2005女子数学奥林匹克
特级教师，中国数学奥林匹克高级教练邹宗孟培养的金方舟--获上海市高中数学竞赛满分高一学生
特级教师，中国数学奥林匹克⾼级教练邹宗孟培养的⾦⽅⾈--获上海市⾼中数学竞赛满分⾼⼀学⽣
⾦⽅⾈--获上海市⾼中数学竞赛满分⼀等奖的⾼⼀学⽣
⾦⽅⾈：……初三下学期我遇到了被称为“⾦牌教练”的邹宗孟⽼师，他那独特的数学思维训练⽅法使我领略到数学天地的奥妙⽆穷。
……
(照⽚省略）
2004/8 获中国数学奥林匹克第四届夏令营竞赛三等奖
2005/4 获上海市⾼中数学竞赛满分⼀等奖
2005/8 获中国数学奥林匹克第五届夏令营竞赛⼀等奖
2005/10 获2005年全国⾼中数学联合竞赛⼆等奖
2006/4 获上海市⾼中数学竞赛⼆等奖
2006/10 获得者2006年全国⾼中数学联赛⼀等奖.
2007/4 获上海市⾼中数学竞赛⼆等奖
2007/6 直升清华⼤学后⼜被法国总领事选中,赴法国，进世界超级名牌⼤学-法国⾼师留学.。
国际奥林匹克数学竞赛
国际奥林匹克数学竞赛国际数学奥林匹克竞赛，英文名：International Mathematical Olympiad，简称：IMO。
“数学奥林匹克”的名称源自苏联，其将体育竞赛、科学的发源地——古希腊和数学竞赛相互关联。
在20世纪上半叶，不同国家相继组织了各级各类的数学竞赛，先在学校，继之在地区，后来在全国进行，逐步形成了金字塔式的竞赛系统。
从各国的竞赛进一步发展，自然为形成最高一层的国际奥林匹克竞赛创造了必要的条件。
1994年，美国奥数队首次创下了IMO历史上全队6人满分的出色成绩。
[6]2022年7月15日，2022年第63届IMO最终成绩公布，中国队6名选手全部获得满分，中国队以252分的成绩获得团队总分第一名。
1956年罗马尼亚数学家罗曼教授提出了倡议，并于1959年7月在罗马尼亚举行了第一次国际奥林匹克数学（International Mathematical Olympiad 简称IMO），当时只有保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联参加。
以后每年举行（中间只在1980年断过一次），参加的国家和地区逐渐增多，参加这项赛事的代表队达80余支。
中国第一次参加国际数学奥林匹克是在1985年。
经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。
历届赛事编辑播报罗马尼亚的Brasov和布加勒斯特(1959)，7个国家参赛罗马尼亚Sinaia(1960)匈牙利Veszprem(1961)捷克斯洛伐克Ceske Budejovice(1962)波兰的华沙和Wroclaw(1963)苏联莫斯科(1964)东德柏林(1965)保加利亚索菲亚(1966)南斯拉夫Cetinje(1967)苏联莫斯科(1968)罗马尼亚布加勒斯特(1969)匈牙利Keszthely(1970)捷克斯洛伐克Zilina(1971)波兰Torun(1972)苏联莫斯科(1973)德意志民主共和国的Erfurt和东柏林(1974)保加利亚的Burgas和索菲亚(1975)奥地利Linz(1976)南斯拉夫贝尔格勒(1977)罗马尼亚布加勒斯特(1978)英国伦敦(1979)美国华盛顿(1981)匈牙利布达佩斯(1982)法国巴黎(1983)捷克斯洛伐克布拉格(1984)芬兰Joutsa(1985)波兰华沙(1986)古巴哈瓦那(1987)澳洲坎培拉(1988)西德Brunswick(1989)中国北京市(1990)，54个国家参赛瑞典Sigtuna(1991年7月12-23日)，55个国家参赛俄罗斯莫斯科(1992年7月10-21日)，56个国家参赛土耳其伊斯坦堡(1993年7月13-24日)，73个国家参赛中国香港特别行政区(1994年7月8-20日)，69个国家参赛加拿大多伦多(1995年7月13-25日)，73个国家参赛印度孟买(1996年7月5-17日)，75个国家参赛阿根廷马德普拉塔(1997年7月18-31日)，82个国家参赛中国台湾省台北市(1998年7月10-21日)，76个国家参赛罗马尼亚布加勒斯特(1999年7月10-22日)，81个国家参赛大韩民国大田(2000年7月13-25日)，82个国家参赛美国华盛顿(2001年7月1-14日)，83个国家参赛英国格拉斯哥，84个国家参赛(2002年7月19-30日)日本东京(2003年7-19日)，82个国家参赛希腊雅典(2004年6-18日)，85个国家参赛墨西哥坎昆(2005年7月8-19日)，98个国家参赛斯洛文尼亚卢布尔雅那(2006)越南(2007)西班牙(2008)德国不莱梅(2009)哈萨克斯坦首都阿斯塔纳（2010），95个国家的522名选手参赛荷兰阿姆斯特丹（2011）阿根廷马德普拉塔（2012）哥伦比亚圣玛塔（2013）南非开普敦（2014）泰国清迈（2015）中国香港（2016）巴西里约热内卢（2017）罗马尼亚克鲁日纳波卡（2018）英国巴斯（2019）挪威奥斯陆（2022）历届冠军编辑播报(1977-2019)[1]1977:美国1982:西德1983:西德1987:罗马尼亚1988:苏联1989:中国1990:中国1991:苏联1992:中国1993:中国1995:中国1996:罗马尼亚1997:中国1998:伊朗1999:中国/俄罗斯2000:中国2001:中国2002:中国2003:保加利亚2004:中国2005:中国2006:中国2007:俄罗斯2008:中国2009:中国2010:中国2011:中国2012:韩国2013:中国2014:中国2015:美国2016:美国2017:韩国2018:美国2019:中国[2]/美国2020:中国[3] 2022中国。
换元法在数学竞赛中的若干运用(李鑫)
换元法在数学竞赛中的若干运用摘要：在中学数学竞赛中，换元法作为一种重要的解题方法，有着能够将数学问题化繁为简，化难为易的作用。
本文论述换元法在中学数学竞赛中的若干种运用，主要从自身换元、局部换元、整体换元、常值换元、均值换元、参数换元、比值换元及其功能分类等八个方面来论述.关键词：换元法、数学竞赛Abstract前言从往年的竞赛试题看，初中竞赛和高中竞赛题需要用到换元法来求解的问题是相当多的。
在计算题、解高次方程、解无理方程、求函数解析式、不等式的证明、数列等题型中经常能过发挥重要的作用。
通过换元法可以达到化高次为低次，化分式为整式，化无理式为有理式，化超越式为代数式的转化。
这里我仅结合数学竞赛中常出现的一些题型来谈一谈它在数学竞赛中的一些运用.1.换元法的定义及其相关概念1.1换元法的定义所谓换元法（substitution method; substitution; changing yuan）是一种设辅助元素，把题中一个（些）字母的表达式用另外的一个字母（些）字母的表达式来代替，从而达到把要求解的问题简单化，建立已知和未知的联系的方法.在解决数学竞赛试题时，有时我们直接按原始的方法去解决问题会显得比较繁琐和困难，或者原问题所给已知条件不易得出最后结果，或者所给问题不好下手，那么这时如果我们能够引人新的“元”代替旧的“元”，使得建立在“新元”基础上的条件和问题得到了化繁为简、化难为易，容易得出最后的正确结果。
这就是换元法之所在.1.2换元法的基本思想化繁为简、化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式、化不熟悉为熟悉.1.3换元法的一般步骤①构造新元②解答③求出原解转化代价代换2.换元法的分类及典例分析2.1从结构上划分2.1．1自身换元法在数学竞赛中，我们经常会遇到一些很繁杂的计算题，如果按照原始的方法去计算，如果按照原始的方法去计算，将会使计算过程变的复杂难解，甚至不能得到最后的正确结果，这时我们常会用到“自身换元法”。
华二数学封面人物
华二数学封面人物北大数院韦神，如今可以说是炙手可热的数学天才。
白水加馒头成为许多人认识他的标签。
其实，当年北大还有一位和韦东奕齐名的数学天才。
他，就是xxx。
xxx高中毕业上海华东师大二附中理科班，初中毕业于市北初级中学。
xxx从小表现出了超人的数学天赋：2000年获第7届华杯赛一等奖2002高中数赛一等奖（上海市第三名，二试满分，2004年也是）2005中国数学奥林匹克一等奖，2005年9月～2006年6月北京大学数学系2006年6月麻省理工，参加普特南数学竞赛，得分名列第一，获2500美元奖金。
2005年第46届国际数学奥林匹克大赛（IMO）上的惊人表现真正让他一战成名，18岁就迎来了人生巅峰。
此外，他还有一个title叫北大校草，一位颜值和实力并存的奇才。
当时，作为中国队学生队长的xxx带领团队拿下六道题目的满分成绩，韦神参加的是第49届IMO国际数学竞赛，也是取得了当年6道大题满分成绩。
可以说，xxx算是韦神的老学长了，但是他的经历更精彩。
2005年，xxx被保送到了北大数学系，因为长相出众，被大家称为北大校草。
在北大学习了仅一年，他就转学去了麻省理工（MIT），并在普特南数学竞赛（Putnam Competition）中拿到了最高分。
2009年，xxx直博哈佛。
在读期间，他也在学校中承担讲师的工作。
直到2014年哈佛毕业时，他拿到了普林斯顿大学的邀请，开始攻读博士后。
值得一提的是，xxx不仅在普林斯顿大担任助教，而且还连续四年获得优秀教学奖。
在完成博士后生涯后，xxx毅然选择回国任教。
现在的xxx是清华丘成桐数学科学中心的一名副教授。
SMC BMO-2 英国数学奥林匹克竞赛-数学Mathematics-2005-试题 exam
2005 British Mathematical Olympiad Round 2
1. The integer N is positive. There are exactly 2005 ordered pairs (x, y ) of positive integers satisfying 1 1 1 + = . x y N Prove that N is a perfect square. 2. In triangle ABC , BAC = 120◦ . Let the angle bisectors of angles A, B and C meet the opposite sides in D, E and F respectively. Prove that the circle on diameter EF passes through D. 3. Let a, b, c be positive real numbers. Prove that a b c 2 1 1 1 . ≥ (a + b + c) + + + + b c a a b c 4. Let X = {A1 , A2 , . . . , An } be a set of distinct 3-element subsets of {1, 2, . . . , 36} such that i) Ai and Aj have non-empty intersection for every i, j . ii) The intersection of all the elements of X is the empty set. Show that n ≤ 100. How many such
柳智宇：国际奥数比赛中拿满分，保送北大数学系，毕业后当了和尚
柳智宇：国际奥数比赛中拿满分，保送北大数学系，毕业后当了和尚“天才”二字，可遇而不可求。
作为家长，我们都有一颗望子成龙、望女成凤的美好心愿。
不过，现实中的少年天才却如同凤毛麟角，多半是书本或是新闻中的人物。
昔日的风云少年柳智宇，便是一位“别人家的孩子”，他曾以满分的成绩摘得国际数学奥赛金牌，高中毕业后即被保送到北大数学系。
然而，这位传奇人物的人生轨迹，却并没有按照“剧本”进行。
就当所有人都觉得这位天才少年将继续自己的开挂人生时，刚刚走出大学校园的柳智宇，却毅然决然地选择了遁入空门，跑到龙泉寺当起了和尚。
如此巨大的反差，着实令人瞠目结舌。
2005年，柳智宇正在读高二。
那一年，他参加了第31届国际数学奥林匹克循环赛。
在比赛中，柳智宇表现的十分出色，为中国队拿下了一枚宝贵的金牌。
第二年，鉴于柳智宇的出色表现，他又被选入数学奥林匹克塞的国家队，意气风发地参加了国际中学生数学奥林匹克竞赛。
在2006年的比赛中，柳智宇和各国少年英才在斯洛文尼亚展开角逐。
这次对决中，德国对中也有一位十分强劲的选手，那就是被誉为德国数学天才的舒尔茨。
经过紧张激烈的较量，柳智宇击败了对方，再次为中国队斩获一枚金牌，也成功捍卫了自己的冠军地位。
由于表现出色，再次夺冠后的柳智宇，被保送到了北京大学数学系。
进入北京大学后，柳智宇的优秀一如既往，并没有成为第二个“仲永”。
他不仅在本专业表现突出，在学校表现地也比较积极，而且成功拿到了麻省理工学院全额奖学金，再次让光环闪耀在了他的头顶。
然而，令所有人大跌眼镜的是，柳智宇大学毕业后并没有出国深造，而是毅然决然地跑到龙泉寺。
起初，柳智宇在此做修行居士，之后又选择了出家为僧，做起了真正的僧侣，取法名“贤宇”。
柳智宇出家的消息，在当时掀起了更大的轰动。
毕竟，曾经在国际奥数赛上拿满分、保送北大名校的天才少年，刚走出大学校园便跑去做了和尚，实在令人不解！为此，当时即有记者专门赴龙泉寺进行采访。
令记者吃惊的是，同在寺中出家的“贤栋”法师向记者表示，并不知道贤宇有着北大毕业生的身份。
小学奥数的书大全
学奥数这里总有一本适合你奥数图书出版大事记2000年 《奥数教程》（10种）第一版问世2001年 《奥数教程》获优秀畅销书奖2002年 《奥数教程》在香港出版繁体字版和网络版2002年 《奥数测试》（第一版）出版2003年 《奥数教程》（第二版）出版，并开展“有奖订正”、“巧解共享”活动2003年 《奥数教程》（3~6年级）VCD出版2003年~ 陆续出版由IMO中国国家集训队教练组编写的《走向IMO：数学奥林匹克试题集锦》2005年 “奥数”图书累计销量近1000万册2005年 出版《数学奥林匹克小丛书》（30种）2006年 《奥数教程》（第三版）、《奥数测试》（第二版）出版2006年 《数学奥林匹克小丛书》（12种）繁体字版在台湾出版2007~2008年 《多功能题典》丛书中的小学、初中和高中数学竞赛相继出版2008年 《日本小学数学奥林匹克（六年级）》出版2009年~ 《高中数学联赛备考手册（预赛试题集锦）》陆续出版2009年 《Mathematical Olympiad in China》、《Problems of Number Theory in Mathematical Competitions》和《Graph Theory》相继与新加坡世界科技出版公司联合出版2010年 《全俄中学生数学奥林匹克（1993~2006）》出版2010~2011年 《高思学校竞赛数学课本》和《高思学校竞赛数学导引》（3~6年级）相继出版2011年 《从课本到奥数》（1~9年级A、B版）出版2011年 《初中数学联赛考前辅导》和《高中数学联赛考前辅导》出版学奥数，这里总有一本适合你2000年华东师范大学出版社出版了《奥数教程》丛书，首次在书名中使用“奥数”一词。
《奥数教程》由国家集训队教练组执笔联合编写，获得第十届全国教育图书展优秀畅销图书奖，深受读者喜爱，被奉为经典奥数蓝皮书。
自《奥数教程》出版以来，华东师范大学出版社聚集国内最顶尖的作者团队，陆续为不同层次、不同需求的读者打造了近200种奥数图书, 形成多品种、多层次、全系列的格局，“奥数”图书累计销量超1000万册，由此奠定了奥数品牌出版社的地位。
我国12位出家高材生,震惊了谁
我国12位出家高材生，震惊了谁？1.释常善，俗名史玉庆，生于1962年8月，河北邯郸武安人。
中国石油大学本科毕业，后于大庆石油学院任教。
1987-1990年，在中国人民大学工商管理学系读外经所87级研究生。
毕业后前往上海创业，通过积累开办了投资公司和复旦大学新技术发展公司，资产颇丰、生活幸福。
因悲悯众生，不忍众生于三界火宅中轮回故，2009年毅然净身出户，出家弘扬般舟三昧。
发大悲愿代一切有情无情众生受一切苦、一切业、一切难、一切报，炽燃身心、身受剧痛而不悔。
现任宝峰寺、金禅寺、延古寺等多家寺院的主持。
2.释大安，俗名魏磊，生于1959年3月，江西南昌人。
1978年9月——1982年7月，在江西大学读本科；1982年9月——1985年7月，在江西省委党校哲学教研室任助教；1985年9月——1987年7月，在中国人民大学哲学系读研究生；1987年9月——1991年12月，在北京警察学校理论部任讲师；1992年2月——1999年12月，在中国金融学院理论部任副教授；2000年2月——2001年8月，在对外经济贸易大学任教授；2001年9月——现在，出家为僧，现为江西庐山东林寺代住持。
1994年9月始，被聘任为中国佛学院教授，主讲净土宗。
2000年于对外经济贸易大学就任教授。
2001年9月出家为僧！2002年代理东林寺住持职务。
2011年12月11日任东林寺住持、方丈。
3.明证法师，1949年4月27日生于内蒙古包头市，先后毕业于内蒙古师范学院中文系、内蒙古师范大学中文系。
因受《六祖坛经》的影响，决志出家修行。
1977年大学中文系毕业后在中学教语文；1993年2月在赵州祖庭柏林禅寺披剃于净慧法师座下；同年8月在河南白马寺受具足戒，回寺后任监院。
4.释大愿，1971年出生，原籍湖南，湖南财经学院毕业。
1988年大愿法师就读于湖南财经学院；1990年8月依湖南岐山仁瑞寺天柱老和尚座下剃度；1995年农历四月初八大愿师升座荣任仁瑞寺方丈，时年24岁，成为了中国佛教界中最年青的方丈大和尚之一；2004年农历四月二十五，大愿升座荣任四会六祖禅寺首任方丈。
历届北方数学奥林匹克试题
目录2005年北方数学奥林匹克 (2)2006年北方数学奥林匹克 (4)2007年北方数学奥林匹克 (6)2008年北方数学奥林匹克 (7)2009年北方数学奥林匹克 (10)2010年北方数学奥林匹克 (13)2011年北方数学奥林匹克 (15)2012年北方数学奥林匹克 (17)2005年北方数学奥林匹克1.AB是⊙O的一条弦，它的中点为M，过点M作一条非直径的弦CD，过点C和D作⊙O的两条切线，分别与直线AB相交于P、Q两点.求证：P A=QB.（裘宗沪供题）2.定义在R上的函数f(x)满足：（1）f(0)=0;（2）对任意xx∈(−∞,−1)∪(1,+∞)，都有f�1x�+f�1y�=f(x+y1+xy)；（3）当x∈(−1,0)时，都有f(x)>0.求证：f�119�+f�129�+⋯+ f�1n2+7n+11�>f(12)，其中n∈N+. （刘贵谭祖春供题）3.在公差为d(d>0)的整数等差数列a1,a2,⋯,a3n(n≥2)中，任取n+2个数.证明：其中必存在两个数a i、a j(i≠j)，满足不等式1<�a i−a j�nn<2. （刘康宁安振平供题）4.已知n位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5}中的元素，设含有数字5且在5的前面不含3的n位数的个数为f(n).求f(n).（蒋西明供题）5.如果三个正实数x、y、z满足x2+xx+x2=254，x2+xy+y2=36，y2+yx+x2=1694.求xx+xy+yx的值. （张同君供题）6.设0≤α、β、γ≤π2，ccc2α+ccc2β+ccc2γ=1.求证：2≤（1+ccc2α）2cin4α+（1+ccc2β）2cin4β+（1+ccc2γ）2cin4γ≤(1+ccc2α)(1+ccc2β)(1+ccc2γ)（谭祖春供题）2006年北方数学奥林匹克1. 如图1，AB 为⊙O 的直径，非直径的弦CC ⊥AA ，E 是OC 的中点，连结AE 并延长交⊙O 于点P ，连结DP 交BC 于点F .求证：F 是BC 的中点.图12. 设p 是大于2的质数，数列{a n }满足na n+1=(n +1)a n −(p 2)4.求证：当a 1=5时，16|a 81. 3. 已知AD 是△ABC 的边BC 上的高，且AC +AC =AA +AC .求∠A 的取值范围.4. 设函数f (x )=x 2+ax +b (a 、b ∈R ).若存在实数m ，使得|f (m )|≤14，且|f (m +1)|≤14，求Δ=a 2−4b 的最大值和最小值.5. 已知正数a 、b 、c 满足a +b +c =3.求证：a 2+92a +(b+c )+b 2+92b +(c+a )+c 2+92c 2+(a+b )2≤5. 6. 组委会说明试题有误.7. 是否可以将正整数1,2,⋯,64分别填入8×8的64个方格 ，使得凡具备“”形的四个方格（方向课以任意转置）内的数之和都能被5整除？8. 已知数列{a n }满足a k+1=a k +12006a k 2，a 0=12，k ∈N .求证：A1−12008<a2006<1.1.在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高.以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N是AN=AM.证明：AN⊥CN.2.设△ABC三边长分别为a、b、c，且a+b+c=3.求f(a,b,c)=a2+ b2+c2+43abc的最小值.3.在数列{a n}中，a n+1=a n2a n+1(n∈N).求证：当0≤n≤1004时，有[a n]=2007−n（其中[x]表示不超过x的最大整数）.4.平面上每个点被染为n中颜色之一，同时满足：（1）每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；（2）至少有一条直线上所有的点恰为两种颜色.求n的最小值，使得存在互不同色的4个点共圆.5.设α,β∈(0,π2)，求A=(1−�tanα2tanβ2)2cctα+cctβ的最大值.6.已知f(x)=ll(x+1)−12lcl3x.（1）解方程f(x)=0；（2）求集合M={n|f(n2−214n−1998)≥0,n∈Z}.7.设n是正整数，a=�√n�（其中[x]表示不超过x的最大整数），求同时满足下列条件的n的最大值：（1）n不是完全平方数；（2）a3|n28.设△ABC的内切圆半径为1，三边长AC=a，CA=b，AA=c.若a、b、c都是整数，求证：△AAC为直角三角形.1. 如图1，⊙O 是梯形ABCD 的内切圆，切点分别为E 、F 、G 、H ，AB ∥CD .作BP ∥AD 交DC 的延长线于点P ，AO 的延长线交CP 于点Q .若AD =AD ，求证：∠CAQ =∠PAQ .图1 （张利民 供题）2. 已知∠A 、∠A 、∠C 是△AAC 的三个内角.证明：tan A 2+tan B 2+tan C 2√3≥�tan 2A 2+tan 2A 2+tan 2C 26 （张 雷 供题）3. 给定三角形数表如图2：1 2 3 4 ⋯ 97 98 99 100 3 5 7 ⋯ 195 197 199 8 12 ⋯ 392 396 20 ⋯ 788 ⋱ ⋯ ⋰ ⋱ ⋰ M图2其中，第一行各数依次是1,2,⋯,100，从第二行起，每个数分别等于它上面一行左、右两数的和.求M 的值.（焦和平 供题）4.证明：（1）存在无穷个正整数n，使n2+1的最大质因子小于n；（2）存在无穷个正整数n，使n2+1|n!. （张雷供题）5.如图3，已知□ABCD，过A、B、C三点的⊙O1分别交AD、BD 于点E、F，过C、D、F三点的⊙O2交AD于点G，设⊙O1、⊙O2R222.的半径分别为R1、R2.求证：AG图3（吕建恒刘康宁供题）6.设a、b、c为直角三角形的三边长，其中，c为斜边长.求使得a3+b3+c3abc≥k成立的k的最大值.（李铁汉供题）7.设n是正整数，整数a是方程x4+3ax2+2ax−2×3n=0的根.求所有满足条件的数对(n,a).（李铁汉供题）8.给定由n(n+1)2个点组成的正三角形点阵（如图4），记以点阵中三个点为顶点的所有正三角形的个数为f(n)，求f(n)的表达式.图4（张利民供题）2009年北方数学奥林匹克1. 设数列{x n }满足x 1=1，x n =�x n−12+x n−1+x n−1(n ≥2).求数列{x n }的通项公式. （张 雷 供题）2. 如图1，在锐角△ABC 中，已知AA >AC ，cccA +cccC =1，E 、F 分别是AB 、AC 延长线上的点，且满足∠AAF =∠ACD =90°.（1） 求证：AD +CF =DF ；（2） 设∠DAC 的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分∠ACF .图1（刘康宁 吕建恒 徐庆金 供题）3. 已知有26个互不相等的正整数，其中任意六个数中都至少有两个数，一个数整除另一个数.证明：一定存在六个数，其中一个数能被另外五个数整除.（张同君 供题）4. 船长和三位水手共得到2009枚面值相同的金币.四人商定按照如下规则对金币进行分配：水手1、水手2、水手3每人写下一个正整E数分别为b 1、b 2、b 3，满足b 1≥b 2≥b 3，且b 1+b 2+b 3=2009；船长在不知道水手写的数的情况下，将2009枚金币分成3堆，各堆数量分别为a 1、a 2、a 3，且a 1≥a 2≥a 3.对于水手k (k =1,2,3)，当b k <a k 时，可以从第k 堆拿走b k 枚金币，否则不能拿.最后所有余下的金币归船长所有.若无论三位水手怎样写数，船长总可以确保自己拿到n 枚金币.试确定n 的最大值，并证明你的结论. （张 利 供题）5. 如图2，在给定的扇形AOB 中，圆心角为锐角.在弧AB 上取异于A 、B 的一点C ，在线段OC 上取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ ∥AP 交射线OC 于点Q .证明：封闭图形OAQPBO 的面积与点C 、P 的选取无关.图2 （徐庆金 供题）6. 设x 、y 、z >0，且x 2+x 2+y 2=3，求证：∑x 2009−2008(x−1)y+z ≥12(x +x +y ). （杨海滨 贾应红 供题）7. 记[m ]为不超过实数m 的最大整数.设x 、y 均为正实数，且对所有的正整数n ，都有[x [nx ]]=n −1成立.证明xy =1，且y 是大于1的无O理数.（刘康宁供题）8.求能被209整除且各位数字之和等于209的最小正整数.（张雷供题）2010年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}满足a1=2，a n=22n a n−1+2n2n(n=2,3,⋯).求通项a n(n=1,2,⋯). （吴树勋供题）2.已知PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，PCD是⊙O的一条割线，过点C作PA的平行线，分别交弦AB、AD于点E、F.求证：CD=DF.（李新焕供题）3.求所有的正整数(x,x,y)，使得1+2x×3y=5z成立.（张雷供题）4.在7×7的方格表的64个网格线交点（称为“结点”）处放棋子，每点至多放1枚，一共放了k枚棋子.若无论怎样放，总存在4枚棋子，它们所在的结点构成一个矩形（矩形的边平行于棋盘网格线）的四个顶点.试求k的最小值.（张利民供题）5.设正实数a、b、c满足(a+2b)(b+2c)=9.求证：�a2+b22+2�b3+c323≥3.（张雷供题）6.已知⊙O是△ABC的内切圆，D、E、N是切点，连结NO并延长交DE于点K，连结AK并延长交BC于点M.求证：M是BD的中点.（康春波供题）7.求[x,x,y]=(x,x)+(x,y)+(y,x)满足x≤x≤y,(x,x,y)=1的所以正整数解，其中，[m,n]和(m,n)分别表示正整数m、n的最小公倍数和最大公约数.（王全供题）8.设x、x、y∈[0,1]，且|x−x|≤12，|x−y|≤12，|y−x|≤12.试求W=x+x+y−xx−xy−yx的最小值和最大值.（刘康宁安振平供题）2011年北方数学奥林匹克1.已知数列{a n}的通项a n=(√3+√2)2n(n∈N+)，设b n=a n+1a n. （1）试求b n+2、b n+1、b n之间的递推关系；（2）求a2011整数部分的个位数字.（刘洪柱供题）2.如图1，△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB、于点D、E、F，P 为内切圆内一点，线段PA、PB、PC分别于内切圆交于点X、Y、Z.证明：XD、YE、ZF三线共点.图1（徐庆金供题）3.求不定方程1+2x×7y=y2的全部正整数解(x,x,y). （翁世有供题）4.设n个集合A1,A2,⋯,A n是集合A={1,2,⋯,29}的一个分划，且A i(i=1,2,⋯,n)中任意个元素之和都不等于30.求n的最小可能值. 【注】若集合A的非空子集A1,A2,⋯,A n(n∈N+,n≥2)满足A i∩A j=∅(i≠j)，A1∪A2∪⋯∪A n=A，则称A1,A2,⋯,A n是集合A的一个分划.（张雷供题）5. 若正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称(a ,b ,c )为勾股数组.求含有30的所有勾股数组. （杨春宏 供题）6. 如图2，过点P 引的切线P A 和割线PBC ，AC ⊥PP ，垂足为D .证明：AC 是△ABD 外接圆的切线.图2（吕建恒 供题） 7. 在△ABC 中，证明：11+ccs 2A+ccs 2A +11+ccs 2A+ccs 2C +11+ccs 2C+ccs 2A ≤2.（安振平 供题） 8. 已知n 是正整数，实数x 满足�1−|2−⋯|(n −1)−|n −x ||⋯|�=x .求x 的值. （张利民供题）P2012年北方数学奥林匹克1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，I是内心.直线BI交AC于D，作DE平行于AI交BC于E，直线EI交AB于F.证明：DF垂直于AI.图12.正整数x1,x2,⋯,x n(n∈ℕ+)，满足x12+x22+⋯+x n2=111，求S=x1+x2+⋯+x n n的最大可能值.3.设S={x|x=a2+ab+b2,a,b∈ℤ}.求证：(1)若m∈S,3|m，则3m∈S；(2)若m,n∈S，则m⋅n∈S.4.平面上有n(n≥4)条直线，对于直线a，b，在余下的n-2条直线中，如果至少存在两条直线与直线a，b都相交，则称直线a，b是相合的直线对，否则称其是相离的直线对.若n条直线中相合直线对的个数比相离直线对的个数多2012.求n的最小可能值（直线对中的两条直线不计顺序）.5.已知数列{a n}:a0=0,a n=1a n−1−2,n∈ℕ+，在数列{a n}中任意取定一项a k，构造数列{b n}:b0=a k,b n=2b n−1+1b n−1,n∈ℕ+.试判断数列{b n}是有限数列还是无穷数列？并给出证明.6.设n是正整数，证明�1+13��1+13�⋯�1+13�<2.7.如图2在五边形ABCDE中，BC=DE，CD平行于BE，AB>AE，AA AA，求证：AC平分线段BE.若∠AAC=∠CAD，且图28.设p是奇素数，如果存在正整数a使p!|a p+1，证明：(1)�a+1,a p+1a+1�=p.(2)a p+1a+1没有小于ｐ的素因子.p!|a+1.。
数学奥林匹克小丛书. 初中卷. 一次函数与二次函数
数学奥林匹克小丛书. 初中卷. 一次函数与二次函数
作者李惟峰
出版社
出版时间2005-04-01
特色：
《一次函数与二次函数》对每一种题型，都进行了适当的归纳和总结，以便于学生的阅读和掌握，《一次函数与二次函数》主要适用于初中段学生，但也可以作为高中生的辅导用书。
这是一套分专题的奥数图书，全套分小学卷、初中卷、高中卷三个水平，共30种。
由国内*权威的奥数专家执笔撰写，多数作者或是中国数学奥林匹克委员会委员、国家队领队、教练或是学校的金牌教练。
书中的例题精选了各类数学竞赛题，不少解答出自作者或奥数优胜者之手，对学有余力的学生来说，是一套极好的数学课外读物。
特色·理念——数学奥林匹克给优等生提供进一步发展的空间·定位——立足基础，面向高端·品牌——继品牌图书《奥数教程》之后，又一奥数品牌·作者——中国数学奥委会委员、国家队教练、金牌教练联合写作·选题——选题经典，解法巧妙，不少解法出自解题高手之手。