高中立体几何中二面角的求法
空间向量求立体几何二面角中准确快速写出坐标的技巧
空间向量求立体几何二面角中准确快速写出坐标的技巧技巧：
一、用“叉乘”结合三角函数求解立体几何二面角：
1、先求空间向量的叉乘，叉乘结果的方向量D是二个空间向量的法向量。
2、计算该法向量D的坐标与另一空间向量的点积，就可以得到立体几何二面角的三角函数形式。
3、由计算的三角函数，使用反三角函数，计算出来的角度值就是二面角的度数，这就是求出坐标的技巧。
二、使用质心坐标系求解立体几何二面角：
1、先求两个空间向量的质心坐标系，即二质心坐标的差值。
2、把这个差值换成极坐标形式，这样就可以求出二面角的三角函数形式。
3、由计算的三角函数，使用反三角函数，计算出来的角度值就是二面角的度数，这就是求出坐标的技巧。
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完整版)找二面角的平面角的方法汇总
完整版)找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的重要内容，但很多学生在解决二面角问题时往往无从下手，因为他们没有掌握寻找二面角的平面角的方法。
本文将介绍六种寻找二面角平面角的方法。
一、根据平面角的定义找出二面角的平面角。
例如，在60度的二面角α-a-β的两个面内，有点A和B，已知A和B到棱的距离分别为2和4，线段AB为10，求直线AB与棱a所构成的角的正弦值以及直线AB与平面α所构成的角的正弦值。
为解决这道题，需要先找到二面角的平面角，即找到60度角所在的位置。
根据题意，在平面β内作AD垂直于a，在平面α内作BE垂直于α，CD平行于EB，然后连接BC、AC。
可以证明CD垂直于a，因此根据二面角平面角的定义，∠ADC为二面角α-a-β的平面角。
二、根据三垂线定理找出二面角的平面角。
例如，在平面β内有一条直线AC与平面α成30度，AC与棱BD成45度，求平面α与平面β的二面角的大小。
为了寻找二面角的平面角，可以通过点A作AF垂直于BD，AE垂直于平面α，并连接FE。
根据三垂线定理，可以证明BD垂直于EF，因此∠AFE 为二面角的平面角。
需要注意的是，寻找二面角平面角时需要注意“作”、“连”、“证”的顺序。
三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角。
例如，在图1中，已知P为α-CD-β内的一点，PA垂直于α于点A，PB垂直于β于点B，如果∠APB=n度，则需要求二面角α-CD-β的平面角。
由PA垂直于α和PB垂直于β可得CD垂直于平面PAB。
因此，只需要画出平面PAB与平面α、β的交线即可。
可以证明∠AEB为α-CD-β的平面角，且∠AEB=180-n度（如图2）。
需要注意的是，如果通过点A作AE垂直于CD，垂足为E，并连接EB，则还需要证明EB垂直于CD，以及AEBP为平面图形。
由于篇幅限制，本文只介绍了三种寻找二面角平面角的方法，其他三种方法包括作二面角棱的垂线，作二面角的高线，以及利用向量的方法。
专题一：立体几何中“线线角、线面角、面面角”的求法 课件
知识回顾
1. 异面直线所成角； 2. 直线与平面所成角； 3. 两平面所成角.
知识点一：线线角
关键：把空间角转化成平面角 步骤：①选点平移；
②定角； ③算角（解位线平移
知识点一：线线角
变式1. 已知四面体ABCD的各棱长均 相等，E、F分别为AB、CD的中点， 求AC与EF所成角的大小．
定义：以二面角的棱上任意一点为端点，
在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条 射线所成的角叫做二面角的平面角.
B
l
O
A
知识点三：面面角
方法：①定义法（点在棱上）
②三垂线法（点在一个平面内） 例3.在四面体ABCD中，平面ABD 平面BCD， ③射影法（找一个平面内对应的点 AB BD DA a, CD BD，DBC＝30． 在另一个平面内的射影）
定义：过斜线AP上且斜足以外的一点P向平面引 垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平 面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所 成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
知识点二：线面角 关键：①找垂足 ②等体积法求高
例2.如图，设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a, （1）求直线AB1与平面A1B1CD所成的角； （2）求直线AB与平面ACB1所成角的正弦值.
(1)求二面角A DC B的大小；
④垂面法（点在面外）
(2)求二面角A BC D的平面角的正切值.
⑤补形法
通过本节课的学习谈谈你的收获或感想：
作业：
二面角的计算公式
二面角的计算公式二面角，这可是高中立体几何中的一个重要概念呀！咱先来说说啥是二面角。
想象一下，你有一张纸，把它对折一下，那折起来的这个“角度”，就是二面角啦。
在数学里，二面角是指从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
那二面角咋计算呢？常见的方法有定义法、三垂线定理法、垂面法、射影面积法等等。
先说定义法。
这就好比你要量一个桌子的长度，直接拿尺子去量。
定义法就是直接在二面角的棱上找一点，在两个半平面内分别作棱的垂线，这两条垂线所成的角就是二面角的平面角。
比如有这么一道题：在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，求平面 A1BD 与平面 C1BD 所成二面角的大小。
那咱就可以在棱 BD 上找个点，比如中点 O，然后分别在平面 A1BD 和平面 C1BD 内作 BD 的垂线，再通过计算就能得出二面角的大小啦。
再说说三垂线定理法。
这就有点像你找东西，有个线索给你指引。
三垂线定理说的是：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
比如说，已知二面角α - l - β的一个半平面α内一点 A 到另一个半平面β的垂线为 AB，垂足为 B，过垂足 B 作棱 l 的垂线 BC，垂足为 C，连接 AC，那∠ACB 就是二面角的平面角。
还有垂面法。
就好像你盖房子，先打个牢固的地基。
作一个垂直于二面角棱的平面，那这个平面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角。
最后说说射影面积法。
这就好比是灯光照下来的影子。
二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影面积与原面积的比值。
我记得我当年上学的时候，有一次老师在课堂上讲二面角的计算，我听得那叫一个迷糊。
课后我就自己找了好多练习题来做，做着做着突然就开窍了。
那种感觉，就像是在黑暗中摸索了好久，突然看到了一丝光亮。
总之啊，二面角的计算虽然有点复杂，但只要掌握了方法，多做练习，就一定能拿下它！加油吧，同学们！。
用三垂线法求二面角的方法(新)
其射影 BC,。
从而得到二面角的平面角为ACB 。
用三垂线法求二面角的方法垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：如图 , PB 是平面 的斜线 , PA 是平面 的垂线, 求证：a PB证明：∵ PA 是平面 的垂线 , 直线 a 平面∴直线 a PA 又∵直线 a AB AB PA A ∴直线 a 平面 PAB 而 PB 平面 PAB ∴ a PB总结： 定理论述了三个垂直关系， ①垂线 PA 和平面 a 垂直 .三垂线定理揭示了一个平面和四条直线所构成的三种垂直关系的内在联系，是线面垂直的性质，在立体 几何中有广泛的应用。
求二面角是高考考查的热点，三垂线法是求二面角最常用的方法,应用好定理的关键是实现斜线与其在面内射影垂直关系的转化，因此寻找垂线、斜线及其射影至关重要。
运用三垂线法求二面角的一般步骠： ①作：过二面角的其中一个平面上一点作（ 找）另一个平面的垂线 , 过垂足作二面角的棱的垂线。
.② 证：证明由①所得的角是二面角的平面角 （ 符合二面角的定义 ） 。
③ 求： 二面角的平面角的大小 （ 常用面积相等关系求垂线段长度 ） 。
ACB 为二面角 B CD A 的平面角1、如右图所示的四面体 ABCD 中， AB 平面 BCD ， BC CD 且 BCC ABD 的大小； ② 求二面角 B CD A 的大小； 1．解： ① ∵ AB 面 BCD BC AB BD AB CBD 为二面角 C AB D 的平面角 ∵ BC CD 且 BC CD 1∴ CBD = 4∴二面角 C AB D 的大小为4C②∵ AB 面 BCDBC CD ∴由三垂线定理得 CD AC 直线 a 平面 , 直线 a 垂直 ; 射影 AB.其射影 BC,。
从而得到二面角的平面角为ACB 。
∵ AB 平面 BCD ∴ AB BC AB BD∴ AB AD 2 BD 2 1在 Rt ABC 中， tan ACB AB 1， BC面角 B CD A 的大小为4方法点拨： 本题①的方法是直接运用二面角的定义求解∵ BC CD ∴ BDBC 2 CD 2 2, 本题②的关键是找出垂线 AB 、斜线 AC 及2．如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示）为VB 的中点．求二面角A—VB— D 的余弦值．2 解:取AB的中点P,连结VP、DE，则由题意可知VP⊥平面ABCD，∴ DA⊥VP又∵ AD⊥ AB ∴AD⊥平面VAB ∵ VAB 是正三角形， E 为VB的中点，∴ AE⊥VB，∴由三垂线定理得VB⊥DE. 所以AED 就是所求二面角的平面角则斜线为DE, 其射影为AE 从而得到二面角的平面角为AED 。
求解二面角的六种常规方法
求解二面角的六种常规方法作者：李淑芸来源：《中学教学参考·理科版》2010年第03期求解二面角问题是高考的热点问题,在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析,我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此,本文总结了常见的六种求解二面角的方法,希望能给部分读者以帮助.1.定义法是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线,则两直线所构成的角即为二面角的平面角,继而在平面中求出其平面角的一种方法.【例1】如图1,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=a,对角线AC=a,BD=2a,求二面角A—BD—C的大小.图1解:取BD的中点为O,分别连接AO、CO,∵AB=AD,BC=CD.∴AO⊥BD,CO⊥BD.∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.∵AB=AD=a,BD=2a,∴AO=22a.∵BC=CD=a,BD=2a,∴OC=22a.在△AOC中,OC=22a,OA=22a,AC=a,OA2+OC2=AC2,∴∠AOC=90°,即二面角A—BD—C为直二面角.2三垂线法是指利用三垂线定理,根据“与射影垂直,则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角,继而求出平面角的方法.【例2】如图2,二面角α-AB-β的棱AB上有一点C,线段CDα,CD=100,∠BCD=30°,点D 到平面β的距离为253,求二面角α-AB-β的度数.图2解:过D作DE⊥β于E,DF⊥AB于F,连接EF.∵DF⊥AB,EF是DF在β内的射影,∴AB⊥EF(三垂线定理).∴∠DFE为二面角为α-AB-β的平面角.在Rt△DEF中,DF=12CD=50,DE=253,∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度数为60°.3.垂面法是指用垂直于棱的平面去截二面角,则截面与二面角的两个面必有两条交线,这两条交线构成的角即为二面角的平面角,继而再求出其平面角的一种方法.【例3】如图3,已知SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E是SC的中点,DE⊥SC交AC于D,求二面角E-BD-C的大小.图3解:∵BS=BC,SE=EC,∴SC⊥BE,又∵SC⊥DE,∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.又∵BD⊥SA,∴BD⊥面SAC.∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=a,则SB=BC=2a.∵BC⊥AB,SA⊥平面ABC.∴BC⊥SB.∴SC=2a,∠SCD=30°.∴∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.4.面积射影法所谓面积射影法,就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系,利用cosθ=S射S来计算二面角的一种方法(其中θ为二面角).【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,K∈BB1,M∈CC1,且BK=14BB1,CM=34CC1,求平面AKM与ABCD所成角的大小.图4解:连结AC,则由题意可知,△ABC是△AKM在平面AC上的射影.设平面AKM与ABCD所成角为θ,则cosθ=S射S=S△ABCS△AKM.令正方体的棱长为4,∴S△ABC=12AB•A C=12×4×4=8.在△AKM中,AK=12+42=17,AM=42+42+32=41,KM=42+22=20.由海伦公式可知S△AKM=221,∴cosθ=421,θ=arccos421.5.法向量法法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角,继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系,求出二面角的一种方法.【例5】如图5,过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=ɑ,求平面PAB 和平面PCD所成的二面角的大小.图5解:以A为射点建立直角坐标系(如图5所示),则P(0,0,a),D(0,a,0),C(a,a,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n•PD=0,n•CD=0.即(x,y,z)•(0,a,-a)=0,(x,y,z)•(-a,0,0)=0.∴y=-z,x=0.即n=(0,1,-1).又AD成为平面PAB的法向量,而cos〈AD,n〉=(0,a,0)•(0,1,-1)a•2=22,∴AD与n所成的角为45°.因此平面PAB和平面PCD所成的角为45°.6.垂线法是指先利用待定系数法确定垂足,再利用公式求出二面角的大小.【例6】如图6,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC,已知PD=2,CD=2,AE=12,求(1)异面直线PD与EC的距离;(2)二面角E-PC-D的大小.图6解:(1)略.(2)以D为原点,DA、DC、DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.作DG⊥PC,可设G(0,y,z).由DG•PC=0得(0,y,z)•(0,2,-2)=0,即z=2y.故可取DG=(0,1,2).作EF⊥PC于F,设F(0,m,n),则EF=(-32,m-12,n).由EF•PC=0,得(-32,m-12,n)•(0,2,-2)=0,即2m-1-2n=0.又由F在PC上得n=-22m+2,故m=1,n=22,EF=(-32,12,22).因EF⊥PC,DG⊥PC,故二面角E-PC-D的平面角θ的大小为向量EF与DG的夹角.故cosθ=DG•EF|DG|•|EF|=22,∴θ=π4.故二面角E-PC-D的大小为π4.(责任编辑金铃)。
高中数学知识点二面角
高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。
下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。
一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。
具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。
二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。
2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。
3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。
4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。
三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。
2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。
3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。
四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。
2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。
3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。
在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。
总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。
通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。
立体几何二面角余弦值公式
立体几何二面角余弦值公式
在立体几何中，二面角是一个重要概念，它指的是两个平面相交所形成的角。
求解二面角的余弦值是立体几何中的一个常见问题。
接下来，我们将介绍二面角余弦值公式的应用、规则、适用场景以及延申。
一、二面角余弦值公式的应用
在求解二面角余弦值时，常用的方法包括定义法、三垂线法、垂面法、面积法以及找棱法等。
这些方法在实际应用中可以相互转化，以适应不同问题的需求。
二、二面角余弦值公式的规则
1. 当两个法向量夹角为锐角或钝角时（即点乘后所得结果同号），二面角的大小与两个法向量的夹角相等。
2. 当两个法向量夹角为钝角时（即点乘后所得结果异号），二面角的大小与两个法向量的夹角互补。
三、二面角余弦值公式的适用场景
1.求解二面角的余弦值：当需要求解二面角的余弦值时，可以使用二面角余弦值公式进行计算。
2.判断二面角的性质：通过计算二面角的余弦值，可以判断二面角是锐角还是钝角。
3. 在几何模型中应用：二面角余弦值公式在各种几何模型中都有广泛的应用，如棱锥、棱柱、平面凸轮等。
四、二面角余弦值的延申
1.空间向量的应用：二面角余弦值的求解可以扩展到空间向量的应用，如求
解空间向量的模、夹角、投影等。
2.空间几何中的其他问题：二面角余弦值的求解方法可以延申到空间几何的其他问题，如求解空间直线与平面的夹角、求解空间两个平面的夹角等。
总之，二面角余弦值公式在立体几何中具有重要的应用价值。
通过掌握二面角余弦值公式的求解方法，可以更好地解决立体几何中的相关问题。
同时，了解二面角余弦值公式的适用场景和延申，有助于提高解决实际问题的能力。
二面角计算公式
二面角计算公式二面角，这可是高中立体几何里的一个重要概念呀！对于不少同学来说，可能一听到它就有点头疼。
但别怕，咱们一起来把它拿下！先来说说啥是二面角。
想象一下，你有一块蛋糕，一刀切下去，分成了两部分，这两部分之间形成的那个“夹角”，就是二面角。
比如说，教室的墙面和地面，它们所形成的那个角度，也是二面角。
那怎么计算二面角呢？这就得提到一些方法和公式啦。
其中一个常用的方法是利用向量法。
向量这东西，就像是给我们指方向的箭头。
比如说，有两个平面，我们分别找到它们的法向量，这两个法向量之间的夹角和二面角之间是有关系的。
我记得之前给一个学生讲这部分内容的时候，他一脸迷茫地看着我，说：“老师，这也太难理解啦！”我就跟他说：“别着急，咱们慢慢来。
” 然后我拿出一个纸盒子，给他比划着两个平面，一点点地给他解释向量是怎么回事。
他眼睛紧紧盯着那个纸盒子，好像突然有点开窍了。
还有一种方法是利用三垂线定理。
这个定理听起来有点玄乎，其实就是找到一条垂线，然后通过一些几何关系来求出二面角。
记得有一次在课堂上，我出了一道关于二面角计算的题目，让同学们自己先思考。
结果大部分同学都眉头紧锁，不知从何下手。
我就引导他们从题目给出的条件中去寻找关键的线索，慢慢地理清思路。
最后，当大家终于算出答案的时候，那种兴奋的表情，让我觉得特别有成就感。
在实际解题中，我们得灵活运用这些方法。
有时候，题目可能会故意给我们设置一些小障碍，比如图形看起来很复杂，或者条件给得很隐晦。
这时候可别慌，静下心来，仔细分析。
比如说，有一道题给出了一个多面体，各个面的边长和角度都很复杂。
这时候，我们就得先把图形简化，找到关键的平面和直线，再去想办法计算二面角。
总之，计算二面角并不是一件特别可怕的事情。
只要我们掌握了方法，多做一些练习题，就一定能够攻克这个难关。
就像我们在生活中遇到的困难一样，看起来很难，但只要我们有耐心，有方法，就一定能够解决。
希望同学们在面对二面角计算的时候，都能充满信心，勇往直前！加油！。
高中数学解题方法---二面角大小的几种求法
∴∠EDF= 3a2
+ 3a 2 − 8a 2 2 ⋅ 3a 2
=
1 3
1. 在三棱锥 P-ABC 中，∠ APB= ∠ BPC= ∠ CPA=600，求二面角 A-PB-C 的
余弦值。
Pபைடு நூலகம்
Q N
B
M A
2 / 14
C
2. 如图，已知二面角 α-а-β 等于 120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求 ∠APB 的大小。
5 / 14
A
α
为 A1，点 B 在 l 的射影为 B1，已知 AB=2，AA1=1，BB1= 2，求：二面角 A1 －AB－B1 的大小。
三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半 平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱 垂直。
例 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=a，
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线 定理或逆定理作出二面角的平面角。
三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半 平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱 垂直。
II. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展) 线(面)法 )
P
A
O B
3. 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=a，
求二面角 B-PC-D 的大小。
P
H
jA
D
B
C
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线
定理或逆定理作出二面角的平面角。
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高中立体几何中二面角的求法！
大致提供几种思路：
（1）定义法（基本）：分别向交线作垂线，求两线的夹角；
（2）垂面法（少用）：找出交线的垂面，并作出垂面与半平面的交线，求夹角；
（3）三垂线法（常用）：过某一半平面内一点向另一半平面和交线作垂线，作出射影由tan角求解；
（4）向量法：（万能）分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。
注意该夹角并不是二面角，而是它的补角！
（5）*摄影面积法（常用）：二面角的余弦值等于某一个半平面在另一个半平面的射影的面积和该平面自己本身的面积的比值。