-平行四边形2 2012年4月27日 (1)

若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． 2．（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

3．（2011•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

4．（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE=CF； （2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

5．（2010•盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F． （1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比； （3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

6．（2009•来宾）在▱ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 7．（2007•沈阳）如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．

8．（2006•中山）如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．

9．（2003•烟台）如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，甲乘1路车，路线是B⇒A⇒E⇒F；乙乘2路车，路线是B⇒D⇒C⇒F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．

10．（2002•聊城）如图所示，▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．

11．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形． 12．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE，连接EC并延长，使CG=CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH． （1）求证：四边形AFHD为平行四边形； （2）若CB=CE，∠BAE=60°，∠DCE=20°，求∠CBE的度数．

13．如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上． 求证：EF和GH互相平分．

14．如图，已知在▱ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG． （1）求证：四边形GEHF是平行四边形； （2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由） 答案与评分标准 一．解答题（共14小题） 1．（2011•资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 分析：（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE≌△CDF即可得到BE=DF； （2）根据平行四边形的判定方法：有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状． 解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB， ∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∴△ABE≌△CDF（A．A．S．）， ∴BE=DF； （2）四边形MENF是平行四边形． 证明：有（1）可知：BE=DF， ∵四边形ABCD为平行四边行， ∴AD∥BC， ∴∠MDB=MBD， ∵DM=BN， ∴△DNF≌△BNE， ∴NE=MF，∠MFD=∠NEB， ∴∠MFE=∠NEF， ∴MF∥NE， ∴四边形MENF是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质． 2．（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AE⊥BD，CF⊥BD，可得∠AEB=∠CFD=90°，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：△ABE≌△CDF； （2）由△ABE≌△CDF，即可得∠ABE=∠CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得AB∥CD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO． 解答：证明：（1）∵BF=DE， ∴BF﹣EF=DE﹣EF， 即BE=DE， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB=∠CFD=90°， ∵AB=CD， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）∵△ABE≌△CDF， ∴∠ABE=∠CDF， ∴AB∥CD， ∵AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．

3．（2011•厦门）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形；

（2）若AB=3cm，BC=5cm，AE=AB，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△BEP为等腰三角形？

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。 分析：（1）根据全等三角形判定证△ABC≌△CDA即可； （2）求出AC，当P在BC上时，①BE=BP=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根据cosB求出BP，③BE=PE=2，作EN⊥BC于N，根据cosB求出BN；当P在CD上不能得出等腰三角形；当P在AD上时，过P作PN⊥BA于N，证△QAP∽△ABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，设PQ=4x，AQ=3x，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）2+（4x）2=22，求出方程的解即可．

解答：（1）证明：在△ABC和△CDA中

∴△ABC≌△CDA， ∴AD=BC，AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． （2）解：∵∠BAC=90°，BC=5，AB=3，′ 由勾股定理得：AC=4， 即AB、CD间的最短距离是4， 设经过ts时，△BEP是等腰三角形， 当P在BC上时， ①BE=BP=2， t=2时，△BEP是等腰三角形； ②BP=PE， 作PM⊥AB于M，

∵cos∠ABC===，

∴BP=， t=时，△BEP是等腰三角形； ③BE=PE=2， 作EN⊥BC于N，则BP=2BN，

∴cosB==，

∴=， BN=， ∴BP=， ∴t=时，△BEP是等腰三角形； 当P在CD上不能得出等腰三角形， ∵AB、CD间的最短距离是4，CA⊥AB，CA=4， 当P在AD上时，只能BE=EP=2， 过P作PQ⊥BA于Q， ∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠QAD=∠ABC， ∵∠BAC=∠Q=90°， ∴△QAP∽△ABC， ∴PQ：AQ：AP=4：3：5， 设PQ=4x，AQ=3x， 在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）2+（4x）2=22，

∴x=，

AP=5x=， ∴t=5+5+3﹣=， 答：从运动开始经过2s或s或s或s时，△BEP为等腰三角形． 点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

4．（2011•北京）在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F． （1）在图1中证明CE=CF； （2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．

考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。 专题：几何综合题。 分析：（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F．即可 （2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得． （3）分别连接GB、GC，求证四边形CEGF是平行四边形，再求证△ECG是等边三角形． 由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB，求证△BEG≌△DCG，然后即可求得答案 解答：（1）证明：如图1， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F， ∴∠CEF=∠F． ∴CE=CF．

（2）解：连接GC、BG， ∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD为矩形， ∵AF平分∠BAD， ∴∠DAF=∠BAF=45°， ∵∠DCB=90°，DF∥AB， ∴∠DFA=45°，∠ECF=90° ∴△ECF为等腰Rt△， ∵G为EF中点， ∴EG=CG=FG，CG⊥EF， ∵△ABE为等腰Rt△，AB=DC ∴BE=DC， ∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135° ∴△BEG≌△DCG，