大题规范解答-全得分系列之(八)直线与圆锥曲线位置关系答题模板
圆锥曲线答题模板
圆锥曲线模板模板一：当题目中出现圆锥曲线与直线相交、相切、相离、弦长、面积等问题时。
1.椭圆解：由题可设直线方程为：y=kx+m,椭圆方程为：12222=+by a x )0b y 0x (>>>>a b a 轴上时，在轴上时当在则：⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222by a x mkx y 消y 得：（ ）x 2+ ( ) x+( )=0 △≧0,可得：=+x21x =+y 21y=•x21x =•y 21y根据题意建立关于、、x 21x y 、21y 的关系式再进一步化简求解。
解：由题可设直线方程为：y=kx+m,椭圆方程为：12222=+by a x )0b y 0x (>>>>a b a 轴上时，在轴上时当在则：⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222bya x mkx y 消y 得： 0)(2)22222222b =-+++b m a a x k a x km （ △≧0,可得：02222b>-+m ka=+x21xk a km222b a 22-+=+y21yk a m222b b 22+=•x 21x k a b m 22222b a 2)(+- =•y 21y ka k a m 222222b b 2)(+- 根据题意建立关于、、x 21x y 、21y 的关系式再进一步化简求解。
2.双曲线解：由题可知：设直线方程为：y=kx+m,双曲线方程为：1-2222=by a x则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=1-2222by a x mkx y联立得：（ ）x 2+ ( ) x+( )=0 △≧0,可得：=+x21x =+y 21y=•x21x =•y 21y根据题意建立关于、、x 21x y 、21y 的关系式再进一步化简求解。
解：由题可知：设直线方程为：y=kx+m,双曲线方程为：1-2222=by a x则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=1-2222by a x mkx y联立得： 0)(-2-)22222222-b =+b m a a x ka x km （△≧0,可得：0-2222b>+m ka=+x21xk a km222-b a 22=+y21yk a m222-b b 22=•x 21x k a b m 22222-b a -2)(+ =•y 21y ka k a m 222222-b b 2)(- 根据题意建立关于、、x 21x y 、21y 的关系式再进一步化简求解。
(完整版)直线与圆锥曲线的位置关系
k 2 x1 x2
焦点弦公
1
式
1
，k 2
y1 y2
但是
在
， 双曲
线中要判断 A, B 两点是在双曲线的同支还是异支
上。
（2）直线与圆锥曲线的有关问题通常可通过联 立方程组处理
（3）与中点、斜率有关的问题，可用“点差法” 处理
知识点三：弦中点问题
• 求中点弦所在直线方程和弦的中点 轨迹方程
• “点差法”、“韦达定理”
A、0个 B、一个 C、二个 D、不确定
y
【解题回顾】 过封闭曲线内的点的 直线必与此曲线相交
.
o
X
变题：
变1:不论k为何值,如果直线 y=kx+b 与椭 圆y2/9+x2/4=1总有公共点,求b的取值范 围？
变2:若直线kx-y+1=0与椭圆x2/5+y2/m=1 对于任何实数k恒有公共点，则实数m的 取值范围？
b2
1
x22
a2
y22 b2
1
1 (a b 0) 设M (x1 , y1)、N（x2 , y2 )
（(12)（）1）yx－11 （xy222）• yx得11 xxy1222a2 x22
b2 a2
y12 b2
y22
(3)
0
kMN
y1 x1
y2 x2
,
y1 y2 x1 x2
2y中 ＝ y中－0 2x中 x中－0
代数法
联立直线与椭圆的方程,消去x(或y),得到
一个关于x(或y)的一元二次方程.
△< 0
相离
△= 0
相切
△> 0
相交
问题1.要使直线 y kx 1(k R)与焦点在x轴
直线与圆锥曲线的位置关系典型例题
1、直线和圆锥曲线位置关系（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。
其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。
直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x 或y 方程的二次项系数为0。
（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。
当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。
4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。
例题研究例1、 根据下列条件，求双曲线方程。
（1）与双曲线116y 9x 22=-有共同渐近线，且过点（-3，32）； （2）与双曲线14y 16x 22=-有公共焦点，且过点（23，2）。
分析：法一：（1）双曲线116y 9x 22=-的渐近线为x 34y ±=令x=-3，y=±4，因432<，故点（-3，32）在射线x 34y -=（x ≤0）及x 轴负半轴之间，∴ 双曲线焦点在x 轴上 设双曲线方程为1by ax 2222=-，（a>0，b>0） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=1b )32(a)3(34a b 2222 解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==4b 49a 22 ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（2）设双曲线方程为1b y a x 2222=-（a>0，b>0）则 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1b 2a )23(20b a 222222解之得：⎪⎩⎪⎨⎧==8b 12a 22∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-法二：（1）设双曲线方程为λ=-16y 9x 22（λ≠0）∴ λ=--16)32(9)3(22∴ 41=λ ∴ 双曲线方程为14y 49x 22=-（3）设双曲线方程为1k 4y k 16x 22=+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>+>-0k 40k 16 ∴ 1k42k 16)23(22=+--解之得：k=4∴ 双曲线方程为18y 12x 22=-评注：与双曲线1b y a x 2222=-共渐近线的双曲线方程为λ=-2222b y a x （λ≠0），当λ>0时，焦点在x 轴上；当λ<0时，焦点在y 轴上。
2020届高考数学(理)解析几何高频考点08直线与圆锥曲线的位置关系(含解析)
c2 a2
2
，则 椭圆 的离心率
3
ec 2 a3
【答案】 A
6
，故选 A.
3
4.【 2017 年高考全国 Ⅱ卷文数】过抛物线 C : y2 4 x 的焦点 F ，且斜率为 3 的直线交 C 于点 M （ M 在
x 的轴上方）， l 为 C 的准线，点 N 在 l 上且 MN l ，则 M 到直线 NF 的距离为 （
3 c, y2
2
9 c .因为点 P 在 x 轴上方，所以 14
P
3 c, c
2
.
由圆心 C 在直线 x 4 上，可设 C (4, t) .
因为 OC∥AP ，且由（ 1）知 A( 2 c, 0) ，故 t
3
c 2
，解得 t
2.
4 c 2c
因为圆 C 与 x 轴相切，所以圆的半径长为 2，
3
(4 c) 2
.
【解析】因为直线 x y 2 0 分别与 x 轴，y 轴交于 A, B 两点，所以 A 2，0 , B 0， 2 , 则 AB =2 2 ，
2
因为点 P 在圆 x 2
y2=2 上，所以圆心为（ 2，0），则圆心到直线距离
d1
202 2
2 2 ，故点 P
到直线 x y 2 0 的距离 d 2 的范围为
u
1
．所以
PQ
PG ，即 △ PQG 是直角三角形．
k
（ ii ）由（ i）得 | PQ |
2u 1
k 2 ， | PG |
2uk
k 2 1 ，所以 △PQG 的面积 2
2k
1
S
1
8k (1 k 2)
| PQ‖PG | 2
圆锥曲线定直线问题解题方法与技巧
圆锥曲线定直线问题解题方法与技巧标题：圆锥曲线定直线问题的解题方法与技巧一、引言在解析几何中，圆锥曲线是重要的研究对象，其中涉及到的定直线问题要求我们找出经过特定点或者满足特定条件的直线方程。
这类问题通常需要综合运用直线与圆锥曲线的位置关系、参数方程、极坐标方程以及代数运算等知识。
以下将详细介绍解决此类问题的一些基本方法和实用技巧。
二、基本解题方法1. 利用位置关系确定直线方程：当已知直线过某定点或与圆锥曲线相切、相交于两点等情况时，可以利用圆锥曲线的标准方程（例如椭圆、双曲线、抛物线）与直线的一般方程联立，通过求解方程组得到交点坐标，进而确定直线方程。
2. 参数法：圆锥曲线的参数方程能直观地反映点与曲线的关系，当直线与圆锥曲线有特殊关系（如切线、法线）时，可先将直线写成参数形式，然后与圆锥曲线的参数方程联立求解参数，从而得出直线的方程。
3. 极坐标法：在某些情况下，若圆锥曲线或直线在极坐标下表达更为简便，可直接在极坐标系中建立方程，求解后转换为直角坐标系下的直线方程。
三、解题技巧1. 明确题目条件：解决定直线问题时，首先要明确直线需要满足的条件，如是否过定点、是否为圆锥曲线的切线、斜率是否存在等，这些信息对于选择合适的解题方法至关重要。
2. 判断直线与圆锥曲线的位置关系：通过计算判别式，可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，如相离、相切、相交等，进一步决定如何设定直线方程。
3. 巧妙应用韦达定理：在处理直线与圆锥曲线交点问题时，韦达定理是一个非常有力的工具。
它可以快速给出两交点横坐标的乘积和和关系，帮助简化计算过程。
4. 充分利用对称性：圆锥曲线具有良好的对称性，有时可以根据对称性简化问题，比如已知直线过原点或与坐标轴平行的情况。
总结，解决圆锥曲线定直线问题需灵活运用解析几何的基础理论，结合具体情况选择最适宜的解题策略，同时注重培养观察问题的能力和逻辑推理能力，以提升解题效率与准确性。
第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第2讲 直线与圆锥曲线的位置关系高考定位 直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点，尤其是有关弦的问题以及存在性问题，计算量偏大，属于难点，要加强这方面的专题训练.真 题 感 悟(2016·浙江卷)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0.故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k 2，因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.由(1)知|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，|AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由于k 1≠k 2，k 1，k 2＞0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2).① 因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. 因此，任意以点A (0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a 得，所求离心率的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，22.考 点 整 合1.直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ＞0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ＜0，则直线与椭圆相离. (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y (或x )，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0).①若a ≠0，则当Δ＞0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ＜0时，直线与双曲线相离.②若a ＝0，则直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点. (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线的方程联立，消去y (或x )，得到一个一元方程ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0).①当a ≠0时，用Δ判定，方法同上.②当a ＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点. 2.有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算.(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 2－x 1|或|P 1P 2|＝1＋1k 2|y 2－y 1|，其中求|x 2－x 1|与|y 2－y 1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x 2－x 1|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2， |y 2－y 1|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式). 3.弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算.热点一 直线与圆锥曲线(以椭圆、抛物线为主)的相交弦问题 [命题角度1] 有关圆锥曲线的弦长问题【例1－1】 (2017·瑞安中学模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ≥1)过点P (2，1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求△P AB 面积的最大值.解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又4a 2＋1b 2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆C 的方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0， 判别式Δ＝16－4m 2＞0，即m 2＜4. 又x 1＋x 2＝－2m ，x 1·x 2＝2m 2－4， 则|AB |＝1＋14×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5（4－m 2），点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. 因此S △P AB ＝12d |AB |＝12×2|m |5×5（4－m 2）＝m 2（4－m 2）≤m 2＋4－m 22＝2，当且仅当m 2＝2时取等号. 故△P AB 面积的最大值为2.探究提高 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系、设而不求思想、弦长公式等简化计算；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解. [命题角度2] 有关圆锥曲线的中点弦问题【例1－2】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x －y －2＝0，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0).(1)若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； (2)已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p )； ②求p 的取值范围.(1)解 ∵l ：x －y －2＝0，∴l 与x 轴的交点坐标为(2，0)， 即抛物线的焦点为(2，0)，∴p2＝2，p ＝4. ∴抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)①证明 设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2). 则⎩⎨⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y 212p ，x 2＝y 222p ，∴k PQ ＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2py 1＋y 2，又∵P ，Q 关于l 对称，∴k PQ ＝－1，即y 1＋y 2＝－2p ， ∴y 1＋y 22＝－p ，又∵PQ 的中点一定在l 上， ∴x 1＋x 22＝y 1＋y 22＋2＝2－p .∴线段PQ 的中点坐标为(2－p ，－p ). ②解 ∵PQ 的中点为(2－p ，－p )，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2p ，x 1＋x 2＝y 21＋y 222p ＝4－2p ，即⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 21＋y 22＝8p －4p 2， ∴⎩⎨⎧y 1＋y 2＝－2p ，y 1y 2＝4p 2－4p ，即关于y 的方程y 2＋2py ＋4p 2－4p ＝0有两个不等实根.∴Δ＞0，即(2p )2－4(4p 2－4p )＞0，解得0＜p ＜43， 故所求p 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.探究提高 对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练1】 (2016·全国Ⅲ卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点. (1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 解 由题意可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，且ab ≠0，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. (1)证明 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. 因为点F 在线段AB 上，所以ab ＋1＝0.记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2， 所以k 1＝a －b 1＋a2，k 2＝b－12－12＝－b ，又因为ab ＋1＝0， 所以k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－aba ＝－b ， 所以k 1＝k 2，即AR ∥FQ .(2)设直线AB 与x 轴的交点为D (x 1，0)， 所以S △ABF ＝12|a －b ||FD |＝12|a －b |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，又S △PQF ＝|a －b |2，所以由题意可得S △PQF ＝2S △ABF ，即：|a －b |2＝2×12·|a －b |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，解得x 1＝0(舍)或x 1＝1. 设满足条件的AB 的中点为E (x ，y ). 当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得 2a ＋b ＝yx －1(x ≠1). 又2a ＋b＝1y ，所以y 2＝x －1(x ≠1). 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为y 2＝x －1. 热点二 圆锥曲线中的存在性问题[命题角度1] 圆锥曲线中直线的存在性问题【例2－1】 (2017·嘉兴模拟)已知点M (－1，0)，N (1，0)，动点P (x ，y )满足|PM |＋|PN |＝2 3.(1)求P 的轨迹C 的方程；(2)是否存在过点N (1，0)的直线l 与曲线C 上相交于A ，B 两点，并且曲线C 上存在点Q ，使四边形OAQB 为平行四边形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解 (1)根据椭圆定义可知点P 的轨迹C 是焦点在x 轴上的椭圆，其中a ＝3，c ＝1，b ＝2，所以轨迹C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)假设存在过点N (1，0)的直线l .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知l 的斜率一定不为0，故不妨设l ：x ＝my ＋1，代入椭圆方程并整理得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0，显然Δ＞0，则y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3，y 1y 2＝－42m 2＋3.①假设存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，其充要条件为OQ →＝OA →＋OB →，则点Q 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2).由点Q 在椭圆上，即（x 1＋x 2）23＋（y 1＋y 2）22＝1，整理得2x 21＋3y 21＋2x 22＋3y 22＋4x 1x 2＋6y 1y 2＝6.又A ，B 在椭圆上，即2x 21＋3y 21＝6，2x 22＋3y 22＝6.故2x 1x 2＋3y 1y 2＝－3.②将x 1x 2＝(my 1＋1)(my 2＋1)＝m 2y 1y 2＋m (y 1＋y 2)＋1代入②得(2m 2＋3)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋5＝0，③ 由①③解得m ＝±22，故直线l 的方程是x ＝±22y ＋1，即2x ±2y －2＝0.探究提高 (1)直线方程设为y ＝kx ＋b (斜截式)时，要注意考虑斜率是否存在；直线方程设为x ＝my ＋a (可称为x 轴上的斜截式)，这种设法不需考虑斜率是否存在.(2)若图形关系可转化为向量关系，则写出其向量关系，再将向量关系转化为坐标关系，关键是得出坐标关系.[命题角度2] 圆锥曲线中参数的存在性问题【例2－2】 (2017·湖州调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M . (1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.设M (x M ，0).因为m ≠0，所以－1＜n ＜1. 直线P A 的方程为y －1＝n －1m x . 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n ). 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n. “存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1，所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2. 所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2). 探究提高 (1)探索性问题通常用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.【训练2】 (2017·杭州高级中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为M (0，1)，F 1，F 2为其两个焦点，△MF 1F 2的周长为25＋4. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)以M (0，1)为直角顶点作椭圆C 的内接等腰直角三角形MAB ，这样的等腰直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个，并求出直角边所在的直线方程；若不存在，请说明理由.解(1)由题意得⎩⎨⎧b ＝1，a 2－c 2＝b 2，2a ＋2c ＝25＋4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝1，c ＝2，所以椭圆C 的方程是x 25＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的等腰直角三角形MAB ，由题意，知直角边MA ，MB 所在直线都不可能平行或垂直于x 轴.设MA 所在直线的方程是y ＝kx ＋1(k ＞0)，则MB 所在直线的方程是y ＝－1k x ＋1.由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，x 2＋5y 2＝5，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10k 1＋5k 2，－10k 21＋5k 2＋1， 所以|MA |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－10k 1＋5k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－10k 21＋5k 22 ＝10k 1＋k 21＋5k 2.同理，可得|MB |＝101＋k 25＋k 2，由|MA |＝|MB |，得k (5＋k 2)＝1＋5k 2，解得k ＝1或k ＝2±3.故存在三个满足条件的内接等腰直角三角形MAB ，直角边所在直线的方程是y ＝x ＋1、y ＝－x ＋1或y ＝(2＋3)x ＋1、y ＝(－2＋3)x ＋1或y ＝(2－3)x ＋1、y ＝－(2＋3)x ＋1.1.直线与抛物线位置关系的提醒(1)若点P 在抛物线内，则过点P 且和抛物线只有一个交点的直线只有一条，此直线与抛物线的对称轴平行；(2)若点P 在抛物线上，则过点P 且和抛物线只有一个交点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条直线与抛物线的对称轴平行；(3)若点P 在抛物线外，则过点P 且和抛物线只有一个交点的直线有三条，两条是抛物线的切线，另一条直线与抛物线的对称轴平行.2.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.3.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.4.存在性问题求解的思路及策略(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.一、选择题1.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23D.32解析 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)， 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32. 答案 D2.(2017·浦江中学模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B是虚轴的上端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( ) A.x 26－y 25＝1 B.x 28－y 212＝1 C.x 28－y 24＝1D.x 24－y 26＝1解析 设A (x ，y )，∵右焦点为F (c ，0)，点B (0，b )，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且BA →＝2AF →， ∴x ＝2c 3，y ＝b 3，代入双曲线方程，得4c 29a 2－19＝1，∴c 2＝52a 2.① ∵|BF →|＝4，∴c 2＋b 2＝16.② 又a 2＋b 2＝c 2，③由①②③得a ＝2，b ＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1. 答案 D3.(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( ) A.2 B. 3 C. 2D.233解析 设双曲线的一条渐近线为y ＝ba x ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22－12＝|2b |a 2＋b2，∴b 2＝3a 2. 又由c 2＝a 2＋b 2得c 2＝4a 2，∴e 2＝4，e ＝2. 答案 A4.(2017·丽水调研)已知椭圆C 1与双曲线C 2有相同的左右焦点F 1，F 2，P 为椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内的一个公共点，设椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别为e 1，e 2，且e 1e 2＝13，若∠F 1PF 2＝π3，则双曲线C 2的渐近线方程为( )A.x ±y ＝0B.x ±33y ＝0 C.x ±22y ＝0D.x ±2y ＝0解析 设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线C 2：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)，依题意c 1＝c 2＝c ，且e 1e 2＝13，∴m a ＝13，则a ＝3m .由圆锥曲线定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且|PF 1|－|PF 2|＝2m ， ∴|PF 1|＝4m ，|PF 2|＝2m .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得：4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝12m 2， ∴c 2＝3m 2，则n 2＝c 2－m 2＝2m 2，因此双曲线C 2的渐近线方程为y ＝±2x ，即x ±22y ＝0. 答案 C5.(2016·全国Ⅱ卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12 B.1 C.32D.2解析 因为抛物线方程是y 2＝4x ，所以F (1，0).又因为PF ⊥x 轴，所以P (1，2)，把P 点坐标代入曲线方程y ＝k x (k >0)，即k1＝2，所以k ＝2. 答案 D6.(2017·湖州一模)已知抛物线y 2＝4px (p ＞0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B.2＋1C.3＋1D.2 2＋12解析 依题意，得F (p ，0)，因为AF ⊥x 轴，设A (p ，y )，y >0，y 2＝4p 2，所以y ＝2p .所以A (p ，2p ).又点A 在双曲线上，所以p 2a 2－4p 2b 2＝1.又因为c ＝p ，所以c 2a 2－4c 2c 2－a 2＝1，化简，得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－6⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1＝0.所以e 2＝3＋22，e ＝2＋1. 答案 B 二、填空题7.(2017·北京卷改编)若双曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为3，则实数m ＝________，其渐近线方程为________.解析 由题意知1＋m1＝e 2＝3，则m ＝2.渐近线方程为y ＝±2x . 答案 2 y ＝±2x8.(2017·武义一中质检)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP →＝4FQ →，则|QF |等于________.解析 设l 交x 轴于点M ，过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|QQ ′|∶|FM |＝|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离|FM |为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3. 答案 39.已知直线l 过椭圆8x 2＋9y 2＝72的一个焦点，斜率为2，l 与椭圆相交于M ，N 两点，则弦MN 的长为________，MN 的垂直平分线方程为________.解析 由8x 2＋9y 2＝72得x 29＋y28＝1，故椭圆的焦点为(1，0)，(－1，0)，不妨设l 的方程为y ＝2(x －1).由⎩⎨⎧y ＝2（x －1），8x 2＋9y 2＝72，得11x 2－18x －9＝0.由根与系数的关系，得x M ＋x N ＝1811， x M ·x N ＝－911.由弦长公式得|MN |＝1＋k 2|x M －x N |＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫18112＋4×911＝3 600112＝6011；又MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫911，－411，∴MN 的垂直平分线方程为11x ＋22y －1＝0.答案 6011 11x ＋22y －1＝010.过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，∴（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2. ∵y 1－y 2x 1－x 2＝－12，x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴－b 2a 2＝－12，∴a 2＝2b 2.又∵b 2＝a 2－c 2， ∴a 2＝2(a 2－c 2)，∴a 2＝2c 2，∴c a ＝22. 答案 2211.(2017·浙师大附中模拟)已知点A (－2，0)，B (2，0)，过点A 作直线l 与以A ，B 为焦点的椭圆交于M ，N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为45，且直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则该椭圆的标准方程是________，过A 点的椭圆的最短弦长为________.解析 根据题意，知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，①由题意设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1(a 2＞4)，②由直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|2k |1＋k2＝1，解得k 2＝13.将①代入②，得(a 2－3)x 2＋a 2x －34a 4＋4a 2＝0，设点M 的坐标为(x 1，y 1)，点N 的坐标为(x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝－a 2a 2－3，又线段MN 的中点到y 轴的距离为45，所以|x 1＋x 2|＝85，即－a 2a 2－3＝－85，解得a 2＝8.所以该椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.过A 点的椭圆最短弦垂直于x 轴，其长为2 2. 答案 x 28＋y 24＝1 2 2 三、解答题12.(2017·绍兴一中调研)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F (1，0).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程. 解(1)依题意可得⎩⎨⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得a ＝2，b ＝1.∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1). 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2.∴y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 21＋2k 2.∵OM ⊥ON ，∴OM →·ON →＝0.∴x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k 2＝0，∴k ＝±2.故直线l 的方程为y ＝±2(x －1).13.(2017·全国Ⅲ卷)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. (1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程. (1)证明 设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y 2＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2－2my －4＝0，Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4.OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0.所以OA →⊥OB →，即O 在圆M 上.(2)解 由(1)可得x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2＋2）2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.14.(2017·兰溪一中质检)已知抛物线E ：y 2＝8x ，圆M ：(x －2)2＋y 2＝4，点N 为抛物线E 上的动点，O 为坐标原点，线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)点Q (x 0，y 0)(x 0≥5)是曲线C 上的点，过点Q 作圆M 的两条切线，分别与x 轴交于A ，B 两点，求△QAB 面积的最小值.解 (1)设P (x ，y )，则点N (2x ，2y )在抛物线E ：y 2＝8x 上，∴4y 2＝16x ，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0). 令y ＝0，得x ＝x 0－y 0k .圆心(2，0)到切线的距离d ＝|2k ＋y 0－kx 0|k 2＋1＝2，整理得(x 20－4x 0)k 2＋(4y 0－2x 0y 0)k ＋y 20－4＝0.设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2＝2x 0y 0－4y 0x 20－4x 0，k 1k 2＝y 20－4x 20－4x 0.∴△QAB 面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－y 0k 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－y 0k 2·|y 0|＝ 12y 20⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1－k 2k 1k 2＝2·x 20x 0－1. 设t ＝x 0－1∈[4，＋∞)，则S ＝f (t )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2在[4，＋∞)上单调递增，且f (4)＝252，∴f (t )≥252，即△QAB 面积的最小值为252.。
直线与圆锥曲线的位置关系专题复习
联系了中点和直线的斜率，借用中点P公A式R即T 可1求得斜率． 2．根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解．
01
添加标题
遇到弦中点,两式减一减; 若要求弦长,韦达来帮忙.
线 段 的 中 点 ， 求 直 线 L 的 方 程 .
探究三 圆锥曲线中弦的中点问题
变 式 ： 求 直 线 L:x+2y-8=0被 椭 圆 x2y21所 截 得 的 36 9
线 段 的 中 点 P的 坐 标 .
处理中点弦问题常用的求解方法
1．点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相
y＝kx＋2， 联立方程组x92＋y2＝1， 解得 x2＋9(kx＋2)2＝9， 即(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0.
∵直线 m 与椭圆交于 A、B 两点，
∴Δ＝(36k)2－4×27(1＋9k2)＞0，即
9k2－3＞0，∴k＞
33或
k＜－
3 3 .(*)
设 A、B 两点的坐标是 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－1＋369k2，x1·x2＝1＋279k2. 由于以 AB 为直径的圆过原点，∴x1x2＋y1y2＝0， 即 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0.
y(12=)若2p直x线: 与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.
(2)若直线与对称轴相交,
由
y=kx+ my2=2p
得:
故①△>0 相交 ②△=0 x 相切 A③x△2+<B0x+C相=离0
yy
(word完整版)圆锥曲线 直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线位置关系一、基础知识：（一)直线与椭圆位置关系1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离(无公共点）2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定，下面以直线y kx m =+和椭圆:()222210x y a b a b+=>>为例(1）联立直线与椭圆方程：222222y kx mb x a y a b=+⎧⎨+=⎩ （2）确定主变量x （或y )并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程:()222222b x a kx m a b ++=，整理可得：()22222222220a kb x a kxm a m a b +++-=（3）通过计算判别式∆的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与椭圆相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与椭圆相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与椭圆相离3、若直线上的某点位于椭圆内部，则该直线一定与椭圆相交 （二）直线与双曲线位置关系1、直线与双曲线位置关系，相交,相切，相离2、直线与双曲线位置关系的判定：与椭圆相同,可通过方程根的个数进行判定以直线y kx m =+和椭圆:()222210x y a b a b -=>>为例：（1)联立直线与双曲线方程：222222y kx m b x a y a b=+⎧⎨-=⎩,消元代入后可得：()()22222222220ba k x a kxm a m ab ---+=（2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2220a k b +>,所以消元后的方程一定是二次方程,但双曲线中，消元后的方程二次项系数为222b a k -，有可能为零。
所以要分情况进行讨论 当2220bb a k k a-=⇒=±且0m ≠时，方程变为一次方程，有一个根.此时直线与双曲线相交，只有一个公共点当2220b bb a k k a a ->⇒-<<时,常数项为()22220a m a b -+<,所以0∆>恒成立,此时直线与双曲线相交 当2220b b a k k a -<⇒>或bk a <-时，直线与双曲线的公共点个数需要用∆判断：① 0∆>⇒方程有两个不同实根⇒直线与双曲线相交 ② 0∆=⇒方程有两个相同实根⇒直线与双曲线相切 ③ 0∆<⇒方程没有实根⇒直线与双曲线相离注：对于直线与双曲线的位置关系,不能简单的凭公共点的个数来判定位置。
第08讲直线与圆锥曲线的位置关系(八大题型)(练习)-1
第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系目录01模拟基础练题型一：直线与圆锥曲线的位置关系题型二：求中点弦所在直线方程问题题型三：求弦中点的轨迹方程问题题型四：利用点差法解决对称问题题型五：利用点差法解决斜率之积问题题型六：弦长问题题型七：三角形面积问题题型八：四边形面积问题02重难创新练03真题实战练题型一：直线与圆锥曲线的位置关系1．若直线10ax by +-=与圆22:1O x y +=相离，则过点(),P a b 的直线与椭圆22165y x+=的交点个数是（ ）A ．0或1B ．0C ．1D ．22．已知双曲线22:1916x y C -=，过点()3,3P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足条件的直线l 共有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．过双曲线C ：2213y x -=左焦点为F 和点(0,A 直线l 与双曲线C 的交点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．过点(0),1M 与抛物线22y x =只有一个公共点的直线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．0条5．已知椭圆M ：()222210+=>>x y a b a b ，点,2a C b æö-ç÷èø在其上，直线l 交椭圆于A ，B 两点，ABC V 的重心是坐标原点，则直线l 的斜率为（ ）A B C ．D 6．直线l 与双曲线2219y x -=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为点()1,4M --，则直线l 的斜率为（ ）A ．49-B ．49C ．94-D ．94题型二：求中点弦所在直线方程问题7．已知椭圆216x ＋236y ＝1内有一点P (2,3)，过点P 的一条弦恰好以P 为中点，则这条弦所在的直线方程为．8．过点(3,1)M -且被点M 平分的双曲线2214x y -=的弦所在直线方程为 _.9．抛物线26y x =，过点()4,1P 引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．题型三：求弦中点的轨迹方程问题10．直线l 与椭圆2214x y +=交于A ，B 两点，已知直线l 的斜率为1，则弦AB 中点的轨迹方程是 ．11．已知抛物线24y x =的弦AB 斜率为1，则弦AB 中点M 的轨迹方程.12．求过定点()0,1的直线被双曲线2214yx -=截得的弦AB 的中点的轨迹方程.13．给出双曲线2212y x -=.（1）求以()2,1A 为中点的弦所在的直线方程；（2）若过点()2,1A 的直线l 与所给双曲线交于1P ，2P 两点，求线段12PP 的中点P 的轨迹方程.14．过点()1,0A -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于P 、Q 两点.求线段PQ 的中点B 的轨迹方程.题型四：利用点差法解决对称问题15．在已知抛物线2y x =上存在两个不同的点M ，N 关于直线92y kx =+对称，则实数k 的取值范围为 ．（2024·陕西宝鸡·一模）16．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：2y x a =+与抛物线C 交于A ，B 两点.(1)若1a =-，求FAB V 的面积；(2)若抛物线C 上存在两个不同的点M ，N 关于直线l 对称，求a 的取值范围.17．已知曲线C 的方程是()2222110axy a -++-=，其中0a >，1a ¹，直线l 的方程是y x a =-．(1)请根据a 的不同取值，判断曲线C 是何种圆锥曲线；(2)若直线l 交曲线C 于两点M ，N ，且线段MN 中点的横坐标是2-，求a 的值；(3)若a =C 上是否存在不同的两点A ，B ，使得A ，B 关于直线l 对称，并说明理由．（2024·江苏南京·模拟预测）18．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点æççè，直线l ：y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当1m =时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．19．已知椭圆22:15x C y +=，点()0,1M 关于直线:l y x t =+的对称点N 在C 上，且点M 与N不重合，则t =（ ）A ．13-B ．12-C ．23-D ．1-题型五：利用点差法解决斜率之积问题20．已知,A B 为抛物线22y x =上的两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，则直线AB 的斜率为 .（2024·陕西铜川·三模）21．已知原点为O ，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与直线:10l x y -+=交于,A B 两点，线段AB的中点为M ，若直线OM 的斜率为14-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C D22．已知双曲线C ：2221(0)y x b b -=>l 与C 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为()1,2N ，则直线l 的斜率为（ ）A ．1-B ．1C D ．2题型六：弦长问题23．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若3AF =，求线段AB 的长．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合，且椭圆的离(1)求椭圆C 的方程；(2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M ，N 两点，8MN =，求直线方程．25．已知抛物线2:2C y px =过点()1,2D -，其焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，8AB =.(1)求抛物线C 的标准方程，并写出其准线方程；(2)求直线l 的方程.（2024·安徽蚌埠·模拟预测）26．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左顶点是(1,0)A -，一条渐近线的方程为y x =．(1)求双曲线E 的离心率；(2)设直线1122y x =-与双曲线E 交于点P ，Q ，求线段PQ 的长．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·开学考试）27．已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b(P .(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线m 过椭圆E 的右焦点和上顶点，直线l 过点()2,1M 且与直线m 平行.设直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求AB 的长度.题型七：三角形面积问题（2024·重庆·模拟预测）28．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，当3AB p =时，点M 的横坐标为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 的准线交于点D ，点D 关于x 轴的对称点为E ，当DME V 的面积取最小值时，求直线l 的方程.29．已知过抛物线22y px =()0p >的焦点，斜率为()11,A x y ，()22,B x y ()12x x <两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，求OAB △的面积.（2024·甘肃·一模）30．已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b 的左、右焦点分别是1F ，2F ，上、下顶点分别是1B ，2B ，离心率12e =，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若12MN B F ^，试求1F MN △内切圆的面积.（2024·吉林长春·一模）31．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>1F 、2F .设P 是椭圆C 上一点，满足2PF ⊥x 轴，212PF =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求AOB V 的面积.（2024·河北·模拟预测）32．已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率等于3，且经过点（-3,8），直线32y x =+与双曲线交于点A 、B.（1）求双曲线的标准方程；（2）求△1F AB 的面积.题型八：四边形面积问题（2024·陕西·三模）33．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，椭圆E 且通径长为1．（1）求E 的方程；（2）直线l 与E 交于M ，N 两点（M ，N 在x 轴的同侧），当12//F M F N 时，求四边形12F F NM 面积的最大值．34．设椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），长轴的两个端点分别为1A ，2A ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ．(1)证明：四边形1122A B A B 为菱形；(2)若四边形1122A B A B 的面积为120，边长为13，求椭圆C 的方程．35．已知E 是曲线221:143x y C +=上任一点，过点E 作x 轴的垂线，垂足为H ，动点D 满足HE uuu r (1)求点D 的轨迹2C 的方程；(2)若点P 是直线l ：340x y --=上一点，过点P 作曲线2C 的切线，切点分别为M ，N ，求使四边形OMPN 面积最小时MN 的值．36．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F 离心率12e =，点P 为椭圆上的一个动点，12PF F V 面积的最大值为(1)求椭圆C 的方程；(2),,,A B C D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于1F ，若直线AC ，BD 均不与坐标轴重合，且0AC BD ×=uuu r uuu r，求四边形ABCD 面积的最小值.参考答案：1．D【分析】由直线与圆相离得221a b +<，则点(),P a b 在椭圆22165y x +=的内部，由此即可得解.【详解】由题意直线10ax by +-=与圆22:1O x y +=相离，所以圆心到直线的距离1d r =>=，即2201a b <+<，而2222116555b a a b ++£<<，即点(),P a b 在椭圆22165y x +=的内部，所以过点(),P a b 的直线与椭圆22165y x +=的交点个数是2.故选：D.2．D【分析】结合双曲线的性质与点P 位置，画出对应图形即可得.【详解】易知双曲线的焦点()()125,0,5,0F F -，顶点()3,0A ，渐近线为43y x =±，由()3,3P 可得该点在双曲线右顶点上方，易得过P 点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.故选：D.3．B【分析】求出直线l 的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案.【详解】由题意得双曲线C ：2213y x -=左焦点为(2,0)F -，则直线l的斜率为k ==故直线l的方程为y =+，而双曲线的渐近线方程为y =，故直线l与y =平行，且l 过双曲线的左焦点，故直线l 与双曲线C 的交点个数是1，故选：B 4．C【分析】分直线斜率存在与斜率不存在，设出方程，结合题意计算即可得.【详解】当直线斜率存在时，设直线l 的斜率等于k ，则当 0k =时，直线l 的方程为1y =，满足直线与抛物线22y x =仅有一个公共点，当0k ¹时，设直线l 的方程为1y kx =+，代入抛物线的方程可得：()222210k x k x +-+=，有()222240k k D =--=，解得12k =，故切线方程为112y x =+，当斜率不存在时，直线方程为0x =，该直线也与抛物线22y x =相切，故满足条件的直线方程有三条.故选：C ．5．B【分析】将,2a C b æö-ç÷èø代入椭圆方程求出a b =，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到2121221212y y y y b x x x x a -+×=--+，结合ABC V 的重心是坐标原点，得到1212,2ax x b y y +=+=-，求出直线l 的斜率.【详解】将,2a C b æö-ç÷èø代入椭圆方程得，222214b a a b +=，令22a t b=，则114t t +=，解得2t =，即222a b =，a b 设()()1122,,,A x y B x y ，则1203x x b +-=，12203ay y ++=，故1212,2ax x b y y +=+=-，又22112222222211x y a b x y a b ì+=ïïíï+=ïî，两式相减得，2222121222x x y y a b --=-，变形得到2121221212y y y y b x x x x a-+×=--+，即122l a k b -×=-，故1l a k b ×=1l =，解得l k =故选：B 6．D【分析】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，代入双曲线方程，两式相减可得222212129y y x x --=，由题目条件经整理后可得答案.【详解】设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则直线l 的斜率为1212y y k x x -=-代入2219yx -=，得221122221919y x y x ì-=ïïíï-=ïî，两式相减得：222212129y y x x --=.又线段AB 的中点为点()1,4M --，则121228x x y y +=-+=-，.则2222121212121212899924y y y y y y x x k k x x x x --+--=Þ×=×=Þ=-+-.经检验满足题意.故选：D7．32120x y +-=【分析】根据点差法求出弦所在直线的斜率得解.【详解】设弦为AB ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则221122221163611636x y x y ì+=ïïíï+=ïî，两式相减并化简得121212123616y y y y x x x x +--=×+-，即12129342y y x x --=×-，则121232y y x x -=--，所以弦所在直线的方程为()3322y x -=--，即32120x y +-=.故答案为：32120x y +-=.8．3+450x y -=【详解】由于双曲线图象关于 x 轴对称，且 M 不在 x 轴上，所以所求直线不平行于 y 轴，即斜率为实数，设所求直线斜率为 a ，与双曲线两交点坐标为 （3+t ，-1+at ） 和 （3-t ，-1-at ）．坐标代入双曲线方程，得：()()2222(3)114(3)11433404t at t at t at a +--+=----=+=\=-两式相减，得到∴所求直线方程为 y+1=34-（x-3）即3x+4y-5=09．3110x y --=．【分析】利用“点差法”可求出所求直线的斜率，即可求得答案.【详解】设过点()4,1P 的弦的两个端点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：21122266y x y x ì=í=î，两式相减，得：2221216()y y x x -=-，2121216y y x x y y -\=-+，又因为点()4,1P 恰好是线段AB 的中点，2121122y y y y +\=Þ+=，故该弦所在直线的斜率为2121216632y y k x x y y -====-+，所以该弦所在直线的方程为：13(4)y x -=-，即3110x y --=．将311y x =-代入26y x =，得29721210x x -+=，272491218280D =-´´=>，即3110x y --=适合题意，故答案为：3110x y --=．10．40x y x æ+=<<ççè【分析】利用点,A B 的坐标和点差法得出轨迹方程，利用点M 在椭圆内即可得出取值范围.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，线段AB 的中点为(),M x y ，连接OM （O 为坐标原点）．由题意知22221212144x x y y +==+，则1212121214AB OM y y y y y k k x x x x x -+×=-=×=-+，∴点M 的轨迹方程为04=+y x ．又点M 在椭圆内，∴22144x x æö+-<ç÷èø，解得：x <<故答案为：40x y x æ+=<<ççè.11．2y =（1x >）【分析】联立直线于抛物线方程，根据中点坐标公式即可求解.【详解】设直线AB 的方程为y x m =+，联立()2224240y xx m x m y x mì=Þ+-+=í=+î，由于()22Δ24416160m m m =--=-+>，所以1m <，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则1242,x x m +=-故121224y y x x m +=++=因此()2,2M m -，设2,2x m y =-=， 由于1m <，则21x m =->，故M 的轨迹方程为2y =，（1x >）故答案为：2y =（1x >）12．2240x y y -+=（4y <-或1y ³）.【分析】可设直线的方程为1y kx =+，且设该直线被双曲线截得的弦AB 对应的中点为(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与双曲线的方程，根据判别式与韦达定理可得22,444k x k y k ì=ïï-íï=ï-î，再消元求解即可.【详解】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为1y kx =+，且设该直线被双曲线截得的弦AB 对应的中点为(),P x y ，()11,A x y ，()22,B x y .由221,1,4y kx y x =+ìïí-=ïî得()224250k x kx ---=.则240k -¹，即2k ¹±，且()2242040k k D =+->，所以21680k <2k ¹±，且12224k x x k +=-，12254x x k =--，所以()122124k x x x k =+=-，()()12122141224k y y y x x k =+=++=-.由22,444k x k y k ì=ïï-íï=ï-î，即4x k y =，4x k y =，代入24k x k =-消去k 得2240x y y -+=.又25k <，且240k -¹，244y k=-，故4y <-或1y ³.故弦AB 的中点的轨迹方程为2240x y y -+=（4y <-或1y ³）.13．（1）470x y --=；（2）22240x y x y --+=.【分析】（1）设(2,1)A 是弦12PP 的中点，且()111,P x y ，()222,P x y ，利用点差法能求出以(2,1)A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程．（2）设()111,P x y ，()222,P x y ，(,)P x y ，则221122x y -=，222222x y -=，两式相减，利用P 是中点及斜率相等可求P 得轨迹方程，从而得到其轨迹．【详解】（1）设弦的两端点为()111,P x y ，()222,P x y ，则221122222222x y x y ì-=í-=î，两式相减得到()()()()121212122x x x x y y y y -+=-+，又124x x +=，122y y +=，所以直线斜率12124y y k x x -==-.\以(2,1)A 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为：14(2)y x -=-，整理得470x y --=．故求得直线方程为470x y --=.（2）设(),P x y ，()111,P x y ，()222,P x y ，按照（1）的解法可得12122y y xx x y-=-，①由于1P ，2P ，P ，A 四点共线，得121212y y y x x x --=--，②由①②可得212x y y x -=-，整理得22240x y x y --+=，检验当12x x =时，2x =，0y =也满足方程，故12PP 的中点P 的轨迹方程是22240x y x y --+=.【点睛】本题考查点差法求中点弦的计算，动点的轨迹问题，属于中档题.14．()2221y x x =+>【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y ，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ 的中点B 的轨迹方程.【详解】解：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y 代入得()()()211121212222444y x y y y y x x y x ì=Þ+-=-í=î，化简得()224211yy y x x ×=Þ=++，又224122y xx y x ì=Þ=í=+î，所以线段PQ 的中点B 的轨迹方程为()2221y x x =+>.15．11,,44æöæö-¥-+¥ç÷ç÷èøèøU 【分析】设()211,M x x ，()222,N x x ，MN 的中点为()00,P x y ，由已知可得92y kx =+是线段MN的垂直平分线，结合点差法将()00,P x y 坐标 用k 表示，再由点P 在抛物线内，建立k 的不等量关系，求解即可得出结论.【详解】设()211,M x x ，()222,N x x 关于直线92y kx =+对称，∴0k ¹，∴2212121x x x x k -=--，即121x x k+=-．设线段MN 的中点为()00,P x y ，则00119,4222x y k k k æö=-=´-+=ç÷èø．∵中点P 在2y x =内，∴2142k æö>-ç÷èø，解得14k >或14k <-．故答案为：11,,44æöæö-¥-+¥ç÷ç÷èøèøU .【点睛】由抛物线的图像易知抛物线上的任意两点连线的中点在抛物线内，若忽略条件“中点在抛物线内部”，则难以求解．16．(2)(,12)-¥-.【分析】(1)联立直线与抛物线，根据弦长公式求出||AB ，根据点到直线的距离公式求出点F 到直线的距离，根据三角形面积公式可求得结果；(2)设直线MN 的方程为12y x m =-+代入抛物线，利用判别式大于0可得2m >-，根据韦达定理求出MN 的中点坐标，将其代入直线l 得到m 与a 的关系式，根据m 的范围可得a 的范围．【详解】（1）抛物线2:4C y x =的焦点为(1,0)F ，1a =-时，直线:21l y x =-，联立2214y x y x =-ìí=î，可得21204x x -+=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则122x x +=，1214x x =．AB ===点F 到直线l的距离距离d ==FAB \V的面积11||22S AB d =×=（2）∵点M ，N 关于直线l 对称，∴直线MN 的斜率为12-，∴可设直线MN 的方程为12y x m =-+，联立2124y x my x ì=-+ïíï=î，整理可得22(416)40x m x m -++=，由22(416)160m m D =+->，可得2m >-，设3(M x ，3)y ，4(N x ，4)y ，则34416x x m +=+，34341()282y y x x m +=-++=-故MN 的中点为(28,4)m +-，∵点M ，N 关于直线l 对称，∴MN 的中点(28,4)m +-，在直线2y x a =+上，∴42(28)m a -=++，得420a m =--，∵2m >-，∴12a <-．综上，a 的取值范围为(,12)-¥-．17．(1)答案见解析(2)a =(3)不存在，理由见解析【分析】（1）变换得到22211y x a +=-，考虑01a <<，1a >两种情况，判断即可.（2）设()11,M x y ，()22,N x y，代入曲线方程，相减得到)2121y y a +=-，确定MN 的中点坐标，代入直线方程，解得答案.（3）假设存在，设点代入曲线方程，利用点差法得到000x =，再结合点在直线上得到中点坐标，得到直线方程，再联立得到方程无解，得到答案.【详解】（1）()2222110a x y a -++-=，即22211y x a+=-，当01a <<时，曲线表示焦点在x 轴上的椭圆；当1a >时，曲线表示焦点在x 轴上的双曲线；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，()222211a x y a -+=-，则()22221111axy a -+=-，()22222211a x y a -+=-，两式相减得到：()()()()()21212121210a x x x x y y y y -+-++-=，即())212410a y y --++=，故)2121y y a +=-，故MN的中点为)()22,1a --，代入直线得到)()212a a -=--，解得aa =（舍），故a （3）假设存在，直线方程为y x =，双曲线方程为221x y -=，设()33,A x y ，()44,B x y ，AB 中点为()00,x y ，则32321y x -=，42421y x -=，两式相减得到()()()()434344330y x y y x y x x -++-=-，即())34340y y x x +++=，000x =，又00y x =解得01x =，0y =此时直线AB方程为：)1y x =-y =22 1y x y ì=ïíï-=î23202x x -+=，方程无解，故不存在.18．(1)22142x y +=；(2)不存在；理由见解析.【分析】（1）利用点差法，结合代入法进行求解即可；（2）利用假设法、点差法，根据点关于直线对称的性质、点与椭圆的位置关系进行求解即可.【详解】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y M ++æöç÷èø，即121212OM y y k x x +==-+．因为A ，B 在椭圆C 上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()()()121222121210y y y y a b x x x x +-+=+-，又12121AB y y k x x -==-，所以221102a b-=，即222a b =．又因为椭圆C过点æççè，所以221123a b +=，解得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）由题意可知，直线l 的方程为1y x =+．假设椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，设()33,P x y ，()44,Q x y ，PQ 的中点为()00,N x y ，所以3402x x x +=，3402y y y +=，因为P ，Q 关于直线l 对称，所以1PQ k =-且点N 在直线l 上，即001y x =+．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以2233142x y +=，2244142x y +=，两式相减得()()()()34343434042x x x x y y y y +-+-+=，即()()()34343434042y y y y x x x x +-++=-，所以343442x x y y ++=，即002x y =．联立000021x y y x =ìí=+î，解得0021x y =-ìí=-î，即()2,1N --．又因为()()2221142--+>，即点N 在椭圆C 外，这与N 是弦PQ 的中点矛盾，所以椭圆C 上不存在点P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称．【点睛】关键点睛：利用点差法是解题的关键.19．C【分析】设0(N x ，0)y ，由题意可得MN 的斜率为1-，由两点的斜率公式可得0x ，0y 的一个关系式，由M ，N 的中点在直线方程上，从而可得N 的坐标，将点N 的坐标代入椭圆方程，可求出t 的值．【详解】不妨设0(N x ,0)y ，由题意可得0110y x -=--，即：001y x =-，又MN 的中点001,22x y +æöç÷èø在直线:l y x t =+上，所以00122y x t +=+，解得y 0=t ，故(1,)N t t -，而N 在椭圆C 上．故22(1)15t t -+=，解得1t =或23t =-，由于1t =时N 与M 坐标相同，故23t =-．故选：C ．20．12##0.5【分析】设出点,A B 的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB 的斜率.【详解】由题意，,A B 为抛物线22y x =上的两点，且线段AB 中点的纵坐标为2，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 中点为D ，∴12224y y +=´=，21122222y x y x ì=í=î，∴()()()()22121212121242y y y y y y y y x x -=-+=-=-即12122142y y x x -==-∴直线AB 的斜率为：12故答案为：1221．B【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y M ++æöç÷èø，由点差法求解离心率即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y M ++æöç÷èø，则22112222222211x y a b x y a b ì+=ïïíï+=ïî，两式相减可得()()()()2121221212y y y y b a x x x x -+=-+-，22114b a æö\-=´-ç÷èø，即224a b =，即()2224a a c =-，2234a c =，故c a =故选：B 22．B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l 的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为2221(0)y x b b-=>，所以它的一个焦点为(,0)c ，一条渐近线方程为0bx y -=，所以焦点到渐近线的距离d =2222(1)b c b =+，解得22b =，所以双曲线的标准方程为2212y x -=，设1122()A x y B x y ,,(,)，所以221112y x -=①，222212y x -=②，①-②得，222212121()()02x x y y ---=，化简得121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=③，因为线段AB 的中点为()1,2N ，所以12122,4x x y y +=+=，代入③，整理得1212x x y y -=-，显然1212,x x y y ¹¹，所以直线l 的斜率12121y y k x x -==-.故选：B23．(1)焦点坐标()10F ,，准线方程为x =―1；(2)92．【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可；（2）先根据定义求出点A 的横坐标，进而可得点A 的纵坐标，设出直线l 的方程，将直线l 的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可．【详解】（1）因为24p =，解得2p =，则抛物线C 的焦点坐标F (1,0)，准线方程为x =―1；（2）不妨设()11A x y ，，()22B x y ，，因为113AF x =+=，所以12x =，当x =2时，解得y =±不妨令(2,A ，AF k ==此时直线l 的方程为)1y x =-，联立)21y y x ì=ïí=-ïî，消去y 并整理得22520x x -+=，由韦达定理得1252x x +=，则129112AB AF BF x x =+=+++=．24．(1)22132x y +=(2)1y x =-或1y x =-+【分析】（1）利用焦点坐标和离心率可求得椭圆方程；（2）分别讨论直线斜率是否存在，联立直线和抛物线方程利用焦点弦公式可得222428k MN k +=+=，即得直线方程.【详解】（1）抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0)，所以椭圆中1c =，1c e a a ===，所以a =222312b a c =-=-=，所以椭圆方程为22132x y +=（2）当直线斜率不存在时，易知此时4MN =，不合题意；所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为y =k (x−1)，如下图所：联立()241y x y k x ì=ïí=-ïî得()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212224k x x k++=，根据焦点弦公式可得21222428k MN x x p k +=++=+=，解得21k =，1k =±，所以直线方程为1y x =-或1y x =-+25．(1)抛物线C 的标准方程为24y x =，准线方程为=1x -(2)1y x =-【分析】（1）将D 点坐标代入抛物线方程解得2p =，即可写出抛物线标准方程和准线方程；（2）联立直线l 和抛物线方程利用韦达定理和抛物线焦点弦公式解得1k =，求出直线方程.【详解】（1）由题意将点()1,2D -代入抛物线方程可知2(2)2p -=，解得2p =.所以抛物线C 的标准方程为24y x =，焦点()10F ,，因此准线方程为=1x -.（2）由（1）得直线l 的方程为()1(0)=->y k x k .设()()1122,,,A x y B x y ，如图所示：联立直线l 和抛物线方程()214y k x y x ì=-í=î，消去y 得()2222240k x k x k -++=.易得216160k D =+>，且212224k x x k ++=.由抛物线焦点弦公式可知()()2111224411k AB AF BF AA BB x x k+=+=+=+++=.所以22448k k +=，解得1k =或1k =-（舍去）.故直线l 的方程为1y x =-.26．【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得,,a b c 即可得到离心率；（2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解.【详解】（1）由题意知1a =，且1,1bb a=\=，c \==所以双曲线的离心率ce a==（2）由（1）知双曲线方程为221x y -=，将1122y x =-即12x y -=代入221x y -=，得2340y y +=， 不妨设40,3P Q y y ==-，所以2PQ y =-=．27218y +=【分析】（1）由待定系数法求椭圆方程.（2）运用韦达定理及弦长公式可求得结果.【详解】（1）由题意知，e =a =，b c =，设椭圆E的方程为222212x y b b +=.将点P 的坐标代入得：28b =，216a=，所以椭圆E 的方程为221168x y +=.（2）由（1）知，椭圆E 的右焦点为，上顶点为(0,，所以直线m 斜率为1k ==-，由因为直线l 与直线m 平行，所以直线l 的斜率为1-，所以直线l 的方程为()12y x -=--，即30x y +-=，联立2211683x y y x ì+=ïíï=-+î，可得231220x x -+=，1200D =>，124x x +=，1223x x =，==.28．(1)24y x =(2)1x y =±+【分析】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，根据焦点弦的性质得到12||AB x x p =++，从而求出p ，即可得解；（2）设:1l x ty =+，联立直线与抛物线，消元、利用韦达定理得到M y ，从而得到M x ，则()1||12DEM M S DE x =×+V 最后利用基本不等式求出最小值，即可得解；【详解】（1）解：设()()1122,,,A x y B x y ，由题知12||43AB x x p p p =++=+=时，2p =，故抛物线方程为24y x =；（2）解：设:1l x ty =+，联立抛物线方程得2440y ty --=，∴1222M y y y t +==，2121M M x ty t =+=+，而21,D t æö--ç÷èø，21,E t æö-ç÷èø，所以()()21141||1224||822||||DEM M S DE x t t t t æö=×+=××+=+³ç÷èøV ，当且仅当||1t =时等号成立，故直线l 的方程为1x y =±+．29．（1）28y x =；（2）【分析】（1）由题意设直线AB的方程为2p y x ö=-÷ø，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系结合抛物线的定义，由9AB =列方程可求出p 的值，从而可求出抛物线的方程，（2）结合（1）解方程求出,A B 两点的坐标，从而可求出三角形的面积【详解】解：（1）抛物线22y px =的焦点为,02p æöç÷èø，所以直线AB的方程为2p y x ö=-÷ø，由2,22,p y x y px ìö=-ï÷øíï=î消去y 得22450x px p -+=，所以1254p x x +=，由抛物线定义得129AB x x p =++=，即594pp +=，所以4p =.所以抛物线的方程为28y x =.（2）由4p =知，方程22450x px p -+=，可化为2540x x -+=，解得11x =，24x =，故1y =-，2y =所以(1,A -，(4,B .则OAB △面积122S =´´=30．（1）22143x y +=；（2）36169p .【分析】（1）由题意得2c a b ì=ïíïî，解出即可；（2）首先算出直线l 的方程，然后和椭圆的方程联立消元，算出1F MN △的面积和周长，然后得到1F MN △内切圆的半径即可.【详解】（1）由题意得2c a b ì=ïíïî，又222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由(1B ，()21,0F ，知12B F的斜率为12MN B F ^，故MN则直线l的方程为)1y x =-，即1x +，联立21,41,x x ì=ïíï=+î可得：21390y +-=，设()11,M x y ，()22,N x y，则12y y +=12913y y =-，则1F MN △的面积12413S c y =×-=，由1F MN △的周长48L a ==，及12S LR =，得内切圆2613S R L ==，所以1F MN △的内切圆面积为236ππ169R =.31．（1）2214x y +=；（2【解析】（1）根据条件列出关于,,a b c 的方程求解；（2）设直线x y =，与椭圆方程联立，11212AOB S OF y y =´´-V ，代入根与系数的关系，求三角形的面积.【详解】（1）由条件可知222c ab a ac ì=ïïïíïïïî，解得：2a =，1b =，c =所以椭圆C 的标准方程是2214x y +=；（2）设直线:l x y =，()11,A x y ，()22,B x y ，直线l与椭圆方程联立2214x y x y ì=ïí+=ïî，得2510y --=，12y y +=12y y1112AOB S OF y =´´-=V .32．（1）2218y x -=（2）【详解】解:(1)设22221,3x y ce a b a-===代入(-3，8)得221,8a b ==∴方程为: 2218y x -=(2)联立的2121212120,12,12x x x x x x ++=+=-=AB d ==112F AB S AB d D \==33．（1）2214x y +=；（2）2.【分析】（1）结合离心率，通径的概念以及,,a b c 的关系可得方程；（2）利用对称性可转化为2121212MF M S F F y y ¢=-V ，利用韦达定理和不等式求最值．【详解】（1）依题意可知2cïî，解得2a b c =ìïíï=î故椭圆的方程为2214x y +=．（2）延长1MF 交E 于点0M ，由（1）可知12()F F O ，设()()11022,,,M x y M x y ，设1MF的方程为x my =由2214x my x y ì=ïí+=ïî()22410m y +--=，故1212y y y y ì+ïïíï=ïî．设1F M 与2F N 的距离为d ，则四边形12F F NM 的面积为S ，()()20121100111222MF M S F M F N d F M F M d MM d S =+=+==V ，又因为20121221122MF M S F F y y y =××-=×-V===2=，=m =故四边形12F F NM 面积的最大值为2．34．(1)证明过程见解析；(2)22114425x y +=.【分析】（1）根据菱形的判定定理，结合椭圆长轴和短轴的定义进行证明即可‘（2）根据菱形的面积公式和勾股定理进行求解即可.【详解】（1）因为长轴的两个端点分别为1A ，2A ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，所以1212,OA OA OB OB ==，所以四边形1122A B A B 是平行四边形，又因为2121A A B B ^，所以四边形1122A B A B 为菱形；（2）由（1）可知：四边形1122A B A B 为菱形，因为四边形1122A B A B 的面积为120，边长为13，所以有2221221202121316950a b a a b b a b ì´××=ï=ïì+==Þíí=îï>>ïî，椭圆的标准方程为：22114425x y +=.35．(1)224x y +=(2)MN =【分析】（1）相关点法求轨迹方程；（2）表达出四边形OMPN面积S =，转化为当OP 最小时，面积最小，利用点到直线距离求出OP 最小值，进而求出答案.【详解】（1）设()()00,,,D x y E x y由HE =uuu r得，00,x x y y ==，所以2234143y x +=所以，点D 的轨迹方程为224x y +=（2）由圆的切线性质知，切线长,PM PN OM PM =^所以，四边形面积2S OM PM PM =×==所以，当OP 最小时，面积最小．而OP 的最小值即为O到直线的距离d =，此时min 2S =又因为12S MN OP =×，所以此时min 2S MN OP ==36．(1)2211612x y +=(2)115249【分析】（1）根据题意得到22c a bc a ì=ïïïíïïïî解出变量值即可；（2）先考虑特殊情况，当其中一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，求出面积；之后联立直线和椭圆得到二次方程，再由弦长公式得到12AC BD ×的表达式，利用基本不等式求最小值.【详解】（1）当P 为椭圆的上下顶点时12PF F V面积最大为122c b bc ´´==，所以22c a bc a b c ì=ïïïíï=+ïïî，解得22,4,12c a b ===,椭圆C 的方程:2211612x y +=.（2）（i ）当,AC BD 中有一条直线斜率为0，另一条斜率不存在时，22116122x y x ì+=ïíï=-î解得3=±y ，所以6,28AC BD a ===，则四边形ABCD 面积为1242AC BD ×=；（ii ）当AC 斜率k 存在且0k ¹时，设AC ：(2)y k x =+，1122(,),(,)A x y C x y ，联立2211612(2)x y y k x ì+=ïíï=+î得2222(34)1616480k x k x k +++-=，所以22121222161648,,3434k k x x x x k k -+=-=++2224(1)||34k AC k +==+，又因为BD ：1(2)y x k=-+，所以只用将2224(1)||34k AC k+=+中的k 替换为1k -可得2224(1)||43k BD k +=+，所以四边形ABCD 面积为2222288(1)(43)(34)12A k k k C BD ×+=++，因为2222222(43)(34)49(1)(43)(34)44k k k k k éù++++ëû++£=，所以22222222288(1)288(1)115249(1)(43)(34)494k k k k k ++³=+++，当且仅当22(43)(34),1k k k +=+=±时取得等号，综上，四边形ABCD 面积的最小值为115249.。
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直线与圆锥曲线位置关系是高考的必考内容，主要涉及曲线方程的求法、弦长、最值、
定点等问题．解决直线与圆锥曲线位置关系问题，一般是联立方程组，消元后得一元二次方
程，利用根与系数的关系来解决，重点考查基础知识，通性通法及常用技巧，所以在备考时
要重视运算能力的培养与训练，提高运算的速度与准确度．
“大题规范解答——得全分”系列之(八)
直线与圆锥曲线位置关系的答题模板
[典例] (2012北京高考·满分14分)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．
(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲
线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．
[教你快速规范审题]
1．审条件，挖解题信息
观察
条件
―→方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆―――――――→椭圆的标准方程 x2a2＋y2b2＝1a＞b＞0
2．审结论，明解题方向
观察所求结论―→求m的范围―→需建立关于m的不等式
3．建联系，找解题突破口
由椭圆的标准方程―――――→确定a2，b2 a2＝85－m，b2＝8m－2――――→建立关于m的不等式
5－m＞0，m－2＞0，85m－
＞82m－
―――――――→解不等式组 得m的取值范围
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1．审条件，挖解题信息
观察
条件
―→
m＝4；曲线C与y轴交于A，B与直线y＝kx＋4交于M，N；直线y＝1与直线BM交于G
―――――――――――――→把m＝4代入曲线C的方程并令x＝0，得A、B的坐标曲线C的方程x2＋2y2＝8，A0，2，B0，－2
2．审结论，明解题方向
观察所证结论―→证明A，G，N三点共线――――――→利用斜率转化 证明kAN＝kAG
3．建联系，找解题突破口
联立方程y＝kx＋4与x2＋2y2＝8，消元――――――→利用根与系数的关系确定M，N的坐标满足的条件
――――――→写出BM的方程并令y＝1写出G的坐标――――――→写出kAN，kAG的表达式证明kAN－kAG＝0
[教你准确规范解题]
(1)曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
当且仅当 5－m＞0，m－2＞0，85－m＞8m－2，(3分)
解得72＜m＜5，所以m的取值范围是72，5.(4分)
(2)当m＝4时，曲线C的方程为x2＋2y2＝8，点A，B的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．
(5分)
由 y＝kx＋4，x2＋2y2＝8，得(1＋2k2)x2＋16kx＋24＝0.(6分)
因为直线与曲线C交于不同的两点，所以Δ＝(16k)2－4(1＋2k2)×24＞0，即k2＞32.(7
分)
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＝kx1＋4，y2＝kx2＋4，
x1＋x2＝－16k1＋2k2，x1x2＝241＋2k2.(8分)
直线BM的方程为y＋2＝y1＋2x1x，
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点G的坐标为3x1y1＋2，1.(9分)
因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN＝y2－2x2，kAG＝－y1＋23x1，(11分)
所以kAN－kAG＝y2－2x2＋y1＋23x1＝kx2＋2x2＋kx1＋63x1
＝43k＋2x1＋x2x1x2＝43k＋2×－16k1＋2k2241＋2k2＝0.
即kAN＝kAG.(13分)
故A，G，N三点共线．(14分)
[常见失分探因]
易忽视焦点在x轴上，漏掉85－m＞8m－2这一条件，从而失误.
联立消元后易忽视Δ＞0这一前提条件.
不会将三点共线转化为斜率相等去证明.整体运算不准确，导致推证不出正确的结论.
———————————[教你一个万能模
板]——————————————————
第一步
分析条件，确定相应的曲线方程
―→
第二步
联立方程消元后保证Δ的取值，利用根与系数关系建立两交点坐标关系
―→
第三步
将所给定的问题坐标化、方程化，转化过程中要注意整体运算中x1＋x2，x1x2的运用
―→
第四步
解决问题得出结论
―→
第五步
反思回顾解题过程，检查步骤是否完备