黑龙江省牡丹江市海林一中2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018年黑龙江省双鸭山一中高二(上)期中数学试卷及参考答案(文科)
2． （5 分）命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（
A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2=x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2=x 3． （5 分）抛物线 y=﹣ x2 的准线方程是（ A． B．y=2 C． D．y=﹣2 ）
4． （5 分）已知命题：p：对任意 x∈R，总有|x|≥0，q：x=1 是方程 x+2=0 的根； 则下列命题为真命题的是（ ） D．p∧q
10． （5 分）已知双曲线
=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为 F（2，0） ，且 ）
双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3 相切，则双曲线的方程为（ A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣y2=1 D．x2﹣ =1
11． （5 分） 已知 x， y 满足约束条件
， 若 z=ax+y 的最大值为 4， 则 a= （
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16． （5 分）若点 O 和点 F 分别为椭圆 任意一点，则 • 的最小值为
+ ．
=1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演 算步骤． ） 17． （10 分）设直线 l 经过 2x﹣3y+2=0 和 3x﹣4y﹣2=0 的交点，且与两坐标轴围 成等腰直角三角形，求直线 l 的方程． 18． （12 分）若抛物线 y2=﹣2px（p＞0）上有一点 M，其横坐标为﹣9，它到焦 点的距离为 10，求抛物线方程和点 M 的坐标． 19． （12 分）已知圆 C： （x﹣1）2+（y﹣2）2=2，过点 P（2，﹣1）作圆 C 的切线， 切点为 A，B． （1）求直线 PA，PB 的方程； （2）求过 P 点的圆 C 的切线长． 20． （12 分）设命题 p：实数 x 满足 x2﹣4ax+3a2＜0，其中 a＞0；命题 q：实数 x 满足 x2﹣5x+6≤0． （1）若 a=1，且 p 与 q 均是真命题，求实数 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 成立的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围． 21． （12 分）已知椭圆 上． （ I）求 C 的方程； （ II）直线 l 不经过原点 O，且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 中点为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值． 22． （12 分）如图，设抛物线 y2=2px（p＞0）的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|﹣1， （Ⅰ）求 p 的值； （Ⅱ）若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直 的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围．
2017-2018年黑龙江省牡丹江一中高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0}，B={x|x≥5}，则A∩（∁R B）=（）A．[5，6]B．[2，5]C．[2，5）D．（﹣∞，5）2．（5分）若复数z是纯虚数，且（1﹣i）z=a+i（a∈R，i是虚数单位），则a=（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．（5分）若，则f'（1）等于（）A．﹣1B．2C．3D．64．（5分）过曲线y=x3+1上一点（﹣1，0），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（）A．y=3x+3B．y=+3C．y=﹣﹣D．y=﹣3x﹣3 5．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≤0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）6．（5分）下列函数是奇函数且在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=e x﹣e﹣x B．y=﹣tanx C．D．y=x3﹣x 7．（5分）下列命题中正确是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题C．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R．均有x2+x+1＞0D．x＞1是x2＞1的必要不充分条件8．（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．[0，）∪[，π）C．D．9．（5分）若曲线y=的一条切线经过点（8，3），则此切线的斜率为（）A．B．C．或D．或10．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），且在[0，1]上是减函数，则有（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，）C．（0，）D．[，e]12．（5分）已知f（x）、g（x）都是定义域为R的连续函数．已知：g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立；②∀x∈R都有g（x）=g（﹣x）．f（x）满足：①∀x∈R都有；②当时，f（x）=x3﹣3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）对恒成立，则a的取值范围是（）A．R B．[0，1]C．[﹣，﹣+]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a=．14．（5分）直线L：y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则实数a=．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣x2，则当x＞0时，f（x）=．16．（5分）已知函数f（x），任取两个不相等的正数x1，x2，总有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，对于任意的x＞0，总有f[f（x）﹣lnx]=1，若g（x）=f'（x）+f（x）﹣m2+m有两个不同的零点，则正实数m的取值范围为．三、解答题（12+12+12+12+12+10共70分）17．（10分）已知函数．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的值域．18．（12分）已知：命题P：函数f（x）=x2﹣2mx+4，（m∈R）在[2，+∞）上单调递增，命题Q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求的实数m的取值范围．19．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（2t，t+1）上单调递减，求实数t的取值范围．20．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点满足|PF|=3．（1）求抛物线的方程；（2）过点（﹣1，0）的直线l交抛物线于点AB，当|FA|=3|FB|时，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）当a=﹣1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的导函数f'（x）的两个零点，当a∈（﹣∞，﹣3）时，求证：．22．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣4sinθ=0．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|．2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣8x+12≤0}，B={x|x≥5}，则A∩（∁R B）=（）A．[5，6]B．[2，5]C．[2，5）D．（﹣∞，5）【解答】解：∵集合A={x|x2﹣8x+12≤0}={x|2≤x≤6}，B={x|x≥5}，∴C R B={x|x＜5}，∴A∩（∁R B）={x|2≤x＜5}=[2，5）．故选：C．2．（5分）若复数z是纯虚数，且（1﹣i）z=a+i（a∈R，i是虚数单位），则a=（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：∵复数z是纯虚数，∴设z=bi，则由（1﹣i）z=a+i得（1﹣i）bi=a+i，即bi+b=a+i，得a=b，且b=1，即a=1，故选：C．3．（5分）若，则f'（1）等于（）A．﹣1B．2C．3D．6【解答】解：∵，∴，因此，f′（1）=4+2=6，故选：D．4．（5分）过曲线y=x3+1上一点（﹣1，0），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（）A．y=3x+3B．y=+3C．y=﹣﹣D．y=﹣3x﹣3【解答】解：由线y=x3+1，得y′=3x2，=3，∴y′|x=﹣1则过曲线y=x3+1上一点（﹣1，0）且与该点处的切线垂直的直线的斜率为，∴直线方程为y﹣0=（x+1），即y=﹣﹣．故选：C．5．（5分）对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣1）f′（x）≤0，则必有（）A．f（0）+f（2）＜2f（1）B．f（0）+f（2）≤2f（1）C．f（0）+f（2）≥2f（1）D．f（0）+f（2）＞2f（1）【解答】解：∵（x﹣1）f′（x）≤0，∴x＞1时，f′（x）≤0；x＜1时，f′（x）≥0，∴f（x）在（1，+∞）为减函数；在（﹣∞，1）上为增函数，∴f（0）≤f（1）f（2）≤f（1）∴f（0）+f（2）≤2f（1），故选：B．6．（5分）下列函数是奇函数且在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=e x﹣e﹣x B．y=﹣tanx C．D．y=x3﹣x【解答】解：对于A选项，设f（x）=e x﹣e﹣x，则f（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣f（x），该函数为奇函数，由于函数为增函数，函数为减函数，所以，函数y=e x﹣e﹣x在区间（0，+∞）上为增函数，A选项不符合；对于B选项，函数y=﹣tanx为奇函数，但该函数在区间（0，+∞）上不单调，B选项不符合；对于C选项，函数为奇函数，且在区间（0，+∞）上为减函数，C选项符合；对于D选项，设g（x）=x3﹣x，则g（﹣x）=（﹣x）3﹣（﹣x）=﹣x3+x=﹣g（x），该函数为奇函数，且g（0）=g（1）=0，则该函数在区间（0，+∞）上一定不是减函数，D选项不符合．故选：C．7．（5分）下列命题中正确是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．若“p且q”为假命题，则p，q均为假命题C．若命题p：∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0，则￢p：∀x∈R．均有x2+x+1＞0D．x＞1是x2＞1的必要不充分条件【解答】解：A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确，B．若“p且q”为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故B错误，C．难题p是特称命题，则￢p：∀x∈R．均有x2+x+1≥0，故C错误，D．由x2＞1得x＞1或x＜﹣1，即x＞1是x2＞1的充分不必要条件，故D错误，故选：A．8．（5分）设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．B．[0，）∪[，π）C．D．【解答】解：y′=3x2﹣≥﹣，tanα≥﹣，∴α∈[0，）∪[，π），故选：B．9．（5分）若曲线y=的一条切线经过点（8，3），则此切线的斜率为（）A．B．C．或D．或【解答】解：y=的导数为y′=，设切点为（m ，n ），可得 n=， 且=，解方程可得m=4或m=16， 即有切线的斜率为=或=，故选：C ．10．（5分）定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x+2）=﹣f （x ），且在[0，1]上是减函数，则有（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：f （x+2）=﹣f （x ）； ∴；奇函数f （x ）在[0，1]上是减函数； ∴f （x ）在[﹣1，1]上为减函数； 又； ∴； ∴．故选：C ．11．（5分）已知函数f （x ）=，则方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范围是（ ）（注：e 为自然对数的底数）A ．（0，）B ．[，）C ．（0，）D ．[，e]【解答】解：∵方程f （x ）=ax 恰有两个不同实数根， ∴y=f （x ）与y=ax 有2个交点， 又∵a 表示直线y=ax 的斜率，x＞1时，y=f（x）=lnx，∴y′=；设切点为（x0，y0），则k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），又切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，如图所示；综上，实数a的取值范围是[，）．故选：B．12．（5分）已知f（x）、g（x）都是定义域为R的连续函数．已知：g（x）满足：①当x＞0时，g′（x）＞0恒成立；②∀x∈R都有g（x）=g（﹣x）．f（x）满足：①∀x∈R都有；②当时，f（x）=x3﹣3x．若关于x的不等式g[f（x）]≤g（a2﹣a+2）对恒成立，则a的取值范围是（）A．R B．[0，1]C．[﹣，﹣+]D．（﹣∞，0]∪[1，+∞）【解答】解：∵函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立且对任意x∈R都有g（x）=g（﹣x），∴函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），∴g[f（x）]≤g（a2﹣a+2），x∈[﹣﹣2，﹣2]恒成立⇔|f（x）|≤|a2﹣a+2|恒成立，只要使得定义域内|f（x）|max≤|a2﹣a+2|min，由f（x+）=f（x﹣），得f（x+2）=f（x），即函数f（x）的周期T=2，∵x∈[﹣，]时，f（x）=x3﹣3x，求导得：f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），该函数过点（﹣，0），（0，0），（，0），且函数在x=﹣1处取得极大值f（﹣1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=﹣2，即函数f（x）在R上的最大值为2，∵x∈[﹣﹣2，﹣2]，函数的周期是2，∴当x∈[﹣﹣2，﹣2]时，函数f（x）的最大值为2，由2≤|a2﹣a+2|，即2≤a2﹣a+2，则a2﹣a≥0，解得：a≥1或a≤0．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a=﹣3．【解答】解：当a＞0时，f（a）=2a，由f（a）+f（1）=0，可得2a+2=0，解得a=﹣1（舍去）．当a＜0时，f（a）=a+1，由f（a）+f（1）=0，可得a+1+2=0，解得a=﹣3，故答案为﹣3．14．（5分）直线L：y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则实数a=2．【解答】解：设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即==1，∴x0+a=1，∴y0=0，x0=﹣1，∴a=2．故答案为：2．15．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x﹣x2，则当x＞0时，f（x）=x2+x．【解答】解：根据题意，设x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）=（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣x﹣x2，又由函数为奇函数，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x﹣x2）=x2+x，故答案为：x2+x．16．（5分）已知函数f（x），任取两个不相等的正数x1，x2，总有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，对于任意的x＞0，总有f[f（x）﹣lnx]=1，若g（x）=f'（x）+f（x）﹣m2+m有两个不同的零点，则正实数m的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：∵任取两个不相等的正数x1，x2，总有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）为增函数，∵对于任意的x＞0，总有f[f（x）﹣lnx]=1，∴f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k，∴f（k）=1，∵f（k）=lnk+k，∴lnk+k=1，解得k=1，∴f（x）=lnx+1∴f′（x）=，∴g（x）=lnx+1+﹣m2+m，∴g′（x）=﹣=当0＜x＜1，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x＞1，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）min=g（1）=2﹣m2+m，∵g（x）=f'（x）+f（x）﹣m2+m有两个不同的零点，∴g（x）min=2﹣m2+m＜0，解得m＞2或m＜﹣1（舍去），故m的取值范围为（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．三、解答题（12+12+12+12+12+10共70分）17．（10分）已知函数．（1）求f（x）的单调区间；（2）当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的值域．【解答】解：（1）由题意得f′（x）=x2﹣x=x（x﹣1），x∈R，令f′（x）＞0，则x＜0或x＞1；令f′（x）＜0，则0＜x＜1；∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，0]和（1，+∞），单调减区间为（0，1]；（2）由（1）得f（x）在[﹣1，0]和（0，2]上单调递增，在（0，1]上单调递减，∵，f（0）=0，，，∴f（x）的值域为．18．（12分）已知：命题P：函数f（x）=x2﹣2mx+4，（m∈R）在[2，+∞）上单调递增，命题Q：关于x的不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求的实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2mx+4，（m∈R）的对称轴为x=m，故P为真时，m≤2…（2分）Q为真时，△=[4（m﹣2）]2﹣4×4×1＜0⇒1＜m＜3…（4分）∵“P∨Q”为真命题，p∧Q为假命题∴P与Q一真一假．…（6分）若P真Q假，则m≤2，且m≤1或m≥3，∴m≤1…（8分）若P假Q真，则m＞2，且1＜m＜3，∴2＜m＜3…（10分）综上，实数m的取值范围是m≤1或2＜m＜3…（12分）19．（12分）已知函数．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（2t，t+1）上单调递减，求实数t的取值范围．【解答】解：，1和4分别是f'（x）=0的两根，根据单调性可知极大值为，极小值为f（4）=8ln2﹣12．（2）由上得，由f'（x）＜0⇒1＜x＜4．故f（x）的单调递减区间为（1，4），∴，解得t的取值范围：．20．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点满足|PF|=3．（1）求抛物线的方程；（2）过点（﹣1，0）的直线l交抛物线于点AB，当|FA|=3|FB|时，求直线l的方程．【解答】解：（1）由条件易知在抛物线y2=2px上，∴|PF|=p+=3，故p=2，∴抛物线的方程为y2=4x．（2）易知直线l斜率必存在，设l：y=k（x+1），联立方程组，消元得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，△=（2k2﹣4）2﹣4k4=16﹣16k2＞0，故k2＜1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=1，∵|FA|=3|FB|，∴x1+1=3（x2+1），解方程组，得，即k=±．∴直线l的方程为：y=±（x+1）．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2+ax，a∈R．（1）当a=﹣1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）若x1，x2（x1＜x2）是函数f（x）的导函数f'（x）的两个零点，当a∈（﹣∞，﹣3）时，求证：．【解答】解：（1）根据题意，当a=﹣1时，f（x）=lnx+x2﹣x，（x＞0），则f（1）=ln1+1﹣1=0，则f′（x）=+2x﹣1，则f′（1）=1+2﹣1=2，所以曲线f（x）在x=1处切线的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0，（2）根据题意，f′（x）=）=+2x+a=，（x＞0），因为x1、x2是导函数f（x）的两个零点，所以x1、x2是方程2x2+ax+1=0的两根，令g（x）=2x2+ax+1，又由a∈（﹣∞，﹣3），故g（）=＜0，g（1）=3+a＜0，所以x1∈（0，），x2∈（1，+∞），且ax1=﹣2x12﹣1，ax2=﹣2x22﹣1，f（x1）﹣f（x2）=ln+（x12﹣x22）+（ax1﹣ax2）=﹣（x12﹣x22）+ln，又由x1x2=，所以x1=，则f（x1）﹣f（x2）=x12﹣﹣ln（2x22），x1∈（1，+∞），令t=2x22∈（2，+∞），则h（t）=﹣﹣lnt．因为h′（t）=+﹣=＞0，所以h（t）在区间（2，+∞）内单调递增，所以h（t）＞h（2）=﹣ln2，即：．22．（12分）已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣4sinθ=0．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（1，0），倾斜角为．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|．【解答】解：（1）由ρ﹣4sinθ=0得ρ=4sinθ⇒ρ2=4ρsinθ⇒x2+y2﹣4y=0⇒x2+（y﹣2）2=4，即曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=4，∵直线l过点M（1，0），倾斜角为．∴直线l的参数方程为，（t是参数），（2）设A，B对应的参数分别为t1，t2，把直线的参数方程代入曲线方程得（1﹣t）2+（t﹣2）2=4，整理得t2﹣3t+1=0，则t1+t2=3，t1t2=1，∴t1＞0，t2＞0，则|MA|+|MB|=|t1|+|t2|=|t1|+|t2|=3．。
2017-2018学年黑龙江省大庆一中高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年黑龙江省大庆一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数＝（）A．﹣i B．i C．1﹣i D．1+i2．（5分）设集合P＝{（x，y）|}，Q＝{（x，y）|x﹣2y+1＝0}，记A＝P∩Q，则集合A中元素的个数有（）A．3个B．1个C．2个D．4个3．（5分）设y＝﹣2e x sin x，则y′等于（）A．﹣2e x cos x B．﹣2e x sin xC．2e x sin x D．﹣2e x（sin x+cos x）4．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3x C．y＝4x D．y＝5x5．（5分）《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺．若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：由表中数据，求得线性回归方程为＝0.65x+，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为（）分钟．A．101B．102C．103D．1047．（5分）F1，F2是椭圆＝1（a＞b＞0）的两焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．（5分）F是抛物线y2＝2x的焦点，以F为端点的射线与抛物线相交于A，与抛物线的准线相交于B，若，则＝（）A．1B．C．2D．9．（5分）已知命题p1：函数y＝2x﹣2﹣x在R为增函数，p2：函数y＝2x+2﹣x在R为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命题是（）A．q1，q3B．q2，q3C．q1，q4D．q2，q410．（5分）“x＜m﹣1或x＞m+1”是“x2﹣2x﹣3＞0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围（）A．[0，2]B．（0，2）C．[0，2）D．（0，2]11．（5分）设函数f（x）＝kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围（）A．B．C．D．12．（5分）设e1、e2为焦点在x轴上且具有公共焦点F1、F2的标准椭圆和标准双曲线的离心率，O为坐标原点，P是两曲线的一个公共点，且满足2＝，则的值为（）A．2B．C．D．1二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）大庆一中从高二年级学生中随机捕取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，1OO]加以统计，得到如图所不的频率分布直方图．已知高二年级共有学生1000名，据此估计，该模块测试成绩不低于60分的学生人数为．14．（5分）函数f（x）＝xlnx在x＝e处的切线方程是．（其中e为自然对数的底数）15．（5分）已知点M（﹣3，2）是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|﹣|QF|的最小值是．16．（5分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线x2＝4y上，抛物线的焦点F满足++＝，则k AB+k AC+k BC＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c且a sin B+b cos A＝0．（1）求角A的大小；（2）若a＝，b＝1，求△ABC的面积．18．（12分）在正项等比数列{a n}中，公比q∈（0，1），且a3＝2，a1a3+2a2a4+a3a5＝25．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，当取最大值时，求n 的值．19．（12分）我市电视台为了解市民对我市举办的春节文艺晚会的关注情况，组织了一次抽样调查，下面是调查中的其中一个方面：按类型用分层抽样的方法抽取50份问卷，其中属“看直播”的问卷有27份．（1）求m的值；（2）为了解市民为什么不看的一些理由，用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2份，求至少有1份是女性问卷的概率；（3）现从（2）所确定的总体中每次都抽取1份，取后不放回，直到确定出所有女性问卷为止，记所要抽取的次数为ξ，求ξ的分布列及期望值．20．（12分）已知点M（1，y）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，M点到抛物线C的焦点F 的距离为2，直线l：与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；（Ⅲ）若直线l与y轴负半轴相交，求△AOB面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x（a，b∈R），在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0（1）求函数f（x）的解析式；（2）若过点M（2，m）（m≠2）），可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的取值范围；（3）若对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤c，求实数c的最小值．22．（12分）如图，在平面平直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，在顶点为A（﹣2，0），过点A作斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k（k≠0）都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）若过点O作直线l的平行线交椭圆C于点M，求的最小值．2017-2018学年黑龙江省大庆一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：＝＝．故选：D．2．【解答】解：由于直线x﹣2y+1＝0与双曲线的渐近线y＝x平行，所以直线与双曲线只有一个交点，故选：B．3．【解答】解：∵y＝﹣2e x sin x，∴y′＝（﹣2e x）′sin x+（﹣2e x）•（sin x）′＝﹣2e x sin x﹣2e x cos x＝﹣2e x（sin x+cos x）．故选：D．4．【解答】解：输入x＝0，y＝1，n＝1，则x＝0，y＝1，不满足x2+y2≥36，故n＝2，则x＝，y＝2，不满足x2+y2≥36，故n＝3，则x＝，y＝6，满足x2+y2≥36，故y＝4x，故选：C．5．【解答】解：设水深为x尺，则（x+1）2＝x2+52，解得x＝12，即水深12尺．又葭长13尺，则所求概率，故选：B．6．【解答】解：由题意可得：，线性回归方程过样本中心点，则：，解方程可得：，则回归方程为：，根据回归方程，预测加工70个零件所花费的时间为分钟．故选：B．7．【解答】解：由题意，延长F2P，与F1Q的延长线交于M点，连接QO，∵PQ是∠F1PF2的外角平分线，且PQ⊥MF1∴△F1MP中，|PF1|＝|PM|且Q为MF1的中点由三角形中位线定理，得|OQ|＝|MF2|＝（|MP|+|PF2|）∵由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|＝2a，（2a是椭圆的长轴）可得|MP|+|PF2|＝2a，∴|OQ|＝（|MP|+|PF2|）＝a，可得动点Q的轨迹方程为x2+y2＝a2∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆．故选：A．8．【解答】解：由题意，设A的横坐标为m，则由抛物线的定义，可得，∴m＝，∴|F A|＝，|FB|＝3，∴＝|F A||FB|＝，故选：D．9．【解答】解：易知p1是真命题，而对p2：y′＝2x ln2﹣ln2＝ln2（），当x∈[0，+∞）时，，又ln2＞0，所以y′≥0，函数单调递增；同理得当x∈（﹣∞，0）时，函数单调递减，故p2是假命题．由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．故选：C．10．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0得x＞3或x＜﹣1，若x＜m﹣1或x＞m+1是x2﹣2x﹣3＞0的必要不充分条件，则，即0≤m＜2，故选：C．11．【解答】解：f'（x）＝3kx2+6（k﹣1）x，∵函数f（x）＝kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）＝3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k＝0时，成立k＞0时，f'（4）＝48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤k＜0时，f'（4）＝48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤故选：D．12．【解答】解：设椭圆的长半轴是a1，双曲线的实半轴是a2，它们的半焦距是c 并设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m＞n，根据椭圆的和双曲线的定义可得m+n＝2a1，m﹣n＝2a2，解得m＝a1+a2，n＝a1﹣a2，∵2＝，∴PF1⊥PF2，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2∴（a1+a2）2+（a1﹣a2）2＝（2c）2化简可得a12+a22＝2c2∴+＝2∴＝＝＝故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：根据频率分布直方图知，成绩低于60分的频率为（0.005+0.015）×10＝0.20，则成绩不低于60分的学生人数为1000×（1﹣0.2）＝800．故答案为：800．14．【解答】解：求导函数f′（x）＝lnx+1，∴f′（e）＝lne+1＝2∵f（e）＝elne＝e∴曲线f（x）＝xlnx在x＝e处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e），即y＝2x﹣e故答案为：y＝2x﹣e．15．【解答】解：由抛物线定义知|QF|＝点Q到准线的距离，设点Q到准线的垂线交准线与H，即|MQ|﹣|QF|＝|MQ|﹣|QH|，当QM和QH共线时|MQ|﹣|QH|的值最小．由抛物线方程知抛物线准线方程为x＝﹣，点M到准线的距离为3﹣＝．故答案为：．16．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），由抛物线x2＝4y得焦点F坐标为（0，1），所以＝（x1，y1﹣1），＝（x2，y2﹣1），＝（x3，y3﹣1），由++＝，x1+x2+x3＝0，y1+y2+y3＝3∴F为三角形△ABC的重心，∴k AB+k AC+k BC＝0，故答案为：0．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）已知等式a sin B+b cos A＝0，利用正弦定理化简得：sin A sin B+sin B cos A＝0，∵sin B≠0，∴sin A+cos A＝0，即tan A＝﹣1，则A＝；（2）∵a＝，b＝1，cos A＝﹣，∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即2＝1+c2+c，解得：c＝或c＝（舍去），则S△ABC＝bc sin A＝×＝．18．【解答】解：（1）因为a1a3+2a2a4+a3a5＝25，所以，因为{a n}是正项等比数列，所以a2+a4＝5，又因为a3＝2，所以．由于0＜q＜1，所以．…（4分）所以．…（6分）（2）因为，…（8分）所以，…（9分）当n＝7时，，所以n＝6或者n＝7．…（11分）即当取最大值时，n＝6或7．…（12分）19．【解答】解：（1）由分层抽样的性质得：，解得m＝301．…3分（2）用分层抽样的方法从“不看”问卷中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，其中抽取男性135×＝3，女性抽取90×＝2，从中任取2份，基本事件总数n＝，至少有1份是女性问卷的对立事件是两份都是男性问卷，∴至少有1份是女性问卷的概率p＝．…7分（3）由题意ξ的可能取值为2，3，4，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）＝，∴ξ的分布列为：Eξ＝＝．…12分（P对1个给2分）20．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为，由抛物线定义和已知条件可知，解得p＝2，故所求抛物线方程为y2＝4x．（Ⅱ）联立，消x并化简整理得y2+8y﹣8b＝0．依题意应有△＝64+32b＞0，解得b＞﹣2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣8，y1y2＝﹣8b，设圆心Q（x0，y0），则应有．因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r＝|y0|＝4，又．所以，解得．所以，所以圆心为．故所求圆的方程为．（Ⅲ）因为直线l与y轴负半轴相交，所以b＜0，又l与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知b＞﹣2，所以﹣2＜b＜0，直线l：整理得x+2y﹣2b＝0，点O到直线l的距离，所以．令g（b）＝b3+2b2，﹣2＜b＜0，，由上表可得g（b）最大值为．所以当时，△AOB的面积取得最大值．21．【解答】解：（1）f′（x）＝3ax2+2bx﹣3根据题意，得即解得∴f（x）＝x3﹣3x．（2）∵点M（2，m）（m≠2）不在曲线y＝f（x）上，∴设切点为（x0，y0）．则．∵，∴切线的斜率为则，即因为过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y＝f（x）的三条切线，所以方程有三个不同的实数解．即函数g（x）＝2x3﹣6x2+6+m有三个不同的零点．则g′（x）＝6x2﹣12x..令g′（x）＝0，解得x＝0或x＝2．∴即解得﹣6＜m＜2．（3）令f（x）＝3x2﹣3＝0，即3x2﹣3＝0，解得x＝±1．∵f（﹣1）＝2，f（1）＝﹣2，∴当x∈[﹣2，2]时，f （x）max＝2，f（x ）min＝﹣2．则对于区间[﹣2，2]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f （x）min＝4，∴c≥4．∴c的最小值为4．22．【解答】解：（1）由椭圆的左顶点A（﹣2，0），则a＝2，又e＝＝，则c＝，又b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆的标准方程为：；（2）由直线l的方程为y＝k（x+2），由，整理得：（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4＝0，由x＝﹣2是方程的根，由韦达定理可知：x1x2＝，则x2＝，当x2＝，y2＝k（+2）＝，∴D（，），由P为AD的中点，∴P点坐标（，），直线l的方程为y＝k（x+2），令x＝0，得E（0，2k），假设存在顶点Q（m，n），使得OP⊥EQ，则⊥，即•＝0，＝（，），＝（m，n﹣2k），∴×m+×（n﹣2k）＝0即（4m+2）k﹣n＝0恒成立，∴，即，∴顶点Q的坐标为（﹣，0）；（3）由OM∥l，则OM的方程为y＝kx，，则M点横坐标为x＝±，OM∥l，可知＝，＝，＝，＝，＝+≥2，当且仅当＝，即k＝±时，取等号，∴当k＝±时，的最小值为2．。
黑龙江高二高中数学期末考试带答案解析
黑龙江高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.若全集U=，集合A=，集合B=，则等于（ )B. C. D.2.已知，则的表达式为（）B. C. D.3.函数的定义域为（）B. C. D.4.集合，集合Q=，则P与Q的关系是（）P=Q B.P Q C. D.5.已知函数，且，那么等于（）A 10 B.-10 C.-18 D.-266.下列函数中在其定义域内即是增函数又是奇函数的是（）A．B．C．D．7.若向量=(x,3)(x R)则“x=4"是“=5”的（）充分不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知则方程的实数根的个数是（）A．0B．1C．2D．39.已知命题P:,命题Q:若“P且Q"为真命题，则实数的取值范围是（）或 B.或 C. D.10.定义在R上的偶函数在上是增函数，且具有性质：，则该函数（）A．在上是增函数B．在上是增函数在上是减函数C．在上是减函数D．在上是减函数在上是增函数11.设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，其中不正确的是（）12.设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时，且，则不等式的解集（）A．B．C．D．二、填空题1.函数的单调增区间是___________2.偶函数在上是减函数，若，则实数的取值范围是__________3.曲线的切线的倾斜角的取值范围是________4.已知函数在R上可导，函数给出以下四个命题：（1） (2) (3) (4)的图象关于原点对称，其中正确的命题序号有__________三、解答题1.命题P:，命题Q:，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围2.已知集合A=B=(1)若,求实数m的值(2)若A,求实数m取值范围3.已知关于x的二次方程（1）若方程有两根，其中一根在区间内，另一根在区间内，求m的取值范围（2）若方程两根均在区间内，求m的取值范围4.已知是函数的一个极值点，其中(1)求m与n的关系表达式。
黑龙江省牡丹江一中2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A．5 B．C．3 D．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．在复平面内，复数，（i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB的中点，则点C对应的复数为（）A．B．1 C．i D．i4．已知复数z满足（1+i）z=1+i，则|z|=（）A．B．C．D．25．设集合A={x|2x﹣2＜1}，B={x|1﹣x≥0}，则A∩B等于（）A．{x|x≤1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}6．已知∀a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．（a+c）4＞（b+c）4 B．（a﹣b）c2＞0C．a+c≥b﹣cD．7．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（，+∞），则关于x的不等式＞0的解集是（）A．（1，5）B．（1，+∞）C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）8．设变量，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最小值为（）A．1 B．3 C．D．﹣199．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．410．定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为（）A．B． C．D．12．已知函数f（x）=e x﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（）A．a＞e B．x1+x2＞2C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0二、填空题（每小题5分，共20分）13．复数（i为虚数单位）的虚部等于______．14．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=______．15．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是A，不等式x2+x﹣6＜0的解集是B，不等式ax2+bx+2＞0的解集是A∩B，那么a+b=______．16．已知函数f（x）=2e x++ax+1有两个极值，则实数a的取值范围为______．三、解答题（17题10分，其余每题12分，总计70分）17．已知x1=1﹣i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求a，b的值．18．设正有理数x是的一个近似值，令y=1+．（1）若x＞，求证：y＜；（2）求证：y比x更接近于．19．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．22．已知函数f（x）=ax2+1n（x+1）．（Ⅰ）当时a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．2017-2018学年黑龙江省牡丹江一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．已知复数z=2﹣i，则z•的值为（）A．5 B．C．3 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由z求出，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解．【解答】解：由z=2﹣i，得z•=（2﹣i）（2+i）=4﹣i2=5．故选：A．2．已知（a﹣i）2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：∵（a﹣i）2=2i，∴a2﹣1﹣2ai=2i，∴，解得a=﹣1．故选：C．3．在复平面内，复数，（i为虚数单位）对应的点分别为A，B，若点C为线段AB 的中点，则点C对应的复数为（）A．B．1 C．i D．i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】根据复数的几何意义进行运算即可．【解答】解：=，则A（，﹣），=，则B（，），则C（，0），即点C对应的复数为，故选：A．4．已知复数z满足（1+i）z=1+i，则|z|=（）A．B．C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求出z，然后直接代入复数模的公式求解．【解答】解：∵（1+i）z=1+i，∴=．∴．故选：A．5．设集合A={x|2x﹣2＜1}，B={x|1﹣x≥0}，则A∩B等于（）A．{x|x≤1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1}D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B，由此利用A={x|2x﹣2＜1}={x|x＜2}，B={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，能求出A∩B．【解答】解：∵A={x|2x﹣2＜1}={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|1﹣x≥0}={x|x≤1}，∴A∩B={x|x≤1}．故选A．6．已知∀a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．（a+c）4＞（b+c）4 B．（a﹣b）c2＞0C．a+c≥b﹣cD．【考点】不等关系与不等式．【分析】采取排除法，对A，B，C取值验证即可，对于D根据不等式的基本性质和幂函数的单调性即可判断．【解答】解：对于A：若a=﹣1，b=﹣2，c=﹣1，则不成立，对于B，若c=0时，则不成立，对于C，不能取等号，则不成立，对于D，∵a＞b，∴a+c＞b+c，则，故选：D．7．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（，+∞），则关于x的不等式＞0的解集是（）A．（1，5）B．（1，+∞）C．（﹣∞，5）D．（﹣∞，1）∪（5，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】由已知得，且a＞0，由＞0，得或，由此能求出关于x的不等式＞0的解集．【解答】解：∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（，+∞），∴，且a＞0，∵＞0，∴或，解得1＜x＜5．∴关于x的不等式＞0的解集是（1，5）．故选：A．8．设变量，y满足约束条件，则目标函数z=3x+4y的最小值为（）A．1 B．3 C．D．﹣19【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，），化目标函数z=3x+4y为y=，由图可知，当直线y=过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3，故选：B．9．已知函数f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），则f′（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】f′（2）是一个常数，对函数f（x）求导，能直接求出f′（1）的值．【解答】解：∵f（x）=x2+f′（2）（lnx﹣x），∴f′（x）=2x+f′（2）（﹣1）；∴f′（1）=2×1+f′（2）×（1﹣1）=2．故选：B．10．定义在区间[0，1]上的函数f（x）的图象如图所示，以A（0，f（0））、B（1，f（1））、C（x，f（x））为顶点的△ABC的面积记为函数S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】连结AB后，AB长为定值，由C点变化得到三角形面积函数的增减性，从而得到面积函数的导数的正负，则答案可求．【解答】解：如图，△ABC的底边AB长一定，在点C由A到B的过程中，△ABC的面积由小到大再减小，然后再增大再减小，对应的面积函数的导数先正后负再正到负．且由原图可知，当C位于AB连线和函数f（x）的图象交点附近时，三角形的面积减或增较慢，故选：D．11．若函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为，则m的值为（）A．B． C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立方程组，求出a，b，求出f（x）的导数，通过讨论m的范围，得到函数f（x）的单调区间，求出f（x）的极大值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R），∴f′（x）=3x2+2ax+b，∵f（x）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），∴，解得，∴f′（x）=（3x﹣m）（x﹣m），m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞m或x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜m，∴f（x）在（﹣∞，）递增，在（，m）递减，在（m，+∞）递增，=f（）=，解得：m=，∴f（x）极大值m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜m或x＞，令f′（x）＜0，解得：＞x＞m，∴f（x）在（﹣∞，m）递增，在（m，）递减，在（，+∞）递增，=f（m）=，而f（m）=0，不成立，∴f（x）极大值综上，m=，故选：D．12．已知函数f（x）=e x﹣ax有两个零点x1＜x2，则下列说法错误的是（）A．a＞e B．x1+x2＞2C．x1x2＞1 D．有极小值点x0，且x1+x2＜2x0【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】对四个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）=e x﹣ax，∴f′（x）=e x﹣a，令f′（x）=e x﹣a＞0，①当a≤0时，f′（x）=e x﹣a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．②当a＞0时，∵f′（x）=e x﹣a＞0，∴e x﹣a＞0，解得x＞lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．∵函数f（x）=e x﹣ax有两个零点x1＜x2，∴f（lna）＜0，a＞0，∴e lna﹣alna＜0，∴a＞e，A正确；a=，f（2）=e2﹣2a=0，∴x2=2，f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，正确；f（0）=1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1，不正确；f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0=lna，且x1+x2＜2x0=2lna，正确．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．复数（i为虚数单位）的虚部等于﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的运算法则化简求解即可．【解答】解：复数=﹣3﹣i．所以复数的虚部为：﹣1．故答案为：﹣1．14．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=36．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由题设函数在x=3时取得最小值，可得f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值，∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函数的极值点，∴f′（3）=0，f′（x）=4﹣，即4﹣=0，解得a=36．故答案为：36．15．已知不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集是A，不等式x2+x﹣6＜0的解集是B，不等式ax2+bx+2＞0的解集是A∩B，那么a+b=0．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出已知两不等式的解集确定出A与B，进而确定出A与B的交集，得到交集中的元素即为ax2+bx+2=0的解，求出a与b的值，即可求出a+b的值．【解答】解：不等式x2﹣2x﹣3＜0，变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），不等式x2+x﹣6＜0，变形得：（x﹣2）（x+3）＜0，解得：﹣3＜x＜2，即B=（﹣3，2），∴A∩B=（﹣1，2），∵不等式ax2+bx+2＞0的解集是A∩B，∴x=﹣1和x=2分别为方程ax2+bx+2=0的解，∴﹣=﹣1+2=1，=﹣1×2=﹣2，解得：a=﹣1，b=1，则a+b=﹣1+1=0，故答案为：0．16．已知函数f（x）=2e x++ax+1有两个极值，则实数a的取值范围为a≤﹣2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由原函数有两个极值，可知其导函数有两个不同的实数根，转化为直线y=﹣ax﹣a 与曲线y=2e x有两个不同交点求解．【解答】解：由，得f′（x）=2e x+ax+a，要使有两个极值，则方程2e x+ax+a=0有两个不同的实数根，即2e x=﹣ax﹣a有两个不同的实数根，令y=2e x，y=﹣ax﹣a，直线y=﹣a（x+1）过点（﹣1，0），设直线y=﹣a（x+1）与y=2e x的切点为（），则y′=，则切线方程为，代入（﹣1，0），得，解得：x0=0．∴切点为（0，2），则过（﹣1，0），（0，2）切线的斜率为k=，由﹣a≥2，得a≤﹣2．∴实数a的取值范围为a≤﹣2．故答案为：a≤﹣2．三、解答题（17题10分，其余每题12分，总计70分）17．已知x1=1﹣i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求a，b的值．【考点】实系数多项式虚根成对定理．【分析】利用实系数一元二次方程的虚根成对原理和根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵x1=1﹣i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴x2=1+i也是此方程的一个虚根，∴a=﹣（x1+x2）=﹣（1+i+1﹣i）=﹣2．b=x1x2=（1+i）（1﹣i）=2．故答案为：a=﹣2，b=218．设正有理数x是的一个近似值，令y=1+．（1）若x＞，求证：y＜；（2）求证：y比x更接近于．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（1）利用作差法，比较y﹣与0的大小关系，即可得到结论；（2）利用作差法，比较|y﹣|﹣|x﹣|与0的大小关系，即可得到结论．【解答】证明：（1）y﹣=1+﹣=∵x＞，∴x﹣＞0，而1﹣＜0，∴y＜；…（2）∵|y﹣|﹣|x﹣|=||﹣|x﹣|=|x﹣|×，∵x＞0，﹣2＜0，|x﹣|＞0，∴|y﹣|﹣|x﹣|＜0，即|y﹣|＜|x﹣|，∴y比x更接近于．…19．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…20．已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．21．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，利用f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，可得3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，从而可求实数a的取值范围；（2）依题意x=﹣是f（x）的一个极值点，所以，从而可得f（x）=x3﹣4x2﹣3x，利用导数确定函数的单调性与极值，从而可求f（x）在[1，4]上的最大值；（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3﹣4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根，即方程x2﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根，从而可求实数b的取值范围【解答】解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣2ax﹣3∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，即3x2﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，则必有且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0（2）依题意x=﹣是f（x）的一个极值点，∴即∴a=4，∴f（x）=x3﹣4x2﹣3x令f′（x）=3x2﹣8x﹣3=0，得则∴（）在[，]上的最大值是（）﹣（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，即方程x3﹣4x2﹣3x=bx恰有3个不等实根∴x3﹣4x2﹣3x﹣bx=0恰有3个不等实根∵x=0是其中一个根，∴方程x2﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根，∴∴b＞﹣7，且b≠﹣322．已知函数f（x）=ax2+1n（x+1）．（Ⅰ）当时a=﹣时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）将a的值代入，求出函数f（x）的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）将问题转化为ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，通过讨论a的范围，得到函数g（x）的单调性，从而求出a是范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣时，f（x）=﹣x2+ln（x+1），（x＞﹣1），f′（x）=﹣x+=﹣，（x＞﹣1），由f′（x）＞0解得﹣1＜x＜1，由f′（x）＜0解得：x＞1，∴函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）的图象上的点都在所表示的平面区域内，即当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）≤x恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x，（x≥0），只需g（x）max≤0即可，由g′（x）=2ax+﹣1=，（i）当a=0时，g′（x）=，当x＞0时，g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0成立，（ii）当a＞0时，由g′（x）==0，因x∈[0，+∞），∴x=﹣1，①若﹣1＜0，即a＞时，在区间（0，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时不满足；②若﹣1≥0，即0＜a≤时，函数g（x）在（0，﹣1）上单调递减，在区间（﹣1，+∞）上单调递增，同样函数g（x）在[0，+∞）上无最大值，此时也不满足；（iii）当a＜0时，由g′（x）=，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a﹣1）＜0，∴g′（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）单调递减，∴g（x）≤g（0）=0恒成立，综上：实数a的取值范围是（﹣∞，0]．2018年9月22日。
海林市民族中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
1 上无零点，求 a 的最小值； 2
（Ⅲ）若对任意给定的 x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的 xi（i=1，2），使得 f（xi）=g（x0）成立， 求 a 的取值范围．
23．已知函数 f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|．
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（Ⅰ）求不等式 f（x）≤6 的解集； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 f（x）﹣log2（a2﹣3a）＞2 恒成立，求实数 a 的取值范围．
2 3
1 12
2． 在如图 5×5 的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么 x+y+z 的值为（ 1 2 0.5 1 x
y z A．1 B．2 C．3 D．4 ） 3． 抛物线 x=﹣4y2 的准线方程为（ A．y=1 B．y= C．x=1 D．x=
4． 点集{（x，y）|（|x|﹣1）2+y2=4}表示的图形是一条封闭的曲线，这条封闭曲线所围成的区域面积是（ ） A． B． C． D．
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【点评】本题考查线段的方程特点，由曲线的方程研究曲线的对称性，体现了数形结合的数学思想． 5． 【答案】C 【 解 析 】
考 点：函数的图象与性质. 【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻 辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
2
) 与 y 轴的交点为 (0,1) ，且图像上两对称轴之间的最
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小距离为 A．
2
，则使 f ( x t ) f ( x t ) 0 成立的 t 的最小值为（ B．
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题(含精品解析)
牡一中2016级高二学年下学期期末考试文科数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，集合，则集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】全集，集合，，集合，所以，故选A.2. 已知复数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解.详解：因为，所以,选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 下列关于命题的说法错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. “”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“，使得”的否定是：“均有”D. “若为的极值点，则”的逆命题为真命题【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的构成关系可知答案A是正确的；当时，函数在定义域内是单调递增函数，故答案B也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“，使得”的否定是：“均有”，即答案C是也是正确的；又因为的根不一定是极值点，例如函数，则就不是极值点，也就是说命题“若为的极值点，则”的逆命题是假命题，所以应选答案D。
4. 若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据指数、对数、幂函数的单调性确定三个数所在区间，再比较大小.详解：因为，所以,选C.点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小，有时需借助第三量比较大小.5. 已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】分析：先解不等式，再根据解集之间包含关系确定充要关系.详解：因为，所以或所以“”是“”的既不充分也不必要条件选D.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6. 函数的图象的对称轴方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：根据余弦函数对称轴得方程，解得结果.详解：因为，所以选C.点睛：函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间7. 已知且,则的值为 ( )A. B. 7 C. D. -7【答案】A【解析】分析：先根据同角三角函数关系求，再根据两角和正切公式求结果.详解：因为且，所以所以选A.点睛：三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.8. 下列函数中，满足“任意且，”的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】“任意，，且，”等价于函数为减函数，四个选项中，只有选项符合.9. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A正确，B错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C，D错误；本题选择A选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10. 函数的零点所在的区间为（）【答案】D【解析】分析：首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在定理求解函数零点所在的区间即可.详解：函数的图像是连续的，且：，，，，，由函数零点存在定理可得函数点所在的区间为.本题选择D选项.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11. 已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，当，若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（）A. 0B. 0或C. 或D. 0或【答案】D【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数的值. 详解：因为，所以周期为2，作图如下：由图知，直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点时直线点A(1,1)或与选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．12. 设定义在上的函数满足任意都有，且时，有，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意，函数满足任意都有，则有，则是周期为的函数，则有，设，则导数为，又由时，，则有，则有，则函数在上为减函数，则有，即，又由，则有，变形可得，故选C. 【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设命题，，则为________.【答案】【解析】分析：根据全称命题的否定得结果.详解：因为的否定为，所以为点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定14. 若实数满足则的最小值为__________．【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x﹣y得y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z,由图象可知当直线y=3x﹣z经过点(0,1)时，直线y=3x﹣z的纵截距-z最大，z 最小，的最小值为3×0-1=-1.故填-1.15. 设为曲线图象上任意一点，且在点处切线的倾斜角为，则的最小值为___________.【答案】【解析】由题意得，因为，当且仅当时取等号，所以，因为，所以，所以，即的最小值是.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16. 已知函数定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：①时，②函数有2个零点③的解集为④,都有其中正确命题为__________.【答案】③ , ④【解析】分析：先根据奇函数性质求时解析式，根据函数确定零点个数以及不等式解集，根据函数最值判断不等式恒成立问题.详解：因为函数定义在上的奇函数，所以时，，，因为当时，，所以，当时，当时，因此当时，，根据奇函数性质得，因为，所以，即函数有0，1，-1三个零点，当时，得-1<x<0,因此时，得x>1,所以的解集为，综上正确命题为③ , ④点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.三、解答题：17. 已知函数在一个周期内的部分对应值如下表：（1）求的解析式；（2）求函数的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于的方程即可求解．试题解析：（1）由表格可知，的周期，所以，又由，且，所以，所以；（2），由，所以当时，有最大值；当时，有最小值．考点：三角函数综合．18. 已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称．（1）求的解析式；（2）若函数的图象与直线在上只有一个交点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）或.【解析】分析：(1)根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质确定的解析式；(2)先化简，再同一坐标系中作出y＝sin和y＝a的图象，根据图像确定实数的取值范围．详解：(1) f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx＋＝sin2ωx－ (1＋cos2ωx)＋＝sin＋1.∵ 函数f(x)的最小正周期为π，∴ ＝π，即ω＝±1，∴ f(x)＝sin＋1.① 当ω＝1时，f(x)＝sin＋1，∴ f＝sin＋1不是函数的最大值或最小值，∴ 其图象不关于x＝对称，舍去．② 当ω＝－1时，f(x)＝－sin＋1，∴ f＝－sin＋1＝0是最小值，∴ 其图象关于x＝对称．故f(x)的解析式为f(x)＝1－sin.(2) y＝1－f(x)＝sin，在同一坐标系中作出y＝sin和y＝a的图象：由图可知，直线y＝a在a∈或a＝1时，两曲线只有一个交点，∴ a∈或a＝1.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．19. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先根据分段函数图像确定最小值，再解不等式，可得实数的取值范围.试题解析：（1）依题意，故不等式的解集为.（2）由（1）可得，当时，取最小值，对于恒成立，∴，即，∴，解之得，∴实数的取值范围是.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．20. 设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点，且点均在第四象限．若的面积是面积的2倍，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（I）由题意结合几何关系可求得.则椭圆的方程为.（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得.易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，或.经检验的值为.详解：（I）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．由,从而．所以，椭圆的方程为．（II）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为．由的面积是面积的2倍，可得，从而，即．易知直线的方程为，由方程组消去y，可得．由方程组消去，可得．由，可得，两边平方，整理得，解得，或．当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意．所以，的值为．点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知函数，其中.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）)若函数在区间内恰有一个极大值和一个极小值，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. (2)先求函数在区间内的极大值和极小值，再分析得到实数的取值范围.详解：（Ⅰ）当时，，，所以切线方程为.（Ⅱ）令，则在恰有一个极大值,和一个极小值可以转化为在有两个变号零点.，，或.所以g(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以g(x)在处取到极小值,在处取到极大.又g(0)=a+1,g(2π)=,要想使函数恰有两个变号零点，只需满足所以.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调性和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出g(x)在处取到极小值,在处取到极大后，分析出要想使函数恰有两个变号零点，只需满足22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的极坐标方程为，直线与圆相交于，两点．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）求弦长．【答案】（1），；（2）.【解析】分析：(1)先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据及得圆的直角坐标方程(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据参数几何意义以及韦达定理求弦长．详解：（1）由直线的参数方程消去参数，可得直线的普通方程为，因为圆的极坐标方程为，即，所以圆的直角坐标方程为，即.（2）把代入，得，即，设方程的两个实根为，则，，所以，即．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).(2)|M1M2|＝|t1－t2|.(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.。
黑龙江省牡丹江一中2018-2019学年高二(上)期末理科数学 (含精品解析)
=
1,2，…，������)，用最小二乘法建立的回归方程为������̂
=
0.85������
‒
85.71 ，则下列结论中不正
确的是( )
A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B. 回归直线过样本点的中心(������,������) C. 若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加0.85������������ D. 若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为58.79������������
A. 328
B. 321
C. 239
D. 121
【答案】A 【解析】解：������(������) = ������5 + 2������3 + 3������2 + ������ + 1 = ((((������)������ + 2)������ + 3)������ + 1)������ + 1， 则������0 = 1 ������1 = 1 × 3 + 0 = 3， ������2 = 3 × 3 + 2 = 11，
测，但不可断定．
本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．
9. 现有 5 人参加抽奖活动，每人依次从装有 5 张奖票(其中 3 张为中奖票)的箱子中不放回地随机
抽取一张，直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第 4 人抽完结束的概率为(
)
1
1
A. 10
B. 5
3
������3 = 11 × 3 + 3 = 36 ������4 = 36 × 3 + 1 = 109 ������5 = 109 × 3 + 1 = 328．
高二数学上学期期末试卷（文科含解析）
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高二数学上学期期末试卷(文科含解析)数学试卷(文科)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.74.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是.15.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= .16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥A B.20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.高二(上)期末数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.对于常数m、n，“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】先根据mn>0看能否得出方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆;这里可以利用举出特值的方法来验证，再看方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，根据椭圆的方程的定义，可以得出mn>0，即可得到结论.【解答】解：当mn>0时，方程mx2+ny2=1的曲线不一定是椭圆，例如：当m=n=1时，方程mx2+ny2=1的曲线不是椭圆而是圆;或者是m，n都是负数，曲线表示的也不是椭圆;故前者不是后者的充分条件;当方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆时，应有m，n都大于0，且两个量不相等，得到mn>0;由上可得：“mn>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选B.2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数【考点】命题的否定.【分析】根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论.【解答】解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被2整除的整数不是偶数”故选：D3.已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.7【考点】椭圆的简单性质.【分析】由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可.【解答】解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3.故选B4.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A.(￢p)∨(￢q)B.p∨(￢q)C.(￢p)∧(￢q)D.p∨q【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】由命题P和命题q写出对应的￢p和￢q，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”即可得到表示.【解答】解：命题p是“甲降落在指定范围”，则￢p是“甲没降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则￢q是“乙没降落在指定范围”，命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”三种情况.所以命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(￢p)V(￢q).故选A.5.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为( )A.±2B.C.D.【考点】双曲线的简单性质.【分析】由双曲线的离心率为，可得，解得即可.【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴ ，解得 .∴其渐近线的斜率为 .故选：B.6.曲线在点M( ，0)处的切线的斜率为( )A. B. C. D.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】先求出导函数，然后根据导数的几何意义求出函数f(x)在x= 处的导数，从而求出切线的斜率.【解答】解：∵∴y'==y'|x= = |x= =故选B.7.若椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，则抛物线ay=bx2的焦点坐标为( )A.( ，0)B.( ，0)C.(0， )D.(0， )【考点】双曲线的简单性质;椭圆的简单性质;抛物线的简单性质.【分析】根据椭圆 (a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点，得到a，b的关系式;再将抛物线ay=bx2的方程化为标准方程后，根据抛物线的性质，即可得到其焦点坐标.【解答】解：∵椭圆(a>b>0)的焦点与双曲线的焦点恰好是一个正方形的四个顶点∴2a2﹣2b2=a2+b2，即a2=3b2， = .抛物线ay=bx2的方程可化为：x2= y，即x2= y，其焦点坐标为：(0， ).故选D.8.设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )A.若|z1|=|z2|，则B.若，则C.若|z1|=|z2|，则D.若|z1﹣z2|=0，则【考点】复数代数形式的乘除运算;命题的真假判断与应用.【分析】利用特例判断A的正误;复数的基本运算判断B的正误;复数的运算法则判断C的正误;利用复数的模的运算法则判断D的正误.【解答】解：若|z1|=|z2|，例如|1|=|i|，显然不正确，A错误.B，C，D满足复数的运算法则，故选：A.9.已知命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )A.否命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数，则m>1”是真命题B.逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题【考点】四种命题间的逆否关系.【分析】先利用导数知识，确定原命题为真命题，从而逆否命题为真命题，即可得到结论.【解答】解：∵f(x)=e x﹣mx，∴f′(x)=ex﹣m∵函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数∴ex﹣m≥0在(0，+∞)上恒成立∴m≤ex在(0，+∞)上恒成立∴m≤1∴命题“若函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数，则m≤1”，是真命题，∴逆否命题“若m>1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不是增函数”是真命题∵m≤1时，f′(x)=ex﹣m≥0在(0，+∞)上不恒成立，即函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上不一定是增函数，∴逆命题“若m≤1，则函数f(x)=ex﹣mx在(0，+∞)上是增函数”是真命题，即B不正确故选D.10.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】因为“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.再据命题的真假与条件的关系判定出“不便宜”是“好货”的必要条件.【解答】解：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题.所以“好货”⇒“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件，故选B11.设a>0，f(x)=ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为( )A. B. C. D.【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.【分析】先由导数的几何意义，得到x0的范围，再求出其到对称轴的范围.【解答】解：∵过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是，∴f′(x0)=2ax0+b∈，∴P到曲线y=f(x)对称轴x=﹣的距离d=x0﹣(﹣ )=x0+∴x0∈[ ，].∴d=x0+ ∈.故选：B.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，若f(x1)=x1A.3B.4C.5D.6【考点】利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断.【分析】由函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，可得f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，必有△=4a2﹣12b>0.而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，可知此方程有两解且f(x)=x1或x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程f(x)=x1或f(x)=x2解得个数.【解答】解：∵函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2，∴f′(x)=3x2+2ax+b=0有两个不相等的实数根，∴△=4a2﹣12b>0.解得 = .∵x1∴ ， .而方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的△1=△>0，∴此方程有两解且f(x)=x1或x2.不妨取00.①把y=f(x)向下平移x1个单位即可得到y=f(x)﹣x1的图象，∵f(x1)=x1，可知方程f(x)=x1有两解.②把y=f(x)向下平移x2个单位即可得到y=f(x)﹣x2的图象，∵f(x1)=x1，∴f(x1)﹣x2<0，可知方程f(x)=x2只有一解.综上①②可知：方程f(x)=x1或f(x)=x2.只有3个实数解.即关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的只有3不同实根.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数，那么z• 等于 1 .【考点】复数代数形式的乘除运算.【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简求解即可.【解答】解：复数，那么z• = = =1.故答案为：1.14.f(x)=x3﹣3x2+2在区间上的最大值是 2 .【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值.【解答】解：f′(x)=3x2﹣6x=3x(x﹣2)令f′(x)=0得x=0或x=2(舍)当﹣10;当0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f(x)的最大值为2故答案为215.函数f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，则f(1)= ﹣1 .【考点】导数的运算.【分析】先求出f′(1)的值，代入解析式计算即可.【解答】解：∵f(x)=lnx﹣f′(1)x2+5x﹣4，∴f′(x)= ﹣2f′(1)x+5，∴f′(1)=6﹣2f′(1)，解得f′(1)=2.∴f(x)=lnx﹣2x2+5x﹣4，∴f(1)=﹣1.故答案为：﹣1.16.过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(A在y轴左侧)，则 = .【考点】抛物线的简单性质.【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，求出A，B 两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出 = ，即可得出结论.【解答】解：设直线l的方程为：x=y﹣，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x=y﹣，代入x2=2py，可得y2﹣3py+ p2=0，∴y1= p，y2= p，从而， = = .故答案为： .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知z是复数，z+2i和均为实数(i为虚数单位).(Ⅰ)求复数z;(Ⅱ)求的模.【考点】复数求模;复数的基本概念.【分析】(Ⅰ)设z=a+bi，分别代入z+2i和，化简后由虚部为0求得b，a的值，则复数z可求;(Ⅱ)把z代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，代入模的公式得答案.【解答】解：(Ⅰ)设z=a+bi，∴z+2i=a+(b+2)i，由a+(b+2)i为实数，可得b=﹣2，又∵ 为实数，∴a=4，则z=4﹣2i;(Ⅱ) ，∴ 的模为 .18.已知集合A={x|(ax﹣1)(ax+2)≤0}，集合B={x|﹣2≤x≤4}.若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，转化为集合的关系进行求解.【解答】解：(1)a>0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(2)a=0时，A=R，符合题意;┅┅┅┅┅┅┅(3)a<0时，，若x∈B是x∈A的充分不必要条件，所以，，检验不符合题意.综上.┅┅┅┅┅┅┅19.设椭圆的方程为，点O为坐标原点，点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M在线段AB上且满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为 .(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设点C为椭圆的下顶点，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)通过题意，利用 =2 ，可得点M坐标，利用直线OM 的斜率为，计算即得结论;(2)通过中点坐标公式解得点N坐标，利用×( )=﹣1，即得结论.【解答】(Ⅰ)解：设M(x，y)，已知A(a，0)，B(0，b)，由|BM|=2|MA|，所以 =2 ，即(x﹣0，y﹣b)=2(a﹣x，0﹣y)，解得x= a，y= b，即可得，┅┅┅┅┅┅┅所以，所以椭圆离心率;┅┅┅┅┅┅┅(Ⅱ)证明：因为C(0，﹣b)，所以N ，MN斜率为，┅┅┅┅┅┅┅又AB斜率为，所以×( )=﹣1，所以MN⊥AB.┅┅┅┅┅┅┅20.设函数，其中a为实数.(1)已知函数f(x)在x=1处取得极值，求a的值;(2)已知不等式f′(x)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立，求实数x的取值范围.【考点】利用导数研究函数的极值.【分析】(1)求出f′(x)，因为函数在x=1时取极值，得到f′(1)=0，代入求出a值即可;(2)把f(x)的解析式代入到不等式中，化简得到，因为a>0，不等式恒成立即要，求出x的解集即可.【解答】解：(1)f′(x)=ax2﹣3x+(a+1)由于函数f(x)在x=1时取得极值，所以f′(1)=0即a﹣3+a+1=0，∴a=1(2)由题设知：ax2﹣3x+(a+1)>x2﹣x﹣a+1对任意a∈(0，+∞)都成立即a(x2+2)﹣x2﹣2x>0对任意a∈(0，+∞)都成立于是对任意a∈(0，+∞)都成立，即∴﹣2≤x≤0于是x的取值范围是{x|﹣2≤x≤0}.21.已知椭圆C1：的离心率为，且椭圆上点到椭圆C1左焦点距离的最小值为﹣1.(1)求C1的方程;(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2=4x相切，求直线l 的方程.【考点】椭圆的简单性质.【分析】(1)运用椭圆的离心率和最小距离a﹣c，解方程可得a= ，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程;(2)设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程.【解答】解：(1)由题意可得e= = ，由椭圆的性质可得，a﹣c= ﹣1，解方程可得a= ，c=1，则b= =1，即有椭圆的方程为 +y2=1;(2)直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，由，可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0，由直线和椭圆相切，可得△=16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)=0，即为m2=1+2k2，①由，可得k2x2+(2km﹣4)x+m2=0，由直线和抛物线相切，可得△=(2km﹣4)2﹣4k2m2=0，即为km=1，②由①②可得或，即有直线l的方程为y= x+ 或y=﹣ x﹣ .22.已知函数f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)(其中常数a∈R).(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当x∈(0，1)时，f(x)<0，求实数a的取值范围.【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;(Ⅱ)根据(Ⅰ)通过讨论a的范围，确定出满足条件的a的范围即可.【解答】解：(Ⅰ)f(x)=lnx﹣a(x﹣1)2﹣(x﹣1)，(x>0)，f′(x)=﹣，①a<﹣时，0<﹣ <1，令f′(x)<0，解得：x>1或00，解得：﹣∴f(x)在递减，在递增;②﹣﹣或00，解得：1∴f(x)在递减，在递增;③ ，f′(x)=﹣≤0，f(x)在(0，1)，(1+∞)递减;④a≥0时，2ax+1>0，令f′(x)>0，解得：01，∴f(x)在(0，1)递增，在(1，+∞)递减;(Ⅱ)函数恒过(1，0)，由(Ⅰ)得：a≥﹣时，符合题意，a<﹣时，f(x)在(0，﹣ )递减，在递增，不合题意，故a≥﹣ .。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试题
【全国百强校】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，集合{}2,4B =，则集合()⋂=U C A B （ ） A ．{}4B ．{}2,3,4,5C ．{}3,5D ．{}2,3,52．已知复数1i z =-+，则22z z z+=+（ ） A ．1-B ．1C ．i -D ．i3．下列关于命题的说法错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题为“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间()0,∞+上为增函数”的充分不必要条件C ．命题“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定是“x R ∀∈，均有210x x ++≥”D ．“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为真命题 4．若3log 8a =， 1.2 3.12,0.3b c ==，则（ ） A ．c a b <<B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>5．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（ ） A ．充分非必条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件6．函数()cos 6f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程为（ ） A ．()23x k k Z =+∈ B ．()13x k k Z =+∈ C ．()16x k k Z =+∈ D ．()13x k k Z =-∈ 7．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-78．下列函数()f x 中，满足“任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()12x x -()()120f x f x ⎡⎤-<⎣⎦”的是（ ）A ．()1f x x x=- B ．()3f x x =C ．()ln f x x =D ．()2f x x =9．将函数sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递增 B ．在区间,04π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 上单调递减 C ．在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 10． 函数 ()xf x e x -=- 的零点所在的区间为（ ）A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．1,1?2⎛⎫⎪⎝⎭D ． 1 0,2⎛⎫⎪⎝⎭11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当()201,x f x x ≤≤=，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ） A ．0B ．0或12-C ．14-或12- D ．0或14-12．设定义在R 上的函数()y f x =满足任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-，且(]0,4x ∈时，有()()f x f x x'<，则()()()20164201722018f f f 、、的大小关系是 （ ）A ．()()()22018201642017f f f <<B ．()()()22018201642017f f f >>C ．()()()42017220182016f f f >>D ．()()()42017220182016f f f <<二、填空题13．设命题2:1,ln p x x x ∀≥>，，则p ⌝为________.14．若x ，y 满足1203220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值为__________．15．若点P 是函数113()22xxy e ex x -=---≤≤图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是__________．16．已知函数定义在R 上的奇函数，当0x <时，()(1)xf x e x =+，给出下列命题：①0x >时，()(1)xf x e x =- ②函数有2个零点③()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞ ④12,x x R ∀∈,都有()()122f x f x -<其中正确命题为__________.三、解答题17．已知函数()sin()(0,02)f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的部分对应值如下表：（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()()2g x f x sinx =+的最大值和最小值． 18．已知函数()()23cos cos ,2f x x x x R x R ωωωω=⋅-+∈∈的最小正周期为π，且图象关于直线6x π=对称．（1）求()f x 的解析式；（2） 若函数()1y f x =-的图象与直线y a =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个交点，求实数a 的取值范围．19．已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()2274f x m m >-+对于x ∀∈R 恒成立,求实数m 的取值范围.20．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．AB =（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值． 21．已知函数/()sin x xf x ax e=+，其中a R ∈. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在0x =处的切线方程；（2）)若函数()f x 在区间()0,2π内恰有一个极大值和一个极小值，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为315425x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C 的极坐标方程为24(cos sin cos )4022θθρρθ-+-=，直线l 与圆C 相交于M ，N 两点．（1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （2）求弦长||MN ．参考答案1．A 【解析】全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,2A =，{}3,4,5U C A =，集合{}2,4B =，所以(){} 4U C A B ⋂=，故选A.2．A 【解析】分析：先代入，再根据复数乘法与除法法则求解.详解：因为1i z =-+，所以2221211(1)11z i iz z i i i+-+++===-+-+-+--, 选A.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3．D 【分析】根据命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识一一判断可得答案. 【详解】解：A,由原命题与逆否命题的构成关系,可知A 正确；B,当a=2>1时,函数()log a f x x =在定义域内是单调递增函数，当函数()log a f x x =定义域内是单调递增函数时，a>1.所以B 正确；C,由于存在性命题的否定是全称命题,所以"0x R ∃∈，使得20010x x ++<"的否定是"x R ∀∈，均有210x x ++≥,所以C 正确；D,()00f x '=的根不一定是极值点，例如:函数3()1f x x =+,则'2()3f x x ==0，即x=0就不是极值点,所以“若0x 为()y f x =的极值点，则()00f x '=”的逆命题为假命题, 故选D. 【点睛】本题主要考查命题及其关系、充分条件与必要条件、导数在函数中应用、全称量词与存在量词等相关知识，需牢记并灵活运用相关知识. 4．C 【解析】分析：先根据指数、对数、幂函数的单调性确定三个数所在区间，再比较大小. 详解：因为 1.23.10333log 8(log 3,log 9)(1,2),22,0.30.31a b c =∈==>=<=，所以b a c >>, 选C.点睛：比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小，有时需借助第三量比较大小. 5．A 【解析】本题考查充要条件的判断.当2a >时，20a ->，所以()20a a ->，即22a a >，故 “2a >”是“22a a >”的充分条件；当22a a >时，2a >或0a <，故 “2a >”不是“22a a >”的必要条件； 所以 “2a >”是“22a a >”的充分不必要条件 6．C 【解析】分析：根据余弦函数对称轴得方程，解得结果. 详解：因为()6x k k Z πππ-=∈，所以1()6x k k Z =+∈ 选C.点睛：函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质 (1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由 ππ()2x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴 (4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间;由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间 7．A 【分析】先求出tan α的值，再利用和角的正切求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以3tan 4α=-，所以tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=3114371()14-+=--⋅. 故选A 【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系，考查和角的正切的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 8．A 【解析】“任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()12x x - ()()120f x f x ⎡⎤-<⎣⎦”等价于函数为减函数，四个选项中，只有A 选项符合. 9．A 【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可. 详解：由函数25y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为： sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令0k =可得函数的一个单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，选项A 正确，B 错误； 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递减区间为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，选项C ，D 错误； 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．C 【分析】由题意可以画出y 1=e ﹣x 与y 2=x 的图象，他们的交点就是函数f （x ）=e ﹣x ﹣x 的零点. 【详解】∵函数f （x ）=e ﹣x ﹣x ，画出y 1=e ﹣x 与y 2=x 的图象，如下图：∵当x=12时，y 1y 2=12， 当x=1时，y 1=1e＜y 2=1， ∴函数f （x ）=e ﹣x ﹣x 的零点所在的区间是（12，1）．故选C ． 【点睛】此题主要考函数零点与方程根的关系，利用转化思想解决问题．画两个函数的图象数形结合求解， 11．D 【解析】分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数a 的值.详解：因为()()2f x f x +=，所以周期为2，作图如下：由图知，直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点时直线y x a =+ 点A(1,1)或与()2f x x =相切，即11,0a a =+=或21,140,4x x a a a =+∆=+==-选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 12．C 【解析】根据题意，函数()y f x =满足任意t R ∈都有()()2f x f x +=-，则有()()()42f x f x f x +=-+=，则()f x 是周期为4的函数，则有()()20164,f f =()()()()20171,20182f f f f ==，设()()f xg x x=，则导数为()()()()()()22'''f x x f x x xf x f x g x xx⋅-⋅-==，又由(]0,4x ∈时，()()'f x f x x<，则有()()'0xf x f x -<，则有()()()2''0xf x f x g x x-=<，则函数()g x 在(]0,4上为减函数，则有()()()124g g g >>，即()()()24124f f f >>，又由()()20164,f =()()()()20171,20182f f f f ==，则有()()()20182016201724f f f >>，变形可得()()()42017220182016f f f >>，故选C.【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.13．20001,ln x x x ∃≥≤【分析】根据全称命题(),x M p x ∀∈的否定为(),x M p x ∃∈⌝得结果.因为(),x M p x ∀∈的否定为(),x M p x ∃∈⌝，所以p ⌝为20001,ln x x x ∃≥≤【点睛】对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定 14．1- 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出不等式组1203220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域，如图，由3z x y =-得3y x z =-， 平移直线3y x z =-,由图象可知当直线3y x z =-经过点()0,1时， 直线3y x z =-的纵截距z -最大，z 最小，3z x y =-的最小值为3011⨯-=-.故答案为1-.本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．34π【解析】由题意得tan 3xxy e eα-='=+- ，因为331x x e e -+-≥=-，当且仅当0x =时取等号，所以tan 1α≥-，因为1122x -≤≤，所以tan 30α≤-<，所以3ππ4α≤< ，即α的最小值是34π. 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 16．③ , ④ 【解析】分析：先根据奇函数性质求0x >时解析式，根据函数()f x 单调性确定零点个数以及不等式解集，根据函数最值判断不等式恒成立问题. 详解：因为函数()f x 定义在R 上的奇函数，所以0x >时，()()e (1)e (1)xxf x f x x x --=--=--+=-，()00f =， 因为当0x <时，()()1xf x ex =+，所以()(2)0,2x f x e x x =+==-'，当20x -<<时2()0,()((2),1)(,1)f x f x f e ->∈-=-'， 当2x <-时2()0,()((2),0)(,0)f x f x f e -<∈-=-'， 因此当0x <时，2()[,1)f x e -∈-， 根据奇函数性质得()(1,1)f x ∈-，max min 12max min ()1,()1()(()()2f x f x f x f x f x f x -∴-<-=因为()10f -=，所以()10f =，即函数有0，1，-1三个零点，当0x <时，()0f x >得-1<x<0,因此0x >时，()0f x >得x>1,所以()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞， 综上正确命题为③ , ④点睛：(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向. (2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究. 17．（1）()cos 2f x x =；（2）最大值32，最小值3-． 【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于1,a d 的方程组即可求解；（2）根据（1）以及条件列出关于k 的方程即可求解．试题解析：（1）由表格可知，()f x 的周期()22T πππ=--=，所以22πωπ==， 又由sin(20)ϕ⨯+=，且02ϕπ<<，所以2πϕ=，所以()sin(2)cos 22f x x x π=+=；（2）2213()()2sin cos 22sin 12sin 2sin 2(sin )22g x f x x x x x x x =+=+=-+=--+，由sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 2x =时，()g x 有最大值32；当sin 1x =-时，()g x 有最小值3-．考点：三角函数综合． 18．（1）126sin x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；（2）11,22a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭或1a =. 【解析】分析：(1)根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数性质确定()f x 的解析式；(2)先化简()1y f x =-，再同一坐标系中作出y ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭和y ＝a 的图象，根据图像确定实数a 的取值范围．详解：(1) f(x)cos 2ωx＋3212 (1＋cos2ωx)＋32＝sin 26x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1.∵ 函数f(x)的最小正周期为π，∴ 22πω＝π，即ω＝±1，∴ f(x)＝sin 26x π⎛⎫±-⎪⎝⎭＋1. ① 当ω＝1时，f(x)＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1，∴f 6π⎛⎫⎪⎝⎭＝sin 6π＋1不是函数的最大值或最小值，∴ 其图象不关于x ＝6π对称，舍去． ② 当ω＝－1时，f(x)＝－sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1， ∴ f 6π⎛⎫⎪⎝⎭＝－sin 2π＋1＝0是最小值， ∴ 其图象关于x ＝6π对称． 故f(x)的解析式为f(x)＝1－sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(2) y ＝1－f(x)＝sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭，在同一坐标系中作出y ＝sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭和y ＝a 的图象：由图可知，直线y ＝a 在a∈11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭或a ＝1时，两曲线只有一个交点，∴ a∈11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭或a ＝1.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 19．（1）8(0)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，；（2）1|32m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：（1）绝对值函去绝对值得到分段函数()43122112342x x f x x x x x x x ，，，，，，-<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，得()4f x >的解集为()803⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，，；（2）由题意得，()2min 274f x m m >-+，即22741m m -+<，解得132m <<． 试题解析：（1）依题意，()43122112342x x f x x x x x x x ，，，，，，-<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩故不等式()4f x >的解集为()803⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，， （2）由（1）可得，当1x =时，()f x 取最小值1，()2274f x m m >-+对于x R ∈恒成立，∴()2min 274f x m m >-+，即22741m m -+<，∴22730m m -+<，解之得132m <<，∴实数m 的取值范围是1|32m m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭点睛：绝对值函数基本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，本题中再进行分段解不等式，得到答案；任意型恒成立问题得到()2min 274f x m m >-+，由分段函数分析得到()min 1f x =，所以22741m m -+<，解得答案． 20．（1）22194x y +=；(2)12-．【解析】分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=.（II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =.结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =215x x =，可得5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21．（1）2y x =（2）见解析 【解析】分析：（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，再求切线的方程. (2)先求函数()f x 在区间() 0,2π内的极大值和极小值，再分析得到实数a 的取值范围.详解：（Ⅰ） 当1a =时，()cos sin 1xx xf x e-'=+，()()02,00f f ='=， 所以切线方程为2y x =. （Ⅱ）令()()cos sin xx xg x f x a e -==+'，则()f x 在()0,2π恰有一个极大值,和一个极小值可以转化为()g x 在()0,2π有两个变号零点.()2cos xxg x e ='-， ()30,22g x x ππ><<'，()0,02g x x π<<<'或322x ππ<<. 所以g(x)在02π（，）上单调递减，在322ππ（，）上单调递增，在3,22ππ（）上单调递减，所以g(x)在2π处取到极小值2()2g a e ππ-=-,在32π处取到极大323()2g a e ππ-=+.又g(0)=a+1,g(2π)=2a e π-+, 要想使函数恰有两个变号零点，只需满足300()0,()0,(2)0,22g g g g πππ≥（）＞， 所以22e a e ππ---≤<.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调性和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出g(x)在2π处取到极小值2()2g a eππ-=-,在32π处取到极大323()2g a e ππ-=+后，分析出要想使函数恰有两个变号零点，只需满足300()0,()0,(2)0.22g g g g πππ≥（）＞，22．（1）4320x y -+=，()()22219x y -+-=；（2）5. 【解析】分析：(1)先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据cos x ρθ=及sin y ρθ=得圆C 的直角坐标方程(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，根据参数几何意义以及韦达定理求弦长||MN ．详解：（1）由直线l 的参数方程消去参数t ，可得直线l 的普通方程为，因为圆C 的极坐标方程为，即，所以圆C 的直角坐标方程为，即.（2）把315425x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()()22219x y -+-=，得223411955t t ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即252350t t +-=，设方程的两个实根为12,t t ，则1225t t +=-，127t t =-， 所以12t t -===MN =． 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos {sin x x t y y t αα=+=+.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.。
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2017-2018学年黑龙江省牡丹江市海林一中高二（上）期末数学试卷（文科） 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线y=2x2的焦点坐标为（ ） A．（1，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，） 2．某学校共有老、中、青教职工215人，其中青年教职工80人，中年教职工人数是老年教职工人数的2倍．为了解教职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工16人，则该样本中的老年教职工人数为（ ） A．6 B．8 C．9 D．12 3．“∀x∈R，都有log2x＞0成立”的否定为（ ） A．∃x0∈R，使log2x0≤0成立 B．∃x0∈R，使log2x＞0成立 C．∀x∈R，都有log2x≥0成立 D．∀x∈R，都有log2x＞0成立 4．若输出的S的值等于22，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（ ）
A．i＞5 B．i＞6 C．i＞7 D．i＞8 5．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，4 D．85，1.6 6．国家物价部门在2015年11月11日那天，对某商品在网上五大购物平台的一天销售量及其价格进行调查，5大购物平台的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量y与价格x之间有明显的线性相关关系，已知其线性回归直线方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（ ） A．24 B．35.6 C．40 D．40.5
7．已知椭圆与双曲线共同焦点，它们的离心率之和为，则此椭圆方程为（ ）
A． B． C． D． 8．某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：mm），如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）
A．20 B．22.5 C．22.75 D．25 9．一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：20～6：40之间将报纸送达，该同学的爸爸需要早上6：00～7：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是（ ） A． B． C． D． 10．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到直线l1：3x﹣4y+12=0和l2：x+2=0的距离之和的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．下图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列： ①﹣3是函数y=f（x）的极小值点； ②﹣1是函数y=f（x）的极小值点； ③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零； ④y=f（x）在区间（﹣3，1）上单调增． 则正确的序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 12．若点O（0，0）和点分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ） A．=1.6． 故选D．
6．国家物价部门在2015年11月11日那天，对某商品在网上五大购物平台的一天销售量及其价格进行调查，5大购物平台的售价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量y与价格x之间有明显的线性相关关系，已知其线性回归直线方程是：y=﹣3.2x+a，则a=（ ） A．24 B．35.6 C．40 D．40.5 【考点】线性回归方程． 【分析】根据图中数据求出、，再根据线性回归直线方程过样本中心点，代人求出a的值． 【解答】解：根据图中数据，得； =（9+9.5+10+10.5+11）=10， =（11+10+8+6+5）=8， 又线性回归直线方程是：y=﹣3.2x+a， ∴a=+3.2×=8+3.2×10=40． 故选：C．
7．已知椭圆与双曲线共同焦点，它们的离心率之和为，则此椭圆方程为（ ） A． B．
C． D． 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】求得双曲线的焦点和离心率，可设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），可得c=2，即a2﹣b2=4，运用离心率公式解方程可得a，b，进而得到椭圆方程． 【解答】解：双曲线的焦点为（±2，0）， 离心率为2， 由题意可设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0）， 可得c=2，即a2﹣b2=4， 又=，解得a=4，b=2，
可得椭圆的方程为+=1． 故选：D． 8．某科技研究所对一批新研发的产品长度进行检测（单位：mm），如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）
A．20 B．22.5 C．22.75 D．25 【考点】频率分布直方图． 【分析】根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可． 【解答】解：根据频率分布直方图，得； ∵0.02×5+0.04×5=0.3＜0.5， 0.3+0.08×5=0.7＞0.5； ∴中位数应在20～25内， 设中位数为x，则 0.3+（x﹣20）×0.08=0.5， 解得x=22.5； ∴这批产品的中位数是22.5． 故选：B．
9．一位同学家里订了一份报纸，送报人每天都在在早上5：20～6：40之间将报纸送达，该同学的爸爸需要早上6：00～7：00之间出发去上班，则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是（ ） A． B． C． D． 【考点】几何概型． 【分析】根据题意，设送报人到达的时间为x，这位同学的爸爸在离开家；则（x，y）可以看成平面中的点，分析可得由试验的全部结果所构成的区域并求出其面积，同理可得事件A所构成的区域及其面积，由几何概型公式，计算可得答案． 【解答】解：如图，设送报人到达的时间为x，这位同学的爸爸在离开家为y； 则（x，y）可以看成平面中的点，试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|5≤x≤6，6≤y≤7}，一个矩形区域，面积为SΩ=1×=， 事件A所构成的区域为A={（x，y）|5≤x≤6，6≤y≤7，x＜y}即图中的阴影部分， 其中A（6，6），C（6，6）．B（6，6）， △ABC面积为=×=，则阴影部分的面积SA=﹣=．
则对应的概率P==． 故选：B．
10．已知P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到直线l1：3x﹣4y+12=0和l2：x+2=0的距离之和的最小值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，则P到x+2=0的距离等于|PF|+1，抛物线y2=4x的焦点F（1，0）过P作l1：3x﹣4y+12=0的垂线和抛物线的交点就是P，所以点P到直线l1：3x﹣4y+12=0的距离和到直线x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，即可得出结论． 【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线， ∴P到x+2=0的距离等于|PF|+1， ∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）， ∴过P作l1：3x﹣4y+12=0的垂线和抛物线的交点就是P， ∴点P到直线l1：3x﹣4y+12=0的距离和到直线x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线l1：3x﹣4y+12=00距离， ∴P到直线l1：4x﹣3y+6=0和l2：x+2=0的距离之和的最小值是+1=3+1=4． 故选：D．
11．下图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列： ①﹣3是函数y=f（x）的极小值点； ②﹣1是函数y=f（x）的极小值点； ③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零； ④y=f（x）在区间（﹣3，1）上单调增． 则正确的序号是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【考点】利用导数研究函数的极值． 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【解答】解：根据导函数图象可知当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，在x∈（﹣3，1）时，f'（x）≤0 ∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，1）上单调递增，故④正确 则﹣3是函数y=f（x）的极小值点，故①正确 ∵在（﹣3，1）上单调递增∴﹣1不是函数y=f（x）的最小值点，故②不正确； ∵函数y=f（x）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故③不正确； 故选：A． 12．若点O（0，0）和点分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和右焦点，A为右顶点，点M为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（ ） A．＞0，解得x＜1﹣m，或x＞1+m（m＞0）． 即q对应的集合为B={x|x＜1﹣m，或x＞1+m（m＞0）}． ∵p是q的必要不充分条件，∴B⊊A．
故有，解得m≥9． 即实数m的取值范围是[9，+∞）． 18．2014年“五一节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（km/h）分成七段[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95）后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题： （Ⅰ）求a的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？ （Ⅱ）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）； （Ⅲ）若该路段的车速达到或超过90km/h即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；收集数据的方法；众数、中位数、平均数． 【分析】（I）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1求得a值，根据相同抽样方法的特征判断其抽样方法；