算法精度在很大程度上依赖于信号长度[1-2]。时频分析算法主要是对非平稳信号进行瞬时频率估计。

本章将具体介绍本论文频率估计问题采用的数学模型——复信号模型，同时给出几类常见的相关矩阵的特征分解的信号频率估计的方法。基于相关矩阵的特征分解的信号频率估计的方法，是现代信号频率估计的重要内容，其基本思想是，直接对估计的随机过程相关矩阵进行特征分解，利用复正弦信号与相关矩阵特征值和特征向量的关系，得到信号频率的

2.2 信号子空间和噪声子空间的概念

假设信号(n)x 是复正弦信号加白噪声

()1()k K j n k k x n a e v n ω==+∑

（2-1） 其中k j k k a a e ?= 和k ω 分别是复幅度和角频率。初始相位k ? 是在[0,2]π 均匀的随机变量，并且当l k ≠ 时，l ? 和k ?相互独立；()v n 是零均值，方差为2

v σ

的白噪声，且与信号相互独立。

定义信号向量

5 []()(1)(1)T

n x n x n x n M =--+x() 则

1C M n n n ?∈x ()=A s ()+v () （2-2）

其中

[]()()()121212111111()()()23K K j j j M K

K j M j M j M e e e C e e e ωωωωωωωωω---?------??

??

??==∈??

??????

-A a a a （ ） 向量()ωa ，()n s 和()n v 分别定义为

(1)1()j j M e e ωωω---??????=??????a ，1212()K j n

j n j n K a e a e n a e ωωω

---??????=?

???????s ，()()()()2114v n v n n v n M ??

?

?-??=?

?

??-+????

-v （

）

向量()n x 的自相关矩阵M M R C ?∈ 为

()()H E n n ??=??R x x

()()()(){}H H H E n n n n ??=??????As +v s A +v

(25)- ()(){}E n n =H H APA +v v

因为()n v 是零均值，方差为2

v σ 的白噪声，所以有

()(){}{}2

2

2

,,v v v E n n diag σσσ==H v v I

其中，M M R ?∈I 是单位矩阵。

又由于并且当l k ≠ 时，l ? 和k ?相互独立，则

()(){}2

,0,k a k l E n n k l

?=?=?≠??H s s 于是，矩阵P 是正定的对角矩阵，即

()(){}{}22

2

12,,,K K K P E n n diag a a a C ?==∈H s s

因此，向量()n x 的自相关矩阵可以表示为

6 2

v σ=H R A P A +I （2-6）

实际应用中，选取M K > ，则由式（2-4）可知，A 是列满秩的；因此

()rank K M =

也即H APA 不是满秩矩阵的，对H APA 进行奇异值分解得

0??= ???

∑H H APA U U （2-7） 其中()2

21,

,k diag λλ=∑，U 是酉矩阵，H UU I =

于是， 2

v σ=H R APA +I

22220H v v v v σσσσ????+=== ? ????

?∑∑H H H R APA +I U U +UU U U I 2

122222

v v K v v v λσλσλσσσ??+ ?+ ? ? ?=+ ? ? ? ? ???

H U

U （2-8） ()rank M =R

对R 进行特征值分解，得到M 个特征值12,,,M λλλ ，对应的特征向量为12,,,M μμμ，由式（2-8）可知R 的M 个特征值中仅有K 个较大的特征值

12,,,K λλλ信号有关，其余M-K 各特征值12,,,K K M λλλ++仅与噪声有关，根据以上事实，有以下重要定义：

（1） 信号子空间S ：S 是由12,,

,K λλλ对应的特征向量12,,,K μμμ生成

的子空间，记为 {}12,,

,K S span =μμμ

7

（2） 信号子空间G ：G 是由12,,,K K M λλλ++对应的特征向量

12,,,K K M ++μμμ生成的子空间，记为

{}12,,,K K M G span ++=μμμ

S 既与信号有关，又于噪声有关；G 仅与噪声有关

2.3 MUSIC 算法

利用前面信号子空间和噪声子空间的概念，我们可以得到信号频率估计的多重信号分类（MUSIC ，multiple signal classification ）算法,该算法于1979年由R.O.Sxhmidt 提成。MUSIC 算法利用了信号子空间和噪声子空间的正交性，构造空间谱函数，通过谱峰搜索，估计信号概率。MUSIC 算法可以有效地克服传统的FFT ，DFT 算法进行谱分析是的能量泄漏和栅栏效应，能够实现超分辨，因此在工程上有广大的应用空间

由式（2-7）可知

0??= ???

∑H H APA U U 由上述可知特征向量U 由信号特征向量和噪声特征向量构成，即[]U S G = 则

[]0S S G G ????= ?????

??∑H APA 由于U 是酉矩阵, H UU I =，则

[][]00

0S G S G ??= ???∑H APA 即

000S S G ????= ????

?∑H H APA APA 所以0G =H APA ，又由于A 是列满秩的矩阵，P 满秩矩阵，所以矩阵A 和P

8

存在左逆矩阵，则100G --==H A A P ，即信号子空间和噪声子空间正交， 所以可以写出关于相位差的i ω 的函数

()()()()

[]21

1,,MUSIC H P GG G ωωππωωω==∈-a a a （2-9） 通过谱峰搜索，当()ωa 与G 正交时，()G ωa 为零由于噪声的存在，

实际为最小值，从而可以通过判断()MUSIC P ω谱的峰值确定信号的频率

2.4 Root-MUSIC 算法

MUSIC 算法，需通过搜索()MUSIC P ω谱的峰值得到信号的频率的估计，但是这会造成很大的运算量，本节介绍具有多形式求根形式的MUSIC ，称为Root-MUSIC 算法。

设向量i μ是相关矩阵R 的噪声子空间的第i 个归一化特征向量，可表示为 ()011,1,2,,T i i i i M u u u u i K K M -??==++?? 定义向量()z a 为

()()111T

M z z z ---??=??a （2-10） 构造如下函数： ()()()*

*

1*(1)011H

M i i i i M f z u z u u z u z ----==++

+a （2-11） 当j z e ω= 时向量()z a 是频率为ω的信号频率向量()ωa 。

由式（2-9）可知0H A G = 则 ()0,k 1,2,

,K;1,,M H k i u i K ω===+a （2-12）

于是

()210,1,2,,M H i i K u k K ω=+==∑a （2-13）

对式（2-12）共轭转置，有

()()0,1,2,,k j H

i k f e u k K ωω===a （2-14）

将式（2-11）左乘自身的共轭转置，可得到

()()()0,1,K 2,

,M H H i i i f z z u u z i K ===++a a （2-15）

第一多项式

()()21M H Root MUSIC i i K P z z u -=+=∑a （2-16）

9

用噪声子空间向量构成矩阵G ，式（2-16）可以表示为

()()()()()1M H

H H H Root MUSIC i i i K P z z u u z z GG z -=+??== ???∑a a a a （2-17） 比较式（2-13）和式（2-16）可发现，,1,

,k j k z e k K ω==都位于单位圆1z = 上，

单位圆上的复数j z e ω=应满足

*1z z -= 所以有

()()()()**1(1)1111H M M T z z z z z z -----????===?

?

????a a 将上式带入式（2-17）中，可得到修正后的方程为 ()()10T H z GG z -=a a （2-18）

于是，信号频率估计问题转化成了一元高次方程的求根问题，因此，将这种方法称为Root-MUSIC 算法。

在实际工程中，由于是由观测样本得到相关矩阵的估计R ∧

，存在误差，使得求解方程所得到的根k j k z e ω=并不是准确的位于单位圆1z =上，而是位于单位圆附件，因此，在实际求解时，需要在2（M-1）个根中，找出其中位置最接近单位圆的K 个根，这些根的相位就是信号频率的估计k ω∧。 2.5 ESPRIT 算法

由于MUSIC 算法需要进行谱峰搜索，计算量很大，因此在实际的应用中对于系统的计算速度要求较高。在MUSIC 算法以后，人们开始研究各种不需要进行谱峰搜索的快速频率估计算法。有Roy 等人提出的旋转不变子空间（ESPRIT ，estimating signal parameter via rotational invariance techniques ）算法是空间谱估计中的另一种经典算法。ESPRIT 算法的基本思想是利用旋转不变因子技术来估计信号参数，该算法运用 2 个信号序列张成同一个信号子空间的思路，避免了求解噪声能量，可直接求解信号频率， 由于其不须作扫描处理,因而在保证精度的基础上极大地减少了运算量,而且有较好的鲁棒性和分辨能力。

同样的，假设信号(n)x 是复正弦信号加白噪声

()1()k K j n k k x n a e v n ω==+∑

其中()v n 是零均值，方差为2

v σ 的白噪声，且与信号相互独立。

10

连续M 个时刻的观测值可表示为给出的向量形式，如式（2-1）所示

n n n x()=As()+v()

其中

[]()

(1)(1)T n x n x n x n M =--+x() 定义随机过程()()1y n x n =+ ，并分别定义向量()n y 和矩阵φ 为 []()(1)

(1)T n y n y n y n M =--+y () （2-19） {}12K j j j diag e e e ωωωφ= （2-20） 因此，由式（2-1）和式（2-19）由

()11n n n ++y =As()+v() （2-21） 由于()()1n n φ+=s s ，所以式（2-21）可以表示为

()1n n n φ+y =A s ()+v

() （2-22） 容易发现φ是一个酉矩阵，即H H I φφφφ==；由于()()1y n x n =+，即()n y 是由()n x 平移得到的，矩阵φ被称为旋转算子。

由式（2-6）可知观测向量()n x 的自相关矩阵为

()()2H x x v E n n σ??=??H R x x APA +I （2-23）

容易得到，向量()n x 和()n y 的互相关矩阵为

()()2H H xy v E n n φσ??==??H R x y AP A +Z （2-24）

其中：()(){}2

1H v E v n v n σ=+Z ，且

0100100M M C ??? ? ?=∈ ? ???Z 对xx R 进行特征分解，找到xx R 的最小特征值()2

min 12M v M λλσλλλ==≥≥≥ ，由式（2-23）和式（2-24），定义下面两个矩阵：

2m i n H x x x x v x x C R R A

P A σλ=-=-=I I （2-25） 2

m i n H H xy xy v xy C R R AP A σλφ=-=-=Z Z （2-26）

定义{},xx xy C C 为矩阵对（matrix pair ）。若存在标量λ 和非零向量μ ，使得方程 x x x y

C C λ=μμ （2-27） 成立，则这样的标量λ 和非零向量μ是{},xx xy C C 的广义特征值和广义特征向量。

这里只用到矩阵对的广义特征值，将上式变换为

()0x x x y C C λ-=μ （2-28）

11

根据矩阵理论，要使方程中的μ有非零解，则需要矩阵{},xx xy C C 非奇异，即行列式

满足

0x x x y C C λ-= （2-29）

因此，通过求解方程式（2-29）可以得到矩阵{},xx xy C C 的广义特征值。

另一方面，由式（2-25）和式（2-26）由

()H H xx xy C C AP I A λλφ-=- （2-30）

注意到{}1

2K j j j H diag e e e ωωωφ=，容易看出，当,1,,k j e k K ωλ== 时，会使对角线上第k 个元素等于1，从而使矩阵()H I λφ-，于是()xx xy C C λ-也是奇异的；而,1,,k j e k K ωλ≠=时，()H I λφ-一定满秩，因此()xx xy C C λ-也是满秩的。

结合上述关于矩阵对()xx xy C C λ-奇异性的讨论和广义特征值的定义，可以得

到结论：矩阵对{},xx xy C C 的广义特征值恰为1

2K j j j e e e ωωω。这些根的相位即

为信号的频率估计。 2.6 MVDR 算法

最小方差无失真响应（MVDR ，minimum variance distortionless response ）算法 波束形成技术作为一种抗干扰自适应波束形成技术，是 Capon 于 1969 年首次提出并应用到地震阵列信号处理中［6］的。1997 年由 Manohar N ．Murthi 和 Bhasker

D ． Rao 首次将其应用到语音信号的谱包络估计中［7］，解决了 LP 谱对基音周期较高的浊音信号的频谱估计不准的问题。相比与 LP 谱及 FFT 能量谱，MVDR 谱具有更小的方差，在保留语义信息的同时对说话人信息有一定的抑制作用，这一特点令基于 MVDR 谱的 MFCC 参数比传统的MFCC 参数更加适合于关键词检出。

同样的，假设信号(n)x 是复正弦信号加白噪声

()1()k K j n k k x n a e v n ω==+∑

其中k j k k a a e ?= 和k ω 分别是复幅度和角频率。初始相位k ? 是在[0,2]π 均匀的随机变量，()v n 是零均值，方差为2

v σ 的白噪声，且与信号相互独立。

定义向量

[]()(1)(1)T

n x n x n x n M =--+x() 假定信号通过一个M 抽头的FIR 滤波器()W z

12

()()10M k k W z w k

z --==∑ (2-31) 则输出信号为：

()()()()()10*M T k y n x n a n w k x n k -===-=

∑x w （2-32） ()y n 的平方，即 ()y n 的功率由下式给出：

(){}{}{}2H T H T H

xx

p E y n E w w w E w w R w ====**x x x x （2-33） 若假定()y n 的均值为零，那么p 也是()y n 的方差。

为求得滤波器的系数，有两个原则，一是在对给定的某一频率i ω 处，()x n 无

失真地通过，这等效于要求：

()()1

01k M j k H i k w k e ωω--===∑a w （2-34） 其中()()11,,,i i T j M j H i e e ωωω-??=??a 第二个原则是，在i ω附件的频率分类得意拒绝，即p 最小，这就是“最小方差”谱估计的来历。可以证明，在上述 两个约束条件下使方差p 最小的滤波器系数是：

()()()11x x i M

V D R H i x x i R w R ωωω--=a a a （2-35） 而最小方差

()()1

1

H i x x i

p R ωω-=a a （2-36）

这样，就可以得到最小方差谱估计：

()()()

[]11,,MVDR H xx P R ωωππωω-=∈-a a （2-37） 应该指出，()MVDR P ω并不是真正意义上的功率谱，因为()MVDR P ω对ω 的积分并不等于信号功率，但他描述了信号真正谱的相对强度，但是，可以由估计信号频率。

13

第3章 频率估计的算法仿真

本文采用空间谱估计的典型代表MUSIC 算法，root-MUSIC 算法，ESPRIT 算法和MVDR 算法，对含有高斯白噪声的复正弦信号进行频率估计。选取的信号数

3p = ，阵元数10M = ，采样数100N =0 。待检测信号的归一化频率为

1230.10,0.25,0.40f f f === ，

仿真的待检测信号为：

31

23122222(M 1)2(M 1)2(M 1)111

j f j f j f j f j f j f e e e S e e e ππππππ----?--?--?-??????=?????? 阵列响应矩阵为一系列服从高斯分布的随机数的指数分布

设123a ,a ,a 都是零均值，方差为1 的白噪声，采样数为N ，且彼此之间相互

独立。则阵列响应矩阵为

123222j j j e A e e πππ---????=??????

a a a

假定噪声[],1,i v i M ∈ 为零均值，方差为1 的高斯白噪声，采样数为N ，则待检测信号引入的噪声为

12M v v v ????

??=??????v 于是仿真信号为：

X =S*A +v

3.1 MUSIC 算法仿真

利用MUSIC 算法进行频率估计时，在工程实现上首先要求出仿真信号的自相关矩阵R=X*X'/N ，然后对自相关矩阵进行特征值分解得到特征值空间U 和特征向量空间 D ，然后对特征值空间U 进行升序排序，取较小的M p - 个特征值所对应的特征向量组成噪声子空间G ，然后利用式（2-9）可得

14

()()()()

[]211,0,0.5MUSIC H P GG G ωωωωω=

=∈a a a 其中，谱峰搜索矩阵 0.520.50.522(1)1(),1,2,,j i N i j i i M N N e i N e πππω-?-???-????????==????????a

仿真图如图（3-1）所示

图3-1 基于MUSIC 算法的频率估计

运算时间time= 0.0550

由图（3-1）可知，MUSIC 算法通过谱峰搜索可以实现频率估计，通过频谱基本可以确定待检测的频率值，但是运算较大，在采样点数很少时不是很明显，一旦采样点数增加，运算时间会变得很长。

3.2 Root-MUSIC 算法仿真

Root-MUSIC 算法是具有多形式求根形式的MUSIC 算法。由式（2-8）可知，通过解方程

()()10T H z GG z -=a a

15

将信号频率估计问题转化成了一元高次方程的求根问题

在实际工程中由于是由观测样本得到相关矩阵的估计R ∧

，存在误差，使得求解方程所得到的根k j k z e ω=并不是准确的位于单位圆1z =上，而是位于单位圆附件，因此，在实际求解时，需要在2（M-1）个根中，找出其中位置最接近单位圆的K 个根，这些跟的相位就是信号频率的估计k ω∧。

同样的，利用Root-MUSIC 算法进行频率估计首先要求出仿真信号的自相关矩阵R=X*X'/N ，然后对自相关矩阵进行特征值分解排序后得到噪声子空间G

假定 ()()()()111211T M T M M z z

z z

z z ----==a a

令 ()()()1T

T Root MUSIC P z z G G z --=???a a 通过对()Root MUSIC P z - 求根得到方程的根,1,,(2)k j k z e k M p ω==-，为了找到最接近单位圆1z =的p 个根，可以令1k zz z =- ，由于重根的存在，对zz 进行排序后选出最小的2p 个根，去除重根并且归一化后后即为信号的归一化频率。

仿真图如图（3-2）所示

图3-2 基于Root-MUSIC 算法的频率估计

运算时间time= 1.4160

由图（3-2）可知， Root-MUSIC

算法可以通过多形式求根法进行频率估计。

16

在进行频率估计时，可以避免繁杂的谱峰搜索，只需要进行多次根值比较，运算量大大减小了，当采样点数较少时不明显，大师当采样点数很大时，运算时间不会有明显的增大，但是当频率较大时会出现较大误差。

3.3 ESPRIT 算法仿真

ESPRIT 算法利用旋转不变因子技术来估计信号参数，在实际工程应用中，要先构造相关矩阵xx R 和xy R ，然后对xx R 进行特征值分解得到最小特征值min λ 即为噪声的方差2v σ ，然后由式（2-25）和式（2-26）得到

2

min H xx xx v xx C R R APA σλ=-=-=I I

2

min H H xy xy v xy C R R AP A σλφ=-=-=Z Z

通过,xx xy C C 构成矩阵对{},xx xy C C ，然后通过对矩阵对{},xx xy C C 进行广义特征值分

解，最接近单位圆的K 个特征值1

2K j j j e e e ωωω得相位即为信号的频率估计。

仿真图如图（3-3）所示

图3-3 基于ESPRIT 算法的频率估计

运算时间time= 0.0256

由图（3-3）可知，ESPRIT 算法可以实现对频率的估计，而且运算量少相对于MUSIC 算法运算量明显降低，具有很好的估计效果，但是当频率较大时有少许误差。