直线和圆的位置关系 (2)
4.2.1《直线与圆的位置关系》PPT课件
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x 2 y 2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0 0 50 |
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
解方程组
4x 3x
3 4
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
A2 B2
直线与圆的位置关系
在2009年08月08日台凤莫拉克袭击宝岛台湾时，
一艘轮船在沿直线返回泉州港口的途中，接到气象台
的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响
的范围是半径长为30km的圆形区域．已知泉州港口位
于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，
那么它是否会受到台风莫拉克的影响？ y
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
为解决这个问题，我们以台
港口
风中心为原点 O，东西方向为
x 轴，建立如图所示的直角坐 标系，其中取 10km 为单位长
O
轮船 x
度．
直线与圆的位置关系
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆
北师大版数学九年级下册3.6《直线和圆的位置关系》教案2
北师大版数学九年级下册3.6《直线和圆的位置关系》教案2一. 教材分析《直线和圆的位置关系》是北师大版数学九年级下册第3.6节的内容。
本节主要让学生了解直线和圆的位置关系，包括相切和相交两种情况，并掌握判断直线和圆位置关系的方法。
通过本节的学习，学生能够进一步理解直线和圆的性质，为后续解析几何的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了直线、圆的基本性质和相互之间的交点性质。
但对于判断直线和圆位置关系的实践操作能力尚待提高，需要通过实例分析和动手操作，进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.让学生了解直线和圆的位置关系，包括相切和相交两种情况。
2.让学生掌握判断直线和圆位置关系的方法。
3.培养学生的实践操作能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：直线和圆的位置关系的判断方法。
2.教学难点：如何运用位置关系解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和动手操作法，引导学生主动探究，合作交流，从而提高学生对直线和圆位置关系的理解和应用能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。
2.准备课件和教学道具。
3.安排学生在课前预习相关内容。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习直线和圆的基本性质，为新课的学习做好铺垫。
例如：“直线和圆有哪些基本的性质？它们之间有什么联系？”2.呈现（15分钟）展示直线和圆的位置关系图片，让学生观察并描述它们之间的位置关系。
接着，通过课件演示直线和圆相切、相交的动态过程，引导学生直观地理解两种位置关系。
3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例，分析直线和圆的位置关系。
学生可以利用直尺、圆规等工具进行实际操作，验证理论。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）请学生上台演示刚才的操作，并讲解直线和圆位置关系的判断方法。
其他学生认真听讲，互相交流心得。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用所学知识解决。
《直线和圆的位置关系》教案-03 (2)
《直线和圆的位置关系》教案教学目标：（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．教学重点：直线和圆的位置关系的判定方法和性质．教学难点：直线和圆的三种位置关系的研究及运用．．与种类．法．具体过程：1、观察：（组织学生看图回忆初中所学）2、归纳：（引导学生完成）（1）直线与圆有两个公共点；（2）直线和圆有唯一公共点（3）直线和圆没有公共点3、概念：（指导学生完成）由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．4、直线与圆的位置关系的判断方法：（1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解。
如果有解，直线l 与圆C 有公共点。
有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离，即:△＞0直线l 与圆C 相交；△＝0直线l 与圆C 相切；△＜0直线l 与圆C 相离。
（2）几何法：设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；5、应用例1： 用两种方法判断直线l 与圆C 的位置关系;(1)已知直线l :052=+-y x 与圆C :36)1()7(22=-+-y x .(2) )已知直线l :0543=+-y x 与圆C :25)2()5(22=++-y x解法一(代数法):由方程组⎩⎨⎧=+-=-+-05236)1()7(22y x y x (Ⅰ)消去y 后整理，得 0615052=+-x x ,∵012806154)50(2>=⨯⨯--=∆,∴方程组(Ⅰ)有两组不同的实数解,即直线l 与圆C 相交. 解法二(几何法):圆心(7,1)到直线l 的距离为52)2(15127122=-++⨯-⨯=d , 因6=<r d ，故直线l 与圆C 相交.(2)解略例2、已知圆C 的圆心坐标为（-1,4），且和直线l :205=+-y x 相切，求圆的方程解：因直线和圆相切，所以圆心C 到直线的距离即为圆的半径，所以r=d=）（）（1-22254-1-2++⨯=55 故所求圆的方程为51()4)122=+-+y x （ 6、课堂小结：教师提出下列问题让学生思考：]（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？7、作业P 课本课后习题。
直线与圆、圆与圆的位置关系
直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有三种：如图所示. （1）直线与圆相交：有两个公共点； （2）直线与圆相切：有一个公共点； （3）直线与圆相离：没有公共点.2、直线与圆的位置关系的判定的两种方法：直线l 和圆C 的方程分别为：Ax+By+C=0，x 2+y 2+Dx+Ey+F=0. 1）代数法判断直线与圆的位置关系：由l 和C 的方程联立方程组220Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩， ①若方程有两个不相等的实数根（△>0），则直线与圆相交； ②若方程有两个相等的实数根（△=0），则直线与圆相切； ③若方程无实数根（△<0），则直线与圆相离.2）几何法判断直线与圆的位置关系：圆心C(a ，b)到直线的距离d=22||Aa Bb C A B+++与半径r 作比较①若d<r 时，直线l 和圆C 相交；②若d=r 时，直线l 和圆C 相切；③若d>r 时，直线l 和圆C 相离. 3、圆的切线的求法：（1）当点(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=r 2上时，切线方程为x 0x+y 0y=r 2；（2）若点(x 0，y 0)在圆(x －a)2+(y －b)2=r 2上时，切线方程为(x 0－a)(x －a)+(y 0－b)(y －b)=r 2； （3）斜率为k 且与圆x 2+y 2=r 2相切的切线方程为21y kx k =±+；斜率为k 且与圆(x －a)2+(y －b)2=r 2相切的切线方程的求法：先设切线方程为y=kx+m ，然后变成一般 式kx －y+m=0，利用圆心到切线的距离等于半径来列出方程求m ；（4）点(x 0，y 0)在圆外面，则切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再变成一般式，因为与圆相切，利用圆心到直线距离 等于半径，解出k ，注意若此方程只有一个实根，则还有一条斜率不存在的直线，务必要补上. 4、直线与圆相交的弦长公式1）平面几何法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A 、B ，线段AB 的长 即为直线l 与圆相交的弦长.设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为AB ，则有 222()2AB d r +=，即AB=222r d - . 2）解析法求弦长公式：如图所示，直线l 与圆相交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，当直线AB 的倾斜角存在时，联 立方程组，消元得到一个关于x 的一元二次方程，求得x 1+x 2和x 1x 2.于是2121212||()4x x x x x x -=+-，这样就求得2121221||1||1||AB k x x y y k=+-=+-。
圆和直线的位置关系公式
圆和直线的位置关系公式圆和直线的位置关系公式是数学中最重要的公式之一，用于计算圆和直线之间的位置关系。
圆和直线的关系可以用几何图形来表示，它们的位置关系可以用几何学方法来表达，这就是圆和直线的位置关系公式。
一、圆和直线的位置关系圆和直线之间的位置关系可以分为三种：相交、相切和内切。
1. 相交：圆和直线的位置关系，当圆和直线的位置关系是相交时，圆和直线有两个公共点，这两个点就是它们的交点。
2. 相切：当圆和直线的位置关系是相切时，它们有一个公共点，这个点就是它们的切点。
3. 内切：当圆和直线的位置关系是内切时，它们有一个公共点，这个点就是它们的内切点。
二、圆和直线的位置关系公式既然已经了解了圆和直线之间的位置关系，那么下面就要介绍圆和直线的位置关系公式。
1. 相交的位置关系公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^22. 相切的位置关系公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^23. 内切的位置关系公式：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2上面的公式中，a，b是圆心的坐标，r是圆的半径。
三、应用圆和直线的位置关系公式不仅可以用来计算圆和直线之间的位置关系，还可以用来计算圆的面积和周长、求解三角形等。
1. 求圆的面积根据面积公式：面积=πr^2，可以算出圆的面积。
2. 求圆的周长根据周长公式：周长=2πr，可以算出圆的周长。
3. 求解三角形根据圆和直线的位置关系公式，可以求出三角形的三条边长，然后根据三角形的定理，可以求出三角形的其他属性。
四、总结从上面的介绍可以看出，圆和直线的位置关系公式是一个非常重要的公式，它可以用来计算圆和直线之间的位置关系，也可以用来计算圆的面积和周长，还可以用来求解三角形等。
因此，圆和直线的位置关系公式在几何学中具有重要的意义，是学习数学的重要基础。
直线与圆的位置关系及性质和判定
直线与圆的位置关系及性质和判定
直线与圆是在平面几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系及性质有很多种，下面我们来一一介绍。
1. 直线与圆的位置关系有三种情况：
（1）直线与圆相交；
（3）直线与圆内含。
2. 直线与圆的位置关系具有对称性质，即交换直线和圆的位置仍然成立，特别地，直线可以看成是以半径为无限大的圆。
3. 直线与圆的位置关系决定了它们之间的交点数目，以及交点的性质。
（1）交点数目：一条直线与一个圆最多有两个交点，最少有一个交点，如果切线重合，则只有一个交点。
（2）交点的位置：
① 两交点的连线经过圆心；
② 被交点的角度相等，且互为补角；
③ 两条切线垂直于径，且互相垂直；
④ 两条切线在点处的切线垂直于过该点的直径。
（3）判定方法：
① 如果直线与圆的方程可通过联立求解得到交点，则两者相交；
③ 如果扫描线经过圆时出现奇数个交点，则该直线与圆相交（扫描线法）。
① 交点在切线上；
① 确定圆心和半径，然后根据切线的判定条件求出切点；
② 针对某一求交点的定点，使各定点到圆心的距离相等，然后根据勾股定理求出交点。
（1）交点数目：一条直线与一个圆内含时，无交点。
① 切线内含于圆；
（3）判定方法：只需要判断过直线的所有圆的半径与直线的距离之差是否有大于零的情况即可。
总结：
在解决直线与圆的位置关系问题时，需要熟练掌握判定条件和数学技巧，才能快速判断它们的位置关系，从而有效地解决问题。
同时，本文的介绍也只是直线与圆位置关系的一些基本性质，实际问题中还可能存在更加复杂的情况和解决方法。
第一部分 第二章 §2 2.3 第一课时 直线和圆的位置关系
(2)几何法： l 2 设弦长为l，弦心距为d，半径为r，则有( 2 ) ＋d2＝r2， 故l＝2 r2－d2 ，即半弦长、弦心距、半径构成直角三角
形，数形结合利用勾股定理得到．
6．(2012· 福建三明市高一检测)直线 2x－y－1＝0 被圆 (x－1)2＋y2＝2 所截得的弦长为 30 A. 5 2 30 C. 5
3x＋y－6＝0， 2 x ＋y2－2y－4＝0，
则联立方程有
解得交点坐标
为(2,0)，(1,3)．
法二：圆的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心为 (0,1)，半径为 5 . 圆心到直线的距离为d＝ 5 < 5， 10
∴直线与圆相交，有两个交点．
3x＋y－6＝0， 由直线与圆的方程得 2 2 x ＋y －2y－4＝0.
要注意作图的准确性，分类讨论时要做到不重不 漏．
根据直线与圆的方程能判断直线和圆的位置关 系，那么根据两个圆的方程能否判断它们的位置关系？
问题1：从两圆的交点个数上看，两圆有几种位
置关系？ 提示：三种．即相交、相切和相离．
问题2：从两圆具体位置来看，两圆的位置关系 应有几种？相交时两圆圆心距与两圆半径有什么关系？ 提示：五种，相交时，|r1－r2|<d<r1＋r2. 问题3：用两圆的方程组成的方程组有一解或无 解时能否准确判定两圆的位置关系？ 提示：不能．当两圆方程组成的方程组有一解 时，两圆有外切、内切两种可能情况，当方程组无解时， 两圆有相离、内含两种可能情况．
消去y，
得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1. 故交点坐标为(2,0)，(1,3).
[例2]
圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，
且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程．
直线和圆的位置关系(2)
3
鸡西市第十九中学初四数学组
12．已知：如图，△ABC 的三边 BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆 O 的半径长为 r．求 △ABC 的面积 S．
O 由此可得
☆ 切线的判定定理：
.
A
反过来：如图，在⊙O 中，直线 l 与⊙O 相切， A 为切点，直线 l 与半径 OA 有什么位置
关系？为什么？
O
l A
1
由此可得
鸡西市第十九中学初四数学组
☆ 切线的性质定理：
.
由切线的定义还可得：①
；②
。
例 1 如图，直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA=OB,CA=CB,求证：直线 AB 是⊙O 的切线。
2
的弦 AD 切小圆于 E 点． 求证：(1)AB=AD； (2)DE=BC．
鸡西市第十九中学初四数学组
8．已知：如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点．求证：OP 垂直平分线段 AB．
9．已知：如图，△ABC．求作：△ABC 的内切圆⊙O．
10．已知：如图，PA，PB，DC 分别切⊙O 于 A，B，E 点． (1)若∠P=40°，求∠COD； (2)若 PA=10cm，求△PCD 的周长．
（一）温故知新 1.直线和圆的位置关系：
⑴ 直线与圆
；
⑵ 直线与圆 相切
； ⑶ 直线与圆
.
2.已知⊙O 的直径是 6cm，圆心 O 到直线 l 的距离是 3cm，则⊙O 与直线 l 的位置关系
直线和圆位置关系的判定
判定直线与圆的位置关系常见的方式(1)几何法：利用弦心距d 与半径r 的关系． (2)代数法：联立直线与圆的方程，再利用Δ判定．(3)点与圆的位置关系法：假设直线恒过定点且定点在圆内，可判定直线与圆相交．上述方式中最经常使用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．例一、已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12.证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； 方式一：证明：由⎩⎨⎧=++-+=12)1()1(122y x kx y ，消去y 得(k 2＋1)x 2－(2－4k )x －7＝0， 因为∆＝(2－4k )2＋28(k 2＋1)>0，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点． 方式二：证明：圆心C (1，－1)到直线l 的距离d ＝|k ＋2|1＋k 2，圆C 的半径R ＝23， R 2－d 2＝12－k 2＋4k ＋41＋k 2＝11k 2－4k ＋81＋k2，而在S ＝11k 2－4k ＋8中， Δ＝(－4)2－4×11×8<0， 故11k 2－4k ＋8>0对k ∈R 恒成立，因此R 2－d 2>0，即d <R ，因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．方式三：证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过点P (0,1)，而|PC |＝5<23＝R ，因此点P (0,1)在圆C 的内部，即不论k 为何实数，直线l 总通过圆C 内部的定点P .因此不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．点评：在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一路综合考虑，不要单纯依托代数计算，如此既简单又不容易犯错．针对性练习：1．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同交点的一个充分没必要要条件是( )A ．－3＜m ＜1B ．－4＜m ＜2C ．0＜m ＜1D ．m ＜12.已知点P(a,b)(ab ≠0)是圆x 2+y 2=r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax+by=r 2,那么( )(A)m ∥l ,且l 与圆相交 (B)m ⊥l ，且l 与圆相切 (C)m ∥l ,且l 与圆相离 (D)m ⊥l ,且l 与圆相离解析：选C.直线m 的方程为()a y b x a ,b -=-- 即ax+by-a 2-b 2=0,∵P 在圆内，∴a 2+b 2<r 2,∴m ∥l , ∵圆心到直线l 的距离222r d r,a b=>+ ∴直线l 与圆相离. 3．已知点P (x 0，y 0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝r 2，有以下几个结论：①假设点P 在圆O上，那么直线l 与圆O 相切；②假设点P 在圆O 外，那么直线l 与圆O 相离；③假设点P 在圆O 内，那么直线l 与圆O 相交；④不管点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：依照点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，假设点P 在圆O 上，那么x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；假设点P 在圆O 外，那么x 20＋y 20＞r 2，d ＜r ，相交；假设点P 在圆O 内，那么x 20＋y 20＜r 2，d ＞r ，相离，故只有①正确．选A4．已知点P 是圆C ：x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0上的一点，直线l ：3x －4y －5＝0.假设点P 到直线l 的距离为2，那么符合题意的点P 有__________个．解析：由题意知圆的标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝42，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－6－12－5|5＝235＞4，故直线与圆相离，那么知足题意的点P 有2个．答案：25．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于_______。
人教课标版(B版)高中数学必修2《直线与圆的位置关系》教学课件2
4(b 2)(b 2)
当-2<b<2时， >0,方程组有两组不同实 数解，直线与圆有两个公共点。
当b=2或b=-2时， =0，方程组有两组相 同实数解，直线与圆只有一个公共点。
当b<-2或b>2时， <0,方程组没有实 数解，因此直线与圆没有公共点。
以上就是直线与圆相交、相切、相离的 三种情况
3.圆的一般方程：
_x_2_+__y_2_+_D__x_+_E__y_+_F_=__0_(_其__中__D_2_+__E_2_-___
4F>0) ( D , E )
圆心为 2 半2径为
1 D2 E2 4F 2
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系:
(1)直线与圆相交，有两个公共点； (2)直线与圆相切，只有一个公共点； (3)直线与圆相离，没有公共点；
圆心坐标是（１，０），半径长 r=1． 圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是
d
|
3
0
2
|
1
5
因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．
③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: x2 y2－2y 4 0 试判断直线L与圆
Ｃ有无公共点，有几个公共点．
解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r= 5 ，圆心
的距离d= | 0 0 50 | = 10 5
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。
圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=
3x
4y
，
0
得
x 8
y
6
切点坐标是（８，－６）
②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 x2 y2－2x 0 的
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泰和县第四中学 黄振淋
点和圆的位置关系有哪几种？
（1）d
（3）d>r
A
B C d
点A在圆内
点B在圆上
点C 在圆外
三种位置关系
O
点到圆心距离为d
⊙O半径为r
回顾：
●
O
●
O
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注
意观察直线与圆的公共点的个数
a(地平线)
a(地平线)
●
O
●
O
●
O
三
•你发现这个自然现象反映出直线和圆的公共点个数有
种情况
● ● ●
●
•把钥匙环看作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.
•固定圆,平移直尺,
直线和圆分别有几个公共点?
●
O
●O 相交 ●
O
相切
相离
直线与圆的交点个
数可判定它们关系
直线和圆只有一个公共点,这时我们就说这条直线和圆相切,
这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点.
直线和圆有两个公共点,这时我们就说这条直线和圆相交,这条
直线叫做圆的割线
直线和圆没有公共点,这时我们就说这条直线和圆相离.
两个公共点 没有公共点 一个公共点
1.直线和圆的位置关系有三种(从直线与圆
公共点的个数)
2.用图形表示如下:
.o
.o
l
l
相切
相交
切
线
切
点
割
线
.
. .
没有公共点 有一个公共点
有两个公共点
.o
l
相离
交
点
快速判断下列各图中直线与圆的位置关系
.
O
l
.
O
1
.
O
l
.O
2
l
l
.
1)
2)
3)
4)
相交
相切
相离
直线l与O1相离
直线l与 O2相交
O
(从直线与圆公共点的个数)
● ●
●
●
●
过直线外一点作这条直线的垂线段,
垂线段的长度叫点到直线 的距离。
l
.A
D
课本102面第1题过A点近似地
画⊙O的
切线
画一画：
●
O
●
•如图,圆心O到直线的距离d与⊙O的半径r的大小有什么
关系?
●
O
●O 相交 ●
O
相切
相离
直线与圆的位置关系量化
r r r
┐d
d ┐ d
┐
1)直线和圆相交
d r;
d r;
2) 直线和圆相切
3) 直线和圆相离
d r;
<
=
>
1)直线和圆相交
d r;
d r;
2) 直线和圆相切
3) 直线和圆相离
d r;
直线与圆的位置关系量化
●
O
●O 相交 ●
O
相切
相离
r r r
┐d
d ┐ d
┐
<
=
>
你能根据d与r的大小关系确定直线与圆的位置关系吗?
过圆心作直线的垂线段
d:
圆心O到直线的距离为d
一判定直线 与圆的位置关系的方法有____种：
（1）根据定义，由________________
的个数来判断；
（2）由_________________
的大小关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
两
直线 与圆的公共点
圆心到直线的距离d与半径r
归纳：
3)若AB和⊙O相交,则 .
1、已知⊙O的半径为6cm, 圆心O与直线AB的距离为d, 根据
条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则 ;
2)若AB和⊙O相切, 则 ;
d > 6cm
d = 6cm
d < 6cm 0cm≤
2.直线和圆有2个交点,则直线和圆_________;
直线和圆有1个交点,则直线和圆_________;
直线和圆有没有交点,则直线和圆_________;
相交
相切
相离
如图:∠AOB = 30°M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆
心,以r 为半径的圆与 直线OA 有怎样的关系？为什么？
（1）r = 2 cm ; (2) r = 4 cm ; (3) r = 2.5 cm .
C
O
B
A
M
5
30°
解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C，
在 Rt △OMC 中, ∠AOB = 30°
MC= OM= x5=2.5
1 2 1
2
即圆心 M 到OA的距离 d = 2.5 cm.
因此⊙M 和 直线OA 相离. (3) 当 r = 2.5cm 时， 因此⊙M 和直线 OA 相切. (1) 当 r = 2 cm 时， (2) 当 r = 4 cm 时， 因此⊙M 和直线O A 相交. 2.5 有 d > r,
有 d < r,
有 d = r ，
典型例题
如图:M是OB上的一点,且OM =5 cm 以M为圆心,
半径r=2.5cm作⊙M. 试问过O的射线 OA与OB所夹的
锐角a取什么值时射线OA与 ⊙M
1）相离 (2)相切 (3)相交 ?
C
O
B
A
M
5
a
2.5
例题的变式题
解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C
1)当∠a = 30°时,d=CM=2.5=r
此时射线OA与 ⊙M相切
2)当 30°<∠a
时
射线OA与⊙M
相离
3)当∠a <30°
时
射线OA与⊙M
相交
< 90°
2:圆的直径是13cm ,如果直线与圆心的距离分别是,
(1) 4.5cm ; (2) 6.5cm ; (3) 8cm.
那么直线和圆分别是什么位置关系?有几个公共
点?
课本102面
随堂练习
(3) 当 d = 8cm时, 有 d > r,因此圆与直线相离,
没有公共点
(2)当 r = 6.5cm时, 有 d = r,因此圆与直线相切,
有一个公共点
(1)当 d = 4.5cm时, 有 d < r, 因此圆与直线相交,
有两个公共点
解: r=6.5cm,设直线与圆心的距离为d
设⊙O的圆心O到直线的距离为d,半径为r,d.r是
方程(m+9)x2－ (m+6) x +1=0的两根,且直线与⊙O相切
时,求m的值?
方程 几何综合练习题
d=r
析:直线与⊙O相切
b2－4ac=0 [-(m+6)]2－4(m+9)=0 解得 m1= -8 m2= 0 当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0 x1=x2= -1 当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0 b2－4ac= [-(m+6)]2－4(m+9)=0 解:由题意可得 x1=x2= 1 3 ∴ m=0 (不符合题意舍去)
C l d d d C C
E
F
d ＜r 直线 l与⊙A相交 直线 l与⊙A相切 d ＝r
直线 l与⊙
A
相离
d ＞r
公共点
公共点 公共点 ,点C叫做 直线 l叫做⊙A的 直线 l叫做⊙A的 两个 唯一 切线 切点 没有
割线
圆心O到直线的距离为d
相交 相切 相离
直线和圆的位置关系有三种
● ● ●
如图:AB=8是大圆⊙O的弦,大圆半径为R=5,
则以O为圆心,半径为3的小圆与A B的位置关系
是( )
补充练习
A相离 B相切 C相交 D都有可能
O
A B
5
D
4
3
B
8
（四）课后作业布置
p
110
第2题
谢谢观赏
再见！