全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(2)
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(25)(1)
加试模拟训练题（25）1．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.2. 设z y x ,,都是正数,而且1222=++z y x ,求证:yzxx yz z xy ++3≥ 3. 正五边形的每一个极点对应一个整数使得这五个整数的和为正．假设其中三个相连极点相应的整数依次为x 、y 、z ，而中间的y ＜0，那么要进行如下的操作：整数x 、y 、z 别离换为x ＋y 、－y 、z ＋y ．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是不是如此的操作进行有限次后必然终止？4、试证：当112<<n 时，不存在n 个持续自然数，使得它们的平方和是完全平方数. 加试模拟训练题（25）1．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ，I C ，I D .试证：I A I B I C I D 是矩形.分析：连接AI C ，AI D ，BI C ，BI D 和DI B .易患∠AI C B =90°+21∠ADB =90°+21∠ACB =∠AI D B ⇒A ，B ，I D ，I C 四点 共圆.同理，A ，D ，I B ，I C 四点共圆.现在 ∠AI C I D =180°-∠ABI D =180°-21∠ABC ， ∠AI C I B =180°-∠ADI B =180°-21∠ADC ，∴∠AI C I D +∠AI C I B =360°-21(∠ABC +∠ADC )=360°-21×180°=270°.故∠I B I C I D =90°.一样可证I A I B I C I D 其它三个内角皆为90°.该四边形必为矩形.2. 设z y x ,,都是正数,而且1222=++z y x ,求证:A BCDI CI DAI I BA BCDI CI DAI I Byzxx yz z xy ++3≥ (依照前苏联第22届数学竞赛试题改编) 分析与证明: 以)(33222z y x ++=代入原不等式可得齐次不等式:yzx x yz z xy ++)(3222z y x ++≥. 因为 =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2y zx x yz z xy )(2222222222222z y x y x z x z y z y x +++++ 而 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2222222222y x z x z y z y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222222x z y z y x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222222y x z x z y +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222222y x z z y x )(2222z y x ++≥. 从而原不等式得证. 3. 正五边形的每一个极点对应一个整数使得这五个整数的和为正．假设其中三个相连极点相应的整数依次为x 、y 、z ，而中间的y ＜0，那么要进行如下的操作：整数x 、y 、z 别离换为x ＋y 、－y 、z ＋y ．只要所得的五个整数中至少还有一个为负时，这种操作就继续进行．问：是不是如此的操作进行有限次后必然终止？第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题【解】为方便计，把五个数写成一列：v 、w 、x 、y 、z ，并注意v 与z 是相邻的．不妨设y ＜0．操作后，便得v 、w 、x ＋y 、－y 、y ＋z ．它们的和未变．考虑操作前后各项平方及每相邻两项和的平方之和(称为双平方和)的差． [v 2＋w 2＋(x ＋y)2＋(－y)2＋(y ＋z)2＋(v ＋w)2 ＋(w ＋x ＋y)2＋x 2＋z 2＋(y ＋z ＋v)2－[v 2＋w 2 ＋x 2＋y 2＋z 2＋(v ＋w)2＋(w ＋x)2＋(x ＋y)2 ＋(y ＋z)2＋(z ＋v)2] ＝2y(v ＋w ＋x ＋y ＋z)因为y ＜0，v ＋w ＋x ＋y ＋z ＞0，故上述差为负数．这确实是说，每操作一次后，各数双平方和变小．但原先5个数的双平方和为必然值，因此这种操作进行有限次后即行停止，即5个数最后都变成正数．另解：必然终止。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(26)(1)
加试模拟训练题（26）一、设锐角△ABC 的∠A 平分线交BC 于L ，交外接圆于N ，自点L 别离向AB 和AC 作垂线LK 和LM ，垂足别离为K 和M ．求证：△ABC 的面积等于四边形AKNM 的面积．2. 设),0(,,∞+∈z y x ，且1=xyz ，证明3、假设四位数n abcd =的列位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可组成一个三角形的三条边长，那么称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．4、若是一个正整数n 在三进制下表示的各数字之和能够被3整除，那么咱们称n 为“好的”，那么前2005个“好的”正整数之和是多少？加试模拟训练题（26） 一、设锐角△ABC 的∠A 平分线交BC 于L ，交外接圆于N ，自点L 别离向AB 和AC 作垂线LK 和LM ，垂足别离为K 和M ．求证：△ABC 的面积等于四边形AKNM 的面积．【题说】第二十八届(1987年)国际数学奥林匹克题 2．此题由原苏联提供．【证】作△ABC 的高AH ，那么A 、K 、H 、L 、M 五点共圆．连结KH 、HM 、HN 、BN 和NC ，便有 ∠KHB ＝∠BAL ＝∠NAC ＝∠HBN∠MHC ＝∠MAN ＝∠NAB ＝∠NCH故知 KH ∥BN ，HM ∥NC ．从而有S △KBH ＝S △KNH ，S △HMC ＝S △HMN由此即得 S △ABC ＝S △AKNM易知△ABL ∽△ANC ，因此AB AL ＝ANAC AB ·AC ＝AN ·ALS △ABC ＝12AB ×ACsinA ＝12AL ×ANsinA＝2×12(AL ×cos A 2)×AN ×sin A 2＝2×12AK ×ANsin A 2＝2S △AKN ＝S AKNM2. 设),0(,,∞+∈z y x ，且1=xyz ，证明.43)1)(1()1)(1()1)(1(333≥++++++++y x z z x y z y x （1998年第39届IMO 预选试题） 分析 可利用均值不等式构造三个同向不等式相加来进行证明，也能够将所证不等式进行等价转化。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(12)整理版
加试模拟训练题（12）1、已知AABC 的边AB 上有两个点P,Q ,证明AAPC 与ABQC 的内切圆半径相等的充X 1X 2、 - X k - y 〔 y 2 一 ~ y k , k {1, 2, n}, 1 . 1 . .... 1 顼.1 . .... 1 X i X 2 X n y 〔 y 2 y n3.两个同样大小的正方形相交错，其公共部分构成一个八边形，一个正方形的边是蓝色分必要条件是 MQC 与ABPC 的内切圆半径相等。
2、（1） 设 x i ,x 2,…凶，y i , y 2,…；y n w (0, +叨，满足:(a) 0 x" X 2y 2 " ： X n y n ；(b) 证明: b 位的，另一个正方形的边是红色的，证明：八边形中蓝色的边长之和等于它的红色边长之和.4.我们知道23+1=9有1个质因子，且32|23+1；232+1 = 513 = 33K 19有2个质因子，且33|232+1 .................... 如此下去，我们可以猜想：k在N*, 23* +1至少有k个质因子，且3k*|23k+1。
试证明之。
加试模拟训练题（12）1、已知AABC 的边AB 上有两个点P,Q ,证明AAPC 与ABQC 的内切圆半径相等的充 分必要条件是 AAQC 与ABPC 的内切圆半径相等。
证明 先证明一个引理：设AABC 的边BC 上的高为h ,内切圆半径为r ,则h -2r B . C------- =tan ——tan ----- 。
h 2 2设AABC 的内心为I ,作BC 的平行线DE 与圆I 相切，且分别与 AB,AC 交于点D,E, 则,. BDE CED ‘ . B . C r cot -------- : rcot ---------- tan —— ：tan h - 2r DE 2 2 2 2 1. B . C= = 2 _2=2 2 = tan ——tan —- hBC B C B C 22 h BC rcot ——rcotcot ——-cot 2 2 2 2 2 2h -2r1 h -2r 2A APCB BQC ri = & 二 二 tan ——tan tan ——tan --------- h h 2 2 2 2A AQCB BPC h -2r 3 h-2r 4 u tan ——tan --------- = tan ——tan -------- u ---------- = --------- u r 3= r 4。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(21)(1)
加试模拟训练题（21）一、已知四边形 ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，把ABC ∆绕点C 旋转某一角度取得A B C ''∆，证明线段,,A D BC B C ''的中点在同一条直线上。
二、若2a b c R a b c +∈++=、、，且3+≤ 3、 n(n ≥4)个盘子里放有总数很多于4的糖块，从任选的两个盘中各取一块放入另一个盘子中，称为一次操作．问可否通过有限次操作，把所有糖块集中到一个盘子里去？证明你的结论．4、 设k n ,是给定的正整数，0>n 且)1(-n k 是偶数。
证明：存在整数y x ,使得1),(),(==n y n x ，且)(mod n k y x ≡+。
加试模拟训练题（21）一、已知四边形 ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，把ABC ∆绕点C 旋转某一角度取得A B C ''∆，证明线段,,A D BC B C ''的中点在同一条直线上。
（23届全苏）证明 将BCB '∆平移DC 得EFG ∆，那么,,A D BC B C ''的中点经位似变换(),2H D 变成 ,,A E G '。
连EB 交AD 于K ，由于BE BK BA ==，因此有,EA AD EA EF ⊥⊥，从而()111190901802222AEG FEG EFG EFG BCB ACA ''∠=︒-∠=︒-︒-∠=∠=∠=∠。
因为直角梯形ADFE 的腰DF 的中点到两个直角极点的距离相等，因此EC AC A C '==，即,,E A A '在以C 为圆心，以CA 为半径的圆上，从而有12ACA AEA ''∠=∠，于是可得 ,,A E G '三点共线。
4、若2a b c R a b c +∈++=、、，且3+≤ 3、 n(n ≥4)个盘子里放有总数很多于4的糖块，从任选的两个盘中各取一块放入另一个盘子中，称为一次操作．问可否通过有限次操作，把所有糖块集中到一个盘子里去？证明你的结论．【题说】1994年中国数学奥林匹克(第九届数学冬令营)题2．【解】回答是确信的．设有糖块的盘中的糖块数别离为a 1≥a 2≥…≥a k (k ≤n)．假设k ≥3，可从最后两盘中各取1个放入第1盘，持续操作a k 次，那么上述各盘糖块数变成(a 1＋2a k ，a 2，…．a k －2，a k －1－a k ，0)继续采纳这种作法，直至最后只有两盘有糖块，设糖块数为(a ，b)．(1)若是b ＝0，那么目的已经达到．(2)若是b ＝1，那么作如下操作：(a ，1，0，0)→(a －1，0，2，0)→(a －2，2，1，0)→(a －3，2，0，2)→(a －1，1，0，1)→(a ＋1，0，0，0)(3)若是b ≥2，那么作如下操作：(a ，b ，0，0)→(a －1，b －1，2，0)→(a －1，b －2，1，2)→(a －1，b ，0，1)→(a ＋1，b －1，0，0)重复进行如此的操作，即可使第二盘中糖块数减少为1，化为(2)中情形，从而可将糖块集中到第一个盘子中去．4、 设k n ,是给定的正整数，0>n 且)1(-n k 是偶数。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(52)
加试模拟训练题（52）1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.2. 设实数x 、y 、z 满足条件yz+zx+xy=-1，求x 2+5y 2+8z 2的最小值和最大值．A B CP P M N '3. 桌面上放有1989枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下．今有1989人按下述方法依次翻转硬币，第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的二枚，…，第k 人翻转其中的k 枚，最后第1989人将所有硬币全部翻转．证明：1．不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当步骤，使得1989人都进行过翻币手续后，恰将所有硬币朝同一方向．2．硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关(只依赖于初始分布)．4. 求所有正整数m,n 满足n m -2整除2n m +，并且m n -2整除.2m n +加试模拟训练题（52）1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上.(杭州大学《中学数学竞赛习题》) 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有 ∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ， ∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC . ∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上.由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有P ′B :P ′C =BP :PC .2. 设实数x 、y 、z 满足条件yz+zx+xy=-1，求x 2+5y 2+8z 2的最小值和最大值．【题说】1992年英国数学奥林匹克题4．【解】由于（y-2z ）2+（x+2y 十2z ）2≥0所以x 2+5y 2+8z 2≥-4（xy+yz+zx ）=4的最小值为4．x 2+5y 2+8z 2＞x 2当y →0时，函数x 2+5y 2+8z 2的值可趋于无穷大．3. 桌面上放有1989枚硬币，其中有的正面朝上，其余的正面朝下．今有1989人按下述方法依次翻转硬币，第一人翻转其中的一枚，第二人翻转其中的二枚，…，第k 人翻转其中的k 枚，最后第1989人将所有硬币全部翻转．证明：1．不论硬币最初正反面的分布情况如何，他们总可采取适当步骤，使得1989人都进行过翻币手续后，恰将所有硬币朝同一方向．2．硬币最后的统一朝向与具体翻币方案无关(只依赖于初始分布)．【题说】1989年南昌市赛二试题3．【证】1．1989可换成任一奇数n ．对n 用数学归纳法．当n ＝1时，结论显然成立．假设在n ＝2k －1时结论成立，当n ＝2k ＋1时，分两种情况讨论．(1)如果这2k ＋1枚硬币不全同向，其中必有一枚正面朝上的(记为正)和一枚正面朝下的(记A B C P P M N '为负)，将它们标上记号．让前2k －1人对其余2k －1枚硬币进行翻币手续，依假设可翻成同向，设为正．第2k 人翻动2k 个正向币，使得所有2k ＋1枚硬币都成负向．最后第2k ＋1人将所有硬币翻成正向．(2)如果这2k ＋1枚硬币方向都相同．将这2k ＋1枚硬币排成一圈，让第一人翻转其中一枚，第二人按顺时针方向翻转后续的二枚，第三人接着翻转后续的三枚，…，如此下去，当2k ＋1人全部翻转之后，由于1＋2＋…＋(2k ＋1)＝(k ＋1)·(2k ＋1)，所以，每枚硬币都翻动了k ＋1次，因而也同向．2．假设结论不真，则存在1989枚硬币的某种初始状态T 及两种翻法A 、B ．由状态T 开始，按方法A 可翻成全正，而按方法B 可翻成全反．由全正状态出发，按方法A 的逆步骤翻回T 状态，再按B 方法翻成全反．这样每枚硬币都改变了方向，从而每枚硬币翻动了奇数次，硬币总数1989为奇数．故由全正状态到全反状态总共翻转了奇数次．另一方面，在由全正状态到全反状态的过程中，每个人均翻转了偶数枚，因此总共翻转了偶数次，矛盾．从而结论成立．4. 求所有正整数m,n 满足n m -2整除2n m +，并且m n -2整除.2m n +分析 由对称性，我们不妨设m n ≥，并估计n 的大体范围。
全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(76).doc
加试模拟训练题(76)1以AA5C的两边AB, AC向外作正方形ABDE, ACFG。
AABC的高为AH。
2 求证：AH, BF, CD交于-点。
3.一次竞赛在n (>1)轮中共发了m枚奖章.第一轮发了WX"的皿.1»的孑,笫二了2枚又"的土….直至第n轮正好发了n枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮？一共发了多少奖章?3.证明：恰好存在一个三角形，其三条边长为连续自然数，而且一个角的大小是另一个角的两倍.4.设ax Q +/?y0为形如ax + by ( a.b不全为零)的整数中最小的正数，证明：Vx, y G Z ,恒有(ax0 + by。
)|(ax + Z?y) o加试模拟训练题（76）1 以△A3C的两边AB,A C向外作正方形ABDE,ACFGo△ABC的高为AH。
求证：AH, BF, CD交于一点。
证如图。
延长到® AM=BC.连CM, BM。
设CM与3F交于点K。
在△ACM和ABCF中，AC=CF, AM=BC, ZMAC+ZHAC=180°, ZHAC+ /HCA=9Q° ,并且ZBCF=90° +ZHCA,因此ZBCF+ZHAC=180°,ZMAC=ZBCF O从而△ MAC^ABCF, ZACM=ZCFB O所以匕MKF= Z KCF+ Z KFC= Z KCF+ ZMCF=90° ,即BF ± MCo同理CD ± MB。
AH, BF, CD为4MBC的3条高线，故AH, BF, CD三线交于一点。
3.一次竞赛在n （＞1）轮中共发了m枚奖章.第一轮发了HR"的…收蚂,算*£了2枚R"的！，拓条轮正好发了n枚而没有余下的奖章.这个竞赛共包括几轮？一共发了多少奖章?【题说】第九届（1967年）国际数学奥林匹克题6.本题由匈牙利提供.因为( Cm-t)・言-2)* y- — ], y-n + lj, - n阿含土2・(：)f ••+ U-l)-:f...+Cn-l) J-6 G-l) 5 (?) 7-1],所以m- Cy) Cy) 7 -IJ-Q即(m-36) • 6『1=7“・(n-6)所以6叫(n-6)但6nl>n-6所以n=6, m=363.证明：恰好存在一个二角形，其二条边长为连续自然数，而且一个角的大小是另一个角的两倍. 【题说】第十届（1968年）国际数学奥林匹克题1.本题由罗马尼亚提供.【证】设AABC的二边为n+1, n, n—l（n为自然数），ZC = 2ZB> 延长Be%,使8= AC, NZCAD = ZD =^ZACB = ZB,AD = AB,于是 2AB=AB+AD>BC + CD = BC+AC,所以 AB = n+l. 由左DCA S Z\DAB,得DB • DC = AD2DB = DC+BC = AC+BC = 2n-l所以ACX (2n—l) = (n+l)2由于n不能整除(n+1)2.所以AC = n—1. 由(n—l)(2n—l) = (n+),解得 n = 54.设ax0 + by0为形如ax + by ( a.b不全为零)的整数中最小的正数，证明：Vx, y G Z ,恒有(ax0 + by。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(12)
加试模拟训练题（12）1、已知ABC ∆的边AB 上有两个点,P Q ，证明APC ∆与BQC ∆的内切圆半径相等的充分必要条件是AQC ∆与BPC ∆的内切圆半径相等。
2、（1）设),0(,,,,,,,2121∞+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n y y y x x x ，满足：（a ）;02211n n y x y x y x <⋅⋅⋅<<<（b ）},2,1{,2121n k y y y x x x k k ⋅⋅⋅∈+⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++,证明：.1111112121nn y y y x x x +⋅⋅⋅++≤+⋅⋅⋅++3．两个同样大小的正方形相交错，其公共部分构成一个八边形，一个正方形的边是蓝色的，另一个正方形的边是红色的，证明：八边形中蓝色的边长之和等于它的红色边长之和．4．我们知道9123=+有1个质因子，且12|332+；19351312332⨯==+有2个 质因子，且|331223+………………如此下去，我们可以猜想：,*N k ∈ 123+k 至少 有k 个质因子，且|31+k 123+k。
试证明之。
加试模拟训练题（12）1、已知ABC ∆的边AB 上有两个点,P Q ，证明APC ∆与BQC ∆的内切圆半径相等的充分必要条件是AQC ∆与BPC ∆的内切圆半径相等。
证明 先证明一个引理：设ABC ∆的边BC 上的高为h ，内切圆半径为r , 则2tan tan 22h r B C h -∠∠=。
设ABC ∆的内心为I ，作BC 的平行线DE 与圆I 相切，且分别与,AB AC 交于点,D E ，则cot cot tan tan 22222tan tan 22cot cot cot cot 2222BDE CED B C r r h r DE B C B C B C h BC r r ∠∠∠∠++-∠∠====∠∠∠∠++。
设,,,APC BQC AQC BPC ∆∆∆∆的内切圆半径分别为1234,,,r r r r ，则121222tan tan tan tan 2222h r h r A APC B BQC r r h h --∠∠∠∠=⇔=⇔= 343422tan tan tan tan 2222h r h r A AQC B BPC r r h h--∠∠∠∠⇔=⇔=⇔=。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(28).doc
求加试模拟训练题(28)1、已知△4BC,设/是它的内心，角&、B、C的内角平分线分别交其对边于A'、B，、C'・1 Al ・ Bl ・ CI 8 —V V—4、加'・BB'・ CC'、272、设函数f： [0, 1] —R满足：(1) f (s) >0, V«e [0> l]j⑵ f(l)=l;(3)f (x)+f (y) Wf (x+y), x, y, x + ye [0, 1].求出最小的常数c,使f(x)Wcx对一切满足上述条件的函数f及一切xe[0, 1]都成立，并证明你的结论.3、在一个圆上给了2000个点，从某点开始标上1,按顺时针方向隔一点标上2,再隔二点标上3(如图)，继续下去，标出1, 2,…, 1993.有些点会有不只一个数标记在其上，有的点没有标上任何数.问：被标上1993的那个点被标上的数中最小的是多少？34.如n是不小于3的自然数，以/(")表示不是n的因数的最小自然数[例如f(ji) =5].如果f(n)$3,又可作/(/(«)).类似地，如果/(/(«)) ^3,又可作/(/(/(")))等等•如果/(/(/■■•/(«)■••)) = 2,就把k叫做n的“长度”.如果用表示n的长度，试对任意的自然数n (n》3),求/”，并证明你的结论.A I b+c Bl a+c Cl a+b AA a+b+c'B B' a+b+c'C C' a+b+c 由 均 值 不 等 式另一方a+b a+b+c '2]蒿圭字2网加试模拟训练题(28)1. 已知△ABC,设/是它的内心，角A 、B 、C 的内角平分线分别交其对边于4'、B'、C'.求 , 1 AI • BI • CI 8证：玄'/^' • BB' • CC' 1 227【题说】第三十二届(1991)年国际数学奥林匹克题1.本题由原苏联提供.【证】记BC=a, CA = b, AB=c,易知(1) F (1) >0, V«G[0, 11J⑵ f(l)=l;(3) f (x)+f (y) Wf (x + y), x, y, x+yG [0, 1].求出最小的常数c,使f (x)Wcx 对一切满足上述条件的函数f 及一切x£：0, 1]都成 立，并证明你的结论. 【证】最小常数c=2.首先，我们证明：如果f 满足(1) -(3),则f(x)W2x 对一切xe[0, 1]成立.由⑶与⑴,f(x)Wf(x)+f(y)Wf(x + y),即 f(x)在[0, 1]±是增函数.Al • Bl • Cl v 1 b+c a+c o+b3__8_2 BB‘ • CC' *3 a+b+c~^a+b+c a+b+c 27、 b+c c/+c记 x a+b+c ，卩 a+b+c ，AA ，・ BB'・ CC' =xyz,不妨设 xMyMz,显然 x+y+z=2,且a+b 1 z>a+b+(a+b) =2熟知正数u 、的和一定时，积Ul/随V 的减少而减少，所以 1 - 4-对x e (0, 1],取非负整数n,使而由⑶,2f(x)Wf(2x),所以2"f (x) (2x) W2Zf (2々)W・“Wf (2"x)(1) = l<2n+1xf (x) <2x又显然有f(0)+f(l)Wf(0 + l)=f(l),所以由⑴,f(0)=0于是f(x)W2x, xG[0, 1].另一方面，令这函数显然满足(1)和(2)iftx. 还+弭寧在(仇i]内，由对養性可以假定从而f(x)+f(y)=f(y)Wf(x+y)即f(x)满足题述的所有条件.too<c<2,瞬($弓，Wk a〉=!>«,所以2册禄ft最小常数.3、在一个圆上给了2000个点，从某点开始标上1,按顺时针方向隔一点标上2,再隔二点标上3(如图)，继续下去，标出1, 2,…， 1993.有些点会有不只一个数标记在其上，有的点没有标上任何数.问：被标上1993的那个点被标上的数中最小的是多少？【题说】第十一届(1993年)美国数学邀请赛题9.肓臺字司网> Dttl从标啲点甌咄方剛飢乜+・+=卜(Q+O2标n.所以，两个正整数1、m标记同一个点当且仅当$(14-1) =£m (m.4-1) (mod 2000)从而，如果标1993的点也标k,则罟警2字巩丽七曲也必须是4000的倍数.因为(1993-k) + (1994+k)=3987不被2与5整除，所以1993-k和1994+k奇偶不同，且不能同时被5 整除.若k<1993,则1994+k<32X 125=4000,所以1993-k 和1994+k 中一个是125的倍数，另一个是32的倍数.考虑以下两种情况：(1)125| 1993-k, 321| 1994+k因为1993 = 15 -125+118,所以125|k-118, k$118,在k=118 时，125| 1993-k 并且32 11994 + k.⑵ 12511994+k, 3211993-k,因为1994=15 • 125+119,所以k=125r-119, 1993_k= 32X62-125r,从而32|r, k^l25X32-119>ll8.因此，所求的数是11&4.如n是不小于3的自然数，以/(«)表示不是n的因数的最小自然数[例如/(n) =5].如果/(")P3,又可作f(f(n)).类似地,如果/(/(«)) ^3,又可作/(/(/(«)))等等.如果/(/(/…/(“)…))=2,就把k叫做n的“长度”.如果用/”表示n的长度，试对任意的自然数n (n$3),求/”，并证明你的结论.(第3届全国中学生数学冬令营试题)【解】令n = 2'"t,m为非负整数，t为奇数.当m=0时,/(“)= /(/) = 2，因而/”=1；当m 0时，设u是不能整除奇数t的最小奇数，记"=g(/).(1)若g(r) < 2m+1JIJ/(n) = «,/(/(«)) = 2,所以/ (2)(2)若g⑴ > 2"乜,则伽=2m+I,/(/(«)) = /(2m+1) = 3,/(/(/(«))) = /⑶=2,所以/” = 3.1当"为奇数时；故Z” = < 3,当"=2m t,m > 0』为奇数，且g(f) > 2”'+i(g(f)如上)；2,其他情形.蒿臺字2网。
全国高中数学竞赛二试模拟训练题(60).docx
加试模拟训练题(60)1.〃为△磁的垂心，D, E,尸分别是EC, CA,肋的中心.一个以〃为圆心的©〃交直线空FD, DE于A, A2, B I, a,a.求证：AA、=AA F BBi=BBz= CCi= CCz.2- m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有的这样的m与n,问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论.3.ABCD—ARCD是单位立方体.黑白二蚁同时从A点出发，沿着棱爬行，-条棱称为一段.白蚁爬行的路线是AAi-AiDif…，黑蚁爬行的路线是AB-BBi-…，它们都遵循如下规则：爬行的第i段与第i + 2段所在直线是异面直线(其中ieN).如果白、黑二蚁走完第1990段后各自停止在某顶点处，问此时二蚁相距多远？4.设/(") = " +[、/^],证明对于任意给定的正整数m,序列m,/(m),/(/(m)),/(/(/(m))),……中至少包含一个整数的平方。
加试模拟训练题(60)1. 〃为△肋C的垂卜，D, E,尸分别是反；CA,处的中心.一个以〃为圆心的。
〃交直线亦FD, DE予Aif力2, Bi, R., G, G. 求证：AA I=AA2=BB I=B&= CC亍CG L.(1989,加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AAi^BBi=CCi即可.设BOa, G4= b, A庆c, 'ABC先接圆半连创，AH交EF予M.A =A^+A^=AH}+r-Mli又AM-H^= (- M)2- (AH--屈022 2=AH・ AH\-AR=Afl • AB-AFt=cosJ • bc^AH,②AH而----------- =27?=> Alt二4#cos%sin ZABH―-—=27?=> a=4^sinA.sin A••加+/二4#,招二於/ ③由①、②、③有7 2 . 2 _ 2A A.2=r + --- -- ---- ・ bc~ (47?~a2)12bc=-&+仔+d)-4#+*.2同理，BB,2=- (a2+Ac2)-47?+r,2CC； = 2 &+F+c2)-4#+rl2故有AA^BB^CC,.2.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有的这样的m与n,问3m+4n的最大值是多少？请证明你的结论.【题说】第二届（1987年）全国冬令营赛题6.【解】1987三2+4+6+2m+l+3+•••+ (2n—1) =m (m+1) +n2因此，山柯西不等式<221.40于是221为3m+4n的上界，当m=27, n=35时，3m+4n取得最大值221.3.ABCD—ARCD是单位立方体.黑白二蚁同时从A点出发，沿着棱爬行，一条棱称为一段.白蚁爬行的路线是AAi-AD-…，黑蚁爬行的路线是AB-BB,—•,它们都遵循如下规则：爬行的第i段与第i + 2段所在直线是异面直线(其中i£N) •如果白、黑二蚁走完第1990段后各自停止在某顶点处，问此时二蚁相距多远？【题说】第一届(1990)希望杯高一二试题1(5),原为选择题.【解】按行动规则，白蚁爬彳亍路线必然是：AALAiDi—DiCLCiCf CB—BA—…循环进行下去.黑蚁爬行路线必然是：AB—BB L B I C L C I D L D I D—DA—…也循环进行下去.因此黑、白二蚁每爬行6段，又回到原出发地A点，循环进行.由于1990=331X6+4,故它们爬行1990步后，白蚁停在C点上，舷停在D.点上.二删距为短.4.设/(n) = n + [4n],证明对于任意给定的正整数m,序列/(/(/(m))),……中至少包含一个整数的平方。
全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(50).pdf
加试模拟训练题（50） 2.? 设m和n是正整数，a1，a2，…，am是集合{1，2，…，n}中的不同元素，每当ai+aj≤n，1≤i≤j≤m，就有某个k，1≤k≤m，使得ai+aj=ak，求证： 3. 在木板上写有若干个0，1和2．现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字来代替(代替0和1的是2，代替1和2的是0，代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法，最后在木板上只留下一个数字，那么与它们操作的次序无关． 4.?求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x，y）． 加试模拟训练题（50） 2.? 设m和n是正整数，a1，a2，…，am是集合{1，2，…，n}中的不同元素，每当ai+aj≤n，1≤i≤j≤m，就有某个k，1≤k≤m，使得ai+aj=ak，求证： 【题说】第三十五届（1994年）国际数学奥林匹克题1．本题由法国提供． 【证】不妨设a1＞a2＞…＞am， 若存在某个i，l≤i≤m，使ai+am+1-i≤n．则 ai＜ai+am＜ai+am-1＜…＜ai+am+1-i≤n 由已知，得i元集 这不可能，于是对1≤i≤m，恒有ai+am+1-i≥n+1．从而 2（a1+a2+…+am）=（a1+am）+（a2+am-1）+…+（am+a1）≥m（n+1） 3. 在木板上写有若干个0，1和2．现在可以擦掉两个不同的数字，并用另一个数字来代替(代替0和1的是2，代替1和2的是0，代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法，最后在木板上只留下一个数字，那么与它们操作的次序无关． 【题说】第九届(1975年)全苏数学奥林匹克八年级题6，十年级题5． 【证】 假设0的个数是p，1的个数是q，2的个数是r．在每次操作后，p、q和r分别增加或减少1，即p、q、r改变一次奇偶性．当木板上只留下一个数字时，p、q、r三个数中，一个为1，另两个为0．由此可见，p、q、r三数中，必有一个的奇偶性与另外两个奇偶性不同；与它对应的数字最后留在木板上． 4.?求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x，y）． 【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题8． 【解】由条件得 （2x2+1）（y2－13）=1188=22×33×11 从而2x2+1与y2－13均为22×32×11的因数．又2x2+1是奇数，故2x2+1为33×11=297的因数．由下表 可知，所求的正整数解为（4，7）和（7，5）．。
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加试模拟训练题（2）
1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足
11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234
U x x x x =+
++的最大值．
2、设 ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:
对任何正整数n ,均有∑∑==≥n
k n K k k k a 1
121
3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．
4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2
232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
加试模拟训练题（2）
1、 设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足
11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234
U x x x x =+++的最大值． 解：令
112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩ 则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，
112123
234341,4,9,16,
x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩ 于是 ()()()()112223411114916234
U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 123411*********
10.
y y y y =++++≤ 当 1121231234123410,50,140,
300,
y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U =
2、设 ,,,,21a a a k
为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有
∑∑==≥n
k n K k k k a 1121 证明: 设
a a a
b b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即 b b b n ≤≤21,因为b i 是互不相同的正整数.则n b b b n
≥≥≥,,2,121 又因为n 2
22111132>>>>
所以由排序不等式得:
n a a a n 222
12+++ (乱序)
n b b b n
22212+++≥ (倒序)
n 1211+++≥
即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1
121 成立. 3、 一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．
【证】 将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．
自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，
角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．
4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。
证法一：已知关系式即为b b a a +=+2
232⇔222)()(2b b a b a =-+-
⇔（b a -）（122++b a ）＝2b ① 若0==b a （或者说b a ,中有一个为0时），结论显然。
不妨设b a ≠且0≠ab ，令d b a =),(，则d b b d a a 11,==，1),(11=b a
从而b a -＝d b a )(11-，将其代入①得d b b a d a 2
1112132=-+ ②
因为|d d a 2
12，所以|d )(11b a -，从而≤d 11b a -；
而②式又可写成)(11b a -2111)122(d b b a =++；
因为d b a =),(且1),(11=b a ，所以==-1),(111b b a )(11b a -
所以)(11b a -d |，从而d b a ≤-11。
所以11b a d -=，所以b a -＝211)(d d b a =-，从而b a -为完全平方数。
所以222)(122d b d
b b a ==++也是完全平方数。
证法二：已知关系式即为b b a a +=+2
232⇔222)()(2b b a b a =-+-
⇔（b a -）（122++b a ）＝2b ① 论证的关键是证明正整数b a -与122++b a 互素。
记=d （b a -，122++b a ）。
若1>d ，则d 有素因子p ，从而由①知2|b p 。
因为p 是
素数，故b p |，结合)(|b a p -知a p |，从而由|p 122++b a 得|p 1，这是不可能的。
故1=d ，从而由①推知正整数b a -与122++b a 都是完全平方数。