弦切角定理+圆幂定理之割线相交弦切割线定理

弦切角定理及其应用

顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角）

弦切角定义

图1

如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，∠TCB、∠TCA、∠PCA、∠PCB都为弦切角。

弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.

如上图，∠PCA=1/2∠COA=∠CBA

弦切角定理证明：

证明一：设圆心为O，连接OC，OB,。

∵∠TCB=90°-∠OCB

∵∠BOC=180°-2∠OCB

∴,∠BOC=2∠TCB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半）

∵∠BOC=2∠CAB（同一弧所对的圆心角等于圆周角的两倍）

∴∠TCB=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.

求证：（弦切角定理）

证明：分三种情况：

（1）圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角

（2）圆心O在∠BAC的内部. (B点应在A点左侧)

过A作直径AD交⊙O于D,

E

若在优弧m所对的劣弧上有一点

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴（弦切角定理）

（3）圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90°

∴∠CDA=∠CAB

∴（弦切角定理）

3弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

应用举例

例1：如图，在⊙O中，⊙O的切线AC、BC交与

点C，求证：∠CAB=∠CBA。

解：⊙O的切线AC、BC交与点C，∴AC=BC（切线长定理）。∴∠CAB=∠CBA。（等腰三角形“等边对等角”）。

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A

的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F. 求

证：EF//BC.

证明：连接DF

AD是∠BAC的平分线

∠BAD=∠DAC ∠EFD=∠BAD ∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ,∠FDC=∠DAC ∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB

于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

证明：∵AB是⊙O直径∴∠ACB=90

∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C ∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，即AC平分∠MCD，同理：BC平分∠NCD。

割线定理

割线定理是现代词，是一个专有名词，指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等，英文“Secant Theorem”。

1定义

文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割

线与圆交点的距离的积相等。

数学语言：从圆外一点L引两条割线与圆分别交于 A.B.C.D

则有LA·LB=LC·LD=LT^2。

几何语言：∵割线LDC和LBA交于圆O于ABCD点

∴LA·LB=LC·LD=LT^2

如右图所示。(LT为切线）

2证明一

已知：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O

的两条割线

求证：PA·PB=PC·PD

证明：连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得∠A=∠C

又∵∠P=∠P

∴△ADP∽△CBP （A，A）

∴AP:CP=DP:BP

即AP·BP=CP·DP

3证明二

既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，

那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而

得。

如图所示。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证：AP·BP=CP·DP

证明：连接AC、BD

由圆内接四边形定理得

∠ABD+∠DCA=∠CAB+∠BDC=180°

又∵∠ACP+∠DCA=∠DCP=180°，∠CAP+∠CAB=∠BAP=180°（平角的定义）

∴∠ABD=∠ACP，∠BDC=∠CAP（同角的补角相等）

∴△ACP∽△DBP（两角对应相等的三角形相似）

∴AP/DP=CP/BP（相似三角形对应边成比例）

∴AP·BP=CP·DP（比例基本性质）[1]

4证明三

根据切割线定理求证。

已知：从圆O外一点P引两条圆的割线，一条交圆于A、B，另一条交圆于C、D

求证：AP·BP=CP·DP

过点P作圆O的切线，记切点为T

由切割线定理可知：AP·BP=PT^2，CP·DP=PT^2

所以AP·BP=CP·DP

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。或：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等。

1概念

定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各

弦被这点所分成的两段的积相等）

几何语言：

若弦AB、CD交于点P

则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

概述：相交弦定理为圆幂定理之一，其他两条定

理为：切割线定理、割线定理

2证明

证明：连结AC，BD

由圆周角定理的推论，得∠A=∠D，∠C=∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB