微积分在中学数学及实际生活中的应用-本科毕业论文开题报告
微积分在现实中的应用
微积分在现实中的应用微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
微积分建立之初的应用：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
微积分学极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。
并在这些学科中有越来越广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展。
一元微分定义：设函数y = f(x)在某区间内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。
如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) f(x0)可表示为Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且A Δx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。
定积分的应用本科毕业论文开题报告
定积分的应用本科毕业论文开题报告一、选题的性质二、选题的目的和意义选题目的：定积分作为函数的一种特定总和式的极限，是数学知识的重要基础。
通过典型问题，从不同角度，对定积分的特点进行整体把握，探讨定积分在几何学、物理学、以及经济学中的应用，加强对定积分思想的认识，提供用定积分分析解决实际问题的方法。
选题意义：定积分是与应用联系发展起来的，是微积分中的一个重要基本概念，是从实际问题中抽象出来的数学概念，是解决许多实际问题的工具。
在数学方面如求解复杂图形，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面，正是由于定积分的产生与发展，才使得物理学中的精确计算成为可能，从而使物理学得到长足的发展，如：气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用的到积分；把定积分应用到经济管理学中，可以使一些经济现象更明确，使管理更科学化。
三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面研究现状：牛顿，莱布尼茨以无穷思想为据，从不同的角度运用了定积分的思想方法创立了微积分，在这新的领域上定积分的思想和方法展现出了勃勃生机，为定积分思想的进一步完善奠定了坚实的基础。
定积分理论的建立，使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论和困扰，对于培养人的思维方法，提高分析、解决问题方面有极好的促进作用。
定积分作为微积分的重要组成部分，在几何、物理、经济等方面有着广泛的应用，目前，探究定积分应用的文章非常之多，研究范围也是相当广泛的。
在几何学方面，可以用来计算平面图形面积，立体、旋转体的体积，弧长等；在物理学方面，压力、引力，变力做工，运动轨迹的计算，运动状态分析等也都用到定积分知识；在经济学方面可以用来解决消费过剩，收入流等实际问题。
也正是因为这些应用，推动着积分学的不断发展和完善。
预计创新方面：通过典型例题，从定积分的公式、性质及定积分中值定理出发，来介绍定积分在几何、物理、经济等领域的应用，在前人的基础上对定积分的典型应用进行研究讨论，寻找简单的用定积分解决实际问题的方法。
微积分在中学数学中的应用
微积分在中学数学中的应用摘要：用高等数学乃至现代数学的思想、观点和方法来分析、认识初等数学的内容，高屋建瓴地处理教材，是高等专业学校数学教学中的一个重要问题。
本文从求函数的极值、讨论函数的单调性、不等式的证明、恒等式的证明、切线方程的求法、数的概念的深刻理解、定积分计算体积等七个方面对微积分在中学数学中的应用问题加以分析，既为解决中学数学的相关问题找到了一些新的解题途径，又使微积分对中学数学的指导作用得到了具体说明。
这样，既拓宽了数学解题的思路，使学生原有的数学知识体系更连贯，学生对知识的理解也更深刻，也能对学生学习高等数学产生良好的心理效应。
关键词：微积分；切线方程；单调性；极值我国现在普遍使用的高中数学教材(人民教育出版社)中，增加了微积分的部分知识。
为什么要增加这部分内容，笔者认为，至少有以下五个原因：一是微积分是人类宝贵的精神财富，加进微积分知识可以增强高中数学的人文价值：二是使学生掌握更有用的变量数学知识，有利于学生数学思维能力的培养；三是可发挥微积分对初等数学的指导作用，促进中学数学教学及邻近学科教学质量的提高；四是增加了解决实际问题的工具，有利于学生分析问题、解决问题能力的培养；五是微积分进入中学已成为国际潮流。
本文将就第三条原因展开讨论，主要讨论微积分在初等数学中的应用问题。
一、求函数的极值初等数学中，经常用不等式、配方法求极值，这些方法的优点是学生熟悉，易于掌握。
但这些方法往往有三个缺点：一是技巧性要求较高，特别是对较复杂的问题；二是适用面较窄，只能解一些较特殊的问题；三是容易混淆极值和最值两个概念，遗漏了极值。
用微积分方法求极值，有固定程序可循，技巧性要求低一些，适用面也广一些，极值和最值也容易区分。
例1.求++1的极值解： =，令=0 得解得或由可得或，因此：当时,得极小=；当时，得极大=3；当时，得极大=1此题若用配方法解如下：(+)2+，当时，得极小=；当时,得极大=3,但很容易遗漏极大=1.二、讨论函数的单调性初等数学中讨论函数的单调性时，经常在某区间任取，令若，则在该区间单调增加。
微积分在实际中的应用
微积分的综合应用微积分的综合应用表现在：1）微分在近似计算中可以较快的求得近似值，一般误差不大，可以节省时间和精力；2）定积分在物理学中的应用：变力做功问题经常是用微积分来求功；3）设计桥拱也是微积分利用的一个例子，利用微积分知识可以计算桥墩的受压情况以及整座桥的抗压抗风能力，从而设计出既轻又牢固的桥身；4）天气预报也经常用到微积分例子，将众多的外界因素当做多元函数，进行归纳分析；城市规划、建筑设计等用到了空间解析几何；5）设计元件、容器等节省材料又保证质量的问题，需要运用微积分计算不规则物体的表面积、体积、质量等相关数据；6）微积分可以用于在天文学中计算引力做功，轨道及运动情况；另外，微积分在经济学还有非常广泛的作用，在计算盈利情况，投资风险，期望值，回报率，保险行业等都要用到微积分知识。
综上，无论是在科学研究还是实际生活中，微积分作为一种数学工具的作用是非比寻常的。
站在我们学生的角度，能够掌握微积分的基础知识并在现实中灵活运用，才算是真正地理解了这门课程的精髓。
下面用以具体模型来说明方法及过程。
关于火箭升空原理的探讨火箭是一种靠发动机喷射物质产生的反作用力、向前推进的飞行器，是实现卫星上天和航天飞行的运载工具，故称运载火箭。
火箭技术就是要解决火箭的制造和发射等问题。
没有火箭技术的发展，就没有空间科学蓬勃发展的今天——火箭技术为人类打开了探索宇宙的大门。
本文主要讨论微积分在发射过程中的应用。
一、火箭升空过程中的主要原理设t时刻主体的质量为m，速度为v。
dt时间内有质量为dm、速率为u的流动物加到主体上。
t+dt时刻主体的质量变为m+dm、速度变为v+dv，t时刻质点系的动量为mv+udm，t+dt时刻质点系的动量为（m+dm）（v+dv）。
下图为质量流动的质点系。
若主体受外力下，流动物质受外力F’，则根据质点系动量定理的微分形式，有dtudm mv dv v dm m dt dp F F )())(('+-++==+ 在这一类问题中，流动物体所受外力往往远小于主体所受外力，故F’可以忽略。
高等数学小论文—微分在生活中的应用
微分在生活中的应用1.计算利率和复利：在金融领域，微分可以用来计算利率和复利。
在实际应用中，微分被用于计算连续复利。
假设本金为P，年利率为r，投资时间为t年，那么根据微分的思想，t年后本金和利息之和可以表示为P(1+rt)。
这个公式可以方便快捷地计算出投资在一段时间后的增长倍数，为我们进行投资决策提供了依据。
2.预测未来走势：在经济学中，微分被用来描述变量之间的关系，如价格和需求量之间的关系、成本和产量之间的关系等。
这种关系通常被表达为微分方程或差分方程。
通过求解这些方程，我们可以得到变量随时间变化的规律，从而预测未来的走势。
例如，在商品市场中，价格和需求量之间的关系可以通过微分方程来表示。
通过对这个方程的求解，我们可以预测在未来一段时间内，价格会如何变化，需求量会如何变化，从而制定出更加合理的经济政策。
3.优化生产过程：在工业生产中，微分可以帮助我们优化生产过程。
具体来说，通过对生产过程中的各种变量进行微分分析，可以找出哪些变量对生产效率有影响。
然后，我们可以通过调整这些变量的参数来优化生产过程，提高生产效率。
例如，在生产汽车零部件时，通过对生产过程的微分分析，可以找出对生产效率影响较大的环节，如刀具磨损、模具寿命等，并采取措施来优化这些环节，从而提高生产效率。
4.医学成像：在医学领域，微分也被广泛应用于医学成像。
例如，在CT扫描中，微分被用来重建图像。
具体来说，CT扫描是通过测量人体不同部位在不同时间点的辐射量来重建图像的。
而微分则可以用来分析和处理这些测量数据，以重建出更准确的图像。
在这个过程中，微分可以帮助我们更好地理解图像的形成过程和人体内部的结构特征，为医生的诊断和治疗提供依据。
5.计算机科学：在计算机科学中，微分被广泛应用于机器学习和人工智能领域。
例如，深度学习模型中的反向传播算法就使用了微分。
通过微分，我们可以计算出模型参数的更新量，从而优化模型的性能。
6.自然科学研究：在自然科学领域，微分被广泛应用于物理、化学、生物学等学科的研究。
浅析微积分在中学数学中的应用.docx
学号 2009311010152 编号2013110152研究类型应用研究分类号O122文理学院College Of Arts And Science Of Hubei Normal University学士学位论文Bachelor ’s Thesis论文题目浅析微积分在中学数学中的应用作者姓名指导老师傅朝金所在院系数学系专业名称数学与应用数学完成时间2013年 5月湖北师范学院文理学院学士学位论文诚信承诺书中文题目：浅析微积分在中学数学中的应用外文题目： Application of calculus in mathematics teaching in middleschool学生姓名学生学号2009311010152数学系院系专业学生班级0901班数学与应用数学学生承诺我承诺在毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况. 如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理 .学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象.指导教师（签名）：年月日目录1.引言12.中学微积分的基本数学思想方法22. 1“极限”思想22.2化归思想42.3微积分中的哲学与辩证的思想52.4函数思想 [1]52.5数形结合思想63.微积分在中学数学中的应用63.1 关于函数的单调性63.2求函数的极值、最大值与最小值73.3函数的变化性态及作图83.4微积分在解方程中的应用103.5不等式的证明113.6恒等式的证明113.7曲线的切线及求法124.结语135.参考文献14浅析微积分在中学数学中的应用罗（导师：傅朝金教授）（湖北师范学院文理学院数学系中国黄石435002 ）摘要：微积分是大学数学必修的基础课程，它的基本理论对中学数学有着重要的指导作用 . 微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用，与中学数学联系非常紧密 . 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度的涉及 . 在讨论在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法时，使用微积分的方法，能起到以简驭繁的作用，以进一步体现微积分与中学数学的联系 .关键词：微积分；函数性态；思想方法中国图书分类号： O122Application of calculus in mathematics teaching in middleschool Luo Fang (Tulor: Fu Chaojin Professor )(Hubei Normal University College of Arts and Sciences, Departmentof mathematics, China Huangshi 435002)Abstract:Calculus is a compulsory basic course of university mathematics, its basic theory plays an important role in middle school mathematics. Way of thinking in calculus and basic theory has been widely used, very close contact with the middle schoolmathematics. Mathematics to calculus ideas, such as the ultimatethinking,dialectical philosophy thought, the idea of function,number form combining thought have got different involved. In thediscussion on monotonicity of function, and the extreme values ofa function,function changes of behavior and mapping, in theapplication of calculus equation,inequality and identities,tangent to the curve and calculating method,methods use thecalculus, can play the role of deduce simplicity into complexity,to further reflect the calculus with the middle schoolmathematics.Keywords: Calculus; Functional properties; Thinking method浅析微积分在中学数学中的应用罗（导师 : 傅朝金教授）（湖北师范学院文理学院数学系中国黄石435002 ）1.引言2l 世纪高科技高速发展，数学是高科技发展的基础，世界各国都非常重视数学在各个领域的运用．我们广大教师，无论从事初等教育还是高等教育，一个重要目标就是培养满足社会需要的人才．相应地，数学教育的目的不仅要使学生掌握基本的数学知识与技巧，更加重视发展学生的能力．因此，如何培养学生数学的思维能力和思想方法，做到学数学、用数学，养成勤于思考，用“数学思维”去分析问题、解决问题的良好习惯，全面提高学生的数学素养，是摆在数学教育工作者面前一项既迫切又艰巨的任务．在我国新制定的《数学课程标准》中写道：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段．数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值．”这无论是在基础教育阶段还是高等教育阶段都是数学教育目的所在．数学思想方法是形成学生良好认识结构的纽带，是有知识转化为能力的桥梁 . 在数学教育中，学生掌握科学的思维方法是成为创造型人才的基础，是培养高科技研究型人才、迎接新世纪高科技挑战的必由之路 . 作为一名中学数学教师，了解微积分与中学数学的关系，掌握微积分在中学数学中的应用，用较高的观点分析与处理中学教材，这对提高中学数学教学是十分重要的 .微积分的思想方法和基本理论有着广泛的应用 . 对微积分中蕴涵的主要数学思想，如极限的思想、辩证的哲学思想、函数的思想、数形结合思想等都有不同程度涉及 .本文同时举例说明微积分在函数的单调性、求函数的极值和最值、函数的变化性态及作图、微积分在解方程中的应用、不等式和恒等式的证明、曲线的切线及求法方面的应用 .2.中学微积分的基本数学思想方法所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容本质的认识，它直接支配着数学的时间活动，是解决数学问题的根本策略.所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段，它具有程性、次性和可操作性等特点 . 数学方法是解决数学的手段和工具 . 数学思想方法是数学思想和教学方法的称 . 数学思想是数学知与方法形成的律性的理知 , 是数学方法的灵魂 . 数学方法是数学思想的表形式和得以的手段 . 数学思想是数学知和方法的，数学方法是解决数学、体数学思想的手段和工具 .微分如今既是大学的重要基，也是高中新增加的数学程的内容. 微分的展是很有趣的，其中思方法极重要，引起我在教学中的重 . 微分中涵的主要数学思想，如极限的思想、化思想、的哲学思想、函数的思想、数形合思想等从不同面都有不同程度的研究 .2.1 “极限”思想所极限的思想是用无限的化程来研究有限的思想．它是用有限描述无限、由近似渡到精确，更是一种工具、一种程，特是于化的“无小” 程，是高等数学的中心思想 . “极限”思想方法揭示了常量与量、有限与无限、直与曲等一系列立一及矛盾相互化的关系 . 其极限思想的本是人通化程量的分析来把握化程的果 . 是一种极有价的思方式 . 种思也是非常重要的，有利于学生形成思，到数学知的一性 .例如在求曲梯形的面，了四个程：化“整” “零”，以“直”代“曲”，“零” “整”，取极限四个程．首先将曲梯形任意分割成若干个小曲梯形，每个小曲梯形的面用接近的小矩形的面作近似替代，分割得越，近似程度越精确，最后以小矩形面之和得极限作曲梯形面．即：(1)化“整” “零”：分曲梯形个小曲梯形.2-12-2在区中任意插入若干个分点，把分成个小区度依次：，，，⋯，作，⋯，.，它的，经过每一个分点作平行于轴的直线段，把曲边梯形分成个窄曲边梯形，第个小曲边梯形的面积记作，(2) 以“直”代“曲”：用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积. .在每个小区间上任取一点，以为底，为高的小矩形近似替代第个小曲边梯形() ，则有，.(3)积“零”为“整”：求个小矩形面积之和 .把这样得到的个小矩形面积之和作为所求曲边梯形面积 A 的近似值，即.(4) 取极限：由近似值过渡到精确值，时，可得曲边梯形的面积，求得曲边梯形的面积 .通过极限思想在这些概念中的应用，使学生体会到数学的思想方法是从现实生活生产中产生的，并可以应用到现实生活中去．2.2 化归思想化归思想是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，把它归结到某个 ( 或某些 ) 己经解决或简单的，比较容易解决的问题上去，最终求得原问题的解答的思想，其核心就是简化与转化．化归思想有三要素：化归对象( 要化什么 ) ，化归目标 ( 化成什么形式 ) ，化归途径 ( 怎么化 ) ．在化归思想中，“转化”是关键．认知心理学认为 : 新知识的获得，新概念的形成，总要以旧知识为基础进行组织和构造的．即把新旧知识建立起联系，而这种联系常常用到化归思想．可见，化归思想贯穿于数学教材的始终，贯穿于解题过程的始终，它是最重要的、应用最广的数学思想．化归思想实际上是我们在研究问题时通过“去伪存真”，改“正面进攻”为“迂回侧攻”来简化问题的一种手段，以此来认清问题的数学本源，达到顺利解决问题的目的．例如在高等数学中常常利用化归原则，把反三角函数求导，复合函数求导，转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式；根据复合函数求导法则，把普通初等函数求导及参数方程求导转化为导数的四则运算法则与基本初等函数的求导公式；将函数的单调性、极值、最值、凹凸性、拐点等问题判定转化为其( 二阶 )导函数的值的问题；将曲边四边形面积和旋转体的体积转化为定积分问题；也常将实际问题通过建立数学模型后转化为定积分运算来求解．像这种用化归思想方法解决实际问题从方法论角度说就是“化归原则”．一般说来，可以按下面的几种方式实施问题的转化：陌生问题熟悉化；复杂问题简单化；抽象问题形象化；命题形式的转化；引入辅助元素的转化．化归原则在解决问题时的一般模式为:还原图 2-3求曲边梯形的面积时，“一条曲线边”影响着问题用以往的知识的解答，是解决问题的矛盾的所在 . 然而，将进行任意分割个小区间后，得到了个小曲边梯形 . 通过“以直代曲”，即对每个小曲边梯形面积近似替代，则“曲”变“直”，问题迎刃而解 .还原图 2-4可见，化归思想在解决应用问题和数学建模过程中应用非常广泛．2.3 微积分中的哲学与辩证的思想微积分中的哲学思想、辩证的思想是微积分中的又一主要数学思想 . 微积分学是变量数学的主要组成部分，它本身就包含着唯物辩证法的丰富内容，如：量变到质变、特殊到一般、具体到抽象、近似到精确 . 在它的每一个定义、公式和法则中无不闪烁着唯物辩证法的光芒 . 微积分学中，通过曲线的切线研究曲线的性质，就是将曲线线性化，即以直代曲 . 又如微分与积分作为微积分的核心内容，微分是由整体研究局部性问题，而积分是由局部来研究整体问题 . 它们是两个互逆的过程，也是对立统一的 . 2.4 函数思想 [1]函数思想是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括，是一种策略性的指导方法，是由研究状态过渡到研究变化过程的思想．辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，静止是相对的．函数思想是客观世界中事物运动变化、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的反映，它的本质是变量之间的对应．以这种观点去分析函数的思想，不难看出，函数是自变量与函数值的“绝对运动”，才换来了等式的“相对静止”．从而将两种方式对函数的定义统一于运动静止的体系中．要想辩证的理解好这两种“运动”形式，就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学．微积分就是以极限的思想研究函数的特性的学科，经常要用到函数思想方法去分析处理问题 . 如导函数 ( 导数 ) 就是一个特殊的函数，它的引出和定义始终贯穿着函数思想：一个函数在某区间内的每一点都有导数，则该区间内每一个确定的值都对应一个确定的导数，即在该区间内构成一个新的函数——导函数. 由定积分知道，原来的函数称为原函数．这里建立两个函数之间的联系，在解决其中一个函数的问题时，可转化为另一个函数问题来解决( 化归思想 ) ；函数的单调性、凹凸性、函数的极值，最值 ( 尤其在经济问题中函数的最值应用题 ) 经常要考虑到函数思想方法；拉格朗日中值定理证明及其运用均需构造合适的函数．函数是微积分研究的主要对象，函数思想方法是学习微积分的基础，其在微积分的学习过程中得到升华和内化．函数与方程有非常密切的关系，方程的根可视为其相应函数在某种特定状态数学思想方法及其在微积分教学中的运用研究下的值．因此当研究方程问题时，特别是证明方程根的存在性及个数时，我们可以采用函数的思想，这样往往可以起到化难为易、化繁为简的效果，大大简化解题的步骤.2.5 数形结合思想微积分的许多概念都来源于实际，都有其几何或物理意义，不少结论也反映了某种几何关系或性质．如导数与曲线的切线密切相关、定积分表示曲边梯形的面积、积分中值定理反映了图形的面积之间的关系等 . 这就决定了数形结合法成为微积分中的一个重要思想方法 . 因此，在微积分的教学中，对某些知识，应从思想方法角度去分析，把握其本质联系，使一些看似静止孤立的知识成为有机联系的动态的知识，使学生逐步掌握系统、完整的知识结构 .3.例说微积分在中学数学中的应用3.1 关于函数的单调性中学数学中讨论函数的单调性，用的是定义法，即在定义域某区间上任取，若，则在该区间单调递增，若，则在该区间单调递减 . 该方法的优点是直观易懂，其缺点是函数表达式复杂时判断的正负比较困难，往往运用较高技巧，且适用面也较窄 [2].运用微积分方法讨论函数单调性时，只需求出，再考虑的正负即可 . 该方法简单易行，不需太多技巧，且适用面也宽.例 1已知函数，讨论的单调性.解的定义域为，，令，得，当时，，的变化情况如下：-+极小值所以，在上的最小值是.当，单调递减且的取值范围是；当，单调递增且的取值范围是.3.2 求函数的极值、最大值与最小值设在点连续，在点的某一空心领域内可导，当由小增大经过时，如果：（ 1）（ 2）由正变负，那么由负变正，那么是极大值点；是极小值点；（3）不变号，那么不是极值点.特别说明：(1) 驻点 ( 使的点叫做函数的驻点)不一定是点 .是函数的驻点，但不是其极值点.(2) 极值点还可能是使导数不存在的点. 如函数，在在，但是是它的极小值点 .的极值处导数不存例 2已知函数在取得极小值 5，其导函数的图象经过点，，如图 3-1所示，求：(1)的值；(2)，，的值；(3)的极大值 .解(1) 观察图象，我们可发现：当时，，此时为增函数；当，此时为减函数；当时，因此在处函数取得极小值 . 结合已知，可得，此时.时，图 3-1为增函数 .(2) 由(1) 知，即，再结合的图象可知，方程的两根分别是, .那么，即.联立(3) 由(1)知，得在，，.处函数取得极大值，所以3.3 函数的变化性态及作图中学数学教材中在介绍了二次函数、幂函数、指数函数、三角函数等函数时，通常用描点法作出函数的图像，这种图像不一定能反应曲线在一些点和区间上的性态 . 学习了导数及其应用后，就可以利用函数的导数并结合函数的某些性质，有效地对函数的增减性、极致点、凹凸性等重要性态和关键点做出准确的判断，从而较为准确的描绘出函数的图像 . 对于一些非初等函数，采用这一方法冒险而冗长，有许多不足之处，点取得不够多，也许就会得到一个错误的图象；而如果取得点太多，那将花费过多的精力，且仍会担心是否忽略了一些重要的点 . 例如函数与的正确图形应为图 3-2 所示，而用描点法很可能画出图 3-3 的错误图形 [4].图 3-3图 3-2利用导数作为工具，就可以有效地对函数的增减性、极值点等重要性态和关键点作出准确的判断，从而比较准确地作出函数的图象 . 一般来说描绘函数的图像可以按以下步骤进行：（1）求出函数的定义域确定图像范围.（2）判别函数是否具有奇偶性或周期性缩小描绘图像的范围.（3）求函数的不连续点，并讨论函数在不连续点的左、右变化情况，可能在极限，也可能趋向无穷( 此时有垂直渐近线 ) ，如果函数定义域是无限区间，则要讨论当无限增加时的变化趋势若存在极限，则有水平渐近线；若趋于无穷，应考虑是否有斜渐近线.（4）计算函数的一、二阶导数并求解和讨论的单调性、局部极值、凹凸性与拐点，列表.（5）计算曲线的稳定点、局部极值点、拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标 .（6）在直角坐标系中，标出关键点的坐标，画出渐近线，再按讨论的性态逐段描绘 .例3 作函数解定义域为令，得驻点的图形 .，曲线与轴的交点为，，；令，得. 利用连续函数..列表如下 :极大值拐点极小值作图像如下：图 3-43.4 微积分在解方程中的应用在超越方程中判别根的情况大多是采用图像法，但是采用图像法对作图要求较高，往往会由于作图误差而出错.例 4[6]试证明方程在内只有个实根，并求出它的近似值 , 使误差不超过.本题首先要用到函数的零点存在定理和函数的单调性证明，接着用切线法求出近似值 .解设，则，，容易验证在区间上，，，，.因为在内连续，且是单调递增，两端点处的函数值异号，所以此方程在内只有 1 个实根 .可以看出在内，曲线是单调递增、下凹并从轴的下方穿过轴到上方的，曲线与轴交点的横坐标. 就是方程在内的根，现在用切线法求根的近似值 .在端点处作切线来求方程的近似实根，现在，所以它比更接近于根，继续施行这样的方法，得：因为，，而，所以取.为根的近似值，它的误差就不超过.3.5不等式的证明不等式的证明方法多种多样，但没有较为统一的方法，初等数学通过恒等变形、数学归纳法等方法解决，或应用已有的基本不等式来证明，为此往往先要进行恒等变形，这需要较高的技巧 . 而利用微积分的方法和知识，将不等式问题转化为函数问题，进而通过求导数法判断函数的单调性或最值，再利用函数单调性或最值来证明不等式，可简化不等式的证明过程，降低技巧性 [7].例 5证明不等式，.证明设，则，，所以递增，又例，故，即6设是自然对数的底，.是圆周率，求证:.证明因为函数单调递增，故等价于，即，即.令，则.因此，当时，，于是在内单调递减，从而，即，原命题得证 .3.6 恒等式的证明例7 求证：.本题不能用求和公式证明，但可以用二项式定理求导得证.证明因为，对等式两边求导得：，令即得：.3.7 曲线的切线及求法例 8[8]（2009全国卷Ⅰ理）已知，函数.（1）设曲线在点处的切线为，若与圆相切，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最小值.解（1）依题意有，，过点的直线斜率为，所以过点的直线方程为.又已知圆的圆心为，半径为 1. 所以，解得.(2)，当时，.令，解得；令，解得.所以的增区间为，减区间是.（3）当，即时，在上是减函数，所以的最小值为.当，即时，在上是增函数，在是减函数 .所以需要比较和两个值的大小.因为，所以. 所以，当时最小值为；当时，最小值为. 当，即时，在上是增函数 .所以最小值为.综上，当时，为最小值为；当时，的最小值为.4. 结语微积分作为人类文明史上宝贵的精神财富 [9], 凝聚了一代又一代数学家的心血，它那闪烁着人类理性思维的光辉，将永远鼓舞着后来人 . 因此，在中学数学教学中，向学生介绍微积分的思想，激发他们献身科学事业的热情是很有必要的. 因此，微积分的学习将有助于学生动态思维以及唯物主义思想的培养. 不仅如此，教师应向学生弘扬数学文化，使学生体会到数学荡漾着浓郁的人文气息 . 激发学生的创造热情，是每个中学教师义不容辞的责任 .用微积分处理中学数学中的问题，具有居临下的作用，对于沟通初等数学与高等数学的联系，提高教师把握教材的能力，开拓师生的思路都很有帮助 . 而且对中学数学中较难的题型通过用高等数学的理论与方法较易解决，充分体现了高等数学的优越性，从而使学生感到高等数学与初等数学的联系，增加学习数学的兴趣 . 另外，还可扩展中学数学的应用范围 . 微积分在解决中学数学问题中的应用远不止这些，在其它如因式分解、化简代数式、求值与求和等方面也有广泛的运用 . 随着微积分等高等数学知识再次现身中学数学教材，中学数学教师除应熟练掌握各种题型的初等解法外，还应善于运用高等数学知识解决中学数学问题.5.参考文献[1]丁向前 . 微积分思想在中学数学中的渗透 [J]. 数学教学研究， 2008， 27(8):4 ～5.[2]俞宏毓 . 例说微积分知识在解决中学数学问题中的应用 [J]. 高等函授学报（自然科学版）， 2006，20(2):32 ～ 36.[3] 贤锋 . 浅析微积分理论在中学数学的简单应用[J].引进与咨询，2000(1)：64～65.[4]魏本成，吴中林 . 微积分在中学数学中的应用 [J]. 天中学刊， 2001， 16(5) ：54 ～55.[5]吴向群，庄认训 . 微积分在中学数学中的应用 [J]. 青海师专学报（自然学科）， 2002，22(5):77 ～ 78.[6]徐岳灿 . 探索微积分在中学数学中的必要性 [J]. 上海中学数学， 2011，64 （6）： 27～ 29.[7]包建廷 . 微积分在不等式中的应用 [J]. 承德民族师专学报， 2003，23(2):27 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微积分在解决实际问题中的应用
微积分在解决实际问题中的应用
微积分是数学的一个分支，研究变化和数量变化的速率。
它是一个强大的工具，在物理、工程、经济学和医学等各个领域都有广泛的应用。
微积分在解决实际问题中的关键应用之一是运动分析。
微积分可用于描述物体在空间中移动时的位置、速度和加速度。
这是通过使用导数和积分来完成的，导数用于衡量函数的变化率，积分用于计算一个量随时间的累积。
例如，考虑一个球从山上滚下来。
微积分可以通过使用位移的概念来描述球在任何给定时间的位置，位移是物体在给定时间段内位置的变化。
球的速度可以通过对位移函数求导来描述，它给出了球位置随时间的变化率。
球的加速度可以通过速度函数的导数来描述，它给出了球速度随时间的变化率。
微积分在经济学领域也被广泛用于分析和预测市场行为和资源配置。
例如，微积分可用于分析产品的需求和该产品的供应，以确定供求相等时的均衡价格。
它还可以用来分析价格和数量之间的关系，以预测价格变化对需求量或供应量的影响。
在工程领域，微积分用于分析和设计结构和系统，例如桥梁和飞机。
它可用于计算作用在结构上的力，并确定承受这些力所需的材料和设计。
微积分还用于电机和发电机等电气和机械系统的设计，以确定这些系统的性能和效率。
总的来说，微积分是一个强大的工具，在解决各个领域的实际问题方面有着广泛的应用。
它描述和分析数量变化率的能力使其成为理解和预测现实世界中系统和过程行为的重要工具。
微积分在生活中的应用
微积分在生活中的应用（何杰东陈新亮连冠才施楠信工一班北二830）一.摘要牛顿、莱布尼兹发明微积分以后,人们才有能力把握运动和过程.有了微积分，就有了工业革命，就有了大工业生产,也就有了现代化的社会.航天飞机、宇宙飞船等现代化交通工具都是在微积分的帮助下制造出来的。
微积分在人类社会从农业文明跨入工业文明的过程中起到了决定性的作用。
微积分是为了解决变量的瞬时变化率而存在的.从数学的角度讲，是研究变量在函数中的作用。
从物理的角度讲，是为了解决长期困扰人们的关于速度与加速度的定义的问题.“变”这个字是微积分最大的奥义.因此，了解微积分在生活中的应用对于我们解决实际问题有很大的帮助。
二．关键词：物理，经济,应用。
三．引言：通过研究微积分在物理，经济等方面的具体应用，得到微积分在现实生活中的重要意义，从而能够利用微积分这一数学工具科学地解决问题。
获取资料的途径主要是互联网。
四（一）在物理中的应用例1，研究物体做匀变速直线运动位移问题时;对于匀速直线运动，位移和速度之间的关系我们都清楚，x=vt，但如果物体的速度大小时刻发生变化，那么物体的位移如何求解呢？此时，微积分就成了我们有利工具.我们可以把物体运动的时间无限细分.在每一份时间内,速度的变化量非常小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，因此根据已有知识位移可求；接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移可以知道。
现在我们明白，物体在变速直线运动时候的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的面积;例2，研究匀速圆周向心加速度的方向问题时；根据牛顿第二定律，我们可以知道匀速圆周运动加速度的方向指向圆心；同时利用极限思想,也可以加速度的方向.当圆周上的两个点无限靠近时,速度变化量也无限的小，因此由V A VB△V围成的等腰三角形的底角接近90，因此速度变化量和速度垂直，而速度又和半径垂直，因此，匀变速圆周运动中，加速度的方向始终指向圆心。
数学探讨微积分在实际问题中的应用
数学探讨微积分在实际问题中的应用微积分是数学的一个重要分支，它主要研究函数的变化率以及函数与其积分之间的关系。
微积分在科学、工程和经济等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨微积分在实际问题中的应用，并举例说明其在不同领域的重要性。
一、物理学中的应用物理学是研究自然界规律的科学，微积分在物理学中应用广泛。
例如，物体的运动可以用函数描述，微积分可以帮助我们研究物体的速度、加速度、位置等相关问题。
在力学中，微积分是研究运动和力的基础工具。
利用微积分的知识，我们可以求解动力学问题，计算物体在不同时刻的速度和位移。
二、生物学中的应用生物学是研究生命现象和规律的科学，微积分在生物学中有着重要的应用价值。
例如，微积分可以帮助我们研究生物体的增长速率、代谢速率等问题。
在生物医学领域，微积分可以用来研究药物的代谢和排除速度，帮助我们优化药物的使用方法。
此外，微积分还可以用来建立数学模型，预测生物体的增长和变化趋势。
三、经济学中的应用经济学是研究人类经济活动的科学，微积分在经济学中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，我们经常会遇到最优化问题，如最大化收益、最小化成本等。
微积分可以帮助我们建立数学模型，求解这些最优化问题。
此外，微积分还可以用来研究消费者的需求曲线、生产函数等经济学概念。
四、工程学中的应用工程学是应用科学的一个分支，微积分在工程学中有着广泛的应用。
例如，在电子工程中，微积分可以用来分析电路中的电流和电压的变化。
在土木工程中，微积分可以帮助我们计算结构的刚度和变形等问题。
此外，微积分还可以用来优化工程设计，提高效率和安全性。
综上所述，微积分在实际问题中的应用十分广泛，无论是物理学、生物学、经济学还是工程学等各个领域，微积分都扮演着重要的角色。
它不仅为我们解决实际问题提供了强有力的工具，也深化了我们对自然界和社会现象的理解。
因此，学好微积分对于各个学科领域的研究和应用都具有重要的意义。
微积分在经济学中的应用-----开题报告
数信院毕业论文开题报告题目《微积分在经济学中的应用》开题报告一 选题意义（一）理论意义微积分的出现不仅是数学史上也是人类历史上的一个伟大创举.它的产生是由于社会经济的发展和生产技术的进步的需要而促成的,也是自古以来许多数学家长期辛勤发展起来的一连串数学思想的结晶。
因此它在数学和其他许多学科中有着广泛的应用，特别是在经济学中，随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微积分可以对经济活动中的实际问题进行量化分析，从而为企业经营者科学决策的制定提供依据.对企业的经营和决策者来说，在经济分析中应用微积分定量的方法进行精确、严谨的决策，可以为决策者和经营者提供严谨的分析方法和新思路，积分模型在经济应用中有较大的发展空间，尤其是当前计算机应用的不断推广.通过建立数学微积分模型，是实现高效决策和科学决策的重要路径，也是企业提升自身竞争力的必由之路.（二）实践意义对企业经营者来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的.将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现.因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，例如微积分，从而为科学经营决策的制定提供可靠依据.例如：1.边际分析2.解决常见的一般均衡理论3.消费者均衡理论的分析4.弹性分析5.最优化问题的解决二 论文综述（一）理论渊源及演进过程从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
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贵州民族大学本科毕业论文（设计）任务书学院：理学院年级：2012级专业班级：信息与计算科学学生姓名指导教师职称论文（设计）微积分在中学数学及实际生活中的应用题目毕业论文(设计)工作内容通过研究讨论微积分思想在中学数学及实际生活中的应用的问题，进一步把高等数学的思想融入初等数学中，通过对一些实际问题的（非理想化模型）的研究，进一步把微积分思想运用到解决实际问题中，把所学到的东西贯穿生活、应用生活、服务生活，做到有所学就有所用，做到一个问题的多角度考虑，寻求问题的不同解决方法与简便解法，建立知识点之间的内部联系，灵活的运用它们来进行解题，从而达到扩宽思路与整合学科的目的。
指导教师（签名）：年月日系主任（签名）：年月日教学院长（签名）：年月日该表由学生与指导老师共同讨论后，确定论文题目，并在“工作内容”备注栏填写“完成论文撰写所需完成的主要任务”。
贵州民族大学本科毕业论文（设计）开题报告题目：微积分在中学数学及实际生活中的应用学院:理学院专业:信息与计算科学学号:姓名:指导教师 :职称 :填表日期 :2016年3月说明1．学生应在开题报告前，通过调研和资料搜集，主动与指导教师讨论，在指导教师的指导下，完成开题报告。
2．此表一式二份，交学院装入毕业设计（论文）存档。
3．开题报告需经指导教师、院（系）领导审查合格后，方可正式进入下一步毕业设计（论文）阶段。
4．理工科类专业不得少于10 篇（部）相关文章或著作的阅读量。
5．开题报告撰写不少于1000 字。
6．表格内字体——宋体，字号——小四，行间距—— 1.25 ，段前—— 0.5 ，标题——黑粗体。
7．有关栏目空格不够时，可加页续填。
.一、研究目的和意义目的：通过对微积分的研究，建立初等数学与高等数学之间的紧密联系，更好的把微积分跟中学数学的极限思想紧密的连接起来，逐步的把积分思想更多的推广到中学学习中。
另外，应用微积分思想解决一些非理想化模型，让很多实际问题得到解决。
意义：通过对微积分基本原理的研究，深入地理解掌握微积分思想在实际生活中的应用，让微积分思想更多的进入初等数学的学习和实际生活的应用。
二、研究现状近百年来尤其近半个世纪以来，随着社会的快速发展，数学领域的研究也越来越受到高度的重视，社会的发展离不开科技的进步，而科技的进步也离不开数学，进入高等数学的学习，其实最多最重要的也是对微积分思想的研究，现在微积分思想也逐步的更深入贯穿中学数学的学习，由此可见在数学中贯穿微积分思想的重要性，它不仅仅是一门重要的学科，更是一门重要的研究课题。
微积分作为一门学科，是在十七世纪产生的。
它的主要内容包括两部分：微分学和积分学。
然而早在古代，微分和积分的思想就已经产生了。
公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、旋转双曲体的体积等问题中，就隐含着近代积分学的思想。
而庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，这是古代朴素的极限概念，也是以后的极限理论的基础。
随着社会的进步，科学的发展，微积分理论也在不断的发展与完善。
微积分学是与科学应用紧密联系着发展起来的。
最初，牛顿应用微积分学及微分方程对天文观测数据进行了分析运算，得到了万有引力定律，并进一步导出了开普勒行星运动三定律。
微积分学成了推动近代数学发展强大的引擎，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展，并在这些学科中有着越来越广泛的应用，随着社会的发展相信在不久的将来，微积分还会突破新的领域取得新的进展。
.三、研究内容（论文框架，要求列示一、二级标题及简要说明）一、研究微积分思想在中学初等数学中的应用。
1．根据中学的导数与极限思想引入积分问题的研究，通过数学公式的推导与研究建立初等数学中极限思想与高等数学中积分思想的联系，通过对具体问题的分析研究，进一步论述初等数学中极限思想与高等数学中积分思想，在思路原理上的相通性与统一性，由此得出数学它并非是一些孤立的知识点，而是很多知识点的整合。
2．对所研究的一些具体问题进行求解，用高等数学思想解决一些初等数学问题，使问题得到很大程度的简化，由此得出数学学科知识的紧密联系。
二、研究微积分思想在实际生活中的应用。
1.通过举出实例研究微积分思想怎么解决生活中的实际问题，（非理想化模型）建立微积分与实际生活中的联系。
2．结论总结与评价。
四、研究重点及难点重点：解决高等数学微积分思想与初等数学之间的联系，微积分思想如何方便快捷的去解决中学数学问题，实际生活中哪些问题用微积分思想能够解决，哪些问题可以通过微积分将它进行化简。
难点：1．引入实例进行验证微积分思想在中学数学中的应用及解题的便利性时，并非所有的问题都可以解决甚至简化，所以要大量的找题验证，由于数学题目广度性强且复杂多变，找题验证过程会有一定的难度。
2.研究微积分思想在实际生活中的应用时，人们很少关注实际生活中的数学思想解决问题，题材匮乏，且实际问题复杂多变，给问题的研究带来很多的不便。
3.微积分思想是高等数学的一个重要学习研究方向，而要让它进入中学初等数学的研究还要考虑中学生理解范围及程度，如果理解过于偏难甚至超出他们的能力之外，那也会削弱这份研究的意义，因为这没有让它很好的贯穿中学数学，纯粹的还是一份高等数学的研究，这中间就存在一个取舍的困难。
.五、研究方法1.以中学初等数学的导数及极限思想作为切入点，引入高等数学微分思想和初等数学极限思想的相通性及思维方式的统一性。
2.通过实例及推导验证导数 dy/dx 即就是很小的函数值改变量除以很小的自变量改变量，进而引出微分就是函数值的微小改变量，由此得出微分可以用来求函数的近似值这一思想。
3.引入实例把微积分思想通过逆向思维建立与初等数学导数之间的联系，同时可以运用它来巧妙的来解决一些例如求数列的问题，先对数列表达式进行求导，那么有些复杂的数列就可以很容易的看出它是等差或是等比数列，这样就便于求出它的通项公式，再利用微分对数列的导数通项公式进行还原就得到数列的通项公式，这样就可以简化有些数列通项公式的求解。
4.寻找生活中的非理想化模型（实例），如果按平时思路很难解决甚至不能解决，那么我们可以尝试用微分思想来解，微分解决非理想化模型有着很强的优越性，如不规则面积的求解及非匀变速运动问题等等。
六、研究进度2015年 12月至 2016年 1月，毕业论文选题；2016年 1月至 2016年2月，收集资料与阅读相关文献，构建论文写作思路；2016年 2月至 2016年3月，撰写开题报告；2016年 3月 6至 2016年 4月，修改开题报告；毕业论文框架构思；2016年 4月至 2016年5月，撰写和修改毕业论文；2016年 5月至 2016年6月，毕业论文评审和答辩准备。
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本课题是学生所学专业知识的延续，符合学生专业发展方向，对于提高学生的基本知识和技能，提高研究能力有益。
研究方法和研究计划基本合理，难度合适，学生能够在预定时间内完成该课题的设计。
同意该课题开题。
指导教师意见指导教师（签名）：日期：年月日.系主任审查意见系主任（签名）：日期：年月日备注贵州民族大学毕业论文（设计）指导过程记录表学院：理学院年级2012 级专业班级：信息与计算科学 1 班NO ： 01.学生姓名指导教师职称论文（设计）微积分在中学数学及实际生活中的应用题目序号指导日期论文（设计）进度及指导教师要求教师签字12015.12.11毕业论文选题及布置要求22015.12.31确定毕业论文题目、布置文献研读32016.2.20汇报文献研读、布置撰写开题报告42016.3.11修改和完成开题报告、布置论文写作52016.3.20学生汇报论文写作框架、老师评议62016.4.21提交论文初稿、提出修改意见72016.4.30提交论文第二稿、提出完善意见82016.5.12提交论文第三稿、审议并定稿查重92016.5.20论文交叉评阅102016.5.26提交论文答辩、做答辩前准备贵州民族大学毕业论文（设计）指导教师意见表学院：理学院年级2012 级专业班级：信息与计算科学 1 班NO ： 02学生姓名指导教师职称论文（设计）微积分思想在中学数学及实际生活中的应用题目该文主要探讨了微积分思想在中学数学以及实际生活中的应用。
通过具体的实例分析了如何应用微积分思想解决中学数学中的复杂问题以及生活中的一些实际问题。
论文的选题具有一定的理论意义。
该生在论文写作过程中态度认真，能在老师指导下查文献与搜集资料。
工作努力，按时完成了写作任务。
论文论述较全面，但内容有待深入，逻辑较为严谨，结构合理，结论无误，格式符合论文写作要求。