2017_2018学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课件苏教版选修2_2
2017-2018版高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.2 复数的几何意义学案 新人教
3.1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)3．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)[基础·初探]教材整理 复数的几何意义及复数的模 阅读教材P 52～P 53内容，完成下列问题． 1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ――――→一一对应 平面向量OZ →.为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ →，并且规定，相等的向量表示同一个复数．3．复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且r ＝a 2＋b 2(r ≥0，且r ∈R )．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( )(2)复数的模一定是正实数．( ) (3)复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|.( )【解析】 (1)正确．根据实轴的定义，x 轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数．(3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×[小组合作型]足下列条件时，求a 的值(或取值范围)．(1)在实轴上； (2)在第三象限； (3)在抛物线y 2＝4x 上．【精彩点拨】 解答本题可先确定复数z 的实部、虚部，再根据要求列出关于a 的方程(组)或不等式(组)求解．【自主解答】 复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i 的实部为a 2－1，虚部为2a －1，在复平面内对应的点为(a 2－1,2a －1)．(1)若z 对应的点在实轴上，则有 2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12.(3)若z 对应的点在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4， 解得a ＝54.复数与点的对应关系及应用(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)得出结论．[再练一题]1．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.【导学号：81092039】【解】 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2. (1)由题意得m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2， ∴m ＝2.(1)已知复数z 1＝－3＋4i ，z 2＝2a ＋i(a ∈R )对应的点分别为Z 1和Z 2，且OZ 1→⊥OZ 2→，则a 的值为________．(2)已知向量OA →对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A 1，将向量OA 1→平移，使其起点移动到A 点，这时终点为A 2.①求向量OA 1→对应的复数； ②求点A 2对应的复数．【精彩点拨】 (1)利用复数与向量的对应关系，转化为向量的数量积求解． (2)根据复数与点，复数与向量的对应关系求解．【自主解答】 (1)依题意可知OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)， 因为OZ 1→⊥OZ 2→，所以OZ 1→·OZ 2→＝0， 即－6a ＋4＝0，解得a ＝23.【答案】 23(2)①因为向量OA →对应的复数是4＋3i ， 所以点A 对应的复数也是4＋3i ， 因为点A 坐标为(4,3)，所以点A 关于实轴的对称点A 1为(4，－3)， 故向量OA 1→对应的复数是4－3i.②依题意知OA 1→＝AA 2→，而OA 1→＝(4，－3)， 设A 2(x ，y )，则有(4，－3)＝(x －4，y －3)， 所以x ＝8，y ＝0，即A 2(8,0)． 所以点A 2对应的复数是8.1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[再练一题]2．在复平面内，O 是原点，若向量OA →对应的复数z 的实部为3，且|OA →|＝3，如果点A 关于原点的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数．【解】 根据题意设复数z ＝3＋b i(b ∈R )，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA →＝(3，b )，已知|OA →|＝3，即32＋b 2＝3， 解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)． 因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)，所以向量OB →对应的复数为z ′＝－3.[探究共研型]探究1 【提示】 (1)因为|z |＝2，即|OZ →|＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示．探究2 若z ∈C ，则满足2<|z |<3的点Z 的集合是什么图形？【提示】 不等式2<|z |<3可化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|z |>2，|z |<3，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z |<3的解集是圆|z |＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2<|z |<3的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i.(1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？ 【精彩点拨】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2. (2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形． 【自主解答】 (1)|z 1|＝－32＋12＝2.|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|， 则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模可比较大小． 2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点Z 1，Z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．[再练一题]3．如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |<2，那么实数a 的取值范围是________． 【解析】 由|z |<2知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝1＋a i 知z 对应的点在直线x ＝1上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合，由图可知－3<a < 3.【答案】 (－3， 3)1．在复平面内，若OZ →＝(0，－5)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－5 C ．－5iD ．5【解析】 OZ →对应的复数z ＝0－5i ＝－5i.【答案】 C2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限． 【答案】 D3．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6D.11【解析】 |z |＝22＋－2＝11.【答案】 D4．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 【解析】 ∵|z |＝22， ∴x －2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 【答案】 (x －2)2＋y 2＝85．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 【导学号：81092041】 【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【解析】 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，则AB 中点C (2,4)对应的复数为2＋4i. 【答案】 C2．复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10D ．2 2【解析】 |z |＝|1＋3i|＝12＋32＝10，故选C. 【答案】 C3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1. 【答案】 A4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i【解析】 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以向量OB →对应的复数为－2＋i.【答案】 B5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( ) 【导学号：81092042】A ．－5＋2iB ．－5－2iC ．－5＋3iD ．－5－3i【解析】 设z ＝－5＋b i(b ∈R )，由|z |＝－52＋b 2＝3，解得b ＝±2，又复数z 对应的点在第二象限，则b ＝2，∴z ＝－5＋2i. 【答案】 A 二、填空题6．在复平面内，复数z 与向量(－3,4)相对应，则|z |＝________. 【解析】 由题意知z ＝－3＋4i ， ∴|z |＝－2＋42＝5.【答案】 57．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋5<0，x －2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<x <5，x <2，∴1<x <2. 【答案】 (1,2)8．已知△ABC 中，AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB →，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ， 所以AB →＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)．又BC →＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i. 【答案】 －1－5i三、解答题9．若复数z ＝x ＋3＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝2，则点(x ，y )的轨迹是什么图形？ 【解】 ∵|z |＝2， ∴x ＋2＋y －2＝2，即(x ＋3)2＋(y －2)2＝4.∴点(x ，y )的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．10．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点： (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线y ＝x 上．【解】 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14<0，得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －3>0，m 2－5m －14>0或⎩⎪⎨⎪⎧m －3<0，m 2－5m －14<0，∴m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限． (3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需m 2－5m －14＝m －3，∴m 2－6m －11＝0， ∴m ＝3±25，此时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．[能力提升]1．已知a ∈R ，且0<a <1，i 为虚数单位，则复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵0<a <1，∴a >0，且a －1<0，故复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限． 【答案】 D2．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆【解析】 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R .又a 2＋2a ＋2xy ＋(a＋x －y )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．【答案】 C3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝________.【解析】 依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.【答案】 1＋2i 或－1－2i4．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．【解】 根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示．11 |z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。
近年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义(1)学案苏教版选修1-2(2021年
2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义（1）学案苏教版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义（1）学案苏教版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3 复数的几何意义（1）学案苏教版选修1-2的全部内容。
3。
3 复数的几何意义［学习目标］1。
了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义。
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．［知识链接]1．下列命题中不正确的有________．（1）实数可以判定相等或不相等；（2)不相等的实数可以比较大小；（3）实数可以用数轴上的点表示；（4）实数可以进行四则运算；（5)负实数能进行开偶次方根运算；答案（5）2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z ＝a＋b i（a，b∈R），都和一个有序实数对(a，b）一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？答由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应关系，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型．［预习导引］1．复数的几何意义(1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数与点、向量间的对应①复数z＝a＋b i（a，b∈R）错误!复平面内的点Z(a，b)；②复数z＝a＋b i（a，b∈R）错误!平面向量O错误!＝(a，b）．2．复数的模复数z＝a＋b i(a,b∈R)对应的向量为O错误!，则O错误!的模叫做复数z的模，记作｜z|，且|z|＝错误!.3．两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．要点一复数与复平面内的点例1 在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8)＋(m2＋3m－10）i对应的点(1）在虚轴上；（2)在第二象限；（3）在第二、四象限；（4）在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．解复数z＝（m2－2m－8)＋（m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8,虚部为m2＋3m－10.(1）由题意得m2－2m－8＝0。
2018年高中数学第三章数系的扩充与复数3.1.3复数的几何意义课件7新人教B版
. 关于实轴对称
3. | z || z |
练习3：
3．已知复数 z 的实部是－1，虚部是 2，其中 i 为虚 数单位，则 A. C. 为 (
B
) -1-2i 1-2i
-1+2i 1+2i
B. D.
五、课堂互动探究
（一）复数的几何意义：复数与复平面内的点的关系
例1:已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。
2.若3 - 5i，1-i和 - 2 + ai在复平面内所对应的点 在同一条直线上，则实数a = ____ 3. 设Z为纯虚数，且|Z -1|=|-1+ i|,求复数Z.
A. 第一象限 C. 第三象限
B. 第二象限 D. 第四象限
2.复数i+2i2的共轭复数是 ( D ) A.2+i B.2-i C.-2+i
D.-2-i
3.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的 轨迹是（ C ） A.一条直线 B.两条直线
C.圆
D.椭圆
4、复数2-3i对应的点所在的直线是 ( C A.y=x B.y=-x C.3x+2y=0
练习1
1.下列命题中的假命题是（ D ）
(A)复平面内，对应实数的点都在实轴上
(B)复平面内，对应纯虚数的点都在虚轴上 (C)复平面内，实轴上的点所对应的复数都 是实数 (D)复平面内，虚轴上的点所对应的复数 都是纯虚数。
注意:实轴上的点都表示 实数 以外,虚轴上的点都表示 纯虚数 中的点都表示 非纯虚数 . ,除原点 , 象限
《复数的几何意义》
2018年高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义学案苏教版选修1
3.3 复数的几何意义问题1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐标表示吗？提示：可以．问题2：试说明理由．提示：因复数z＝a＋b i(a，b∈R)与有序实数对(a，b)惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)．问题1：在复平面内作出复数z所对应的点Z.提示：如图所示．问题2：向量OZ和点Z有何关系？提示：有一一对应关系．问题3：复数z＝a＋b i与OZ有何关系？提示：也是一一对应．1．复数与点，向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ ，则OZ 的模叫做复数z 的模(或绝对值)，记作|z |，且|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.如图1OZ 、2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应．问题1：试写出1OZ 、2OZ 及1OZ ＋2OZ 、1OZ －2OZ 的坐标． 提示：1OZ ＝(a ，b )，2OZ ＝(c ，d )，1OZ ＋2OZ ＝(a ＋c ，b ＋d )，1OZ －2OZ ＝(a －c ，b －d )．问题2：向量1OZ ＋2OZ 及1OZ －2OZ 所对应的复数分别是什么？ 提示：(a ＋c )＋(b ＋d )i 及(a －c )＋(b －d )i.1．复数加法的几何意义设向量1OZ ，2OZ 分别与复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 对应，且1OZ 和2OZ 不共线．如图，以1OZ ，2OZ 为邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，则其对角线OZ 所表示的向量OZ OZ 就是复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应的向量．2．复数减法的几何意义复数的减法是加法的逆运算，设1OZ ，2OZ 分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 相对应，且1OZ ，2OZ 不共线，如图．则这两个复数的差z 1－z 2与向量1OZ －2OZ (等于21Z Z )对应，这就是复数减法的几何意义．3．设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝a －c2＋b －d2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐标表示复数的虚部．2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数0.3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同复数加法、减法的几何解释是相同的．[例1] 实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在下列位置？(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x －y －3＝0上？[思路点拨] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求解．若已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则当a <0且b <0时，复数z 对应的点在第三象限；当a >0且b <0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．[精解详析] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数． 若已知复数z ＝a ＋b i ，则当a ＜0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第三象限； 当a ＞0，且b ＜0时，复数z 对应的点在第四象限；当a －b －3＝0时，复数z 对应的点在直线x －y －3＝0上．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 在第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0，即2＜x ＜5时，点Z 在第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上．[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．1．(湖北高考改编)在复平面内，复数 z ＝2i1＋i(i 为虚数单位)的共轭复数对应点位于第________象限．解析：z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝i ＋1的共轭复数为1－i ，对应的点为(1，－1)在第四象限．答案：四2．求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件：(1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上．解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0 ①m 2＋3m －28＝0 ②由②得m ＝－7或m ＝4. 因m ＝－7不适合不等式①，m ＝4适合不等式①，所以m ＝4.故当m ＝4时，复数z 的对应点位于x 轴的负半轴上．[例2] 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值并比较它们的大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形．[思路点拨] 由复数的模长公式求出|z 1|及|z 2|，然后比较大小；(2)根据点数模的几何意义画出图形．[精解详析] (1)|z 1|＝|3－i|＝（3）2＋（－1）2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， 所以|z 1|＞|z 2|. (2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．[一点通] (1)计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)复数的模表示该复数在复平面内对应点到原点的距离．3．(辽宁高考改编)复数z ＝1i －1的模为________． 解析：∵z ＝1－1＋i ＝－1－i （－1＋i ）（－1－i ）＝－1－i2＝－12－12i ，∴|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 答案：224．已知z ＝3＋a i ，且|z －2|＜2，则实数a 的取值范围是________．解析：∵z ＝3＋a i ，∴z －2＝1＋a i ，∴|z －2|＝1＋a 2<2，即1＋a 2<4，∴a 2<3，即－3<a < 3.答案：(－3，3)5．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？解：法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ 的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆． 法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2. ∵|3＋4i|＝5，∴由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25， ∴点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的C 圆.[例3] 已知▱OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1) AO 表示的复数；(2) CA 表示的复数；(3)点B 对应的复数． [思路点拨]点O ，A ，C 对应的复数――――――→向量的坐标表示AO ，CA ，OB 的坐标形式――――――→复数在复平面上与向量一一对应AO ，CA ，OB对应的复数[精解详析] (1)AO ＝－OA ，故AO 表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i. (2)CA ＝OA －OC ，故CA 表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB ＝OA ＋AB ＝OA ＋OC ，故OB 表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即点B 对应的复数为1＋6i.[一点通] (1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．6．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A、B，求AB―→对应的复数z，z在平面内对应的点在第几象限？解：z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，∵z的实部－1<0，虚部1>0，∴复数z在复平面内对应的点在第二象限内．7．在复平面内，点A、B、C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB、AC 为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．解：如图，由复数加减法的几何意义，AD＝AB＋AC，即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)．所以z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i.|AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．(1)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，b i)；(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的对应向量OZ―→是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ―→相等的向量有无数个．2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2；(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．一、填空题1．若OA 、OB 对应的复数分别是7＋i,3－2i ，则|AB |＝________. 解析：∵OA ＝(7,1)，OB ＝(3，－2)， ∴AB ＝OB －OA ＝(－4，－3)， ∴|AB |＝5. 答案：52．(重庆高考改编)复平面内表示复数i(1－2i)的点位于第________象限． 解析：i(1－2i)＝2＋i 对应的点为(2，1)，位于第一象限． 答案：一3．若z ＋|z |＝2＋8i ，则z ＝________． 解析：法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i.所以⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8，所以z ＝－15＋8i.法二：原式可化为z ＝2－|z |＋8i ， ∵|z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部．于是|z |＝（2－|z |）2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2， ∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i. 答案：－15＋8i4．已知z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，若z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________． 解析：z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝5＋(a ＋1)i ，由z 1＋z 2所对应的点在实轴上可知a ＋1＝0，即a ＝－1. 答案：－15．(新课标全国卷Ⅰ改编)设z ＝11＋i ＋i ，则|z |＝________．解析：11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ， 则|z |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22. 答案：22二、解答题6．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的集合．解：由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－（4m 2－8m ＋3）>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，即1<m <32，故所求m 的集合为⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<m <32.7．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB ，BC ，AC 对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解：(1)AB 对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i. BC 对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i. AC 对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB |＝|1＋i|＝2，|BC |＝|－3＋i|＝10，|AC |＝|－2＋2i|＝22， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2. 故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB |·|AC |＝12×2×22＝2.8．若z ∈C 且|z ＋2－2i|＝1，求|z －2－2i|的最小值．解：已知|z －(－2＋2i)|＝1中，z 的对应点轨迹是以(－2，2)为圆心，1为半径的圆，|z －(2＋2i)|表示圆上的点与点(2，2)之间的距离，最小值为圆心与点(2，2)的距离减去半径，易得值为3.。
2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义学案 苏教版选修1-2
3.3 复数的几何意义学习目标 1.了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题．知识点一 复平面思考 实数可用数轴上的点来表示，平面向量可以用坐标表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答案 任何一个复数z ＝a ＋b i ，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．梳理 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 知识点二 复数的几何意义 1．复数与点、向量间的对应关系2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模(或绝对值)，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 知识点三 复数加、减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答案 如图，设OZ 1—→，OZ 2—→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，且OZ 1—→，OZ 2—→不共线，则OZ 1—→＝(a ，b )，OZ 2—→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1—→＋OZ 2—→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1—→＋OZ 2—→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1—→对应复数z 1，OZ 2—→对应复数z 2，则Z 2Z 1—→对应复数z 1－z 2. 梳理 (1)复数加减法的几何意义 复数加法的几何意义复数z 1＋z 2是以OZ 1—→，OZ 2—→为邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数复数减法的几何意义 复数z 1－z 2是从向量OZ 2—→的终点指向向量OZ 1—→的终点的向量Z 2Z 1—→所对应的复数(2)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则|z 1－z 2|＝(a －c )2＋(b －d )2，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．1．原点是实轴和虚轴的交点．( √ )2．在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．( √ ) 3．在复平面内，虚轴上的点构对应的复数都是纯虚数．( × ) 4．复数的模一定是正实数．( × )类型一 复数的几何意义例1 实数x 分别取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 对应的点Z 在： (1)第三象限；(2)直线x －y －3＝0上．解 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即当－3<x <2时，点Z 在第三象限．(2)z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 对应点的坐标为Z (x 2＋x －6，x 2－2x －15)， 当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0， 即当x ＝－2时，点Z 在直线x －y －3＝0上． 引申探究若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；(2)第四象限． 解 (1)当实数x 满足x 2＋x －6＝0， 即当x ＝－3或2时，点Z 在虚轴上．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即当2<x <5时，点Z 在第四象限．反思与感悟 按照复数和复平面内所有点构成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．跟踪训练1 求当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于x 轴的负半轴上？解 (1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4.即－7<m <3.故当－7<m <3时，复数z 的对应点位于第四象限．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0， ①m 2＋3m －28＝0，②由②得m＝－7或m＝4.因为m＝－7不适合不等式①，m＝4适合不等式①，所以m＝4.故当m＝4时，复数z的对应点位于x轴的负半轴上．例2 已知复数z 1＝3－i 及z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|的值；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点z 的集合是什么图形？ 解 (1)|z 1|＝|3－i|＝(3)2＋(－1)2＝2， |z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1. (2)由(1)知1≤|z |≤2，因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点组成的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界，如图所示．反思与感悟 (1)在计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． (2)复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离． 跟踪训练2 设z 为复数，且|z |＝|z ＋1|＝1，求|z －1|的值． 考点 复数的模的定义与应用 题点 利用定义求复数的模 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．∵z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，且|z |＝|z ＋1|＝1，∴⎩⎨⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，(a ＋1)2＋b 2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，a 2＋b 2＋2a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b 2＝34，∴|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝(a －1)2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－12＋34＝ 3.例3 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0，3＋2i ，－2＋4i.求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)OB →表示的复数． 解 因为A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i. (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i. (2)因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 反思与感悟 (1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理．②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则①四边形OACB 为平行四边形．②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形． ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形．④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练3 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________.(2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________．答案 (1)10 (2)(－∞，1) 解析 (1)∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ，∴|OB →|＝12＋32＝10. (2)z 2－z 1＝1＋(a －1)i ， 由题意知a －1<0，即a <1.1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为________． 答案 －3i解析 OZ →＝(0，－3)，∴Z (0，－3)，复数z ＝0＋(－3)i ＝－3i.2．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m ＝________. 答案 9解析 ∵z ＝(m －3)＋2m i 表示的点在直线y ＝x 上， ∴m －3＝2m ，解得m ＝9.3．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________________．答案 |1－5i|>|x －y i|>|y ＋2i| 解析 ∵3－4i ＝x ＋y i ， ∴x ＝3，y ＝－4.则|1－5i|＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝25， ∴|1－5i|>|x －y i|>|y ＋2i|.4．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于第________象限． 答案 四解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点为(5，－7)，其位于第四象限．5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________． 答案 5－2i解析 设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－1，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y ＝－2，故点C 对应的复数为5－2i.1．复数模的几何意义复数模的几何意义架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径． (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i)．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的对应向量OZ →是以原点O 为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ →相等的向量有无数个． 2．复数的模(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2.(2)从几何意义上理解，表示点Z 和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示点Z 1和点Z 2之间的距离．一、填空题1．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →的坐标是________． 答案 (3,4)解析 复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →的坐标是(3,4)．2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－3,1)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1.3．已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于第________象限． 答案 二解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，得a ＝－1，则复数a －a i ＝－1＋i 对应的点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．4．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是3＋i ，点A 关于虚轴的对称点为B ，则向量OB →对应的复数是________．答案 －3＋i解析 向量OA →对应的复数是3＋i ，即A (3,1)，点A 关于虚轴的对称点为B (－3,1)，则向量OB →对应的复数是－3＋i.5．若复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2，则实数a 的取值范围是__________． 答案 [－3，3]解析 复数z ＝1＋a i(i 是虚数单位)的模不大于2， 即1＋a 2≤4，即a 2≤3，可得a ∈[－3，3]．6．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z ＝________. 答案 －1＋3i解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限， 所以a <0，由|z |＝2知，a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.7．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 答案 2 5解析 z 1＝1－i 对应的点为Z 1(1，－1)，z 2＝3－5i 对应的点为Z 2(3，－5)，由两点间距离公式，得Z 1Z 2＝(3－1)2＋(－5＋1)2＝2 5.8．若a ，b ∈R ，则复数(a 2－4a ＋5)＋(－b 2＋2b －6)i 所对应的点一定落在第________象限． 答案 四解析 复数对应点的坐标为(a 2－4a ＋5，－b 2＋2b －6)，∵a 2－4a ＋5＝(a －2)2＋1>0，－b 2＋2b －6＝－(b －1)2－5<0，∴复数对应点的坐标在第四象限．9．若复数z ＝(m ＋1)－(m －3)i 在复平面内对应的点在第一或第三象限，则实数m 的取值范围是____________． 答案 (－1,3)解析 若z ＝(m ＋1)－(m －3)i 在复平面内对应的点在第一或第三象限，则(m ＋1)[－(m －3)]>0，即(m ＋1)(m －3)<0，解得－1<m <3. ∴实数m 的取值范围是(－1,3)．10．在复平面内，AO →对应的复数是2＋i ，CO →对应的复数是－1－3i ，则CA →对应的复数为________． 答案 －3－4i解析 由复数的几何意义知AO →＝(2,1)， ∴OA →＝(－2，－1)，又CO →＝(－1，－3)，∴CA →＝CO →＋OA →＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)， ∴CA →对应的复数为－3－4i.11．复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i ，a ∈R 对应的点位于第二象限，则|z |的取值范围是____________． 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3 解析 复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.由条件得|z |＝(a －2)2＋(a ＋1)2＝2a 2－2a ＋5 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a ＋14＋92＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋92， 因为－1<a <2. 所以|z |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，3. 二、解答题12．若复数z ＝(m 2＋m －2)＋(4m 2－8m ＋3)i(m ∈R )的共轭复数z 对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围．解 由题意得z ＝(m 2＋m －2)－(4m 2－8m ＋3)i ，z 对应的点位于第一象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，－(4m 2－8m ＋3)>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2>0，4m 2－8m ＋3<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m <－2或m >1，12<m <32，3 2，故所求实数m的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1，32.即1<m<13．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)，∴AC 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 32＝x 2，2＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，∵BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，AD →＝BC →，∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2，y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.三、探究与拓展14．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面所对应的图形的面积为________． 答案 2π解析 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z －i ＝x ＋y i －i ＝x ＋(y －1)i ，∴|z －i|＝x 2＋(y －1)2，由|z －i|≤2知x 2＋(y －1)2≤2，x 2＋(y －1)2≤2.∴复数z 对应的点(x ，y )构成以(0,1)为圆心，2为半径的圆面(含边界)，∴所求图形的面积S ＝2π.15．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为z B －z A ＝(2＋i)－1＝1＋i ；BC →对应的复数为z C －z B ＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i ； AC →对应的复数为z C －z A ＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)知|AB →|＝|1＋i|＝2，|BC →|＝|－3＋i|＝10，|AC →|＝|－2＋2i|＝22，∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.故△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|＝12×2×22＝2.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义212数学
解析(jiě 答案
3. 已 知 3 － 4i ＝ x ＋ yi(x ， y∈R) ， 则 |1 － 5i| ， |x － yi| ， |y ＋ 2i| 的 大 小 关 系 为 __|1_－__5_i_|>_|_x_－__yi_|>_|_y_＋__2_i|_.
解析(jiě xī) ∵3－4i＝x＋yi， ∴x＝3，y＝－4.
12/10/2021
第二十五页，共三十八页。
解答
反思与感悟 (1)常用技巧 ①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理. ②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几
何之中.
(2)常见(chánɡ jiàn)结论：在复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的 点为C，O为坐标原点，则 ①四边形OACB为平行四边形. ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形. ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形. ④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形.
当实数 x 满足xx22＋ －2x－x－6<150<，0，
即当－3<x<2时，点Z在第三象限.
12/10/2021
第十四页，共三十八页。
解答
(2)直线(zhíxiàn)x－y－3＝0上.
解 z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应点的坐标(zuòbiāo)为Z(x2＋x－6，x2－2x－15)， 当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0， 即当x＝－2时，点Z在直线x－y－3＝0上.
例2
已知复数 z1＝
3－i
及
z2＝－12＋
3 2 i.
高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义知识导航学案苏教版选修
3.3 复数的几何意义知识梳理1.复数的点表示如图3-3-1所示，点Z 的横坐标是a,纵坐标是b ，复数Z=a+bi 可用点Z(a,b)表示，这个建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_____________，x 轴叫做_____________,y 轴叫做_____________.显然，实轴上的点都是实数；除了____________外，虚轴上的点都表示纯虚数.图3-3-1按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.由此可知，复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即_____________.2.复数的向量表示设复平面内的点Z 表示复数Z=a+bi ，连结OZ ，显然向量是由点Z 惟一确定的；反过来，点Z （相对于原点来说）也是由向量惟一确定的.因此，复数集C 与复平面内的向量所构成的集合也是一一对应的（实数O 与零向量对应），即_____________.3.复数的模（1）向量OZ 的模r ，叫做复数Z=a+bi 的_____________，记作|Z|或|a+bi|.如果b=0，那么Z=a+bi 是一个实数a,它的模等于|a|（也就是a 的绝对值）.由模的定义知|Z|=|a+bi|=r=_____________.(r≥0,r∈R )（2）为方便起见，我们常把复数Z=a+bi 说成点Z 或说成向量，并且规定，相等的向量表示_____________.4.复数的加减法的几何意义复数的加、减法的几何意义，即为向量的合成与分解：平行四边形法则，可简化成三角形法则，如图3-3-2，OZ 表示复数_____________，21Z Z 表示_____________，即OZ =_____________，21Z Z =_____________.图3-3-2知识导学复数的向量表示，复数的点表示，概念不容易理解.复数Z=a+bi,复平面内的点Z(a,b)，以原点为起点的平面向量OZ 具有一一对应关系，另外，复数的加减法的几何意义，实际上遵循的是向量的平行四边形法则（三角形法则），因此复习平面向量的有关知识是必要的.可以采用相类比的办法来理解三者的对应关系及复数加减法的几何意义.疑难突破1.复数与点、向量间的对应每一个复数，在复平面内都有惟一的点和它对应；反过来，每一个点都有惟一的复数和它对应.因此复数集C 和复平面内所有点所成的集合是一一对应.因为有这种一一对应关系，才有复数的点表示.同理，复数Z=a+bi 与平面内以原点为起点的向量也具有一一对应关系，因此也有复数的向量表示.2.复数加法的几何意义复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则.如图3-3-3所示，已知复数Z 1=x 1+y 1i,Z 2=x 2+y 2i 及其对应的向量OZ =（x 1，y 1), 2OZ =(x 2，y 2).以1OZ ，2OZ 为两条邻边作平行四边边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 表示的向量OZ =1OZ +2OZ =（x 1+x 2,y 1+y 2)，这正是两个复数之和Z 1+Z 2所对应的有序实数对.图3-3-33.复数减法的几何意义实质为平面向量的三角形法则，向量12Z Z 对应两个复数的差Z 1-Z 2，作12Z Z OZ =，则点Z 也对应复数Z 1-Z 2，要特别注意的是12Z Z 差向量指向的是被减数.典题精讲【例1】 在复平面内，点A 、B 、C 分别对应复数Z 1=1+i,Z 2=5+i,Z 3=3+3i,以AB 、AC 为邻边作一平行四边形ABCD ，求D 对应的复数Z 4及AD 的长.思路分析：本题考查复数的几何意义，首先画出图形，结合向量用已知的向量表示所求的向量再得出所求的复数.解：由复数的加减法的几何意义+=即Z 4-Z 1=（Z 2-Z 1）+（Z 3-Z 1）∴Z 4=Z 2+Z 3-Z 1=7+3i|AD|=|Z 4-Z 1|=|（7+3i)-(1+i)=|6+2i|=102.绿色通道：复数的加减法的几何意义，复数的向量表示本身就是研究图形的有关性质，因此在解题时要注意利用图形的平面性质去解决有关问题.【变式训练】 设复平面上两个点Z 1和Z 2所对应的复数Z 1=1，Z 2=2+i ，以这两个点为顶点作正三角形，求正三角形的第三个顶点Z 3所对应的复数Z 3.思路分析：本题考查复数的几何意义及运用图形的能力.要注意先由题意画出符合条件的图形共有2个.[解]如图，作Z 2A ，Z 3B 分别垂直于x 轴，已知｜Z 1A ｜=1，｜AZ 2｜=1，｜Z 1Z 2｜=2，∵△Z 1Z 2Z 3为正三角形∴｜Z 1Z 3｜=｜Z 1Z 2｜=2，∠Z 3Z 1B=75°故有｜BZ 3｜=｜Z 1Z 3｜sin75°=231+，｜BZ 1｜=｜Z 1Z 3｜cos75°=213-. ｜OB ｜=｜OZ 1｜-｜BZ 1｜=233-. ∴Z 3=21(3-3）+21(1+3)i 同样可得. Z 3′＝21(3+3)+21(1-3)i. 【例2】 已知点集D={Z||Z+1+i 3|=1,Z∈C }，试求|Z|的最大值和最小值.思路分析：本题考查复数模的意义|Z+1+i 3|=1可看出Z 1到点（-1,3-)的距离为1，因此可画出图形结合图形求解.解：点集D 的图象为以点C （-1,3-)为圆心，以1为半径的圆，圆上任一点P 对应的复数Z ，则||=|1Z |由图知，当OP 过圆心C （-1，3-）时与圆交于A 、B ，则|Z|的最小值是|OA|=|OC|-1=22)3()1(-+--1=2-1=1，即|Z|min =1；|Z|的最大值是|OB|=|OC|+1=2+1=3，即|Z|max =3.绿色通道：把代数问题转化为几何问题，这是数形转化的一种形态，是常用的数学思维方法. 黑色陷阱：由于此题中的条件具有较明显的几何意义，最好采用数形结合的方法处理可简化运算.若用代数方法化简将会很复杂.【变式训练】 已知Z=3+ai 且|Z-2|＜2，求实数a 的取值范围.思路分析：本题可以从代数方法入手去掉模得出关于a 的不等式；也可从几何意义出发得出对应的图形，利用数形结合解决.[解法1]利用模的意义，从两个已知条件中消去Z∵Z=3+ai（a∈R ）由｜Z-2｜＜2得｜3+ai-2｜＜2即｜1+ai ｜＜2， ∴221a +＜2,解得3-＜a ＜3.[解法2]利用复数的几何意义，由条件｜Z-2｜＜2可知Z 在复平面内对应的点Z ，在以（2，0）为圆心2为半径的圆内（不包括边界）.如图所示，由Z=3+ai 可知，Z 对应的点在直线x=3上，所以线段AB （除去端点）为动点的集合，由图知3-＜a ＜3.【例3】 已知Z 1=x+5+yi,Z 2=x-5+yi 且x∈R ,y∈R ,|Z 1|+|Z 2|=6,求f(x,y)=|2x-3y-12|的最值.思路分析：本题主要考查复数的几何意义，要结合几何图形来考虑问题.解 ∵|Z 1|+|Z 2|=6 ∴2222)5()5(y x y x +-=++=6.它是2a=6,a=3,c=5,b=2的一个椭圆，其标准方程为4922y x +=1，由椭圆的参数方程知⎩⎨⎧==.sin 2,cos 3θθy x ∴f(x,y)=|2x -3y-12|=｜6cos θ-6sin θ-12|=6|cos θ-sin θ-2|=6|2sin(θπ-4)-2|当θ=4π-时，即x=223,y=2-时， f(x,y)min =6|2-2|=12-62;当θ=43π,即x=-223,y=2时，f(x,y)max =6|2+2| =12+62.绿色通道：确定复数Z 用到两个条件，在应用时可以分别从形和数两个方面进行解析：（1）从形入手，积累一些常见结论是很有必要的.如|Z-Z 1|=|Z-Z 2|表示线段Z 1Z 2的中垂线；|Z-Z 1|=定值，表示以Z 1为圆心的圆.|Z-Z 1|+|Z-Z 2|=2a(2a ＞|Z 1Z 2|)表示以Z 1、Z 2为焦点的椭圆等.（2）从数入手就是设复数的代数形式，将复数问题转化为实数问题，而复数相等是转化的桥梁.（可得到两个实数等式所组成的方程组）.【变式训练】 设虚数Z 满足|2Z+5|=|Z +10|（1）求|Z|的值；（2）若Zm m Z +为实数，求实数m 的值； （3）若（1-2i)Z 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数Z.思路分析：本题主要考查复数的基本运算，设Z=x+yi ，将复数问题转化为实数问题是常见的解题思路.解:（1）设Z=x+yi （x 、y∈R ，且y≠0）则（2x+5）2+（2y ）2=（x+10）2+y 2，得到x 2+y 2=25，∴｜Z ｜=5.（2）∵yix m m yi x Z m m Z +++=+ =)()(2222yx my m y y x mx m x +-+++i 为实数. ∴22yx my m y +-=0.又y≠0且x 2+y 2=25， ∴251m m -=0.解得m=±5. （3）（1-2i ）Z=（1-2i ）（x+yi ）=（x+2y ）+（y-2x ）i依题意得x+2y=y-2x ，∴y=-3x ①又∵｜Z ｜=5即x 2+y 2=25 ② 由①、②得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==2103210y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2103210y x ∴Z=i 2103210-或Z=i 2103210+-问题探究模的几何意义导思：模的几何意义与向量，解析几何的有关问题联系密切.在现在的高考中复数的考查经常出现此类问题.因为模本身表示的是一种长度，向量与解析几何也与图形有关，因此研究此类问题时要联系图形，考查数形结合的思想.探究：（1）|Z|的模表示Z 对应的点到原点的距离.（2）|Z 1-Z 2|表示复平面两点间的距离.（3）|Z-Z 0|=r 表示以Z 0为圆心，r 为半径的圆的方程.（4）|Z-Z 1|=|Z-Z 2|表示线段Z 1Z 2的中垂线的方程.（5）|Z-Z 1|+|Z-Z 2|=2a(a ＞0，且2a ＞|Z 1Z 2|）表示以Z 1Z 2为焦点，a 为长半轴的椭圆方程.（6）Z 1Z 2≠0则|Z 1+Z 2|=|Z 1-Z 2|⇔对应的两个向量1OZ ⊥2OZ .（7）复数Z 1、Z 2、Z 3对应的点分别为A 、B 、C ，则AB 的中点对应的复数为221Z Z +，△ABC 的重心所对应的复数为3321Z Z Z ++.。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.3复数的几何意义课件苏教版
跟踪训练 3
→ → (1)已知复平面内的平面向量OA，AB表示的复数分别是－2＋i,
→ 10 3＋2i，则|OB|＝______.
解析 → → → ∵OB＝OA＋AB，
→ ∴OB表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i，
→ ∴|OB|＝ 12＋32＝ 10.
解析
答案
(2)若 z1＝2＋i，z2＝3＋ai，复数 z2－z1 所对应的点在第四象限上，则实数 a
|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i| ____________________.
解析 ∵3－4i＝x＋yi，
∴x＝3，y＝－4.
则|1－5i|＝ 26 ，|x－yi|＝|3＋4i|＝5，
|y＋2i|＝|－4＋2i|＝2 5 ，
∴|1－5i|>|x－yi|>|y＋2i|.
1
2
3
4
5
解析
答案
四 ___象 4.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第
(1)求|z1|及|z2|的值；
解
|z1|＝| 3－i|＝ 3 ＋－1 ＝2，
2 2
1 |z2|＝－ ＋ 2
3 i ＝ 2
1 2 － ＋ 2
3 2 ＝1. 2
答案
(2)设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点z的集合是什么图形？
28)i在复平面内的对应点分别满足下列条件：
(1)位于第四象限；
解
2 m －8m＋15>0， 由题意，知 2 m ＋3m－28<0，
m<3或m>5， 解得 －7<m<4.
即－7<m<3. 故当－7<m<3时，复数z的对应点位于第四象限.
2017-2018版高中数学第三章数系的扩充与复数3.1.3复数的几何意义学案2-2
3．1。
3 复数的几何意义明目标、知重点 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念。
3。
掌握用向量的模来表示复数的模的方法。
4。
理解共轭复数的概念．1．复数的几何意义（1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2）复数与点、向量间的对应①复数z＝a＋b i（a，b∈R）一一，对应,复平面内的点Z（a,b）；②复数z＝a＋b i(a，b∈R）一一，错误!平面向量错误!＝(a，b）．2．复数的模复数z＝a＋b i(a,b∈R)对应的向量为错误!,则错误!的模叫做复数z的模，记作|z｜,且｜z|＝错误!.3．共轭复数当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用错误!表示，即z＝a＋b i，那么错误!＝a－b i，当复数z＝a＋b i的虚部b＝0时，有z＝z，也就是说，任一实数的共轭复数仍是它本身．[情境导学］我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示,那么复数的几何意义是什么呢？探究点一复数与复平面内的点思考1实数可用数轴上的点来表示,类比一下，复数怎样来表示呢？答任何一个复数z＝a＋b i,都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应．小结建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然,实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．思考2判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上;③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．答根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数,反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点（2，0）表示实数2，因此①③是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点（0，5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数,这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0表示的是实数，故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数，所以②是真命题，④是假命题；对于非纯虚数z＝a＋b i,由于a≠0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上,但当b＝0时，z所对应的点在实轴上，故⑤是假命题．例1在复平面内,若复数z＝（m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点（1)在虚轴上;(2）在第二象限；（3）在直线y＝x上，分别求实数m 的取值范围．解复数z＝（m2－m－2）＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2,虚部为m2－3m＋2。
17学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2复数的几何意义课件新人教A版选修2_2
阶 段 三
3．1 3.1.2
阶 段 二
数系的扩充和复数的概念 复数概念．(易混点) 2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点) 3．掌握复数模的定义及求模公式．
[ 基础· 初探] 教材整理 1 复平面 阅读教材 P104～P104“第 11 行”以上内容，完成下列问题．
[ 探究共研型]
复数的模
探究 1 复平面内的虚轴的单位长度是 1，还是 i? 【提示】 复平面内的虚轴上的单位长度是 1，而不是 i.
探究 2 若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点 P 在第四象限， 则 a 满足什么条件？
【提示】 a
a＋1＞0， 满足 a－1＜0，
复数与平面向量的关系 → → (1)向量OZ1对应的复数是 5－4i，向量OZ2 对应的复数是－5＋4i，则
→ → OZ1＋OZ2 对应的复数是( A．－10＋8i C．0
) B．10－8i D．10＋8i
→ → → (2)复数 4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA与OB，则向量AB表示的复数是 ________. 【导学号：60030074】
解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根 据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复 数．
[ 再练一题] 1→ 2．上例(2)中的条件不变，试求向量－ AB表示的复数． 2 → 【解】 由上例(2)的解析知AB＝(－6，－8)，
1→ 1→ ∴－ AB＝(3,4)，所以向量－ AB表示的复数是 3＋4i. 2 2
【答案】 (3，＋∞)
4．已知复数 z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是 2 2，则点(x，y)的轨迹方程是 ________．
【解析】 ∵|z|＝2 2， ∴ x－22＋y2＝2 2， ∴(x－2)2＋y2＝8.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
m<3或m>5， 解得 －7<m<4.
即－7<m<3. 故当－7<m<3 时，复数 z 的对应点位于第四象限．
2 m －8m＋15<0 (2)由题意，知 2 m ＋3m－28＝0
① ②
由②得 m＝－7 或 m＝4. 因 m＝－7 不适合不等式①， m＝4 适合不等式①， 所以 m＝4. 故当 m＝4 时，复数 z 的对应点位于 x 轴的负半轴上．
复数模及其几何意义的应用
1 3 已知复数 z1＝ 3－i 及 z2＝－ ＋ i. 2 2
复数加减法的几何意义
如图 OZ1 、 OZ 2 分别与复数 a＋bi， c＋di 对应． 问题 1： 试写出 OZ1 、 OZ 2 及 OZ1 ＋ OZ 2 、 OZ1 －
OZ 2 的坐标．
提示： OZ1 ＝(a，b)， OZ 2 ＝(c，d)，
OZ1 ＋ OZ 2 ＝(a＋c，b＋d)，OZ1 － OZ 2 ＝(a－c，b－d)．
2 2 a － c ＋ b － d ＝ ， 即两个复数的差的模就是复平面内与
这两个复数对应的两点间的 距离 ．
1．复平面上点的横坐标表示复数的实部，点的纵坐 标表示复数的虚部． 2．表示实数的点都在实轴上，实轴上的点都表示实 数，它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上，但 虚轴上的点不都表示纯虚数，如原点表示实数 0. 3．在平面向量中，向量的加法、减法的几何解释同 复数加法、减法的几何解释是相同的．
[一点通] 按照复数集和复平面内所有的点组成的集
合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实 数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点， 就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值．
2i 1．(湖北高考改编 )在复平面内，复数 z＝ (i 为虚数单位 ) 1＋i 的共轭复数对应点位于第________象限．
问题 2： 向量 OZ1 ＋ OZ 2 及 OZ1 － OZ 2 所对应的复数分别是什么？
提示：(a＋c)＋(b＋d)i 及(a－c)＋(b－d)i.
1．复数加法的几何意义 设向量 OZ1 ， OZ 2 分别与复数 z1＝a＋bi， z2＝c＋di 对应，且 OZ1 和 OZ 2 不共线．如图， 以 OZ1 ， OZ 2 为邻边画平行四边形 OZ1ZZ2，则其对角线 OZ 所表示的向量 OZ OZ 就是复数 (a＋c)＋(b＋d)i 对应 的向量．
[精解详析] 也是实数．
因为 x 是实数，所以 x2＋x－6，x2－2x－15
若已知复数 z＝a＋bi，则当 a＜0，且 b＜0 时，复数 z 对 应的点在第三象限； 当 a＞0，且 b＜0 时，复数 z 对应的点在第四象限； 当 a－b－3＝0 时， 复数 z 对应的点在直线 x－y－3＝0 上． (1)当实数 x 在第三象限．
2 x ＋x－6＜0， 满足 2 x －2x－15＜0，
即－3＜x＜2 时， 点Z
(2)当实数 x
2 x ＋x－6＞0， 满足 2 x －2x－15＜0，
即 2＜x＜5 时，点 Z 在第四象限． (3)当实数 x 满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0， 即 x＝－2 时，点 Z 在直线 x－y－3＝0 上．
提示：有一一对应关系．
问题 3：复数 z＝a＋bi 与 OZ 有何关系？
提示：也是一一对应．
1．复数与点，向量间的对应关系
2．复数的模 复数 z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量为 OZ ，则 OZ 的模叫
2 2 | a ＋ b i| ＝ a ＋ b 做复数 z 的模(或绝对值)，记作|z|，且|z|＝ .
2．复数减法的几何意义 复数的减法是加法的逆运算，设 OZ1 ，OZ 2 分别与复数 a＋bi，c＋di 相对应，且 OZ1 ， OZ 2 不共线，如图．
则这两个复数的差 z1－z2 与向量OZ1 － OZ 2(等于 Z 2 Z1 ) 对应，这就是复数减法的几何意义． 3．设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1－z2|
复数的几何意义
[例 1] 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2＋x－6＋(x2
－2x－15)i 对应的点 Z 在下列位置？ (1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线 x－y－3＝0 上？ [思路点拨 ] 利用复数与复平面内点之间的对应关系求
解．若已知复数 z＝a＋bi(a，b∈R)，则当 a<0 且 b<0 时，复 数 z 对应的点在第三象限；当 a>0 且 b<0 时，复数 z 对应的 点在第四象限；当 a－b－3＝0 时，复数 z 对应的点在直线 x －y－3＝0 上．
2i1－i 2i1－i 2i 解析：z＝ ＝ ＝ ＝i＋1 的共轭复数 2 1＋i 1＋i1－i 为 1－i，对应的点为(1，－1)在第四象限．
答案：四
2．求当实数 m 为何值时， 复数 z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m －28)i 在复平面内的对应点分别满足下列条件： (1)位于第四象限； (2)位于 x 轴的负半轴上．
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面． x 轴叫做 实轴 ， y 轴叫做 虚轴 ， 实轴上的点都表示 实数 ； 除 原点 外，义
已知复数 z＝a＋bi(a，b∈R)． 问题 1：在复平面内作出复数 z 所对应的点 Z.
提示：如图所示．
问题 2：向量 OZ 和点 Z 有何关系？
3.3
理解教材 新知
知识点一
知识点二 知识点三 考点一 考点二 考点三
第 3 章
复 数 的 几 何 意 义
把握热点 考向 应用创新 演练
3.3
复数的几何意义
复平面的定义
问题 1：平面向量可以用坐标表示，试想复数能用坐 标表示吗？
提示：可以． 问题 2：试说明理由．
提示：因复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b) 惟一确定，由(a，b)与平面直角坐标系点一一对应，从而复 数集与平面直角坐标系中的点集之间一一对应．