小波变换课件第4章小波变换的实现技术

第4章 小波变换的实现技术Mallat 算法双正交小波变换的Mallat 算法：设{}n h h =、{}n g g =、{}n h h =、{}n g g =为实系数双正交小波滤波器。

h ，g 是小波分析滤波器，h ，g 是小波综合滤波器。

h 表示h 的逆序，即n n h h -=。

若输入信号为n a ，它的低频部份和高频部份以此为1n a -和1n d -，小波分解与重构的卷积算法：11()()n n n na D a h d D a g --⎧⎪=*⎨=*⎪⎩ n11()()n n a Uah Ud g --=*+*先进行输入信号和分析滤波器的巻积，再隔点采样，以形成低频和高频信号。

对于有限的数据量，通过量次小波转变后数据量大减，因此需对输入数据进行处置。

4.1.1 边界延拓方式 下面给出几种经验方式。

1. 补零延拓是假定边界之外的信号全数为零，这种延拓方式的缺点是，若是输入信号在边界点的值与零相差专门大，则零延拓意味着在边界处加入了高频成份，造成专门大误差。

实际应用中很少采用。

0121,0,,,,...,,0,0,......n s s s s -2.简单周期延拓将信号看做一个周期信号,即k n k s s +=。

简单周期延拓后的信号变成这种延拓方式的不足的地方在于，当信号两头边界值相差专门大时，延拓后的信号将存在周期性的突变，也就是说简单周期延拓可在边界引入大量高频成份，从而产生较大误差。

3. 周期对称延拓0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0121,,,...,,n s s s s -0,...s 1,...,n s -这种方式是将原信号在边界上作对称折叠，一般分二1）当与之做卷积的滤波器为奇数时，周期延拓信号为2）当与之做卷积的滤波器为偶数时，周期延拓信号为4. 滑腻常数延拓在原信号两头添加与端点数据相同的常数。

5. 光滑延拓在原信号两头用线性外插法补充采样值，即沿着信号两头包络线的一阶导数方向增加采样值。

实际应历时，在变换前对输入信号进行边界进行延拓，使之变成无穷长的信号，变换后，、在尽可能不丢失信息的情形下，适当截取部份变换系数作为低频信号和高频信号，以保证小波分解后的数据总量维持不变。

见下图。

为实现完全重构，先对有限长序列进行延拓，然后再插值和滤波，对滤波后的信号相加，再适当截取，以恢恢复信号。

见下图。

01221,,,...,,,n ns s s s s--0121,,,...,,ns s s s-0121,,,...,,ns s s s-11,,...n ns s--00...,,,s s21012,...,,,,,...ns s s s s-321212,,,...,,,,...n n ns s s s ss---10012,,...,,,,...n ns s s s s--10112,,,...,,,n n ns s s s s---……………………………………………………………………………………………………4.1.3 用小波处置函数／信号的大体步骤 1. 初始化● 对于时刻t 的持续信号()f t ，选择适当的j J =，使得2J 大于信号的抽样频率(不同 的应用决定了不同的抽样率)。

● 设信号在最高初始分辨率级J 下的滑腻逼近为j f ＝()V j j P f t ∈，则有,()()J j k j k kf t c t φ=∑由式（3－22）, 既1/21()L n Na f N n -≈可得/22(/2)J J J k c f k -≈在实际应用中，由原信号肯定的k 的范围是有限的，譬如信号的持续时刻为01t ≤≤，则k 的范围为021Jk ≤≤-。

2. 小波分解应用Mallat 算法，取得离散信号的小波变换011{,,,...,}J c d d d -，相应地，取得()f t 的分辨率表示：0011()()()()()......J J f t f t d t d t d t -=++++其中00()f t V ∈，00d W ∈，11d W ∈，...， ()j j d t W ∈。

具体地00000,00()()()f t c t c t φφ==,,()()j j k j k k kd t d t ψ∈=∑,0,1,,1...j J =-实际应用中，能够按照需要控制分解的级数，不必然达到0j =级。

3. 小波系数处置针对不同的应用目标，对小波系数011{,,,...}J c d d d-进行处置取得新的小波系数0011{,,,...}J c d d d -。

譬如，在进行信号的数据紧缩时，将绝对值小于某一阈值的系数置为零，保留剩余的系数，用于重构信号；而在去噪时，将绝对值小于某一阈值的系数置为零，用于重构去噪信号。

4. 小波重构对处置后的小波系数0011{,,,...}J c d d d -，重构出分辨率j J =时的离散信号Jc 。

一般地，J c 是Jc 的逼近信号。

进而能够取得()J f t 或()f t 的重构信号()J f t 。

对于离散信号的小波处置进程为 ，设{}n b （0,1,...,1n N =-）是一个离散输入信号，采样距离为1N-，其中2LN =。

可将n b 与,()()V L n L n L nf t a t φ=∈∑联系起来（φ是正交尺度函数），使n b 为()f t 的均匀采样，即()f t ＝1()f N n -。

按照式（3－22）可得1/2Ln n Na b ≈。

由此可取得()f t 在最高分辨率L 下的初始系数序列{}Ln a 。

然后，利用Mallat 算法对该序列进行小波分解、对小波系数处置和处置后的系数进行小波重构等。

4.1.4 应用举例［例］对单位区间上一个持续信号，将信号离散化为82个采样值，相应的逼近信号记为8()f t 。

用Haar 小波对信号进行3级小波分解，写出信号8()f t 的多分辨表示，并画出该信号在不同分辨率下的逼近信号7()f t 、6()f t 和5()f t 的图形。

假设信号为1()sin(4)cos(10)2f t t t ππ=+，它在8V 中的投影记为8()f t ，则8()f t 的图 形见图4－2a 。

用Haar 小波对信号进行3级小波分解，其多分辨表示为877()()()f t f t d t =+667()()()f t d t d t =++ 5567()()()()f t d t d t d t =+++其中7()f t 、6()f t 、5()f t 波形如图4－2b 、c 、d 所示。

图4-2 一个函数的多分辨逼近函数[例] 对于例4-2中的信号及逼近信号。

若用正交尺度函数和正交小波函数进行小波分 析解，则可取得：00127(),,...f t f d d d d =+++++其中，0000()()f t c t V φ=∈，,()()j j k j kj k kd t d t W ψ∈=∈∑，0,1,...,7j =1）用Haar 尺度函数和Haar 小波函数分解信号，令绝对值最小的80%和90%的系数为0，对信号进行小波紧缩。

画出相应的重构信号波形，并求出相应的相对误差。

2）用Daubechice 尺度函数和Daubechice 小波 (如db2)分解信号，令绝对值最小的80%和90%的系数为0，对信号进行小波紧缩。

画出相应的重构信号波形，并求出相应的相对差。

3）比较1）和2）的紧缩效果。

4）用FFT 在相同条件下紧缩信号，所得的相对误差如何。

求解进程如下：1） 用Haar 小波函数分解信号，令绝对值最小的80%和90%的系数为0，取得重构信号图形如图4-3a 所示。

所得的均方差为；相对误差为。

若是令绝对值最小的90%的系数为0，取得重构信号图形如图4-3b 所示。

在这种情形下，取得均方误差为，相对误差为。

图4-3 用Haar 小波紧缩后的重构信号2） 用Daubechice 小波函数(如Db2)分解信号，令绝对值最小的80%的系数为0，取得的重构信号波形如图4-4a 所示，取得均方误差为，相对误差为。

若是令绝对值最小的90%的系数为0，取得重构信号图形如图4-4b所示，这时取得均方误差为，相对误差为。

图4-4 用Daubechice小波紧缩后的重构信号3）比较1）和2）的紧缩效果能够看出，对于同一种小波，保留更多的变换后的系数能够取得更好的重构信号。

对于相同比例的保留系数，用Daubechice小波分解信号，再重构，取得的效果好于Haar小波。

这是因为Daubechice小波的持续性较好，更适合处置持续性较好的信号。

4) 用FFT对信号进行处置。

令绝对值最小的80%的系数为0，则重构信号的图形如图4-5a10-。

所示。

取得均方误差为，相对误差为⨯5图4-5 用FFT紧缩后的重构信号注释：上两例是说明用小波处置信号的大体进程和在紧缩中的应用，并非是想与FFT比较谁的效果好。

实际上，这里采用的信号周期性专门好（正弦波的叠加），用傅立叶变换处置更有优势。

一般地，小波更适合处置突变信号，而傅立叶变换更适合处置周期信号。

多孔算法Mallat算法存在的问题是数据逐级减少问题。

原因是逐级二抽样，每通过一级小波分解，数据减少一半，因此，随着分辨率减少，低频分量的数据愈来愈少。

● 多孔算法（非抽样小波变换或平稳小波变换）两通道Mallat 算法等价的z 变换如图4－7表示。

记1()()H z h z -=，1()()G z g z -=● 二分树算法Mallat 算法的小波分解迭代进程如图4-8所示。

其中，1()()()j j x z x z H z -=，1()()()j j d z x z G z -=● z 变换的等效易位性质：因为左侧 1/21/21()[()()]()2y z x z x z h z =+- 右边 1/21/21()[()()()()]2y z x z h z x z h z =+-2↓()h z ()x z ()y z ⇔2↓()x z ()y z 2()h z图4-9 Mallat 算法的一种等效形式若是不考虑每一个分支的最后的抽样环节，则1()j dz -，2()j d z -，2()j d z -，3()j d z -，...相当于()jx z 中各点的小波变换全数计算出来，这叫非抽样小波变换。

如图4-9所示。

2()jh z 表示在滤波器{}n h 的任意两点间插入21j -个零所取得的滤波器Z 变换，所以，非抽样小波变换就是把滤波器h ，g 个相邻点之间插入21j -个零再与低频信号做卷积，故称多孔算法。

4()G z 是将g 每两个点之间插入三个零取得的新滤波器，2()H z 是将h 每两个点之间插入一个零取得的新滤波器，如此就把每一级的抽取移到了最后，保证了总数据不会逐级减少，有效地实现了Mallat 算法。