工程流体力学-禹华谦-习题答案-第6章

第六章理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为 Vx=4x+1; Vy= =-4y.

(1)该流动满足连续性方程否？(2) 势函数$、流函数p存在否 ？( 3)求$、p Vx 解：(1)由于 Vv 4 4 0 故该流动满足连续性方程

x v

1 (2)由 3 z=(- Vv Vx 1 / / )=—(4 4) = 0, 故流动有势，势函数$存在，由于该流

2 x V 2

动满足连续性方程， 流函数p存在，.

(3 )因 Vx --- -4x+1

x v

Vy= - =-4y V x

d $ - dx+—— dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy

x v

Vxdx+Vydy= (4x+1)dx+(-4y)dy 2 2 =2x -2y +x

d p = --- dx+ ---- dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy x y

-Vydx+Vxdy= 4ydx+(4x+1)dy =4xy+y 6-2 平面不可压缩流体速度分布 ： 2 2 Vx=x -y +x; Vy=_(2xy+y).

(1)流动满足连续性方程否 ？ (2) 势函数$、流函数P存在否 ？ (3)求$、p 解：(1)由于-Vx =2x + 1—( 2x+ 1)= 0,故该流动满足连续性方程，流动存在 x x

1 Vv Vx 1 (2 2 6( x -；)=：( ^ ( 2y)) = 0，故流动有势，势函数皿在，由

于该流动满足连续性方程，流函数P也存在

—dx+ ——dy= x y

—dx+ ---- dy= x y (3) 因 Vx= —— = ------ =x 2-y 2+x, Vy= ——=- ----- =-(2xy+y). x y y x

2 2 d Q =——dx+ ——dy=Vxdx+Vydy=(x -y +x )dx+(_(2xy+y).)dy

x y

3 =—-xy 2+(x 2-y 2)/2 3

d p = --- dx+ ---- dy=-Vydx+Vxdy x y

p = d p = -- dx+ 一 dy= - Vydx+Vxdy = 2 2

(2xy+y)dx+ (x -y +x)dy x y

=x y+xy-y /3 2 及B(2,2)点处的速度值 6-3平面不可压缩流体速度势函数 Q =x -y -x,求流场上 A(-1,-

1), 及流函数值

解:因 Vx=——= --------- =2x-1 , Vy 一 —— 2y ，由于- + 一 0，该流动满 x y y x x x

足连续性方程，流函数”存在 d p = --- dx+ ----- dy=-Vydx+Vxdy x y

p = d p = -- dx+ - ——dy= -Vydx+Vxdy= 2ydx+(2x-1)dy=2xy-y x y

在点(-1,-

1) 处 Vx=-3; Vy=2; p =3

在点(2,2) 处 Vx=3; Vy=-4; p =6

6-4已知平面流动速度势函数 Q =- Q lnr,写出速度分量 Vr,V e ,q为常数。 2

解：Vr= — =- L, V 0 =——==0

r 2 r r

6-5已知平面流动速度势函数 Q =-m 0 +C ,写出速度分量 Vr、V , m为常数

解：Vr= —— =0, V 0 =——==-

m

r r r

6-6已知平面流动流函数P =x+y,计算其速度、加速度、线变形率& xx, £ yy,求出速度势函数

—dx+ ——dy= x y Vxdx+Vydy =

2 2

(x -y +x )dx+(- (2xy+y))dy Vy= ——= ---------- =-2x y x

d ( = — dx+ — dy=Vxdx+Vydy x y

(= d ( x dx+ 一 —dy= y Vxdx+Vydy= -2ydx+(-2x)dy=-2xy

dVx Vx Vx- Vx Vy Vx 4x

a x=

dt t x y

a yM - Vy Vx Vy Vy- Vy 4y;

dt t x y

6-8 一平面定常流动的流函数为

(j). 解：因 Vx= 一 = 一 = 1

x y

Vy= _ =- ____ =-1 y x

d (=——dx+ ——dy=Vxdx+Vydy x y

(= d (= ——dx+ ——dy= Vxdx+Vydy= dx+(_1)dy=x_y

x y

Vx Vy

xx , yy x y

dVx a x=— dt Vx t

a =dVy a y ----------

dt

Vy t

6-7已知平面流动流函数“ =x2-y2,计算其速度、加速度 ,求出速度势函数（.

解： 因Vx=——

x —=-2y

y (x,y) 、、3x y 试求速度分布，写出通过 A (1, 0),和B (2, 3 )两点的流线方程.

解：v 1 , Vy ——、3

y x

平面上任一点处的速度矢量大小都为、.12 (. 3)2 2，与x和正向夹角都是 arctan( ..3/1) 60°。 A点处流函数值为 ,3? 1 0 ..、3，通过A点的流线方程为 3x y , 3。同

样可以求解出通过 B点的流线方程也是 、、3x y .3。 6-9已知流函数” =V a (ycos a -xsin a ),计算其速度，加速度，角变形率 (xy = yx=X( -匕))，并求速度势函数0 .

2 x y

Vy= ——= -------- =V a sis a y x

d 0 =——dx+ ——dy=Vxdx+Vydy x y

Vxdx+Vydy= V a cos a dx+ sis a dy

6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。 解：不可压缩三维流动的连续性方程为

解： 因Vx=——

x -- =V a cos a

y

dx+ ——dy= y

=V a ( COS a x+ sis a y)

dVx x= dt

Vx 、， Vx

Vx --- t x

_dVy y=— dt

Vy VX 卫

t x 0;

xy 亠 v

y )=0 vx vy

x y

vz 0

将关系

v

x, 一

y z x

() () ()0

x x y y z z

2 2 2 或一2 - 2 2

0

x y z

可见不可压缩有势流动的势函数是 调和函数。 6-11 什么样的平面流动有流函数 ？

答： 不可压缩平面流动在满足连续性方程

vx vy 0

x y

或vx (-vy)

x y

的情况下 平面流动 有流函数. 6-12 !什么样的空间流动有势函数 ？

答： 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量

x y z 0,或关系

vz vy

J vx v

z

y z z x

数•

6-13 i已知流函数” =-q ,计算流场速度.

2

解:

Vr= =_ q

r 2 r

V 9 = ----- =0 r 2 6-14

-vz代入上式得到

z

x i+ y j+ z k都是零矢量，即 Vx成立,这样的空间流动有势函

y

=ax(x 2-3y 2),a<0,试确定流速及流函数，并求通过连 接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量 2 2 解： 因 Vx=—— ——=a(3x -3y )

x y

Vy= —= ----- =-6axy y x

2 2 d p = ------- dx+ ---- dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x -3y )dy

x y