2018-2019学年高中数学苏教版必修3教学案：第3章 3.1 3.1.1 - 3.1.2 随机现象 随机事件的概率.doc-含解析
高中数学 3.1 随机事件及其概率学案 苏教版必修3(2021年整理)
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3.1 随机事件及其概率出重复试验的结果。
1．随机现象(1)确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．（2)随机现象:在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．预习交流1 确定性现象是指一定条件下事先就能断定其一定发生的现象吗?提示：不一定．确定性现象是指在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象．如正常情况下，水向高处流,是事先能断定不发生的现象，也是确定性现象．2．随机事件(1)试验与事件：对于某个现象，如果能让其条件实现1次,那么就是进行了1次试验．而试验的每一种可能的结果，都是一个事件．（2)必然事件：在一定的条件下,必然会发生的事件叫做必然事件．(3)不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件．（4）随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．随机事件一般用大写英文字母来表示,简称为事件．预习交流2随机事件概念中的“一定条件”能否去掉?提示:不能．事件的结果是相对于“一定条件”而言的，随着条件的改变，其结果也会不同．因此在随机事件的概念中“一定条件”不能去掉．3．随机事件的概率(1)随机事件的概率：一般地，对于给定的随机事件A ,在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A 发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A 的概率，记作P （A )．(2)概率的性质:概率必须满足两个基本要求：①P (A )的范围是0≤P （A ）≤1；②分别用Ω和∅分别表示必然事件和不可能事件，则P (Ω)＝1，P （∅）＝0。
【配套K12】2018-2019学年数学苏教版必修3教学案：第1部分 第3章 3.2 古典概型-含解
甲、乙两人玩掷骰子游戏，他们约定：两颗骰子掷出去，如果朝上的两个数的和是5，那么甲获胜，如果朝上的两个数的和是7，那么乙获胜．问题1：若甲获胜，那么两颗骰子出现的点数有几种？提示：会出现(1，4)，(4，1)(2，3)，(3，2)四种可能．问题2：若乙获胜，两颗骰子出现的点数又如何？提示：会出现(1，6)，(6，1)，(2，5，)，(5，2)，(3，4)，(4，3)六种可能．问题3：这样的游戏公平吗？提示：由问题1、2知甲获胜的机会比乙获胜的机会少，不公平．问题4：能否求出甲、乙两人获胜的概率？提示：可以．1．基本事件与等可能事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．古典概型(1)古典概型的特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．(2)古典概型的定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)古典概型概率的计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝m n．即P(A)＝事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数.1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型，例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件有两个：“发芽”、“不发芽”，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故此试验不符合古典概型的等可能性．2．古典概型的概率公式P(A)＝mn与事件A发生的频率mn有本质的区别，其中P(A)＝mn是一个定值，且对同一试验的同一事件m、n均为定值，而频率中的m、n均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P(A)．[例1]将一颗骰子先后抛掷两次，求：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？[思路点拨]求基本事件的个数可用列举法、列表法、树形图法．[精解详析]法一：(列举法)：(1)用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗骰子出现的点数，y表示第2颗骰子出现的点数，则试验的所有结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共36个基本事件．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二：(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．(1)由图知，基本事件总数为36.(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．法三：(树形图法)：一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图直接表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用对勾标出)．[一点通]基本事件个数的计算方法有：(1)列举法：列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所含的基本事件．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．(2)列表法：对于试验结果不是太多的情况，可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．(3)树形图法：树形图法是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的求解．1．本例中条件变为“一枚硬币连续掷三次”，会有多少种不同结果？解：画树形图共8种．2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球．(1)共有多少种不同的结果(基本事件)?(2)摸出2个黑球有多少种不同结果？解：(1)共有6种不同结果，分别为{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，{白，黑1}，{白，黑2}，{白，黑3}．(2)从上面所有结果中可看出摸出2个黑球的结果有3种.[例2](12分)同时投掷两个骰子，计算下列事件的概率：(1)事件A：两个骰子点数相同；(2)事件B ：两个骰子点数之和为8；(3)事件C ：两个骰子点数之和为奇数．[思路点拨] 先判断这个试验是否为古典概型，然后用列举法求出所有基本事件总数及所求事件包含的基本事件的个数，最后用公式P (A )＝mn求结果．[精解详析] (1)将两个骰子标上记号A ，B ，将A ，B 骰子的点数记为(x ，y )，则共有36种等可能的结果．如下(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．⇨(3分)出现点数相同的结果有(1，1)(2，2)(3，3)(4，4)(5，5)(6，6)共6种． ∴P (A )＝636＝16.⇨(6分) (2)出现点数之和为8的结果有(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)共5种， ∴P (B )＝536.⇨(9分) (3)出现点数之和为奇数包括“x 是奇数、y 是偶数”和“x 是偶数、y 是奇数”，共有18种，∴P (C )＝1836＝12.⇨(12分) [一点通]求古典概型概率的步骤：(1)用列举法求出基本事件总个数n .(2)用列举法求出事件A 包含的基本事件的个数m .(3)利用公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn 求出事件A 的概率．3．先后从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________．解析：基本事件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共10种，所以所求概率为1016＝58.答案：584．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问： (1)两数之积是奇数的概率是多少？ (2)两数之积是3的倍数的概率是多少？解：每次抛出的点数都可能有1，2，3，4，5，6这6种结果，两次点数之积的不同结果如下表所示共有36种.(1)设事件A 表示“两数之积是奇数”，则事件A 包含的不同结果的个数为9，所以P (A )＝936＝14. (2)设事件B 表示“两数之积是3的倍数”，则事件B 包含的不同结果的个数为20，所以P (B )＝2036＝59.1．解决古典概型问题的关键是：分清基本事件总数n 与事件A 所包含基本事件的个数m ，注意问题：(1)试验基本结果是否有等可能性． (2)本试验的基本事件有多少个．(3)事件A包含哪些基本事件．只有弄清这三个方面的问题解题才不致于出错．2．求基本事件的个数有列举法、列表法和树形图法，一是注意按一定顺序，防止重复和遗漏；二是可先数一部分，找出规律，推测全部．课下能力提升(十六)一、填空题1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：本题中基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为23.答案：2 32．在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在集合A＝{0，1，2}内取值的点中任取一个，此点正好在直线y＝x上的概率为________．解析：由x，y∈{0，1，2}，这样的点共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)9个，其中满足在直线y＝x上的点(x，y)有(0，0)，(1，1)，(2，2)3个，所以所求概率为P＝39＝13.答案：1 33．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________．解析：随机选取的a，b组成实数对(a，b)，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15种．其中b >a 的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，所以b >a 的概率为315＝15.答案：154．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求概率为34.答案：345．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：从3只白球、1只黑球中随机摸出两只小球，基本事件有(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(白1，黑)，(白2，黑)，(白3，黑)，其中颜色不同的有三种，故所求概率为P ＝12.答案：12二、解答题6．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，求两种品牌都齐全的概率．解：3台甲型电脑为1，2，3，2台乙型电脑为A ，B ，则所有基本事件为：(1，2)，(1，3)，(1，A )，(1，B )，(2，3)，(2，A )，(2，B )，(3，A )，(3，B )，(A ，B )，共10个. 记事件C 为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的事件为6个，所以P (C )＝610＝35. 7．设集合P ＝{b ，1}，Q ＝{c ，1，2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2，3，4，5，6，7，8，9}． (1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解：(1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3，4，5，6，7，8，9；当b ＞2时，b ＝c ＝3，4，5，6，7，8，9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为：714＝12.(2)记“方程有实根”为事件A，若使方程有实根，则Δ＝b2－4c≥0，即b＝c＝4，5，6，7，8，9共6种. 所以P(A)＝614＝37.8．对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A企业来自辽宁省，B，C 两家企业来自江苏省，D，E，F三家企业来自山东省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的选法有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种．所以，“在中标的企业中，至少有一家来自江苏省”的概率为915＝3 5.。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分 第3章 3.1 3.1.4 空间向量的坐标表示含答案解析
3．1.4空间向量的坐标表示[对应学生用书P56]在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，建立空间直角坐标系(如图)，在x轴，y轴，z轴上分别取三个单位向量i，j，k.AD.问题1：用i，j，k表示AC，1AD＝j＋k.提示：AC＝i＋j，1AC＝x i＋y j＋z k，则x，y，z为多少？与点C1的坐标有什么关系？问题2：若1AC＝i＋j＋k，提示：∵1∴x＝1，y＝1，z＝1，(x，y，z)＝(1,1,1)与C1的坐标相同．在空间直角坐标系O－xyz中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i、j、k作为基向量．对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组(x，y，z)，使a＝x i＋y j＋z k，有序实数组(x，y，z)叫做向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(x，y，z).一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉倒巨石，这三个力为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 3 N.问题1：若以F1，F2，F3的方向分别为x轴，y轴，z轴正半轴建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F＝(3 000,2 000,2 0003)．问题2：巨石受到的合力有多大？提示：|F|＝5 000 N.1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R.2．空间向量平行的坐标表示为a∥b(a≠0)⇔b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3(λ∈R)．3．一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标．1．确定空间向量的坐标的方法：(1)向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标． (2)通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标． 2．空间向量的坐标运算：(1)向量的加减等于对应坐标的加减，其结果仍是向量．(2)向量与实数相乘等于实数与其坐标分别相乘，其结果仍是向量．[对应学生用书P57][例1] 如图所示，P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AB ＝1.求向量MN 的坐标．[思路点拨] 以AB 、AD 、AP 为单位正交基底建立空间直角坐标系，用AB 、AD 、AP 表示MN ，得其坐标．[精解详析]∵P A ＝AB ＝AD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 是两两垂直的单位向量．设AB ＝e 1，AD ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A －xyz .法一：∵MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝－12AB ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AC )＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AB ＋AD )＝12AP ＋12AD ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. 法二： 如图所示，连结AC 、BD 交于点O .则O 为AC 、BD 的中点． ∴MO ＝12BC ＝12AD ，ON ＝12AP ，∴MN ＝MO ＋ON ＝12AD ＋12AP ＝12e 2＋12e 3，∴MN ＝⎝⎛⎭⎫0，12，12. [一点通] 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤：1.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB ，DE ，DF 的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同， 则1DB ＝DA ＋AB ＋1BB ＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴1DB ＝(2,2,2)．∵DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE ＝(2,2,1)． 又∵DF ＝e 2， ∴DF ＝(0,1,0)．2.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO 、1A B 的坐标．解：(1)∵DO ＝－OD ＝－(1OO ＋1O D ) ＝－[1OO ＋12(OA ＋OB )]＝－1OO －12OA －12OB .又|1OO |＝4，|OA |＝4，|OB |＝2， ∴DO ＝(－2，－1，－4)．(2)∵1A B ＝OB －1OA ＝OB －(OA ＋1AA ) ＝OB －OA －1AA .又|OB |＝2，|OA |＝4，|1AA |＝4， ∴1A B ＝(－4,2，－4)．3．已知向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标是(2,3，－1)，求p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标． 解：由已知p ＝2a ＋3b －c ， 设p ＝x a ＋y (a ＋b )＋z (a ＋b ＋c ) ＝(x ＋y ＋z )a ＋(y ＋z )b ＋z c . 由向量分解的惟一性， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝2，y ＋z ＝3，z ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝4，z ＝－1.∴p 在基底{a ，a ＋b ，a ＋b ＋c }下的坐标为(－1,4，－1).[例2] 已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1,4)， 求：a ＋b ，a －b,3a ＋2b .[思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似． [精解详析] a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4) ＝(2＋0，－1＋(－1)，－2＋4)＝(2，－2,2)． a －b ＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)． 3a ＋2b ＝3(2，－1，－2)＋2(0，－1,4) ＝(6，－3，－6)＋(0，－2,8)＝(6，－5,2)．[一点通] 空间向量的加、减、数乘运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活应用．4．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)． 求：(1)a －(b ＋c )； (2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a －(b ＋c )＝(1，－2,4)－(1,0,5)＝(0，－2，－1)． (2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4) ＝(3，－8,17)．5．已知O 为原点，A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为：A (2，－4,1)，B (3，2,0)，C (－2,1,4)，D (6,3,2)，求满足下列条件的点P 的坐标．(1)OP ＝2(AB －AC )； (2)AP ＝AB －DC .解：(1)AB －AC ＝CB ＝(3,2,0)－(－2,1,4)＝(5,1，－4)， ∴OP ＝2(5,1，－4)＝(10,2，－8)， ∴点P 的坐标为(10,2，－8)．(2)设P (x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋4，z －1)， 又AB ＝(1,6，－1)，DC ＝(－8，－2,2)， ∴AB －DC ＝(9,8，－3)， ∴(x －2，y ＋4，z －1)＝(9,8，－3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝9，y ＋4＝8，z －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11，y ＝4，z ＝－2.所以点P 的坐标为(11,4，－2).[例3] 已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1,2)，B (1,2，－1)，C (－1,1，－3)，D (3，－5,3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．[思路点拨] 证明AB ∥CD 且AD 不平行BC ，或证AB ∥CD 且|AB |≠|CD |即可．[精解详析] ∵AB ＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD ＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)， ∴－24＝3－6＝－36， ∴AB 与CD 共线，即AB ∥CD ，又∵AD ＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，BC ＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，∴0－2≠－4－1≠1－2，∴AD 与BC 不平行． ∴四边形ABCD 为梯形． [一点通]利用空间向量的坐标运算证明线线平行时，应该遵循的步骤是： (1)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标； (2)写出相应向量的坐标； (3)证明两个向量平行；(4)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一向量所在的直线上，从而证得线线平行．6．设a ＝(1,2，－1)，b ＝(－2,3,2)．若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值． 解：∵k a ＋b ＝(k,2k ，－k )＋(－2,3,2) ＝(k －2,2k ＋3,2－k )，a －3b ＝(1,2，－1)－(－6,9,6)＝(7，－7，－7)． ∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝2k ＋3－7＝2－k －7，∴k ＝－13.7.如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2P A 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点．求证：PQ ∥RS .证明：如图，建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，B (0,4,0)，O 1(0,0,2)，A 1(3,0,2)，B 1(0,4,2)． ∵P A ＝2P A 1，SB 1＝2BS ，Q 、R 分别是棱O 1B 1、AE 的中点，∴P ⎝⎛⎭⎫3，0，43，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎫0，4，23. 于是PQ ＝⎝⎛⎭⎫－3，2，23＝RS .∴PQ ∥RS . ∵R ∉PQ ，∴PQ ∥RS .1．运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的一般步骤： (1)建立恰当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标；(3)写出向量的坐标； (4)结合公式进行论证、计算； (5)转化为几何结论．2．用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．[对应课时跟踪训练(二十一)]1．已知a ＝(1，－2,1)，a －b ＝(－1,2，－1)，则b ＝________. 解析：b ＝a －(a －b )＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)． 答案：(2，－4,2)2．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(2,1,3)，其中a ＝4i ＋2j ，b ＝2j ＋3k ，c ＝3k －j ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为________．解析：由题意知点A 对应向量为2a ＋b ＋3c ＝2(4i ＋2j )＋(2j ＋3k )＋3(3k －j )＝8i ＋3j ＋12k ， 故点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为(8,3,12)． 答案：(8,3,12)3．已知向量a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ＝________. 解析：由a 、b 、c 共面可得c ＝x a ＋y b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10.答案：104．已知a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a ∥b ，则x ＝_______________， y ＝________.解析：∵a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)， 又∵a ∥b ，显然y ≠0， ∴2x 1＝1－2y ＝39， ∴x ＝16，y ＝－32.答案：16 －325．已知点A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点，且AC ＝13AB ，则C 点坐标为________．解析：设C 点坐标(x ，y ，z )，则AC ＝(x －4，y －1，z －3)．∵AB ＝(－2，－6，－2)，∴13AB ＝13(－2，－6，－2)＝⎝⎛⎭⎫－23，－2，－23， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －4＝－23，y －1＝－2，z －3＝－23.解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝103，y ＝－1，z ＝73.答案：(103，－1，73)6．已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，试建立适当的坐标系并写出向量MN ，DC 的坐标．所以可设AD ＝e 1，解：如图，因为P A ＝AD ＝AB ＝1，且P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝e 2，AP ＝e 3，以{e 1，e 2，e 3}为基底建立空间直角坐标系A -xyz . 因为DC ＝AB ＝e 2，MN ＝MA ＋AP ＋PN ＝MA ＋AP ＋12PC＝－12AB ＋AP ＋12(PA ＋AD ＋DC )＝－12e 2＋e 3＋12(－e 3＋e 1＋e 2)＝12e 1＋12e 3.所以MN ＝⎝⎛⎭⎫－12，0，12，DC ＝(0,1,0)． 7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)、(－2,2,3)．求点P 的坐标，使： (1)OP ＝12(AB －AC )；(2)AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC ＝(－4,3,1)． (1)OP ＝12(6,3，－4)＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， 则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3，32，－2. (2)设P 为(x ，y ，z )，则AP ＝(x －2，y ＋1，z －2) ＝12(AB －AC )＝⎝⎛⎭⎫3，32，－2， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，12，0. 8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，点P 是线段BD 1上一动点，E 是BC 的中点，当点P 在什么位置时，PE ∥A 1B?解：以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，C (0,4,0)，D 1(0，0,3)．∵E 为BC 的中点， ∴E (2,4,0)．∴1A B ＝(4,4,0)－(4,0,3)＝(0,4，－3)，1BD ＝(0,0,3)－(4,4,0)＝(－4，－4,3)，EB ＝(4,4,0)－(2,4,0)＝(2,0,0)．设BP ＝λ1BD ，则EP ＝EB ＋BP ＝EB ＋λ1BD . ∵EB ＝(2,0,0)，λ1BD ＝(－4λ，－4λ，3λ)， ∴EP ＝(2－4λ，－4λ，3λ)． 由PE ∥A 1B ，得EP ∥1A B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4λ＝0，－4λ4＝3λ－3.∴λ＝12.此时点P 为BD 1的中点．故当点P 为BD 1的中点时，PE ∥A 1B .。
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
[推荐学习]2018-2019学年高中数学苏教版必修3教学案：第2章 2.1 2.1.1 简单随机抽
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2．1.1简单随机抽样[新知初探]1．简单随机抽样从个体数为N的总体中逐个不放回地取出n个个体作为样本(n<N)，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．2．抽签法实施步骤(1)将总体中的N个个体编号；(2)将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；(3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；(4)从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k次；(5)将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出．3．随机数表法实施步骤(1)将总体中的个体编号(每个号码位数一致)；(2)在随机数表中任选一个数作为开始；(3)从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；(4)根据选定的号码抽取样本．[点睛]抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，不方便．随机数表法当总体容量稍大时，比抽签法简便．[小试身手]1．为了了解全校300名高一学生的体重情况，从中抽取60名学生进行测量，下列说法正确的是________(填序号)．①总体是300；②个体是每一名学生；③样本是60名学生；④样本容量是60.答案：④2．某校有40个班，每班50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是________．答案：1203．下列抽取样本的方式不是简单随机抽样的序号是________．①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本．②箱子里有100支铅笔，从中选取10支进行检验，在抽样操作时从中任意拿出一支检测后再放回箱子里．③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．答案：①②③简单随机抽样的判断单随[典例]下列抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．(2)从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验．(3)从班上50名同学中选数学成绩最好的2名同学参加数学竞赛．(4)某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动．[解](1)不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的．(2)不是简单随机抽样，因为简单随机抽样是逐个抽取个体，而不是一次性抽取个体．(3)不是简单随机抽样，因为每个个体被抽取的可能性不相等．(4)不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为五名同学是指定的，而不是随机抽取的．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是________(填序号)．①从10台电冰箱中抽出3台进行质量检查；②某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人，教育部门为了了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本；③某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田的平均产量．解析：①的总体容量较小，用简单随机抽样比较方便；②由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大，不宜用简单随机抽样；③总体容量较大，并且各类田地的产量差别很大，也不宜用简单随机抽样．答案：①[典例] 某班有40名同学，随机抽取其中10名同学参加某项活动，请写出采用抽签法抽取的过程．[解] 第一步，对这40名学生进行编号，可以编为1,2，3， (40)第二步，将号码写在形状、大小相同的号签上． 第三步，将号签放在同一不透明的箱中，并搅拌均匀．第四步，从箱中每次抽取1个号签，连续抽取10次． 第五步，将与号签上的号码对应的同学抽出即得样本．抽签法的应[活学活用]上海某中学从40名学生中选1名学生作为上海男篮拉拉队成员，采用下面两种方法选取．方法一：将40名学生按1～40进行编号，相应制作1～40的40个号签，把这40个号签放在一个暗箱中搅拌均匀，最后随机地从中抽取1个号签，与这个号签号码一致的学生幸运入选；方法二：将39个白球与1个红球混合放在一个暗箱中搅匀，让40名学生逐一从中摸取1个球，摸到红球的学生成为拉拉队成员．试问这两种方法是否都是抽签法？为什么？解：抽签法抽样时给总体中的N个个体编号各不相同，由此可知方法一是抽签法，因为抽签法要求所有的号签编号互不相同，而方法二中39个白球无法相互区分，故方法二不是抽签法．这两种方法的相同之处在于每名学生被选中的机会都相等.随机数表法的应用[典例]为了检验某公司生产的800袋面粉质量是否达标，现从800袋面粉中抽取80袋进行检验．写出用随机数表法抽取样本的过程．[解]第一步，将800袋面粉编号，号码为001,002，…，799,800.第二步，在随机数表中，任选一个数作为开始，如选第3行第6列的数2.第三步，从选定的数2开始向右读(读数的方向还可以向左、向下、向上)，得到一个三位数227，由于227<799，说明号码227在总体内，将它取出；继续向右读，得到665，由于665<799，说明665在总体中，将它取出，若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过；按照这种方法继续向右读，依次下去，直到将样本的80个号码全部取出为止．第四步，对照号码，把对应编号的面粉抽出，这样就得到一个容量为80的样本．本例若改成质检人员从生产的100袋面粉中，用随机数表法抽取10袋检查．对100袋面粉采用下面编号方法：①01,02,03，…，100；②001,002,003，…100；③00,01,02，…，99其中最恰当的编号方法是______(填序号)．解析：只有编号时数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．否则的话，由①是先选二位数字呢？还是先选三位数字呢？那就破坏了随机抽样．②③的编号位数相同，可以采用随机数表法，但②中号码是三位数，读数费时，③省时．答案：③层级一 学业水平达标1．采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，某个个体前两次未被抽到，第三次被抽到的机会是________．解析：采用简单随机抽样时，每个个体被抽到的机会相等，与第几次抽取无关．答案：162．下列抽样中是简单随机抽样的是________．①从100个号签中一次取出5个作为样本②某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵参加救灾工作③一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出6个号签④从某班56名(30名男生，26名女生)学生中随机抽取2名男生，2名女生参加乒乓球混双比赛解析：①不是逐个抽取，所以不是简单随机抽样；②④不满足等可能抽样，所以不是简单随机抽样；③是简单随机抽样．答案：③3．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的可能性为________．解析：可能性为5100＝120. 答案：1204．对于简单随机抽样的下列说法：①它要求被抽取的总体个数有限；②它是从总体中逐个地抽取；③它是一种不放回抽样． 其中正确的序号是________．解析：由简单随机抽样的特点知，①②③均正确．答案：①②③5．从个体总数N＝500的总体中抽取一个容量为n＝10的样本，使用随机数表法进行抽取，要取三位数．写出你抽得的样本，并写出抽选过程(起点在第几行第几列，具体方法)．解：第一步：将总体中的个体编号(三位数)为000,001，002， (499)第二步：在随机数表中随机地确定一个数作为开始．如第6行第13列的数5开始；第三步：从数5开始向右读下去，每次读三位，凡不在000～499中的数跳过去，遇到已经读过的数也跳过去，便可依次得到354,378,384,263,491,442,175,331,455,068.这10个号码就是所需抽取的10个样本个体的号码．层级二应试能力达标1．为了了解某校高一学生的期末考试情况，要从该年级700名学生中抽取120名学生进行数据分析，则在这次考查中，考查总体数为________，样本容量是________．答案：7001202．在简单随机抽样中，某一个体被抽到的可能性与顺序________(填“无关”或“有关”)．解析：简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相同，与顺序无关．答案：无关3．在用抽签法抽样时，有下列五个步骤：(1)从箱中每次抽出1个号签，并记录其编号，连续抽取k次；(2)将总体中的所有个体编号；(3)制作号签；(4)将总体中与抽到的签的编号相一致的个体取出构成样本；(5)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀．以上步骤的次序是____________________________________________________．答案：(2)(3)(5)(1)(4)4．要检查一个工厂产品的合格率，从1 000件产品中抽出50件进行检查，检查者在其中逐一抽取了50件，这种抽样法可称为______________．解析：该题总体中个数为1 000，样本容量为50，总体的个数较少，所抽样本的个数也较少，可用简单随机抽样方法抽取．答案：简单随机抽样5．某校有50个班，每班50人，现抽查250名同学进行摸底考试，则每位同学被抽到的可能性为________．解析：根据简单随机抽样的特征，总量为50×50＝2 500人．∴每位同学被抽到的可能性为2502 500＝110. 答案：1106．下列抽样实验中，适合用抽签法的有________．①从某厂生产3 000件产品中抽取600件进行质量检验②从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验③从甲、乙两工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验④从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验解析：①④中总体容量较大，不适合．③中甲、乙两厂生产的产品质量可能差异明显． 答案：②7．某工厂共有n 名工人，为了调查工人的健康情况，从中随机抽取20名工人作为调查对象，若每位工人被抽到的可能性为15，则n ＝________. 解析：∵简单随机抽样为机会均等的抽样，∴20n ＝15，即n ＝100. 答案：1008．(江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______.解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字为08,02,14,07,01，…，故选出的第5个个体的编号为01.答案：019．某班有50名同学，要从中随机抽取6人参加一项活动，请用抽签法进行抽选，并写出过程．解：①将50名学生编号01,02,03， (50)②按编号制签；③将签放入同一个箱里，搅均；④每次从中抽取一个签，连续抽取6次；⑤取出与签号相应的学生，组成样本．10．说出下列抽取样本时运用了哪种抽样方法？并说明原因．设一个总体中的个体数N＝345，要抽取一个容量为n＝15的样本，现采用如下方法：从随机数表中任意选取三列构成三位数字号码，从中依次取出不同的三位数字号码，当数在001～345之间时，该号码抽入样本；当数在401～745之间时，则该数减去400的号码抽入样本中，其余的000,346～400,746～999的号码都不要；当某号码已抽入样本中，而再次遇到该号码被抽入样本时，只算一次．解：运用了简单随机抽样中的随机数表法．简单随机抽样的要求是给个体编号，逐个不放回抽取，操作的个体数量不宜太多，每个个体被抽取的机会均等，只有符合这些特点才是简单随机抽样．本题虽然取数时，设计了特别的规则，但是从随机数表中任意取数符合简单随机抽样的每个特点，所以本题运用了简单随机抽样法中的随机数表法．。
[推荐学习]2018-2019学年高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3.3 几何概型-含答案
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观察下面两个试验：(1)早上乘公交车去上学，公交车到站的时间可能是7：00至7：10分之间的任何一个时刻． (2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆200 km 2的区域，而主着陆场为方圆120 km 2的区域，飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性是均等的．问题1：上述两个试验中的基本事件的结果有多少个？ 提示：无限个．问题2：每个试验结果出现的可能机会均等吗？ 提示：是均等的．问题3：上述两试验属古典概型吗？提示：不属于古典概型，因为试验结果是无限个． 问题4：能否求两试验发生的概率？ 提示：可以求出．1．几何概型的定义对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2．几何概型的计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度．这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．1．在几何概型中，“等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．2．判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备两个特征：无限性和等可能性．[例1] 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长大于AC 的长的概率．[思路点拨] 在AB 上截取AC ′＝AC ，结合图形分析适合条件的区域可求概率．[精解详析] 设AC ＝BC ＝a ， 则AB ＝2a ，在AB 上截取AC ′＝AC ， 于是P (AM >AC )＝P (AM >AC ′) ＝BC ′AB ＝AB －AC AB ＝2a －a 2a＝2－22. 即AM 的长大于AC 的长的概率为2－22.[一点通]在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中确认边界是问题的关键．1．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为________． 解析：P ＝3－1.53－1＝0.75.答案：0.752．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，在区间[12，2]上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x 0∈[12，2]，∴x 0∈[1，2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23. 答案：23[例2] (湖南高考改编)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内， 用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________．[思路点拨] 可判断为几何概型，利用面积比求其概率．[精解详析] 圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π， 则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.[答案]2π[一点通]解决此类问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形．利用图形的几何特征计算相关面积．3．射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12.2 cm ，运动员在70 m 外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为________．解析：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14π×12.2214π×1222＝0.01. 答案：0.014．如图，平面上一长12 cm ，宽10 cm 的矩形ABCD 内有一半径为1 cm 的圆O (圆心O 在矩形对角线交点处)．把一枚半径为1 cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆O 相碰的概率．解：由题意可知：只有硬币中心投在阴影部分(区域d )时才符合要求，所以不与圆相碰的概率为8×10－π×2280＝1－π20.[例3] (12分)用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．[思路点拨] 先判断概型为几何概型后利用体积比计算概率．[精解详析] 设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm.(3分)设R ＝3，r ＝1，则区域D 的体积为V ＝43πR3(5分)区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.(7分)∴P (A )＝V 1V ＝1－(r R)3＝1－127＝2627分)故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627分)[一点通]如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．解析：记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故区域d 为棱长为10的正方体，P (A )＝103303＝127.答案：1276．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M- ABCD 的体积小于16的概率为________．解析：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M-ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，S 底ABCD ＝1，∴h ＝12.∴只要点M 到平面ABCD 的距离小于12.所有满足点M 到平面ABCD 的距离小于12的点组成以ABCD 为底面，高为h (h ＜12)的长方体，又正方体棱长为1.∴使棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率P ＝121＝12.答案：12利用几何概型计算事件概率分以下几步：(1)判断是否为几何概型，此步关键是把事件看成一次试验，然后看试验是否是等可能试验，并且试验次数是否是无限的.(2)计算基本事件与事件A 所含的基本事件对应的区域的测度(长度、面积或体积)． (3)利用概率公式计算．课下能力提升(十七)一、填空题1．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ________． 解析：[－1，2]的长度为3，[0，1]的长度为1，所以概率是13.答案：132．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．解析：由题意，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π cm 2，故所求概率为77π81π＝7781. 答案：77813.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83. 答案：834．一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析：边长为3，4，5三边构成直角三角形，P ＝（3－1－1）＋（4－1－1）＋（5－1－1）3＋4＋5＝612＝12. 答案：125.如图，在平面直角坐标系中，∠xOT ＝60°，以O 为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT 内的概率是________．解析：以O 为起点作射线，设为OA ，则射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA 落在锐角∠xOT 内”为事件A ，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P (A )＝60360＝16. 答案：16二、解答题6．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，求劣弧AB ︵的长度小于1的概率．解：如图，圆周上使AM ︵的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1AM 2︵的长度为2，B 点落在优弧M 1AM 2︵上就能使劣弧AB ︵的长度小于1，所以劣弧AB ︵的长度小于1的概率为23.7．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P 到O 距离大于1的点P 所在区域d 的体积为V 1＝V －V 半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V 1V ＝23.8．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率．解：设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23.两人到达约见地点所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：S阴影S单位正方形＝1－（13）212＝89.P＝。
苏教版2018-2019学年高中数学必修三教学案：第3章 3.3 几何概型 Word版含答案
观察下面两个试验：(1)早上乘公交车去上学，公交车到站的时间可能是7：00至7：10分之间的任何一个时刻． (2)“神七”返回大陆时着陆场为方圆200 km 2的区域，而主着陆场为方圆120 km 2的区域，飞船在着陆场的任何一个地方着陆的可能性是均等的．问题1：上述两个试验中的基本事件的结果有多少个？ 提示：无限个．问题2：每个试验结果出现的可能机会均等吗？ 提示：是均等的．问题3：上述两试验属古典概型吗？提示：不属于古典概型，因为试验结果是无限个． 问题4：能否求两试验发生的概率？ 提示：可以求出．1．几何概型的定义对于一个随机试验，将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2．几何概型的计算公式在几何区域D 中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率P (A )＝d 的测度D 的测度．这里要求D 的测度不为0，其中“测度”的意义依D 确定，当D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的“测度”分别是长度、面积和体积等．1．在几何概型中，“等可能”应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内可能性大小，仅与该区域的度量成正比，而与区域的位置、形状无关．2．判断一试验是否是几何概型的关键是看是否具备两个特征：无限性和等可能性．[例1] 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 的长大于AC 的长的概率．[思路点拨] 在AB 上截取AC ′＝AC ，结合图形分析适合条件的区域可求概率．[精解详析] 设AC ＝BC ＝a ， 则AB ＝2a ，在AB 上截取AC ′＝AC ， 于是P (AM >AC )＝P (AM >AC ′) ＝BC ′AB ＝AB －AC AB ＝2a －a 2a＝2－22. 即AM 的长大于AC 的长的概率为2－22.[一点通]在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中确认边界是问题的关键．1．在区间[1，3]上任取一数，则这个数大于等于1.5的概率为________． 解析：P ＝3－1.53－1＝0.75.答案：0.752．已知函数f (x )＝log 2x ，x ∈[12，2]，在区间[12，2]上任取一点x 0，则使f (x 0)≥0的概率为________．解析：欲使f (x )＝log 2x ≥0，则x ≥1，而x 0∈[12，2]，∴x 0∈[1，2]，从而由几何概型概率公式知所求概率P ＝2－12－12＝23. 答案：23[例2] (湖南高考改编)如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内， 用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，则P (A )＝________．[思路点拨] 可判断为几何概型，利用面积比求其概率．[精解详析] 圆的半径是1，则正方形的边长是2，故正方形EFGH (区域d )的面积为(2)2＝2.又圆(区域D )的面积为π， 则由几何概型的概率公式，得P (A )＝2π.[答案]2π[一点通]解决此类问题的关键是：(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形．利用图形的几何特征计算相关面积．3．射箭比赛的箭靶是涂有彩色的五个圆环，从外向内分别为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径为122 cm, 靶心直径为12.2 cm ，运动员在70 m 外射箭，假设每箭都能中靶，且射中靶面内任意一点是等可能的，那么射中黄心的概率为________．解析：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14×π×12.22 cm 2的黄心内时，事件B 发生，所以事件B 发生的概率P (B )＝14π×12.2214π×1222＝0.01. 答案：0.014．如图，平面上一长12 cm ，宽10 cm 的矩形ABCD 内有一半径为1 cm 的圆O (圆心O 在矩形对角线交点处)．把一枚半径为1 cm 的硬币任意掷在矩形内(硬币完全落在矩形内)，求硬币不与圆O 相碰的概率．解：由题意可知：只有硬币中心投在阴影部分(区域d )时才符合要求，所以不与圆相碰的概率为8×10－π×2280＝1－π20.[例3] (12分)用橡皮泥做成一个直径为6 cm 的小球，假设橡皮泥中混入一个很小的砂粒，试求这个砂粒距离球心不小于1 cm 的概率．[思路点拨] 先判断概型为几何概型后利用体积比计算概率．[精解详析] 设“砂粒距离球心不小于1 cm ”为事件A ，球心为O ，砂粒位置为M ，则事件A 发生，即OM ≥1 cm.(3分)设R ＝3，r ＝1，则区域D 的体积为V ＝43πR3(5分)区域d 的体积为V 1＝43πR 3－43πr 3.(7分)∴P (A )＝V 1V ＝1－(r R )3＝1－127＝2627.(10分)故砂粒距离球心不小于1 cm 的概率为2627.(12分)[一点通]如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总的体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.5．一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行，若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是________．解析：记“蜜蜂能够安全飞行”为事件A ，则它位于与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10的区域飞行时是安全的，故区域d 为棱长为10的正方体，P (A )＝103303＝127.答案：1276．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M- ABCD 的体积小于16的概率为________．解析：设M 到平面ABCD 的距离为h ，则V M-ABCD ＝13S 底ABCD ·h ＝16，S 底ABCD ＝1，∴h ＝12.∴只要点M 到平面ABCD 的距离小于12.所有满足点M 到平面ABCD 的距离小于12的点组成以ABCD 为底面，高为h (h ＜12)的长方体，又正方体棱长为1.∴使棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率P ＝121＝12.答案：12利用几何概型计算事件概率分以下几步：(1)判断是否为几何概型，此步关键是把事件看成一次试验，然后看试验是否是等可能试验，并且试验次数是否是无限的.(2)计算基本事件与事件A 所含的基本事件对应的区域的测度(长度、面积或体积)． (3)利用概率公式计算．课下能力提升(十七)一、填空题1．在区间[－1，2]上随机取一个数x ，则x ∈[0，1]的概率为 ________． 解析：[－1，2]的长度为3，[0，1]的长度为1，所以概率是13.答案：132．如图，半径为10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为1 cm 的小圆．现将半径为1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上，使硬币整体随机落在纸板内，则硬币落下后与小圆无公共点的概率为________．解析：由题意，硬币的中心应落在距圆心2～9 cm 的圆环上，圆环的面积为π×92－π×22＝77π cm 2，故所求概率为77π81π＝7781. 答案：77813.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：由几何概型知，S 阴S 正方形＝23，故S 阴＝23×22＝83. 答案：834．一只蚂蚁在三边边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为________．解析：边长为3，4，5三边构成直角三角形，P ＝（3－1－1）＋（4－1－1）＋（5－1－1）3＋4＋5＝612＝12. 答案：125.如图，在平面直角坐标系中，∠xOT ＝60°，以O 为端点任作一射线，则射线落在锐角∠xOT 内的概率是________．解析：以O 为起点作射线，设为OA ，则射线OA 落在任何位置都是等可能的，落在∠xOT 内的概率只与∠xOT 的大小有关，符合几何概型的条件．记“射线OA 落在锐角∠xOT 内”为事件A ，其几何度量是60°，全体基本事件的度量是360°，由几何概型概率计算公式，可得P (A )＝60360＝16. 答案：16二、解答题6．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，求劣弧AB ︵的长度小于1的概率．解：如图，圆周上使AM ︵的长度等于1的点M 有两个，设为M 1，M 2，则过A 的圆弧M 1AM 2︵的长度为2，B 点落在优弧M 1AM 2︵上就能使劣弧AB ︵的长度小于1，所以劣弧AB ︵的长度小于1的概率为23.7．有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，求点P 到点O 距离大于1的概率．解：区域D 的体积V ＝π×12×2＝2π，当P 到点O 的距离小于1时，点P 落在以O 为球心，1为半径的半球内，所以满足P 到O 距离大于1的点P 所在区域d 的体积为V 1＝V －V 半球＝2π－23π＝43π.所求的概率为V 1V ＝23.8．两人约定在20∶00到21∶00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，在20∶00至21∶00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间相见的概率．解：设两人分别于x 时和y 时到达约见地点，要使两人能在约定时间范围内相见，当且仅当－23≤x －y ≤23.两人到达约见地点所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的单位正方形内(包括边界)的点来表示，两人能在约定的时间范围内相见的所有时刻(x ，y )的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示，因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能性的大小，也就是所求的概率为：S阴影S单位正方形＝1－（13）212＝89.P＝。
2017-2018学年高中数学苏教版必修三教学案：第3章 3.2 古典概型
甲、乙两人玩掷骰子游戏，他们约定：两颗骰子掷出去，如果朝上的两个数的和是5，那么甲获胜，如果朝上的两个数的和是7，那么乙获胜．问题1：若甲获胜，那么两颗骰子出现的点数有几种？提示：会出现(1，4)，(4，1)(2，3)，(3，2)四种可能．问题2：若乙获胜，两颗骰子出现的点数又如何？提示：会出现(1，6)，(6，1)，(2，5，)，(5，2)，(3，4)，(4，3)六种可能．问题3：这样的游戏公平吗？提示：由问题1、2知甲获胜的机会比乙获胜的机会少，不公平．问题4：能否求出甲、乙两人获胜的概率？提示：可以．1．基本事件与等可能事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．古典概型(1)古典概型的特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．(2)古典概型的定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)古典概型概率的计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是；1n如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝．mn 即P (A )＝.事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型，例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件有两个：“发芽”、“不发芽”，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故此试验不符合古典概型的等可能性．2．古典概型的概率公式P (A )＝与事件A 发生的频率有本质的区别，其中P (A )＝是一个m n m n mn 定值，且对同一试验的同一事件m 、n 均为定值，而频率中的m 、n 均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P (A )． [例1] 将一颗骰子先后抛掷两次，求：(1)一共有几个基本事件？(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？[思路点拨] 求基本事件的个数可用列举法、列表法、树形图法．[精解详析] 法一：(列举法)：(1)用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数，则试验的所有结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共36个基本事件．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二：(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．(1)由图知，基本事件总数为36.(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．法三：(树形图法)：一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图直接表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用对勾标出)．[一点通] 基本事件个数的计算方法有：(1)列举法：列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所含的基本事件．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．(2)列表法：对于试验结果不是太多的情况，可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．(3)树形图法：树形图法是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的求解．1．本例中条件变为“一枚硬币连续掷三次”，会有多少种不同结果？解：画树形图共8种．2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球．(1)共有多少种不同的结果(基本事件)?(2)摸出2个黑球有多少种不同结果？解：(1)共有6种不同结果，分别为{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，{白，黑1}，{白，黑2}，{白，黑3}．(2)从上面所有结果中可看出摸出2个黑球的结果有3种. [例2] (12分)同时投掷两个骰子，计算下列事件的概率：(1)事件A ：两个骰子点数相同；(2)事件B ：两个骰子点数之和为8；(3)事件C ：两个骰子点数之和为奇数．[思路点拨] 先判断这个试验是否为古典概型，然后用列举法求出所有基本事件总数及所求事件包含的基本事件的个数，最后用公式P (A )＝求结果．mn [精解详析] (1)将两个骰子标上记号A ，B ，将A ，B 骰子的点数记为(x ，y )，则共有36种等可能的结果．如下(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．⇨(3分)出现点数相同的结果有(1，1)(2，2)(3，3)(4，4)(5，5)(6，6)共6种．∴P (A )＝＝.⇨(6分)63616(2)出现点数之和为8的结果有(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)共5种，∴P (B )＝.⇨(9分)536(3)出现点数之和为奇数包括“x 是奇数、y 是偶数”和“x 是偶数、y 是奇数”，共有18种，∴P (C )＝＝.⇨(12分)183612[一点通] 求古典概型概率的步骤：(1)用列举法求出基本事件总个数n .(2)用列举法求出事件A 包含的基本事件的个数m .(3)利用公式P (A )＝＝求出事件A 的概率．事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数mn3．先后从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________．解析：基本事件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共10种，所以所求概率为＝.101658答案：584．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问：(1)两数之积是奇数的概率是多少？(2)两数之积是3的倍数的概率是多少？解：每次抛出的点数都可能有1，2，3，4，5，6这6种结果，两次点数之积的不同结果如下表所示共有36种.1234561123456224681012336912151844812162024551015202530661218243036(1)设事件A 表示“两数之积是奇数”，则事件A 包含的不同结果的个数为9，所以P (A )＝＝.93614(2)设事件B 表示“两数之积是3的倍数”，则事件B 包含的不同结果的个数为20，所以P (B )＝＝.2036591．解决古典概型问题的关键是：分清基本事件总数n 与事件A 所包含基本事件的个数m ，注意问题：(1)试验基本结果是否有等可能性．(2)本试验的基本事件有多少个．(3)事件A 包含哪些基本事件．只有弄清这三个方面的问题解题才不致于出错．2．求基本事件的个数有列举法、列表法和树形图法，一是注意按一定顺序，防止重复和遗漏；二是可先数一部分，找出规律，推测全部．课下能力提升(十六)一、填空题1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：本题中基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为.23答案：232．在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2}内取值的点中任取一个，此点正好在直线y ＝x 上的概率为________．解析：由x ，y ∈{0，1，2}，这样的点共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)9个，其中满足在直线y ＝x 上的点(x ，y )有(0，0)，(1，1)，(2，2)3个，所以所求概率为P ＝＝.3913答案：133．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．解析：随机选取的a ，b 组成实数对(a ，b )，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15种．其中b >a 的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，所以b >a 的概率为＝.31515答案：154．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求概率为.34答案：345．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：从3只白球、1只黑球中随机摸出两只小球，基本事件有(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(白1，黑)，(白2，黑)，(白3，黑)，其中颜色不同的有三种，故所求概率为P ＝.12答案：12二、解答题6．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，求两种品牌都齐全的概率．解：3台甲型电脑为1，2，3，2台乙型电脑为A ，B ，则所有基本事件为：(1，2)，(1，3)，(1，A )，(1，B )，(2，3)，(2，A )，(2，B )，(3，A )，(3，B )，(A ，B )，共10个. 记事件C 为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的事件为6个，所以P (C )＝＝.610357．设集合P ＝{b ，1}，Q ＝{c ，1，2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2，3，4，5，6，7，8，9}．(1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解：(1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3，4，5，6，7，8，9；当b ＞2时，b ＝c ＝3，4，5，6，7，8，9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c的概率为：＝.71412(2)记“方程有实根”为事件A ，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ＝c ＝4，5，6，7，8，9共6种. 所以P (A )＝＝.614378．对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A 企业来自辽宁省，B ，C 两家企业来自江苏省，D ，E ，F 三家企业来自山东省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的选法有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．所以，“在中标的企业中，至少有一家来自江苏省”的概率为＝.91535。
教育最新K122018-2019学年高中数学苏教版必修3教学案：第3章 3.2 古典概型-含解析
古典概型[新知初探]1．基本事件与等可能事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．[点睛](1)基本事件是试验中不能再分的简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示．(2)任何两个基本事件是不会同时发生的．(3)任何事件都可以表示成基本事件的和．2．古典概型(1)特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个；②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．(2)定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)古典概型概率的计算公式：如果1次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A) ＝mn.即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.[点睛]古典概型的概率公式P (A )＝m n 与事件A 发生的频率m n 有本质的区别，其中P (A )＝mn 是一个定值，且对同一试验的同一事件m ，n 均为定值，而频率中的m ，n 均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P (A )．[小试身手]1．一个家庭中有两个小孩，则所有等可能的基本事件是________．(列举出来) 答案：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)2．从字母a ，b ，c ，d 中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？这些基本事件是等可能基本事件吗？解：共有6个基本事件：A ＝{a ，b }，B ＝{a ，c }，C ＝{a ，d }，D ＝{b ，c }，E ＝{b ，d }，F ＝{c ，d }．每个基本事件取到的概率都为16，属于等可能基本事件．[典例] 下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率； (2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率． [解] (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，取出的那个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．古典概型的判定下列随机事件：①某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，…，10环；②一个小组有男生5人，女生3人，从中任选1人进行活动汇报；③一只使用中的灯泡寿命长短；④抛出一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面的情况；⑤中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”．这些事件中，属于古典概型的有________．解析：放回”与“不放回”问题[典例]从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，连续取两次．(1)若每次取出后不放回，连续取两次，求取出的产品中恰有一件是次品的概率；(2)若每次取出后又放回，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．[解](1)每次取一件，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．由6个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，则A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．事件A 由4个基本事件组成．因而P (A )＝46＝23.(2)有放回地连续取出两件，其一切可能的结果为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)共9个基本事件．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些基本事件的出现是等可能的．用B 表示“恰有一件次品”这一事件，则B ＝{(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)}．事件B 由4个基本事件组成，因而P (B )＝49.从1,2,3,4,5五个数字中任意有放回地连续抽取两个数字，求下列事件的概率： (1)两个数字不同；(2)两个数字中不含有1和5； (3)两个数字中恰有一个1.解：所有基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共25个．(1)设A ＝“两个数字不同”，则P (A )＝2025＝45.(2)设B ＝“两个数字中不含1和5”，则P (B )＝925.(3)设C ＝“两个数字中恰有一个1”，则P (C )＝825.[典例] 有A ，B ，C ，D 四位贵宾，应分别坐在a ，b ，c ，d 四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； (3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率． 建立概率模型解决问题[解]将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位由图可知，所有的等可能基本事件共有24个．(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝124.(2)设事件B为“这四人恰好都没坐自己的席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝924＝3 8.(3)设事件C为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝824＝1 3.甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上．解：利用树状图来列举基本事件，如图所示．由树状图可看出共有24个基本事件．(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲)．故甲在边上的概率为P＝1224＝1 2.(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为P＝424＝1 6.(3)甲和乙都不在边上有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为P＝424＝1 6.古典概型的综合应用[典例] 海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A ，B ，C 三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A ，B ，C 三个地区的样品分别为A ；B 1，B 2，B 3；C 1，C 2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A ，B 1}，{A ，B 2}，{A ，B 3}，{A ，C 1}，{A ，C 2}，{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 1，C 1}，{B 1，C 2}，{B 2，B 3}，{B 2，C 1}，{B 2，C 2}，{B 3，C 1}，{B 3，C 2}，{C 1，C 2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D ：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D 包含的基本事件有{B 1，B 2}，{B 1，B 3}，{B 2，B 3}，{C 1，C 2}共4个．所以P (D )＝415.即这2件商品来自相同地区的概率为415.把一枚骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，试就方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解的情况，解答下列各题：(1)求方程组只有一个解的概率； (2)求方程组只有正数解的概率．解：若第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b 记为有序数值组(a ，b )，则所有可能出现的结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)， (2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)， (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)， (4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)， (5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)， (6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)， 共36种．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧(2a －b )x ＝6－2b ，(2a －b )y ＝2a －3，(1)若方程组只有一个解，则b ≠2a ，满足b ＝2a 的有(1,2)，(2,4)，(3,6)，故适合b ≠2a 的有36－3＝33个．其概率为：3336＝1112.(2)方程组只有正数解，需满足b －2a ≠0且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6－2b2a －b＞0，y ＝2a －32a －b ＞0.分两种情况：当2a ＞b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞32，b ＜3，当2a ＜b 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜32，b ＞3.易得包含的基本事件有13个：(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，因此所求的概率p 2＝1336.[层级一 学业水平达标]1．一枚硬币连续掷三次，基本事件共有________个． 解析：画树形图： 共8种． 答案：82．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：本题中基本事件有{甲，乙}，{甲，丙}，{乙，丙}共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为23.答案：233．从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为偶数的概率为________．解析：基本事件为{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共15个．其中符合要求的有{1,2}，{1,4}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}共12个．故P ＝1215＝45.答案：454．一个口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则1个是白球，1个是黑球的概率是________．解析：这四个球记为白1，白2，黑1，黑2.则基本事件为{白1，白2}，{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}，{黑1，黑2}共6个．其中符合要求的为{白1，黑1}，{白1，黑2}，{白2，黑1}，{白2，黑2}共4个．故P ＝46＝23.答案：235．设集合P ＝{b,1}，Q ＝{c,1,2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9}． (1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解：(1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3,4,5,6,7,8,9；当b ＞2时，b ＝c ＝3,4,5,6,7,8,9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为：714＝12.(2)记“方程有实根”为事件A ，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ＝c ＝4,5,6,7,8,9共6种.所以P (A )＝614＝37.[层级二 应试能力达标]1．同时掷两枚骰子，点数之和大于9的概率为________． 解析：P ＝636＝16.答案：162．某班委会由3名男生和2名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一个女生当选的概率为________．解析：这五名同学分别表示为男1，男2，男3，女1，女2，用(x ，y )表示基本事件，其中x 是正班长，y 是副班长，则基本事件为(男1，男2)，(男2，男1)，(男1，男3)，(男3，男1)，(男1，女1)，(女1，男1)，(男1，女2)，(女2，男1)，(男2，男3)，(男3，男2)，(男2，女1)，(女1，男2)，(男2，女2)，(女2，男2)，(男3，女1)，(女1，男3)，(男3，女2)，(女2，男3)，(女1，女2)，(女2，女1)共20个．其中符合要求的有14个，故P ＝1420＝710.答案：7103．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．解析：如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25. 答案：254．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为________．解析：基本事件为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10个．其中勾股数只有(3,4,5)，∴P ＝110.答案：1105．一个袋子中装有六个形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3，现从中任取一球记下编号后放回，再任取一球，则两次取出球的编号之和为4的概率为________．解析：用列表法列出所有基本事件共36个，其中和为4的有10个.故P ＝1036＝518.答案：5186．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排合影，则甲站在乙的左边的概率为________． 解析：我们不考虑丙、丁、戊具体站在什么位置，只考虑甲、乙的相对位置，只有甲站在乙的左边和甲站在乙的右边，共2个等可能发生的结果，因此甲站在乙的左边的概率为12.答案：127．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a ，b ，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的结果为： (1,2)，(1,3)，(1，a )，(1，b )，(2,3)，(2，a )，(2，b )，(3，a )，(3，b )，(a ，b )共10种结果，2瓶都过保质期的结果只有1个，∴P ＝110.答案：1108.如图所示方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1,2,3,4中的任何一个，允许重复，则填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为________． 解析：只考虑A ，B 两个方格的填法，不考虑大小，A ，B 两个方格有16种填法．要使填入A 方格的数字大于B 方格的数字，则从1,2,3,4中选2个数字，大的放入A 格，小的放入B 格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6种，故填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为616＝38.答案：389．一个盒子中装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．解：由题意知(a ，b ，c )所有可能的结果为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)共27种．(1)设A ＝“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”，则A 包含3个结果．故P (A )＝327＝19.(2)设B ＝“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”，则事件B 包含24种结果．故P (B )＝2427＝89.10．某产品的三个质量指标分别为x ，y ，z ，用综合指标S ＝x ＋y ＋z 评价该产品的等级．若S ≤4, 则该产品为一等品．先从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：(2)在该样本的一等品中， 随机抽取2件产品， ①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B 为“在取出的2件产品中， 每件产品的综合指标S 都等于4”， 求事件B 发生的概率．解：(1)计算10件产品的综合指标S ，如下表： 其中S ≤4的有A 1，A 2，A 4，A 5，A 7，A 9，共6件，故该样本的一等品率为610＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 1，A 9}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 2，A 9}，{A 4，A 5}，{A 4，A 7}，{A 4，A 9}，{A 5，A 7}，{A 5，A 9}，{A 7，A 9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S 等于4的产品编号分别为A 1，A 2，A 5，A 7，则事件B 发生的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 5}，{A 1，A 7}，{A 2，A 5}，{A 2，A 7}，{A 5，A 7}，共6种．所以P (B )＝615＝25.。
2018_2019学年高中数学第3章概率3.3几何概型3.4互斥事件苏教版必修3
率的和．
3．对立事件的一个重要公式 对立事件 A 与 A 必有一个发生，故 A＋ A 是必然事件，从而 P(A)＋P( A )
1 P(A＋ A ) ＝___. ＝_____________
由此，我们可以得到一个重要公式：
1－P(A) ． P( A )＝_________
[基础自测] 1．给出以下结论： ①互斥事件一定对立； ②对立事件一定互斥； ③互斥事件不一定对立； ④事件 A 与 B 的和事件的概率一定大于事件 A 的概率； ⑤事件 A 与 B 互斥，则有 P(A)＝1－P(B)． 其中正确的命题有________．
[解析] (1)在一次射击中射中10环或9环，即射中10环和射中9环，由互 斥事件的概率公式，再分别相加即可；(2)在一次射击中至少射中7环，即射 中10环，9环，8环，7环，再将对应的概率相加即可 ；(3)在一次射击中射 中环数不是8环，即射中7环和7环以下，再将对应的概率相加即可．
[解] 设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环 以下”的事件分别为A、B、C、D、E，则 (1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52， 即射中10环或9环的概率为0.52. (2)P(A＋B＋C＋D) ＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D) ＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87. 即至少射中7环的概率为0.87. 另解P(A＋B＋C＋D)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87. (3)P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29， 即射中环数不足8环的概率为0.29.
3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则 甲、乙两人下成和棋的概率为________． 50% [甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下 成和棋的概率为90%－40%＝50%.]
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数学 3．1.1 & 3.1.2 随机现象 随机事件的概率
1．什么叫确定性现象和随机现象？ 2．什么叫事件？事件可以分成哪几类？ 3．什么叫随机事件的概率？概率具有哪些性质？
[新知初探] 1．确定现象和随机现象 (1)确定性现象：在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果的现象． (2)随机现象：在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果的现象． 2．事件的有关概念 (1)事件：对于某个现象，如果能让其条件实现一次，就是进行了一次试验，而试验的每一种可能的结果，都是一个事件． (2)事件的分类 ①必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件； ②不可能事件：在一定条件下，肯定不会发生的事件； ③随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，常用大写字母表示随机事件，简称为事件． [点睛] (1)事件的结果是相对于“一定条件”而言的，随着条件的改变，其结果也会不同，因此在随机事件的概念中“一定条件”不能去掉． (2)必然事件和不可能事件可以看成是随机事件的特殊情况．
预习课本P93～97，思考并完成以下问题 数学 3．随机事件的概率 (1)概率的统计定义：对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定．我们把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)． [点睛] (1)频率和概率是两个不同概念，频率随试验次数的改变而改变；而概率是客观存在的，它不随试验的变化而改变．
(2)概率是频率的稳定值，当试验次数很大时，可将事件A发生的频率mn作为事件A概
率的近似值，即P(A)≈mn.
(3)概率是用来刻画事件发生的可能性大小． (2)概率的性质 ①有界性：对任意事件A，有0≤P(A)≤1. ②规范性：若Ω、Ø分别代表必然事件和不可能事件，则P(Ω)＝1；P(Ø)＝0. [小试身手]
1．指出下列现象是确定性现象还是随机现象： (1)一个盒子中有10个完全相同的白球，搅匀后从中任意摸取一球是白球； (2)函数y＝ax(a＞0且a≠1)在定义域(－∞，0]上是增函数； (3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的点的坐标可使不等式(x－a)2＋(y－b)2＜r2成立． 答案：(1)确定性现象 (2)随机现象 (3)确定性现象 2．给出事件： ①在标准大气压下，水加热到80 ℃时会沸腾； ②掷一枚硬币，出现反面； ③实数的绝对值不小于零． 其中，是不可能事件的有________． 答案：① 3．某人买了100张彩票，结果有5张中奖，则本期彩票中奖的概率一定是0.05，这种说法________．(填写“正确”或“不正确”) 解析：买100张彩票相当于做100次试验，其中有5张中奖，说明中奖的频率是0.05，并不一定是概率，只有做大量重复试验时，频率才接近概率． 答案：不正确 数学 [典例] 给出下列四个命题： ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使x2<0”是不可能事件； ③“明天苏州要下雨”是必然事件； ④“在次品率为1%的产品中，任取100件产品，其中一定有1件次品，99件正品”是必然事件． 其中正确命题的个数是________． [解析] ①中三个球全部放入两个盒子，其结果为一盒为3个球，另一盒空球，一盒一个球另一盒两个球，故为必然事件． ②当x∈R时，x2≥0，故x2<0是不可能事件． ③可能下雨也可能不下雨，故为随机事件，故③不正确． ④是随机事件，故④不正确． [答案] 2
判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件，主要依据在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现，可能出现、可能不出现． [活学活用] 判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件． (1)某人购买福利彩票中奖； (2)导体通电时发热； (3)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾； (4)某人投篮10次，没投中1次； (5)早上看到太阳从西方升起； (6)抛掷一颗骰子出现的点数为偶数； (7)向上抛出的石头会下落；
判断事件的属性 数学 解：由题意知(2)(3)(7)是必然事件，(5)是不可能事件，(1)(4)(6)是随机事件.
[典例] 下列说法： ①抛掷硬币100次，有55次出现正面，所以出现正面的概率为0.55； ②如果买彩票中奖的概率是0.001，那么买1 000张彩票一定能中奖； ③乒乓球比赛前，决定谁先发球，抽签方法是从1～10共10个数字中各抽取1个，再比较大小，这种抽签方法是公平的； ④昨天没有下雨，则说明关于昨天气象局的天气预报“降水概率为90%”是错误的． 其中，正确的有________(填序号)． [解析] 抓住概率的意义可判断．对①0.55只是这次试验的频率，故①错误；对于②，买1000张彩票不一定中奖，故②错误；对于④，降水概率为90%只说明下雨的可能性很大，但也可能不下雨，故④错误． [答案] ③
概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生． [活学活用] 1．某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？ 解：从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击
中9次．只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为910n，其中n为射击次数．而且n
越大，击中的次数就越接近910n.
2．试解释下面情况中概率的意义． (1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20； (2)一生产厂家称：“我们厂生产的产品合格的概率为0.98.” 解：(1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%； (2)是说其厂生产的产品合格的可能性是98%.
概率的概念的理解 数学 [典例] 一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下： 时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数 5 544 9 607 13 520 17 190
男婴数 2 883 4 970 6 994 8 892
男婴出生的频率 (1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？ [解] (1)频率分别为0.520,0.517,0.517,0.517. (2)根据频率的值可知，频率的值在0.52左右波动，因此可估计该地区男婴的出生率约为0.52. 用事件A发生的频率mn作为事件A的概率P(A)，从探求概率上讲，它是一种近似计算，即P(A)≈mn，P(A)的取法，一般是在若干个mn中，把大多数的mn接近的数作为P(A)． [活学活用] 某篮球运动员在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数n 8 10 12 9 10 16
进球次数m 6 8 9 7 7 12
进球频率mn (1)计算表中进球的频率； (2)这位运动员投篮一次，估计进球的概率是多少？ 解：计算频率，用频率去估算概率．
(1)由公式可计算出每场比赛该运动员罚球进球的频率依次为34，45，34，79，710，34. (2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在34附近摆动，可估计该运动员
用频率估计概率 数学 进球的概率为34.
[层级一 学业水平达标] 1．下面给出了四种现象： ①若x∈R，则x2＋1＜1； ②某地2月3日下雪； ③若平面α∩β＝m，n∥α，n∥β，则m∥n. 其中是确定性现象的是________． 解析：∵x∈R，x2＋1≥1，∴①是不可能事件，属于确定性现象；∵某地2月3日下雪可
能发生也可能不发生，∴②是随机现象；③是对的，是确定性现象． 答案：①③ 2．已知下列事件：①连续两次抛掷一枚骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的苹果不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④已经有一个女儿，那么第二次生男孩； ⑤在标准大气压下，水加热到98 ℃时会沸腾． 其中________是随机事件，________是必然事件，________是不可能事件． 答案：①③④ ② ⑤ 3．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件： ①3件都是红色； ②至少有1件白色； ③3件都是白色； ④至少有1件红色． 其中是必然事件的是________．(填序号) 答案：④ 4．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．
解析：设进行了n次试验，则有10n＝0.02，得n＝500，
故进行了500次试验． 答案：500 5．某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下： 每批 粒数 2 5 10 70 130 310 700 1 500 2 000 3 000