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鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题(附答案)

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鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质培优练习题(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质培优练习题(附答案)

鲁教版2020八年级数学上册第五章平行四边形的判断与性质培优练习题（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（）A．6B．8C．10D．122．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝10，BD＝12，AB＝m，则m的取值范围为（）A．10＜m＜12B．2＜m＜22C．1＜m＜11D．5＜m＜63．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，CD＝6cm，∠D＝40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．AE＝6cm B．ED＝2cm C．∠BED＝150°D．∠C＝140°4．等腰梯形的两底之差等于一条腰的长，这腰与底的较小的夹角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．等腰梯形的两条对角线将它分成的三角形中．下述结论正确的个数是（）①有两个等腰三角形②有三对全等的三角形③有三对面积相等的三角形A．0B．1C．2D．36．要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：C：∠D可能为（）A．2：3：6：7B．3：4：5：6C．3：3：5：5D．4：5：4：5 7．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④8．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B 重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A．B．C．D．9．E、F是▱ABCD对角线AC上的两点．下列条件不能判断四边形BEDF是平行四边形的是（）A．BE＝DF B．BE∥DFC．AF＝CE D．DE⊥AC，BF⊥AC10．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，点D在BC上，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值是．12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，交DC的延长线于点F，则下列结论：①CE＝4cm；②线段AF、BC互相平分；③AC ⊥DF．④DE⊥AF；其中正确的结论是：（填序号）．13．如图，平行四边形ABCD的顶点A是等边△EFG边FG的中点，∠B＝60°，EF＝4，则阴影部分的面积为．14．如图，在梯形ABCD中，AD＝DC，AB＝DC，∠D＝120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则AC＝，梯形ABCD的面积为．15．等腰梯形的腰长为8cm，上底长为4cm，上底与腰的夹角为120°，则下底长为cm．16．在四边形ABCD中，如果∠A+∠C＝∠B+∠D，那么这个四边形是平行四边形，（填“一定”或“不一定”或“一定不”）17．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．18．如图，▱ABCD的对角线BD上有两点E、F，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是．19．如图，点E，F分别放在▱ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是．20．一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是形．三．解答题（共8小题）21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF ＝CE．22．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD 的周长为40，则▱ABCD的面积为多少？23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B的度数．24．若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为（结果保留根号的形式）．25．如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC．（1）求证：△ADE≌△BDC；（2）若∠AEB＝36°，求∠EDC；（3）若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．26．如图，等边△ABC的边长为8cm，动点M从点B出发，沿着B→A→C→B的方向以3cm/s 的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒MN第一次垂直于AB？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．（1）、用含t的式子表示线段的长度（单位：cm）：AP＝，CQ＝，PD＝，BQ＝（2）当运动多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．28．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在AB上，点F在CD上，EF经过点O．求证：四边形BEDF是平行四边形．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点G，AD＝AE．若AD＝5，DE＝6，则AG的长是（）A．6B．8C．10D．12【解答】解：如图，设AG交BD于H．∵AD＝AE，AG平分∠BAD，∴AG垂直平分DE，∴DH＝EH＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠AGD＝∠GAB，∵∠DAG＝∠GAB，∴∠DAG＝∠DGA，∴DA＝DG，∵DE⊥AG，∴AH＝GH，在Rt△ADH中，AH＝＝＝4，∴AG＝2AH＝8．故选：B．2．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝10，BD＝12，AB＝m，则m的取值范围为（）A．10＜m＜12B．2＜m＜22C．1＜m＜11D．5＜m＜6【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝10，BD＝12，∴OA＝OC＝5，OD＝OB＝6，在△OAB中，OB﹣OA＜m＜OA+OB，∴6﹣5＜m＜6+5，∴1＜m＜11．故选：C．3．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝8cm，CD＝6cm，∠D＝40°，BE平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．AE＝6cm B．ED＝2cm C．∠BED＝150°D．∠C＝140°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝50°，∴AD∥BC，AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∠ABC＝∠D＝40°，∴∠C＝180°﹣∠D＝140°，故D正确；∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝20°，∴∠AEB＝∠EBC＝20°，∴∠BED＝180°﹣∠AEB＝160°，故C错误；∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝6cm，故A正确；AD＝BC＝8cm，∴ED＝AD﹣AE＝2cm，故B正确．故选：C．4．等腰梯形的两底之差等于一条腰的长，这腰与底的较小的夹角是（）A．15°B．30°C．45°D．60°【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于E点，因为四边形ABCD是等腰梯形，所以AB＝CD，又CE＝CD，所以△CDE为等边三角形，所以∠C＝60°．故选D．5．等腰梯形的两条对角线将它分成的三角形中．下述结论正确的个数是（）①有两个等腰三角形②有三对全等的三角形③有三对面积相等的三角形A．0B．1C．2D．3【解答】解：如图：∵等腰梯形ABCD，∴AB＝CD，AC＝BD，∴OB＝OC，OA＝OD，即△AOD，△BOC是等腰三角形，故①正确；△ABO≌△CDO，△ABC≌△BDC，△ABD≌△ADC，故②正确；全等三角形的面积相等，故③正确；故选：D．6．要使四边形ABCD是平行四边形，则∠A：∠B：C：∠D可能为（）A．2：3：6：7B．3：4：5：6C．3：3：5：5D．4：5：4：5【解答】解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．故选：D．7．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【解答】解：由①④，可以推出四边形ABCD是平行四边形；由②④也可以提出四边形ABCD是平行四边形；①③或③④组合能根据平行线的性质得到∠B＝∠D，从而利用两组对角分别相等的四边形是平行四边形来判定．故选：A．8．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B 重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P、E在直线AB的同侧），如果BD＝AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A．B．C．D．【解答】解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，∵AP BE，∴四边形APEB是平行四边形，∴PE∥AB，PE＝AB，∵四边形BDEF是平行四边形，∴EF∥BD，EF＝BD，即EF∥AB，∴P，E，F共线，设BD＝a，∵BD＝AB，∴PE＝AB＝4a，则PF＝PE﹣EF＝3a，∵PH∥BC，∴S△HBC＝S△PBC，∵PF∥AB，∴四边形BFPH是平行四边形，∴BH＝PF＝3a，∵S△HBC：S△ABC＝BH：AB＝3a：4a＝3：4，∴S△PBC：S△ABC＝3：4．故选：D．9．E、F是▱ABCD对角线AC上的两点．下列条件不能判断四边形BEDF是平行四边形的是（）A．BE＝DF B．BE∥DFC．AF＝CE D．DE⊥AC，BF⊥AC【解答】解：B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明；C、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明；D、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证明．故选：A．10．下列说法中正确的是（）A．一组对边平行的四边形是等腰梯形B．等腰梯形的两底角相等C．同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形D．等腰梯形有两条对称轴【解答】解：A、一组对边平行而另一组对边相等的四边形是等腰梯形，故本选项错误；B、等腰梯形在同一底上的两角相等，故本选项错误；C、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，故本选项正确；D、等腰梯形有一条对称轴，是过两底中点的中线，故本选项错误；故选：C．二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，点D在BC上，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，DE的最小值是3．【解答】解：∵四边形ADBE为平行四边形，∴AE∥BC，∴当DE⊥BC时，DE有最小值，如图，∵∠ACB＝90°，∴四边形ACDE为矩形，∴DE＝AC，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得AC＝3，∴DE的最小值为3，故答案为：3．12．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝8cm，AB＝4cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，交DC的延长线于点F，则下列结论：①CE＝4cm；②线段AF、BC互相平分；③AC ⊥DF．④DE⊥AF；其中正确的结论是：①②④（填序号）．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD＝8cm，AB∥DF，AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAD，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BEA＝∠BAE，∴AB＝BE＝4cm，∴CE＝BC﹣BE＝8cm﹣4cm＝4cm，①正确；∴BE＝CE＝4cm，∵AB∥DF，∴∠ABE＝∠FCE，在△BAE和△CFE中，，∴△BAE≌△CFE（ASA），∴∠EFC＝∠BAE，AB＝CF，AE＝EF，∴线段AF、BC互相平分，②正确；∵AB＝CF，AB＝CD，∴CF＝CD＝4，∴CE＝CF，只有∠B＝60°时，∠F＝∠ADF＝60°，才能AC⊥DF，而∠B没有给出60°的条件，∴AC不一定垂直DF，③错误；∵∠EFC＝∠BAE，∠BAE＝∠EAD，∴∠EFC＝∠EAD，∵AE＝EF，∴DE⊥AF，④正确；故答案为：①②④．13．如图，平行四边形ABCD的顶点A是等边△EFG边FG的中点，∠B＝60°，EF＝4，则阴影部分的面积为3．【解答】解：如图，过A作AM⊥EF于E，AN⊥EG于N，连接AE．∵△ABC是等边三角形，AF＝AG，∴∠AEF＝∠AEN，∵AM⊥EF，AN⊥EG，∴AM＝AN，∵∠MEN＝60°，∠EMA＝∠ENA＝90°，∴∠MAN＝120°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠DAB＝180°﹣∠B＝120°，∴∠MAN＝∠DAB，∴∠MAH＝∠NAL，∴△AMH≌△ANL（ASA），∴S阴＝S四边形AMEN，∵EF＝4，AF＝2，∴AE＝2，AM＝，EM＝3，∴S四边形AMEN＝2××3×＝3，∴S阴＝S四边形AMEN＝3．故答案为：．14．如图，在梯形ABCD中，AD＝DC，AB＝DC，∠D＝120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，则AC＝，梯形ABCD的面积为．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝DC∴梯形ABCD是等腰梯形∴∠D+∠DCB＝180°∵∠D＝120°∴∠B＝∠DCB＝60°∵对角线CA平分∠BCD∴∠ACB＝30°∵AD＝DC∴∠DAC＝∠ACD＝30°∴∠BAC＝90°∴BC＝2AB∵梯形的周长＝AD+DC+BC+AB＝5AB＝20∴AB＝4∴AC＝4，BC＝8过点A作AE⊥BC于点E∵AB＝4，AC＝4，BC＝8∴AE＝2∴梯形ABCD的面积＝（4+8）×2×＝12．故答案为：4，12．15．等腰梯形的腰长为8cm，上底长为4cm，上底与腰的夹角为120°，则下底长为12cm．【解答】解：如图，作AE⊥BC交BC于点E，作DF⊥BC交BC于点F，∵∠BAD＝120°，∴∠BAE＝30°，∵AB＝8cm，∴BE＝4cm，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴同理可得FC＝4cm，∵EF＝AD＝4cm，∴BC＝BE+EF+FC＝12cm，故答案为：12．16．在四边形ABCD中，如果∠A+∠C＝∠B+∠D，那么这个四边形不一定是平行四边形，（填“一定”或“不一定”或“一定不”）【解答】解：如果∠A+∠C＝∠B+∠D，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，那么这个四边形不一定是平行四边形；故答案为：不一定．17．如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG 以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t（s）当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．【解答】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形，即t＝6﹣2t，解得：t＝2；②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝tcm，BF＝2tcm，则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm），∵AG∥BC，∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形，即t＝2t﹣6，解得：t＝6；综上可得：当t＝2或6s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．故答案为：2或6．18．如图，▱ABCD的对角线BD上有两点E、F，请你添加一个条件，使四边形AECF是平行四边形，你添加的条件是BE＝DF（答案不唯一）．【解答】解：可添加条件：BE＝DF．证明证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．19．如图，点E，F分别放在▱ABCD的边BC、AD上，AC、EF交于点O，请你添加一个条件（只添一个即可），使四边形AECF是平行四边形，你所添加的条件是AF＝CE（答案不唯一）．【解答】解：AF＝CE（答案不唯一），理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥CE，∵AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，故答案为：AF＝CE（答案不唯一）．20．一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是等腰梯形．【解答】解：一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可以是平行四边形，还可以是等腰梯形，故答案为：等腰梯．三．解答题（共8小题）21．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC上的点，且BF＝DE．求证：AF ＝CE．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；又∵BF＝DE，∴AE∥CF，AE＝CF，∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），∴AF＝CE（平行四边形的对边相等）．22．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD 的周长为40，则▱ABCD的面积为多少？【解答】解：∵▱ABCD的周长＝2（BC+CD）＝40，∴BC+CD＝20①，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝4，AF＝6，∴S▱ABCD＝4BC＝6CD，整理得，BC＝CD②，联立①②解得，CD＝8，∴▱ABCD的面积＝AF•CD＝6CD＝6×8＝48．23．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，AB＝4，BC＝7，求∠B的度数．【解答】解：过点A作AE∥DC交BC于E．∵AD∥BC，∴四边形AECD是平行四边形，∴EC＝AD＝3，DC＝AE．∴BE＝BC﹣CE＝7﹣3＝4．∴CD＝AB＝4．∴AE＝AB＝BE＝4．∴△ABE是等边三角形．∴∠B＝60°．24．若等腰梯形ABCD的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为60°，则该等腰梯形的面积为4或（结果保留根号的形式）．【解答】解：已知梯形的上下底的和是4，设AB+CD＝4，对角线AC与BD交于点O，经过点C作对角线BD的平行线CE交AB的延长线于点E．①当∠DOC＝60度时，∠ACE＝60°，△ACE是等边三角形，边长AC＝CE＝AE＝4，作CF⊥AE，CF＝4×sin60°＝4×＝2因而面积是×4×2＝4②当∠BOC＝60度时，∠AOB＝180°﹣60°＝120°，又∵BD∥CE，∴∠ACE＝∠AOB＝120°，∴△ACE是等腰三角形，且底边AE＝4，因而∠CEA＝＝30°，作CF⊥AE，则AF＝FE＝2，CF＝2×tan30°＝，则△ACE的面积＝×4×＝，而△ACE的面积等于梯形ABCD的面积．因而等腰梯形的面积为4或．故答案为：4或．25．如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD＝BD，∠ADB＝∠EDC，DE＝DC．（1）求证：△ADE≌△BDC；（2）若∠AEB＝36°，求∠EDC；（3）若OB＝OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．【解答】（1）证明：∵∠ADB＝∠EDC，∴∠ADE＝∠BDC，在△ADE和△BDC中，，∴△ADE≌△BDC（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△BDC，∴∠AED＝∠C，∵∠AEB＝36°，∴∠AED＝∠DEC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°，∴∠EDC＝1880°﹣2×72°＝36°；（3）证明：∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∵∠DAE＝∠OBE，∴∠OEB＝∠DAE，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠OBE，∴∠ADB＝∠DAE，∴OA＝OD，∴AE＝BD，∵AD＝BD，∴AE＝AD，∵△ADE≌△BDC，∴AE＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．26．如图，等边△ABC的边长为8cm，动点M从点B出发，沿着B→A→C→B的方向以3cm/s 的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以2cm/s的速度运动．（1）若动点M、N同时出发，经过几秒MN第一次垂直于AB？（2）若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及△ABC的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．【解答】解：（1）设经过t秒钟MN第一次垂直于AB，∵∠A＝60°，∠AMN＝90°，∴AM＝AN，即8﹣3t＝（8﹣2t），解得：t＝2，∴经过2秒MN第一次垂直于AB；（2）①当0≤t≤时，点M、N、D的位置如图1所示：∵四边形ANDM为平行四边形，∴DM＝AN，DM∥AN．∴∠MDC＝∠ABC＝60°∵△ABC为等腰三角形，∴∠C＝60°．∴∠DNC＝∠C＝∠NDC．∴CD＝CN＝2t，同理得：BD＝BM＝3t，∴BD+CD＝BM+CN＝8，即：3t+2t＝8，t＝此时点D在BC上，且BD＝（或CD＝），②当＜t≤4时，此时A、M、N三点在同一直线上，不能构成平行四边形；③4＜t≤时，点M、N、D的位置如图所1示：∵四边形ANDM为平行四边形，∴DN＝AM，AM∥DN．∴∠BDN＝∠ACB＝60°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°．∴∠BND＝∠BDN＝∠B．∴BD＝BN＝16﹣2t．同理得：CD＝CM＝16﹣3t，∴BD+CD＝BN+CM＝8，即：16﹣2t+16﹣3t＝8，解得：t＝，此时点D在BC上，且BD＝（或CD＝），④当＜t≤8时，点M、N、D的位置如图所3示：则BN＝16﹣2t，BM＝24﹣3t，由题意可知：△BNM为等边三角形，∴BN＝BM，即：16﹣2t＝24﹣3t，解得t＝8，此时M、N重合，不能构成平行四边形．答：运动了s或s时，A、M、N、D四点能够成平行四边形，此时点D在BC上，且BD＝cm或cm．27．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．（1）、用含t的式子表示线段的长度（单位：cm）：AP＝t，CQ＝4t或20﹣4t或4t﹣20或40﹣4t，PD＝10﹣t，BQ＝10﹣4t 或4t﹣10或30﹣4t或4t﹣30（2）当运动多少秒时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．【解答】解：（1）当0≤t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t，BQ＝10﹣4t；当＜t≤5时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣10，CQ＝20﹣4t；当5＜t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t﹣20，BQ＝30﹣4t；当＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣30，CQ＝40﹣4t；故答案为：t，4t或20﹣4t或4t﹣20或40﹣4t，10﹣4t，10﹣4t或4t﹣10或30﹣4t或4t ﹣30；（2）∵四边形ABCD为平行四边形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ．设运动时间为t．当0≤t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t，BQ＝10﹣4t，∴10﹣t＝10﹣4t，方程无解；当＜t≤5时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣10，∴10﹣t＝4t﹣10，解得：t＝4；当5＜t≤时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝4t﹣20，BQ＝30﹣4t，∴10﹣t＝30﹣4t，解得：t＝；当＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝4t﹣30，∴10﹣t＝4t﹣30，解得：t＝8．综上所述：当运动时间为4秒或秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．28．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在AB上，点F在CD上，EF经过点O．求证：四边形BEDF是平行四边形．【解答】证明：∵在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，∴DC∥AB，OD＝OB，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO．∴△ODF≌△OBE，∴OF＝OE，∴四边形BEDF是平行四边形。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题C(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题C(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题C（附答案）一．选择题（共10小题）1．若某三角形三边长分别是6cm、8cm、10cm，则分别连接三边中点所组成的三角形的周长是（）A．12cm B．48cm C．24cm D．无法确定2．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）A．h2＝2h1B．h2＝1.5h1C．h2＝h1D．h2＝h13．如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1B．2C．3D．44．将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是（）A．B．1C．2D．35．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一个角是锐角的菱形D．正方形6．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝70°，则∠1+∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°7．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）A．等于定值5﹣B．有最大值C．有最小值D．有最小值8．如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点且AB∥CD，添加下列哪个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形（）A．AB＝CD B．AO＝CO C．AD＝BC D．AD∥BC9．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22B．24C．26D．2810．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下四个结论：①∠BAD＝∠CDA，②∠DBC＝∠ACB，③S△ABC＝S△ADC，④∠CAB＝∠CBA，你认为正确的有（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④二．填空题（共10小题）11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1＝30°，则∠DAC＝．12．三角形的周长为12厘米，它的三条中位线围成的三角形的周长是厘米．13．已知：如图，AD、CE分别是△ABC的角平分线和中线，AD⊥CE，AD＝CE＝4，则BC的长等于．14．如图，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若BC＝6，AB＝8，则EF的长是．15．如图，在边长为2的等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中的四个小等边三角形，其中△FDB可以看成是由△AFE平移得到，平移方向为，平移距离．16．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是边形．17．我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．小聪发现蜂巢是由许多蜂房组成，蜂房的横截面是美丽的正六边形，很想知道美丽的正六边形内角和．请你依据学习过的三角形内角和的相关知识帮助小聪解决问题．答：正六边形的内角和为．18．在▱ABCD中，∠B﹣∠A＝100°，则∠A＝．19．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的组合是（写出一组符合条件的组合）．20．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°．其中正确的结论是．（填正确结论的序号）三．解答题（共8小题）21．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．23．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．24．如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG．（1）求EF的长．（2）求DG的长．25．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）26．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB（1）若∠DAB＝72°，∠2＝°，∠3＝°；（2）求证：AE∥CF．27．如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．28．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．一．选择题（共10小题）1．若某三角形三边长分别是6cm、8cm、10cm，则分别连接三边中点所组成的三角形的周长是（）A．12cm B．48cm C．24cm D．无法确定【解答】解：如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点，则DE＝AC，DF＝BC，EF＝AB，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝（AC+BC+AB）＝×（6+8+10）cm＝12cm．故选：A．2．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（）A．h2＝2h1B．h2＝1.5h1C．h2＝h1D．h2＝h1【解答】解：如图所示：∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD，∴OC∥BD，∴OC是△ABD的中位线，∴h1＝2OC，同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′＝2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则h2＝2OC，∴h1＝h2．3．如图，在一张△ABC纸片中，∠C＝90°，∠B＝60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：∵∠B＝60°，∴AC＝BC，∴CD≠BC．②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：③使得AD与DC重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：故计划可拼出①②③．故选：C．4．将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是（）A．B．1C．2D．3【解答】解：∵面积为4的正方形折叠以后展开面积不变，∴若把最后折叠成的三角形展开后面积仍为4．沿中位线减去小三角形，小三角形的面积与原三角形面积之比为，故剩下部分展开所得图形的面积是×4＝3．故选：D．5．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（）A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一个角是锐角的菱形D．正方形【解答】解：如图：此三角形可拼成如图三种形状，（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为邻边不等的矩形；（2）为菱形，有两个角为60°；（3）为等腰梯形．故选：D．6．一个正六边形和两个等边三角形的位置如图所示，∠3＝70°，则∠1+∠2＝（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：∵图中是一个正六边形和两个等边三角形，∴∠BAC＝180°﹣∠1﹣120°＝60°﹣∠1，∠ACB＝180°﹣∠2﹣60°＝120°﹣∠2，∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣∠3，∵∠3＝70°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣∠3＝120°﹣70°＝50°．∵∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，即60°﹣∠1+120°﹣∠2+50°＝180°，∴∠1+∠2＝50°．故选：B．7．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（）A．等于定值5﹣B．有最大值C．有最小值D．有最小值【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，OA＝OC，∵EF＝BD，∴OB＝EF＝OD，∴BE＝OF，OE＝DF，∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，∴∠BAC＝90°，∴AC＝＝4，∴OA＝2，∴OB＝＝，当AE⊥BD时，AE＝＝＝；若此时CF⊥BD，则AE+CF＝，而AE⊥BD时，CF与BD不垂直，当E为OB的中点，F为OD的中点时，∵∠BAC＝90°，∴AE＝OB，同理：CF＝OD，∴AE+CF＝OB＝，∴选项A、B、C错误；故选：D．8．如图，在四边形ABCD中，点O是对角线的交点且AB∥CD，添加下列哪个条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形（）A．AB＝CD B．AO＝CO C．AD＝BC D．AD∥BC【解答】解：A、∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，正确；B、∵AB∥CD，∴∠CDO＝∠ABO，∠OAB＝∠OCD，∵AO＝CO，∴△DCO≌△ABO，∴OD＝OB，∴四边形ABCD是平行四边形，正确；C、∵AB∥DC AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，故本选项不能判定这个四边形是平行四边形；D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项能判定这个四边形是平行四边形；故选：C．9．下列图形中有大小不同的平行四边形，第一幅图中有1个平行四边形，第二幅图中有3个平行四边形，第三幅图中有5个平行四边形，则第6幅和第7幅图中合计有（）个平行四边形．A．22B．24C．26D．28【解答】解：根据图形分析可知：第1幅时，有2×1﹣1＝1个平行四边形；第2幅时，有2×2﹣1＝3个平行四边形；第3幅时，有2×3﹣1＝5个平行四边形；第4幅时，有2×4﹣1＝7个平行四边形；…；第n幅时，有2×n﹣1＝2n﹣1个平行四边形；∴第6幅图时，有2×6﹣1＝11个平行四边形，第7幅图，有2×7﹣1＝13个平行四边形，∴第6幅和第7幅图中合计有11+13＝24个平行四边形；故选：B．10．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，有如下四个结论：①∠BAD＝∠CDA，②∠DBC＝∠ACB，③S△ABC＝S△ADC，④∠CAB＝∠CBA，你认为正确的有（）A．①②B．②③C．①②③D．①②④【解答】解：①正确，等腰梯形同一底上的两角相等；②正确，可以利用SSS判定△ABC≌△DCB，从而根据对应角相等可以得到∠DBC＝∠ACB；③错误，应该是S△ABC＝S△DCB；④错误，AC不一定等于BC，故∠CAB不一定等于∠CBA，故选：A．二．填空题（共10小题）11．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E、F分别是AB、BC的中点，若∠1＝30°，则∠DAC＝30°．【解答】解：∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，∴∠CAB＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠CAB＝30°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝30°，故答案为：30°．12．三角形的周长为12厘米，它的三条中位线围成的三角形的周长是6厘米．【解答】解：∵△ABC的周长是12cm，∴△ABC三条中位线围成的三角形的周长＝×12＝6（cm）．故答案为：6．13．已知：如图，AD、CE分别是△ABC的角平分线和中线，AD⊥CE，AD＝CE＝4，则BC的长等于3．【解答】解：如图，过E作EF∥AD，交BC于F，则∠CEF＝90°，∵E是AB的中点，∴F是BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝AD＝2，∴Rt△CEF中，CF＝＝＝2，∵AD平分∠BAC，AD⊥CE，∴∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∴G是CE的中点，∵GD∥EF，∴D是CF的中点，∴CD＝DF＝BF＝，∴BC＝3，故答案为：3．14．如图，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若BC＝6，AB＝8，则EF的长是1．【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝4，BD＝BC＝3，∴∠ABF＝∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠DBF，∴∠DBF＝∠BFD，∴DF＝DB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝1．故答案是：1．15．如图，在边长为2的等边△ABC中，D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点，图中的四个小等边三角形，其中△FDB可以看成是由△AFE平移得到，平移方向为AB方向，平移距离1．【解答】解：∵AF＝BF＝1，AE＝EC，∴EF∥BC，EF＝BC＝BD，同理FD∥AC，FD＝AC＝AE，∴△AFE沿AB方向平移1个单位得到△FDB；故答案为：AB方向，1．16．过多边形的某一个顶点的所有对角线可以把多边形分成5个三角形，则这个多边形是七边形．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2＝5，解得n＝7．故这个多边形是七边形．故答案为：七．17．我们把各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形．小聪发现蜂巢是由许多蜂房组成，蜂房的横截面是美丽的正六边形，很想知道美丽的正六边形内角和．请你依据学习过的三角形内角和的相关知识帮助小聪解决问题．答：正六边形的内角和为720°．【解答】解：正六边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°；故答案为：720°．18．在▱ABCD中，∠B﹣∠A＝100°，则∠A＝40°．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B﹣∠A＝100°，∴2∠A＝80°，∴∠A＝40°；故答案为：40°．19．在四边形ABCD中，给出下列条件：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠A＝∠C；④AD∥BC，选其中两个条件就能判断四边形ABCD是平行四边形的组合是①④或②④（答案不唯一）（写出一组符合条件的组合）．【解答】解：由①④，可以推出四边形ABCD是平行四边形，由②④也可以提出四边形ABCD是平行四边形．故答案为①④或②④．（答案不唯一）20．如图，已知平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，则下列结论：①四边形ABFE为平行四边形；②△ADE是等腰三角形；③平行四边形ABCD与平行四边形DCFE全等；④∠DAE＝25°．其中正确的结论是①②④．（填正确结论的序号）【解答】解：∵四边形ABCD和四边形DCFE是平行四边形，∴AB＝CD，CD＝EF，AB∥CD，CD∥EF，∴AB＝EF，AB∥EF，∴四边形ABFE为平行四边形；故①正确；∵平行四边形ABCD与平行四边形DCFE的周长相等，∴AD＝BC＝（平行四边形ABCD的周长﹣AB﹣CD），CF＝DE＝（平行四边形的周长﹣CD﹣EF），∴AD＝BC＝CF＝DE，∴△ADE是等腰三角形；故②正确；∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵∠CFE＝110°，∴平行四边形ABCD与平行四边形DCFE不全等；故③错误；∵∠BAD＝60°，∠CFE＝110°，∴∠ADC＝120°，∠CDE＝110°，∴∠ADE＝360°﹣120°﹣110°＝130°，∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠AED＝25°，故④正确；故答案为：①②④．三．解答题（共8小题）21．如图，在△RtABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD，求证：CD＝EF．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴平行四边形DECF是矩形，∴CD＝EF．22．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，△ABC的角平分线AG交DE于点F，若∠ABC＝70°，∠BAC＝54°，求∠AFD的度数．【解答】解：∵∠BAC＝54°，AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠BAC＝27°．∴∠BGA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAG＝83°，又∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠AFD＝∠BGA＝83°．23．（1）计算：（1﹣）0﹣|﹣2|+；（2）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求∠F的度数．【解答】解：（1）原式＝1﹣2+3＝﹣1+3；（2）∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°．24．如图，在边长为4的等边△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG．（1）求EF的长．（2）求DG的长．【解答】解：（1）连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝1，故EF＝＝，（2）∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝＝．25．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2．探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4++P4＝＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形．再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有42种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．故答案为：18，42；【结论】：由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…∴P n＝P n﹣1；【应用】根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．所以共有132种分割方案．26．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝∠B＝90°，AE平分∠DAB，CF平分∠DCB （1）若∠DAB＝72°，∠2＝54°，∠3＝36°；（2）求证：AE∥CF．【解答】（1）解：∵∠DAB+∠DCB+∠D+∠B＝360°，∠D＝∠B＝90°，∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣（∠D+∠B）＝180°，∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB，∠DAB＝72°，∴∠1＝∠DAB＝36°，∠2＝∠DCB，∴∠1+∠2＝（∠DAB+∠DCB）＝90°，∴∠2＝54°，∵∠3+∠2+∠B＝180°，∴∠3＝180°﹣∠B﹣∠2＝180°﹣90°﹣54°＝36°，故答案为：54，36；（2）证明：由（1）得∴∠1＝36°，∠3＝36°，∴∠1＝∠3，∴AE∥CF．27．如图，▱ABCD中，点E是AB边的中点，延长DE交CB的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）若DE⊥AB且DE＝AB，连接EC，求∠FEC的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＝∠ABF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，在△ABE和△ACD中，，∴△ADE≌△BFE（ASA）；（2）解：∵△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠CDF＝∠BEF∵DE⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠CDF＝90°，∵DE＝AB，∴DE＝DC，∴△DCE是等腰直角三角形，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠FEC＝135°．28．如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，求证：四边形ABED为平行四边形．【解答】证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，又∵∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∵∠B＝∠DEF，∴AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形。

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合能力提升训练题2(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合能力提升训练题2(附答案)

鲁教版八年级数学上册第五章平行四边形单元综合能力提升训练题2（附答案）一、单选题1．如图,在平面直角坐标系中,、、A B C 三点的坐标分别是()()()1,2,4,2,2,1--,若以A B C D 、、、为顶点的四边形为平行四边形,则点D 的坐标不可能是（ ）A ．()7,1-B ．()3,1--C ．()1,5D ．()2,52．一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．以上都有可能3．一个多边形从一个顶点出发共引3条对角线，那么这个多边形对角线的总数为（ ）A ．5B ．37C ．8D ．94．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于D ，如果AC ：BC=4：3，AB=10cm ，那么BD 的长为（ ）A ．3cmB ．cmC ．6cmD ．12cm5．下列结论正确的是（ ）A ．平行四边形是轴对称图形B ．平行四边形的对角线相等C ．平行四边形的对边平行且相等D ．平行四边形的对角互补，邻角相等 6．如果用边长相同的正三角形和正六边形两种图形铺满平面，那么一个顶点处需要（ ）A ．三个正三角形、两个正六边形 B ．四个正三角形、两个正六边形C ．两个正三角形、两个正六边形D ．三个正三角形、一个正六边形7．如图是六边形ABCDEF ，则该图形的对角线的条数是( )A ．6B ．9C ．12D ．188．如图，在□ABCD 中，AB ＝26，AD ＝6，将□ABCD 绕点A 旋转，当点D 的对应点D ′落在AB 边上时，点C 的对应点C ′恰好与点B 、C 在同一直线上，则此时△C ′D ′B 的面积为（）9．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为（）A．2 B．192C．22D．110．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AC＝10，BD＝8，则AD 长的取值范围是( )A．AD＞1 B．AD＜9 C．1＜AD＜9 D．AD＞1011．下列选项中的四边形只有一个为平行四边形，根据图中所给的边长长度及角度，判断哪一个为平行四边形？（）A．B．C．D．12．如图，在ABCD中，50C︒∠=，55BDC︒∠=，则ADB∠的度数是( )A．105︒B．75︒C．35︒D．15︒二、填空题13．正十二边形的内角和是.正五边形的外角和是.14．已知三角形的三条中位线的长度分别为6cm、7cm、11cm，则三角形的周长为______cm.15．如图，▱ABCD的对角线相交于O，且AB=6，△OCD的周长为23，▱ABCD的两条对角线的和是．16．过多边形的一个顶点可以引出6条对角线，则多边形的边数是____，内角和为____，外角和为____17．如图，边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起，则∠ABC 的度数为________．18．如果只用一种正多边形做平面密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，则该正多边形的每个内角度数为______ ．19．以不在同一条直线上的A 、B 、C 三点为平行四边形的三个顶点，作形状不同的平行四边形，一共可以作________个.20．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB,CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且3AE =，则平行四边形ABCD 的周长是____．21．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8cm AD =，5cm AB =，DE 平分ADC ∠交BC 边于点E ，则BE =__________cm ．22．已知一个四边形的边长分别是a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，且a 2+b 2+c 2+d 2＝2ac+2bd ，则此四边形的形状为_____________.23．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，已知B （-1,0），C （9,0），则点F 的坐标为______________.24．过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，则m+n 是________．三、解答题25．如图，在▱ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，试判断四边形AECF是不是平行四边形，并说明理由．26．如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F．（1）求证：AB=CF；（2）连接DE，若AD=2AB，求证：DE⊥AF．27．如图，Rt△PQR中，∠PQR=90°，当PQ=RQ时，．根据这个结论，解决下面问题：在梯形ABCD中，∠B=45°，AD//BC，AB=5，AD=4，BC=，P 是线段BC上一动点，点P从点B出发，以每秒个单位的速度向C点运动．（1）当BP= 时，四边形APCD为平行四边形；（2）求四边形ABCD的面积；（3）设P点在线段BC上的运动时间为t秒，当P运动时，△APB可能是等腰三角形吗？如能，请求出t的值；如不能，请说明理由28．如图所示，在ABCD中，CE∥BD，EF⊥AB交BA延长线于点F，E，D，A在一条直线上，那么有DF＝12AE，请你说明理由．(提示：直角三角形中斜边中线等于斜边的一半)29．如图，▱ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A =45°，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE =DF ，连接EF 交BD 于O ．（1）求证：EO =FO ；（2）若EF ⊥AB ，延长EF 交AD 的延长线于G ，当FG =1时，求AE 的长．30．如图，CD 是△ABC 的高，E ，F ，G 分别是BC ，AB ，AC 的中点，求证：FG ＝DE.31．如图1 ，已知平行四边形ABCD ，DE 是ADC ∠的角平分线，交BC 于点E ．（1）求证： CD CE =．（2）如图2所示，点P 是平行四边形ABCD 的边BC 所在直线上一点，若BE CE =，且3AE =，4DE = ，求APD ∆的面积．32．如图，每个小正方形的边长都是1，在网格线上建立坐标系，已知(2,0)A -，(1,2)B --，(2,1)C -，(1,1)D .（1）画出四边形ABCD ；（2）判断四边形ABCD 的形状并说明理由.33．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是O（0，0），A（-3，0），B（0，2），求平行四边形第四个顶点C的坐标．∆的边长为4，D为AC边上的一个动点，延长AB至点E使34．如图，等边ABC=，连接DE，交BC于点P．BE CD=．（1）求证：DP PE（2）若点D为AC的中点，求BP的长．35．如图，求x的值．参考答案1．D【解析】【分析】根据平行四边形的性质可知：平行四边形的对边平行且相等，连接各个顶点，数形结合，可以做出D点可能的坐标，利用排除法即可求得答案．【详解】解：数形结合可得点D的坐标可能是（﹣3，﹣1），（7，﹣1），（1,5）；但不可能是（2,5）故选：D．【点睛】本题考查平行四边形的性质和直角坐标系，考查学生解题的综合能力，解题的关键是在直角坐标系中画出可能的平行四边形．2．D【解析】【分析】【详解】解：根据内角和可得：多边形的边数=1620°÷180°+2=11，则原来多边形的边数可能为10、11和12.故选：D．考点：多边形的内角和3．D【解析】试题分析：根据从一个顶点出发共引3条对角线可得这个多边形为六边形，则总的对角线的条数为：2362)3(⨯=-n n =9条. 考点：多边形的对角线4．A【解析】试题分析：由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠C=90°，又由AC ：BC=4：3，AB=10cm ，即可求得AC 与BC 的长，然后由垂径定理求得BD 的长． 解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°，∵AC ：BC=4：3，AB=10cm ，∴AC=8cm ，BC=6cm ，∵OD ⊥BC ，∴BD=3cm ．故选A ．考点：圆周角定理；垂径定理．5．C【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．【详解】A 、平行四边形不一定是轴对称图形，故A 错误；B 、平行四边形的对角线不相等，故B 错误；C 、平行四边形的对边平行且相等，故C 正确；D 、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D 错误．故选：C ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键． 6．C【解析】【分析】根据平面镶嵌的概念逐一判断即可得．【详解】正三角形的每个内角为60°，正六边形的每个内角为120°，A．由3×60°+2×120°=420°≠360°知三个正三角形、两个正六边形不符合题意；B．由4×60°+2×120°=480°≠360°知四个正三角形、两个正六边形不符合题意；C．由2×60°+2×120°=360°知两个正三角形、两个正六边形符合题意；D．由3×60°+120°=300°≠360°知三个正三角形、一个正六边形不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了平面镶嵌（密铺），判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．7．B【解析】【分析】n边形对角线的总条数为：()32n n-（n≥3，且n为整数），由此可得出答案．【详解】六边形的对角线的条数=() 6632⨯-=9．故选B．【点睛】本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n边形对角线的总条数为：()32n n-（n≥3，且n为整数）．8．B【解析】【分析】根据平行四边形的性质和旋转的性质可推出∠C′BD′=∠C=∠D′AB′=∠BD′C′，因此可得△C′BD′为等腰三角形，进而可推出△C′BD′的高，即可算出面积．【详解】如图：∵□ABCD中绕点A旋转后得到□AB′C′D′，∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=26，∵AB′∥C′D′，∴∠D′AB′=∠BD′C′，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C=∠DAB，∴∠C=∠BD′C′，∵点C′、B、C在一条直线上，而AB//CD，∴∠C=∠C′BD′，∴∠C′BD′=∠BD′C′∴△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，则BH=D′H，∵AB=26，AD=6，∴BD′=20，∴D′H=10，∴C′H2226-10，∴△C′D′B的面积=12·BD′·C′H=12×20×24=240，故选：B．【点睛】本题主要考查图形的旋转，平行四边形的性质和等腰三角形的性质，根据题意求出三角形的高是解题关键．9．B【解析】【分析】直接利用三角形的中位线定理得出2DE =，且//DE AC ，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG 以及DG 的长．【详解】连接DE∵在边长为4的等边△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点∴DE 是△ABC 的中位线，60C ∠=°∴2DE =，且//DE AC ，2BD BE EC === ∵EF ⊥AC 于点F∴30FEC ∠=︒，90DEF EFC ==︒∠∠∴112FC EC == 故根据勾股定理得22213EF =-=∵G 为EF 的中点 ∴32EG = ∴2219DG DE EG =+= 故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形的线段长问题，掌握中位线定理、勾股定理是解题的关键．10．C【解析】解：平行四边形的对角线互相平分得：两条对角线的一半分别是5，4．再根据三角形的三边关系，得：1＜AD ＜9．故选C ．11．B解：A ．上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形；B ． 上、下这一组对边平行，可能为等腰梯形，但此等腰梯形底角为90°，所以为平行 四边形；C ． 上、下这一组对边平行，可能为梯形；D ．上、下这一组对边平行，可能为梯形；故选B ．12．B【解析】【分析】由三角形内角和得到∠CBD 的度数，由AD ∥BC 即可得到答案.【详解】解：∵50C ︒∠=，55BDC ︒∠=，∴∠CBD=180°-50°-55°=75°，在ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB=∠CBD=75°.故选择：B.【点睛】本题考查了三角形内角和，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和与平行线的性质.13．1800°；360°【解析】试题分析：多边形的内角和定理=(n －2)×180°，任意多边形的外角和都是360°. 考点：多边形的内角和和外角和14．48【解析】∵三角形的三条中位线的长度分别为6cm 、7cm 、11cm ，∴这个三角形的三条边分别为12cm ，14cm ，22cm ，∴这个三角形的周长=12+14+22=48cm .故答案为：48.【解析】试题分析：首先由平行四边形的性质可求出CD的长，由条件△OCD的周长为23，即可求出OD+OC的长，再根据平行四边的对角线互相平分即可求出平行四边形的两条对角线的和．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=6，∵△OCD的周长为23，∴OD+OC=23﹣6=17，∵BD=2DO，AC=2OC，∴平行四边形ABCD的两条对角线的和=BD+AC=2（DO+OC）=34，故答案为：34．16．9 1260°360°【解析】【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n-3）可求出边数，然后根据多边形的内角和公式（n-2）•180°列式进行计算即可得内角和，根据多边形外角和定理可得答案. 【详解】设多边形的边数为n，∵过多边形的一个顶点可以引出6条对角线，∴n-3=6，解得：n=9，即多边形的边数是9，∴此多边形的内角和为：(9-2)×180°=1260°，由多边形外角和定理得：多边形的外角和为360°，故答案为：9；1260°；360°【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式及多边形外角和定理，熟练掌握公式及定理是解题关键.17．24°【解析】【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的每个内角为108°和正六边形的每个内角为120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论．【详解】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°∴∠BAC=360°-120°-108°=132°∵AB=AC∴∠ACB=∠ABC=(180132)242-︒=︒故答案是：24︒．【点睛】考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练掌握正五边形的内角和正六边形的内角求法是解题的关键．18．60°【解析】分析：由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°，进而得出答案．详解：∵只用一种正多边形做平面密铺，而且在每一个正多边形的每一个顶点周围都有6个正多边形，∴该正多边形的每个内角度数为360°÷6=60°．故答案为：60°．点睛：此题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．19．3【解析】【分析】连接AB、BC、CA，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形．【详解】已知三点为A、B、C，连接AB、BC、CA，分别以AB、BC、CA为平行四边形的对角线，另外两边为边，可构成的平行四边形有三个：▱ACBD，▱ACEB，▱ABCF．综上所述，可以作3个平行四边形．故答案为3.【点睛】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．20．18【解析】【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行,进而得出AE=DE=AB,再求出ABCD的周长【详解】∵CE平分∠BCD交AD边于点E,∴.∠ECD=∠ECB∵在平行四边形ABCD中、AD∥BC,AB=CD，AD=BC∴∠DEC=∠ECB,∴∠DEC=∠DCE∴DE=DC∵AD=2AB∴AD=2CD∴AE=DE=AB=3∴AD=6∴四边形ABCD的周长为:2×(3+6)=18.故答案为:18.【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于利用平行四边形的对边相等且互相平行 21．3【解析】如图所示：∵DE 平分ADC ∠，∴12∠=∠．∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC ∥，∴13∠=∠，∴32∠=∠．∵DC EC =，∵5CD AB ==，∴5EC =．∵8AD =，∴3BE =．22．平行四边形【解析】由a 2+b 2+c 2+d 2=2ac+2bd,可整理为(a−c)2+(b−d)2=0，即a=c ，b=d.则这个四边形一定是平行四边形.故答案为：平行四边形.23．（4,6）【解析】如图，延长AF 交BC 于点G ．易证DF 是△ABG 的中位线，由三角形中位线定理可以求得点F 的坐标．解：如图，延长AF 交BC 于点G ．∵B（-1，0），C（9，0），∴BC=10．∵AB=AC=13，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，∴AG⊥BC，则BG=CG=5．∴G（4，0）∴在直角△ABG中，由勾股定理得2222AB BG-=-．135则F（4，6）．故答案是：（4，6）．“点睛”本题考查了三角形中位线定理和坐标与图形性质．利用勾股定理求得AG的长度是解题的关键．24．13【解析】∵过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，∴m−3=7，n=3，∴m=10，n=3，∴m+n=10+3=13，故答案为13.25．见解析【解析】试题分析：根据垂直，利用内错角相等两直线平行可得AE∥CF，在根据平行四边形的性质证明△ABE与△DCF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CF，然后根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．试题解析：四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴AE ∥CF （内错角相等，两直线平行），在平行四边形ABCD 中，AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE=∠CDF ，在△ABE 与△DCF 中，ABE CDF AEF CFE AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴AE=CF ，∴四边形AECF 是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. 26．详见解析.【解析】试题分析：（1）要证明AB =CF 可通过△AEB ≌△FEC 证得，利用平行四边形ABCD 的性质不难证明；（2）由平行四边形ABCD 的性质可得AB =CD ，由△AEB ≌△FEC 可得AB =CF ，所以DF =2CF =2AB ，所以AD =DF ，由等腰三角形三线合一的性质可证得ED ⊥AF . 试题解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DF ，∴∠BAE =∠F ，∵E 是BC 的中点，∴BE =CE ，在△AEB 和△FEC 中，BAE F AEB FEC BE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△FEC （AAS ），∴AB =CF ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，∵AB =CF ，DF =DC +CF ，∴DF=2CF，∴DF=2AB，∵AD=2AB，∴AD=DF，∵△AEB≌△FEC，∴AE=EF，∴ED⊥AF .点睛：掌握全等三角形的性质及判定、平行四边形的性质、等腰三角形三线合一的性质. 27．（1）；（2）；（3）当，，5时，△APB是等腰三角形．【解析】试题分析：（1）因为APCD是平行四边形，所以CP=AD，从而求出BP；（2）只要求出梯形ABCD的高即可；（3）△ABP为等腰三角形有三种情况：①AP=BP，②AB=BP，③AB=AP．试题解析：（1）因为APCD是平行四边形，所以CP=AD=4，所以BP=；（2）做AE⊥BC于E，所以∠AEB=90°，因为∠B=45°，所以AE=BE，所以AB=AE，因为AB=5，所以AE=，故.（3）①当AP=BP时，有∠B=∠BAP=45°，所以∠APB=90°，由（2）可知，此时P和E重合，所以BP=AE=，于是（秒）；②当AB=BP时（如图2），BP=5，∴（秒）；③当AB=AP时（如图3），有∠B=∠APB，因为∠B=45°，所以∠BAP=90°，由题可知：，于是（秒）；综①②③得：当当，，5时，△APB 是等腰三角形．考点：1．四边形综合题；2．梯形的性质．28．答案见解析【解析】试题分析：首先根据平行四边形的性质可得AD =BC ，AD ∥BC ，再证明四边形EDBC 是平行四边形，可得ED =CB ，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论． 试题解析：证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD =BC ，AD ∥BC ．∵CE ∥BD ，∴四边形EDBC 是平行四边形，∴ED =CB ，∴ED =AD ．∵EF ⊥AB ，∴△EF A 是直角三角形，∴DF =12AE ． 点睛：此题考查了平行四边形的性质和判定，以及直角三角形的性质，关键是正确证明ED =AD ．29．（1）见解析；（2）AE ＝3．【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和AAS 证明△OBE ≌△ODF ，得出对应边相等即可； （2）先证出AE=GE ，再证明DG=DO ，得出OF=FG=1，即可得出结果．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，∴∠OBE =∠ODF ．在△OBE 与△ODF 中，OBE ODF BOE DOF BE DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OBE≌△ODF（AAS）．∴EO=FO；（2）∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA=∠GFD=90°．∵∠A=45°，∴∠G=∠A=45°．∴AE=GE，∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠GDO=90°．∴∠GOD=∠G=45°．∴DG=DO，∴OF=FG=1，由（1）可知，OE=OF=1，∴GE=OE+OF+FG=3，∴AE=3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题（1）的关键．30．详见解析【解析】【分析】根据三角形的中位线定理可得FG＝12BC，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE＝12BC，由此即可证得结论.【详解】证明：∵F，G分别是AB，AC的中点，∴FG是△ABC的中位线，FG＝12 BC.∵CD是△ABC的高，∴△BCD是直角三角形．∵点E 是BC 的中点，∴DE ＝12BC. ∴FG ＝DE.【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质，熟知三角形的中位线定理及直角三角形斜边中线的性质是解决问题的关键.31．（1）证明见解析；（2）6【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义结合两直线平行，内错角相等可得CDE CED ∠=∠，然后利用等角对等边证明即可；（2）先证得ABE ∆为等腰三角形，设BAE BEA α∠=∠=，CED CDE β∠=∠=，利用三角形内角和定理以及平行线性质定理证得90AED ∠=︒，再利用同底等高的两个三角形面积相等即可求得答案．【详解】（1）DE 平分ADC ∠，ADE CDE ∴∠=∠， 又四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，ADE CED =∠∴∠，CDE CED ∴∠=∠，CD CE ∴=；（2）CE CD =，BE CE =，BE CD AB ==∴，ABE ∴∆为等腰三角形，∴设BAE BEA α∠=∠=，CED CDE β∠=∠=，1802ABE a ∠=︒-∴，1802DCE β∠=︒-，又180ABE DCE ∠+∠=︒，180********αβ︒-+︒-=︒∴，90αβ∴+=︒，90AED ∴∠=︒，即AED ∆为直角三角形，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，∴1134622APD AED S S AE ED ===⨯⨯=． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，等角对等边的性质，同底等高的两个三角形面积相等，证得AED ∆为直角三角形是正确解答(2)的关键． 32．（1）见详解；（2）平行四边形，见详解【解析】【分析】（1）根据点的坐标描出点，得到图形；（2）根据点的坐标特点可得AB=CD ，AD=BC ，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得结论．【详解】解：（1）如下图（2）如图所示：四边形ABCD 为平行四边形，∵(2,0)A -，(1,2)B --，(2,1)C -，(1,1)D∴()()()()2222=-2+10-2=511115AB CD +=++--=，∴AB=CD ，同理可得AD=BC∴四边形ABCD 为平行四边形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是正确画出图形，掌握平行四边形的判定方法．33．有三种情形，坐标分别为（3，2）或（-3，2）或（-3，-2）．【解析】【分析】先由点的坐标求出求出线段OA，OB的长度，再分情况进行求解，即可解得C点的坐标为（3，2）或（-3，2）或（-3，-2）．【详解】设C点的坐标为（x，y），∵BOAC时平行四边形，①当BC=AO时，∵O（0，0），A（-3，0），B（0，2）∴AO=3，∴BC=3，∴C点坐标为C（3，2）或C（-3，2）②BO=AC时，∵BO=2，∴AC=2，∴C点坐标为C（-3，-2）．则C点的坐标为（3，2）或（-3，2）或（-3，-2）．【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，点的坐标与图形的性质.解答本题关键要注意分两种情况进行求解，不能忽略任何一种可能的情况，同学们一定要注意这一点．34．（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】(1)过点D作DF AB,构造三角形全等，可证得CDF为等边三角形，得到DF=BE，可由AAS证得△DFP≌△EBP⇒DP=EP;(2)若D为AC的中点，则DF是△ABC的中位线，有BF=12BC=12⨯4=2,点P是BF的中点，得到BP=12BF=14⨯4=1.【详解】（1）(1)证明：过点D作DF∥AB，交BC于F.∵△ABC 为正三角形，∴∠CDF=∠A=60°. ∴△CDF 为正三角形。

2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《第5章平行四边形》单元达标测试题(附答案)

2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《第5章平行四边形》单元达标测试题(附答案)

2021-2022学年鲁教版八年级数学上册《第5章平行四边形》单元达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．如果一个多边形的每个内角都是144°，那么这个多边形的边数是（）A．5B．6C．10D．122．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（）A．40°B．42°C．30°D．52°3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD 是平行四边形的是（）A．∠A＝∠C B．AD＝BC C．∠B+∠C＝180°D．AB＝BC4．如图，在▱ABCD中，∠D＝56°，点E在边BC的延长线上，且BE＝CD，则∠E的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．72°5．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（）A．90°B．130°C．180°D．360°6．如图，平行四边形ABCD的周长为16，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为（）A．4B．6C．8D．107．如图，D是等边三角形ABC的边AC上一点，四边形CDEF是平行四边形，点F在BC 的延长线上，G为BE的中点．连接DG，若AB＝10，AD＝DE＝4，则DG的长为（）A．2B．3C．4D．58．如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC ＝90°，若BC＝14，AC＝10，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．5二．填空题（共8小题，满分40分）9．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF 分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为．10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为．11．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3，∠ABC ＝60°，则图中阴影部分的面积是．12．如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．13．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝12，CB＝28，点M，N分别是边AB，AD 的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为．14．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为．15．如图所示，在平行四边形ABCD中，M、N分别为CD、BC的中点，AM＝4，AN＝2，∠MAN＝60°，则对角线BD的长为．16．如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E、F，若BE＝6，则CF＝．三．解答题（共5小题，满分40分）17．在▱ABCD中，对角线AC⊥AB，BE平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．（1）求证：AE＝AB；（2）若AB＝3，BC＝5，求AF的长．18．如图，▱ABCD的对角线AC与BD交于点O，EF过点O且与AD、BC分别交于点E，F，猜想线段AF、CE的关系，并说明理由．19．在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB＝3，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：DE﹣AG＝FC．20．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，满足AE＝CF，且BE∥DF．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若AB＝AC＝BE，∠ABE＝20°，求∠BAD的度数．21．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝2AD，点E在线段OC上，且OE＝CE．（1）求证：∠OBE＝∠ADO；（2）若F，G分别是OD，AB的中点，且BC＝10，①求证：△EFG是等腰三角形；②当EF⊥EG时，求▱ABCD的面积．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：∵一个多边形的每个内角都是144°，∴这个多边形的每个外角都是（180°﹣144°）＝36°，∴这个多边形的边数360°÷36°＝10．故选：C．2．解：∵∠1＝70°，∠2＝152°，∴∠B+∠C＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣70°﹣152°＝138°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣138°＝42°，故选：B．3．解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，当∠A＝∠C时，则∠A+∠B＝180°，故AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形．故选：A．4．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D＝56°，∵BE＝CD，∴AB＝BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠E＝，故选：B．5．解如图，连接AD，∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠ADE+∠DAF，∴∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，∴∠BAD+∠B+∠C+∠CDA＝360°，∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．故选：D．6．解：∵平行四边形ABCD，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵EO⊥AC，∴AE＝EC，∵AB+BC+CD+AD＝16，∴AD+DC＝8，∴△DCE的周长是：CD+DE+CE＝AE+DE+CD＝AD+CD＝8，故选：C．7．解：延长ED交AB于M点，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵四边形CDEF是平行四边形，∴ED∥CF，∴∠ADM＝∠ACB＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴MD＝AM＝AD＝DE＝4，∴MB＝AB﹣AM＝10﹣4＝6，∵G为BE的中点，∴DG是△BME的中位线，∴DG＝MB＝3，故选：B．8．解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，BC＝14，∴DE＝BC＝7，在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，∴FE＝AC＝5，∴DF＝DE﹣FE＝7﹣5＝2，故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CF＝CD，同理BE＝AB，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，∴AD＝BC＝8，故答案为：8．10．解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16，故答案为：16．11．解：作AM⊥BC于M，如图所示：则∠AMB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝×2＝1，在Rt△ABM中，AB2＝AM2+BM2，∴AM＝＝＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•AM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠OBE＝∠ODF，在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴S△BOE＝S△DOF，∴图中阴影部分的面积＝▱ABCD的面积＝，故答案为：．12．解：由图可知小明回到出发点时走了一个正多边形，且每个外角是36°，由360°÷36＝10可知是正十边形，有10条相等的边，∴小明一共走了10×2＝20米，故答案为：20．13．解：如图，连接BE交CD于点G，连接GN，过点G作GH⊥DN于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB＝28，CD＝AB＝12，∵点M，N分别是边AB，AD的中点，∴AN＝DN＝AD＝14，BM＝AB＝6，∵AB∥CD，∴∠BME＝∠GCE，∠MBE＝∠CGE，∵点E是CM的中点，∴ME＝CE，在△MEB和△CEG中，，∴△MEB≌△CEG（AAS），∴BE＝GE，BM＝GC＝6，∴DG＝CD﹣GC＝6，∵∠D＝∠ABC＝45°，GH⊥DN，∴DH＝GH＝DG＝6，∴NH＝DN﹣DH＝14﹣6＝8，∴GN＝＝＝10，∵BF＝FN，BE＝EG，∴EF是△BGN的中位线，∴EF＝GN＝5．故答案为：5．14．解：如图，四边形ABCN中，∠A+∠B+∠C+∠1＝360°，四边形MNGF中，∠2+∠3+∠F+∠G＝360°，∵∠3＝∠D+∠E，∠1+∠2＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠1+∠2+∠D+∠E+∠F+∠G＝720°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°．故答案为：540°．15．解：延长AM至E，使得ME＝AM，过点E作EH⊥AN，交AN延长线于H点，连接MN．∴AE＝2AM＝8．∵∠MAN＝60°，∴∠E＝30°，∴AH＝AE＝4，HE＝4．∵AN＝1，∴N点为AH中点．∴MN＝HE．∵M、N分别为CD、BC的中点，∴MN＝BD．∴BD＝HE＝4，故答案为4．16．解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB+180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，∴∠CBE+∠BCF＝90°，∴∠BHC＝90°，∵AM∥CF，∴∠AOE＝∠BHC＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，∴AB＝AE＝5，又∵∠AOE＝90°，∴BO＝OE＝3，∴AO＝＝＝4，在△ABO和△MBO中，，∴△ABO≌△MBO（ASA），∴AO＝OM＝4，∴AM＝8，∵AD∥BC，AM∥CF，∴四边形AMCF是平行四边形，∴CF＝AM＝8，故答案为：8．三．解答题（共5小题，满分40分）17．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB；（2）解：AC⊥AB，AB＝3，BC＝5，∴AC＝，过F点作FH⊥BC，垂足为H，∵BE平分∠ABC，AC⊥AB，∴AF＝FH，∵S△ABC＝S△ABF+S△BFC，∴AB•AC＝AB•AF+BC•FH，即，∴AF＝﹒18．解：AF＝CF且AF∥CE，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF＝CE且AF∥CE（平行四边形的对边相等且平行）．19．解：（1）过点E作AB的垂线，交BA的延长线于点M，如图①所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝30°，∴AD∥BC，∠ABC＝30°．∴∠MAE＝30°．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE．由AD∥BC，∴∠AEB＝∠CEB＝∠ABE．∴AE＝AB＝3．∴．∴．（2）过点A作BE的垂线，交BE于点K，交DF的延长线于点N，如图②所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∴∠BAG＝∠AFD，∠BAK＝∠N．∵AF⊥DC，∴AF⊥BA．∵AK⊥BE，∴∠BKA＝∠AFD＝∠AFN＝90°．∴∠ABG+∠BAK＝∠N+∠F AN．∴∠ABG＝∠F AN．在△ABG和△F AN中，，∴△ABG≌△F AN（ASA）．∴AG＝FN，∠AGB＝∠N．∵∠AGB＝∠GAE+∠AEG，∴∠AGB＝∠GAE+∠KAG＝∠KAE．由（1）知AB＝AE，∴∠BAK＝∠KAE∴∠KAE＝∠N．∴DA＝DN．∵DE＝DA﹣AE，CN＝DN﹣DC＝DN﹣AB＝DN﹣AE，∴DE＝CN＝FC+FN＝FC+AG，即DE﹣AG＝FC．20．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF，∵BE∥DF．∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠DFC，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：∵AB＝BE，∠ABE＝20°，∴∠BAE＝∠BEA＝（180°﹣20°）＝80°，∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠BAE＝（180°﹣80°）＝50°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝50°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝80°+50°＝130°．21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，∴BC＝BO，∵E是CO中点，∴∠OBE＝∠OBC，∴∠OBE＝∠ADO；（2）①证明：∵BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中点，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G为AB中点，∴EG＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF＝CD∴EG＝EF，∴△EFG是等腰三角形；②解：由①得EF∥AB，∵EF⊥EG，∴EG⊥AB，∵G是AB的中点，∴AE＝BE，设CE＝x，则AO＝CO＝2CE＝2x，∴BE＝AE＝3x，在Rt△BEC中，BC＝10，∴EC2+BE2＝BC2，即x2+（3x）2＝102，解得x＝，∴AC＝，BE＝，∴S▱ABCD＝2S△ABC＝。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题（附答案）一．选择题（共9小题）1．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BCE的周长是（）A．12B．24C．36D．482．如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12，若点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为（）A．36（+1）B．18（+1）C．12（+1）D．9（+1）3．如图在四边形ABCD中，AB＜CD，∠B＝∠C＝90°，点H，I，G分别是AD，AB，CD 的中点，点P是BC边上的一动点（不与B，C重合），点E，F分别是BP，CP的中点，则当点P从B→C移动时，五边形EFGHI的面积会（）A．一直增大B．保持不变C．一直减小D．先增大后减小4．在△ABC中，D、E分别是边BC、AC的中点．若DE＝4，则AB的长度是（）A．12B．9C．8D．65．一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线．只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（1））；把三条边分成三等份，再按照图（2）将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）26．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO的度数是（）A．130°B．230°C．262.5°D．165°7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使其是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．BC＝AD B．AB＝CD C．∠A＝∠C D．AD∥BC9．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD 二．填空题（共10小题）10．已知一个三角形各边的比为2：3：4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm，那么原三角形最短的边的长为cm．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是．12．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．观察图形，可知图③有个三角形，按这种方式继续下去，第n个图形中有个三角形（用含n的代数式表示）13．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB＝5，BC＝9，则MN＝．14．如图在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC ＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG＝．15．过九边形的一个顶点有条对角线．16．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝．17．如图，平行四边形ABCD中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角的度数为．18．已知平面直角坐标系内，O（0，0），A（2，6），C（6，0），若以O，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，则点B不可能在第象限．19．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为．三．解答题（共8小题）20．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．（1）求AE的长；（2）若F是BC中点，求线段EF的长．21．如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．（1）若AB＝8，AC＝4，求DE的长；（2）求证：AB﹣AC＝2DM．22．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．23．如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD，EF（1）求证：CD＝EF；（2）求EF的长．24．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）25．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．26．如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF＝AD，则BC：AB的值是．27．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，4），B（3，0），C（﹣5，4）．（1）求△ABC的面积；（2）过A作AD⊥BC于D，延长AD交x轴于点E，求AE的长；（3）在（2）的条件下，设BC交y轴于点F，G是y轴左侧的点，使得以A、G、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点G的坐标．参考答案:一．选择题（共9小题）1．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BCE的周长是（）A．12B．24C．36D．48【解答】解：∵D是AB的中点，DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线．∴点E是AC中点，∴CE＝AE＝6．∵DE＝5，∴BC＝10．∵∠BEC＝90°，∴△BCE是直角三角形，∴根据勾股定理得，BE＝8，∴△BCE的周长为BC+CE+BE＝10+6+8＝24．故选：B．2．如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12，若点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为（）A．36（+1）B．18（+1）C．12（+1）D．9（+1）【解答】解：∵△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，∴△ABC是等边三角形，△DBC等腰直角三角形，∵AB＝12，∴BC＝12，∴BD＝6，连接AD交BC于O，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，BO＝CO，∴AD＝AO+OD＝6+6，∵点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，∴EH∥AD，EH＝AD，FG∥AD，FG＝AD，∴EH∥FG，EH＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AD⊥BC，∴EH⊥BD，HG⊥AD，∴EH⊥HG，∴∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是矩形，∵EH＝AD＝3+3，HG＝BC＝6，∴四边形EFGH的面积＝18（+1），故选：B．3．如图在四边形ABCD中，AB＜CD，∠B＝∠C＝90°，点H，I，G分别是AD，AB，CD 的中点，点P是BC边上的一动点（不与B，C重合），点E，F分别是BP，CP的中点，则当点P从B→C移动时，五边形EFGHI的面积会（）A．一直增大B．保持不变C．一直减小D．先增大后减小【解答】解：连接IG，如图所示：则S△IHG的值不变，设BP＝x，则BE＝x，CF＝（BC﹣x），S△BIE＝BI•BE＝BI×x＝x•BI，S△FCG＝CG•CF＝CG×（BC﹣x）＝CG•BC﹣x•CG，∵在四边形ABCD中，AB＜CD，∠B＝∠C＝90°，点I，G分别是AB，CD的中点，∴CG＞BI，四边形IBCG是梯形，∴S梯形IBCG＝•BC＝BC•BI+BC•CG，S四边形IEFG＝S梯形IBCG﹣S△BIE﹣S△FCG＝BC•BI+BC•CG﹣x•BI﹣CG•BC+x•CG ＝（2BI+CG）BC+（CG﹣BI）x，∵（2BI+CG）BC是定值，CG＞BI，∴S四边形IEFG随x值的增大而增大，∵S△IHG的值不变，∴S五边形EFGHI随x值的增大而增大，即当点P从B→C移动时，五边形EFGHI的面积会一直增大；故选：A．4．在△ABC中，D、E分别是边BC、AC的中点．若DE＝4，则AB的长度是（）A．12B．9C．8D．6【解答】解：∵D，E分别是边AC、BC的中点，∴AB＝2DE，∵DE＝4，∴AB＝8．故选：C．5．一个三角形两边中点的连线叫做这个三角形的中位线．只要顺次连结三角形三条中位线，则可将原三角形分割为四个全等的小三角形（如图（1））；把三条边分成三等份，再按照图（2）将分点连起来，可以看作将整个三角形分成9个全等的小三角形；把三条边分成四等份，…，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（）个全等的小三角形．A．B．C．D．（n+1）2【解答】解：由图（1）可知：顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3＝（1+1）2；图（2）中顺次连接各中点所得全等的小三角形为1+3+5＝（2+1）2；同理如果把三条边分成3等分可得到1+3+5+7＝（3+1）2个全等的小三角形，按照这种方式分下去，第n个图形中应该得到（n+1）2个全等的小三角形．故选：D．6．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO的度数是（）A．130°B．230°C．262.5°D．165°【解答】解：四边形ABCD中，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD＝360°，∴∠BAD+∠BCD＝360﹣65﹣65＝230°．∵OA＝OB＝OC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝∠ABC＝65°，∴∠DAO+∠DCO＝230﹣65＝165°．故选：D．7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠CAD＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④OE＝BC．其中成立的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确，∵AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故③错误；或∵AC⊥AB，∴AB＜OB，故③错误；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故④正确．故选：C．8．在四边形ABCD中，AB∥CD，要使其是平行四边形，可添加的条件不正确的是（）A．BC＝AD B．AB＝CD C．∠A＝∠C D．AD∥BC【解答】解：∵AB∥CD，∴当AB＝CD时，由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；故B 正确，当BC∥AD时，由两组对边分别平行的四边形为平行四边形可知该条件正确；故D正确；当∠A＝∠C时，可求得∠B＝∠D，由两组对角分别相等的四边形为平行四边形可知该条件正确；故C正确当BC＝AD时，该四边形可能为等腰梯形，故该条件不正确；故A错误，故选：A．9．如图，E是▱ABCD边AD延长线上一点，连接BE，CE，BD，BE交CD于点F．添加以下条件，不能判定四边形BCED为平行四边形的是（）A．∠ABD＝∠DCE B．DF＝CF C．∠AEB＝∠BCD D．∠AEC＝∠CBD 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴DE∥BC，∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝∠DCE，∴∠DCE＝∠CDB，∴BD∥CE，∴BCED为平行四边形，故A正确；∵DE∥BC，∴∠DEF＝∠CBF，在△DEF与△CBF中，，∴△DEF≌△CBF（AAS），∴EF＝BF，∵DF＝CF，∴四边形BCED为平行四边形，故B正确；∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BCD，∴∠CBF＝∠BCD，∴CF＝BF，同理，EF＝DF，∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故C错误；∵AE∥BC，∴∠DEC+∠BCE＝∠EDB+∠DBC＝180°，∵∠AEC＝∠CBD，∴∠BDE＝∠BCE，∴四边形BCED为平行四边形，故D正确，故选：C．二．填空题（共10小题）10．已知一个三角形各边的比为2：3：4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm，那么原三角形最短的边的长为8cm．【解答】解：由题意，设三边分别为2xcm，3xcm，4xcm，则各边中点所得的三角形的边长分别为xcm，1.5xcm，2xcm则x+1.5x+2x＝18，解得x＝4，∴2x＝8cm原三角形最短的边的长为8cm；故答案为：8．11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，则△ADE的面积是6．【解答】解：∵D、E分别为AC、AB的中点，∴AD＝AC＝4，DE＝BC＝3，DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝90°，∴△ADE的面积＝×AD×DE＝6，故答案为：6．12．图①是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．观察图形，可知图③有9个三角形，按这种方式继续下去，第n个图形中有4n﹣3个三角形（用含n的代数式表示）【解答】解：第①是1个三角形，1＝4×1﹣3；第②是5个三角形，5＝4×2﹣3；第③是9个三角形，9＝4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：9，4n﹣3．13．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD＝AB，BM⊥AD于点M，N是AC的中点，连接MN．若AB＝5，BC＝9，则MN＝2．【解答】解：∵BD＝AB，AB＝5，∴BD＝5，∵BC＝9，∴DC＝4，∵BD＝AB，BM⊥AD，∴AM＝MD，又N是AC的中点，∴MN＝DC＝2，故答案为：2．14．如图在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC ＝20°，∠ACB＝66°，则∠FEG＝23°．【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD＝BC，∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝66°，∴∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣66°）＝134°，∴∠FEG＝（180°﹣∠FGE）＝23°，故答案为：23°．15．过九边形的一个顶点有6条对角线．【解答】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，故答案为：616．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【解答】解：如图所示，∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，∠3＝∠E+∠F，∴∠1+∠2+∠3＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，又∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个不同的外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．17．如图，平行四边形ABCD中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角的度数为45°．【解答】解：∵平行四边形中两个内角的度数之比为1：3，∴设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，∴x+3x＝180，解得：x＝45，∴其中较小的内角是45°．故答案为：45°．18．已知平面直角坐标系内，O（0，0），A（2，6），C（6，0），若以O，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形，则点B不可能在第三象限．【解答】解：连接A、O、C三点如下图示，得△AOC．以任意两条边做平行四边形的两条边，分别作平行线，使其为平行四边形，则得到的另一点就是点B，由此可得B点不可能在第三象限．故答案为：三．19．有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条的2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为AB＝2BC．【解答】解：过A作AE⊥BC于E、作AF⊥CD于F，∵甲纸条的宽度是乙纸条宽的2倍，∴AE＝2AF，∵纸条的两边互相平行，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC，AD＝BC，∵∠AEB＝∠AFD＝90°，∴△ABE∽△ADF，∴，即．故答案为：AB＝2BC三．解答题（共8小题）20．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝23，点D在AC上，若BD＝CD＝10，AE平分∠BAC．（1）求AE的长；（2）若F是BC中点，求线段EF的长．【解答】解：（1）∵AC＝23，CD＝10，∴AD＝23﹣10＝13，∵AB＝13，∴AB＝CD，∵AE平分∠BAC，∴DE＝BE，AE⊥BD，∵BD＝10，∴DE＝5，∴AE＝＝＝12；（2）∵E是BD的中点，F是BC中点，∴EF＝CD＝＝5．21．如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．（1）若AB＝8，AC＝4，求DE的长；（2）求证：AB﹣AC＝2DM．【解答】解：（1）直角△ABE中，AE＝AB＝4，在直角△ACD中，AD＝AC＝2，则DE＝AE﹣AD＝4﹣2＝2；（2）延长CD交AB于点F．在△ADF和△ADC中，，∴△ADF≌△ADC（ASA），∴AC＝AF，CD＝DF，又∵M是BC的中点，∴DM是△CBF的中位线，∴DM＝BF＝（AB﹣AF）＝（AB﹣AC），∴AB﹣AC＝2DM．22．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，写出线段AB、AC、EF的数量关系，并证明你的结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠DAE+∠ADE＝90°，∵∠BAE＝∠DAE，∴∠ABE＝∠ADE，∴AB＝AD，∵AE⊥BD，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠P AE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠P AE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BD，∴BE＝PE，∵BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．23．如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别是AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD，EF（1）求证：CD＝EF；（2）求EF的长．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵延长BC至点F，使CF＝BC，∴DE＝FC，∴四边形CDEF是平行四边形，∴CD＝EF；（2）解：∵四边形DEFC是平行四边形，∴CD＝EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴EF＝CD＝＝．24．【问题】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有P n种．探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，P4＝2，探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：第1类：如图③，用A，E与B连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．第2类：如图④，用A，E与C连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为P4种分割方案．第3类：如图⑤，用A，E与D连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种不同的分割方案．所以，P5＝P4+P4+P4＝×P4＝×P4＝5（种）探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：第1类：如图⑥，用A，F与B连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种不同的分割方案．第2类：如图⑦，用A，F与C连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案．所以，此类共有P4种分割方案．第3类：如图⑧，用A，F与D连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有P4种不同的分割方案，所以，此类共有P4种分割方案．第4类：如图⑨，用A，F与E连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有P5种不同的分割方案所以，此类共有P5种分割方案．所以，P6＝P5+P4+P4+P5＝P5+P5+P5+P5═P5＝14（种）探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则P7与P6的关系为：P7＝P6，共有42种不同的分割方案．……【结论】用n边形的对角线把n边形分割成（n﹣2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n≥4）？（直接写出P n与P n﹣1的关系式，不写解答过程）．【应用】用八边形的对角线把八边形分割成6个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论，写出解答过程）【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，如图所示：不妨把分制方案分成五类：第1类：如图1，用A，G与B连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形，由探究三知，有P6种不同的分割方案，所以，此类共有P6种不同的分割方案．第2类：如图2，用A，G与C连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第3类：如图3，用A，G与D连接，先把七边形分割转化成1个三角形和2个四边形．由探究一知，有2P4种不同的分割方案．所以，此类共有2P4种分割方案．第4类：如图4，用A，G与E连接，先把七边形分割转化成2个三角形和1个五边形．由探究二知，有P5种不同的分割方案．所以，此类共有P5种分割方案．第5类：如图5，用A，G与F连接，先把七边形分割转化成1个三角形和1个六边形．由探究三知，有P6种不同的分割方案．所以，此类共有P6种分割方案．所以，P7＝P6+P5+2P4+P5+P6＝2P6+2×P6+2×P6＝P6＝3P6＝42（种）．故答案为：18，42；【结论】：由题意知：P5＝×P4，P6＝P5，P7＝P6，…∴P n＝P n﹣1；【应用】根据结论得：P8＝×P7＝×42＝132．25．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．【解答】解：如图所示，连接CG，∵∠COG＝∠AOB，∴∠6+∠7＝∠OCG+∠OGC，又∵五边形CDEFG中，∠1+∠2+∠OCG+∠OGC+∠3+∠4+∠5＝540°，∴∠1+∠2+∠6+∠7+∠3+∠4+∠5＝540°．26．如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）若EF＝AD，则BC：AB的值是．【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠AGB＝90°，∴AE⊥BF；（2）解：∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB，又∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC，又∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，∴DE＝CF，∴DF＝CE，∵EF＝AD，∴BC＝AD＝5EF，∴DE＝5EF，∴DF＝CE＝4EF，∴AB＝CD＝9EF，∴BC：AB＝5：9；故答案为：．27．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，A（0，4），B（3，0），C（﹣5，4）．（1）求△ABC的面积；（2）过A作AD⊥BC于D，延长AD交x轴于点E，求AE的长；（3）在（2）的条件下，设BC交y轴于点F，G是y轴左侧的点，使得以A、G、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，求点G的坐标．【解答】解：（1）∵A（0，4），C（﹣5，4），∴AC＝5，OA＝4，AC∥OB，∴△ABC的面积＝AC×OA＝×5×4＝10；（2）∵B（3，0），∴OB＝3，∴AB＝＝＝5，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AC∥OB，∴∠DBE＝∠C，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（ASA），∴BE＝AC＝5，∴OE＝BE﹣OB＝2，∴AE＝＝＝2；（3）解：分两种情况：①AE为对角线时，四边形AGEF是菱形，则GE∥AF，GE＝EF＝AF，设GE＝EF＝AF＝x，则OF＝4﹣x，在Rt△OEF中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，点G的坐标为（﹣2，）；②EF 为对角线时，点G的坐标为（﹣2，﹣）；综上所述，G是y轴左侧的点，以A、G、E、F为顶点的四边形是平行四边形，点G的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣）．。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题D(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题D(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题D（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（）A．1：5B．1：4C．2：5D．2：72．如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若＝6，则△ABC的边长为（）A．B．C．D．13．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN 的取值范围是（）A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤4．（体验探究题）下列说法正确的是（）①顺次连接四边形的中点，所围成的四边形是平行四边形②顺次连接矩形四条边的中点，所围成的四边形是菱形③顺次连接梯形四边的中点，所围成的四边形是矩形④顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所围成的四边形是矩形A．1个B．2个C．3个D．4个5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连结BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连结PQ，则PQ长为（）A．6B．2C．D．6.56．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO的度数是（）A．130°B．230°C．262.5°D．165°7．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠B的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°8．在四边形ABCD中，将下列条件中的任意两个进行组合，可以判定它是平行四边形的有（）组．（1）AB∥CD（2）AD∥BC（3）AB＝CD（4）AD＝BC（5）∠A＝∠C （6）∠B＝∠DA．7B．8C．9D．109．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（）（提示：可以构造平行四边形）A．2＜AD＜14B．1＜AD＜7C．6＜AD＜8D．12＜AD＜1610．如果等腰梯形的下底与对角线长都是10厘米，上底与梯形的高相等，则上底的长是（）厘米．A．5B．6C．5D．6二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE是△ABC的中位线，则DE＝．12．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，如果DE＝10，那么BC＝．13．如图，E是△ABC内一点，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，已知ED＝1，EB＝3，EA＝4，则AC＝．14．如图M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1，则△ABC的周长为．15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点且DE＝1，则BC＝．16．一个n边形过一个顶点有5条对角线，则n＝．17．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为直角边作等腰直角三角形ABG，使点G在其内部，且∠BAG＝90°，连结FG，则∠EFG的大小是度．18．已知▱ABCD，∠A：∠B＝1：3，则∠C＝度．19．用40cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3：2，则较短边的长度为20．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．若AC＝7，DE＝5，则DF＝．三．解答题（共8小题）21．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．22．如图，在△ABC中，D为边AC的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求边BC上的高．【友情提示】辅助定理：△ABC中，D为AB中点，且DE∥BC交AC于E，则DE∥BC，且DE＝BC．23．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF 交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．24．已知三角形ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．判断AF与FC之间有什么数量关系？并加以证明．25．一个多边形对角线的条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数．26．已知：如图，在n边形中，AF∥DE，∠B＝130°，∠C＝110°．求∠A+∠D的度数．27．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE ＝CF．28．如图已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形：△ABE．△BCD．△ACF，求证：四边形DEAF是平行四边形．参考答案:一．选择题（共10小题）1．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（）A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，若设△ABC的面积是1，根据DE∥BC，得△ADE∽△ABC，∴S△ADE＝，连接AM，根据题意，得S△ADM＝S△ADE＝S△ABC＝，∵DE∥BC，DM＝BC，∴DN＝BN，∴DN＝BD＝AD．∴S△DNM＝S△ADM＝，∴S四边形ANME＝＝，∴S△DMN：S四边形ANME＝：＝1：5．故选：A．2．如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若＝6，则△ABC的边长为（）A．B．C．D．1【解答】解：过点A作直线PQ∥BC，延长BD交PQ于点P；延长CD，交PQ于点Q．∵PQ∥BC，∴△PQD∽△BCD，∵点D在△ABC的中位线上，∴△PQD与△BCD的高相等，∴△PQD≌△BCD，∴PQ＝BC，∵AE＝AC﹣CE，AF＝AB﹣BF，在△BCE与△P AE中，∠P AE＝∠ACB，∠APE＝∠CBE，∴△BCE∽△P AE，＝…①同理：△CBF∽△QAF，＝…②①+②，得：+＝．∴+＝3，又∵＝6，AC＝AB，∴△ABC的边长＝．故选：C．3．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN 的取值范围是（）A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤【解答】解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．∵M是边AD的中点，AB＝2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG＝GD，MG＝AB＝×2＝1；∵N是BC的中点，BG＝GD，CD＝3，∴NG是△BCD的中位线，NG＝CD＝×3＝，在△MNG中，由三角形三边关系可知NG﹣MG＜MN＜MG+NG，即﹣1＜MN＜+1，∴＜MN＜，当MN＝MG+NG，即MN＝时，四边形ABCD是梯形，故线段MN长的取值范围是＜MN≤．故选：D．4．（体验探究题）下列说法正确的是（）①顺次连接四边形的中点，所围成的四边形是平行四边形②顺次连接矩形四条边的中点，所围成的四边形是菱形③顺次连接梯形四边的中点，所围成的四边形是矩形④顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所围成的四边形是矩形A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①∵顺次连接四边形的中点，它们的两组对边分别平行于四边形的两条对角线，∴围成的四边形是平行四边形．正确；②∵矩形的对角线相等，∴顺次连接矩形四条边的中点，所围成的四边形是菱形．正确；③∵梯形的对角线不一定互相相垂直，∴顺次连接梯形四边的中点，所围成的四边形不是矩形．错误；④∵对角线互相垂直的四边形各边中点所围成的四边形四个角都是直角．正确．故选：C．5．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连结BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连结PQ，则PQ长为（）A．6B．2C．D．6.5【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，∴BC＝＝12，取BD中点F，连接PF、QF，如图所示：∵P、Q分别是BE、DC的中点，∴PF是△BDE的中位线，FQ是△BCD的中位线，∴PF∥ED，PF＝DE＝1，FQ∥BC，FQ＝BC＝6，∵DE∥AC，AC⊥BC，∴PF⊥FQ，∴PQ＝＝＝；故选：C．6．如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝65°，则∠DAO+∠DCO的度数是（）A．130°B．230°C．262.5°D．165°【解答】解：四边形ABCD中，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD＝360°，∴∠BAD+∠BCD＝360﹣65﹣65＝230°．∵OA＝OB＝OC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1+∠4＝∠2+∠3＝∠ABC＝65°，∴∠DAO+∠DCO＝230﹣65＝165°．故选：D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝40°，则∠B的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．160°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝40°，∴∠B＝140°，故选：C．8．在四边形ABCD中，将下列条件中的任意两个进行组合，可以判定它是平行四边形的有（）组．（1）AB∥CD（2）AD∥BC（3）AB＝CD（4）AD＝BC（5）∠A＝∠C （6）∠B＝∠DA．7B．8C．9D．10【解答】解：能推出四边形ABCD是平行四边形的有（1）（2），（1）（3），（1）（5），（1）（6），（2）（4），（2）（5），（2）（6），（3）（4），（5）（6）；故选：C．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝8，则BC边上中线AD的取值范围为（）（提示：可以构造平行四边形）A．2＜AD＜14B．1＜AD＜7C．6＜AD＜8D．12＜AD＜16【解答】解：延长AD至点E，使AD＝ED，连接BE、CE．∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∴CE＝AB（平行四边形的对边相等），在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜14，1＜AD＜7．故选：B．10．如果等腰梯形的下底与对角线长都是10厘米，上底与梯形的高相等，则上底的长是（）厘米．A．5B．6C．5D．6【解答】解：如图，已知等腰梯形ABCD，AD＝AE，AC＝BC＝10cm，求AD的长．作AF∥CD∵AD∥BC∴四边形AFCD是平行四边形∴DC＝AF，AD＝FC又∵等腰梯形∴AB＝DC＝AF∵AE⊥BF∴△ABE≌△AFE∴EF＝BE∴2EF＝BC﹣AD＝10﹣AD∴在△AEC中：AC2＝AD2+（EF+AD）2即：100＝AD2+（5+AD）2∴AD＝6或AD＝﹣10（去掉）∴上底的长为6cm故选：D．二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE是△ABC的中位线，则DE＝3．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3，故答案为：3．12．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，如果DE＝10，那么BC＝20．【解答】解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴BC＝2DE＝20，故答案为：20．13．如图，E是△ABC内一点，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，已知ED＝1，EB＝3，EA＝4，则AC＝7．【解答】解：延长BE交AC于F，Rt△ABE中，AE＝4，BE＝3，由勾股定理得：AB＝5，∵AE平分∠BAF∴∠BAE＝∠F AE，在△ABE和△AFE中，∵，∴△ABE≌△AFE（ASA），∴AB＝AF＝5，BE＝EF，∵D为BC的中点，∴ED为△BFC的中位线，∴FC＝2ED＝2×1＝2，∴AC＝AF+FC＝5+2＝7，故答案为：7．14．如图M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1，则△ABC的周长为24．【解答】解：延长BN交AC于D，∵AN平分∠BAC，BN⊥AN，∴AD＝AB＝6，BN＝ND，又M是△ABC的边BC的中点，∴DC＝2MN＝2，∴AC＝AD+DC＝8，则△ABC的周长＝AB+AC+BC＝6+8+10＝24，故答案为：24．15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点且DE＝1，则BC＝2．【解答】解：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝2．故答案为2．16．一个n边形过一个顶点有5条对角线，则n＝8．【解答】解：∵一个n边形过一个顶点有5条对角线，∴n﹣3＝5，解得n＝8．故答案为：8．17．如图，以正六边形ABCDEF的边AB为直角边作等腰直角三角形ABG，使点G在其内部，且∠BAG＝90°，连结FG，则∠EFG的大小是45度．【解答】解：在正六边形ABCDEF中，∵∠AFE＝∠BAF＝＝120°，∵∠BAG＝90°，∴∠F AG＝120°﹣90°＝30°，又∵AF＝AB＝AG，∴∠AFG＝＝75°，∴∠EFG＝∠AFE﹣∠AFG＝120°﹣75°＝45°，故答案为：45．18．已知▱ABCD，∠A：∠B＝1：3，则∠C＝45度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C．∵∠A：∠B＝1：3∴∠B＝3∠A．∴∠A+3∠A＝180°．解得：∠A＝45°，∠B＝135°．∴∠C＝∠A＝45°．故答案为：4519．用40cm长的绳子围成一个平行四边形，使其相邻两边的长度比为3：2，则较短边的长度为8cm【解答】解：设长边为3xcm，则短边长为2xcm；根据题意得：2（2x+3x）＝40，解得：x＝4，∴较短边为2×4＝8（cm）．故答案为8cm；20．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．若AC＝7，DE＝5，则DF＝2或12．【解答】解：如图1中，当点D在线段BC上时，∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF＝5，∵AB＝AC＝7，∴BF＝7﹣5＝2，∠B＝∠C，∵∠FDB＝∠C，∴∠B＝∠FDB，∴DF＝BF＝2．如图2中，当点D在BC的延长线上时，同法可证：DE＝AF＝5，FB＝FD，∵AB＝AC＝7，∴DF＝FB＝5+7＝12，综上所述，DF的值为2或12．故答案为2或12．三．解答题（共8小题）21．△ABC的中线BD、CE相交于O，F，G分别是BO、CO的中点，求证：EF∥DG，且EF＝DG．【解答】证明：连接DE，FG，∵BD、CE是△ABC的中线，∴D，E是AB，AC边中点，∴DE∥BC，DE＝BC，同理：FG∥BC，FG＝BC，∴DE∥FG，DE＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EF∥DG，EF＝DG．22．如图，在△ABC中，D为边AC的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5．（1）求DB的长；（2）在△ABC中，求边BC上的高．【友情提示】辅助定理：△ABC中，D为AB中点，且DE∥BC交AC于E，则DE∥BC，且DE＝BC．【解答】解：（1）∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°．在Rt△DBC中，BC＝4，CD＝5，∴DB＝＝＝3；（2）过A作AE⊥BC交线段CB延长线于E，∵DB⊥BC，∴AE∥DB．∵D为AC的中点，∴DB为△ACE的中位线．∴AE＝2DB＝6．∴边BC上的高为6．23．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF 交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若四边形BDFE的面积为9，求△ABD的面积．【解答】（1）证明：∵DC＝AC，CF是∠ACB的平分线，∴AF＝FD，又点E是AB的中点，∴EF∥BC；（2）解：∵AF＝FD，点E是AB的中点，∴EF＝BD，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴S△AEF＝S△ABD，∴S△AEF＝S四边形BDFE＝3，∴△ABD的面积＝12．24．已知三角形ABC中，AD是中线，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．判断AF与FC之间有什么数量关系？并加以证明．【解答】解：AF＝FC，理由如下：取BF的中点G，连接DG，则DG是△BCF的中位线，∴DG∥AC，DG＝CF，∴∠EAF＝∠EDG，∵E为AD中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG＝AF，∴AF＝FC．25．一个多边形对角线的条数是它的边数的3倍，求这个多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数是n．根据题意得：n•（n﹣3）＝3n，解得：n＝9．∴这个多边形的边数是9．26．已知：如图，在n边形中，AF∥DE，∠B＝130°，∠C＝110°．求∠A+∠D的度数．【解答】解：作BM∥AF，CN∥DE，∵AF∥DE，∴BM∥AF∥DE∥CN，∴∠MBC+∠NCB＝180°，∠A+∠ABM＝180°，∠NCD+∠D＝180°，∵∠B＝130°，∠C＝110°，∴∠DCN+∠ABM＝240°﹣180°＝60°，∴∠A+∠D＝300°．27．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且BE＝DF．求证：AE ＝CF．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．28．如图已知△ABC，分别以△ABC的三边为边在△ABC的同侧作三个等边三角形：△ABE．△BCD．△ACF，求证：四边形DEAF是平行四边形．【解答】证明：∵△ABE，△BDC都是等边三角形，∴BE＝AB，BD＝BC，∠EBA＝∠DBC＝60°，∴∠DBE＝60°﹣∠DBA，∠ABC＝60°﹣∠DBA，∴∠DBE＝∠ABC，在△DBE和△ABC中，，∴△DBE≌△CBA（SAS），∴DE＝AC，又∵△ACF是等边三角形，∴AC＝AF，∴DE＝AF．同理可得：△ABC≌△FDC，∴DF＝AB＝AE．∵DE＝AF，EA＝DF，∴四边形DEAF为平行四边形。

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题B(附答案)

鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合能力提升练习题B（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，连接△A1B1C1三边的中点构成△A2B2C2，再连接△A2B2C2三边的中点构成△A3B3C3…依此类推，当△A1B1C1的周长为1cm时，△A2017B2017C2017的周长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm2．已知；如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝4，则AC 的长等于（）A．7B．C．D．6.53．如图，△ABC的周长为31，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.64．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（）A．B．C．D．5．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，点E为BC中点，则DE等于（）A．3B．2C．4D．56．一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB＝1，BC＝3，CD ＝3，DE＝2，那么这个六边形ABCDEF的周长是（）A．12B．13C．14D．157．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD 的周长为20，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．88．如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD9．▱ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．AF＝EC C．∠DAF＝∠BCE D．∠AFD＝∠CEB 10．如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，则四边形AEBC的形状是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．矩形D．菱形二．填空题（共10小题）11．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE＝3，则线段BC的长等于．12．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝16，BC＝18，则EF的长为．13．如图，小强作出边长为1的第1个等边△A1B1C1，计算器面积为S1，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C1，作出第2个等边△A2B2C2，计算其面积为S2，用同样的方法，作出第3个等边△A3B3C3，计算其面积为S3，按此规律进行下去，…，由此可得，第20个等边△A20B20C20的面积S20＝．14．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A、B的点C，分别在AC、BC上取中点D、E，测得DE＝5米，则A、B两点间的距离为米．15．如图，A，B两地无法直接测量距离，现在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，若测得DE的长为30m，那么A，B两地间的距离是m．16．p n表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数P4＝1，五边形对角线交点个数P5＝5．则六边形对角线交点个数P6＝；发现P n＝n（其中a，b是常数n≥4），则P12＝．17．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2．延长BA至点E，使得AE＝AB，连接EC交AD于点F．当△CDF为等腰三角形时，则AD与BC之间的距离为．19．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为．20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有次．三．解答题（共8小题）21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF＝AD．22．如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．24．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．求证：．证明：．25．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形A1A2A3A4A5…A n．中，过顶点A1可以画条对角线，过顶点A2可以画条对角线，过顶点A3可以画条对角线（用含n的代数式表示）②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？（用含n的代数式表示）26．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD．（1）若∠1＝48°，求∠2的度数；（2）求证：AB∥DE．27．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，AE⊥BC于点E，F为EA延长线上一点，且BE＝EF，连接CF（1）如图1，若AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，求AF的长度；（2）如图2，若CD⊥CF，求证：AD＝AC+AF．28．△ABC在平面直角坐标系中如图所示，（1）S△ABC＝．（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标．（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．参考答案:一．选择题（共10小题）1．如图，连接△A1B1C1三边的中点构成△A2B2C2，再连接△A2B2C2三边的中点构成△A3B3C3…依此类推，当△A1B1C1的周长为1cm时，△A2017B2017C2017的周长为（）A．cm B．cm C．cm D．cm【解答】解：由△A1B1C1的周长为1cm，连接△A1B1C1三边中点构成第二个三角形为△A2B2C2，它的周长是△A1B1C1的周长的，则△A2B2C2的周长为，同理，△A3B3C3周长为（）2，△A4B4C4周长为（）3，则△A2017B2017C2017周长为（）2016＝（cm），故选：D．2．已知；如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝4，则AC 的长等于（）A．7B．C．D．6.5【解答】解：过D点作DF∥BE，∵AD是△ABC的中线，AD⊥BE，∴F为EC中点，AD⊥DF，∵AD＝BE＝4，则DF＝2，AF＝＝2，∵BE是△ABC的角平分线，AD⊥BE，∴△ABG≌△DBG，∴G为AD中点，∴E为AF中点，∴AC＝AF＝3．故选：C．3．如图，△ABC的周长为31，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．3.5C．4D．4.6【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝31﹣BC＝31﹣12＝19，∴DE＝BE+CD﹣BC＝7，∴PQ＝DE＝3.5．故选：B．4．已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（）A．B．C．D．【解答】解：∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：1：22，以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，∵△ABC周长为1，∴第2012个三角形的周长为1：22011．故选：C．5．如图，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD平分∠BAC，CD⊥AD于D，点E为BC中点，则DE等于（）A．3B．2C．4D．5【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠HAD，在△ACD和△AHD中，，∴△ACD≌△AHD（ASA），∴CD＝DH，AC＝AH＝6，∴BH＝AB﹣AH＝4，∵CD＝HD，BE＝EC，∴DE＝HB＝2，故选：B．6．一个六边形ABCDEF的六个内角都是120°，连续四边的长依次为AB＝1，BC＝3，CD ＝3，DE＝2，那么这个六边形ABCDEF的周长是（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：如图，分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P．∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°．∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形．∴GC＝BC＝3，DH＝DE＝2．∴GH＝3+3+2＝8，F A＝P A＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣1﹣3＝4，EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣4﹣2＝2．∴六边形的周长为1+3+3+2+4+2＝15．故选：D．7．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F．若AE：AF＝2：3，▱ABCD 的周长为20，则AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴BC+CD＝20÷2＝10，根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．∴BC＝6，CD＝4，∴AB＝CD＝4，故选：A．8．如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB＝CD B．∠A＝∠B，∠C＝∠DC．∠A＝∠C，∠B＝∠D D．AB＝AD，CB＝CD【解答】解：A、AD∥BC，AB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；B、∠A＝∠B，∠C＝∠D不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；C、∠A＝∠C，∠B＝∠D能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项正确；D、AB＝AD，CB＝CD不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误；故选：C．9．▱ABCD中，E、F分别在边AB和CD上，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．AE＝CF B．AF＝EC C．∠DAF＝∠BCE D．∠AFD＝∠CEB 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，∠B＝∠D；A．AE＝CF时，由AE∥CF，AE＝CF，可以得出四边形AECF是平行四边形；B．AF＝EC时，不能得出四边形AECF一定为平行四边形；C．∠DAF＝∠BCE时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF＝CE，DF＝BE，因此AE＝CF，可以证出四边形AECF是平行四边形；D．∠AFD＝∠CEB时，可以得出△ADF≌△CBE，得出AF＝CE，DF＝BE，因此AE＝CF，可以证出四边形AECF是平行四边形；故选：B．10．如图等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，则四边形AEBC的形状是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．矩形D．菱形【解答】解：四边形AEBC是平行四边形，∵ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AC，BD是对角线，∴AD＝BC，AC＝BD，∵△ABD沿AB对折到△ABE，AE＝AD，∴AE＝BC，AC＝BE，∴四边形AEBC是平行四边形．故选：A．二．填空题（共10小题）11．如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE＝3，则线段BC的长等于6．【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∵DE＝3，∴BC＝2DE＝6．故答案为：6．12．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝16，BC＝18，则EF的长为1．【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，BC＝18，∴DE＝BC＝9．∵∠AFB＝90°，AB＝16，∴DF＝AB＝8，∴EF＝DE﹣DF＝9﹣8＝1．故答案为：1．13．如图，小强作出边长为1的第1个等边△A1B1C1，计算器面积为S1，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2、B2、C1，作出第2个等边△A2B2C2，计算其面积为S2，用同样的方法，作出第3个等边△A3B3C3，计算其面积为S3，按此规律进行下去，…，由此可得，第20个等边△A20B20C20的面积S20＝．【解答】解：正△A1B1C1的面积是，而△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，则面积的比是，则正△A2B2C2的面积是×；因而正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是，面积是×（）2；依此类推△A n B n∁n与△A n﹣1B n﹣1C n﹣1的面积的比是，第n个三角形的面积是（）n﹣1．所以第20个正△A20B20C20的面积是．故答案为：．14．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A、B的点C，分别在AC、BC上取中点D、E，测得DE＝5米，则A、B两点间的距离为10米．【解答】解：∵D，E分别是AC，BC的中点，∴AB＝2DE＝10（米），故答案为：10．15．如图，A，B两地无法直接测量距离，现在地面上选一点C，连接CA，CB，分别取CA，CB的中点D，E，若测得DE的长为30m，那么A，B两地间的距离是60m．【解答】解：∵D，E分别是CA，CB的中点，∴AB＝2DE＝60m，故答案为：60．16．p n表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）如果这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数P4＝1，五边形对角线交点个数P5＝5．则六边形对角线交点个数P6＝15；发现P n＝n（其中a，b是常数n≥4），则P12＝495．【解答】解：由画图，可得：当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5．将数值将P4＝1，P5＝5代入公式，得：，解得：，∴P n＝n•••，∴六边形对角线交点个数P6＝15，P12＝495，故答案为：15，495．17．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．【解答】解：∵∠1是△ABG的外角，∴∠1＝∠A+∠B，∵∠2是△EFH的外角，∴∠2＝∠E+∠F，∵∠3是△CDI的外角，∴∠3＝∠C+∠D，∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2．延长BA至点E，使得AE＝AB，连接EC交AD于点F．当△CDF为等腰三角形时，则AD与BC之间的距离为或．【解答】解：作CM⊥AD于M，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，AD∥BC，∴AF∥BC，∵AE＝AB，∴AF是△ABC的中位线，∴BC＝2AF＝2，EF＝CF，∴AF＝DF＝，分两种情况：①CF＝CD＝1时，∵CM⊥AD，∴DM＝FM＝，∴CM＝＝＝；②CF＝DF＝时，设DM＝x，则FM＝﹣x，∵CM⊥AD，∴CM2＝CD2﹣DM2＝CF2﹣FM2，即12﹣x2＝（）2﹣（﹣x）2，解得：x＝，∴CM＝＝；综上所述，当△CDF为等腰三角形时，则AD与BC之间的距离为或；故答案为：或．19．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（2，3），B（3，0），C（m，n）其中m＞0，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为（5，3）或（1，﹣3）．【解答】解：①当四边形OACB是平行四边形时，OC交AB于E．则AE＝EB，OE＝EC．∵点A（2，3），B（3，0），∴E（，），∴C（5，3），②当四边形OABC′是平行四边形时，OB交AC′于F，则OF＝FB，F A＝FC′，∵B（3，0），∴F（，0），∴＝，＝0，∴m＝1，n＝﹣3，∴C（1，﹣3），故答案为（5，3）或（1，﹣3）．20．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有3次．【解答】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣t，此时方程t＝0，此时不符合题意；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t，解得：t＝4.8；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t，解得：t＝8；④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t，解得：t＝9.6；⑤点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣48）＝12﹣t，解得：t＝16，此时P点走的路程为16＞AD，此时不符合题意．∴共3次．故答案为：3．三．解答题（共8小题）21．如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF＝AD．【解答】证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形DEAF是平行四边形，∵∠CAB＝90°，∴四边形DEAF是矩形，∴EF＝AD．22．如图，证明定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．已知：点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．求证：DE∥BC，DE＝BC．【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点∴BD＝EC∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点∴FG∥BD，GF＝FH∥EC，FH＝∴FG＝FH；（2）证明：由（1）FG∥BD又∵∠A＝90°∴FG⊥AC∵FH∥EC∴FG⊥FH；（3）解：延长FG交AC于点K，∵FG∥BD，∠A＝80°∴∠FKC＝∠A＝80°∵FH∥EC∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°24．证明：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．已知：如图，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线，AF、DE交于点O．求证：OA＝OF，OD＝OE．证明：连接DF、EF，∵D、F分别是AB、BC的中点，∴DF∥AC，同理可得：EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴OA＝OF，OD＝OE，即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．【解答】求证：OA＝OF，OD＝OE，证明：连接DF、EF，∵D、F分别是AB、BC的中点，∴DF∥AC，同理可得：EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴OA＝OF，OD＝OE，即三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．25．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：①如图2，多边形A1A2A3A4A5…A n．中，过顶点A1可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A2可以画（n﹣3）条对角线，过顶点A3可以画（n﹣3）条对角线（用含n 的代数式表示）②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？有重复③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？（用含n的代数式表示）【解答】解：故答案：（1）（n﹣3）；（n﹣3）；（n﹣3）（2）有重复（3）26．如图，已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，连接AD．（1）若∠1＝48°，求∠2的度数；（2）求证：AB∥DE．【解答】解：（1）∵六边形ABCDEF的各内角相等，∴一个内角的大小为，∴∠E＝∠F＝∠BAF＝120°．∵∠F AB＝120°，∠1＝48°，∴∠F AD＝∠F AB﹣∠DAB＝120°﹣48°＝72°．∵∠2+∠F AD+∠F+∠E＝360°，∠F＝∠E＝120°，∴∠ADE＝360°﹣∠F AD﹣∠F﹣∠E＝360°﹣72°﹣120°﹣120°＝48°．（2）证明：∵∠1＝120°﹣∠DAF，∠2＝360°﹣120°﹣120°﹣∠DAF＝120°﹣∠DAF，∴∠1＝∠2，∴AB∥DE．27．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，AE⊥BC于点E，F为EA延长线上一点，且BE＝EF，连接CF（1）如图1，若AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，求AF的长度；（2）如图2，若CD⊥CF，求证：AD＝AC+AF．【解答】（1）解：∵AB⊥AC，AE⊥BC，∴∠BAC＝∠AEB＝90°，BC＝＝＝5，由△ABC的面积得：AE＝＝，∴EF＝BE＝＝＝，∴AF＝EF﹣AE＝﹣＝；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，BC∥AD，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠DAF＝90°，∵CD⊥CF，∴∠DCF＝90°，∴∠F＝∠D＝∠B，在△ABE和△CFE中，，∴△ABE≌△CFE（AAS），∴AE＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝AC，∵AD＝BC＝BE+CE＝EF+AE＝AF+2AE，∴AD＝AC+AF．28．△ABC在平面直角坐标系中如图所示，（1）S△ABC＝ 6.5．（2）x轴上是否存在点P，使得S△BCP＝2S△ABC，若不存在，说明理由；若存在，求出P 点的坐标．（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【解答】解：（1）S△ABC＝3×5﹣×2×3﹣×1×5﹣×2×3＝6.5；故答案为：6.5；（2）存在；理由如下：∵S△BCP＝CP×3＝2S△ABC＝2×6.5＝13，∴CP＝，∴OP＝CP+2＝，或OP＝CP﹣2＝，∴点P的坐标为（，0）或（﹣，0）；（3）当以BC为对角线时，点D的坐标为（﹣1，﹣2）；当以AB为对角线时，点D的坐标为（1，8）；当以AC为对角线时，点D坐标为（5，2）；综上所述，点D的坐标为（﹣1，﹣2）或（1，8）或（5，2）。

初中数学鲁教版(五四制)八年级上册第五章 平行四边形本章综合与测试-章节测试习题

章节测试题1.【答题】已知四边形ABCD，有以下四个条件：（1）AB=AD，AB=BC；（2）∠A=∠B，∠C=∠D；（3）AB∥CD，AB=CD；（4）AB∥CD，AD∥BC. 其中能判定四边形ABCD是平行四边形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【分析】【解答】根据平行四边形的判定定理知（1），（2）不符合是平行四边形的条件；（3），（4）满足四边形是平行边形．2.【答题】平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A. 4cm，6cmB. 6cm，8cmC. 8cm，12cmD. 20cm，30cm 【答案】D【分析】【解答】A.∵2+3＜10，不能构成三角形，故此选项错误；B.4+3＜10，不能构成三角形，故此选项错误；C.4+6=10，不能构成三角形，故此选项错误；D.10+10＞15，能构成三角形，故此选项正确．选D．3.【答题】如图所示，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5，则□ABCD的周长为（）A. 11B. 13C. 16D. 22【答案】D【分析】【解答】∵□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5.∵AE=EB，OE=3，∴BC=2OE=6.∴□ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（5+6）=22．4.【答题】如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，，且AC：BD=2：3，那么AC的长为（）A. B. C. 3 D. 4【答案】D【分析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.∵AC：BD=2：3，∴OA：OB=2：3．设OA=2m，BO=3m.AC⊥BD，∴OB2=AB2+OA2，即9m2=5+4m2，解得.∵m＞0，∴m=1．∴AC=2OA=4．5.【答题】如图，在□ABCD中，AB=3，AD=5，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为（）A. 3B. 2.5C. 2D. 1.5【答案】C【分析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5.∴∠E=∠ECD.∵CE平分∠BCD，∴∠BCE=∠ECD.∴∠E=∠BCE.∴BE=BC=5.∴AE=BE-AB=5-3=26.【答题】如果一个正多边形内角和等于1080°，那么这个正多边形的每一个外角等于（）A. 45°B. 60°C. 120°D. 135°【答案】A【分析】【解答】7.【答题】如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为点E，，AC=2，BD=4，则AE的长为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】【解答】AC=2，BD=4，四边形ABCD是平行四边形，∴.∵，∴.∴∠BAC=90°.∵在Rt△BAC 中，，，∴.∴．8.【答题】如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是（）A. ∠A=∠1+∠2B. 3∠A=2∠1+∠2C. 2∠A=∠1+∠2D. 3∠A=2（∠1+∠2）【答案】C【分析】【解答】由题意可知∠AED+∠ADE=180°-∠A，∠B+∠C=180°-∠A.∵∠AED+∠ADE+∠1+2+∠B+∠C=360°，∴360°-2∠A+∠1+∠2=360°∴2∠A=∠1+∠2．9.【答题】如图，在△ABC中，BD，CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F，G分别是OB，OC的中点，连接AO．若AO=3cm，BC=4cm，则四边形DEFG的周长是（）A. 7cmB. 9cmC. 12cmD. 14cm【答案】A【分析】【解答】10.【答题】如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，M，N，P分别是AD，BC，BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，则∠NMP的度数为（）A. 50°B. 25°C. 15°D. 20【答案】B【分析】【解答】11.【答题】把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，请问这个多边形原来的边数为（）A. 9B. 10C. 11D. 以上都有可能【答案】D【分析】【解答】12.【答题】如图，△ABC的面积是12，D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是（）A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6【答案】A【分析】【解答】∵D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CF是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，△AEF的面积△ABE的面积△ABD的面权△ABC的面积.同理可得△AEG的面积，△BCE的面积△ABC的面积=6.又∵FG是△BCE的中位线，∴△ECG的面积△BCE的面积∴△AFG的面积是．13.【答题】如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD'E 处，AD'与CE交于点F．若∠B=52°，∠DAE=20°，则∠FED'的大小为______°．【答案】36【分析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∠D=∠B=52°.由折叠的性质得，.∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，.∴．14.【答题】如图，在□ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB 和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是______．【答案】24【分析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD.∴∠DAB+∠CBA=180°.又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，∴在△APB 中，.∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB.∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA.∴∠DAP=∠DPA.∴△ADP是等腰三角形．∴AD=DP=5.同理可得PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10.在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴.∴△APB的周长=6+8+10=24.故答案为24．15.【答题】已知：在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF 分别交AD于点E，交BC于点F，S△AOE=3，S△BOF=5，则□ABCD的面积是______．【答案】32【分析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，又∵AO=CO，在△AOE与△COF中，，∴△AOE≌△COF.∴△COF的面积为3.∵S△BOF=5，∴△BOC的面积为8.∵△BOC的面积口ABCD的面积．∴□ABCD的面积=4×8=32．16.【答题】把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1=52°，∠2=18°，则∠3=______°．【答案】32【分析】【解答】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是，则.故答案为32°17.【答题】如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=______厘米．【答案】3【分析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.又∵AC+BD=24厘米，∵OA+OB=12cm.∵△OAB的周长是18厘米，∵AB=6cm.∵E，F分别是线段AO，BO的中点，EF是△OAB的中位线．∴．18.【答题】如图所示，x的值为______°．【答案】55【分析】【解答】如图，∠1=180-∠BAD=180-105=75°，∠2=180—∠ABC=180-60=120°根据多边形外角和定理可得∠1+∠2+2x+x=360，即75+120+2x+x=360.解得x=55°．19.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，E为AC的中点，∠A=30°，AB=12，则DE的长度是______．【答案】3【分析】【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=12，.∵D为AB的中点，E为AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴．20.【答题】一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是______．【答案】14【分析】【解答】根据题意，得（n-2）·180=360°×2+180°.解得n=7.则这个多边形的边数是7，七边形的对角线条数为．。

鲁教版(五四学制)八年级上册《第5章平行四边形》单元测试卷含答案解析

八年级数学上册《第5章平行四边形》单元测试卷（河南省濮阳六中）一、选择题（2’×12=24’）1．以下平行四边形的性质错误的是( )A．对边平行 B．对角相等C．对边相等 D．对角线互相垂直2．在平行四边形ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是( )A．105°B．115°C．125°D．65°3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB∥CD，AD=BC B．AB=AD，CB=CD C．AB=CD，AD=BC D．∠B=∠C，∠A=∠D4．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°，则∠ABC、∠CAB的度数分别为( )A．28°，120°B．120°，28° C．32°，120° D．120°，32°5．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是( )A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°6．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )A．7个B．8个C．9个D．11个7．若▱ABCD的周长为28cm，△ABC的周长为17cm，则AC的长为( )A．11cm B．5.5cm C．4cm D．3cm8．在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=( )A．110°B．30°C．50°D．70°9．关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( )A．①②③④B．①③④ C．①②D．③④10．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )A．1：2：3：4 B．3：4：4：3 C．3：3：4：4 D．3：4：3：411．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为( )A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜1612．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB．A．3个B．4个C．1个D．2个二、填空题（3’×8=24’）13．一组对边平行且相等的四边形一定是__________形．14．已知平行四边形的周长是100cm，AB：BC=4：1，则AB的长是__________cm．15．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是__________．16．▱ABCD的周长为36cm，AB=8cm，则BC=__________cm；当∠B=60°时，AD、BC间的距离AE=__________cm，▱ABCD的面积S▱ABCD=__________cm2．17．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B=__________度，∠CAD=__________度．18．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为__________．19．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是__________四边形．20．如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为__________．三、解答题：（共72分）21．如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由．22．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积．23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB．求证：OE∥BC．24．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN且BM=DN．25．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=CF．26．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．27．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．鲁教五四新版八年级数学上册《第5章平行四边形》单元测试卷（河南省濮阳六中）一、选择题（2’×12=24’）1．以下平行四边形的性质错误的是( )A．对边平行 B．对角相等C．对边相等 D．对角线互相垂直【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的概念（有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）和平行四边形的性质进行判断．【解答】解：A、平行四边形的对边相互平行，故本选项不符合题意；B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；C、平行四边形的对边相等，故本选项不符合题意；D、平行四边形的对角线相互平分，但不一定互相垂直，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．2．在平行四边形ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是( )A．105°B．115°C．125°D．65°【考点】平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线性质推出∠A+∠D=180°，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠D+∠A=180°，∵∠A=65°，∴∠D=115°．故选B．【点评】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，关键是推出∠A+∠D=180°，题目比较典型，难度不大．3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AB∥CD，AD=BC B．AB=AD，CB=CD C．AB=CD，AD=BC D．∠B=∠C，∠A=∠D【考点】平行四边形的判定．【专题】推理填空题．【分析】平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．【解答】解：A、根据AD∥CD，AD=BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；B、根据AB=AD，BC=CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；C、根据AB=CD，AD=BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；D、根据∠B=∠C，∠A=∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．4．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°，则∠ABC、∠CAB的度数分别为( )A．28°，120°B．120°，28° C．32°，120° D．120°，32°【考点】平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易得∠B=∠D，∠BAD+∠D=180°．即可求得∠ABC、∠CAB的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，AB∥CD，∴∠BAD+∠D=180°，∵∠D=120°，∠CAD=32°，∴∠ABC=∠D=120°，∠BAD=60°，∴∠CAB=∠BAD﹣∠CAD=60°﹣32°=28°．故选B．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行，对角相等，熟记性质是解题的关键．5．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是( )A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180° C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质可知，A、B、C正确，因为平行四边形的两组对角分别相等，所以∠2+∠4=180°不一定正确，只有当四边形是矩形时才正确．【解答】解：由▱ABCD的性质及图形可知：A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确；B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确；C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确；D、根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确；故选D．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．6．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )A．7个B．8个C．9个D．11个【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据平行四边形的定义即可求解．【解答】解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边DEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF和ABCD都是平行四边形，共9个．故选C．【点评】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．7．若▱ABCD的周长为28cm，△ABC的周长为17cm，则AC的长为( )A．11cm B．5.5cm C．4cm D．3cm【考点】平行四边形的性质．【专题】计算题．【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=17，继而求出AC的长．【解答】解：如图：∵▱ABCD的周长是28cm，∴AB+BC=14cm．∵△ABC的周长是17cm，∴AC=17﹣（AB+AC）=3cm．故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．8．在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=( )A．110°B．30°C．50°D．70°【考点】平行四边形的性质．【分析】要求∠E+∠F，只需求∠ADE，而∠ADE=∠A与∠B互补，所以可以求出∠A，进而求解问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠ADE=180°﹣∠B=70°∵∠E+∠F=∠ADE∴∠E+∠F=70°故选D．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．9．关于四边形ABCD：①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( )A．①②③④B．①③④ C．①②D．③④【考点】平行四边形的判定．【分析】由平行四边形的判定定理得出①和②能判定四边形ABCD是平行四边形；③和④不一定能判定四边形ABCD是平行四边形；即可得出结论．【解答】解：∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，∴①能判定；∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴②能判定；∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形，∴③不一定能；∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，∴④不一定能；以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有①②；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，不能进行推理论证是解决问题的关键．10．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是( )A．1：2：3：4 B．3：4：4：3 C．3：3：4：4 D．3：4：3：4【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的基本性质：平行四边形的两组对角分别相等即可判断．【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等．可知选D．故选D．【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．11．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为( )A．6＜AC＜10 B．6＜AC＜16 C．10＜AC＜16 D．4＜AC＜16【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．【分析】根据平行四边形周长公式求得AB、BC的长度，然后由三角形的三边关系来求对角线AC的取值范围．【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，∴2（AB+BC）=2（BC+BC）=32，∴BC=10，∴AB=6，∴BC﹣AB＜AC＜BC+AB，即4＜AC＜16．故选D．【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形三边关系．三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．12．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是( )①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB．A．3个B．4个C．1个D．2个【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】①由DE⊥AC，BF⊥AC，可得DE∥BF，又由四边形ABCD是平行四边形，利用△ACD与△ACB的面积相等，即可判定DE=BF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFDE是平行四边形；②由四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易证得△ADE≌△CBF，则可判定DE∥BF，DE=BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形；③由四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，F是CD的中点，易证得DF∥BE，DF=BE，继而证得四边形BFDE是平行四边形；④无法确定DF=BE，只能证得DF∥BE，故不能判定四边形BFDE是平行四边形．【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ACD=S△ABC，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴DE∥BF，S△ACD=AC•DE，S△ABC=AC•BF，∴DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC=∠ABC，AD=CB，AD∥BC，∴∠DAE=∠BCF，∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE=BF，∠AED=∠BFC，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形；③证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是AB的中点，F是CD的中点，∴DF=CD，BE=AB，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形；④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵E是AB上一点，EF⊥AB，无法判定DF=BE，∴四边形BFDE不一定是平行四边形．故选A．【点评】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键．二、填空题（3’×8=24’）13．一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形．【考点】平行四边形的判定．【分析】直接利用平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出答案即可．【解答】解：一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形．故答案为：平行四边．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．14．已知平行四边形的周长是100cm，AB：BC=4：1，则AB的长是40cm．【考点】平行四边形的性质．【专题】方程思想．【分析】如图：因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得AB=CD，AD=BC，又因为平行四边形的周长等于100 cm，AB：BC=4：1，所以可求得这个平行四边形较长的边长的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵平行四边形的周长等于100 cm，∴AB+CD+AD+BC=100cm，∴AB+BC=50cm，∵AB：BC=4：1，∴BC=10cm，AB=40cm，∴AB的长是40cm．故答案为40．【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．15．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是120°，60°．【考点】平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质，在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，设一个角x，由四边形的内角和定理得到方程2x+4x=360°，解得x=60°，则它的邻角是2x=120°【解答】解：设一个角x，则另一个角为2x．∵平行四边形∴2（x+2x）=360°，即x=60°，则2x=120°∴这个平行四边形中两邻角的度数分别是120°，60°．故答案为120°，60°．【点评】本题考查平行四边形的性质以及四边形的内角和定理．运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．16．▱ABCD的周长为36cm，AB=8cm，则BC=10cm；当∠B=60°时，AD、BC间的距离AE=4cm，▱ABCD的面积S▱ABCD=40cm2．【考点】平行四边形的性质．【分析】首先根据平行四边形对边相等的性质可求得BC的长度，又由∠B=60°，即可求得AD与BC的距离AE的长，继而求得S□ABCD的值．【解答】解：∵▱ABCD的周长为36cm，AB=8cm，∴CD=AB=8cm，AD=BC=10cm，∵∠B=60°，AE⊥BC，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=4（cm），∴AE==4（cm），∴S□ABCD=BC•AE=10×4=40（cm2）．故答案为：10；4；40．【点评】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握平行四边形的性质是关键．17．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B=60度，∠CAD=30度．【考点】平行四边形的性质．【分析】利用锐角三角关系得出∠B=60°，再利用平行四边形的性质得出∠DAC的度数．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，∴cosB==，∴∠B=60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BAD=120°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=30°．故答案为：60，30．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及锐角三角关系，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．18．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为10．【考点】三角形中位线定理．【专题】计算题．【分析】根据三角形的中位线定理，可得△ABC的各边长为△DEF的各边长的2倍，从而得出△DEF的周长即可．【解答】解：∵点D、E、F分别是△A BC三边的中点，∴AB=2EF，AC=2DE，BC=2DF，∵AB+AC+BC=20，∴DE+EF+DF=10，故答案为10．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，是基础知识要识记．19．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是平行四边形．【考点】因式分解的应用．【分析】首先配方可得（a﹣b）2+（c﹣d）2=0，再根据偶次幂的非负性可得a﹣b=0，c﹣d=0，进而得到a=b，c=d，然后再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案．【解答】解：∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd∴a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣2bd=0∴（a﹣b）2+（c﹣d）2=0解得：a=b，c=d，∴这个四边形的形状是平行四边形．故答案为：平行．【点评】此题主要考查了因式分解的运用，平行四边形的判定，关键是掌握完全平方公式和平行四边形的判定方法．20．如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为7．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】压轴题．【分析】由平行四边形可得对边相等，由折叠，可得AE=EF，AB=BF，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得FC的长，本题可解．【解答】解：设DF=x，FC=y，∵▱ABCD，∴AD=BC，CD=AB，∵BE为折痕，∴AE=EF，AB=BF，∵△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，∴BC=AD=8﹣x，AB=CD=x+y，∴y+x+y+8﹣x=22，解得y=7．故答案为7．【点评】本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；解决翻折问题的关键是找着相等的边，利用等量关系列出方程求得答案．三、解答题：（共72分）21．如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可以证明四边形AECF是平行四边形，从而得到AE=CF．【解答】解：AE=CF．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，即AF∥EC．又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．∴AE=CF．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．22．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积．【考点】平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可求得BC=AD=8，又由AC⊥BC，利用勾股定理即可求得AC的长，然后由平行四边形的对角线互相平分，求得OA的长，继而求得平行四边形ABCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=8，∵AB=10，AC⊥BC，∴AC==6，∴OA=AC=3，∴S=BC•AC=8×6=48．平行四边形ABCD【点评】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．注意平行四边形的对边相等，对角线互相平分．23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB．求证：OE∥BC．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得AO=CO，然后判断出OE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，∵AE=EB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥BC．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的性质，熟记性质与定理是解题的关键．24．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，M、N分别是OA、OC的中点，求证：BM∥DN且BM=DN．【考点】平行四边形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，即可得到OA=OC，OB=OD，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证得四边形BMDN是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得证．【解答】证明：连接DM，BN．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵M、N分别是OA、OC的中点，∴OM=ON又∵OB=OD∴四边形BMDN是平行四边形，∴BM∥DN且BM=DN．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，正确证得四边形BMDN是平行四边形是解题的关键．25．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：AF=CF．【考点】三角形中位线定理．【专题】证明题．【分析】过D作DG∥AC，可证明△AEF≌△CEG，可得AF=DG，由三角形中位线定理可得DG=CF，可证得结论．【解答】证明：如图，过D作DG∥AC，则∠EAF=∠EDG，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC中点，∴G为BF中点，∴DG=CF，∵E为AD中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEG中，，∴△AEF≌△DEG（ASA），∴DG=AF，∴AF=CF．【点评】本题主要考查三角形中位线定理，作辅助线构造三角形中位线找到GD和AF、CF 的关系是解题的关键．26．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【解答】证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF．又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）．（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．平行四边形的判定，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．27．如图所示：在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．【考点】平行四边形的判定．【专题】动点型．【分析】（1）已知条件为：AP∥BQ，只需让AP=BQ即可证得四边形ABQP为平行四边形（2）已知条件为：AP∥BQ，只需让PD=QC即可证得四边形PDCQ为平行四边形【解答】解：（1）x秒后，四边形ABQP为平行四边形．则2x=18﹣3x，解得x=3.6．3.6秒钟后，四边形ABQP为平行四边形，此时四边形ABQP的周长是3.6×2×2+12×2=38.4cm．（2）y秒后，四边形PDCQ为平行四边形．10﹣2y=3y，解得y=2秒钟后，四边形PDCQ 为平行四边形，此时四边形PDCQ的周长是6×2+15×2=42cm．【点评】本题用到的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．平行四边形的两组对边分别相等．。

鲁教版(五四制)八年级数学上册 第5章 平行四边形 单元测试卷(含解析)

鲁教版（五四制）八年级数学上册第5章平行四边形单元测试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知四边形ABCD，有以下四个条件：(1)AB=AD，AB=BC；(2)∠A=∠B，∠C=∠D；(3)AB//CD，AB=CD；(4)AB//CD，AD//BC.其中能判定四边形ABCD是平行四边形的个数为()．A. 1B. 2C. 3D. 42.平行四边形一边的长是10cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是()A. 4cm，6cmB. 6cm，8cmC. 8cm，12cmD. 20cm，30cm3.如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，OE=3，AB=5，▱ABCD的周长为()A. 11B. 13C. 16D. 224.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB=√5，且AC：BD=2：3，那么AC的长为()A. 2√5B. √5C. 3D. 45.如图，在▱ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是()A. 4B. 3C. 3.5D. 26.一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于()A. 60°B. 72°C. 90°D. 108°7.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=4，BD=10，AC=6，则▱ABCD的面积()A. 20B. 24C. 40D. 608.如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()A. ∠A=∠1+∠2B. 2∠A=∠1+∠2C. 3∠A=2∠1+∠2D. 3∠A=2(∠1+∠2)9.如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD得△DEF，如果△ABC的周长是24cm，那么△DEF的周长是()A. 6cmB. 12cmC. 18cmD. 48cm10.在△ABC中，D、E分别是BC、AC中点，BF平分∠ABC，交DE于点F.AB=8，BC=6，则EF的长为()．A. 1B. 2C. 3D. 411.将一个多边形按图所示减掉一个角，所得多边形的内角和为1800°，那么原多边形的边数是()A. 10B. 11C. 12D. 1312.如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是()A. 4.5B. 5C. 5.5D. 6二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）13.如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B=52∘，∠DAE=20∘，则∠FED′的大小为．14.如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=5，AP=8，则△APB的周长是______．15.已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线EF分别交AD于E、BC于F，S△AOE=3，S△BOF=5，则▱ABCD的面积是______ ．16.将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=50°，∠2=40°，那么∠3的度数等于__________．17.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为______ ．18.如图，∠1+∠2+∠3+∠4的值为______ ．19.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，D，E分别是AC，BC的中点，则DE的长等于______．20.一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则这个多边形共有对角线________条．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）21.已知：如图，E，F是▱ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，求证：DF=BE，DF//BE．22.如图，在四边形ABCD中，E是BC上一点，AE交BD于点O，AD=BD，∠ADB=∠EDC，DE=DC．(1)求证：△ADE≌△BDC；(2)若∠AEB=36°，求∠EDC；(3)若OB=OE，求证：四边形ABCD是平行四边形．23.如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F，EG//BC，交AD于点G．(1)找出图中的一对相似三角形，并说明理由；(2)求AG与DF的比．24.如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG．(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若M为EF的中点，OM=3，∠OBC和∠OCB互余，求BC的长度．25.如图所示，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=24cm，BC=30cm，点P从点A向点D以1cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【解答】解：根据平行四边形的判定定理知，(1)，(2)不符合是平行四边形的条件；(3)，(4)满足四边形是平行四边形．故选B．2.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．【解答】解：A．∵2+3<10，不能够成三角形，故此选项错误；B.4+3<10，不能够成三角形，故此选项错误；C.4+6=10，不能构成三角形，故此选项错误；D.10+10>15，能够成三角形，故此选项正确；故选D．3.【答案】D【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质和三角形中位线的性质．注意证得OE是△ABC的中位线是关键．由▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB，易得OE是△ABC的中位线，即可求得BC的长，继而求得答案．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，AD=BC，AB=CD=5，∵AE=EB，OE=3，∴OE是△ABC的中位线，BC=2OE=6，∴▱ABCD的周长=2×(AB+BC)=2×(5+6)=22．故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理．由平行四边形ABCD得OA=OC，OB=OD，即AC=2OA，BD=2OB，又因AC：BD=2：3，所以OA：OB=2：3，设OA=2x，OB=3x，因AC⊥AB，所以在Rt△ABO中，由勾股定理得(2x)2+(√5)2=(3x)2，解得x=1，由AC=2AO=4x，即可得出答案．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴OA=OC，OB=OD，∴AC=2OA，BD=2OB，∵AC：BD=2：3，∴OA：OB=2：3，设OA=2x，OB=3x，∵AC⊥AB，∴∠BAC=90°，在Rt△ABO中，由勾股定理得(2x)2+(√5)2=(3x)2，解得：x=1，∴AC=2AO=4x=4．故选D．5.【答案】B【解析】【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质，注意证得△ABE是等腰三角形是解此题的关键．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC=7，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=4，∴DE=AD−AE=3．故选B．6.【答案】B【解析】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180(n−2)=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°5=72°．故选：B．首先设此多边形为n边形，根据题意得：180(n−2)=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180°，外角和等于360°．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，平行四边形面积的求法.首先根据平行四边形的性质求出OA、OB的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABO是直角三角形，再利用平行四边形的面积公式进行解答，即可求解.解题的关键掌握判定三角形是直角三角形的思路与方法．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，AC=6，BD=10，∴OA=12AC=12×6=3，OB=12BD=12×10=5，又∵AB=4，∴AB2+OA2=42+32=25，OB2=52=25，∴AB2+OA2=OB2，∴△OAB是直角三角形，∠BAO=90°，∴AC⊥AB，∴平行四边形ABCD的面积为：AB·AC=4×6=24．故选B．8.【答案】B【解析】【分析】此题考查了图形的轴对称，轴对称变换，三角形内角和定理根据翻折不变性，由已知条件，根据三角形内角和定理得到∠ADE+∠AED=∠B+∠C=180∘−∠A，即可求解．【解答】解：如下图，∵把△ABC纸片沿着DE折叠，点A落在四边形BCED内部，∴∠1+∠2=180°−∠ADA′+180°−∠AEA′=180°−2∠ADE+180°−2∠AED=360°−2(∠ADE+∠AED)=360°−2(180°−∠A)=2∠A.故选B.9.【答案】B【解析】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、BC的中点，∴DE=12AC，同理，EF=12AB，DF=12BC，∴C△DEF=DE+EF+DF=12AC+12BC+12AB=12(AC+BC+AC)=12×24=12cm．故选：B．利用三角形的中位线定理可以得到：DE=12AC，EF=12AB，DF=12BC，则△DEF的周长是△ABC的周长的一半，据此即可求解．本题考查了三角形的中位线定理，正确根据三角形中位线定理证得：△DEF的周长是△ABC的周长的一半是关键．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．利用中位线定理，得到DE//AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长，易求EF的长度．【解答】解：∵在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AB=8，∴DE//AB，DE=12AB=4．∴∠EDC=∠ABC．∵BF平分∠ABC，∴∠EDC=2∠FBD．∵在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD，∴∠DBF=∠DFB，∴FD=BD=12BC=12×6=3．∴FE=DE−DF=4−3=1．故选：A．11.【答案】B【解析】解：设多边形截去一个角的边数为n，则(n−2)⋅180°=1800°，解得n=12，∵截去一个角后边上增加1，∴原来多边形的边数是11，故选：B．先根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．12.【答案】A【解析】【分析】首先根据中线的性质，可得△AEF 的面积=12×△ABE 的面积=14×△ABD 的面积=18×△ABC 的面积=32和△AEG 的面积=32，然后根据三角形中位线的性质可得△EFG 的面积=14×△BCE 的面积=32，进而得到△AFG 的面积．本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是掌握：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．【解答】解：∵点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，∴AD 是△ABC 的中线，BE 是△ABD 的中线，CE 是△ACD 的中线，AF 是△ABE 的中线，AG 是△ACE 的中线，∴△AEF 的面积=12×△ABE 的面积=14×△ABD 的面积=18×△ABC 的面积=32， 同理可得△AEG 的面积=32，△BCE 的面积=12×△ABC 的面积=6，又∵FG 是△BCE 的中位线，∴△EFG 的面积=14×△BCE 的面积=32，∴△AFG 的面积是32×3=92=4.5，故选A ． 13.【答案】36∘【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF 和∠AED′是解决问题的关键．由平行四边形的性质得出∠D =∠B =52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D =52°，∠EAD′=∠DAE =20°，由三角形的外角性质求出∠AEF =72°，与三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∠B =52∘，∴∠D =52∘，∵∠DAE=20∘，∴∠AED=180∘−20∘−52∘=108∘，∠AEC=20∘+52∘=72∘．由折叠的性质可得∠AED′=∠AED=108∘，∴∠FED′=∠AED′−∠AEC=108∘−72∘=36∘．14.【答案】24【解析】【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．根据平行四边形性质得出AD//CB，AB//CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5，BC=PC=5，得出DC=10=AB，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//CB，AB//CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，(∠DAB+∠CBA)=90°，∴∠PAB+∠PBA=12在△APB中，∠APB=180°−(∠PAB+∠PBA)=90°；∵AP平分∠DAB，∴∠DAP=∠PAB，∵AB//CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴△ADP是等腰三角形，∴AD=DP=5，同理：PC=CB=5，即AB=DC=DP+PC=10，在Rt△APB中，AB=10，AP=8，∴BP=√102−82=6，∴△APB的周长=6+8+10=24；故答案为24．15.【答案】32【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定，解答本题需要掌握两点：①平行四边形的对边相等且平行，②全等三角形的对应边、对应角分别相等．利用平行四边形的性质可证明△AOE≌△COF，所以可得△COF的面积为3，进而可得△BOC的面积为8，又因为△BOC的面积=14▱ABCD的面积，进而可得问题答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EAC=∠BCA，∠AEF=∠CFE，又∵AO=CO，在△AOE与△COF中，{∠EAC=∠BCA ∠AEF=∠CFE AO=CO，∴△AOE≌△COF，∴△COF的面积为3，∵S△BOF=5，∴△BOC的面积为8，∵△BOC的面积=14▱ABCD的面积，∴▱ABCD的面积=4×8=32，故答案为32．16.【答案】12º【解析】【分析】本题考查了多边形的外角和定理，正确理解∠3等于360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2是关键．利用360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠1和∠2即可求得．【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，(5−2)×180°=108°，正五边形的内角的度数是：15则∠3=360°−60°−90°−108°−∠1−∠2=12°.故答案是12°.17.【答案】3cm【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24cm，∴OA+OB=12cm，∵△OAB的周长是18cm，∴AB=6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，AB=3cm．∴EF=12故答案为：3cm．根据AC+BD=24厘米可得出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．本题主要考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分和三角形中位线的判定定理及性质．18.【答案】360°【解析】解：∵四边形的内角和是360°，∴∠4+∠1+∠2+∠3=360°．故答案为：360°．根据四边形的内角和解答即可．此题考查四边形的内角和问题，关键是根据四边形的内角和是360°来解答．19.【答案】2【解析】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=4，∵D，E分别是AC，BC的中点，AB=2，∴DE=12故答案为：2．根据直角三角形的性质得到AB=2BC=4，根据三角形中位线定理计算即可．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．20.【答案】14【解析】【分析】本题主要考查了多边形的对角线，多边形的内角和与外角和，设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列出方程，求出多边形的边数，再求解即可．根据n边形对角线的总条数为n(n−3)2【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得(n−2)×180°=2×360°+180°，解得n=7．=14．则该多边形的对角线的条数为7×(7−3)2故答案为14．21.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，∴∠BAE=∠DCF，又∵AF=CE，∴AF −EF =CE −EF ，即AE =CF ，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴DF =BE ，∠AEB =∠CFD ，∴∠BEC =∠DFA ，∴DF//BE ．【解析】本题主要考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定及性质，能够运用其性质解决一些简单的证明问题，解题的关键是能够证得△ABE≌△CDF.可由题中条件求证△ABE≌△CDF ，得出DF =BE ，∠AEB =∠CFD ，即∠BEC =∠DFA ，进而可求证DF 与BE 平行．22.【答案】(1)证明：∵∠ADB =∠EDC ，∴∠ADE =∠BDC ，在△ADE 和△BDC 中，{AD =BD∠ADE =∠BDC DE =DC, ∴△ADE≌△BDC(SAS)；(2)解：∵△ADE≌△BDC ，∴∠AED =∠C ，∵∠AEB =36°，∴∠AED =∠DEC =∠C =12(180°−36°)=72°， ∴∠EDC =180°−2×72°=36°；(3)证明：∵OB =OE ，△ADE≌△BDC ，∴∠OBE =∠OEB ，∠DAE =∠OBE ，∴∠OEB =∠DAE ，∴AD//BC ，∴∠ADB =∠OBE ，∴∠ADB =∠DAE ，∴OA =OD ，∴AE =BD ，∵AD =BD ，∴AE =AD ，∵△ADE≌△BDC ，∴AE =BC ，∴AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【解析】(1)证出∠ADE=∠BDC，由SAS证明△ADE≌△BDC即可；(2)由全等三角形的性质得出∠AED=∠C，求出∠AED=∠DEC=∠C=72°，再由三角形内角和定理即可得出结果；(3)由等腰三角形的性质得出∠OBE=∠OEB，得出∠OEB=∠DAE，证出AD//BC，再证出AD=BC，即可得出结论．本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．23.【答案】解：(1)△EGF∽△BDF，理由如下：∵GE//BC，∴∠GEF=∠DBF．又∵∠GFE=∠DFB，∴△EGF∽△BDF．(2)∵AD、BE是中线，EG//BC，∴GE为△ADC的中位线，BD=DC，∴GE=12DC=12BD，AG=DG．∵△EGF∽△BDF，∴GFDF =GEDB=12，∴DF=22+1DG=23DG，∴AGDF =DG23DG=32．【解析】(1)由GE//BC，可得出∠GEF=∠DBF，再结合对顶角相等即可得出△EGF∽△BDF；(2)根据中位线定理可得出GE=12BD、AG=DG，再利用相似三角形的性质即可得出DF=23DG，进而即可得出AGDF=32．本题考查了相似三角形的判定与性质、中线的定义以及中位线定理，解题的关键是：(1)由GE//BC利用相似三角形的判定定理证出△EGF∽△BDF；(2)根据相似三角形的性质结合中位线定理找出DF=23DG、AG=DG．24.【答案】解：(1)∵D、G分别是AB、AC的中点，BC，∴DG//BC，DG=12∵E、F分别是OB、OC的中点，BC，∴EF//BC，EF=12∴DG=EF，DG//EF，∴四边形DEFG是平行四边形；(2)∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M为EF的中点，OM=3，∴EF=2OM=6，由(1)可知BC=2EF=12．【解析】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形．BC，(1)根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EF//BC且EF=12BC，从而得到DE=EF，DG//EF，再利用一组对边平行且相等的四DG//BC且DG=12边形是平行四边形证明即可；(2)先判断出∠BOC=90°，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可．25.【答案】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形，根据题意可得：AP=tcm，PD=(24−t)cm，CQ=2tcm，BQ=(30−2t)cm，①若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ，∴t=30−2t，解得：t=10，∴10s后四边形ABQP是平行四边形；②若四边形PQCD是平行四边形，则PD=CQ，∴24−t=2t，解得：t=8，∴8s后四边形PQCD是平行四边形；综上所述：当P，Q两点同时出发，8秒或10秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形．【解析】此题主要考查了平行四边形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．①若四边形ABQP是平行四边形，则AP=BQ，进而求出t的值；②若四边形PQCD 是平行四边形，则PD=CQ，进而求出t的值．第21页，共21页。

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鲁教版八年级数学第五章平行四边形单元综合培优练习题（附答案）一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．34．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．255．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为，α＝度．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成个三角形，……；则n边形可以分割成个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成个三角形．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C 和∠D的度数．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：参考答案:一．选择题（共5小题）1．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（）A．36°B．42°C．45°D．48°【解答】解：如图，梅花扇的内角的度数是：360°÷3＝120°，180°﹣120°＝60°，正五边形的每一个内角＝（5﹣2）•180°÷5＝108°，∴梅花图案中的五角星的五个锐角均为：108°﹣60°＝48°．故选：D．2．如图，将一张面积为14的大三角形纸片沿着虚线剪成三张小三角形纸片与一张平行四边形纸片．根据图中标示的长度，求平行四边形纸片的面积为何？（）A．B．C．D．【解答】解：如图，设△ADE，△BDF，△CEG，平行四边形DEGF的面积分别为S1，S2，S3和S，过点D作DH∥EC，则由DFGE为平行四边形，易得四边形DHCE也为平行四边形，从而△DFH≌△EGC，∴S△DFH＝S3，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，DE＝3，BC＝7，∴＝，∵S△ABC＝14，∴S1＝×14，∴S△BDH：S＝（×4）：3＝2：3，∴S△BDH＝S，∴+S＝14﹣×14，∴S＝．故选：D．3．把六张大小形状完全相同的小平行四边形卡片（如图）放在一个底面为平行四边形的盒子底部，两种放置方法如图2、图3所示，其中3中的重叠部分是平行四边形EFGH，若EH＝2GH，且图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3．则AB﹣AD的值为（）A．0.5B．1C．1.5D．3【解答】解：设AB＝a，BC＝b，图1中的平行四边形的边长是x、y（y＞x），GH＝c，则EH＝2c，∵图2中阴影部分的周长比图3中阴影部分的周长大3，∴（2b+2a）﹣[2（b﹣2c）+2（a﹣c）]＝3，解得：c＝0.5，即GH＝0.5，EH＝1，所以AB﹣AD＝（y﹣+3x）﹣（3x﹣1+y）＝0.5，故选：A．4．如图：在4×4的正方形（每个小正方形的边长均为1）网格中，以A为顶点，其他三个顶点都在格点（网格的交点）上，且面积为2的平行四边形共有（）个．A．10B．12C．14D．25【解答】解：一顶点在BC上，两顶点在MG上的有四边形CEOQ、CEIM、CEGI、AGIB、AOQB、AMIF、AFOQ、ABMI、AFGI共9个，一顶点在BC上，两顶点在PH上的有四边形AHVC、AVNC、APZE、AZNE、AEVN、ACZN 共6个，还有四边形AQNO、AIYL、ATXI、AHLI、APTI、AGHI、AMPI、AZRN、AVR′N、AOKN，共10个，9+6+10＝25个，故选：D．5．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列五个条件：①∠ADB＝∠CBD②DE＝BF③∠EDF＝∠EBF④∠DEB＝∠DFB⑤AE＝CF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：⑤可以判断四边形DEBF是平行四边形．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形DEBF是平行四边形，故选：D．二．填空题（共10小题）6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，点M是AC边的中点，点N是BC边上的任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝4，MH＝5，HC′＝1，HN＝3﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（3﹣x）2＝x2+12，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝3，MC＝MC′＝4，∴GC′＝，∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，∴∠HNC'＝∠CGC'M，∴△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．∴C'M＞GM，此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为：或．7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AC＞AB＞2，点D，E分别在边AB，AC上，且BD＝CE ＝2，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为．【解答】解：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH 于J．∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∵BN＝CN，∠DNB＝∠KNC，∵△DNB≌△HNC（ASA），∴BD＝CH，DN＝NH，∵BD＝EC＝2，∴EC＝CH＝2，∵∠A+∠ACH＝180°，∠A＝60°，∴∠ECH＝120°，∵CJ⊥EH，∴EJ＝JH＝EC•cos30°＝，∴EH＝2EJ＝2，∵DM＝ME，DN＝NH，∴MN＝EH＝．故答案为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点M为边AC的中点，点N为边BC上任意一点，若点C关于直线MN的对称点C′恰好落在△ABC的中位线上，则CN的长为或．【解答】解：取BC、AB的中点H、G，连接MH、HG、MG．如图1中，当点C′落在MH上时，设NC＝NC′＝x，由题意可知：MC＝MC′＝2，MH＝，HC′＝，HN＝﹣x，在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，∴（﹣x）2＝x2+（）2，解得x＝．如图2中，当点C′落在GH上时，设NC＝NC′＝x，在Rt△GMC′中，MG＝CH＝，MC＝MC′＝2，∴GC′＝，∵△HNC′∽△GC′M，∴＝，∴＝，∴x＝．如图3中，当点C′落在直线GM上时，易证四边形MCNC′是正方形，可得CN＝CM ＝2．此时点C′在中位线GM的延长线上，不符合题意舍弃．综上所述，满足条件的线段CN的长为或．故答案为为或．9．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为 1.5．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠GAF＝∠CAF，∵CG⊥AD，∴∠AFG＝∠AFC，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG＝AC＝7，GF＝CF，则BG＝AB﹣AG＝10﹣7＝3．又∵BE＝CE，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1.5．故答案是：1.5．10．如图，顺次连结△ABC三边的中点D，E，F得到的三角形面积为S1，顺次连结△CEF 三边的中点M，G，H得到的三角形面积为S2，顺次连结△CGH三边的中点得到的三角形面积为S3．设△ABC的面积为S，则S1+S2+S3＝S．【解答】解：∵D，E，F是△ABC三边的中点，∴DF∥BC，DE∥AC，EF∥AB，∴△ADF∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CEF∽△CBA且相似比为，∴＝＝＝，∵△ABC的面积为S，∴S△ADF＝S△BDE＝S△CEF＝S，∴S1＝S﹣S△ADF﹣S△BDE﹣S△CEF＝S﹣S﹣S﹣S＝S．同理可得，S2＝S△CEF＝×S＝S，S3＝S△CGH＝××S＝S，∴S1+S2+S3＝S+S+S＝S．故答案为：S．11．请你分别从下列多边形的同一顶点出发画对角线：想一想：依此规律可以把十边形分成8个三角形．【解答】解：∵四边形可分割成4﹣2＝2个三角形；五边形可分割成5﹣2＝3个三角形；六边形可分割成6﹣2＝4个三角形；七边形可分割成7﹣2＝5个三角形∴10边形可分割成10﹣2＝8个三角形．12．一个多边形的一个外角为α，且该多边形的内角和与α的和等于840°，则这个多边形的边数为六，α＝120度．【解答】解：∵840÷180＝4…120，∴这个多边形的边数为：4+2＝6，α＝120°，故答案为：六；120．13．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，BC＝2AB＝8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG，BG，则S△BEG＝14．【解答】解：如图，取BC中点H，连接AH，连接EC交AD于N，作EM⊥CD交CD 的延长线于M．∵BC＝2AB，BH＝CH，∠ABC＝60°，∴BA＝BH＝CH，∴△ABH是等边三角形，∴HA＝HB＝HC，∴∠BAC＝90°，∴∠ACB＝30°，∵EC⊥BC，∠BCD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠ACE＝60°，∠ECM＝30°，∵BC＝2AB＝8，∴CD＝4，CN＝EN＝2，∴EC＝4，EM＝2，∴S△BEG＝S△BCE+S ECG﹣S△BCG＝×8×4+2×2﹣S平行四边形ABCD＝16+2﹣4＝14．故答案为4．14．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，对角线AC、BD相交于点E，E为BD中点，且AD＝BD，AB＝2，∠BAC＝30°，则DC＝．【解答】解：如图，在EA上取一点K，使得EK＝CE，连接DK，BK，延长DK交AB 于H．∵DE＝EB，CE＝EK，∴四边形BCDK是平行四边形，∴CD＝BK，DK∥BC，∵BC⊥AB，∴DH⊥AB，∵DA＝DB，∴AH＝HB＝1，∴KA＝KB＝CD，在Rt△AKH中，AK＝AH÷cos30°＝，∴CD＝，故答案为．15．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线BD，AC相交于点O，有以下四个结论：①OA＝OC；②△ABC≌△BCD；③△ABO与△CDO面积相等；④此梯形的对称轴只有一条．请你把正确结论的序号填写在横线上：②③④．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB＝CD∴AC＝DB∵BC＝BC，AC＝DB，AB＝DC∴△ABC≌△BCD∴∠BAC＝∠CDB∵∠AOB＝∠DOC，AB＝DC∴△ABO≌△CDO∴OA＝OD≠OC∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD∴由等腰梯形的性质得出其对称轴只有一条所以①不正确，②③④正确．三．解答题（共8小题）16．李明同学要证明命题“三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半”，他已经画出了图形，写出已知和求证，并请你帮助他写出证明过程．已知：如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC证明：【解答】证明：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，∵E是AC中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴AD＝CF，∠ADE＝∠F∴BD∥CF，∵AD＝BD，∴BD＝CF∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥CB，DE＝BC．17．叙述三角形的中位线定理，并结合图形进行证明．定理：证明：【解答】解：定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半．已知：△ABC中，点E、F分别是AB、AC的中点，求证：EF＝AB，EF∥AB，证明：如图，延长EF到D，使FD＝EF，连接CD，∵点F是AC的中点，∴AF＝CF，在△AEF和△CDF中，，∴△AEF≌△CDF（SAS），∴AE＝CD，∠D＝∠AEF，∴AB∥CD，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴BE＝CD，∴BECD，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥BC且DE＝BC．18．如图，△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D．（1）求证：DM＝（AC﹣AB）；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．【解答】解：（1）证明：延长BD交AC于E，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ADE＝90°，∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠EAD，在△BAD和△EAD中，，∴△BAD≌△EAD（SAS），∴AB＝AE，BD＝DE，∵M为BC的中点，∴DM＝CE＝（AC﹣AB）；（2）∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，AD＝6，BD＝8，∴由勾股定理得：AE＝AB＝＝10，∵DM＝2，DM＝CE，∴CE＝4，∴AC＝10+4＝14．19．如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB，E、F分别为CA、CB上一点，CE＝CF，M、N分别为AF、BE的中点．求证：AE＝MN．【解答】证明：如图，取AB的中点G，连接MG、NG，∵M、N分别为AF、BE的中点，∴NG＝AE，NG∥AE，MG＝BF，MG∥BF，∵CE＝CF，∠C＝90°，∴AE＝BF，∠MGN＝∠C＝90°，∴MG＝NG，∴△MNG是等腰直角三角形，∴NG＝MN，∴AE＝2NG＝NG＝×2MN＝MN，即AE＝MN．20．（1）从多边形的一个顶点出发，分别连接这个多边形的其余各顶点，则可以把这个多边形分成若干个三角形．若多边形是一个五边形，则可以分成3个三角形；若多边形是一个六边形，则可以分割成4个三角形，……；则n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为2018．（3）若在n边形的一条边上取一点P（不是顶点），再将点P与n边形的各顶点连接起来，则可将n边形分割成（n﹣1）个三角形．【解答】解：（1）从一个五边形的同一顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个五边形分成5﹣2＝3个三角形．若是一个六边形，可以分割成6﹣2＝4个三角形，n边形可以分割成（n﹣2）个三角形．故答案为：3，4，（n﹣2）；（2）如果从一个多边形的一个顶点出发，分别连接其余各顶点，将这个多边形分割成了2016个三角形，那么此多边形的边数为：2016+2＝2018；故答案为：2018；（3）若点P取在多边形的一条边上（不是顶点），在将P与n边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成（n﹣1）个三角形．故答案为：（n﹣1）．21．如图，在六边形ABCDEF中，AF∥CD，AB∥DE，且∠A＝120°，∠B＝80°，求∠C和∠D的度数．【解答】解：连接AC．∵AF∥CD，∴∠ACD＝180°﹣∠CAF，又∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝180°﹣∠CAF+180°﹣∠B﹣∠BAC＝360°﹣120°﹣80°＝160°．连接BD．∵AB∥DE，∴∠BDE＝180°﹣∠ABD．又∵∠BDC＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD，∴∠CDE＝∠BDC+∠BDE＝180°﹣∠ABD+180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝360°﹣80°﹣160°＝120°．22．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥BC交AD于点E，连接BE．（1）如图1，点F是BE上一点，连接CF，若∠ECD＝30°，BC＝BF＝4，DC＝2，求EF的长；（2）如图2，若BC＝EC，延长BE交CD延长线于点G，以CG为斜边作等腰直角△CHG，连接HE，求证：HE＝HG．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，CE⊥BC，∴CE⊥AD，又∵∠ECD＝30°，∴Rt△CDE中，DE＝CD＝1，∴CE＝＝＝，又∵在Rt△BCE中，BC＝4，∴BE＝＝＝，∴EF＝BE﹣BF＝﹣4；（2）如图2所示，过C作CM⊥CG，交GH的延长线于M，连接EM，∵△CGH是等腰直角三角形，∠MCG＝90°，∴∠CGH＝∠CMG＝45°，∴CG＝CM，∵∠BCE＝90°，∠MCG＝90°，∴∠BCG＝∠ECM，又∵BC＝EC，∴△BCG≌△ECM（SAS），∴∠CEM＝∠CBG＝45°，又∵∠BEC＝45°，∴∠MEG＝90°，又∵CM＝CG，CH平分∠MCG，∴H是MG的中点，∴Rt△MEG中，EH＝MG＝HG．23．证明定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：【解答】证明：连接AC，如图所示：∵AB∥CD，∴∠1＝∠2，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SAS），∴∠3＝∠4，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．。

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