计算方法总结

Wang wei-wei, Xidian University Page 1 of 34 1/6/2015 11:13:22 PM 第0章 绪论 一、三大空间的概念：距离空间，赋范线性空间，内积空间。 二、掌握定义距离，范数，内积的几条公理并会验证；常用距离空间、赋范线 性空间及内积空间的例子。 三、会用范数定义内积，用内积定义范数。 四、了解内积空间的正交概念及正交投影定理。 五、了解完备的内积空间——Hilbert空间中的正交系及规范正交系的概念。

 距离空间举例：22[,]()()baLabxtxtdt中距离：

122(,)(()())badxyxtytdt； n维实向量空间nR中的距离：12221(,)[()]niiidxyxy，1(,)maxiiindxyxy等； Wang wei-wei, Xidian University Page 2 of 34 1/6/2015 11:13:22 PM

[,]Cab中距离(,)max()()atbdxyxtyt。  赋范线性空间：设E是线性空间，又在E上定义了范数，则称E为赋范线性空间，记作(,)E。  距离与范数的关系： 在赋范线性空间中，由范数可以导出距离：(,)dxyxy，因此赋范线性空间由范数导出的距离也构成了距离空间；反之满足一定条件可以。 如，[,]Cab中范数[,]()max|()|tabftft， 由此定义的距离：[,]((),())()()max|()()|tabdftgtftgtftgt

2[,]Lab中范数1/22()|()|baftftdt，定义距离((),())dftgt Wang wei-wei, Xidian University Page 3 of 34 1/6/2015 11:13:22 PM

 矩阵的算子范数 给出一种向量范数

x

 

1,2,，相应定义一个矩阵非

负函数0=maxxAxAx，称为矩阵的算子范数。常用矩阵的算子范数

（1）A—行范数；（2）1A—列范数；（3）max2=TAAA—2-范数。 谱半径：设nnAR的特征值为(1,2,)iin，称1()maxiinA为A的谱半径. 谱半径的性质：设nnAR，则()||||AA；A为对称矩阵，则2()||||AA.  内积空间的例子：n

R中1(,)=niiixyxy；2[,]Lab中((),())=()()baftgtftgtdt

内积可诱导范数 =(,)xxx 举例：书上P27，20题 （2）设1(),()[,]fxgxCab，问按定义(,)()()()()bafgfxgxdxfaga是内积 吗？为什么？ Wang wei-wei, Xidian University Page 4 of 34 1/6/2015 11:13:22 PM

答：按定义(,)fg构成内积 验证：（1）正定性 22(,)()()0bafffxdxfa，

而()0()(,)0()0()0fxfxcfffxfa （2）共轭性 由于(,)()()()()bafgfxgxdxfaga 而(,)()()()()bagfgxfxdxgafa()()()()bagxfxdxgafa ()()()()bafxgxdxfaga， 所以 (,)(,)fggf.

（3）第一变元线性性质 121212(,)()()baffgffgdxffaga

1212()()()()bafgfgdxfagafaga12(,)(,)fgfg

综上，按定义(,)fg构成内积 Wang wei-wei, Xidian University Page 5 of 34 1/6/2015 11:13:22 PM

第1章 插值法 一、插值法的基本概念。 二、会用待定系数法、Lagrange插值法构造插值多项式  已知函数()fx在区间[,]ab上n+1个互异的插值节点(0,1,,)

ixin

处的函数

值(0,1,()),iiiyfxn，则n次Lagrange插值多项式为

0()()nniiiLxylx （1.2.5）

其中0 (0,1,2,,)njijijjixxlxinxx为插值节点(0,1,2,,ixin处的n次Lagrange插值基函数, 且满足：()(,0,1,,)jijilxijn。 例1.2.2 已知()xfxe的一组数据见下表，用二次插值多项式计算2.1e的近似值，并估计误差。 xi 1 2 3 Wang wei-wei, Xidian University Page 6 of 34 1/6/2015 11:13:22 PM

yi 0.3679 0.1353 0.0183

解：记0121,2,3xxx，则0120.3679, 0.1353,0.0183yyy。由插值公式得

2.10201122012010210122021(2.1)(2.1)(2.1)(2.1)(2.1)(2.1)(2.1)()()()()()()xxxxxxeLyyyxxxxxxxxxxxx





0.1(0.9)1.1(0.9)0.367901.10.12(1.13530.0183)2

0.1184

。

误差函数 2()Rx11(1)(2)(3)(1)(2)(3),(1,3)66eexxxxxx 故 20.36790.0990.00607016(2.1)R。 第2章 最佳逼近和最小二乘法 一、内积空间的最佳逼近思想、度量标准（利用范数）及求解方法。 二、掌握2[,]Lab中的最佳平方逼近的构造方法。 三、能写出勒让德多项式和切比雪夫多项式，及正交性等。

四、离散数据的最小二乘逼近方法。 Wang wei-wei, Xidian University Page 7 of 34 1/6/2015 11:13:22 PM

 2[,]Lab中的最佳平方逼近：设在空间2

[,]Lab中定义内积和范数

(,)()()()bafgxfxgxdx， 1222()()bafxfxdx

若01(),(),,()nxxx是2[,]Lab中的1n个线性无关函数，线性子空间01span,,,nM。对于2()[,]fxLab，存在**0()niiisxM，使得

*22()()()min()()sxMfxsxfxsx 2()min()[()()]basxMxfxsxdx （2.2.1） 称*()sx是()fx在空间M中关于权函数()x的最佳平方逼近函数。且满足

法方程 *0000010*1011111*01(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)nnnnnnnnfff Wang wei-wei, Xidian University Page 8 of 34 1/6/2015 11:13:22 PM

 均方误差 **

22

0(,)(,)niiifsffaf



例2.2.1 求区间[1,1]上函数()fxx在24span1,,Mxx中的最佳平方逼近多项式及均方误差。 解: 记240121,,xx，计算得

00010222(,)2,(,),(,)35，111222222(,),(,),(,)579，

0(,)1f， 11(,)2f， 21(,)3f。

解法方程为 01222213522213572121523549 Wang wei-wei, Xidian University Page 9 of 34 1/6/2015 11:13:22 PM

解得***012151051050.1171875,1.640625,0.820312512864128。 ()fxx的最佳平方逼近为*24()0.11718751.6406250.8203125sxxx。 均方误差 2*20(,)(,)0.05119iiiffaf。  勒让德（Legendre）多项式 区间[1,1]上定义的多项式序列 21()[(1)](0,1,2,)2!nnnnn

dPxxnndx （2.3.1）

性质 112, (,)()() (,0,1,2,)210 ,nmnmmnPPPxPxdxnmnmn，

递推关系：0111()1()21()()(),(1,2,)11nnnPxPxxnnPxxPxPxnnn