从梯子的倾斜程度谈起学案
初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》教案
初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》教案从梯子的倾斜水平谈起(二)教学目的(一)教学知识点1.阅历探求直角三角形中边角关系的进程，了解正弦和余弦的意义.2.可以运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能依据直角三角形中的边角关系，停止复杂的计算.4.了解锐角三角函数的意义.(二)才干训练要求1.阅历类比、猜想等进程.开展合情推理才干，能有条理地、明晰地论述自己的观念.2.体会数形结合的思想，并应用它剖析、处置效果，提高处置效果的才干.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学发生猎奇心和求知欲.2.构成协作交流的看法以及独立思索的习气教学重点1.了解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能依据直角三角形的边角关系，停止复杂的计算.教学难点用函数的观念了解正弦、余弦和正切.教学方法探求交流法.教具预备多媒体演示.教学进程Ⅰ.创设情境，提出效果，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来描写梯子的倾斜水平，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小有关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.如今我们提出两个效果：[效果1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[效果2]梯子的倾斜水平与这些比有关吗?假设有，是怎样的关系?Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2) 有什么关系? 呢?(3)假设改动A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)假设改动梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同窗们讨论后回答.[生]∵A1C1BC1，A2C2BC2，A1C1//A2C2.Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.(相似三角形对应边成比例).由于A2是梯子A1B上的恣意点，所以，假设改动A2在梯子A1B上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只需梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小有关.[生]假设改动梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改动.[师]我们会发现这是一个变化的进程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改动而改动，同时，假设给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是独一确定的.这是一种什么关系呢?[生]函数关系.[师]很好!下面我们有了和定义正切相反的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt△ABC中，假设锐角A确定，那么A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，A的对边与邻边的比叫做A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝A的邻边与斜边的比叫做A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA=锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己的言语解释一下你是如何了解〝sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数〞呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.A的对边与斜边的比值，A的邻边与斜边的比值，A的对边与邻边的比值也都独一确定.在〝A的三角函数〞概念中，A是自变量，其取值范围是0A；三个比值是因变量.当A变化时，三个比值也区分有独一确定的值与之对应.2.梯子的倾斜水平与sinA和cosA的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜水平与tanA有关系：tanA 的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜水平能否也和sinA、cosA有关系呢?假设有关系，是怎样的关系? [生]如下图，AB＝A1B1，在Rt△ABC中，sinA= ，在Rt△A1B1C中，sinA1= .即sinAsinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，所以梯子的倾斜水平与sinA有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜水平.[生]异样道理cosA= cosA1＝ ,∵AB=A1B1 ＞即cosAcosA1，所以梯子的倾斜水平与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.[师]同窗们剖析得很棒，可以结合图形剖析就更为妙哉!从实际上讲正弦和余弦都可以描写梯子的倾斜水平，但实践中通常运用正切.3.例题解说多媒体演示.[例1]如图，在Rt△ABC中，B=90，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.剖析：sinA不是〝sin〞与〝A〞的乘积，sinA表示A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，sinA＝0.6，＝0.6. 解：在Rt△ABC中，B＝90，AC＝200.sinA＝0.6，即= 0.6，BC＝AC0.6＝2021.6=120.思索：(1)cosA＝?(2)sinC＝？ cosC＝?(3)由下面计算，你能猜想出什么结论?解：依据勾股定理，得AB＝ =160.在Rt△ABC中，CB＝90.cosA＝＝0.8，sinC= =0.8，cosC＝＝0.6，由下面的计算可知sinA＝cosC＝O.6，cosA＝sinC＝0.8.由于C＝90，所以，结论为〝一个锐角的正弦等于它余角的余弦〞〝一个锐角的余弦等于它余角的正弦〞.[例2]做一做：如图，在Rt△ABC中，C=90，cosA＝，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出相似例1的结论吗?请用普通式表达.剖析：这是正弦、余弦定义的进一步运用，同时进一步浸透sin(90-A)＝cosA，cos(90-A)=sinA.解：在Rt△ABC中，C＝90，AC=10，cosA＝，cosA＝ , AB= ,sinB＝依据勾股定理，得BC2＝AB2-AC2＝( )2-102=BC＝ .cosB＝ ,[sinA＝可以得出同例1一样的结论.∵B=90，sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90-A)；cosA＝sinB＝sin(90-A)，即cosA＝sin(90-A).Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.剖析：要求sinB，cosB，tanB，先要结构B所在的直角三角形.依据等腰三角形〝三线合一〞的性质，可过A作ADBC，D为垂足.解：过A作ADBC，D为垂足.AB=AC，BD=DC= BC=3.在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，AD＝4.sinB＝ cosB＝ ,tanB= .2.在△ABC中， C＝90，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积.解：sinA= ，∵sinA= ，BC＝20，AB＝＝＝25.在Rt△BC中，AC＝ =15，ABC的周长＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，△ABC的面积： ACBC= 1520＝1503.(2021年陕西)(补充练习)在△ABC中.C=90，假定tanA= ，那么sinA= .解：如图，tanA= = .设BC=x，AC=2x，依据勾股定理，得AB= .sinA= .Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念看法了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，A 是自变量，其取值范围是090；三个比值是因变量.当A确定时，三个比值区分独一确定；当A变化时，三个比值也区分有独一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思索了正弦和余弦的值与梯子倾斜水平之间的关系以及用正弦和余弦的定义来处置实践效果.Ⅴ.课后作业习题1、2第1、2、3、4题Ⅵ.活动与探求：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝ABBD.(用正弦、余弦函数的定义证明)[进程]依据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只需角度相反，其正弦值(或余弦值)就相等，不用只局限于某一个直角三角形中，在Rt△ABC中，CDAB.所以图中含有三个直角三角形.例如B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，触及线段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定义得cosB＝，cosB= . [结果]在Rt△ABC中，cosB＝又∵CDAB.在Rt△CDB中，cosB＝= BC2＝ABBD.板书设计1.1.2 从梯子倾斜水平谈起(二)1.正弦、余弦的定义在Kt△ABC中，假设锐角A确定. sinA＝ [cosA＝2.梯子的倾斜水平与sinA和cosA有关吗?sinA的值越大，梯子越陡cosA的值越小，梯子越陡3.例题解说4.随堂练习。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
第一章解直角三角形課題：§1、1從梯子的傾斜程度談起——第一課時一、教學目標：1、通過具體問題情境,抽象出銳角的正切的概念，並讓學生進一步體會用直角三角形兩直角邊的比值來刻畫梯子的傾斜程度即傾斜角的大小。
2、使學生理解從特殊到一般是認識事物的基本方法。
重點：通過豐富的實例，抽象出銳角的正切的概念。
難點：使學生理解：在直角三角形中，當銳角A固定時，它的對邊與鄰邊的比值也是一個固定值。
二、教學和活動過程：（一）教學準備：制做相應的課件（二）教學過程：第一環節：引入新課：課件播放1分鐘的錄像，說明梯子是我們日常生活中常見的物體第二環節：新課講解課件展示梯子實物，提問下列問題：實例1：（1）在圖1-1中，梯子AB和EF哪個更陡？你是怎樣判斷的？你有幾種判斷方法？實例2：2.5m2m5m 5mFEDCBA（2）在圖1-2中，梯子AB 和EF 哪個更陡？ 你是怎樣判斷的？學生四人小組討論 設計意圖：1、課件展示梯子實物，教師應引導學生分析後，抓出關鍵的直角三角形。
2、實例1學生還可能有的思路： 1）測量∠B,∠F 的大小2）在DF 上截取DM=CB,然後比較∠EMD 與∠F 的大小。
3、實例2學生也會有許多自己的想法，教師應給學生充分的發揮空間，讓他們各抒己見，從而使課堂氣氛達到第一次高潮。
實例3： 想一想：如圖(見課本)：如果現在有一個梯子搭在城牆上， 我們手頭只有皮尺與計算器，請同學們思考我們可以通過測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？ 學生答：過B 1點沿著牆面向地面引垂線B 1C 1，連接AC 1，測量B 1C 1與AC 1的長度，計算B 1C 1與AC 1的比值，來刻畫梯子的傾斜程度。
假設我們的皮尺比較短，或不想爬到城牆上，還可以測量哪些資料來刻畫梯子的傾斜程度呢？為什麼？(1) 直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2是什麼關係?1.3m 1.5m3.5m 4mFEDCBA C 2B 2C 1B 1A(2)111AC C B 和222AC CB 有什麼關係? (3) 如果改變B 2在梯子上的位置呢?由此你能得到什麼結論? 設計意圖：原來教材上的問題是：小明想通過測量B 1C 1及AC 1,算出他們的比，來說明梯子的傾斜程度；而小亮則認為通過測量B 2C 2及AC 2,算出他們的比,也能說明梯子的傾斜程度.你同意小亮的看法嗎? 教師做了適當的改編，以實際測量的問題的形式給出，增強趣味性。
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第一章直角三角形的邊角關係第一課時從梯子的傾斜程度談起(一)直角三角形中邊角之間的關係是現實世界中應用廣泛的關係之—.銳角三角函數在解決現實問題中有著重要的作用.如在測量、建築、工程技術和物理學中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數量關係往往歸結為直角三角形中邊與角的關係問題.本節首光從梯子的傾斜程度談起。
引入了第—個銳角三角函數——正切.因為相比之下，正切是生活當中用的最多的三角函數概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節從現實情境出發，讓學生在經歷探索直角：三角形邊角關係的過程中，理解銳角三角函數的意義，並能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，並能夠根據直角三角形的邊角關係進行計算.本節的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數學含義.並能夠根據它們的數學意義進行直角三角形邊角關係的計算，難點是從現實情境中理解tanA、sim4、cosA的數學含義.所以在教學中要注重創設符合學生實際的問題情境，引出銳角三角函數的概念，使學生感受到數學與現實世界的聯繫，鼓勵他們有條理地進行表達和思考，特別關注他們對概念的理解.教學目標知識與能力目標1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程.理解正切的意義和與現實生活的聯繫.2.能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.過程與方法目標經歷觀察、猜想等數學活動過程，體驗數形之間的聯繫，逐步學習利用數形結合的思想分析問題和解決問題.提高解決實際問題的能力.情感與價值觀目標積極參與數學活動，對數學產生好奇心和求知欲，形成實事求是的態度以及獨立思考的習慣.教學重點1.探索直角三角形的邊角關係.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數學意義，密切數學與生活的聯繫.教學難點理解正切的意義，並用它來表示兩邊的比.教學過程創設情境，引發探究[問題1]在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎?[問題2] 想一想,你能運用所學的數學知識測出這座古塔的高嗎?這節課，我們就先從梯子的傾斜程度談起.師生互動，探索新知小明的問題在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法?提示：1、從圖中很容易發現∠ABC>∠EFD，所以梯子AB比梯子EF陡.2、因為AC＝ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BC<FD ，所以梯子AB 比梯子EF 陡. 小穎的問題在下圖中，梯子AB 和EF 哪個更陡?你是怎樣判斷的?提示：第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的，而水準寬度BC 和FD 不一樣長，由此我們想到梯子的垂直高度與水準寬度的比值越大，梯子應該越陡. ∵385.14==BC AC , 13353.15.3==FD ED 133538〈, ∴梯子EF 比梯子AB 更陡。
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初中数学《从梯子的倾斜程度谈起》教案 从梯子的倾斜程度谈起(二)教学目标(一)教学知识点1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.2.能够运用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.4.理解锐角三角函数的意义.(二)能力训练要求1.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.2.体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.2.形成合作交流的意识以及独立思考的习惯教学重点1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.2.能用sinA、cosA表示直角三角形两边的比.3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切.教学方法探索交流法.教具准备多媒体演示.教学过程Ⅰ.创设情境，提出问题，引入新课[师]我们在上一节课曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比来刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关.并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切.现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系?Ⅱ.讲授新课1.正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?(2) 有什么关系? 呢?(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论?请同学们讨论后回答.[生]∵A1C1BC1，A2C2BC2，A1C1//A2C2.Rt△BA1C1∽Rt△BA2C2.(相似三角形对应边成比例).由于A2是梯子A1B上的任意点，所以，如果改变A2在梯子A1B 上的位置，上述结论仍成立.由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边.与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定.也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关.[生]如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变.[师]我们会发现这是一个变化的过程.对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的.这是一种什么关系呢?[生]函数关系.[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定.如图，A的对边与邻边的比叫做A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝A的邻边与斜边的比叫做A的余弦(cosine)，记作cosA，即cosA=锐角A的正弦、余弦和正切都是A的三角函数(trigonometricfunction).[师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解〝sinA、cosA、tanA都是之A的三角函数〞呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时.A 的对边与斜边的比值，A的邻边与斜边的比值，A的对边与邻边的比值也都唯一确定.在〝A的三角函数〞概念中，A是自变量，其取值范围是0A；三个比值是因变量.当A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡.由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、cosA有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?[生]如下图，AB＝A1B1，在Rt△ABC中，sinA= ，在Rt△A1B1C中，sinA1= .即sinAsinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，所以梯子的倾斜程度与sinA有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.[生]同样道理cosA= cosA1＝ ,∵AB=A1B1＞即cosAcosA1，所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切.3.例题讲解多媒体演示.[例1]如图，在Rt△ABC中，B=90，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的长.分析：sinA不是〝sin〞与〝A〞的乘积，sinA表示A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，sinA＝0.6，＝0.6.解：在Rt△ABC中，B＝90，AC＝200.sinA＝0.6，即= 0.6，BC＝AC0.6＝2019.6=120.思考：(1)cosA＝?(2)sinC＝？ cosC＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?解：根据勾股定理，得AB＝ =160.在Rt△ABC中，CB＝90.cosA＝＝0.8，sinC= =0.8，cosC＝＝0.6，由上面的计算可知sinA＝cosC＝O.6，cosA＝sinC＝0.8.因为C＝90，所以，结论为〝一个锐角的正弦等于它余角的余弦〞〝一个锐角的余弦等于它余角的正弦〞.[例2]做一做：如图，在Rt△ABC中，C=90，cosA＝，AC＝10，AB等于多少?sinB呢?cosB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90-A)＝cosA，cos(90-A)=sinA.解：在Rt△ABC中，C＝90，AC=10，cosA＝，cosA＝ ,AB= ,sinB＝根据勾股定理，得BC2＝AB2-AC2＝( )2-102=BC＝ .cosB＝ ,[sinA＝可以得出同例1一样的结论.∵B=90，sinA：cosB=cos(90-A)，即sinA＝cos(90-A)；cosA＝sinB＝sin(90-A)，即cosA＝sin(90-A).Ⅲ.随堂练习多媒体演示1.在等腰三角形ABC中，AB=AC＝5，BC=6，求sinB，cosB，tanB.分析：要求sinB，cosB，tanB，先要构造B所在的直角三角形.根据等腰三角形〝三线合一〞的性质，可过A作ADBC，D为垂足.解：过A作ADBC，D为垂足.AB=AC，BD=DC= BC=3.在Rt△ABD中，AB＝5，BD=3，AD＝4.sinB＝ cosB＝ ,tanB= .2.在△ABC中， C＝90，sinA＝，BC=20，求△ABC的周长和面积.解：sinA= ，∵sinA=，BC＝20，AB＝＝＝25.在Rt△BC中，AC＝ =15，ABC的周长＝AB+AC+BC＝25+15+20＝60，△ABC的面积： ACBC= 1520＝1503.(2019年陕西)(补充练习)在△ABC中.C=90，假设tanA= ，那么sinA= .解：如图，tanA= = .设BC=x，AC=2x，根据勾股定理，得AB= .sinA= .Ⅳ.课时小结本节课我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，A是自变量，其取值范围是090；三个比值是因变量.当A确定时，三个比值分别唯一确定；当A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.类比前一节课的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义来解决实际问题.Ⅴ.课后作业习题1、2第1、2、3、4题Ⅵ.活动与探究：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，求证：BC2＝ABBD.(用正弦、余弦函数的定义证明)[过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt△ABC中，CDAB.所以图中含有三个直角三角形.例如B既在Rt△BDC中，又在Rt△ABC中，涉及线段BC、BD、AB，由正弦、余弦的定义得cosB＝，cosB= .[结果]在Rt△ABC中，cosB＝又∵CDAB.在Rt△CDB中，cosB＝= BC2＝ABBD.板书设计1.1.2 从梯子倾斜程度谈起(二)1.正弦、余弦的定义在Kt△ABC中，如果锐角A确定. sinA＝ [cosA＝2.梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关吗?sinA的值越大，梯子越陡cosA的值越小，梯子越陡3.例题讲解4.随堂练习。
九年级数学下册 1.1从梯子的倾斜程度谈起 教案 北师大版【教案】
活动——交流
教学活动过程设计
一、提出问题
直角三角形是特殊的三角形，无论是边，还是角，它都有其它三角形所没有的性质。这一章，我们继续学习直角三角形的边角关系。
二、形成概念
1、梯子的倾斜程度
在很多建筑物里，为了达到美观等目的，往往都有部分设计成倾斜的。这就涉及到倾斜角的问题。用倾斜角刻画倾斜程度是非常自然的。但在很多实现问题中，人们无法测得倾斜角，这时通常采用一个比值来刻画倾斜程度，这个比值就是我们这节课所要学习的——倾斜角的正切。
六小结
正切函数的定义。
七作业ห้องสมุดไป่ตู้
书本P 6习题1.1 1、2。
板书设计
1．1从梯子的倾斜程度谈起（一）
1．正切函数
2．tanA的值越大，梯子越陡
3.讲解例题
作业布置
教学反思
备注：教案可有改动痕迹，教学反思手写完成。
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神.
情感价值观
1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲.
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.
教学重点
理解tanA的数学含义.
教学难点
现实情境中理解tanA的数学含义
教学内容
1．1从梯子的倾斜程度谈起（一）
设计者
沈晓丽
第1课时/总2课时
设计日期
教学目标
知识与能力
1．经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系
2．能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
§1.1從梯子的傾斜程度談起（第二課時） 學習目標：1.經歷探索直角三角形中邊角關係的過程，理解正弦和余弦的意義.2.能夠運用sinA 、cosA 表示直角三角形兩邊的比.3.能根據直角三角形中的邊角關係，進行簡單的計算.4.理解銳角三角函數的意義. 學習重點：1.理解銳角三角函數正弦、余弦的意義，並能舉例說明.2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形兩邊的比.3.能根據直角三角形的邊角關係，進行簡單的計算. 學習難點：用函數的觀點理解正弦、余弦和正切. 學習方法：探索——交流法. 學習過程：一、正弦、余弦及三角函數的定義 想一想：如圖(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什麼關係? (2)211122BA C A BA C A 和有什麼關係? 2112BA BC BA BC 和呢?(3)如果改變A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什麼結論?(4)如果改變梯子A1B的傾斜角的大小呢?你由此又可得出什麼結論? 請討論後回答.二、由圖討論梯子的傾斜程度與sinA和cosA的關係：三、例題：例1、如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC＝200.sinA＝0.6，求BC的長.例2、做一做：如圖，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝1312，AC ＝10，AB 等於多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你還能得出類似例1的結論嗎?請用一般式表達.四、隨堂練習：1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝54，BC=20，求△ABC 的周長和面積.3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=21，則sinA= .4、已知：如圖，CD 是Rt △ABC 的斜邊AB 上的高，求證：BC 2＝AB ·BD.(用正弦、余弦函數的定義證明)五、課後練習：1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=34,則sinB=_______,tanB=______.2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=941,則DB AC BA CAC=______,BC=_______.3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=45,則BC=_____.4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那麼下列結論正確的是( ) A.sinA=34B.cosA=35C.tanA=34D.cosB=355、如圖,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,則BC AC等於( ) A.34B.43C.35D.456、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=35,那麼tanA 等於( )A.43B.34C.45D.547、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,則sinA 的值是A ．135 B ．1312 C ．125D ．5128、已知甲、乙兩坡的坡角分別為α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 則下列結論正確的是( )A.tan α<tan βB.sin α<sin β;C.cos α<cos βD.cos α>cos β9、如圖,在Rt△ABC 中,CD 是斜邊AB 上的高,則下列線段的比中不等於sinA 的是( )A.CD ACB.DB CBC.CB ABD.CD CB10、某人沿傾斜角為β的斜坡前進100m,則他上升的最大高度是( )mA.100sinβB.100sinβ C.100cosβD. 100cosβ11、如圖,分別求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.12、在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC邊上的高,AD=4.求:CD,sinC.13、在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中線,BC=8,CD=5.求si n∠ACD,cos∠ACD和tan∠ACD.14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什麼關係? 15、如圖,已知四邊形ABCD中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos∠ABD=45. 求：s △ABD ：s △BCDBDAC。
九年级数学从梯子的倾斜程度谈起 教案 北师大版
第一课时从梯子的倾斜程度谈起（一）教学目标：1 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系。
2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，另外，能够用正切进行简单计算。
3.经历观察、猜想等数学过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。
4.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。
教学重点：1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系。
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切学生与生活的联系。
教学难点：理解正切的意义，并用它来表示直角三角形中两边的比。
学情分析：本节课是在学生学习了直角三角形角之间的关系、边之间的关系的基础上进行的，借助于学生生活中常见的梯子为切入点，通过研究梯子的倾斜程度，将问题转化为研究两边之比，利用相似知识解决问题，总结规律。
同时建立比较系统的研究问题的方法，这后面学习正弦、余弦作铺垫。
教学过程：一、复习回顾，引入课题问题1.在直角三角形中，知道一直角边和它所对的锐角是30°，你能求出其它的边和角吗？问题2.在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其它的边和角吗？通过本章的学习，相信大家一定能够解决此问题。
一、讲授新课1.动手操作2m 5m5m AB C DEF4m AB C DEF 步骤一：让学生拿出事准备好的梯子模型搭在墙上，先用量角器量出不同位置时倾斜角的度数，得出梯子的倾斜程度与倾斜角的变化有关。
步骤二：让学生思考如何用刻度尺来测量出梯子的倾斜程度。
步骤三：通过刚才两组实验，让学生观察梯子的倾斜程度与哪些角或边有关，初步感知梯子的倾斜程度，那么如何去比较在不同位置时梯子的倾斜程度呢？结合实际让大家在刚才两个实验的基础上动手操作，探索以下四个问题。
问题1：如图1，等高不等底的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？（图1）学生观察图形，在独立思考的基础上合作交流，最后总结出不同的方法。
北师大九年级数学教案-从梯子的倾斜程度谈起
§1.1.1 從梯子的傾斜程度談起教學目標1、經歷探索直角三角形中邊角關係的過程2、理解銳角三角函數（正切、正弦、余弦）的意義，並能夠舉例說明3、能夠運用三角函數表示直角三角形中兩邊的比4、能夠根據直角三角形中的邊角關係，進行簡單的計算教學重點和難點重點：理解正切函數的定義難點：理解正切函數的定義教學過程設計一、從學生原有的認知結構提出問題直角三角形是特殊的三角形，無論是邊，還是角，它都有其它三角形所沒有的性質。
這一章，我們繼續學習直角三角形的邊角關係。
二、師生共同研究形成概念1、梯子的傾斜程度在很多建築物裡，為了達到美觀等目的，往往都有部分設計成傾斜的。
這就涉及到傾斜角的問題。
用傾斜角刻畫傾斜程度是非常自然的。
但在很多實現問題中，人們無法測得傾斜角，這時通常採用一個比值來刻畫傾斜程度，這個比值就是我們這節課所要學習的——傾斜角的正切。
1）（重點講解）如果梯子的長度不變，那麼牆高與地面的比值越大，則梯子越陡；2） 如果牆的高度不變，那麼底邊與梯子的長度的比值越小，則梯子越陡；3） 如果底邊的長度相同，那麼牆的高與梯子的高的比值越大，則梯子越陡；通過對以上問題的討論，引導學生總結刻畫梯子傾斜程度的幾種方法，以便為後面引入正切、正弦、余弦的概念奠定基礎。
2、 想一想（比值不變）☆ 想一想 書本P 3 想一想通過對前面的問題的討論，學生已經知道可以用傾斜角的對邊與鄰邊之比來刻畫梯子的傾斜程度。
當傾斜角確定時，其對邊與鄰邊的比值隨之確定。
這一比值只與傾斜角的大小有關，而與直角三角形的大小無關。
3、 正切函數（1） 明確各邊的名稱 （2） 的邻边的对边A A A ∠∠=tan （3） 明確要求：1）必須是直角三角形；2）是∠A 的對邊與∠A的鄰邊的比值。
☆ 鞏固練習a 、 如圖，在△ACB 中，∠C = 90°，1） tanA = ；tanB = ；2） 若AC = 4，BC = 3，則tanA = ；3） 若AC = 8，AB = 10，則tanA = ； ；b 、 如圖，在△ACB 中，tanA = 。
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从梯子的倾斜程度谈起 学案 姓名：________________
学习目标：
1、理解锐角三角函数正切的概念及意义。
1
课堂探究1：请你根据图形中的数据来比较下列两个梯子那个更陡。
课堂探究2：请你根据图形中的数据来比较下列两个梯子那个更陡。
F B 4m F 3m
2m
课堂探究3：请你根据图形中的数据来比较下列两个梯子那个更陡。
课堂探究4：当倾斜角相等时，每个图形中的铅直高度和水平宽度之间有何关系。
学以致用：如图请你利用上面得到的结论判别下列四个梯子那个更陡。
2m
1m
F
4m
3m
F
5m
2m
B
3m
2m
B
6m
3m
F 4m 2m
F
3m 2m
基础练习：下图表示两个自动扶梯的几何模型，那一个自动扶梯比较陡?请说明
灵活运用：
1、BC=9，AB=15，求tanA 和tanB 的值
2、已知AC=10，tanB=
3
1
，求BC
和AB
3、BC=9，AB=15，求tan ∠1和tan ∠2
4、在上题图中，tanA 和tanB 可以用哪些边的比值来表示
B 5m F
课后阅读
1.我们把坡面与水平面的夹角(α)叫坡角。
坡面铅直高度与水平宽度的比称为______(或____),即坡度等于___________的__________。
例如，有一山坡在水平方向上每前进80m 就升高60m ，则该
山坡的坡度为__________。
2.坡度越______,坡面越_______。
拓展：如图，拦水坝AB 面的坡度i ＝3:1，若坝高BC=20米，求坝面ＡＢ的长。
直击中考 姓名：_______________
． ．
．
． ．
4．（2011•贵港）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是BC 边上的中线，BD=4，AD=2，则tan ∠CAD ．
． ．
60m
6．（2009•陕西）如图，CD是Rt△ABC斜边上的高．若AB=5，AC=3，则tan∠BCD为（）
．．
7．（2008•淄博）如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=2，求AB
8．（2008•泰安）直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，求tan∠CBE的值
:1，坝顶DC 4.(2007陕西)如图，水坝的横断面是梯形，迎水坡BC的坡角∠B=30°，背水坡AD的为2
宽25米，坝高CE是40米，
（1）求坝底AB的长、迎风坡BC的长
（2）求BC的坡度．（答案可以带上根号）。