平面坐标系和图形的位置关系
3.2平面直角坐标系-八年级上册初二数学(北师大版)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平面直角坐标系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对坐标平面内点、线、图形位置关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在本次教学过程中，我深刻感受到平面直角坐标系这一章节的教学既有挑战性，也充满乐趣。通过这节课，我发现学生们在理解坐标系概念、掌握坐标表示等方面表现出了较高的兴趣和积极性。但在实际操作和问题解决中，也暴露出了一些问题。
首先，学生们在建立空间观念方面存在一定难度。在讲解坐标系时，虽然我尽可能用生动的语言和例子进行解释，但仍有部分学生难以将现实中的位置关系与坐标平面上的表示联系起来。因此，在今后的教学中，我需要更多地借助实物、教具等辅助手段，帮助学生形成更直观的空间观念。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“平面直角坐标系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平面直角坐标系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要确定位置的情况？”（如找座位、定位等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平面直角坐标系的奥秘。
小学数学五年级下册美术知识点梳理
小学数学五年级下册美术知识点梳理知识点一：平面图形的基本认识- 正方形、长方形、正三角形、直角三角形、菱形、梯形等的认识和辨认。
- 平面图形的属性：边、角、面积、周长等的概念及计算。
知识点二：立体图形的基本认识- 正方体、长方体、正方锥、正棱锥、正棱柱、圆柱、圆锥等的认识和辨认。
- 立体图形的属性：面、棱、点、体积等的概念及计算。
知识点三：坐标系与图形的位置关系- 建立平面直角坐标系。
- 点、线、图形在坐标系中的位置关系。
知识点四：图形变换- 平移、翻折、旋转、对称等的认识和操作。
- 变形前后的形状、面积和位置的关系。
知识点五：直线、射线和线段- 直线、射线和线段的概念和区别。
- 直线、射线和线段的相互关系和分割。
知识点六：数字与计数- 十亿以内整数的认识和读法。
- 复杂问题的列式和解法。
知识点七：小数- 小数的概念、读法和认识。
- 小数的加减法，小数乘整数的运算。
知识点八：分数- 分数的概念及其意义。
真分数和假分数的认识和转化。
- 分数与整数、分数间的大小比较及其应用。
知识点九：长、面、体积单位- 长度、面积和体积的基本单位及其意义。
- 各种单位之间的换算。
知识点十：时间、温度、金钱单位- 时间、温度和金钱的基本单位及其意义。
- 换算和应用。
知识点十一：二维图形的周长和面积- 不规则图形的周长和面积的计算。
- 规则图形的周长和面积的计算。
知识点十二：数据的收集和整理- 最大值、最小值、众数、中位数和四分位数的认识和计算。
- 数据的图表展示。
知识点十三：初步统计- 调查方式和基本统计概念。
- 数据的收集和整理，数据的阐述和分析。
以上是小学数学五年级下册美术知识点梳理的内容。
第1章 1 平面直角坐标系
§1平面直角坐标系1.坐标系(1)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论. 2.平面直角坐标系的作用平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合. 3.平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P (x ，y )是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 【思维导图】【知能要点】1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.2.了解建立坐标系的方法和原则.3.坐标伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.题型一平面直角坐标系坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决.【例1】如图所示，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)，使得|PM|＝2|PN|，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹方程.分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：|PM|＝2|PN|，即|PM|2＝2|PN|2，结合图形由勾股定理转化为|PO1|2－12＝2(|PO2|2－12).设P(x，y)，由距离公式写出代数关系式，化简整理可得. 解以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0).由已知|PM|＝2|PN|，得|PM|2＝2|PN|2.因为两圆的半径均为1，所以|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1).设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]，即(x－6)2＋y2＝33，所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33(或x2＋y2－12x＋3＝0).【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.1.一种作图工具如图①所示.O是滑槽AB的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系. 试求曲线C 的方程.解 设点D (t ，0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎨⎧（x 0－t ）2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎨⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0. 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y 2.代入x 20＋y 20＝1， 可得x 216＋y 24＝1，即所求的曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.【例2】 如图所示，四边形ABCD 的四个顶点坐标分别为 A (－1，3)，B (－3，－2)，C (4，－2)，D (3，4)，求四边形ABCD 的面积.分析 本例是帮助同学们进一步了解点的坐标.点的坐标还可以表示点到坐标轴的距离(点A (a ，b )到x 轴的距离为|b |，到y 轴的距离为|a |)，从而得出某些我们需要的线段的长度.将四边形ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，其中BE 的长度等于B 到y 轴的距离减去A 到y 轴的距离，AE 的长度为A 到x 轴的距离加上B 到x 轴的距离，依此类推可以求出DF ，CF ，EF 的长度，从而求出四边形ABCD 的面积.解 作AE ⊥BC ，DF ⊥BC .垂足分别为E 、F .S △ABE ＝12·BE ·AE ＝2×52＝5；S △CDF ＝CF ·DF 2＝1×62＝3； S 梯形AEFD ＝（AE ＋DF ）·EF 2＝（5＋6）×42＝22， 所以四边形ABCD 的面积为5＋22＋3＝30.【反思感悟】 本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中的垂直关系，将原图形分割求得面积.2.一直角梯形的上、下底边分别为12和15，两腰分别为33和6，选择适当的坐标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.解 如图所示，以D 为原点，CD 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，33)，B (12，33)，C (15，0)，D (0，0)， |BD |＝319.题型二 坐标伸缩变换平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标进行伸缩变换，展示了坐标法思想.在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.【例3】 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y 后的图形.(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.分析 根据变换公式，分清新旧坐标即可.解 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝13y ，得⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′.将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x ′＋3y ′＝0. 经过伸缩变换后，直线仍然是直线. (2)将⎩⎨⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x ′214＋y ′219＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x ′，y ′表示.3.伸缩变换的坐标表达式为⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y .曲线C 在此变换下变为椭圆x ′2＋y ′216＝1.求曲线C 的方程.解 设P (x ，y )为曲线C 上任意一点.把⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝4y 代入x ′2＋y ′216＝1，得x 2＋y 2＝1.故曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1. 【例4】 求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.分析 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆.解 设变换为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0，可将其代入第二个方程，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.与4x 2＋9y 2＝36比较，将其变为436x 2＋936y 2＝1，即19x 2＋14y 2＝1，比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝13，μ＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝12y ，即将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.【反思感悟】 对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x ，y 和x ′，y ′，比较公式中的系数即可.4.在同一平面直角坐标系中，将曲线x 2－36y 2－8x ＋12＝0变成曲线x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0，求满足图像变化的伸缩变换. 解 x 2－36y 2－8x ＋12＝0可化为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －422－9y 2＝1.① x ′2－y ′2－4x ′＋3＝0可化为 (x ′－2)2－y ′2＝1.②比较①②两式得x ′－2＝x －42，y ′＝3y .故所求伸缩变换为：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .1.已知一条长为6的线段两端点A 、B 分别在x 、y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程. 解 (代入法)设A (a ，0)，B (0，b )，M (x ，y )， ∵|AB |＝6，∴a 2＋b 2＝36.①M 分AB －的比为12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12×01＋12＝23a ，y ＝0＋12b1＋12＝13b .⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .②将②式代入①式，化简为x 216＋y 24＝1.2.已知B 村位于A 村的正西方向1公里处，原计划经过B 村沿着北偏东60°的方向埋设一条地下管线m .但在A 村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W .根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问：埋设地下管线m 的计划需要修改吗？解 解决这一问题的关键，在于确定遗址W 与地下管线m 的相对位置，如图所示，以A 为原点，正东方向和正北方向分别为x 轴和y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (－1 000，0).由W 位于A 的西北方向及|AW |＝400，得W (－2002，2002)，由直线m 过B 点且倾斜角为90°－60°＝30°，得直线m 的方程是x －3y ＋1 000＝0.于是，点W 到直线m 的距离为|－2002－3·2002＋1 000|2＝100(5－2－6)≈113.6>100，所以，埋设地下管线m 的计划可以不修改.3.阐述由曲线y ＝tan x 得到曲线y ＝3tan 2x 的变化过程，并求出坐标伸缩变换. 解 y ＝tan x 的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，得到y ＝tan 2x ，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y ＝3tan 2x . 设y ′＝3tan 2x ′，变换公式为⎩⎨⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0.将其代入y ′＝3tan 2x ′得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .[P 2思考交流]1.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2，3)，5为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －2)2＋(y －3)2＝25.2.在平面直角坐标系中，以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的方程是什么？ 答 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2. [P 5思考交流]我国1990年至2000年的国内生产总值如表1－2(单位：亿元)表1—2特点. 答 统计图从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994～1997年增长较快，1997～2001年放慢了增长速度，2001年之后又以较快的速度增长. [P 6思考交流]1.观察例3(2)中y ＝sin x 的图像与(1)中y ＝2sin 3x 的图像，讨论它们的关系？答 y ＝sin x 的图像和y ＝2sin 3x 的图像可以通过伸缩变换相互得到： y ＝sin x 的图像――————————————→纵坐标不变横坐标缩短为原来的13得y ＝sin 3x 的图像―——————————―→横坐标不变纵坐标伸长为原来的2倍得y ＝2sin 3x 的图像. y ＝2sin 3x 的图像横坐标不变纵坐标缩短为原来的12得y ＝sin 3x 的图像.纵坐标不变横坐标伸长为原来的3倍得y ＝sin x 的图像 2.试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.答 设函数y ＝f (x )与函数y ＝μf (ωx )(其中ω＞0，μ＞0)图像之间的关系为：y ＝μf (ωx )的图像.它们的图像可以通过伸缩变换相互得到. 【规律方法总结】1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程.2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.4.在伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0）的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.一、选择题1.▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D 的坐标是( ) A.(9，－1) B.(－3，1) C.(1，3)D.(2，2)解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标.设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，即⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.，故D (1，3). 答案 C2.要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图像，只需将函数y ＝sin 4x 的图像( )A.向左平移π12个单位 B.向右平移π12个单位 C.向左平移π3个单位D.向右平移π3个单位解析 由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位即可，故选B. 答案 B3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋4y ′2＝1，则曲线C 的方程为( ) A.25x 2＋36y 2＝1 B.9x 2＋100y 2＝1 C.10x ＋24y ＝1D.225x 2＋89y 2＝1解析 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5x ，y ′＝3y代入x ′2＋4y ′2＝1， 得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方程.答案 A4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线 解析 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1λx ′，y ＝1μy ′，(λ，μ不为零). ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λx ′－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1μy ′－b 2＝r 2， 1λ2(x ′－λa )2＋1μ2(y ′－μb )2＝r 2， ∴（x ′－λa ）2（λr ）2＋（y ′－μb ）2（μr ）2＝1.此方程不可能是双曲线.答案 D二、填空题5.△ABC 中，B (－2，0)，C (2，0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹方程为__________.解析 ∵△ABC 的周长为10，∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10.其中|BC |＝4，即有|AB |＋|AC |＝6>4.∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两端点，且2a ＝6，2c ＝4.∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1 (y ≠0).答案 x 29＋y 25＝1 (y ≠0)6.在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后的图形所对应的方程是____________.解析 代入公式，比较可得x ′24＋y ′29＝1.答案 x ′24＋y ′29＝17.y ＝cos x 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y后曲线方程变为________. 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝13y ′， 代入y ＝cos x 中得：13y ′＝cos 12x ′，即：y ′＝3cos 12x ′.答案 y ′＝3cos 12x ′8.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处，则城市B 处于危险区内的时间为________h.解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40，0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区，台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)， 故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 答案 1三、解答题9.已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).证明 法一 坐标法 以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0，0)，设B (a ，0)，C (b ，c )，则AC 的中点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2，|AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2，|AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )，|AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ，∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).法二 向量法 在▱ABCD 中，AC→＝AB →＋AD →， 两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD→， 同理得BD →2＝|BD →|2＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC→， 以上两式相加，得|AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB→＋BA →) ＝2(|AB→|2＋|AD →|2)， 即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2).10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为中心在原点的单位圆，求上述平移变换与伸缩变换，以及这两种变换的合成变换.解 先通过平移变换⎩⎨⎧x ′＝x －1，y ′＝x ＋2把椭圆（x －1）29＋（y ＋2）24＝1变为椭圆x ′29＋y ′24＝1.再通过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝x ′3，y ″＝y ′2把椭圆x ′29＋y ′24＝1变为单位圆x ″2＋y ″2＝1.由上述两种变换合成的变换是⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝13（x －1），y ″＝12（y ＋2）.习题1－1 (第7页)A 组1.由两点式写直线的方程为35x ＋36y －41＝0.2.直线x 6＋y 4＝－2与x 轴、y 轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(－12，0)、(0，－8)、－23.3.解 △ABC 是以∠A 为直角的直角三角形，且AB 平行于x 轴，AC 平行于y 轴. ∴∠A 的平分线的斜率为1，所在直线方程为x －y ＋1＝0.BC 所在直线的方程为4x ＋3y －29＝0，解⎩⎨⎧x －y ＋1＝0，4x ＋3y －29＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝267，y ＝337.∠A 的平分线的长为1227.4.解 法一 由两点式写出直线AB 的方程为3x ＋y －6＝0.将点C (4，－6)代入方程3×4＋(－6)－6＝0，点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 在同一条直线上.法二 ∵k AB ＝－3，k BC ＝－3∴A 、B 、C 三点在同一条直线上.5.解 与x 轴交点 令y ＝0，2x －10＝0，x ＝5，与y 轴交 点令x ＝0，－5y －10＝0，y ＝－2，S △＝12×5×2＝5.6.证明 如图：矩形OABC .设OA ＝a ，OC ＝b ，以O 为原点建立如图所示的直角坐标系.则O 、A 、B 、C 的坐标分别为(0，0)，(a ，0)，(a ，b )，(0，b )|OB |＝a 2＋b 2， |AC |＝b 2＋（－a ）2＝a 2＋b 2，∴|OB |＝|AC |.结论得证.7.解 (1)设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2代入C 、D 两点得⎩⎨⎧（－1－a ）2＋1＝r 2，（1－a ）2＋9＝r 2，解得a ＝2，r ＝10，∴方程为(x －2)2＋y 2＝10(2)设圆心为(0，b )m则5＝|b －6|，b ＝1或11，∴方程为x 2＋(y －1)2＝25或x 2＋(y －11)2＝25.(3)设方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∵过A 、B 两点，圆心在2x －y ＝3上，∴⎩⎨⎧（5－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，2a －b ＝3，解得a ＝2，b ＝1，r ＝10.∴方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.(4)设圆方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意可得⎩⎨⎧（3－a ）2＋（2－b ）2＝r 2，b ＝2a ，r ＝|2a －b ＋5|1＋4，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝45，b ＝85，r ＝5， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y －4)2＝5或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝5， 图略.8.解 以底边中点为原点，底边所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.设△ABC ，底边BC ＝8，高为AD ＝5，则B (－4，0)，C (4，0)，D (0，0)，A (0，5)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2则⎩⎨⎧（－4－a ）2＋b 2＝r 2，（4－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（5－b ）2＝r 2，得a ＝0，b ＝910，r 2＝412100，∴圆方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －9102＝1 681100. 9.解 |A 1F 1|＋|A 2F 1|＝2＋14＝16＝2a ，a ＝8，F 1(－6，0)，F 2(6，0)，c ＝6，∴b 2＝28.∴椭圆标准方程为x 264＋y 228＝1.10.解 (1)由题意知a 2＝8，b 2＝5，椭圆方程为x 28＋y 25＝1.(2)由题意知a ＝3b当焦点在x 轴上时a ＝3，b ＝1，椭圆方程：x 29＋y 21＝1；当焦点在y 轴上时b ＝3，a ＝9，椭圆方程：x 29＋y 281＝1.(3)由题意知c ＝23，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，P (5，－6)在椭圆上.∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 2＋6b 2＝1，a 2－b 2＝12，解得a 2＝20，b 2＝8， ∴椭圆方程为x 220＋y 28＝1.11.略B 组1.证明 ∵圆直径的端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)∴圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， 半径为（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）22∴圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）42＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24， x 2－x (x 1＋x 2)＋（x 1＋x 2）24－（x 1－x 2）24＋y 2－y (y 1＋y 2)＋（y 1＋y 2）24－（y 1－y 2）24＝0， x 2－x (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 2－y (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0，(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0，∴圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.2.解 由⎩⎨⎧（x －3）2＋（y －5）2＝4，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋（y －5）2＝1得x －54＝0，∴直线方程为x －54＝0.3.解 以地球球心与距地最近点所在直线为x 轴，以最近点与最远点的中点为原点建立平面直角坐标系.则2a ＝6 636＋8 196＝14 832，a ＝7 416，a 2＝54 997 056，c ＝8 196－7 416＝780，∴b 2＝54 388 656.∴椭圆方程为x 254 997 056＋y 254 388 656＝1.。
小学数学中的位置原理
小学数学中的位置原理
小学数学中的位置原理指的是，确定一个物体相对于另一个物体的位置关系。
具体来说，位置原理包括以下几个方面：
1. 在二维平面上，可以使用坐标系来确定一个点的位置。
常用的是直角坐标系，其中有一个原点和两条互相垂直的坐标轴，通过在坐标轴上确定点的距离，可以确定点的位置。
2. 位置原理还包括比较物体之间的位置关系，如左右、上下、前后等。
比较物体位置关系可以帮助学生进行加减法的运算，例如：“A在B的左边，B在C的右边，那么A在C的左边。
”
3. 在平面上，可以使用方向来确定一个点的位置。
常用的方向有东、西、南、北，也可以使用相对于当前方向的角度来确定方位。
4. 位置原理还涉及到平移、旋转、翻转等变换，通过这些变换可以改变物体的位置关系。
学生可以通过进行这些变换来加深对位置原理的理解。
小学数学中的位置原理是建立整个数学学科中的基础概念，为后续的几何学习打下坚实的基础。
在学习过程中，教师通常会通过实际示例、图形绘制等方法来帮助学生理解和运用位置原理。
冀教版数学八年级下册《19.3 坐标与图形的位置》教学设计4
冀教版数学八年级下册《19.3 坐标与图形的位置》教学设计4一. 教材分析冀教版数学八年级下册《19.3 坐标与图形的位置》是学生在学习了平面直角坐标系、坐标与图形的变化等知识的基础上，进一步探究坐标与图形的位置关系。
本节课的内容主要包括点的坐标、直线方程、圆的方程等，通过这些知识的学习，使学生能够更好地理解坐标与图形的位置关系，提高他们的空间想象能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了平面直角坐标系、坐标与图形的变化等知识，具备了一定的数学基础。
但部分学生对坐标与图形的位置关系的理解还不够深入，需要通过本节课的学习来进一步巩固和提高。
此外，学生对计算机软件绘制图形的能力也各不相同，需要在教学过程中进行针对性的指导。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握点的坐标、直线方程、圆的方程等基本知识，理解坐标与图形的位置关系。
2.过程与方法：通过观察、操作、探究等方法，提高学生的空间想象能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：点的坐标、直线方程、圆的方程等基本知识。
2.难点：坐标与图形的位置关系的理解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际例子，引导学生观察、操作、探究，提高他们的空间想象能力和解决问题的能力。
2.小组合作学习：引导学生相互讨论、交流，培养他们的团队协作能力。
3.启发式教学：教师提问，引导学生思考，激发他们的学习兴趣。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。
2.准备计算机软件，以便学生绘制图形。
3.准备练习题，以便进行巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际例子，如判断某个点是否在某个三角形内，引导学生回顾平面直角坐标系和坐标与图形的变化等知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师讲解点的坐标、直线方程、圆的方程等基本知识，并通过图形进行展示，让学生直观地理解坐标与图形的位置关系。
图形与位置(教案)2023-2024学年数学六年级下册北师大版
教案：图形与位置20232024学年数学六年级下册北师大版一、教学目标1. 知识与技能：使学生能够理解和运用坐标系，能够在平面直角坐标系中确定点的位置，理解图形的平移、旋转等变换，并能用语言、符号和图形等多种方式表达和交流。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理、交流等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力，提高学生解决问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生合作交流、积极探究的学习态度，增强学生对数学美的感受。
二、教学内容1. 坐标系的概念及运用2. 平面直角坐标系中点的位置确定3. 图形的平移、旋转等变换4. 图形与位置的相互关系三、教学重点与难点1. 教学重点：坐标系的理解和应用，图形的平移、旋转等变换。
2. 教学难点：平面直角坐标系中点的位置确定，图形与位置的相互关系。
四、教具与学具准备1. 教具：坐标系图、平面直角坐标系图、图形卡片等。
2. 学具：坐标系练习册、图形卡片、直尺、量角器等。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例引入坐标系和图形变换的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课：讲解坐标系的概念，引导学生理解平面直角坐标系，并学会在坐标系中确定点的位置。
接着，引入图形的平移、旋转等变换，让学生通过观察、操作等方式理解和掌握。
3. 练习：设计练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 作业布置：布置相关的练习题，让学生回家完成。
六、板书设计1. 板书图形与位置2. 板书内容：坐标系的概念、平面直角坐标系中点的位置确定、图形的平移、旋转等变换、图形与位置的相互关系。
七、作业设计1. 基础题：完成坐标系练习册的相关练习。
2. 提高题：设计一些综合性的题目，让学生运用所学知识解决问题。
3. 拓展题：引导学生进行深入探究，提高学生的思维能力。
八、课后反思本节课通过生动的实例和丰富的活动，使学生能够理解和运用坐标系，理解和掌握图形的平移、旋转等变换。
在教学过程中，注重学生的参与和思考，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。
七年级数学下册第七章平面直角坐标系7.2.2用坐标表示平移课件新版新人教版
课堂导学
3．把A(2，3)向左平移2个单位，再向上平移6个单位 得到的点的坐标是____(_0_，__9_) _．
4．线段AB是由线段CD平移得到，点A(－2，1)的对 应点为C(1，1)，则点B(3，2)的对应点D的坐标是 __(_6_，__2_)___．
5．如图，三角形ABC的顶点都在 方格纸的格点上， 如果将三角形 ABC先向右平移4个单位长度，再 向下平移1个单位长度，得到三角 形A1B1C1，那么点A的对应点A1的 坐标为___(_2_，__5_)__．
课堂导学
6．如图，把三角形ABC经过一定的变换得到三角形 A′B′C′，如果三角形ABC上点P的坐标为(a，b)，那 么点P变换后的对应点P′的坐标为_(_a_＋__3_，__b_＋__2_)__．
2. 单击鼠标右键，选择“更改图片”，选
3. 在“替换为”下拉列表中选择替换字体。 4. 点击“替换”按钮，完成。
PPT放映 设置 PPT放映场合不同，放映的要求也不同，下面将例举几种常用的放映设置方式。
让PPT停止自动播放
1. 单击”幻灯片放映”选项卡，去除“使用计时”选项即可。
让PPT进行循环播放
课堂导学
对点训练一 1．已知点A(3，－2)，写出这点经过平移后得到的点
的坐标： (1)向右平移3个单位得到__(6_，__－__2_)，或向左平移3个
单位得到__(_0_，__－__2_) _； (2)向上平移3个单位得到__(3_，__1_)__，或向下平移3个
单位得到__(3_，__－__5_)．
《位置与顺序》课件
介绍插入排序、冒泡排序、选择排序、快速排序等排序算法。
3 排序的应用场景
学会根据不同业务场景合理运用排序，在PPT演示中生动体现。
文本的排版
文本对齐方式
讨论PPT文本的左右、上下对齐 方式。
行距和字距
介绍行距和字距的定义、设置 和调整方法。
标题格式
根据不同章节和主题，设置合 理的标题格式，让PPT更加易读。
包含关系
定义几何图形包含关系，在PPT中 如何呈现。
相离关系
定义几何图形相离关系，在PPT中 如何呈现。
相交关系
定义几何图形相交关系，在PPT中 如何呈现。
嵌套关系
嵌套定义
什么是嵌套，嵌套的使用场景。
应用举例
演示嵌套在图形和文本中的应用方法。
排序
1 什么是排序
定义排序和不同类型的排序，了解排序在PPT中的应用。
PPT演示技巧
图片和文本的搭配
如何合理搭配图片和文本，让PPT 更加生动。
动画的使用
学会根据不同内容运用动画，提 高PPT效果。
PPT设计的基本原则
讲述PPT设计的基本原则和注意事 项，让PPT更具吸引力和说服力。
总结
本章重点讲述了坐标系、平面图形位置关系、排序、文本排版等概念及在PPT制作中的应用方法。希望本课程可以助 您了解更多PPT技巧和知识点，帮助您制作出更加生动、精彩的PPT。 课后练习题：
位置与顺序
欢迎来到《位置与顺序》PPT课件。本课程将带领您深入了解坐标系、位置关 系、文本排版、排序等相关概念，助您成为PPT制作的高手！
坐标系
1
什么是坐标系
定义坐标系及坐标轴。
坐标系的种类
2
一维、二维、三维坐标系的特点和应用。
《平面直角坐标系》数学教学PPT课件(5篇)
新知讲解
练习：
如图，在平面直角坐标系中，你能分别写出点A，B，
C，D的坐标吗？x轴和y轴上的点的坐标有什么特点？原
点的坐标是什么？
新知讲解
解：
A（4，0），B（-2，0），
C（0，5），D（0，-3）
① x轴上的点的纵坐标为0，一般记为（x，0）；
② y轴上的点的横坐标为0，一般记为（0，y）；
横轴，一般取向右方向为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，
一般取向上方向为正方向。
3．坐标原点：在平面直角坐标系中，两坐标轴的交点为平面
直角坐标系的原点，一般用O来表示。
再 见
第七章 平面直角坐标系
平面直角坐标系
学习目标
1
了解平面直角坐标系及相关概念.
2
用象限或坐标轴说明直角坐标系内点的位置，能根据横、纵坐
为象限.
Ⅰ
-2
Ⅲ
第三象限
-1
-2
-3
-4
O
1
4
2
3
x
Ⅳ
第四象限
5
第二象限
4
Ⅱ
3
y
第一象限
点的位置 横坐标符号 纵坐标符号
Ⅰ
第一象限
2
1
-4
-1
-3
-2
Ⅲ
第三象限
-1
-2
-3
-4
第二象限
O
1
4
2
3
x
Ⅳ
第四象限
第三象限
第四象限
x轴
y轴
＋
－
－
＋
＋
＋
－
－
纵坐标为0
横坐标为0
例2
位置原理知识点总结
位置原理知识点总结位置原理是指几何图形的位置关系，在几何学中，位置原理是一个重要的概念，它涉及到图形之间的相对位置，以及用来描述这些位置关系的概念和术语。
在几何图形的位置原理中，我们包括了线、点、面等对象的位置关系，以及相交、平行、垂直、相等等概念。
了解和掌握位置原理，有助于我们更好地理解几何图形之间的关系，从而更好地进行几何学的研究和应用。
一、点、线、面的位置关系1.点的位置关系在几何学中，点是最基本的几何对象，它是零维的。
当我们讨论点的位置关系时，主要涉及到点的相对位置和点的在图形上的位置。
在平面几何中，我们通常用坐标系来描述点的位置，两个点之间的距离可以通过距离公式来计算，而点到直线或者点到点之间的位置关系可以通过垂直、平行等概念来描述。
2.线的位置关系直线是一种零维图形，它包括无穷多个点，线的位置关系描述了两条直线之间的相对位置。
在平面几何中，我们通常用直线的斜率、截距等概念来描述直线的位置关系，两条直线是否平行、相交等问题都可以通过这些概念来描述和解决。
3.面的位置关系面是由无数个点和线构成的，它是二维的。
在几何图形的位置原理中，我们需要了解和掌握平面图形之间的位置关系，比如平行四边形的特性、三角形的相似性等概念，在描述图形的位置关系时，我们需要掌握这些概念和方法，从而更准确地描述和分析图形之间的位置关系。
二、图形的位置关系在几何图形的位置原理中，我们需要了解和掌握不同图形之间的位置关系，这包括了点、线、面等图形之间的位置关系，以及描述这些位置关系的方法和概念。
1.点与直线的位置关系在几何学中，我们通常用坐标系来描述点和直线的位置关系，而点到直线的距离可以通过距离公式来计算，我们也可以通过垂直、平行等概念来描述这种位置关系，了解点和直线之间的位置关系，有助于我们更好地理解几何图形在平面上的位置关系。
2.直线与直线的位置关系两条直线之间的位置关系通常可以通过斜率和截距来描述，我们可以通过斜率的大小和符号来判断两条直线的相对位置，以及通过截距的大小和符号来判断两条直线之间的位置关系，了解直线之间的位置关系，有助于我们更好地理解几何图形在平面上的位置关系。
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平面坐标系和图形的位置关系在数学中，平面坐标系是一种用来表示平面上点的位置关系的
工具。
它由两条相互垂直并相交于原点的直线组成，我们通常将
这两条直线称为x轴和y轴。
根据这个平面坐标系，我们能够准
确地描述图形在平面上的位置关系。
平面坐标系以原点为交点，分成四个象限，分别为第一象限、
第二象限、第三象限和第四象限。
通过确定一个点在坐标系中的
位置，我们可以轻松地判断图形的位置关系。
1. 图形在第一象限的位置关系
当图形中的所有点的x坐标和y坐标均为正数时，我们可以判
断该图形位于第一象限。
在第一象限中，x轴的值逐渐增大，y轴
的值逐渐增大，因此图形一般位于平面上方，同时位于平面的右侧。
2. 图形在第二象限的位置关系
当图形中的所有点的x坐标为负数，而y坐标为正数时，我们
可以判断该图形位于第二象限。
在第二象限中，x轴的值逐渐减小，
y轴的值逐渐增大，因此图形一般位于平面上方，同时位于平面的左侧。
3. 图形在第三象限的位置关系
当图形中的所有点的x坐标和y坐标均为负数时，我们可以判
断该图形位于第三象限。
在第三象限中，x轴的值逐渐减小，y轴
的值逐渐减小，因此图形一般位于平面下方，同时位于平面的左侧。
4. 图形在第四象限的位置关系
当图形中的所有点的x坐标为正数，而y坐标为负数时，我们
可以判断该图形位于第四象限。
在第四象限中，x轴的值逐渐增大，y轴的值逐渐减小，因此图形一般位于平面下方，同时位于平面的右侧。
除了这四个象限外，我们还可以根据点在坐标系中的具体位置
来判断图形的位置关系。
5. 图形在坐标轴上的位置关系
当图形上的点恰好位于坐标轴上时，我们可以判断该图形与坐
标轴相交或者落在坐标轴上。
如果图形上的点在x轴上，则该图
形与x轴相交；如果图形上的点在y轴上，则该图形与y轴相交。
6. 图形在坐标系内的位置关系
当图形位于平面的某一部分时，我们可以描述图形与坐标系的
位置关系。
例如，如果图形在某一象限内，我们可以描述该图形
位于该象限内；如果图形的一部分位于两个象限内，我们可以描
述该图形位于这两个象限的交界处。
平面坐标系提供了一种便捷的方式来描述图形在平面上的位置
关系。
通过理解和掌握平面坐标系，我们能够更加准确地分析和
解决与位置关系相关的数学问题。
同时，对于图形的位置关系的
理解也有助于我们在日常生活中更好地应用数学知识。
总结起来，平面坐标系为我们提供了一个准确描述图形在平面
上位置关系的工具，包括四个象限、坐标轴上的位置关系以及图
形与坐标系的具体位置关系。
通过对平面坐标系的理解和应用，
我们能够更好地解决与位置关系相关的问题。