初二数学下册春季班培优讲义.教师版. 18.2 特殊的平行四边形-测试题(含答案)【精品】

第十八章 平行四边形【精品】18.2 特殊的平行四边形1．矩形的定义：（1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形．（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可． 【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．2．矩形的性质：（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________； ②矩形的对角相等且四个角都是__________； ③矩形的对角线__________；学-科网④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴． （3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．3．直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于__________．【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．4．矩形的判定：（1）有一个角是直角的__________是矩形； （2）有三个角是__________的四边形是矩形； （3）对角线__________的四边形是矩形． 【注意】（1）判定矩形的常见思路有三个角是直角→矩形四边形对角线相等→矩形平行四边形有一个角是直角→矩形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．5．菱形的定义：（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________．菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．6．菱形的性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质．（2）菱形的四条边都__________．学-科网（3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角．（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．（5）菱形的面积等于__________乘积的一半．7．菱形的判定：（1）一组邻边__________的平行四边形是菱形．（2）对角线__________的平行四边形是菱形．（3）四条边__________的四边形是菱形．（4）对角线__________的四边形是菱形．【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．8．正方形的定义：（1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形．（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．9．正方形的性质：（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地：①正方形的四个角都是__________，四条边都__________；②正方形的两条对角线__________并且互相__________，每条对角线__________一组对角．（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．10．正方形的判定：（1）根据正方形的定义；（2）有一组邻边相等的__________是正方形；（3）有一个角是直角的__________是正方形；（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．K知识参考答案：1．（1）矩形；（2）平行四边形；直角2．（2）①平行且相等；②直角；③互相平分且相等；④轴对称图形；对称轴；两条3．斜边的一半4．（1）平行四边形；（2）直角；（3）相等5．（1）菱形6．（2）相等；（3）互相垂直；平分；（5）两条对角线的7．（1）相等；（2）互相垂直；（3）都相等；（4）互相垂直平分8．（1）相等；直角9．（1）①直角；相等；②相等；垂直平分；平分10．（2）矩形；（3）菱形K—重点矩形的性质与判定；菱形的性质与判定；正方形呃性质与判定K—难点利用矩形的性质进行证明和计算；矩形判定定理的证明及运用；正方形的性质、判定的应用方法K—易错对矩形的判定方法的理解一、矩形的性质1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角．2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．【例1】如图，在矩形ABCD 中，1205BOC AB ︒∠==，，则BD 的长为A ．5B ．10C ．12D ．13【答案】B【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∠BOC =120°，∴AO =BO ，∠AOB =60°，∴△AOB 是等边三角形， ∴BO =AB =5，∴BD =2BO =10．故选B ．二、矩形的判定1．定义法；2．对角线相等的平行四边形是矩形； 3．对角线平分且相等的四边形是矩形； 4．有三个角是直角的三角形是矩形． 【例2】下列说法正确的是A ．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B ．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C ．对角线互相平分的四边形是矩形D ．对角互补的平行四边形是矩形 【答案】D【解析】∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项A 不正确； ∵有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项B 不正确； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项C 不正确； ∵对角互补的平行四边形一定是矩形，∴选项D 正确；故选D ．三、直角三角形斜边中线的性质1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等； 3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质． 【例3】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为 A ．52B ．6C ．13D ．132四、矩形中的折叠问题矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解．【例4】如图，长方形纸片ABCD 中，4AB =，3AD =，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为A ．1B ．32C ．43D ．2【答案】B【解析】如图，设点A 落在BD 上的点A ′处，连接GA ′，∵△DAG ≌△DA G '，∴3DA DA '==，AG A G ='．90DA G ∠='︒， 在Rt △DAB 中，∵90A ∠=︒，3DA =，4AB =，∴5DB =，∴52A B DA =-'='，设A G x '=， 在Rt △BA G '中，∵A G x '=，∴AG x =，∴4GB x =-，222GB A G A B '=+'，222(4)2x x -=+，解得：32x =， ∴AG =A ′G =32．故选B ．五、菱形的性质及应用1．菱形具有平行四边形的一切性质．2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．【例5】在菱形ABCD 中，M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且AM =AN =MN =AB ，则∠C 的度数为A ．120°B ．100°C ．80°D ．60°【答案】B六、菱形的面积菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．【例6】已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是 A ．212cm B ．224cmC ．248cmD ．296cm【答案】B【解析】∵菱形四边相等，∴边长为2045(cm)÷=．∵两边对角线的比是4∶3， 根据勾股定理，得对角线长为6和8．∴216824(cm )2S =⨯⨯=．故选B ． 七、菱形的判定菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的． 【例7】如图，在四边形ABCD 中，AB =AD,CB =CD,E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ． （1）求证：∠BAC =∠DAC ，∠AFD =∠CFE ； （2）若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形．【解析】（1）在△ABC 和△ADC 中，∵AB =AD ，CB =CD ，AC =AC ， ∴△ABC ≌△ADC ， ∴∠BAC =∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中，∵AB =AD ，∠BAC =∠DAC ，AF =AF ， ∴△ABF ≌△ADF ，∴∠AFB =∠AFD ． ∵∠CFE =∠AFB ，∴∠AFD =∠CFE ； （2）∵AB ∥CD ，∴∠BAC =∠ACD ，∵∠BAC =∠DAC ，∴∠ACD =∠CAD ，∴AD =CD ，∵AB =AD ，CB =CD ，∴AB =CB =CD =AD ，∴四边形ABCD 是菱形．八、正方形的性质正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．【例8】如图，正方形ABCD 满足∠AEB =90°，AE =12，BE =16，则阴影部分的面积是A ．400B ．192C ．208D ．304【答案】D【解析】在Rt △AEB 中，∠AEB =90°，AE =12，BE =16，由勾股定理得：AB =221216 =20，则正方形ABCD 的边长为20，所以阴影部分的面积为20×20–12×12×16=304，故选D ． 九、正方形的判定1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； 2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； 3．对角线互相垂直的矩形是正方形； 4．对角线相等的菱形是正方形．【例9】如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 垂直平分线分别交BC ，AB 于D 、E ，过C 作CF ∥AB ，交BC 的垂直平分线于F ，连接BF ． （1）判定四边形BECF 的形状，并证明；（2）当∠A 满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？证明你的结论．【解析】（1）四边形BECF 是菱形，∵EF 是BC 垂直平分线，∴FB =FC ，EB =EC ，∴∠EBC =∠ECB ， ∵CF ∥AB ，∴∠FCB =∠EBC ，∴∠FCB =∠ECB ，在△FCD和△ECD中，＝＝＝FCD ECD CD CDCDF CDE ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△FCD≌△ECD，∴CF=CE，∴FB=FC=CE=BE，∴四边形BECF是菱形．（2）当∠A=45°时，四边形BECF是正方形，∵∠ACB=90°，EF是BC垂直平分线，∴EF∥AC，∴∠FEB=∠A=45°，∵四边形BECF是菱形，∴∠FEB=∠FEC=45°，∴∠BEC=90°，∴四边形BECF是正方形．1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是A．对角线互相平分的四边形B．对角线互相垂直且平分的四边形C．对角线相等的四边形D．对角线相等且互相垂直的四边形2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是A．6 B．8 C．12 D．24 3．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是A．对角线相等，对边平行且相等B．一组对边平行，一组对角相等C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直D．一组邻边相等，对角线互相平分4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC= A．5 B．4 C．3.5 D．35．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC 的度数是A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm ，8 cm ，则下列结论不正确的是 A ．斜边长为10 cmB ．周长为25 cmC ．面积为24 cm 2D ．斜边上的中线长为5 cm7．在四边形ABCD 中，对角线，AC BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是矩形，则这个条件可以是A ．90ABC ∠=︒B ．AC BD ⊥C ．AB CD =D ．AB CD ∥8．如图，在长方形ABCD 中，AB =3，BC =4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为A ．158B ．154C ．152D ．159．如图，菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC =8 cm ，BD =6 cm ，则菱形的高为A ．485cm B ．245cm C ．125cm D ．105cm 10．如图，在菱形ABCD 中，P 、Q 分别是AD 、AC 的中点，如果PQ =3，那么菱形ABCD 的周长是A．30 B．24 C．18 D．611．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于A．60°B．55°C．45°D．30°12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是A．75°B．60°C．54°D．67.5°13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．18．如图，等边三角形EBC在正方形ABCD内，连接DE，则ADE∠=__________．19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG ⊥DE．21．已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，点E 是AC 的中点． （1）求证：△BED 是等腰三角形：学-科网（2）当∠BCD =________°时，△BED 是等边三角形．22．如图，四边形ABCD 中，90A ABC ∠=∠=︒，1AD =，3BC =，E 是边CD 的中点，连接BE 延长与AD 的延长线相交于点F ，连接CF ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形． （2）已知CB CD =，求四边形BDFC 的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，AD =12，AB =7，DF 平分∠ADC ，AF ⊥EF ．（1）求证：AF =EF ； （2）求EF 长．24．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点． （1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）当AB ∶AD =__________时，四边形MENF 是正方形，并说明理由．25．如图，矩形ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠等于A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°26．如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点，若AB =8，AC =6，则△DEF 的周长为A．12 B．13C．14 D．1527．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是A．20°B．25°C．30°D．40°28．如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于12BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．则下列结论错误的是A．AD平分∠MAN B．AD垂直平分BCC．∠MBD=∠NCD D．四边形ACDB一定是菱形29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是A．3 B．4 C．5 D．630．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为A．2B．22C．2+1 D．22+131．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD2EC．其中正确结论的序号是____________．34．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．（1）求证：DF+BE=EF；（2）求∠EFC的度数；（3）求△AEF的面积．35．如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N为垂足．（1）求证：AM=CN；（2）如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E，F，使BE=DF，连接AE、CF，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明．36．（2018·浙江台州）下列命题正确的是A．对角线相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形37．（2018·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是A．20 B．24 C．40 D．4838．（2018·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为A．7 B．6 C．5 D．439．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为A．31°B．28°C．62°D．56°40．（2018·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥A B．EI ⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于A．1 B．12C．13D．1441．（2018·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为A．6 B．5 C．4 D．342．（2018·广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是A．6 B．3C．6D．4.543．（2018·湖南湘潭）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．平行四边形44．（2018·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD ，下列作法中错误的是A ．B ．C ．D ．45．（2018·四川甘孜州）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点86O AC BD ==，，，OE AD ⊥于点E ，交BC 于点F ，则EF 的长为__________．46．（2018·辽宁锦州）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，连接OH .若OB =4，S 菱形ABCD =24，则OH 的长为__________．47．（2018·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，矩形内部有一动点P 满足S △PAB =13S 矩形ABCD，则点P 到A 、B 两点的距离之和PA +PB 的最小值为__________．48．（2018·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．49．（2018·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．50．（2018·湖南郴州）如图，在Y ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC 于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．51．（2018·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．1．【答案】B【解析】A选项中，根据“对角线互相平分”只能判定该四边形是平行四边形；B选项中，根据“对角线互相垂直平分”能判定该四边形是菱形；C选项中，根据“对角线相等”不能判定该四边形是菱形；D选项中，根据“对角线相等且互相垂直”不能判定该四边形是菱形．故选B．4．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°，∴AC=BD=2AB=8，∴OC=12AC=4．故选B．5．【答案】C【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=12AC，OB=12BD，AC=BD，∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠DAE∶∠BAE=3∶1，∴∠BAE=14×90°=22.5°，∵AE ⊥BD ，∴∠AEB =90°，∴∠OAB =∠OBA =90°–22.5°=67.5°， ∴∠EAC =67.5°–22.5°=45°．故选C ． 6．【答案】B【解析】∵在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm ，8 cm ，∴直角三角形的面积=12×6×8=24（cm 2），故选项C 不符合题意；∴斜边226810(cm)，=+=故选项A 不符合题意； ∴斜边上的中线长为5 cm ，故选项D 不符合题意；∵三边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，∴三角形的周长=24 cm ，故选项B 符合题意，故选B ．8．【答案】B【解析】如图，连接AF ．根据折叠的性质，得EF 垂直平分AC ，则．AF CF =设AF x =，则4BF x =-，在Rt △ABF 中，根据勾股定理，得229(4)x x =+-，解得258x =． 在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得AC =5，则AO =2.5． 在Rt △AOF 中，根据勾股定理，得158，OF =根据全等三角形的性质，可以证明，OE OF =则154．EF =故选B ．9．【答案】B【解析】∵菱形ABCD 的对角线8cm 6cm AC BD ==，，∴AC ⊥BD ，OA =12AC =4 cm ，OB =12BD =3 cm ，根据勾股定理，2222435AB OA OB =+=+=（cm ）．设菱形的高为h ，则菱形的面积12AB h AC BD =⋅=⋅，即15862h =⨯⨯，解得245h =，即菱形的高为245cm ．故选B ． 10．【答案】B【解析】∵P 、Q 分别是AD 、AC 的中点，∴PQ 是△ADC 的中位线，∴DC =2PQ =6． 又∵在菱形ABCD 中，AB =BC =AD =CD ，∴C 菱形ABCD =6+6+6+6=24．故选B ． 11．【答案】A【解析】如图，连接AC ，∵AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ，且E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴AB =AC ，AD =AC ．又∵在菱形ABCD 中，AB =BC =CD =AD ，∴AB =BC =CD =AD =AC ．∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形．∴∠BAC =∠DAC =60°，∴∠EAC =12∠BAC =30°，∠FAC =12∠DAC =30°，∴∠EAF =∠EAC + ∠FAC =60°．故选A ．12．【答案】B【解析】如图，连接BD ，由已知条件可得；∠BCE =∠BCD +∠DCE =90°+60°=150°，BC =EC ，∴∠EBC =∠BEC =12（180°–∠BCE ）=15°，∵∠BCM =12∠BCD =45°，∴∠BMC =180°–（∠BCM +∠EBC ）=120°，∴∠AMB =180°–∠BMC =60°，∵正方形ABCD 是关于AC 对称的，M 在AC 上，∴BM =DM ，∴∠AMD =∠AMB =60°，故选B ．13．【答案】2【解析】∵AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，∴∠BAE =∠EAD ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD =BC =5，∴∠DAE =∠AEB ，∴∠BAE =∠AEB ，∴AB =BE =3，∴EC =BC –BE =5–3=2，故答案为：2． 14．【答案】90【解析】设∠α的度数为m 度时，该平行四边形的两条对角线长度相等.∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴当∠α的度数为m 度时，该平行四边形应为矩形， ∵该平行四边形为矩形，∴∠α的度数应为90°，∴m =90．故答案为：90． 15．【答案】9【解析】由勾股定理得，AC =22AB BC +=2268+=10（cm ），∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OD =12AC =12×10=5（cm ）， ∵点E 、F 分别是AO 、AD 的中点， ∴EF =12OD =52cm ，AF =12×8=4（cm ），AE =12OA =52cm ， ∴△AEF 的周长=52+4+52=9（cm ）．故答案为：9．16．【答案】6【解析】∵菱形ABCD 中，AB =4，AD 的垂直平分线交AC 于点N ，∴CD =AB =4，AN =DN ， ∵△CDN 的周长=CN +CD +DN =10，∴CN +4+AN =10，∴CN +AN =AC =6．故答案为：6． 17．【答案】（2+2，2）【解析】过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ．在Rt △CDE 中，2CD =，∴2CE DE ==，∴22OE OC CE =+=+，∴点D 坐标为(222)+，，故答案为：(222)+，．18．【答案】15°【解析】∵△EBC 是正三角形，∴60ECB BC EC ∠=︒=，．又∵正方形ABCD ， ∴90BCD ∠=︒，BC CD =，∴=906030CE CD DCE =︒-︒∠=︒，，∴=(18030)275EDC ∠-÷=︒︒︒，∴907515ADE ∠=︒-︒=︒．故答案为：15°．19．【解析】如图，∵菱形ABCD 的对角线相交于点O ，AC =16 cm ，BD =12 cm ， ∴AC ⊥BD 于点O ，CO =8 cm ，DO =6 cm ，S 菱形=11612962⨯⨯=（cm 2）， ∴CD =228610+=（cm ）， ∵BE ⊥CD 于点E ， ∴BE ·CD =96，即10BE =96， ∴BE =485（cm ）． 20．【解析】BC =CD ，∠BCF =∠DCE =90°，CF =CE ， ∴△BCF ≌△DCE ，∴∠FBC =∠EDC . 又∵∠BFC =∠DFG ，∴∠DGF =∠BCF =90°， 即BG ⊥DE ．22．【解析】（1）∵90A ABC ∠=∠=︒，∴∥BC AF ，∴CBE DFE ∠=∠， 又∵DE CE =，DEF BEC ∠=∠， ∴△BEC ≌△FED ，∴BE EF =，又∵CE DE =，∴四边形BDFC 是平行四边形． （2）如图，过D 作DH CB ⊥于H ，∴∠DHB =∠A =∠ABH =90°，∴四边形ADHB 是矩形，∴1BH AD ==， ∵3CB CD ==，∴2CH =，在Rt △CDH 中，∵90CHD ∠=︒，∴22325DH =-= ∴平行四边形BDFC S BC DH =⋅35= 23．【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =∠ADC =90°，AB =DC =7，BC =AD =12，∴∠BAF +∠AFB =90°， ∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF =∠CDF =45°，∴△DCF 是等腰直角三角形， ∴FC =DC =7，∴AB =FC ，∵AF ⊥EF ，∴∠AFE =90°，∴∠AFB +∠EFC =90°，∴∠BAF =∠EFC ， 在△ABF 和△FCE 中，BAF EFCAB FC B C ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABF ≌△FCE （ASA ），∴EF =AF ；（2）BF =BC –FC =12–7=5，在Rt △ABF 中，由勾股定理得： AF 22227574AB BF +=+=则EF =AF 74．24．【解析】（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=DC ，∠A =∠D =90°. ∵M 为AD 的中点，∴AM=MD ，∴△ABM ≌△DCM . （2）1∶2，理由：∵AB ∶AD =1∶2，∴AB =12AD ． ∵AM =12AD ，∴AB=AM ，∴∠ABM =∠AMB ． ∵∠A =90°，∴∠AMB =45°.∵△ABM ≌△DCM ，∴BM=CM ，∠DMC =∠AMB =45°，∴∠BMC =90°. ∵E ，F ，N 分别是BM ，CM ，BC 的中点， ∴EN ∥CM ，FN ∥BM ，EM=MF ， ∴四边形MENF 是菱形． ∵∠BMC =90°，∴菱形MENF 是正方形． 25．【答案】A【解析】因为∠EAF 是△DAE 沿AE 折叠而得，所以∠EAF =∠DAE ． 又因为在矩形中90，DAB ∠=︒即90EAF DAE BAF ∠+∠+∠=o ， 又60，BAF ∠=︒所以A ． 26．【答案】A【解析】在△ABC 中，由勾股定理可得：10.BC ==AD 是BC 边上的高，E 、F 分别是AB 、AC 边的中点， 则：1115,4, 3.222EF BC DE AB DF AC ====== △DEF 的周长为：45312DE EF DF ++=++=．故选A ．27．【答案】A【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴OB =OD ，AC ⊥BD ，∵DH ⊥AB ， ∴OH =OB =12BD ，∵∠DHO =20°，∴∠OHB =90°–∠DHO =70°，∴∠ABD =∠OHB =70°， ∴∠CAD =∠CAB =90°–∠ABD =20°．故选A ． 28．【答案】D【解析】A 、由作法可得AD 平分∠MAN ，所以A 选项的结论正确； B 、因为AB =AC ，DB =DC ，所以AD 垂直平分BC ，所以B 选项的结论正确；C 、因为AB =AC ，DB =DC ，所以∠ABC =∠ACB ，∠DBC =∠DCB ，则∠ABD =∠ACD ，所以∠MBD =∠NCD ，所以C 选项的结论正确；D 、BA 不一定等于BD ，所以四边形ABDC 不一定是菱形，所以D 选项的结论错误．故选D ． 29．【答案】B【解析】设CH =x ，因为BE ∶EC =2∶1，BC =9，所以，EC =3，由折叠知，EH =DH =9–x ，在Rt △ECH中，由勾股定理，得：222(9)3x x -=+，解得：x =4，即CH =4．故选B ．30．【答案】B【解析】如图，连接BD ，∵正方形的面积为1，∴其边长为1，∴在Rt △BCD 中，由勾股定理得， 2.BD =∵点、E F 分别为BC 和DC 的中点，1222EF BD ∴==又∵四边形EFGH 是正方形，∴正方形EFGH 的周长为2422⨯=．故选B ． 31．【答案】30°【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =90°，∵E 为边AB 的中点，∴AE =BE ， 由折叠的性质可得：∠EFC =∠B =90°，∠FEC =∠CEB ，∠FCE =∠BCE ，FE =BE ， ∴AE =FE ，∴∠EFA =∠EAF =75°，∴∠BEF =∠EAF +∠EFA =150°，∴∠CEB =∠FEC =75°， ∴∠FCE =∠BCE =90°–75°=15°，∴∠BCF =30°，故答案为：30°． 32．【答案】3.5【解析】∵CE =5，△CEF 的周长为18，∴CF+EF =18–5=13．∵F 为DE 的中点， ∴DF=EF ．∵∠BCD =90°，∴CF =12DE ，∴EF=CF =12DE =6.5，∴DE =2EF =13， ∴CD 2222135DE CE --．∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD =12，O 为BD 的中点，∴OF 是△BDE 的中位线，∴OF =12（BC –CE ）=12×（12–5）=3.5．故答案为：3.5． 33．【答案】①②④⑤【解析】如图，连接PC ，（1）∵PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，∠C =90°可得四边形PECF 是矩形，∴CP=EF，∵正方形ABCD关于BD对称，点P在BD上，∴AP=CP，∴AP=EF，故①正确；（2）延长AP交EF于点H，过点P作PM⊥AB于点M，则由已知易得PM=PE，∠PMA=∠EPF=90°，结合AP=EF，可得△APM≌△FEP，∴∠EFP=∠PAM，∵∠PAM+∠APM=90°，∠APM=∠FPH，∴∠FPH+∠EFP=90°，∴∠PHF=90°，∴AP⊥EF，即②正确；（3）∵当点P在BD上不同的位置时，△APD的形状不一样，∴△APD不一定是等腰三角形，故③错误；（4）由（2）可知△APM≌△FEP,∴∠BAP=∠PFE，故④正确；（5）如图，由已知易得∠BDF=45°，∠DFP=90°，∴PD=2PF，又∵PF=CE，∴PD=2CE，故⑤正确.综上所述，上述5个结论中，正确的是①②④⑤．故答案为：①②④⑤．34．【解析】（1）如图，延长EB至G，使BG=DF，连接AG，∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；（2）∵在△ADF中，∠D=90°，∠DAF=15°，∴∠AFD=90°–15°=75°，∵△ABG≌△ADF，△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=∠AFD=75°，∴∠EFC=180°–∠DFA–∠AFE=180°–75°–75°=30°；（3）∵AB=BC3∠BAE=30°，∴BE=1，CE3–1，∵∠EFC=30°，∴CF=33S△CEF=12CE•CF33，由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，∴S △AEF =S 正方形ABCD –S △ADF –S △AEB –S △CEF =S 正方形ABCD –S △AEF –S △CEF ， ∴S △AEF =12（S 正方形ABCD –S △CEF ）=2111)(3322-= 35．【解析】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ，∠ADM =∠CBN ．∵AM ⊥BD ，CN ⊥BD ，∴∠AMD =∠CNB =90°，在△AMD 和△CNB 中，＝＝＝ADM CENAMD CNB AD BC ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AMD ≌△CNB ．∴AM =CN ．（2）猜想：当EF =AC 时，四边形AECF 是矩形． 证明：由（1）得△AMD ≌△CNB ，∴DM =BN ． ∵BE =DF ，∴DM +DF=BN +BE ，即MF =NE ．在△AMF 和△CNE 中，＝＝＝MF NE AMF CNE AM CN ∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△AMF ≌△CNE ．∴AF =CE ，∠AFE =∠CEF ．∴AF ∥CE 且AF =CE ． 即四边形AECF 是平行四边形．又EF =AC ，∴四边形AECF 是矩形． 36．【答案】C【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，A 错误； 对角线相等的平行四边形是矩形，B 错误； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C 正确； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选C ． 37．【答案】A【解析】由菱形对角线性质知，AO =12AC =3，BO =12BD =4，且AO ⊥BO ，则AB ， 故这个菱形的周长L =4AB =20．故选A ． 38．【答案】D【解析】连接AC 、BD ，如图，∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，∴OC=1 2AC=3，OD=12BD=4，∠COD=90°，在Rt△COD中，CD=2234+=5，∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO，在△OBM和△ODN中，MBO NDOOB ODBOM DON∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△OBM≌△ODN，∴DN=BM，∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，∴BM=B'M=1，∴DN=1，∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4．故选D．41．【答案】B【解析】由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1，CF=BC=3，∠EFC=∠B=90︒，∵ABCD为矩形，可得∠AED=∠CDF，在△AED 与△FDC中有AD=CF，∠A=∠DFC=90o，∠AED=∠CDF，∴△AED≌△FDC，∴ED=CD，设CD的长为x，在Rt△EAD中，有222ED AE AD=+，即222(1)3x x=-+，解得x=5，故选B．42．【答案】C【解析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，则点P 、M 即为使PE +PM 取得最小值的点，则有PE +PM =PE ′+PM =E ′M ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴点E ′在CD 上，∵AC =62，BD =6，∴AB =22(32)333+=，由S 菱形ABCD =12AC ·BD =AB ·E ′M 得12×62×6=33·E ′M ，解得E ′M =26，即PE +PM 的最小值是26，故选C ． 43．【答案】B【解析】如图，连接AC 、B D ．AC 交FG 于L ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵DH =HA ，DG =GC ，∴GH ∥AC ，12HG AC =，同法可得：12EF AC =，EF ∥AC ，∴GH =EF ，GH ∥EF ，∴四边形EFGH 是平行四边形，同法可证：GF ∥BD ，∴∠OLF =∠AOB =90°，∵AC ∥GH ，∴∠HGL =∠OLF =90°，∴四边形EFGH 是矩形．故选B ． 44．【答案】C【解析】A ．∵AC 是线段BD 的垂直平分线，∴BO =OD ，∴∠AOD =∠COB =90°．∵AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ，∴△AOD ≌△COB ，∴AO =OC ，∴四边形ABCD 是菱形．故A 正确；B ．由作图可知：AD =AB =BC ．∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AD =AB ，∴四边形ABCD 是菱形．故B 正确；C ．由作图可知AB 、CD 是角平分线，可以得到ABCD 是平行四边形，不能得到ABCD 是菱形．故C 错误；D ．由作图可知，对角线AC 平分对角，∴四边形ABCD 是菱形．故D 正确．故选C ． 45．【答案】245【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=12AC=12×8=4，DO=12BD=12×6=3，∴AD=22AO DO+=5，∵S菱形ABCD=12AC·BD=AD·EF，∴12×8×6=5EF，∴EF=245，故答案为：245．46．【答案】3【解析】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，∴OA=OC，BD=2OB=8．∵S菱形ABCD=24，∴AC=6．∵AH⊥BC，OA=OC，∴OH=12AC=3．故答案为：3．47．【答案】42【解析】设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=13S矩形ABCD，∴12AB·h=13AB·AD，∴h=23AD=2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE2222=442AB AE++PA+PB的最小值为2．故答案为：2．48．【答案】（2，﹣3）【解析】∵四边形OABC是菱形，∴A、C关于直线OB（x轴）对称，∵A（2，3），∴C（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）．49．【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，EAF BMAAFE BAE AM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．50．【解析】∵在Y ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，EOD FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．51．【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD=90°，∴平行四边形OCED是矩形．学-科网（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，∴菱形ABCD的面积为：12AC·BD=12×4×2=4，故答案为：4．。