2020年数学中考重难点突破之特殊四边形的动态探究题
2020年数学中考重难点突破之三角形、四边形实践探究
三角形、四边形实践探究1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D从点B出发沿射线BA移动,同时,点E从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点D、E移动的速度相同,DE与直线BC相交于点F．(1)当点D在线段AB上时,过点D作AC的平行线交BC于点G,连接CD、GE,判定四边形CDG E的形状,并证明你的结论；(2)过点D作直线BC的垂线,垂足为M,当点D、E在移动的过程中,线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论．解:(1)四边形CDGE是平行四边形．理由:如解图①,∵D、E移动的速度相同, ∴BD=CE,∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ACB,∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠DGB,∴BD=GD=CE,又∵DG∥CE, ∴四边形CDGE是平行四边形；(2)BM＋CF=MF或BM－CF=MF.【解法提示】如解图②,当点D在线段AB上时,由(1)得:BD=GD=CE,∵DM⊥BC, ∴BM=GM,∵四边形CDGE是平行四边形,∴GF=CF,∴BM＋CF=GM＋GF=MF；如解图③,当点D在线段BA的延长线上时,同理可得四边形ADGE是平行四边形, ∴CF=GF,∵DG∥AE,∴∠DGB=∠ABG,∴BD=DG,∵DM⊥BC,∴BM=MG,∵MF=MG－FG,∴BM－CF=MF.第1题解图2.如图①所示,将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2,宽为1的长方形CEFD拼在一起,构成一个大的长方形ABEF,现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′,旋转角为α．（1）当边CD′恰好经过EF的中点H时,求旋转角α的大小；（2）如图②,G为BC中点,连接GD′,DE′,且0°＜α＜90°,求证:GD′=E′D；(3)小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中,△DCD′与△BCD′能否全等？若能,直接写出旋转角α的大小；若不能,说明理由．第2题图（1）解:如解图,∵边CD′恰好经过EF的中点H,∴EH=12EF=1=CE,∴△CEH为等腰直角三角形,∴∠ECH=45°, ∴α=45°；（2）证明:∵G为BC中点,∴CG=1, ∴CG=CE,∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′, ∴∠D′CE′=∠DCE=90°,CE=CE′=CG,∴∠GCD′=∠DCE′=90°＋α,在△GCD′和△E′CD中,CD CDGCD DCE CG CE'=⎧⎪'∠=∠⎨⎪'=⎩,∴△GCD′≌△E′CD(SAS),∴GD′=E′D；（3）解:能．理由: ∵四边形ABCD为正方形, ∴CB=CD, ∵CD′=CD′,∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形, 当∠BCD′=∠DCD′时,△BCD′≌△DCD′,当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时,则旋转角α= 180°−902o=135°,当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时,∠BCD′=∠DCD′=12∠BCD=45°则α=360°－902o=315°,即旋转角α的值为135°或315°时,△BCD′与△DCD′全等.第2题解图3.如图，已知正方形ABCD，E是AB延长线上一点，F是DC延长线上一点，连接BF、EF，恰有BF＝EF，将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，过点B作EF的垂线，交EF于点M，交DA的延长线于点N，连接NG．（1）求证：BE＝2CF；（2）试猜想四边形BFGN是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．第3题图（1）证明:如解图，过点F作FH⊥BE于点H，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠FHB＝∠HBC＝∠BCF＝90°，∴四边形BCFH为矩形，∴BH＝CF，又∵BF＝EF，∴BE＝2BH，∴BE＝2CF；（2）解:四边形BFGN为菱形，证明:∵MN⊥EF，∴∠E＋∠EBM＝90°，且∠EBM＝∠ABN，∴∠ABN＋∠E＝90°，∵BF＝EF，∴∠E＝∠EBF，∴∠ABN＋∠EBF＝90°，又∵∠EBC＝90°，∴∠CBF＋∠EBF＝90°，∴∠ABN＝∠CBF，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠NAB＝∠BCF＝90°，在△ABN和△CBF中，ABN CBF AB BCNAB BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABN ≌△CBF （ASA ），∴BF ＝BN ，又由旋转可得EF ＝FG ＝BF ，∴BN ＝FG ，∵∠GFM ＝∠BME ＝90°，∴BN ∥FG ，∴四边形BFGN 为菱形．第3题解图4.在△ABC 中，P 为边AB 上一点．（1）如图①，若∠ACP ＝∠B ，求证：AC 2＝AP ·AB ；（2）若M 为CP 的中点，AC ＝2．①如图②，若∠PBM ＝∠ACP ，AB ＝3，求BP 的长；②如图③，若∠ABC ＝45°，∠A ＝∠BMP ＝60°，直接写出BP 的长．图① 图② 图③第4题图解:（1）∵∠ACP ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACP ∽△ABC ， ∴AC AB AP AC=， ∴AC 2＝AP ·AB ；（2）①如解图①，取AP 的中点G ，连接MG ，设AG ＝x ，则PG ＝x ，BG ＝3－x ，∵M 是PC 的中点，∴MG ∥AC ，∴∠BGM ＝∠A ，∵∠ACP ＝∠PBM ，∴△APC ∽△GMB ， ∴AP AC GM BG=， 即2213x x =-，∴x ＝32±， ∵AB ＝3，∴AP ＝3∴PB②BP－1．【解法提示】如解图②，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，延长AB 到点E ，使BE ＝BP ，设BP ＝x ．∵∠ABC＝45°，∠A＝60°，∴CH＝3，HE＝3＋x，∴CE2＝（3）2＋（3＋x）2，∵PB＝BE，PM＝CM，∴BM∥CE，∴∠PMB＝∠PCE＝60°＝∠A，∵∠E＝∠E，∴△ECP∽△EAC，∴CE AE，EP CE∴CE2＝EP·EA，∴3＋3＋x2＋23x＝2x（x＋3＋1），∴解得x＝－1＋7或－1－7（舍），∴BP＝7－1．图①图②第4题解图5.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点P是BC上一点，连接AP，将线段AP 绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE交CD于点F，连接PE，CE，点Q是BC延长线上一点.（1）求证:CE平分∠DCQ；（2）当BP ＝2，求PF 的长；（3）若S △APF :S △PEF ＝4:1，求在旋转过程中，点A 经过的路径长.第5题图（1）证明:如解图，过点E 作EG ⊥PQ 于点G ，由题可知∠APE ＝90°，AP ＝EP ， ∴∠APB ＋∠EPG ＝90°，又∵∠BAP ＋∠APB ＝90°，∴∠BAP ＝∠EPG ，在△ABP 和△PGE 中，B PGE BAP EPG PA PE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△PGE （AAS ），∴PG ＝AB ＝4，EG ＝BP ，∴PB ＋PC ＝PC ＋CG ，∴BP ＝CG ＝EG ，∴△CGE 为等腰直角三角形，∴∠ECG ＝45°，∴CE 平分∠DCQ ； （2）解:PF ＝103； （3）解:分析知:41AD AF CG EF ==， ∴CG ＝EG ＝BP ＝1，∴AP ＝PE ＝2217AB BP +=，∴点A 经过的路径长为901717=1802⨯π⨯π.第5题解图6.如图，等边△ABC 中，AB ＝2，AD ⊥BC ，以AD 、CD 为邻边做矩形ADCE ，将△ADC 绕点D 顺时针旋转一定的角度得到△A ′DC ′使点A ′落在CE 上，连接AA ′，CC ′． （1）求AD 的长；（2）求证：△ADA ′∽△CDC ′；（3）求CC ′2的值．第6题图（1）解:∵AD 是等边三角形ABC 的高，∴∠B ＝60°，∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＝30°，∵AB ＝2，∴BD ＝12AB ＝1，∴AD 3；（2）证明:由旋转知，AD ＝A'D ，CD ＝C'D ， ∴AD A D CD C D'='， 由旋转知，∠ADA'＝∠CDC'，∴△ADA'∽△CDC'；（3）解:在矩形ADCE 中，∠DCE ＝90°，AD ＝CE ＝A'D AE ＝CD ＝1，∴A'C=，∴A'E ＝CE －A'C ＝AD －A'C ，在Rt △AEA'中，A'A 2＝A'E 2＋AE 2）2＋12＝6－，∵△ADA'∽△CDC'， ∴A A AD C C CD'=='∴CC'2＝23A A '＝63-． 7.已知，点P 是Rt △ABC 斜边AB 上一动点（不与A 、B 重合），分别过A 、B 向直线CP 作垂线，垂足分别为E 、F ，Q 为斜边AB 的中点．（1）如图①，当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是 ，QE 与QF 的数量关系是 ；（2）如图②，当点P 在线段AB 上不与点Q 重合时，试判断QE 与QF 的数量关系，并给予证明；（3）如图③，当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．图① 图② 图③第7题图解:（1）AE ∥BF ，QE ＝QF ；【解法提示】当点P 与点Q 重合时，AE 与BF 的位置关系是AE ∥BF ，QE 与QF 的数量关系是QE ＝QF ，理由是：∵Q 为AB 的中点，∴AQ ＝BQ ，∵AE ⊥CQ ，BF ⊥CQ ，∴AE ∥BF ，∠AEQ ＝∠BFQ ＝90°，在△AEQ 和△BFQ 中，AQE BQFAEQ BFQ AQ BQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEQ ≌△BFQ ，∴QE ＝QF ．（2）QE ＝QF ；证明:如解图①，延长EP 交BF 于点D ，∵由（1）知：AE ∥BF ，∴∠AEQ ＝∠BFQ ，在△AEQ 和△BFQ 中，AQE BQ AEQ B FFQ AQ BQ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEQ ≌△BFQ ，∴QE ＝QF ；（3）当点P 在线段BA （或AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论成立． 证明:如解图②，延长EQ 交FB 的延长线于点D ，∵由（1）知：AE ∥BF ，∴∠AEQ ＝∠BDQ ，在△AEQ 和△BDQ 中，AQE BQD AEQ BDQ AQ BQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEQ ≌△BDQ ，∴EQ ＝DQ ，∵∠BFE ＝90°，∴QE ＝QF ．图① 图②第7题解图 8.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC 的角平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F .（1）求证：BC＝FC；（2）如果CB和CF绕点C顺时针旋转相同的角度，点B恰好落在点A处，点F落在点G处.①点G_____直线AD上；（填“在”或“不在”）②连接FG，求证：FG//AC；（3）在（2）的条件下，若四边形CGFH是平行四边形，请直接写出∠ACB的度数：.第8题图（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABF＝∠BFC，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠BFC＝∠FBC，∴BC＝FC；（2）①解:在；②证明:∵CB和CF绕点C顺时针旋转相同的角度，点B恰好落在点A处，点F 落在点G处，∴CB＝CA，CF＝CG，∠BCA＝∠FCG，∴∠BAC＝∠CBA，∠CFG＝∠CGF，∴∠BAC＝∠CFG，∵AB∥CF，∴∠BAC＝∠ACF，∴∠CFG＝∠ACF，∴FG∥AC；（3）解:36°.9.如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠B＝60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将▱ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGH，点A的对应点为点H，点D的对应点为点G．（1）当点H与点C重合时．①填空：点E到CD的距离是；②求证：△BCE≌△GCF；③求△CEF的面积；（2）当点H落在射线BC上，且CH＝1时，直线EH与直线CD交于点M，请直接写出△MEF的面积．第9题图（1）①解:3；【解法提示】如解图①，作CK⊥AB于点K，∵∠B ＝60°，∴CK ＝BC ·sin60°＝＝∵点C 到AB 的距离和点E 到CD 的距离都是平行线AB 、CD 间的距离， ∴点E 到CD 的距离是②证明:∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠B ，∠A ＝∠BCD ，由折叠可知，AD ＝CG ，∠D ＝∠G ，∠A ＝∠ECG ，∴BC ＝GC ，∠B ＝∠G ，∠BCD ＝∠ECG ，∴∠BCE ＝∠GCF ，在△BCE 和△GCF 中，B G BCE GCF BC GC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△GCF （AAS ）；③解:如解图①，过点E 作EP ⊥BC 于点P ，∵∠B ＝60°，∠EPB ＝90°，∴∠BEP ＝30°，∴BE ＝2BP ，设BP ＝m ，则BE ＝2m ，∴EP ＝BE ·sin60°＝2m， 由折叠可知，AE ＝CE ，∵AB ＝6，∴AE ＝CE ＝6－2m ，∵BC ＝4，∴PC ＝4－m ，在Rt △ECP 中，由勾股定理得（4－m ）2＋m ）2＝（6－2m ）2，解得m ＝54， ∴EC ＝6－2m ＝6－2×54＝72，∵△BCE ≌△GCF ，∴CF ＝EC ＝72，∴S △CEF ＝12×72×； （2）解:①如解图②，当点H 在BC 的延长线上，且位于C 点的右侧时，过E 点作EQ ⊥BC 于点Q ，∵∠B ＝60°，∠EQB ＝90°，∴∠BEQ ＝30°，∴BE ＝2BQ ，设BQ ＝n ，则BE ＝2n ，∴QE ＝BE ·sin60°＝2n ， 由折叠可知，AE ＝HE ，∵AB ＝6，∴AE ＝HE ＝6－2n ，∵BC ＝4，CH ＝1，∴BH ＝5，∴QH ＝5－n ，在Rt △EHQ 中，由勾股定理得（5－n ）2）2＝（6－2n ）2，解得n ＝1114， ∴AE ＝HE ＝6－2n ＝317， ∵AB ∥CD ，∴△CMH ∽△BEH ， ∴MH CH HE BH=，即13157MH =， ∴MH ＝3135， ∴EM ＝317－3135＝12435， 由折叠知∠AEF ＝∠MEF ，又由平行知∠AEF ＝∠EFM ，∴EM ＝FM ＝12435， ∴S △EMF ＝12×12435×35． ②如解图③，当点H 在线段BC 上时，过点E 作EQ ⊥BC 于点Q ，∵∠B ＝60°，∠EQB ＝90°，∴∠BEQ ＝30°，∴BE ＝2BQ ，设BQ ＝n ，则BE ＝2n ，∴QE ＝BE ·sin60°＝2n ×2， 由折叠可知，AE ＝HE ，∵AB ＝6，∴AE ＝HE ＝6－2n ，∵BC ＝4，CH ＝1，∴BH ＝3，∴QH ＝3－n ，在Rt △EHQ 中，由勾股定理得（3－n ）2）2＝（6－2n ）2，解得n ＝32， ∴BE ＝2n ＝3，AE ＝HE ＝6－2n ＝3，∴BE ＝EH ，∵∠B ＝60°，∴△BHE 是等边三角形，∴∠BEH ＝60°，∵∠AEF ＝∠HEF ，∴∠FEH ＝∠AEF ＝60°，∴EF ∥BC ，∴DF ＝CF ＝3，∵AB ∥CD ，∴△CMH ∽△BEH ， ∴CM CH BE BH =，即133CM =， ∴CM ＝1，∴EM ＝CF ＋CM ＝4，∴S △EMF ＝12×4×综上，△MEF 的面积为35或图①图②图③第9题解图10.四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF．（1）如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；（2）如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1；①求点F到AD的距离；②求BF的长；（3）若BF＝310，请直接写出此时AE的长．图①图②备用图第10题图解:（1）如解图①，作FH⊥BA的延长线于点H，则∠FHE＝90°，∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AD ＝CD ＝4，EF ＝CE ，∠ADC ＝∠DAH ＝∠BAD ＝∠CEF ＝90°，∴∠FEH ＝∠CED ，在△EFH 和△CED 中，90FHE EDC FEH CEDEF CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EFH ≌△CED （AAS ），∴FH ＝ED ＝4，AH ＝CD ＝4，∴BH ＝AB ＋AH ＝8，∴BF（2）如解图②，过点F 作FH ⊥AD 交AD 的延长线于点H ，作FM ⊥AB 交BA 的延长线于点M ，则FM ＝AH ，AM ＝FH ，①∵AD ＝4，AE ＝1，∴DE ＝3，同（1）得：△EFH ≌△CED （AAS ），∴FH ＝DE ＝3，，即点F 到AD 的距离为3；②∵BM ＝AB ＋AM ＝4＋3＝7，由①得EH ＝CD ＝4，∴FM ＝AE ＋EH ＝5，∴BF；（3）1或2．【解法提示】分两种情况：①如解图③，当点E 在边AD 的左侧时，过F 作FH ⊥AD 交AD 于点H ，交BC于点K．同（1）得：△EFH≌△CED，∴FH＝DE＝AE＋4，EH＝CD＝4，∴FK＝8＋AE，在Rt△BFK中，BK＝AH＝EH－AE＝4－AE，由勾股定理得：（4－AE）2＋（8＋AE）2＝（310）2，解得AE＝1或AE＝－5（舍去），∴AE＝1；②如解图④，当点E在边AD的右侧时，过F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，交BC延长线于点K，同理得：AE＝2＋41或2－41（舍去）．③当点E在AD上时，可得：（8－AE）2＋（4＋AE）2＝（310）2，解得AE＝5或－1，5＞4不符合题意．综上所述：AE的长为1或2＋41．图①图②图③图④第10题解图。
2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版
2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版2019的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：①求最值问题，②动点构成特殊图形问题.一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短.求线段和的最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题.二、动点构成特殊图形问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决.小结在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.考向1 动点与最值1．(2019·聊城)如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A(4，4)，点C在边AB上，且ACCB=13，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A．(2，2) B．(52，52) C．(83，83) D．(3，3)2.（2019·威海）如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 在反比例函数()0ky k x=≠的图像上运动，且始终保持线段AB =M 为线段AB 的中点，连接OM.则线段OM 的长度的最小值是 （用含k 的代数式表示）.3．(2019·巴中)如图，在菱形ABCD 中，连接BD ，AC 交于点O ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，以点O 为圆心，OH 为半径的半圆交AC 于点M.（1）求证:DC 是e O 的切线;（2）若AC=4MC 且AC=8，求图中阴影部分的面积;（3）在②的条件下，P 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PH+PM 的值最小，并求出最小值.4．（2019·益阳）如图，在半面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD 的形状和大小，当形顶点A 在x 轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D 始终在y 轴的正半上随之上下移动.(1)当∠OAD=30°时，求点C 的坐标；(2)设AD 的中点为M ，连接OM 、MC ，当四边形 OMCD 的面积为221时，求OA 的长； (3)当点A 移动到某一位置时，点C 到点O 的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos ∠OAD 的值.5．（2019·衡阳）如图，在等边△ABC 中，AB=6cm ，动点P 从点A 出发以cm/s 的速度沿AB 匀速运动．动点Q 同时从点C 出发以同样的速度沿BC 延长线方向匀速运动．当点P 到达点B 时，点P 、Q 同时停止运动．设运动时间为t （s ）．过点P 作PE ⊥AC 于E ，连接PQ 交AC 边于D ．以CQ 、CE 为边作平行四边形CQFE ．（1）当t 为何值时，△BPQ 为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t ，使点F 在∠ABC 的平分线上？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE 的长；（4）取线段BC 的中点M ，连接PM ，将△BPM 沿直线PM 翻折，得△B ′PM ，连接AB ′，当t 为何值时，AB ′的值最小？并求出最小值．考向2 动点与图形存在性问题1.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线：y=ax 2+2x+c 相交于点A （-1，0）和点B （2，3）两点. （1）求抛物线C 函数解析式；（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在顶点F ，使抛物线C 上任意一点P 到F 的距离等于到直线y=174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.2.（2019·凉山州）如图，抛物线y= ax 2+bx+c 的图象过点A （-1，0）、B （3，0）、C （0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得 S △PAM =S △PAC ，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 考向3 动点与函数图像问题1．(2019·广元)如图，点P 是菱形ABCD 边上的动点，它从点A 出发沿A→B→C→D 路径匀速运动到点D ，设△PAD 的面积为y ，P 点的运动时间为x ，则y 关于x 的函数图象大致为( )2．（2019·衡阳）如图，在直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，E 是AB 的中点，过点E 作AC 和BC 的垂线，垂足分别为点D 和点F ，四边形CDEF 沿着CA 方向匀速运动，点C 与点A 重合时停止运动，设运动时间为t ，运动过程中四边形CDEF 与△ABC 的重叠部分面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（ ）．3.（2019·菏泽）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）4．（2019·长沙）如图，函数kyx=(k为常数，k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM 分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA=30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k=2；④若MF=25MB，则MD=2MA．其中正确的结论的序号是．2020年中考数学热点专题四动态探究问题解析版2019的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：①求最值问题，②动点构成特殊图形问题.一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。
2020中考数学33_专题一 特殊四边形的动态探究
∴AC=
=2 2.
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类型二 利用动点运动时间判定特殊四边形
例2 (2017河南中招标准模拟(一))如图,在▱ABCD中,∠B=60°,AB=4,AD=6,动 点F从点D出发,以每秒1个单位长度的速度从点D向点A运动,同时点E从点C出 发,以相同速度沿BC方向在BC的延长线上运动,设运动时间为t (s),连接DE,CF. (1)求证:△DFC≌△CED; (2)探究: ①当t= 4 s时,四边形DFCE是菱形; ②当t= 2 s时,四边形DFCE是矩形.
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专题一 特殊四边形的动态探究
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特殊四边形的动态探究题目是近几年全国各地中考命题的常见题,也是近 三年的河南中考中的必考题.呈现类型均为解答题,分值一般为9分或10分.内容 涉及三角形的全等与相似,等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边 形、矩形、正方形的判定定理和性质以及圆的知识.
∴∠BAD=∠BDA.
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠ODB=∠BAO=90°,
即OD⊥BC,
∴BD是☉O的切线.
(2)① 2π ② π 或π
3
3
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6.(2019罗山一模)如图,AB是半圆O的直径,C,D为半圆O上的点,过点D作☉O的 切线交AC的延长线于点E,AE∥OD,M为弦AC的中点. (1)填空:四边形ODEM的形状是 矩形 ;
︵
2π
①当 AE 的长度是 3 时,四边形ABDE是菱形;
2020年中考数学冲刺 专题三 利用特殊四边形性质巧解动点问题 专题突破 特殊四边形(原卷版)
2020年中考数学冲刺专题突破特殊四边形
专题三利用特殊四边形性质巧解动点问题
【专题说明】
利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答．
【类型】一、平行四边形中的动点问题
【精典例题】1、如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由．
【类型】二、菱形中的动点问题
【精典例题】2、如图，在菱形ABCD中，▱B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD 上．
(1)如图▱，若E是BC的中点，▱AEF＝60°，求证：BE＝DF；
(2)如图▱，若▱EAF＝60°，求证：▱AEF是等边三角形．
【类型】三、矩形中的动点问题
【精典例题】3、在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
(1)如图▱，连接AF，CE.试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长．
(2)如图▱，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿▱AFB和▱CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
【类型】四、正方形中的动点问题
【精典例题】4、如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．。
2020年中考数学重点题型突破易错点：4-5《特殊的四边形》试题及答案-最新推荐
4.5特殊的四边形易错清单1.矩形的性质.【解析】连接BE,设AB=3x,BC=5x,根据勾股定理求出AE=4x,DE=x,求出x的值,求出AB,BC,即可求出答案.【答案】如图,连接BE,则BE=B C.设AB=3x,BC=5x,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=3x,AD=BC=5x,∠A=90°.由勾股定理,得AE=4x,则DE=5x-4x=x,【误区纠错】本题考查了矩形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是求出x的值.2.菱形面积的计算.【例2】(2014·甘肃兰州)如果菱形的两条对角线的长为a和b,且a,b满足那么菱形的面积等于.【解析】根据非负数的性质列式求出a,b,再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解.【答案】由题意,得a-1=0,b-4=0,解得a=1,b=4,∵菱形的两条对角线的长为a和b,∴菱形的面积【误区纠错】本题考查了非负数的性质,菱形的性质,主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半.3.正方形的性质.【例3】(2014·广东梅州)如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE.(1)求证:CE=CF;(2)若点G在AD上,且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗?为什么?【解析】(1)由DF=BE,四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD,从而证出CE=CF.(2)由(1)得,CE=CF,∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°.又∠GCE=45°,所以可得∠GCE=∠GCF,故可证得△ECG≌△FCG,即EG=FG=GD+DF.又因为DF=BE,所以可证出GE=BE+GD成立.【答案】(1)在正方形ABCD中,∵BC=CD,∠B=∠CDF,BE=DF,∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.(2)GE=BE+GD成立.理由如下:∵由(1),得△CBE≌△CDF,∴∠BCE=∠DCF.∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠ECF=∠BCD=90°,又∠GCE=45°,∴∠GCF=∠GCE=45°.∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴△ECG≌△FCG(SAS).∴GE=GF.∴GE=DF+GD=BE+GD.【误区纠错】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想,在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段,从而证出关系是不是成立.名师点拨重点:特殊平行四边形的性质和判定的应用.难点:以特殊平行四边形为对象,进行图形变换(如旋转、翻折等),以及将图形问题与函数、方程综合应用的问题.提分策略1.在特殊平行四边形的背景中,探究与三角形相关的问题.以特殊平行四边形为原型,通过图形变换,构造出特殊三角形,提出与三角形相关的问题,解决此类问题的关键是适时添加辅助线,将四边形的问题转化为三角形的问题.【例1】如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12厘米,EF=16厘米,则边AD的长是().A. 12厘米B. 16厘米C. 20厘米D. 28厘米【解析】本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质,解答此题的关键是作出辅助线,构造出全等三角形,再根据直角三角形及全等三角形的性质解答.我们先求出△EFH是直角三角形,再根据勾股定理求出FH=20,再利用全等三角形的性质解答即可.【答案】设斜线上两个点分别为P,Q,如图.∵点P是点A对折过去的,∴∠EPH为直角,△AEH≌△PEH.∴∠HEA=∠HEP.同理∠PEF=∠BEF.∴∠PEH+∠PEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.∴△DHG≌△BFE,△HEF是直角三角形.∴BF=DH=PF.∵AH=HP,∴AD=HF.∵EH=12cm,EF=16 cm,∴FH===20(cm).∴FH=AD=20cm.故选C.2.以三角形为基本图形,通过图形变换构造四边形问题.以三角形为起点,经历图形变换形成较为复杂的图形,提出与四边形相关的问题,解决此类问题的关键是明确四边形的形成过程,从而根据四边形的边、角及对角线的特性去判定四边形的形状.【例2】如图,已知△ABC,按如下步骤作图:①分别以A,C为圆心,以大于AC的长为半径在AC两边作弧,交于两点M,N;②连接MN,分别交AB,AC于点D,O;③过C作CE∥AB交MN于点E,连接AE,CD.(1)求证:四边形ADCE是菱形;(2)当∠ACB=90°,BC=6,△ADC的周长为18时,求四边形ADCE的面积.【解析】此题主要考查了菱形的判定以及对角线垂直的四边形面积求法,根据已知得出△ADO∽△ABC,进而求出AO的长是解题关键.(1)利用直线DE是线段AC的垂直平分线,得出AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,进而得出△AOD ≌△COE,即可得出四边形ADCE是菱形.(2)利用当∠ACB=90°时,OD∥BC,即有△ADO∽△ABC,即可得出AC和DE的长即可得出四边形ADCE的面积.【答案】(1)由题意,知直线DE是线段AC的垂直平分线,∴AC⊥DE,即∠AOD=∠COE=90°,且AD=CD,AO=CO.又CE∥AB,∴∠ADO=∠CEO.∴△AOD≌△COE.∴OD=OE.∴四边形ADCE是菱形.(2)当∠ACB=90°时,∵OD∥BC,∴△ADO∽△ABC.又BC=6,∴OD=3.又△ADC的周长为18,∴AD+AO=9,即AD=9-AO.∴AO=4.∴DE=6,AC=8.3.利用菱形、正方形的对称性进行解题.求线段和的最小值问题,就是利用轴对称的性质,解决的方法是先确定一点关于直线的对称点,连接另一点与对称点,即可得到线段和的最小值,而在“确定一点关于直线的对称点”时,就是利用了菱形、正方形的对称性.【例3】如图,菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线AC上的一个动点,点M,N分别是边AB,BC的中点,则PM+PN的最小值是.【解析】由对角线是6和8,知菱形边长为5,作M关于AC的对称点M',连接M'N交AC于点P,则此时PM+PN和最小为线段M'N的长,此时M'N=AB=5.【答案】 54.与正方形相关的综合性问题.由于正方形的特殊性质,可以借助正方形进行运动变化,从而使问题具有较强的探究性,也可以与方程、函数联系起来,即用方程或函数研究图形问题.【例4】已知,正方形ABCD中,∠MAN=45°,∠MAN绕点A顺时针旋转,它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H.(1)如图(1),当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时,请你直接写出AH与AB的数量关系:;(2)如图(2),当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时,(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗?如果不成立请写出理由,如果成立请证明;(3)如图(3),已知∠MAN=45°,AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长.(可利用(2)得到的结论)【解析】(1)由三角形全等可以证明AH=AB.(2)延长CB至E,使BE=DN,证明△AEM≌△ANM,能得到AH=AB.(3)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND,然后分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3,在Rt△MCN中,由勾股定理,解得x.【答案】(1)AH=AB.(2)数量关系成立.如图(4),延长CB至E,使BE=DN.∵ABCD是正方形,∴AB=AD,∠D=∠ABE=90°.∴Rt△AEB≌Rt△AND.∴AE=AN,∠EAB=∠NAD.∴∠EAM=∠NAM=45°.∵AM=AM,∴△AEM≌△ANM.∵AB,AH是△AEM和△ANM对应边上的高,∴AB=AH.(4)(5)(3)如图(5)分别沿AM,AN翻折△AMH和△ANH,得到△ABM和△AND.∴BM=2,DN=3,∠B=∠D=∠BAD=90°.分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD.由(2)可知,AH=AB=BC=CD=AD.设AH=x,则MC=x-2,NC=x-3.在Rt△MCN中,由勾股定理,得MN2=MC2+NC2.∴52=(x-2)2+(x-3)2.解得x1=6,x2=-1(不符合题意,舍去).∴AH=6.专项训练一、选择题1. (2014·江苏常熟二模)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6cm, 8cm,AE⊥BC于点E,则AE的长是().(第1题)(第2题)2.(2014·广西梧州模拟)如图,矩形纸片ABCD中,AD=4,CD=3,折叠纸片使AB边与对角线AC 重合,折痕为AE,记与点B重合的点为F,则△CEF的面积与矩形纸片ABCD的面积的比为().3.(2013·江苏扬州弘扬中学二模)如图所示,如果将矩形纸沿虚线①对折后,沿虚线②剪开,剪出一个直角三角形,展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是().(第3题)A. 2+B. 2+2C. 12D. 184. (2013·山西中考模拟六)在下列命题中,正确的是().A. 一组对边平行的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形二、填空题5. (2014·广东深圳模拟)如图, 点A在双曲线上,点B在双曲线上,且AB∥x 轴,点C,D在x轴上,若四边形ABCD为矩形, 且它的面积为3,则k= .(第5题)(第6题)6. (2013·辽宁铁岭模拟)如图,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过顶点B,D作DE⊥a 于点E,BF⊥a于点F,若DE=4,BF=3,则EF的长为.三、解答题7. (2014·安徽安庆一模)如图,n×n的正方形网格.请按图形的规律,探索以下问题:(第7题)…(1)第④个图形中阴影部分小正方形的个数为;(2)是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形的个数的?如果存在,是哪个图形,如果不存在,请说明你的理由.参考答案与解析1. D[解析] AC,BD的长分别为6cm, 8cm,2. B[解析] AF=AB=3, CF=AC-AF=5-3=2,设BE=x, 则CE=4-x, EF=x,∴x2+22=(4-x)2.3. B[解析]可以自己动手折一下得出正确的答案.4. C[解析]一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;有一个角是直角的平行四边形是矩形;对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.6. 7[解析]可证△ABF≌△DAE,则AF=DE,BF=AE,所以EF=AF+AE=3+4=7.7. (1)22个(2)存在.解得n1=10,n2= (舍去).所以第⑩个图形存在.。
2020年中考数学压轴题专题之抛物线上的特殊平行四边形问题探究
抛物线上的特殊平行四边形问题探究专题导入导图：给出两点确定平行四边形关系如下图：导例如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2思路点拨1．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．2．把△MAB分割为共底MD的两个三角形，高的和为定值O A．3．当PQ与OB平行且相等时，以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，按照P、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．答案：(1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4． 设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-． ①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得225x =-±．此时点Q 的坐标为(225,225)-+-（如图3），或(225,225)--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．图3 图4 图5典例类型一：已知“两点”判断平行四边形存在性问题例1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =x 2+mx +n 经过点A （3，0）、B （0，﹣3），点P 是直线AB 上的动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，设点P 的横坐标为t ． （1）分别求出直线AB 和这条抛物线的解析式．（2）若点P 在第四象限，连接AM 、BM ，当线段PM 最长时，求△ABM 的面积．（3）是否存在这样的点P ，使得以点P 、M 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM 的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=32时，PM最长为=94，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．类型二：菱形的存在性问题例2 如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过点A，C.(1)求抛物线的解析式；(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）【分析】（1）把已知点坐标代入解析式；（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；（3）①由已知，注意相似三角形的分类讨论．②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．类型三：正方形的存在性问题例3如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点（不与点A 、B 重合），①如图2，若点P 在直线AB 上方，连接OP 交AB 于点D ，求的最大值；②如图3，若点P 在x 轴的上方，连接PC ，以PC 为边作正方形CPEF ，随着点P 的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E 或F 恰好落在y 轴上，直接写出对应的点P 的坐标．【分析】（1）利用直线解析式求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）作PF ∥BO 交AB 于点F ，证△PFD ∽△OBD ，得比例线段，则PF 取最大值时，求得的最大值；（3）（i ）点F 在y 轴上时，P 在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P 作PH ⊥x 轴于H ，根据正方形的性质可证明△CPH ≌△FCO ，根据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO ＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii ）点E 在y 轴上时，过点PK ⊥x 轴于K ，作PS ⊥y 轴于S ，同理可证得△EPS ≌△CPK ，可得PS ＝PK ，则P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点E 在y 轴上时，过点PM ⊥x 轴于M ，作PN ⊥y 轴于N ，同理可证得△PEN ≌△PCM ，可得PN ＝PM ，则P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题． 专题突破1、如图，抛物线2y x bx c =-++与直线122y x =+交于,C D 两点，其中点C 在y 轴上，点D 的坐标为7(3,)2。
2020年中考数学二轮重难题型突破五二次函数与特殊平行四边形判定问题
精选文档 666种类五 二次函数与特别平行四边形判断问题例 1、如图，抛物线 yx 2 bx c 与直线 y1 x2 交于 C , D 两点，此中点 C 在 y 轴2上，点 D 的坐标为 (3, 7) 。
点 P 是 y 轴右边的抛物线上一动点， 过点 P 作 PEx 轴于点 E ，2交CD 于点F .（ 1）求抛物线的分析式；（ 2）若点 P 的横坐标为 m ，当 m 为什么值时， 以 O, C , P, F 为极点的四边形是平行四边形？请说明原因。
【分析】（1 ）∵直线 y1 x2 经过点 C ,∴ C(0,2)2∵抛物线 yx 2bx c 经过点 C (0,2) ， D (3, 7)22cb 7 ∴72 32 3bcc22∴抛物线的分析式为yx 27 x22（2）∵点 P 的横坐标为 m 且在抛物线上∴ P( m, m27 m 2), F ( m, 1m 2)22∵ PF ∥ CO ，∴当 PF CO 时，以O,C , P, F为极点的四边形是平行四边形①当 0 m 3 时，PF m27m 2 (1m 2)m23m 22∴ m23m 2 ，解得： m1 1,m2 2即当m12时，四边形OCPF是平行四边形或②当 m 3 时，PF (1m 2) ( m27m 2) m23m22m23m 2 ，解得： m13 17, m2317（舍去）22即当m13217时，四边形OCFP 是平行四边形例 2、如图，抛物线y=ax 2+bx+3 与x 轴订交于点 A （﹣ 1，0）、B（ 3，0），与y 轴订交于点C，点 P 为线段 OB 上的动点（不与O、 B 重合），过点 P 垂直于 x 轴的直线与抛物线及线段 BC 分别交于点 E、F，点 D 在 y 轴正半轴上， OD=2 ，连结 DE、OF．（1）求抛物线的分析式；（2）当四边形ODEF 是平行四边形时，求点P 的坐标；【分析】解：（ 1）∵点 A （﹣ 1， 0）、 B （3， 0）在抛物线y=ax 2+bx+3 上，∴，解得 a=﹣ 1，b=2 ，2（ 2）在抛物线分析式 y= ﹣ x 2+2x+3 中，令 x=0 ，得 y=3 ， ∴C （ 0，3）．设直线 BC 的分析式为 y=kx+b ，将 B （3， 0），C （ 0， 3）坐标代入得：，解得 k= ﹣ 1， b=3 ，∴ y = ﹣ x+3．设 E 点坐标为（ x ，﹣ x 2+2x+3 ），则 P （ x ， 0）， F （ x ，﹣x+3 ）， ∴EF=y E ﹣ y F =﹣ x 2+2x+3 ﹣（﹣ x+3 ） =﹣x 2+3x ． ∵四边形 ODEF 是平行四边形，∴ E F=OD=2 ，22∴﹣ x +3x=2 ，即 x ﹣3x+2=0 ，∴P 点坐标为（ 1， 0）或（ 2， 0）．例 3、如图， 抛物线 yax2bx 3与 y 轴交于点 C ，与 x 轴交于 A 、B 两点，tan OCA13 ，S ABC6．（ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求抛物线的分析式及极点坐标；（ 3）设点 E 在 x轴上，点 F 在抛物线上，假如 A 、 C 、 E 、 F 组成平行四边形，请写出点 E的坐标（不用书写计算过程） ．yCB O A x【分析】解：（ 1） ∵ y ax 2bx 3∴ C (0,3)1 分又 ∵ tan ∠OCA=13∴ A （ 1， 0）1 分=6又 ∵ S △ABC1∴3 AB 62AB=41B 3 01 2A 1 0 B3 0y ax2bx30a b 3109a3b3a 1 b2y x22x32y(x 1) 241 41 3ACE1析(11 0)E227 01E27 013ACE 3 0144y=x2+mx+nA 3 0 B 03P ABP x MPt1AB2PAMBMPMABM3P PMBO P【分析】：（1）分别利用待定系数法求两函数的分析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与 y=kx+b，获得对于m、 n 的两个方程组，解方程组即可；（2）设点 P 的坐标是（ t， t﹣ 3），则 M（ t ，t2﹣ 2t﹣ 3），用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标获得 PM 的长，即 PM=（ t﹣ 3）﹣（ t2﹣ 2t﹣ 3）=﹣ t2 +3t，而后依据二次函数的最值获得当 t=﹣= 3时， PM 最长为=9，再利用三角形的面积公式利用24S△ABM =S△BPM +S△APM计算即可；（3）由 PM∥ OB，依据平行四边形的判断获得当PM =OB 时，点 P、 M、B、O 为极点的四边形为平行四边形，而后议论：当P 在第四象限： PM=OB=3， PM 最长时只有，因此不行能；当 P 在第一象限： PM=OB=3 ，（ t2﹣ 2t﹣3）﹣（ t﹣ 3）=3；当 P 在第三象限： PM=OB=3，t2﹣ 3t=3，分别解一元二次方程即可获得知足条件的t 的值．【答案】解：（ 1）把 A（ 3， 0） B（0，﹣ 3）代入 y=x2+mx+n，得解得，因此抛物线的分析式是y=x2﹣2x﹣ 3．设直线 AB 的分析式是 y=kx+b，把 A（ 3，0） B（0，﹣ 3）代入 y=kx+b，得，解得，因此直线 AB 的分析式是 y=x﹣ 3；（2）设点 P 的坐标是（ t， t﹣ 3），则 M（ t ，t2﹣ 2t﹣ 3），由于 p 在第四象限，因此 PM =（ t﹣ 3）﹣（ t2﹣ 2t﹣ 3） =﹣t 2+3t，当 t=﹣= 3时，二次函数的最大值，即PM 最长值为=9，24则 S ABM=S BPM +S APM== ．△△△（3）存在，原因以下：∵PM ∥ OB，∴当 PM =OB 时，点 P、 M、 B、O 为极点的四边形为平行四边形，①当 P 在第四象限： PM=OB=3，PM 最长时只有9，因此不行能有 PM =3．4②当 P 在第一象限： PM =OB=3 ，（ t2﹣ 2t﹣ 3）﹣（ t﹣ 3）=3，解得 t1=，t2=（舍去），因此 P 点的横坐标是；③当 P 在第三象限： PM=OB=3，t2﹣ 3t=3，解得 t（舍去），t2=，因此 P1=点的横坐标是．因此 P 点的横坐标是或．例 5、如图，抛物线经过A( 1,0), B(5,0), C(0,5)三点. 2(1)求抛物线的分析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使 PA+PC的值最小，求点P 的坐标；(3)点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上能否存在一点N，使以 A,C,M,N 四点组成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明原因 .yOABxC（第 5 题图）【分析】解：（ 1）设抛物线的分析式为y ax2bx c ，a b c0,依据题意，得25a 5b c0, ，5c.2yN 'x A MBHPO'MC N（第 5 题图）a1, 2解得b 2, c5 .2∴抛物线的分析式为： y1 x2 2x 5 . (3 分)2 2（ 2）由题意知，点 A 对于抛物线对称轴的对称点为点 B, 连结 BC 交抛物线的对称轴于点P ，则 P 点 即为所求 .设直线 BC 的分析式为 ykx b ，5k b 0,k1,由题意，得5. 解得2 bb52.2∴直线 BC 的分析式为 y15 (6 分)x.22∵抛物线 y1 x2 2x 5 的对称轴是 x 2 ，22 ∴当 x 2 时， y1 x 53 .2 2 2∴点 P 的坐标是 (2, 3) .(7 分)2（3）存在(8分)(i) 当存在的点 N 在 x 轴的下方时，以下图，∵四边形 ACNM 是平行四边形， ∴ CN ∥ x 轴，5 ∴点 C 与点 N 对于对称轴x=2 对称，∵ C 点的坐标为(0,) ，∴点 N 的坐标为2(4, 5).(11 分)2（II ）当存在的点 N ' 在 x 轴上方时，以下图，作N ' H x 轴于点 H ，∵四边形 ACM ' N '是平行四边形，∴ACM 'N ', N 'M 'HCAO ,∴ Rt △ CAO ≌Rt △ N ' M ' H , ∴ N ' H OC .∵点 C 的坐标为 (0,5 ), N 'H 5 ,即 N 点的纵坐标为5 ，222∴1x22x55, 即 x 2 4x 10 02 2 2解得 x2 14, x 214.12N '(2 14, 5) (2 14, 5 ) .22N(4, 5). (214, 5)(2 14, 5)(13 )222。
2020中考数学,中考数学高分答题技巧+特殊四边形的动态探究+点、直线和圆的位置关系
（六）、图形添线，必有规律。 这几年考试中，几何图形的辅助线集中在四方面：
1、如果图形中有特殊点，如切点，斜边的中点，就要 连结特殊线段，如经过切点的半径、斜边上的中线，等等；
2、作垂线，构成直角三角形，便于计算；
例题：如图，圆O的直径AB的长为10，弦AC长为6，ACB 的平分线交圆O于D，则CD长为（7 2）
目录
一、摆正心态-认真审题
二、方法与步骤 三、临考注意，别填错答题卡 四、考完速离场，“装糊涂，莫议论”
注意：一定要耐心、认真审题
数学试卷答得好坏，主要依靠平日的基本功。 只要“双基”扎实，临场不乱，重审题、重思考、 轻定势，那么成绩不会差。切忌慌乱，同时也 不可盲目轻敌，觉得自己平时数学成绩不错， 再看到头几道题简单，就欣喜若狂，导致“大 意失荆州”。不是审题有误就是数据计算错误， 这也是考试发挥失常的一个重要原因，要认真 对待考试，认真对待每一道题主要把好４个关：
C
A
O
B
D
3、分割四边形，或延长一组对边，或平 移线段，把四边形转化为三角形（将不熟悉
的转化为你所熟悉的）来研究。
例题：将一个梯形分割成面积相等的两部分，有几种方案。
（七）、步步为营，仔细复查。
不少同学总怕考试时间来不及，却不知忙中出 错最可惜。
我们要尽力使每步运算都正确，不要跳步骤。 若做完题目后，如果把题解重看一遍是难以发现 错误的，应该换一条思路来复查，或把答数 放到题目条件中检查。假如感觉原来的题解 不妥，先不要涂掉，可以另做题解作比较， 弄清哪个解正确再涂改，以免一时冲动而丢分。
（三）、 答数学卷要注意陷阱
1、答题时需注意题中的要求（题中的要求，并非就你
想当然的以为）。
例如、科学计数法在题中是对哪一个数据进行科 学计数
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特殊四边形的动态探究题1.已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接ED ，若ED ＝EC .(1)求证：AB ＝AC ；(2)①若AB ＝4，BC ＝23，则CD ＝________；②当∠A ＝________时，四边形ODEB 是菱形．第1题图1．(1)证明：∵ED ＝EC ，∴∠EDC ＝∠C ，∵∠EDC ＋∠ADE ＝180°，∠B ＋∠ADE ＝180°，∴∠EDC ＝∠B ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；(2)解：①32；【解法提示】如解图，连接BD ，第1题解图∵AB 为∵O 的直径，∵BD ∵AC ，设CD ＝a ，由(1)知AC ＝AB ＝4，则AD ＝4－a ，在Rt∵ABD 中，由勾股定理可得BD 2＝AB 2－AD 2＝42－(4－a )2，在Rt∵CBD 中，由勾股定理可得BD 2＝BC 2－CD 2＝(23)2－a 2，∵42－(4－a )2＝(23)2－a 2，解得a ＝32，即CD ＝32. ∵60°.【解法提示】如解图，连接OD 、OE ，∵四边形ODEB 是菱形，∵OB ＝BE ，又∵OB ＝OE ，∵∵OBE 是等边三角形，∵∵OBE ＝60°，∵OD ∵BE ，∵∵BOD ＝120°，∵∵A ＝12∵BOD ＝60°.2 .如图，在▱ABCD 中，AD ＝4，AB ＝5，延长AD 到点E ，连接EC ，过点B 作BF ∥CE 交AD 于点F ，交CD 的延长线于点G .(1)求证：四边形BCEF 是平行四边形；(2)①当DF ＝______时，四边形BCEF 是正方形；②当GF GD ＝________时，四边形BCEF 是菱形．第2题图2. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴EF ∥BC .∵BF ∥CE ，∴四边形BCEF 是平行四边形；(2)解：①1;【解法提示】∵四边形BCEF 是正方形，∵BF ＝BC ＝AD ＝4，∵FBC ＝∵AFB ＝90°，∵AF ＝AB 2－BF 2＝52－42＝3.∵AD ＝4，∵DF ＝AD －AF ＝4－3＝1.∵45. 【解法提示】∵四边形BCEF 是菱形，∵BF ＝BC ＝AD ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ，∵GD AB ＝GF BF ，即GF GD ＝BF AB ＝45.3.如图，AB 是半圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点P 在AM 上，连接OP 交半圆O 于点D ，PC 切半圆O 于点C ，连接BC .(1)求证：BC ∥OP ；(2)若半圆O 的半径等于2，填空：①当AP ＝________时，四边形OAPC 是正方形；②当AP ＝________时，四边形BODC 是菱形．第3题图3.解：(1)证明：连接OC，AC，如解图所示，∵AB是直径，AM⊥AB，∴BC⊥AC，AP是半⊙O的切线，又∵PC是半⊙O的切线，∴P A＝PC，又∵OA＝OC，∴OP⊥AC，∴BC∥OP；(2)① 2；② 2 3.【解法提示】∵若四边形OAPC是正方形，则OA＝AP，∵OA＝2，∵AP＝2；∵若四边形BODC是菱形，则CB＝BO＝OD＝DC，∵AB＝2OB，∵ACB＝90°，∵AB＝2BC，∵∵BAC＝30°，∵ABC＝60°，∵BC∵OP，∵∵AOP＝∵ABC＝60°，又∵∵OAP＝90°，OA＝2，∵∵OP A＝30°，∵OP＝4，∵AP＝22222OP＝2 3.-OA=4-第3题解图4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，线段BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，AF＝CE且F不与E重合．(1)求证：△EF A≌△ACE；(2)填空：①当∠B＝_________°时，四边形ACEF是菱形；②当∠B＝_________°时，线段AF与AB垂直．第4题图4.(1)证明：如解图，第4题解图∵ED是BC的垂直平分线，∴EB＝EC，ED⊥BC，∴∠3＝∠4，∵∠ACB＝90°，∴FE∥AC，∴∠1＝∠5，∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1＝∠2＝∠5，∴AE＝CE.又∵AF＝CE，∴AE＝AF，∴∠5＝∠F，在△EF A和△ACE中，AF＝AE＝EC，∠1＝∠2＝∠5＝∠F，∴△EF A≌△ACE.(2)解：① 30；②45.【解法提示】∵∵四边形ACEF是菱形，∵AC＝CE，∵CE是Rt∵ABC斜边AB的中线，∵CE＝AE＝BE，∵AE＝AC＝CE，∵∵ACE是等边三角形,∵∵1＝60°，则∵B＝30°,∵当∵B＝30°时，四边形ACEF是菱形；∵由(1)知∵EF A∵∵ACE，∵∵AEC＝∵EAF，∵AF∥CE，∵AF∵AB，∵CE∵AB，∵CE＝EB，∵∵3＝∵4＝45°，∵当∵B＝45°时，线段AF与AB垂直．5.如图，AB是⊙O的直径，E是⊙O外一点，过点E作⊙O的两条切线ED，EB，切点分别为点D，B.连接AD并延长交BE延长线于点C，连接OE.(1)试判断OE与AC的关系，并说明理由；(2)填空：①当∠BAC＝_________°时，四边形ODEB为正方形；②当∠BAC＝30°时，ADDE的值为________．第5题图5.解：(1)OE∥AC，OE＝12AC.理由：连接OD，如解图，第5题解图∵DE，BE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，AB⊥BC，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，∵OD＝OB，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OBE(HL)，∴∠1＝∠2.∵∠BOD＝∠A＋∠3，OA＝OD，∴∠A＝∠3，∴∠2＝∠A，∴OE∥AC；∵OA＝OB，∴EC＝EB，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝12AC.(2)①45；②3.【解法提示】∵要使四边形ODEB是正方形，由ED＝EB，∵ODE＝∵ABC＝90°,只需∵DOB＝90°，∵∵A＝45°；∵过O作OH∵AD于H,∵∵A＝30°，OA＝OD,∵∵3＝∵A＝30°，∵OD，∵∵ODE＝90°，∵1＝∵3＝30°，∵OD，∵ADDE＝3.6.如图，将⊙O的内接矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接BC1，∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x.(1)若点O与点C1重合，求证：A1D1为⊙O的切线；(2)①当x＝________时，四边形ABC1D1是菱形；②当x＝________时，△BDD1为等边三角形．第6题图6. (1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠D＝90°，∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，∴∠A1D1O＝∠D＝90°，∴A1D1⊥OD1，∴A1D1为⊙O的切线；(2)解：①1；②2.【解法提示】∵如解图∵，连接AD1，当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；第6题解图∵理由：由平移得：AB＝D1C1，且AB∵D1C1，∵四边形ABC1D1是平行四边形，∵∵ACB＝30°，∵∵CAB＝60°，∵AB＝1，∵AC＝2，∵x＝1，∵AC1＝1，∵AB＝AC1，∵∵AC1B是等边三角形，∵AB＝BC1，∵四边形ABC1D1是菱形；∵如解图∵所示，当x＝2时，∵BDD1为等边三角形，第6题解图∵则可得BD＝DD1＝BD1＝2，即当x＝2时，∵BDD1为等边三角形．7. 如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的一个动点，∠BAC的平分线交圆弧于点D，半圆O在点D处的切线与直线AC交于点E.(1)求证：△ADE∽△ABD；(2)填空：①若ED∶DB＝3∶2，则AE∶AB＝________；②连接OC、CD，当∠BAC的度数为________时，四边形BDCO是菱形．第7题图7.(1)证明：如解图①，连接OD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠EAD ＝∠DAB ，∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∴∠EAD ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ，∵DE 是半圆O 的切线，∴OD ⊥DE ，∴∠E ＝90°，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠EAD ＝∠DAB ，∠E ＝∠ADB ，∴△ADE ∽△ABD ；第7题解图①(2)解：① 3∶4；【解法提示】由(1)得△ADE ∽△ABD ，∴ED BD ＝AE AD ，∵ED ∶DB ＝3∶2，∴AE ∶AD ＝3∶2，∴∠EAD ＝30°，∴∠DAB ＝30°，∴AD ∶AB ＝3∶2，∴AE ∶AB ＝3∶4.② 60°.【解法提示】如解图∵，连接OC ，CD ，OD ，当四边形BDCO 是菱形时，OD ＝BD ，∵∵ODB 为等边三角形，∵∵DOB ＝60°，由(1)得，OD ∵AC ，∵∵BAC ＝60°.第7题解图②8.如图，以△ABC一边AB为直径作⊙O，与另外两边分别交于点D、E，且点D为BC的中点，连接DE.(1)证明：△ABC是等腰三角形；(2)填空：①当∠B＝________时，四边形BDEO是菱形；②当∠B＝________时，△AOE是直角三角形．第8题图8.(1)证明：连接AD，如解图，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA＝90°.∵D为BC的中点,∴BD＝DC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；第8题解图(2)解：① 60°；② 67.5°.【解法提示】∵当∵B ＝60°时，四边形BDEO 是菱形．连接OD ，如解图，∵∵B ＝60°，∵∵ABC 是等边三角形，∵OBD 是等边三角形，∵∵AOE 是等边三角形，∵DOE 是等边三角形，∵OB ＝BD ＝DE ＝EO , ∵四边形BDEO 是菱形；∵若∵AOE 是直角三角形， 只有一种情况，即∵AOE ＝90°，∵OA ＝OE ，∵∵OAE ＝∵AEO ＝45°，由(1)知 ∵ABC 是等腰三角形，∵∵B ＝∵C ＝180°－45°2＝67.5°. 9.如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝8，O 是AB 的中点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于D ，E 是AB ︵上的一点，∠C ＝45°，连接BE ，DE . AF 切圆O 于点A ，交BE 的延长线于点F .(1)求证：BC 是圆O 的切线；(2)填空：①当BE ＝________时，四边形BDAE 是正方形；②当BF ＝________时，四边形ODAF 是平行四边形．第9题图9.(1)证明：∵AB ＝BC ，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝∠C ＝45°，∵在△ABC 中，∠ABC ＝180°－∠BAC －∠C ＝180°－45°－45°＝90°，又∵AB 是过圆心O 的直径，OB ⊥BC ，∴BC 是圆O 的切线；(2)解：① 42；② 4 5.【解法提示】∵当DE 经过圆心时四边形BDAE 是正方形，连接BD ，AE ，如解图∵，∵AB 是圆O 的直径，∵∵ADB ＝90°，又∵AB ＝BC ，∵BD ∵AC ，A D ＝DC ＝BD ，又∵∵ADB ＝90°，AD ＝BD ，∵DO ∵AB ，∵AB ∵ED ，∵AB ＝ED ，OA ＝OB ，OE ＝OD ，∵四边形BDAE 是正方形．∵AB ＝8，∵EO ＝OB ＝4，∵BE ＝22BO EO +＝16＋16＝42，∵当BE ＝42时，四边形BDAE 是正方形；∵如解图∵，∵四边形ODAF 是平行四边形，∵AF ＝OD ＝4，∵BF ＝22AB AF +=2284+＝45，∵当BF ＝45时，四边形ODAF 是平行四边形．第9题解图∵ 第9题解图∵ 10.如图，已知平行四边形ABCD 中，AD ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，BD ＝12 cm.点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点C 出发以相同的速度向点D 运动．设运动时间为t .(1)连接DP 、BQ ，求证：DP ＝BQ ；(2)填空：①当t 为______s 时，四边形PBQD 是矩形；②当t 为______s 时，四边形PBQD 是菱形．第10题图10.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，AD ＝BC .又∵AP ＝CQ ＝t ，∴△APD ≌△CQB (SAS)，∴DP ＝BQ ；(2)① 1；② 2.【解法提示】∵如解图∵，∵∵APD ∵∵CQB ，∵DP ＝BQ .∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ＝CD ，AB ∵CD ，∵AB －AP ＝CD －CQ ，即BP ＝DQ ，∵四边形PBQD 是平行四边形．当∵DPB ＝90°时，则四边形PBQD 就是矩形．此时，AD 2－AP 2＝BD 2－BP 2＝DP 2，即82－t 2＝122－(10－t )2，解得t ＝1；∵如解图∵，由∵知四边形PBQD 是平行四边形，当DP ＝BP 时，则四边形PBQD 就是菱形．此时，连接PQ ，交BD 于点O ，则PQ ∵BD ，OB ＝OD ＝6. 作DH ∵AB 于H .由∵知BH ＝10－1＝9，cos∵DBH ＝BH BD ＝912＝34.在Rt∵BOP 中，cos∵PBO ＝OB PB ，cos∵DBH ＝cos∵PBO ＝34，即34＝t106，解得t ＝2.第10题解图①第10题解图②。