信号去噪方法综述

信号去噪方法综述

【摘要】在信号传输过程中往往会因为噪声的干扰而影响信号的质量，为了改善这种情况，往往需要对信号进行噪声处理。本文对空域相关法，阈值法等与小波相关的典型算法进行了论述，并将其和传统的滤波器法进行对比，总结出了这些方法在信号去噪方面的优缺点。

【关键词】小波；阈值；空域；信号去噪

The Summarization of signal denoising methods

A bstract:In the process of signal transmission because of the interference of noise ,the quality of the signal often be affected. in order to improve the situation, We need to dispose the noise that mixed in the signal.In this paper ,several typical methods are introduced ,including the spatial filtering method,the threshold method and so on.Those methods were compared with the traditional filter method and the advantages and disadvantages in these methods are summarized in this paper.

Key words: The wavelet ;The threshold value; Airspace;Signal denoising

引言

如何获得一个高质量的信号是信号处理领域一个孜孜不倦的研究方向，而人们在这一领域也取得了巨大的成就。长久以来，人们用傅里叶变换对信号进行相关的处理，并且也取得了一系列的成就。但是，一种方法并不能在任何情况下都适用，傅里叶变换在信号去噪方面也有很多的局限性。其中傅里叶变换在处理这类问题时的一个缺陷就是，用傅里叶进行分析时，它的构造函数是周期性的正弦波和余弦波[1]。鉴于其局限性，它只适合对那些具有周期性或者是具有近似周期性的信号进行滤波或压缩，而在对那些具有非周期或者局部特征很明显的信号的处理上效果就不是很好。

虽然傅里叶变换在信号去噪方面存在局限性，但是由其发展来的小波变换则能很好地解决上述问题。作为在信号处理领域中的一种新的分析方法，它不仅保留了傅里叶变换的许多优点，而且在原来的基础上进行了改进和发展，使其能够在时频域对信号进行处理。小波变换的显著特优点是通过变换可以将信号进行更细微的处理，并且能够将信号的某些特征较好的表现出来，实现了在时频域对信号进行局部化、多尺度的分析的要求。在小波基础上发展来的信号去噪方法表现出了良好的去噪效果，是Fourier变换在信号处理领域的完善和发展。1小波基础知识

1.1小波变换原理

定义1：)

(

)(2R

L

t

f∈

?平方平方可积空间，连续小波变换为：

dt

a

t

t

f

a

a

W R

R

f)

(

)

(

1

)

,

(?--

=

τ

ψ

τ（1）

其中：)

,

(τ

a

w f是小波变换系数；)

(t

ψ是小波函数。

离散小波变换式定义为：

)

2(

)

(

2

)

,

(

1

2k

n

n

f

k

j

W j

N

n

j

f-

=-

-

=

-

∑ψ（2）其中，)

,

(k

j

W f表示小波系数，N是采样点数，j为分解层数。

在使用小波对信号进行处理的过程中，任何一个信有效信号都可以用下式来表示：

∑∑

∑

=∈

∈

+

=

j

m z

k

k

m

f

z

k

k

j

f k

m

W

t

k

j

A

t

f

1

,

,)

,

(

)(

)

,

(

)(ψ

φ

(3)

其中，f(t)是原信号，)

,

(k

j

A f表示尺度系数，)

,

(k

j

W f表示小波系数。

1.2多分辨率分析

定义2：令j V，j=…，-2，-1,0,1,2，…为

)(2R L 中的一函数子空间序列。如果能够满足以下条件，

（嵌套性）1+?j j V V （稠密性）)(2R L V j =

（分立性）}

0{=j V

（尺度性）j V x f ∈)(，当且仅当

0)2(V x f j

∈-（Vj 是近似空间）

那么},{Z j V j ∈称为依φ的多分辨率分析，φ是尺度空间。

多分辨率分析的原理是：把全空间

)(2

R L 依分辨率j

2分解成一系列嵌套的闭的子空间序列},{Z j V j ∈，再根据正交补分解，

将)(2

R L 分解为一系列正交的小波子空间},{Z j W j ∈，最后将信号)()(2R L t f ∈投影

分解到不同分辨率的小波子空间上来分析[2]

。

2信号去噪的方法

2.1 滤波器滤波法

在信号传输过程中，如果信号和噪声的频谱不在相同的频段，我们经常采用滤波的方法将噪声去除。这是一种在频域对信号进行处理的方法，在使用这种方法进行信号去噪时，我们要根据信号与噪声的频带特点来选取合理的滤波器来进行去噪。该方法结构简单、易于操作，只需选择合适的滤波器让含噪信号通过即可，滤波效果也很好。但是该方法的使用是有条件的，因为该方法是在频域进行的，因此只有在有效信号和噪声的频谱没有重叠时才可以把信号和噪声分开。但是在实际中我们遇到的往往是信号和噪声的频谱相差不大或重叠，甚至是噪声频谱分布在整个频域中。在这种情况下我们很难使用滤波的方法将它们彼此分开，亦或是以损失有效信号为代价，所以这种方法有很大的局限性。

2.2 基于小波的信号去噪方法

2.2.1 小波的分解与重构

根据Mallat 多分辨率分析的思想和小波分解与重构的算法[12]可以得到：

若信号f(t)的离散采样数据是fk,fk=c0,k,对信号f(t)进行正交小波变换之后得到：

????

?==∑∑----n k

n n j k i n k n n j k j g d d h c c 2,1,2,1,

其中,k i c ,为尺度系数;k j d ,为小波系

数;h 、g 表示正交镜像滤波器组;j 为分解层数;N 为离散采样点数。

因为小波的分解和重构过程是互逆的，则重构的数学运算可以表示为：

∑∑---+=n

n

k n j n

n k n j n j g d h c c 2,2,,1

（5）

在对信号进行小波分解与重构的过程中首先要对其进行初始化，小波的初始化包含两个方面。第一是找出小波的近似空间j V ,使它可以最好的反应分解信号f 的各种信息。然后再选择一个fj ，并且 j j V f ∈这样就可以最好的向信号f 逼近。初始化之后就可以使

j f f ≈。然后可以把j f 再分解为两部分，分

别是较低级的近似部分

11--∈j j V f 和小波部

分11--∈j j W ω，即

11--+=j j j f f ω。然后再

对其他较低级别采用相同的步骤进行分解，直到分解到第0级，算法流程图如下：

图1小波分解流程图

在用小波对信号进行分解时，待处理信号可以用父函数和母函数来表示。这样我们可以从不同的尺度和频带上对信号进行处理。从而可以将含有噪声的频带置零而将有效信号的频带保留，最后再把处理过的信号进行重构，恢复出原始信号。

重构的过程和上图相反再此不详细赘述。

2.2.2小波分析的空域相关法去噪

在实际中，信号的不连续点往往具有较好的局部特性，如果一个信号的边缘是正常的，则它的李氏指数不小于零。当用小波的相关方法对信号进行处理之后，原信号和噪声的幅值与分解尺度会呈现出相反的变化趋势，具体是原信号与之成正相关，噪声则是负相关。这样以来，与噪声相关点的模极值点可能会随着分解尺度的增加而消失。小波变换之后，有效信号的边缘特征会呈现出很强的相关性，但是噪

K=1,2,…，N-1 （4）

声却并没有这一明显特征[3]。所以可以根据这一特性可以筛选出噪声和原信号的小波系数，筛选后的小波系数基本可以对应信号的边缘，这样就可以将噪声从原信号中分离。

设观测信号为：

F(k)=s(k)+n(k) （6） 其中s(k)是原信号，n(k)是服从(0，σ2)的高斯白噪声。

对式（6）做离散小波变换并得到k j w ,。 定义2：记

k j k j k j w w CW ,1,,*+= （k=1，2，…，N ） （7） 我们称上式为尺度J 上的k 点相关系数，k j w ,和k j w ,1+对应1,+j j 上的小波系数。

定义3：记

j

j

k j k j P C W PW CW w *

,,= （8）

(8)式为CWj,k 的规范化相关系数，从而可将CWj,k 的能量归一化到wj,k 。

∑=k k j j w PW 2,，∑=k k j j CW PCW 2,，

（k=1,2,…，N ）。j PW 是尺度相关系数（j

是分解层数），

j PCW 的含义是相关系数能量。假设1=j ，则信号的主要边缘可以通过k j w ,和k w ,1的对比来找出。当k k j w w ,1,>时，则认为该点为边缘并将k w ,1的位置和大小保存起来，然后将k j w ,和k w ,1中的相应点置零，否则，把该点当做噪声。用k w ,1'和k w ,1'表示余下的数据，然后将k w ,1'的能量归一化到k w ,1'，再次模值进行对比，找出信号主要特

征信息。然后使j=2,重复上述操作，直到j=J(J 为分解尺度)。 2.2.3阈值法去噪

阈值去噪是对信号噪声进行处理的一种简单并且非常有效方法，这种方法最早是由Donoho 提出的[13]，因为其去噪效果好而被广泛应用。阈值去噪常用的有硬阈值去噪和软阈值去噪两种方法，两者的区别是对阈值的处理方法不同，因此也得到了不同的处理结果。阈值法去噪的思路是，由阈值公式得出一个阈值；然后将小波系数与该阈值进行比较，以阈值为分界，将小波系数划分为两部分并给于特定处理。为了比较完整地将原信号恢复出来，

可以对筛选后的小波系数进行重构以实现期望得到的效果[4]。具体的方法流程如图2所示：

图2 阈值去噪法流程图

其中，硬阈值函数为：

??

?≥=其他,0,λ

w w w

软阈值函数为：

???≥-=，其他，0))((T w T w w sign w （10）

其中w 是小波系数，w 是经过上式处理

后的小波系数，T 表示阈值；

设信号s(t)中含有噪声n(t)，含噪信号表示如下：

f(t)=s(t)+n(t) （11） 其中，s(t)表示原信号；n(t)表示高斯白噪声，服期望为0，方差为σ2。 2.2.4平移不变量小波去噪

通过观察可以发现，在信号的突变点很可能会产生一些轻微的震荡（吉布斯现象）。因为正交小波变换具有一个非常优越的性质，即平移不变的特性，为解决这一现象，可以根据该特性将信号进行适当的平移变换，从而改变这些突变点的位置；但是仅仅经过平移还不够，我们还要将它的噪声系数去除，并将去噪后的信号进行逆平移，经过以上各步骤的操作，就能够将噪声最大程度的滤除。然而一个信号有时不可能只存在一个不连续点，也可 能存在多个这样的点。所以，通过一次平移我们不可能使所有的连续性不好的点都回到一个连续性好的位置，可能会有一些点因为一次平移没达到一个良好的效果而使连续性更差。所以在处理的时候单次的移动是达不到要求的，而是要改变平移量，进行多次操作，最终取所有结果的平均值[7]。 假设存在信号：

}0:{),0(n h h Hn n t x t <≤=≤≤

（9）

在时域对信号t x 进行h 个单位的平移得到信号h s ，其表达式为：

n h t t h x x S mod )()(+= （12）

其中，Sh 是可逆的，令1

)(--=n h S S ，用T

来表示对信号进行阈值处理，Ave 代表的含义是“平均”，则用平移不变量去噪的方法对信号进行n 次循环平移之后得到如下表达式： )))((())(;(x S T Ave S x T n H n h H n h h ∈∈=（13） 用上述方法对信号进行噪声的处理能够减轻波形的震荡，消除伪吉布斯现象。 2.2.5模极大值法去噪

在实际中遇到的信号，不可能全部都是连续的，可能会遇到一些信号在某处间断或者某阶导数不连续，这些不连续的点也就是信号的奇异点(突变点)。信号的一些重要信息往往会通过这些突变点表现出来，因此我们需要将这些能够反映出信号主要特征的点检验出来。

该算法的主要依据是：信号和噪声在不同的分解尺度上小波系数存在的差异性，即原信号的模极大值和与分解尺度成正比，而噪声却与之成反比[9]。通过分析比较，就可以判断出各个模极大值是由那部分信号引起的，然后根据判断结果，去掉由噪声所带来的模极大值并将剩余的进行信号的重构，就可以把噪声滤除。

设)]([0

2z n n f S D d

∈=是原信号s 的N

点离散采样，)]([2Z n n s W d

j

∈为D 在尺度2

j

上的小波系数。若满足

]

1[][]1[][2222a n s W n s W n s W n s W i d i d i d i d j j j j +≥-≥ （14）

式（14）同时成立（同时取等号），则小波系数在ni

点取模极大值。

算法步骤如下：

图3模极大值法流程图

经过上述的操作之后，信号的主要信息就保留在了筛选过的小波系数的模极大值中，通过该方法就可以将含噪信号的噪声去除，最大

限度的恢复出原信号。

3实验仿真及结果分析

除空域相关法之外，其它方法已有文献进行了仿真[11]，在仿真中用Blocks 信号作为原始信号，采样点数2048个，原始信号波形如图4(a)所示。图4(b)是叠加了满足(0，σ2)分布的高斯白噪声后的信号，输入信号和噪声的比值用SNR 来表示，值为7。从图中可以看出，叠加了高斯白噪声之后的波形受到了严重干扰，波形已经失真。

图4(a)原信号

图4(b)含噪信号

图5—9是用不同的方法对信号进行去噪处理后的波形，可以明显看出，每一种去噪方法相对于图4(b)都有较大程度的改观，在一定程度上滤除了噪声的影响。其中图5是采用小波分解与重构的方法，分解层数J=4，采用Symmlet 8小波，该图是将尺度为4上的低频和高频系数进行重构而得到的结果。图6采用的是小波空域相关法去噪，采用Symmlet 8小波，信噪比SNR=7，分解层数J=4。 图7采用的是软阈值法降噪的方法，在该方法中使用的是Haar 小波，分解层数为5并采用默认阈值函数。图8采用平移不变量小波去噪，各种技术指标和软阈值法相同。图9采用的是模极大值法去噪，分解层数J=2，采用双正交样条小波。

图5 小波分解与重构去噪

图6 小波空域去噪

图7软阈值去噪

图8平移不变量小波去噪

图9 小波变换模极大值法

从上图可以看出，每一种方法对噪声的滤除都有一定的效果，但是每一种方法的滤波效果都有所不同。小波分解与重构法和空域去噪法，可以滤除噪声，但是相比另外几种来说，效果并不是太好，而且在还存在一些轻微的幅度震荡，也就是伪吉布斯现象。软阈值法相较于小波分解与重构和空域去噪法波形有了一定的改观，视觉效果要好一点，但是伪吉布斯现象不能完全消除。平移不变量和模极大值法，不仅很好的将噪声滤除，而且波形比较光滑，基本上消除了伪吉布斯现象，视觉效果最好。相对于平移不变量法，模极大值法还可以很好的将反应信号特征值的奇异点信息保留下来，从而可以使恢复出来的信号更加接近原信号。

4结论

本文介绍了各种小波去噪的方法原理，通过对各种方法的去噪效果进行比较，总结归纳了每一种去噪方法的优缺点：

其中小波分解与重构法算法和实际操作都比较简单，而且计算的速度也比较快，但是适用范围有限。该方法和滤波器滤波法一样，当混合信号的频带彼此没有重合时，这两种方法的去噪效果都很好；但是当频谱彼此重叠时，用这两种方法都不能将噪声最大限度的滤除。

阈值法的去噪效果还是比较好的，它可以将信号的一些特殊的点保存下来使信号不致过分的失真。另外该方法的原理和实现都相对简单，因此应用广泛。但是伪吉布斯现象没有完全消除。

平移不变量小波去噪滤波效果比较好，去噪后的波形比较光滑，而且在信号与噪声的频重叠时滤波效果也比较好，而且可以消除在信号不连续点的伪吉布斯现象。然而此方法实现起来要相对复杂。

模极大值法主要适用于噪声和信号频谱彼此重叠的信号，而且对于含有较多不连续点的信号也有很强的处理能力。此方法不仅可以有效地消除伪吉布斯现象，而且很好的保留了间断点的信息，另外在这几种方法中，输出信噪比也是最高的。但是该方法的计算速度是最慢的，并且在使用时，分解尺度的选择会对去噪结果产生较大的影响。

小波变换的空域滤波法可以达到滤波的效果并且可以有效地保留原信号的边缘信息，但是滤波后还存在伪吉布斯现象，计算速度也比较慢。

当我们处理的信号与噪声的频谱彼此分离时可以考虑传统的滤波器滤波和小波分解与重构法进行。当信号与噪声的频谱混叠时，

可以根据去噪的效果、信号的连续性和算法复杂度等指标来选择除滤波法和小波分解与重

构法之外的滤波方法。

根据各种方法的不足，我们在今后的算法改进中，可以在原有算法的基础上进行优化，改进算法的复杂度；针对阈值法适用广泛的特点，我们不仅可以优化原有算法，还可以对阈值进行处理，找出滤波效果更好的阈值函数；因为各种滤波方法都有独特的优缺点，我们可以考虑两种或以上的方法混合使用，在既考虑效率又考虑去噪效果的因素下，进行合理的结合。通过对算法进行创新性的改进，一定会找到去噪效果更好的新方法。

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