专题25尺规作图2年中考1年模拟备战2017年中考数学(附解析)
备战中考数学分点透练真题尺规作图与无刻度直尺作图(解析版)
第二十三讲尺规作图与无刻度直尺作图命题点1 五种基本尺规作图类型一判定作图结果1．（2021•广元）观察下列作图痕迹，所作线段CD为△ABC的角平分线的是（）A．B．C．D．【答案】Ｃ【解答】解：根据基本作图，A、D选项中为过C点作AB的垂线，B选项作AB的垂直平分线得到AB边上的中线CD，C选项作CD平分∠ACB．故选：C．2．（2021•长春）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB≠AC．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法不正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，本选项符合题意．B、由作图可知CA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．C、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．D、由作图可知DA＝CD，△ADC是等腰三角形，本选项不符合题意．故选：A．类型二根据作图步骤进行计算、证明或结论判断3．（2021•贵阳）如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．则b的长可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解答】解：根据题意得b＞AB，即b＞3，故选：D．4．（2021•杭州）已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使AC⊥AB；②作∠BAC 的平分线AD；③以点A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作EP⊥AB 于点P，则AP：AB＝（）A．1：B．1：2C．1：D．1：【答案】D【解答】解：∵AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAB＝×90°＝45°，∵EP⊥AB，∴∠APE＝90°，∴∠EAP＝∠AEP＝45°，∴AP＝PE，∴设AP＝PE＝x，故AE＝AB＝x，∴AP：AB＝x：x＝1：．故选：D．5．（2021秋•广州期中）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心C．∠BAD＝∠CAD D．AD是三角形的高【答案】C【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD．故选：C．6．（2021•怀化）如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP 并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（）A．AD+BD＜AB B．AD一定经过△ABC的重心C．∠BAD＝∠CAD D．AD一定经过△ABC的外心【解答】解：由题可知AD是∠BAC的角平分线，A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；B、△ABC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意；C、∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，故选项C正确，符合题意；D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意；故选：C．7．（2021•济宁）如图，已知△ABC．（1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N．（2）分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P．（3）作射线AP交BC于点D．（4）分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．（5）作直线GH，交AC，AB分别于点E，F．依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是（）A．B．1C．D．4【答案】C【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，EF垂直平分AD，∴∠EAD＝∠F AD，EA＝ED，F A＝FD，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠F AD＝∠EDA，∴DE∥AF，同理可得AE∥DF，∴四边形AEDF为平行四边形，∴四边形AEDF为菱形，∴AE＝AF＝2，∵DE∥AB，∴＝，即＝，∴CD＝．故选：C．8．（2021•河北）如图，等腰△AOB中，顶角∠AOB＝40°，用尺规按①到④的步骤操作：①以O为圆心，OA为半径画圆；②在⊙O上任取一点P（不与点A，B重合），连接AP；③作AB的垂直平分线与⊙O交于M，N；④作AP的垂直平分线与⊙O交于E，F．结论Ⅰ：顺次连接M，E，N，F四点必能得到矩形；结论Ⅱ：⊙O上只有唯一的点P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（）A．Ⅰ和Ⅱ都对B．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对【答案】D【解答】解：如图，连接EM，EN，MF．NF．∵MN垂直平分AB，EF垂直平分AP，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和EF都是⊙O 的直径，∴OM＝ON，OE＝OF，∴四边形MENF是平行四边形，∵EF＝MN，∴四边形MENF是矩形，故（Ⅰ）正确，观察图形可知当∠MOF＝∠AOB，∴S扇形FOM＝S扇形AOB，观察图形可知，这样的点P不唯一（如下图所示），故（Ⅱ）错误，故选：D．9．（2021•鄂州）已知锐角∠AOB＝40°，如图，按下列步骤作图：①在OA边取一点D，以O为圆心，OD长为半径画，交OB于点C，连接CD．②以D为圆心，DO长为半径画，交OB于点E，连接DE．则∠CDE的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】B【解答】解：由作法得OD＝OC，DO＝DE，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC＝（180°﹣∠COD）＝×（180°﹣40°）＝70°，∵DO＝DE，∴∠DEO＝∠DOE＝40°，∵∠OCD＝∠CDE+∠DEC，∴∠CDE＝70°﹣40°＝30°．故选：B．10．（2021•本溪）如图，在△ABC中，AB＝BC，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD与AC交于点E，点F为BC的中点，连接EF，若BE＝AC＝2，则△CEF的周长为（）A．+1B．+3C．+1D．4【答案】C【解答】解：由图中的尺规作图得：BE是∠ABC的平分线，∵AB＝BC，∴BE⊥AC，AE＝CE＝AC＝1，∴∠BEC＝90°，∴BC＝＝＝，∵点F为BC的中点，∴EF＝BC＝BF＝CF，∴△CEF的周长＝CF+EF+CE＝CF+BF+CE＝BC+CE＝+1，故选：C．１１．（2021•新疆）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝70°，分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠BDC＝°．【答案】80【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝70°，∴∠ABC＝∠C＝70°，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°，由作图过程可知：DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝40°+40°＝80°，故答案为：80．１２．（2021•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：已知：△ABC．求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．作法：如图．（1）画B'C′＝BC；（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．请你根据以上材料完成下列问题：（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，∴△A'B'C′≌．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是．（填序号）①AAS②ASA③SAS④SSS【答案】（１）AB，AC，△ABC（SSS）．（２）④【解答】解：（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，，∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．故答案为：AB，AC，△ABC（SSS）．（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，故答案为：④．１３．（2021•北京）《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．证明：在△ABC中，BA＝，D是CA的中点，∴CA⊥DB（）（填推理的依据）．∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．【答案】BC，三线合一【解答】解：（1）如图，点D即为所求．（2）在△ABC中，BA＝BC，D是CA的中点，∴CA⊥DB（三线合一），∵直线DB表示的方向为东西方向，∴直线CA表示的方向为南北方向．故答案为：BC，三线合一．类型三依据要求直接作图１４．（2021•重庆）如图，四边形ABCD为平行四边形，连接AC，且AC＝2AB．请用尺规完成基本作图：作出∠BAC的角平分线与BC交于点E．连接BD交AE于点F，交AC 于点O，猜想线段BF和线段DF的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）【答案】略【解答】解：如图：猜想：DF＝3BF，证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，OD＝OB，∵AC＝2AB，∴AO＝AB．∵∠BAC的角平分线与BO交于点F，∴点F是BO的中点，即BF＝FO，∴OB＝OD＝2BF，∴DF＝DO+OF＝3BF，即DF＝3BF．１５．（2021•嘉峪关）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，C是弦AB上一点，请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；①作线段AC的垂直平分线DE，分别交于点D，AC于点E，连接AD，CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交于点F（F，A两点不重合），连接DF，BD，BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC，BF的数量关系．【答案】（１）略（２）BF＝BC．【解答】解：（1）①如图，直线DE，线段AD，线段CD即为所求．②如图，点F，线段CD，BD，BF即为所求作．（2）结论：BF＝BC．理由：∵DE垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵AD＝DF，∴DF＝DC，＝，∴∠DBC＝∠DBF，∵∠DFB+∠DAC＝180°．∠DCB+∠DCA＝180°，∴∠DFB＝∠DCB，在△DFB和△DCB中，，∴△DFB≌△DCB（AAS），∴BF＝BC．１６．（2021•烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．【答案】略【解答】解：（1）如图所示，①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线；②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O；③如图，⊙O与AB交于点M；（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，故BC是⊙O的切线．（3）根据题意可知OM＝OA＝OD＝AM，AM＝4BM，∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM，∴＝＝，由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B，∴Rt△BOD∽Rt△BAC，∴＝，即＝，解得DO＝6，故⊙O的半径为6．类型四转化类作图１７．（2021•陕西）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】略【解答】解：如图，点P为所作．１８．（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【答案】（１）略（２）略【解答】解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．方法二：作P点关于点O的对称点P′，以PO为半径作圆O，连接PP′，设原来的圆O半径为r，以AB（即2r）的长度为半径，P′为圆心画圆，交弧PP′于点Q，连接PQ，交于原来的圆O于点D，点D即为切点（中位线能证明OD是半径且垂直PQ）．１９．（2021•福建）如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A．（1）求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC ＝60°，CD∥AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）设P，Q分别为（1）中四边形ABCD的边AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点．【答案】略【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；（2）证明：设PQ交AD于G，BC交AD于G′，∵DQ∥AP，∴＝，∵DC∥AB，∴＝，∵P，Q分别为边AB，CD的中点，∴DC＝2DQ，AB＝2AP，∴＝＝＝，∴＝，∴点G与点G′重合，∴直线AD，BC，PQ相交于同一点．命题点２无刻度直尺作图20．（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O 于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BF A 的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△F AP≌△BAC，则点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝．故答案为：．（Ⅱ）如图，点P即为所求．故答案为：如图，取BC与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接OD并延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，则OE为△BF A的中位线，则AB＝AF，连接FG延长FG交AB于点P，则BG＝FG，∠AFG＝∠ABG，即△F AP≌△BAC，则点P即为所求．类型一网格中作图２１．（2021•吉林）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，点B均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．（1）在图①中，以点A，B，C为顶点画一个等腰三角形；（2）在图②中，以点A，B，D，E为顶点画一个面积为3的平行四边形．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图②中，四边形ABDE即为所求．２２．（2021•武汉）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，再过点E画直线EF，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H，使BH＝DH．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图，直线EF即为所求．（2）如图，线段CG，点H即为所求类型二根据图形性质作图２３．（2021•湖北）已知△ABC和△CDE都为正三角形，点B，C，D在同一直线上，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图1，当BC＝CD时，作△ABC的中线BF；（2）如图2，当BC≠CD时，作△ABC的中线BG．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图1中，线段BF即为所求．（2）如图2中，线段BG即为所求．２４．（2021•江西）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．【答案】（１）略（２）略【解答】解：（1）如图1，直线l即为所求；（2）如图2中，直线a即为所求．。
专题36动点综合问题2年中考1年模拟备战2017年中考数学(附解析)
备战2017中考系列：数学2年中考1年模拟第七篇 专题复习篇专题36 动点综合问题☞解读考点☞考点归纳归纳 1：动点中的特殊图形基础知识归纳：等腰三角形的两腰相等，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，平行四边形的对边平行且相等，矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直基本方法归纳：动点问题常与等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等特殊图形相结合，解决此类问题要灵活运用这些图形的特殊性质注意问题归纳：注意区分等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形的性质．【例1】14．（2016广东省梅州市）如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为．【答案】（12）或（12）．【分析】当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P 点坐标．【解析】【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．等腰三角形的判定；3．动点型．归纳2：动点问题中的计算问题基础知识归纳：动点问题的计算常常涉及到线段和的最小值、三角形周长的最小值、面积的最大值、线段或面积的定值等问题．基本方法归纳：线段和的最小值通常利用轴对称的性质来解答，面积采用割补法或面积公式，通常与二次函数、相似等内容．注意问题归纳：在计算动点问题的过程中，要注意与相似、锐角三角函数、对称、二次函数等内容的结合．【例2】（2016四川省攀枝花市）如图，在△AOB中，∠AOB为直角，OA=6，OB=8，半径为2的动圆圆心Q从点O出发，沿着OA方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点A出发，沿着AB方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t ≤5）以P 为圆心，PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ，连结CD 、QC ．（1）当t 为何值时，点Q 与点D 重合？（2）当⊙Q 经过点A 时，求⊙P 被OB 截得的弦长．（3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，求t 的取值范围．【答案】（1）3011；（2；（3）0＜t ≤1813或3011＜t ≤5． 【分析】（1）由题意知CD ⊥OA ，所以△ACD ∽△ABO ，利用对应边的比求出AD 的长度，若Q 与D 重合时，则，AD +OQ =OA ，列出方程即可求出t 的值；（2）由于0＜t ≤5，当Q 经过A 点时，OQ =4，此时用时为4s ，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，利用垂径定理即可求出⊙P 被OB 截得的弦长；（3）若⊙P 与线段QC 只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC 与⊙P 相切时，计算出此时的时间；②当Q 与D 重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出t 的取值范围．（3）当QC与⊙P相切时，如图2，此时∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴AQ ACAB OA=，∴62106t t-=，∴t=1813，∴当0＜t≤1813时，⊙P与QC只有一个交点；当QC⊥OA时，此时Q与D重合，由（1）可知：t=3011，∴当3011＜t≤5时，⊙P与QC只有一个交点，综上所述，当，⊙P与QC只有一个交点，t的取值范围为：0＜t≤1813或3011＜t≤5．【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答．考点：1．圆的综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．压轴题．归纳3：动点问题的图象基础知识归纳：动点问题经常与一次函数、反比例函数和二次函数的图象相结合．基本方法归纳：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线，二次函数的图象是抛物线．注意问题归纳：动点函数的图象问题可以借助于相似、特殊图形的性质求出函数的图象解析式，同时也可以观察图象的变化趋势．【例3】（2016山东省济南市）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=AD=5，BC=4，M、N、E分别是AB、AD、CB上的点，AM=CE=1，AN=3，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线MB﹣BE向点E运动，同时点Q从点N出发，以相同的速度沿折线ND﹣DC﹣CE向点E运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动．设△APQ的面积为S，运动时间为t秒，则S与t函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】先求出DN，判断点Q到D点时，DP⊥AB，然后分三种情况分别用三角形的面积公式计算即可．【点评】此题是动点问题的函数图象，考查了三角形的面积公式，矩形的性质，解本题的关键是分段画出图象，判断出点Q在线段CD时，PQ⊥AB是易错的地方．考点：1．动点问题的函数图象；2．分类讨论；3．分段函数；4．综合题．☞2年中考【2016年题组】一、选择题1．（2016山东省泰安市）如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°，PD交AB于点D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】由△ABC是正三角形，∠APD=60°，可证得△BPD∽△CAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质．注意证得△BPD∽△CAP是关键．考点：动点问题的函数图象．2．（2016山东省烟台市）如图，○O的半径为1，AD，BC是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发（P点与O点不重合），沿O→C→D的路线运动，设AP=x，sin∠APB=y，那么y与x之间的关系图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】根据题意确定出y与x的关系式，即可确定出图象．【解析】根据题意得：sin∠APB=OAAP，∵OA=1，AP=x，sin∠APB=y，∴xy=1，即1yx（1＜x＜2），图象为：，故选B．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，列出y与x的函数关系式是解本题的关键．考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型；3．函数思想．3．（2016广东省）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C．【分析】分P在AB、BC、CD、AD上四种情况，表示出y与x的函数解析式，确定出大致图象即可．【点评】此题考查了动点问题的函数图象，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．考点：1．动点问题的函数图象；2．动点型；3．分段函数；4．分类讨论；5．函数思想．4．（2016湖北省荆州市）如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线P A、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧 ABC上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若∠APB=80°，则∠ADC的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°【答案】C．【分析】根据四边形的内角和，可得∠BOA，根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理，可得答案．【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出 AC BC=是解题关键，又利用了圆周角定理．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．动点型．5．（2016青海省西宁市）如图，在△ABC 中，∠B =90°，tan ∠C =34，AB =6cm ．动点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移动．若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是（ ）A ．18cm 2B ．12cm 2C ．9cm 2D ．3cm 2【答案】C ．【分析】先根据已知求边长BC ，再根据点P 和Q 的速度表示BP 和BQ 的长，设△PBQ 的面积为S ，利用直角三角形的面积公式列关于S 与t 的函数关系式，并求最值即可．【解析】∵tan ∠C =34，AB =6cm ，∴6AB BC BC ==34，∴BC =8，由题意得：A P =t ，BP =6﹣t ，BQ =2t ，设△PBQ 的面积为S ，则S =12×BP ×BQ =12×2t ×（6﹣t ），S =26t t -+=2(3)9t --+，P ：0≤t ≤6，Q ：0≤t ≤4，∴当t =3时，S 有最大值为9，即当t =3时，△PBQ 的最大面积为9cm 2；故选C ．【点评】本题考查了有关于直角三角形的动点型问题，考查了解直角三角形的有关知识和二次函数的最值问题，解决此类问题的关键是正确表示两动点的路程（路程=时间×速度）；这类动点型问题一般情况都是求三角形面积或四边形面积的最值问题，转化为函数求最值问题，直接利用面积公式或求和、求差表示面积的方法求出函数的解析式，再根据函数图象确定最值，要注意时间的取值范围．考点：1．解直角三角形；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．动点型．二、填空题6．（2016四川省泸州市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C （1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是．【答案】6．【分析】首先证明AB=AC=a，根据条件可知P A=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．【点评】本题考查圆、最值问题、直角三角形性质等知识，解题的关键是发现P A=AB=AC=a，求出点P到点A的最大距离即可解决问题，属于中考常考题型．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．动点型；3．最值问题．7．（2016江苏省苏州市）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP、EC．当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为．【答案】（1．【分析】先根据题意求得CD和PE的长，再判定△EPC∽△PDB，列出相关的比例式，求得DP的长，最后根据PE、DP的长得到点P的坐标．【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质．解题时注意：有两个角对应相等的两个三角形相似．考点：1．坐标与图形性质；2．平行线分线段成比例；3．相似三角形的判定与性质；4．动点型．8．（2016江苏省镇江市）如图1，⊙O的直径AB=4厘米，点C在⊙O上，设∠ABC的度数为x（单位：度，0＜x＜90），优弧 ABC的弧长与劣弧 AC的弧长的差设为y（单位：厘米），图2表示y与x的函数关系，则α=度．【答案】22.5．【分析】直接利用弧长公式表示出y与x之间的关系，进而代入（a，3π）求出答案．【点评】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出y与x之间的关系式是解题关键．考点：1．动点问题的函数图象；2．弧长的计算．9．（2016浙江省舟山市）如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ P运动一周时，点Q运动的总路程为．【答案】4．【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ 的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O 时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【解析】在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．考点：1．解直角三角形；2．动点型；3．分段函数；4．分类讨论．10．（2016辽宁省沈阳市）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC 的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是．【答案】256或5013．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据''''ED DOMN O N=计算即可；②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得DO EDEF EM=计算即可．【解析】如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE=12BC=10，∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN ′=90°，【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 考点：1．三角形中位线定理；2．相似三角形的判定与性质；3．分类讨论；4．动点型．三、解答题11．（2016四川省攀枝花市）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，B 点坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC 的最大面积．（3）直线l 经过A 、C 两点，点Q 在抛物线位于y 轴左侧的部分上运动，直线m 经过点B 和点Q ，是否存在直线m ，使得直线l 、m 与x 轴围成的三角形和直线l 、m 与y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m 的解析式，若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--；（2）P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758；（3）存在，113y x =-． 【分析】（1）由B 、C 两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）连接BC ，则△ABC 的面积是不变的，过P 作PM ∥y 轴，交BC 于点M ，设出P 点坐标，可表示出PM 的长，可知当PM 取最大值时△PBC 的面积最大，利用二次函数的性质可求得P 点的坐标及四边形ABPC 的最大面积；（3）设直线m 与y 轴交于点N ，交直线l 于点G ，由于∠AGP =∠GNC +∠GCN ，所以当△AGB 和△NGC 相似时，必有∠AGB =∠CGB =90°，则可证得△AOC ≌△NOB ，可求得ON 的长，可求出N 点坐标，利用B 、N 两的点坐标可求得直线m 的解析式．【解析】在223y x x =--中，令y =0可得2023x x =--，解得x =﹣1或x =3，∴A 点坐标为（﹣1，0），∴AB =3﹣（﹣1）=4，且OC =3，∴S △ABC =12AB •OC =12×4×3=6，∵B （3，0），C （0，﹣3），∴直线BC 解析式为y =x ﹣3，设P 点坐标为（x ，223x x --），则M 点坐标为（x ，x ﹣3），∵P点在第四限，∴PM =23(23)x x x ---- =23x x -+，∴S △PBC =12PM •OH +12PM •HB =12PM •（OH +HB ）=12PM •OB =32PM ，∴当PM 有最大值时，△PBC 的面积最大，则四边形ABPC 的面积最大，∵PM =23x x -+=239()24x --+，∴当x =32时，PM max =94，则S △PBC =3924⨯=278，此时P 点坐标为（32，154-），S 四边形ABPC =S △ABC +S △PBC =6+278=758，即当P 点坐标为（32，154-）时，四边形ABPC 的面积最大，最大面积为758；【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、二次函数的最值、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质等．在（2）中确定出PM 的值最时四边形ABPC 的面积最大是解题的关键，在（3）中确定出满足条件的直线m 的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是第（2）问和第（3）问难度较大．考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．动点型；6．压轴题．12．（2016四川省眉山市）已知如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 、C 分别为坐标轴上上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM ﹣AM |的最大值时点M 的坐标，并直接写出|PM ﹣AM |的最大值．【答案】（1）239344y x x =--+；（2）存在，P （5，3）；（3）M （1，0）或（﹣5，92-）时，|PM ﹣AM |的值最大，为5．【分析】（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把A ，B ，C 三点坐标代入求出a ，b ，c 的值，即可确定出所求抛物线解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA ，OB ，OC 的长，利用勾股定理求出BC 与AC 的长相等，只有当BP 与AC 平行且相等时，四边形ACBP 为菱形，可得出BP 的长，由OB 的长确定出P 的纵坐标，确定出P 坐标，当点P 在第二、三象限时，以点A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）利用待定系数法确定出直线P A 解析式，当点M 与点P 、A 不在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM ﹣AM |＜P A ，当点M 与点P 、A 在同一直线上时，|PM ﹣AM |=P A ，当点M 与点P 、A 在同一直线上时，|PM ﹣AM |的值最大，即点M 为直线P A 与抛物线的交点，联立直线AP 与抛物线解析式，求出当|PM ﹣AM |的最大值时M 坐标，确定出|PM ﹣AM |的最大值即可．【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的性质，待定系数法确定抛物线解析式、一次函数解析式，菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．动点型；4．最值问题；5．压轴题．13．（2016四川省雅安市）已知Rt△ABC中，∠B=90°，AC=20，AB=10，P是边AC上一点（不包括端点A、C），过点P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．设PC=x，PE=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）是否存在点P使△PEF是Rt△？若存在，求此时的x的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12y x（0＜x＜20）；（2）当x=10或x=16，存在点P使△PEF是Rt△．【分析】（1）在Rt△ABC中，根据三角函数可求y与x的函数关系式；（2）分三种情况：①如图1，当∠FPE=90°时，②如图2，当∠PFE=90°时，③当∠PEF=90°时，进行讨论可求x的值．【点评】考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的性质，解直角三角形，注意分类思想的运用，综合性较强，难度中等．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．矩形的性质；4．解直角三角形；5．动点型；6．存在型；7．分类讨论．14．（2016山东省枣庄市）如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=BAD=60°，且AB＞（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=10，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【答案】（1）120°；（2）3）AP的最大值为12，AP的最小值为6．【分析】（1）根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．（2）先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，（3）根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．（3）如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P1，P之间运动，∴P1O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6．【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解本题的关键是作出辅助线．考点：1．菱形的性质；2．最值问题；3．动点型．15．（2016山东省枣庄市）如图，已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，且抛物线经过A （1，0），C （0，3）两点，与x 轴交于点B ．（1）若直线y =mx +n 经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x =﹣1上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴x =﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．【答案】（1）y =x +3，223y x x =--+；（2）M （﹣1，2）；（3）P （﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1） 或（﹣1 【分析】（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y =mx +n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x =﹣1的交点为M ，则此时MA +MC 的值最小．把x =﹣1代入直线y =x +3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （﹣1，t ），又因为B （﹣3，0），C （0，3），所以可得2BC =18，2PB =24t +，2PC =2610t t -+，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1或（﹣1）．【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．分类讨论；4．动点型；5．压轴题．16．（2016山东省青岛市）已知：如图，在矩形ABCD中，Ab=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点0．点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形？（2）设五边形OECQF的面积为S（cm2），试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使S五边形S五边形OECQF：S△ACD=9：16？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t为258或5；（2）2131232S t t=-++；（3）t=92；（4）t=2.88．【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，根据相似三角形的性质得到AP=t=258，②当AP=AO=t=5，于是得到结论；（2）作EH⊥AC于H，QM⊥AC于M，DN⊥AC于N，交QF于G，根据全等三角形的性质得到CE=AP=t，根据相似三角形的性质表示出EH，根据相似三角形的性质表示出QM，FQ，根据图形的面积即可得到结论；（3）根据题意列方程得到t的值，于是得到结论；（4）由角平分线的性质得到DM的长，根据勾股定理得到ON的长，由三角形的面积公式表示出OP，根据勾股定理列方程即可得到结论．（3）存在，∵S △ACD =12×6×8=24，∴S 五边形OECQF ：S △ACD =（2131232t t -++）：24=9：16，解得t =92，t =0，（不合题意，舍去），∴t =92时，S 五边形S 五边形OECQF ：S △ACD =9：16； （4）如图3，过D 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵∠POD =∠COD ，∴DM =DN =245，∴ON =OM ==75，∵OP •DM =3PD ，∴OP =558t -，∴PM =18558t -，∵222PD PM DM =+，∴22218524(8)()()585t t -=-+，解得：t ≈15（不合题意，舍去），t ≈2.88，∴当t =2.88时，OD 平分∠COP ．【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．考点：1．四边形综合题；2．动点型；3．分类讨论；4．存在型；5．压轴题．17．（2016广东省梅州市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5cm ，∠BAC =60°，动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（0≤t ≤5），连接MN ．（1）若BM =BN ，求t 的值；（2）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值；（3）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？并求出最小值．【答案】（1）15；（2）t =52或t =157；（3）当t =52时，y 的值最小．y 最小 【分析】（1）由已知条件得出AB ，BC ．用含t 的代数式表示出BM ，CN ，BN ，由BM =BN 得出方程，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出tt 的值；②当△NBM ∽△ABC 时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出tt 的值；（3）过M 作MD ⊥BC 于点D ，则MD ∥AC ，证出△BMD ∽△BAC ，得出比例式求出MD =t ．四边形ACNM 的面积y =△ABC 的面积﹣△BMN 的面积，得出y 是t 的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形面积的计算；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题的关键．考点：1．相似形综合题；2．分类讨论；3．动点型；4．最值问题；5．二次函数的最值；6．压轴题．18．（2016广西南宁市）如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A （1，1），且与直线y =x ﹣2交于B ，C 两点．（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）求证：△ABC 是直角三角形；（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22y x x =-+，C （﹣1，﹣3）；（2）证明见解析；（3）（53，0）或（73，0）或（﹣1，0）或（5，0）．【分析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得MN ONAB BC=或MN ONBC AB=，可求得N点的坐标．【解析】①当MN ONAB BC==123x x x⋅-+=，∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴123x-+=，即123x-+=±，解得x=53或x=73，此时N点坐标为（53，0）或（73，0）；【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．分类讨论；5．压轴题．19．（2016广西梧州市）如图，抛物线24y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于A （4，0）、B （﹣1，0）两点，过点A 的直线y =﹣x +4交抛物线于点C ．（1）求此抛物线的解析式；（2）在直线AC 上有一动点E ，当点E 在某个位置时，使△BDE 的周长最小，求此时E 点坐标；（3）当动点E 在直线AC 与抛物线围成的封闭线A →C →B →D →A 上运动时，是否存在使△BDE 为直角三角形的情况，若存在，请直接写出符合要求的E 点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）234y x x =--；（2）E （3213，2013）；（3）E （3，1）或（134，5116-）． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出周长最小时BE ⊥AC ，即作点B 关于直线AC 的对称点F ，连接DF ，交AC于点E ，联立方程组即可；（3）三角形BDE 是直角三角形时，由于BD ＞BG ，因此只有∠DBE =90°或∠BDE =90°，两种情况，利用直线垂直求出点E 坐标．（3）∵BD ，由（2）有，点B 到线段AC 的距离为BG =12BF =12×BD ，∴∠BED 不可能是直角，∵B （﹣1，0），D （0，﹣4），∴直线BD 解析式为y =﹣4x +4，∵△BDE 为直角三角形，∴∠BDE =90°或∠BDE =90°．①当∠BDE =90°时， B E ⊥BD 交AC 于B ，∴直线BE 解析式为1144y x =+，∵点E 在直线AC ：y =﹣x +4的图象上，∴E （3，1）；当②∠BDE =90°时，BE ⊥BD 交AC 于D ，∴直线BE 的解析式为144y x =-，∵点E 在抛物线234y x x =--上，∴直线BE 与抛物线的交点为（0，﹣4）和（134，5116-），∴E （134，5116-），即：满足条件的点E 的坐标为E （3，1）或（134，5116-）． 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，极值，对称性，直角三角形的性质，解本题的关键是求函数图象的交点坐标．考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．动点型；4．存在型；5．分类讨论；6．压轴题．20．（2016广西贵港市）如图，抛物线25y ax bx =+-（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣5，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE =S △ABC 时，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P ，使∠BAP =∠CAE ？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）212533y x x =+-；（2）E （﹣2，﹣5）；（3）94或154． 【分析】（1）把A 、B 两点的坐标代入，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）当S △ABE =S △ABC 时，可知E 点和C 点的纵坐标相同，可求得E 点坐标；（3）在△CAE 中，过E 作ED ⊥AC 于点D ，可求得ED 和AD 的长度，设出点P 坐标，过P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，由条件可知△EDA ∽△PQA ，利用相似三角形的对应边可得到关于P 点坐标的方程，可求得P 点坐标．。
中考数学全程演练 第二部分 图形与几何 第七单元 三角形 第25课时 尺规作图
规作图第25课时尺规作图(60分)一、选择题(每题5分，共10分)1．[xx·嘉兴]数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图25－1，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q.”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是(A)【解析】根据分析可知，选项B，C，D都能够得到PQ⊥l于点Q；选项A不能够得到PQ⊥l于点Q.图25－1 图25－22．[xx·深圳]如图25－2，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是(D)规作图【解析】 由PB ＋PC ＝BC 和PA ＋PC ＝BC 易得PA ＝PB ，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P 在AB 的垂直平分线上，于是可判断D 选项正确． 二、填空题(每题5分，共5分)3．[xx·绍兴]用直尺和圆规作△ABC ，使BC ＝a ，AC ＝b ，∠B ＝35°，若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是__sin35°＝ba或b ≥a __.【解析】 如答图所示：第3题答图若这样的三角形只能作一个，则a ，b 间满足的关系式是：①当AC ⊥AB 时，即sin35°＝ba；②当b ≥a 时． 三、解答题(共40分)4．(10分)[xx·自贡]如图25－3，将线段AB 放在边长为1的小正方形网格中，点A ，点B规作图均落在格点上，请用无刻度直尺在线段AB 上画出点P ，使AP＝2173，并保留作图痕迹．(备注：本题只是找点不是证明，只需连结一对角线就行)图25－3 第4题答图解：由勾股定理得，AB ＝42＋12＝17， 所以AP ＝2173时，AP ∶BP ＝2∶1.点P 如答图所示．5．(15分)[xx·宜昌]如图25－4，一块余料ABCD ，AD ∥BC ，现进行如下操作：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点G ，H ；再分别以点G ，H 为圆心，大于12GH 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点O ，画射线BO ，交AD 于点E . (1)求证：AB ＝AE ；(2)若∠A ＝100°，求∠E BC 的度数． 解：(1)证明：∵AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠EBC .由BE 是∠ABC 的角平分线，得∠EBC ＝∠ABE ， ∴∠AEB ＝∠ABE ， ∴AB ＝AE ；(2)由∠A ＝100°，∠ABE ＝∠AEB ， 得∠ABE ＝∠AEB ＝40°. 由(1)得∠EBC ＝∠AEB ＝40°.6．(15分)[xx·东莞]如图25－5，已知锐角△ABC .图25－4规作图(1)过点A 作BC 边的垂线MN ，交BC 于点D (用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)；(2)在(1)的条件下，若BC ＝5，AD ＝4，tan ∠BAD ＝34，求DC 的长．图25－5 第6题答图解：(1)如答图，直线MN 即为所求； (2)∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， 在Rt △ABD 中， ∵tan ∠BAD ＝BD AD ＝34， ∴BD ＝34×4＝3，∴DC ＝BC －BD ＝5－3＝2.(30分)7．(15分)[xx·珠海]如图25－6，在平行四边形ABCD 中，AB ＜BC .(1)利用尺规作图，在BC 边上确定点E ，使点E 到边AB ，AD 的距离相等(不写作法，保留作图痕迹)；(2)若BC ＝8，CD ＝5，求CE .规作图图25－6 第7题答图解：(1)如答图所示，E点即为所求；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝5，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴BE＝BA＝5，∴CE＝BC－BE＝3.8．(15分)[xx·武威]如图25－7，已知在△ABC中，∠A＝90°(1)请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．图25－7 第8题答图解：(1)如答图所示，则⊙P为所求作的圆；(2)∵∠B＝60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝30°，∵tan∠ABP＝APAB，∴AP＝3，∴S⊙P＝3π.(15分)9．(15分)[xx·山西]如图25－8，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°.规作图(1)尺规作图：作⊙C ，使它与AB 相切于点D ，与AC 相交于点E ，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；(2)在你按(1)中要求所作的图中，若BC ＝3，∠A ＝30°，求劣弧D E 的长．图25－8 第9题答图解：(1)如答图，⊙C 即为所求； (2)∵⊙C 切AB 于D ， ∴CD ⊥AB ， ∴∠ADC ＝90°，∴∠DCE ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°， ∴∠BCD ＝90°－∠ACD ＝30°， 在Rt △BCD 中， ∵cos ∠BCD ＝CD BC， ∴CD ＝3cos30°＝332，∴劣弧DE 的长为60·π·332180＝32π.【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】规作图。
专题40存在性问题-2年中考1年模拟备战2017年中考数学精品系列(解析版)
备战2017中考系列：数学2年中考1年模拟
第七篇专题复习篇
?解读考点
知识点名师点晴
抛物线的存在性来源学科网Z.X.X.K][来源学_科_网Z_X_X_K][来
源:]等腰、直角三角形
掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的
存在性问题
平行四边形问题理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法
相似三角形理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法
等腰梯形、直角梯形理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法
线段最值掌握线段最大值或线段和的最小值的求法
面积最值问题解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题
?考点归纳
归纳1：抛物线的存在性问题
基础知识归纳：抛物线的存在性问题主要涉及等腰三角形、直角三角形、相似三角形、等腰梯
形、直角梯形、线段的最值与面积的最值问题．
基本方法归纳：等腰三角形要注意顶点问题的讨论、直角三角形主要讨论斜边、相似三角形的
涉及对应边问题、梯形的上底和下底互相平行、平行四边形的对边平行且相等、对角线互相平
分、线段的最值注意二次函数配方法的应用和对称问题．
注意问题归纳：点的存在性问题中，关键是点的找法，点不要漏找．
【例1】（2016四川省攀枝花市）如图，抛物线2
y x bx c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求抛物线的解析式；。
中考数学复习第七单元三角形第25课时尺规作图试题
图25－5 第6题答图解：所求作的图形如答图所示．证明：∵∠CAE＝∠ACB，∴AD∥CB，∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.7．(15分)[20__·孝感]如图25－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.(1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D，②过点D作AC的垂线，垂足为E；(2)在(1)作出的图形中，若CB＝4，CA＝6，则DE＝__2.4__．图25－6 第7题答图【解析】 (1)以C为圆心，任意长为半径画弧(半径小于直角边)，交BC，AC于两点，再以这两点为圆心，大于这两点间线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与点C的直线交AB 于点D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线；(2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD＝∠EDC，进而证得DE＝CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．解：(1)如答图所示；(2)∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ECD，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD，∴∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，设DE ＝CE ＝_，则AE ＝6－_，∴＝，解得_＝2.4，即DE ＝2.4.(30分)8．(15分)[20__·青岛]如图25－7，已知线段a 及∠ACB.求作：⊙O，使⊙O 在∠ACB 的内部，CO ＝a ，且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．图25－7解：如答图所示，第8题答图①作∠ACB 的平分线CD ；②在CD 上截取CO ＝a ；③作OE ⊥CA 于点E ，以O 为圆心，OE 长为半径作圆，⊙O 即为所求．9．(15分)[20__·中考预测]如图25－8，已知△ABC，按如下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧；②以C 为圆心，CB 长为半径画弧，两弧相交于点D ；③连结BD ，与AC 交于点E ，连结AD ，CD.(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，AC ＝4，求BE 的长．图25－8【解析】 (1)利用SSS 定理证得结论；(2)设BE ＝_，利用特殊角的三角函数易得AE 的长，由∠BCA＝45°，易得EC ＝BE ＝_，由AC ＝AE ＋EC 解得_，即BE 的长．解：(1)证明：在△ABC 和△ADC 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC(SSS)；(2)设BE ＝_，由题可知BD⊥AC，∵∠BAC ＝30°，∴∠ABE ＝60°，∴AE＝tan60°·_＝_，∵∠BCA＝45°，∴∠CBE＝45°，∴EC＝BE ＝_，∵AE＋EC ＝AC ，∴_＋_＝4，解得_＝2－2，∴BE＝2－2.(15分)10．(15分)[20__·无锡]如图25－9，已知等边三角形ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：(1)作△ABC的外心O；(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．图25－9 备用图【解析】 (1)三角形各边中垂线的交点即△ABC的外心O；(2)由(1)知点O到顶点A的距离是它到对边中点的两倍，作OA的中垂线交AB于点D，以O为圆心，OD为半径作圆交AB，BC，CA于E，F，G，H，I，连结EF，GH，正六边形DEFGHI 即为所求．解：(1)如答图①，点O为△ABC的外心．第10题答图①第10题答图②(2)如答图②，正六边形DEFGHI即为所求．。
2017年中考25题专题练习
（3）如图 3，若 E 为 AB 的中点，作 A 关于 CE 的对称点 A′，连接 CA′，EA′，DA′， 请直接写出∠CEH、∠A′CD、∠EA′D 之间的等量关系。
C
D FH
A
E G 图1
BA
C
D HF
GE
图2
C
BA
A
A
AMDB NhomakorabeaCB
P
图1
E
D CB
P
图2 （第 25 题图）
E
D
F
C
图3
5、（2016•一中三模）已知，在△ABC 中，∠ACB=90°，CA=CD，CG⊥AD 于点 H，交 AB
细节决定成败
5
2017 年中考 25 题专题练习
于点 G，E 为 AB 上一点，连接 CE 交 AD 于点 F。 （1）如图 1，若 CE⊥AB 于点 E，HG=1,CH=5，，求 CF 的长；
（1）若 AB 2 2 ，求 BC 的长； （2）如图 1，当点 G 在 AC 上时，求证：BD 1 CG；
2 AB
（3）如图 2，当 G 在 AC 的垂直平分线上时，直接写出 的值；
CG
细节决定成败
1
2017 年中考 25 题专题练习
1
2、（ 2016•重 庆 B） 已 知 △ ABC 是 等 腰 三 角 形 ， ∠ BAC=90° ， CD= BC， DE⊥ CE，
2
DE=CE，连接 AE，点 M 是 AE 的中点.
(1)如图 1，若点 D 在 BC 边上，连接 CM，当 AB=4 时，求 CM 的长；
（2）如图 2，若点 D 在△ABC 的内部，连接 BD，点 N 是 BD 中点，连接 MN，NE，求证 MN⊥AE；
中考数学 第25课时 尺规作图复习(无答案)(2021学年)
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第25课时 尺规作图 小题热身A.①②③ ﻩﻩB.①②④ C ．①③④ ﻩ Ｄ．②③④②.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中ＡB =AD ，BC ＝DC .将仪器上的点A 与∠ＰRQ 的顶点R 重合,调整ＡＢ和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点Ａ，C 画一ﻩ条射线A Ｅ，AE 就是∠P ＲQ的平分线.此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构,可得△ABC ≌△AD Ｃ，这样就有∠ＱAE =∠ＰA Ｅ.则说明这两个三角形全等的依据是 （ )A ．ＳAS ﻩ B.ASA ﻩ C ．AA Ｓ D.ＳＳS一、必知3ﻩ 知识点１．尺规作图尺规作图：在几何里,把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 五种基本作图:ﻩ(1)作一条线段等于已知线段;ﻩ（２）作一个角等于已知角；(３)作一个角的平分线;ﻩ(４)作线段的垂直平分线;1．[2014·湖州]如图25－1，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 是BC 边的中点，分别以B ，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC 上方的交点为P ，直线PD 交AC 于点E ，连结BE .则下列结论：①ED ⊥BC ，②∠A ＝∠EBA ，③EB 平分∠AED ，④ED ＝12AB 中，一定正确的是 ( )(5)过定点作已知直线的垂线.2．利用尺规作三角形的类型ﻩ（1）已知三角形的三边,求作三角形；ﻩ(2）已知三角形的两边及其夹角,求作三角形;(３）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形;(4)已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形;ﻩ（5)已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．３．过点作圆(1）过一个点可以作无数个圆；经过两点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连结这两点的垂直平分线上；(2）过不在同一直线上的三点可以作一个圆．二、必会2 方法1．尺规作图的关键(1)先分析题目,读懂题意，判断题目要求作什么；ﻩ(2)读懂题意后,再运用几种基本作图方法解决问题．２．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形ﻩ求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点,作图依据是全等的判定,常借助基本作图来完成,如作直角三角形就先作一个直角．三、必明２ﻩ易错点1.尺规作图的工具是没有刻度的直尺和圆规，注意要求是没有刻度，不能用刻度尺去作线段或用量角器作直角.2．尺规作图的基本步骤包括：已知,求作,分析作法,证明，结论．步骤顺序不作要求，但作图时一定要保留作图痕迹，作图后不要忘记写结论。
2017重庆中考第25题专题训练一(按中考会议精神编写)
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2017重庆中考数学第25题专题复习（一）
1、在△ABC中，AC＝BC，D为直线BC上一点，连接DA，AD＝BA。
（1）如图1，若AC⊥AD，AC＝3 ，求BD的长；
（2）如图2，若E为AC上一点，且AE＝CD，连接BE，BE＝2CD，连接DE并延长，交AB于点F，求证：
DE＝2EF；
2\在等腰Rt∆ABC 中∠ABC= 90， AB= BC ．在等腰Rt∆ BDE中∠BDE= 90，BD=DE．连接AD，点F
是AD的中点．
（1） 如图 1，当点E和点F重合时，若BD=5，求CD 的长；
（2） 如图 2，当点F恰好在BE上，AB= AD时，求证：BD =2CD．
3. 在等边△ABC中，点E在直线AC上，连接BE，点D在直线BC上，且CE=CD．连接DE、AD，点F是BE
2
的中点，连接AF、DF．
（1）如图1，当点E在AC上，点D在BC的延长线上，若CD=2，BC=6，求BF的长：
（2）如图2，当点E在AC上，点D在BC的延长线上，∠FAD=60°时，求证：点E是AC的中点。
4、在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于点D，在AB的延长线上截取BE使BE=CD，连接DE交BC
于点F.
（1）如图1, 当∠CAB=60°时，AB=2，求DE的长度；
（2）如图2，当∠CAB≠60°时，求证：BE=2BF；
F
B
C
D
E
A
图1
F
BCDE
A
图2
专题23 圆的有关位置关系-2年中考1年模拟备战2017年中考数学精品系列(原卷版)
备战2017中考系列：数学2年中考1年模拟第四篇图形的性质☞解读考点知识点名师点晴点和圆的位置关系理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外d＞r；点P在圆上d=r；点P在圆内d＜r 及其运用．直线和圆的位置关系切线的判定定理理解切线的判定定理，会运用它解决一些具体的题目切线的性质定理理解切线的性质定理，会运用它解决一些具体的题目切线长定理运用切线长定理解决一些实际问题．圆和圆的位置关系理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．☞考点归纳归纳1：点和圆的位置关系基础知识归纳：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r点P在⊙O内；d=r点P在⊙O上；d＞r点P在⊙O外．基本方法归纳：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．注意问题归纳：符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．【例1】（2016上海市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A 的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜8归纳2：直线与圆的位置关系基础知识归纳：直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：直线l与⊙O相交d＜r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d＞r；注意问题归纳：直线与圆的位置关系，解题的关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系．【例2】（2016广西梧州市）已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．无法确定【例3】（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E 作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．（1）求证：A C是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：C D=HF；（3）若CD =1，EH =3，求BF 及AF 长．归纳 3：圆和圆的位置关系 基础知识归纳：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种． 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种． 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交．基本方法归纳：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么两圆外离 d ＞R +r 两圆外切 d =R +r两圆相交 R -r ＜d ＜R +r （R ≥r ） 两圆内切 d =R -r （R ＞r ） 两圆内含 d ＜R -r （R ＞r ）【例3】（2016四川省凉山州）已知，一元二次方程28150x x -+=的两根分别是⊙O 1和⊙O 2的半径，当⊙O 1和⊙O 2相切时，O 1O 2的长度是（ ）A ．2B ．8C ．2或8D ．2＜O 2O 2＜8☞2年中考【2016年题组】一、选择题1．（2016江苏省连云港市）如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位）选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为（ ）A ．1722<<rB ．2317<<rC ．517<<rD ．295<<r2．（2016吉林省长春市）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，若OA =2，∠P =60°，则AB 的长为（ ）A ．23π B ．π C ．43π D ．53π3．（2016山东省德州市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”（ ）A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步4．（2016江苏省无锡市）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于A ，BC 交⊙O 于点D ，若∠C =70°，则∠AOD 的度数为（ ）A ．70°B ．35°C ．20°D ．40°5．（2016河北省）如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是（）A．△ACD的外心B．△ABC的外心C．△ACD的内心D．△ABC的内心6．（2016贵州省贵阳市）小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．23cm B．43cm C．63cm D．83cm7．（2016湖北省襄阳市）如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI、BD、DC．下列说法中错误的一项是（）A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合8．（2016湖南省湘西州）在RT△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，以点C为圆心，以2.5cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定9．（2016福建省泉州市）如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB=60°，则∠A的大小为（）A．15°B．30°C．45°D．60°10．（2016上海市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是（）A．1＜r＜4B．2＜r＜4C．1＜r＜8D．2＜r＜8二、填空题11．（2016内蒙古包头市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为．12．（2016内蒙古呼和浩特市）在周长为26π的⊙O中，CD是⊙O的一条弦，AB是⊙O的切线，且AB∥CD，若AB和CD之间的距离为18，则弦CD的长为．13．（2016内蒙古赤峰市）如图，两同心圆的大圆半径长为5cm，小圆半径长为3cm，大圆的弦AB与小圆相切，切点为C，则弦AB的长是．14．（2016四川省成都市）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB= ．15．（2016四川省攀枝花市）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为．16．（2016广东省广州市）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=123，OP=6，则劣弧AB的长为．17．（2016江苏省徐州市）如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC= °．18．（2016江苏省扬州市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为．19．（2016湖北省咸宁市）如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，连接BD 、BE 、CE ，若∠CBD =32°，则∠BEC 的度数为 ．20．（2016湖南省益阳市）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P =40°，则∠D 的度数为 ．21．（2016黑龙江省哈尔滨市）如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AD ⊥l ，垂足为D ，AD 交⊙O 于点E ，连接OC 、BE ．若AE =6，OA =5，则线段DC 的长为 ．22．（2016贵州省黔西南州）已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为m 、n ，且m 、n 21(2)0m n -+-=，圆心距O 1O 2=52，则两圆的位置关系为 ． 三、解答题23．（2016四川省自贡市）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，弦BD =BA ，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E ，求证： （1）∠1=∠BAD ； （2）BE 是⊙O 的切线．24．（2016四川省资阳市）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．25．（2016四川省雅安市）如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO 交AC于点P，交EC的延长线于点D．（1）求证：△PCD是等腰三角形；（2）CG⊥AB于H点，交⊙O于G点，过B点作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE=35，CQ=5，求AF的值．26．（2016山东省东营市）如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD=∠ACB．（1）求证：A B是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=4，tan∠AEB=53，AB：B C=2：3，求圆的直径．27．（2016山东省枣庄市）如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）连接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半径为22，求BC的长．28．（2016山西省）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并成为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是ABC 的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA=MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为AC上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是．29．（2016广西玉林市崇左市）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．（1）求证：B F是⊙O的切线；（2）已知圆的半径为1，求EF的长．30．（2016广西南宁市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：A C是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．31．（2016天津市）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（1）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（2）如图2，D为AC上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．32．（2016四川省乐山市）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D 作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若EB=32，且sin∠CFD=35，求⊙O的半径与线段AE的长．33．（2016四川省广安市）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．（1）求证：A B是⊙O的切线；（2）若CF=4，DF=10，求⊙O的半径r及sinB．34．（2016江苏省泰州市）如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．35．（2016浙江省丽水市）如图，AB是以BC为直径的半圆O的切线，D为半圆上一点，AD=AB，AD，BC 的延长线相交于点E．（1）求证：A D是半圆O的切线；（2）连结CD，求证：∠A=2∠CDE；（3）若∠CDE=27°，OB=2，求BD的长．36．（2016浙江省宁波市）如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：D E是⊙O的切线．（2）求DE的长．37．（2016湖北省荆州市）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，∠F AB=15°，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线C D于点H．（1）求证：C D是半圆O的切线；，求EF和半径OA的长．（2）若DH=63338．（2016福建省南平市）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在PB上，OC∥AP，CD⊥AP 于D（1）求证：OC=AD；（2）若∠P=50°，⊙O的半径为4，求四边形AOCD的周长（精确到0.1）39．（2016福建省莆田市）如图，在▱ABCD中，∠BAC=90°，对角线AC，BD相交于点P，以AB为直径的⊙O分别交BC，BD于点E，Q，连接EP并延长交AD于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：2EF=4BP•QP．40．（2016贵州省六盘水市）如图，在⊙O中，AB为直径，D．E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．（1）求证：B C为⊙O的切线．（2）若sinA=35，BC=6，求⊙O的半径．41．（2016贵州省黔东南州）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且2PC=PE•PO．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若OE：EA=1：2，P A=6，求⊙O的半径．42．（2016湖北省荆门市）如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分∠F AB交⊙O于点C，过点C作CE⊥DF，垂足为点E．（1）求证：C E是⊙O的切线；（2）若AE=1，CE=2，求⊙O的半径．43．（2016湖北省襄阳市）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O 交于点F，连接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．（1）求证：①直线AB是⊙O的切线；②∠FDC=∠EDC；（2）求CD的长．44．（2016湖北省随州市）如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB．（1）判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CD=15，BE=10，tanA=512，求⊙O的直径．45．（2016湖北省黄石市）如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．46．（2016湖南省常德市）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD=BC，延长AD到E，且有∠EBD=∠CAB．（1）求证：B E是⊙O的切线；（2）若BC=3，AC=5，求圆的直径AD及切线BE的长．47．（2016湖南省张家界市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠CAD．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）若CD=3，∠CAD=30°，求⊙O的半径．48．（2016湖南省永州市）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：C E是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．49．（2016湖南省长沙市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：D F是⊙O的切线；（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值．50．（2016福建省漳州市）（满分10分）如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为BE的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC．（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC=6，求AB的长．51．（2016福建省龙岩市）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD=∠B，AD⊥CD．（1）求证：C D是⊙O的切线；（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．52．（2016贵州省毕节市）如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB，以BC为直径作⊙O，交BD 于点E，连接CE，过D作DF⊥AB于点F，∠BCD=2∠ABD．（1）求证：A B是⊙O的切线；（2）若∠A=60°，DF=3，求⊙O的直径BC的长．53．（2016黑龙江省绥化市）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与BC相交于点F，与△ABC的外接圆相交于点D（1）求证：△BFD∽△ABD；（2）求证：D E=DB．【2015年题组】1．（2015贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0B．1C．2D．32．（2015湘西州）⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA=3cm，则点A与圆O的位置关系为（）A．点A在圆上B．点A在圆内C．点A在圆外D．无法确定3．（2015泸州）如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C=65°，则∠P的度数为（）A．65°B．130°C．50°D．100°4．（2015宜昌）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（）A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm25．（2015襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40° B．100° C．40°或140° D．40°或100°6．（2015齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A．8≤AB≤10 B．8＜AB≤10 C．4≤AB≤5 D．4＜AB≤57．（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA 上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A．6B．8C．10D．128．（2015贺州）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C=30°，给出下面四个结论：①AD=DC；②AB=BD；③AB=12BC；④BD=CD，其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．（2015南京）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．133B．92C．4133D．2510．（2015天水）相切两圆的半径分别是5和3，则该两圆的圆心距是．11．（2015上海市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D 内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）12．（2015盐城）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是．13．（2015上海市）在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D 内，那么⊙D的半径长可以等于．（只需写出一个符合要求的数）14．（2015义乌）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结P A，PB．若PB=4，则P A的长为．15．（2015徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CDA= °．16．（2015镇江）如图，AB是⊙O的直径，OA=1，AC是⊙O的弦，过点C的切线交AB的延长线于点D，若BD21，则∠ACD= °．17．（2015贵阳）小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB，CD分别相切于点N，M．现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD向右滚动到再次与AB相切时，光盘的圆心经过的距离是．18．（2015泰安）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E= ．19．（2015鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，P A切⊙O于点A，且P A=1，AB是⊙O的弦，AB=2，连接PB，则PB= ．20．（2015广元）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心．其中正确结论是________ （只需填写序号）．21．（2015荆州）如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数kyx=（0k≠）的图象经过圆心P，则k= ．22．（2015杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=2r，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．23．（2015北海）如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．24．（2015南宁）如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AC=CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．（1）求证：C D是⊙O的切线．（2）若32=FD OF ，求∠E 的度数． （3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD =3，求AD 的长．25．（2015桂林）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，AB =4，PC 、PD 是⊙O 的两条切线，C 、D 为切点．（1）如图1，求⊙O 的半径；（2）如图1，若点E 是BC 的中点，连接PE ，求PE 的长度；（3）如图2，若点M 是BC 边上任意一点（不含B 、C ），以点M 为直角顶点，在BC 的上方作∠AMN =90°，交直线CP 于点N ，求证：A M =MN ．26．（2015柳州）如图，已知抛物线21(76)2y x x =--+的顶点坐标为M ，与x 轴相交于A ，B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴相交于点C ．（1）用配方法将抛物线的解析式化为顶点式：2()y a x h k =-+（0a ≠），并指出顶点M 的坐标； （2）在抛物线的对称轴上找点R ，使得CR +AR 的值最小，并求出其最小值和点R 的坐标； （3）以AB 为直径作⊙N 交抛物线于点P （点P 在对称轴的左侧），求证：直线MP 是⊙N 的切线．☞1年模拟一、选择题1．（2016江苏省苏州市中考预测）如图，等边△ABC的边长为12cm，内切⊙O切BC边于D点，则图中阴影部分的面积为（）A．πcm2B．33πcm2C．2πcm2D．3πcm22．（2016江苏省苏州市中考预测）如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACE的平分线交⊙O于点D．DF⊥AC，垂足为F，DE⊥BC，垂足为E．给出下列4个结论：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切线；④AD BD．其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④3．（2016河北省石家庄市赵县中考一模）下列说法正确的是（）A．长度相等的弧叫等弧B．平分弦的直径一定垂直于该弦C．三角形的外心是三条角平分线的交点D．不在同一直线上的三个点确定一个圆4．（2016福建省龙岩市中考模拟）如图，四边形ABCD内接于圆，则该圆的圆心可以这样确定（）A．线段AC，BD的交点即是圆心B．线段BD的中点即是圆心C．∠A与∠B的角平分线交点即是圆心D．线段AD，AB的垂直平分线的交点即是圆心二、填空题5．（2016江苏省苏州市中考预测）如图，P A、PB分别切⊙O于A、B两点，C是AB上的一点，∠P=40°，则∠ACB的度数为．三、解答题6．（2016北京市延庆县中考一模）已知：如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．（1）求∠P的大小；（2）若AB=6，求PA的长．7．（2016四川省遂宁市蓬溪县中考一模）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD．（1）求证：△CDE∽△CAD；（2）若AB=2，AC=22，求AE的长．8．（2016广东省梅州市中考冲刺）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．（1）求证：D C=DE；（2）若tan∠CAB=12，AB=3，求BD的长．9．（2016广东省汕头市濠江区中考一模）已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA 为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：A C•AD=AB•AE；（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．10．（2016江苏省苏州市中考预测）如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠P AC=∠PBA，⊙O是△ABC 的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11．（2016甘肃省中考押题）如图，以AB为直径作半圆O，点C为半圆上与A，B不重合的一动点，过点C作CD⊥AB于点D，点E与点D关于BC对称，BE与半圆交于点F，连CE．（1）判断CE与半圆O的位置关系，并给予证明．（2）点C在运动时，四边形OCFB的形状可变为菱形吗？若可以，猜想此时∠AOC的大小，并证明你的结论；若不可以，请说明理由．。
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备战2017中考系列：数学2年中考1年模拟第四篇图形的性质☞解读考点☞考点归纳归纳1：作三角形基础知识归纳：利用基本作图作三角形（1）已知三边作三角形；（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．注意问题归纳：用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．【例1】已知：线段a、c和∠β（如图），利用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠β．（不写作法，保留作图痕迹）．【答案】作图见解析．【分析】先作∠MBN=∠β，再在∠MBN的两边上分别截取BC=a，AB=c，连接AC即可．【点评】此题考查根据SAS作一个三角形，难度中等．考点：作图—基本作图．归纳2：用角平分线、线段的垂直平分线性质画图基础知识归纳：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线的性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．基本做图如图：【例2】（2016江西省）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．【点评】本题考查作图﹣应用设计、正方形、长方形、等腰直角三角形的性质，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．考点：作图—应用与设计作图．归纳3：与圆有关的尺规作图基础知识归纳：（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；（2）作三角形的内切圆；（3）作圆的内接正方形和正六边形．注意问题归纳：关键是找准圆周心作出圆．【例3】（2016湖南省怀化市）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，P A长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）作图见解析；（2）BC与⊙P相切．【分析】（1）根据题意作出图形，如图所示；（2）BC与⊙P相切，理由为：过P作PD⊥BC，交BC于点P，利用角平分线定理得到PD=P A，而P A为圆P的半径，即可得证．过P作PD⊥BC，交BC于点P，∵CP为∠ACB的平分线，且P A⊥AC，PD⊥CB，∴PD=P A，∵P A为⊙P的半径，∴BC与⊙P相切．【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及作图﹣复杂作图，证明切线的方法有两种：一种是连接证明垂直；一种是作垂线，证明垂线段等于半径．考点：1．直线与圆的位置关系；2．作图—复杂作图；3．作图题；4．与圆有关的位置关系．☞2年中考【2016年题组】一、选择题1．（2016云南省曲靖市）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（）A．CD⊥l B．点A，B关于直线CD对称C．点C，D关于直线l对称D．CD平分∠ACB【答案】C．【分析】利用基本作图可对A进行判断；利用CD垂直平分AB可对B、D进行判断；利用AC与AD不一定相等可对C进行判断．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质；3．轴对称的性质；4．作图题．2．（2016河北省）如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；步骤3：连接AD，交BC延长线于点H．下列叙述正确的是（）A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BADC．S△ABC=BC•AH D．AB=AD【答案】A．【分析】根据已知条件可知直线BC是线段AD的垂直平分线，由此一一判定即可．【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握证明线段垂直平分线的证明方法，属于基础题，中考常考题型．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．3．（2016浙江省丽水市）用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解．【点评】考查了作图﹣复杂作图，关键是熟练掌握作过直线外一点作已知直线的垂线的方法．考点：作图—复杂作图．4．（2016湖北省宜昌市）任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示．若连接EH、HF、FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是（）A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形【答案】B．【分析】根据等腰三角形的定义、菱形的定义、等边三角形的定义一一判断即可．【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题，属于中考常考题型．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．5．（2016福建省莆田市）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：①连接AM．作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P；②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线顺次连接起来，得到的曲线是（）A．直线B．抛物线C．双曲线D．双曲线的一支【答案】B．【分析】按照给定的作图步骤作图，根据图形中曲线的特征即可得出该曲线为抛物线．【解析】根据作图步骤作图，如图所示．由此即可得出该曲线为抛物线．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、线段的垂直平分线的性质以及基本作图，解题的关键是按照给定的作图步骤完成作图．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉各曲线的图形是关键．考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．线段垂直平分线的性质；3．作图—基本作图．6．（2016福建省漳州市）下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图考点：作图—基本作图．二、填空题7．（2016北京市）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）．【分析】只要证明直线AB是线段PQ的垂直平分线即可．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，属于中考常考题型．考点：作图—基本作图．8．（2016吉林省）如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点，作直线CD交AB于点E，在直线CD上任取一点F，连接F A，FB．若F A=5，则FB= ．【答案】5．【分析】根据线段垂直平分线的作法可知直线CD是线段AB的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质即可解决问题．【点评】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题，属于中考常考题型．考点：1．作图—基本作图；2．线段垂直平分线的性质．9．（2016广东省深圳市）如图，在▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为．【答案】2．【分析】根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．考点：1．平行四边形的性质；2．等腰三角形的判定；3．作图—复杂作图；4．操作型．10．（2016浙江省湖州市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是．【答案】5．【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题．【解析】由题意EF是线段AB的垂直平分线，∴AD=DB，Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，BC=6，AC=8，∴AB=，∵AD=DB，∠ACB=90°，∴CD=12AB=5．故答案为：5．【点评】本题考查勾股定理．直角三角形斜边中线性质、基本作图等知识，解题的关键是知道线段的垂直平分线的作法，出现中点想到直角三角形斜边中线性质，属于中考常考题型．考点：1．作图—基本作图；2．直角三角形斜边上的中线；3．勾股定理．三、解答题11．（2016四川省达州市）如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】（1）作图见解析；（2）四边形ABEF是菱形．【分析】（1）由角平分线的作法容易得出结果，在AD上截取AF=AB，连接EF；画出图形即可；（2）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE =∠AEB ，证出BE =AB ，由（1）得：A F =AB ，得出BE =AF ，即可得出结论．【点评】本题考查了平行四边形的性质、作图﹣基本作图、等腰三角形的判定、菱形的判定；熟练掌握平行四边形的性质和角平分线作图，证明BE =AB 是解决问题（2）的关键． 考点：1．平行四边形的性质；2．作图—基本作图．12．（2016山东省枣庄市）P n 表示n 边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是：P n =2(1)()24n n n an b -⋅-+（其中a ，b 是常数，n ≥4）（1）通过画图，可得：四边形时，P 4= ；五边形时，P 5= ；（2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值．【答案】（1）1；5；（2）a =5，b =6．【分析】（1）依题意画出图形，数出图形中对角线交点的个数即可得出结论；（2）将（1）中的数值代入公式可得出关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．【点评】本题考查了多边形的对角线、作图以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）画出图形，数出对角线交点的个数；（2）代入数据得出关于a、b的二元一次方程组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，依据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．考点：1．作图—应用与设计作图；2．二元一次方程的应用；3．多边形的对角线．13．（2016山东省青岛市）已知：线段a及∠ACB．求作：⊙O，使⊙O在∠ACB的内部，CO=a，且⊙O与∠ACB的两边分别相切．【答案】作图见解析．【分析】首先作出∠ACB的平分线CD，再截取CO=a得出圆心O，作OE⊥CA，由角平分线的性质和切线的判定作出圆即可．【解析】①作∠ACB的平分线CD，②在CD上截取CO=a，③作OE⊥CA于E，以O我圆心，OE长为半径作圆；如图所示：⊙O即为所求．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质、切线的判定；熟练掌握角平分线的作图，找出圆心O是解决问题的关键．考点：作图—复杂作图．14．（2016广东省）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连结DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若DE=4，求BC的长．【答案】（1）作图见解析；（2）8．【分析】（1）作线段AC的垂直平分线即可．（2）根据三角形中位线定理即可解决．【点评】本题考查基本作图、三角形中位线定理等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，记住三角形的中位线定理，属于中考常考题型．考点：1．三角形中位线定理；2．作图—基本作图．15．（2016广东省广州市）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE=∠ACB，在射线AE上截取AD=BC，连接CD，并证明：C D∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）【答案】答案见解析．【分析】利用尺规作∠EAC=∠ACB即可，先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明CD∥AB即可．【点评】本题考查尺规作图、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用尺规作一个角等于已知角，属于基础题，中考常考题型．考点：作图—尺规作图的定义．16．（2016广东省梅州市）如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于12BF长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．（1）四边形ABEF是；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为，∠ABC= °．（直接填写结果）【答案】（1）菱形；（2）120．【分析】（1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的性质；3．作图—基本作图．17．（2016广西河池市）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于C．（1）尺规作图：过点B作AC的垂线，交AC于O，交AE于D，（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的图形中，找出两条相等的线段，并予以证明．【答案】（1）作图见解解析；（2）AB=AD=BC．【分析】（1）利用基本作图作BO⊥AC即可；（2）先利用平行线的性质得∠EAC=∠BCA，再根据角平分线的定义和等量代换得到∠BCA=∠BAC，则BA=BC，然后根据等腰三角形的判定方法由BD⊥AO，AO平分∠BAD得到AB=AD，所以AB=AD=BC．【解析】（1）如图，BO为所作；（2）AB=AD=BC．证明如下：∵AE∥BF，∴∠EAC=∠BCA，∵AC平分∠BAE，∴∠EAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴BA=BC，∵BD⊥AO，AO平分∠BAD，∴AB=AD，∴AB=AD=BC．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的判定与性质．考点：1．作图—基本作图；2．作图题．18．（2016广西贵港市）如图，在▱ABCD中，AC为对角线，AC=BC=5，AB=6，AE是△ABC 的中线．（1）用无刻度的直尺画出△ABC的高CH（保留画图痕迹）；（2）求△ACE的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）6．【分析】（1）连接BD，BD与AE交于点F，连接CF并延长到AB，与AB交于点H，则CH为△ABC的高；（2）首先由三线合一，求得AH的长，再由勾股定理求得CH的长，继而求得△ABC的面积，又由AE是△ABC的中线，求得△ACE的面积．（2）∵AC =BC =5，AB =6，CH ⊥AB ，∴AH =12AB =3，∴CH ==4，∴S △ABC =12AB •CH =12×6×4=12，∵AE 是△ABC 的中线，∴S △ACE =12S △ABC =6．【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形中线的性质．注意三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．考点：1．平行四边形的性质；2．作图—复杂作图．19．（2016内蒙古赤峰市）（10分）在平面直角坐标系内按下列要求完成作图（不要求写作法，保留作图痕迹）．（1）以（0，0）为圆心，3为半径画圆；（2）以（0，﹣1）为圆心，1为半径向下画半圆；（3）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，0.5为半径画圆；（4）分别以（﹣1，1），（1，1）为圆心，1为半径向上画半圆．（向上、向下指在经过圆心的水平线的上方和下方）【答案】答案见解析．【分析】（1）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可；（2）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可；（3）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出圆即可；（4）直接利用坐标系结合圆心的位置以及半径长画出半圆即可．【点评】此题主要考查了复杂作图，根据题意正确结合圆心位置以及半径的长画图是解题关键．考点：作图—复杂作图．20．（2016吉林省）图1，图2都是8×8的正方形网格，每个小正方形的顶点成为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点（1）请在图1，图2中，以4个标注点为顶点，各画一个平行四边形（两个平行四边形不全等）；（2）图1中所画的平行四边形的面积为．【答案】（1）答案见解析；（2）6．【分析】（1）根据平行四边形的判定，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可在图1和图2中按要求画出平行四边形；（2）根据平行四边形的面积公式计算．【解析】（1）如图1，如图2；（2）图1中所画的平行四边形的面积=2×3=6．故答案为：6．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图：应用与设计作图主要把简单作图放入实际问题中．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图考点：1．作图—应用与设计作图；2．平行四边形的性质；3．作图题．21．（2016江苏省无锡市）如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC（1）线段BC的长等于；（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：①以点为圆心，以线段的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD②连OD，在OD上画出点P，使OP，请写出画法，并说明理由．【答案】（1（2）①A；BC；②答案见解析．【分析】（1）由圆的半径为1，可得出AB=AC=1，结合勾股定理即可得出结论；（2）①结合勾股定理求出AD的长度，从而找出点D的位置，根据画图的步骤，完成图形即可；②根据线段的三等分点的画法，结合OA=2AC，即可得出结论．故答案为：A；BC．②∵OD OP，OC=OA+AC=3，OA=2，∴23 OA OPOC OD==．【点评】本题考查了作图中的寻找线段的三等分点以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出BC的长；（2）①利用勾股定理求出AD的长；②会画线段的三等分点．本题属于中档题，难度不大，（2）中巧妙的借助了OA=2AC，从而利用比例找出了点P的位置．考点：作图—复杂作图．22．（2016江苏省盐城市）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°．（1）尺规作图：按下列要求完成作图（保留作图痕迹，请标明字母）①作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O；②连接BO并延长，在BO的延长线上截取OD，使得OD=OB；③连接DA、DC．（2）判断四边形ABCD的形状，并说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）四边形ABCD是矩形．【分析】（1）①利用线段垂直平分线的作法得出即可；②利用射线的作法得出D点位置；③连接DA、DC即可求解；（2）利用直角三角形斜边与其边上中线的关系进而得出AO=CO=BO=DO，进而得出答案．【点评】此题主要考查了复杂作图以及矩形的判定，得出BO =12AC 是解题关键． 考点：1．作图—基本作图；2．矩形的判定． 23．（2016浙江省台州市）请用学过的方法研究一类新函数2x k y =（k 为常数，k ≠0）的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数26x y =的图象； （2）对于函数2x k y =，当自变量x 的值增大时，函数值y 怎样变化？【答案】（1）作图见解析；（2）①k ＞0时，当x ＜0，y 随x 增大而增大，x ＞0时，y 随x 增大而减小．②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．【分析】（1）利用描点法可画出图象．（2）分k＜0和k＞0两种情形讨论增减性即可．【点评】本题考查函数图象、作图与应用设计，解题的关键是掌握描点法画函数图象，学会利用函数图象说明函数增减性，属于中考常考题型．考点：1．函数的图象；2．作图—应用与设计作图；3．分类讨论．24．（2016浙江省宁波市）下列3×3网格图都是由9个相同的小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影：（1）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．（2）选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形．（3）选取2个涂上阴影，使5个阴影小正方形组成一个轴对称图形．（请将三个小题依次作答在图1、图2、图3中，均只需画出符合条件的一种情形）【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析．【分析】（1）根据轴对称定义，在最上一行中间一列涂上阴影即可；（2）根据中心对称定义，在最下一行、最右一列涂上阴影即可；（3）在最上一行、中间一列，中间一行、最右一列涂上阴影即可．【点评】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．考点：1．作图—应用与设计作图；2．轴对称的性质；3．中心对称．25．（2016浙江省衢州市）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）四边形BEDF为菱形．【分析】（1）分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；（2）连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．考点：1．矩形的性质；2．作图—基本作图；3．矩形菱形正方形．26．（2016湖北省孝感市）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹：①作∠ACB的平分线，交斜边AB于点D；②过点D作AC的垂线，垂足为点E．（2）在（1）作出的图形中，若CB=4，CA=6，则DE= ．【答案】（1）作图见解析；（2）125．【分析】（1）以C为圆心，任意长为半径画弧，交BC，AC两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与C在直线交AB于D即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可；（2）根据平行线的性质和角平分线的性质推出∠ECD=∠EDC，进而证得DE=CE，由DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论．【点评】本题考查了角的平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．考点：作图—基本作图．27．（2016甘肃省兰州市）如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）【答案】答案见解析．【分析】画圆的一条直径AC，作这条直径的中垂线交⊙O于点BD，连结ABCD就是圆内接正四边形ABCD．【解析】如图所示，四边形ABCD即为所求：【点评】本题考查的是复杂作图和正多边形和圆的知识，掌握中心角相等且都相等90°的四边形是正四边形以及线段垂直平分线的作法是解题的关键．考点：1．正多边形和圆；2．作图—复杂作图．28．（2016贵州省贵阳市）（10分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，AB =8．（1）利用尺规，作∠CAB 的平分线，交⊙O 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接CD ，OD ，若AC =CD ，求∠B 的度数；（3）在（2）的条件下，OD 交BC 于点E ．求出由线段ED ，BE ，BD 所围成区域的面积．（其中BD 表示劣弧，结果保留π和根号）【答案】（1）作图见解析；（2）30°；（3）83π-【分析】（1）作AP 平分∠CAB 交⊙O 于D ；（2）由等腰三角形性质得到∠CAD =∠ADC ．又由∠ADC =∠B ，得到∠CAD =∠B ．再根据角平分线定义得到∠CAD =∠DAB =∠B ．由于直径所对圆周角为90°，得到∠ACB =90°，从而得到∠B 的度数；（3）先得到△OEB 是30°角的直角三角形，从而得出OE ，EB 的长，然后把不规则图形面积转化为扇形BOD 的面积减去Rt △OEB 的面积求解．【点评】本题考查了作图﹣基本作图．也考查了圆周角定理和不规则图形面积的计算． 考点：1．作图—基本作图；2．圆周角定理；3．扇形面积的计算；4．作图题．。