函数与映射的概念

《必修1》 第二章 函数
一、函数与映射的概念 1、函数定义：
设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数. 记作：y=f(x),x A ∈
自变量x 的取值范围（即数集A ）叫做函数的定义域 自变量x 取某一特殊值a 时，对应的y 的值叫做函数在x=a 处的函数值，记作： y=f(a)，或a
x y
=
所有函数值构成的集合{A x x f y y ∈=),(}叫做函数的值域.
【注】函数y=f(x)也常记作：函数f(x)或函数f.
2. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则. ,
从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素. 3. 区间的概念
4.映射的定义：设非空集合A ，B ，若按照某种对应法则f ，对集合A 中任一元素x ，在集合B 中有唯一元素y 与之对应，则称从A 到B 的对应为映射，记为f ：A →B ，x →f(x)
其中，x 叫做原象，y 叫做在映射f 下的象，即有y=f(x). 若A 中不同元素的象也不同，且B 中每一个元素都有原象与之对应, 则称从A 到B 的映射为一一映射。

若B 中任何元素都有原象，则称映射为满射.
【注】(1) 三要素：A → B
(2) A 中元素的任意性，B 中元素的唯一性
(3)可以“多对一”，不可以“一对多”. 5. 函数与映射的关系
函数就是定义在非空数集A ，B 上的映射，此时称数集A 为定义域，象集C ={f (x )|x ∈A }为值域。

B C ⊆。

因此函数是一种特殊的映射。

练习1：函数的概念
1、（07北京理14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出
f
则[(1)]f g 的值为
；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是
．
2、设M ={x |0≤x ≤2}，N ={y |0≤y ≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M 到集合N 的函数关
系的有 （ ）
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
注： 同样的抛物线由于开口方向不同，有的是函数，而有的就不是。

3、（07山东文13）设函数1()f x =1122
23()(),x f x x f x x -==，，则
123(((2007)))f f f = ．
4、函数y =f (x )的图像与直线x =2的公共点个数有_______个
练习2：具体函数的定义域：
2、（08
全国）函数y 的定义域为（ ） A ．{}|0x x ≥
B ．{}|1x x ≥
C ．{}{}|10x x ≥
D ．{}|01x x ≤≤
5、函数1
3
2)(2-+-=
x x x x f 的定义域是 .
抽象函数的定义域：
1、 若函数)(x f y =的定义域为[-1,1]，求函数)41(+=x f y )4
1
(-⋅x f 的定义域。

2、已知：f (2x +1)的定义域是[-1,1]，则f (x )的定义域是________
f (3-2x ) 的定义域是________
3、（08北京模拟）若函数422
1
2+-=x x y 的定义域、值域都是闭区间[2，2b ]，
则b 的值为 。

4、（江西08）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =-的定义
域是
A ．[0,1]
B ．[0,1)
C ． [0,1)(1,4]
D ．(0,1)
练习3：映射的概念
1、若对应关系f :：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，则下面说法错误的是（ ） (A ).A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素
(B ).A 中两个元素在B 中的对应元素必定不同
(C).B 中两个元素若在A 中有对应元素，则它们必定不同 (D).B 中的元素在A 中可能没有对应元素
2、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是( ) （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
3、设(x , y )在映射f 下的象是)2
,2(y
x y x -+，则(-5,2)在f 下的象为______， (-5,2)在f 下的原象为_______
4、集合M ={a ，b }，N ={－1，0，1}，映射f :：M →N. （1）映射f :有多少个？
（2）若M ={a ，b ，c }，且映射f :满足f （a ）+f （b ）+f （c ）=0，那么映射f 有多少个？
5.（2010年海淀二模）给定集合{1,2,3,...,}n A n =，映射:n n f A A →满足： ①当,,n i j A i j ∈≠时，()()f i f j ≠；
②任取,n m A ∈若2m ≥，则有m {(1),(2),..,()}f f f m ∈. 则称映射f ：n n A A →是一个“优映射”.
例如：用表1表示的映射f ：33A A →是一个“优映射”. 表1
已知表2表示的映射f ： 44A A →是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）
2、解析式：求法⎪⎩
⎪
⎨⎧列函数方程法换元法待定系数法
例题1、求解析式 \\ 待定系数法\\
1、设二次函数y =f (x )的最大值为13，且f (3)=f (-1)=5，求：f (x )的解析式 解：设n m x a x f +-=2)()(，则a <0，列式得f (x )=13)1(22+--x
注：二次函数的三种常见形式⎪⎩
⎪
⎨⎧--=+-=++=)
)(x x )(x x (a y )()()(2122双根式顶点式一般式n m x a y c bx ax y
\\ 换元法与配凑法 \\
2、已知：2
2
11)11(x
x x x f +-=+-，则f (x )=_________________ 解：换元法令t =
x x +-11反解x 代入可得： 2
12)(x
x
x f +=
\\ 函数方程法 \\
3、已知：f (x )满足x x
f x f 3)1
(2)(=+，求：f (x )的解析式
解：以x 1代替原式中的x 然后两式联立可得：x x
x f -=2
)(
注：此法常出现的三种情况（有互为关系）：
x x
f x f 3)1
(2)(=+
x x f x f 3)(2)(=-+ x x
f x f 3)1
(2)(=-+
练习：
1、设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f .
2、设33221
)1(,1)1(x
x x x g x x x x f +=++=+，求)]([x g f .
5、已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
6、已知,11)1(22x x
x x x f ++=+求)(x f . 8、若x x
x f x f +=-+1)1
(
)( 求)(x f . 9、设)0,,()1
()()(b a ，c b a cx x
bf x af x f ±≠=+且均不为其中满足，求)(x f 。

11、若g (x )=2x -1，f (g (x ))=1
22
x x 求：f (3)的值。