树状数组维护区间和的模型及其拓广的简单总结

树状数组维护区间和的模型及其拓广的简单总结 by wyl8899 树状数组的基本知识已经被讲到烂了，我就不多说了，下面直接给出基本操作的代码。 假定原数组为a[1..n]，树状数组b[1..n]，考虑灵活性的需要，代码使用int *a传数组。 #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) int sum(int *a,int x){ int s=0; for(;x;x-=lowbit(x))s+=a[x]; return s; } void update(int *a,int x,int w){ for(;x<=n;x+=lowbit(x))a[x]+=w; } sum(x)返回原数组[1,x]的区间和，update(x,w)将原数组下标为x的数加上w。 这两个函数使用O(操作数*logn)的时间和O(n)的空间完成单点加减，区间求和的功能。

接下来做一些升级，让树状数组完成区间加减，单点查询的功能。 直接做的话很困难，需要对问题做一些转化。 考虑将原数组差分，即令d[i]=a[i]-a[i-1]，特别地，d[1]=a[1]。 此时a[i]=d[1]+..+d[i]，所以单点查询a[i]实际上就是在求d数组的[1..i]区间和。 而区间[l,r]整体加上k的操作，可以简单地使用d[l]+=k和d[r+1]-=k来完成。 于是，我们用树状数组来维护d[]，就可以解决问题了。

下面再升级一次，完成区间加减，区间求和的功能。 仍然沿用d数组，考虑a数组[1,x]区间和的计算。d[1]被累加了x次，d[2]被累加了x-1次，...，d[x]被累加了1次。 因此得到 sigma(a[i]) =sigma{d[i]*(x-i+1)} =sigma{ d[i]*(x+1) - d[i]*i } =(x+1)*sigma(d[i])-sigma(d[i]*i) 所以我们再用树状数组维护一个数组d2[i]=d[i]*i，即可完成任务。 POJ 3468就是这个功能的裸题，下面给出代码。 [请注意我们上面的讨论都假定了a[]初始全是0。如果不是这样呢?下面的程序里给出了一个相对简便的处理办法。] // POJ 3468 Using BIT

#include const int maxn=100010; __int64 a[maxn],b[maxn],c[maxn]; int n,m; inline int lowbit(const int &x){ return x&(-x); }

__int64 query(__int64 *a,int x){ __int64 sum=0; while(x){sum+=a[x];x-=lowbit(x);} return sum; }

void update(__int64 *a,int x,__int64 w){ while(x<=n){a[x]+=w;x+=lowbit(x);} }

int main(){ int l,r,i; __int64 ans,w; char ch; scanf("%d%d",&n,&m); a[0]=0; for(i=1;i<=n;++i){ scanf("%I64d",&a[i]); a[i]+=a[i-1]; } while(m--){ scanf("%c",&ch); while(ch!='Q' && ch!='C')scanf("%c",&ch); if(ch=='Q'){ scanf("%d%d",&l,&r); ans=a[r]-a[l-1]+(r+1)*query(b,r)-l*query(b,l-1)-query(c,r)+query(c,l-1); printf("%I64d\n",ans); }else{ scanf("%d%d%I64d",&l,&r,&w); update(b,l,w); update(b,r+1,-w); update(c,l,w*l); update(c,r+1,-(r+1)*w); } } return 0; } [当a[]初始不全0的时候，我们就只维护后来加上去的部分，查询区间和的时候再补上初始的时候这一段的区间和就可以了。] ======================一维到二维的分割线========================= 接下来到二维树状数组。 先看看sum和update变成什么样子了吧。 inline int gs(int a[maxn][maxn],int x,int y){ int s=0,t; for(;x;x-=lowbit(x)) for(t=y;t;t-=lowbit(t)) s+=a[x][t]; return s; } inline void gp(int a[maxn][maxn],int x,int y,int w){ int t; for(;x<=n;x+=lowbit(x)) for(t=y;t<=m;t+=lowbit(t)) a[x][t]+=w; } gs就是sum，gp就是update，由于需要多次调用的缘故，改成了更短的名字。 单点加减，矩形求和并不难，直接用上面的两段就行了。 需要注意的是矩形的求和怎么求。上面的代码返回的是(1,1)-(x,y)矩形的和。 那么(x1,y1)-(x2,y2)的矩形和由下式给出： sum(x2,y2)-sum(x1-1,y2)-sum(x2,y1-1)+sum(x1-1,y1-1) 画个图就很好理解了。

对于涉及矩形加减的情形，我们发现一维中的差分的办法在二维的情况用不出来，所以要改一下。思考一下一维中的差分的另外一个含义：d[i]同时也表示d[i..n]的整体增量，d[i]+=k就意味着把d[i]..d[n]全部加上了k。理解了之后就发现这个意义上可以推广到二维，仍假设原矩形初始全为0，以便接下来的叙述。 令a[x,y]表示(x,y)-(n,m)矩形的整体增量，其中(n,m)是边界。 那么(x1,y1)-(x2,y2)矩形整体加k的代码就是 gp(a,x1,y1,w); gp(a,x2+1,y1,-w);gp(a,x1,y2+1,-w); gp(a,x2+1,y2+1,w); 仍然是建议画个图来帮助理解。

至此，矩形加减，单点查询的问题得到了解决。 重头戏在这里，矩形加减，矩形求和。 求原矩形(1,1)-(x,y)的和，结果由下式给出 sigma(i=1..x,j=1..y) a[i,j]*(x-i+1)*(y-j+1) 很好理解吧? 但是这个式子并不是那么容易求和的，展开一下求和的部分得到 a[i,j]* ( (x+1)(y+1) - (x+1)*j - (y+1)*x + i*j ) 整个式子就是 (x+1)(y+1)sigma(a[i,j]) - (x+1)sigma(a[i,j]*j) - (y+1)sigma(a[i,j]*i) + sigma(a[i,j]*i*j) 知道怎么处理了吧？如果没有请回去复习一维的处理方法。 令b[i,j]=a[i,j]*i c[i,j]=a[i,j]*j d[i,j]=a[i,j]*i*j 维护a,b,c,d一共四个二维树状数组，问题得到解决。 tyvj p1716就是实现这两个功能的裸题，下面给出完整代码。

// tyvj p1716 using 2D BIT #include #include #define lowbit(x) ((x)&(-(x))) const int maxn=2049; int a[maxn][maxn],b[maxn][maxn],c[maxn][maxn],d[maxn][maxn]; int n,m;

inline int gs(int a[maxn][maxn],int x,int y){ int s=0,t; for(;x;x-=lowbit(x)) for(t=y;t;t-=lowbit(t)) s+=a[x][t]; return s; } inline void gp(int a[maxn][maxn],int x,int y,int w){ int t; for(;x<=n;x+=lowbit(x)) for(t=y;t<=m;t+=lowbit(t)) a[x][t]+=w; } inline int sum(int x,int y){ return (x+1)*(y+1)*gs(a,x,y)-(y+1)*gs(b,x,y)-(x+1)*gs(c,x,y)+gs(d,x,y); } inline void update(int x1,int y1,int x2,int y2,int w){ gp(a,x1,y1,w); gp(a,x2+1,y1,-w); gp(a,x1,y2+1,-w); gp(a,x2+1,y2+1,w); gp(b,x1,y1,w*x1); gp(b,x2+1,y1,-w*(x2+1)); gp(b,x1,y2+1,-w*x1); gp(b,x2+1,y2+1,w*(x2+1)); gp(c,x1,y1,w*y1); gp(c,x2+1,y1,-w*y1); gp(c,x1,y2+1,-w*(y2+1)); gp(c,x2+1,y2+1,w*(y2+1)); gp(d,x1,y1,w*x1*y1); gp(d,x2+1,y1,-w*(x2+1)*y1); gp(d,x1,y2+1,-w*x1*(y2+1)); gp(d,x2+1,y2+1,w*(x2+1)*(y2+1)); }

int main(){ int x1,y1,x2,y2,w; char ch; scanf("%c",&ch); while(ch!='X')scanf("%c",&ch); scanf("%d%d\n",&n,&m);