(完整版)常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程

22d d y x x

y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.

3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x

y =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x t

y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(2

1y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是

()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是 线性无关

8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e

-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程

d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）⎰=x

x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）

（A ）可分离变量方程 （B ）线性方程

（C ）全微分方程 （D ）贝努利方程

11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）．

(A) 1±=x (B)1±=y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x

12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．

（A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间

（C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间

13．方程222+-='x y y （ D ）奇解．

（A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无

三、计算题（每小题8分，共48分）。

14．求方程2

2

2d d x y xy x y -=的通解 解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx u

u x u u dx du =--=1,2 所以原方程的通解为 x y x Cx C y =+=

,12 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x

y 的通解 解：取()()x y y x N x

y y x M ln ,,,3+== 则()()x

y x N y x M x y 1,,==，于是原方程为全微分方程 所以原方程的通解为 ⎰⎰=+y x C dy y dx x y 1

31 即 C y x y =+44

1ln 16．求方程2221)(x y x y y +

'-'=的通解 解:令 p y ='，得到2

2

2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导， 整理得 ()012=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--dx dp x p ，则 取 02=-x p ,得 2

x p =,代入（*） 得解 42x y = 取 01=-dx

dp ,得C x p +=,代入（*）得原方程得通解为 22

2

Cx Cx x y ++=

17．求方程53x y y e '''-=的通解

解 对应的齐次方程的特征方程为 032=-λλ，

特征根为 01=λ，32=λ

故齐次方程的通解为 x C C y 321e += 因为5=α不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

x A x y 51e )(= 代入原方程，得

x x x A A 555e e 15e

25=- 即 10

1=A ， 故原方程的通解为 x x C C y 5321e 101e

++= 18．求方程2(cos 7sin )x y y y e x x '''+-=-的通解

解：先求解对应的其次方程：02=-'+''y y y ，则有，

x x e C e C y 221212;2,1,02-+=-===-+λλλλ

因为数i i ±=±1βα不是特征根，故原方程具有形如

()x B x A e y x sin cos 1+= 的特解。

将上式代入原方程，由于 ()x B x A e y x sin cos 1+=

()()[]x A B x B A e y x sin cos 1-++='

[]x A x B e y x sin 2cos 21

-='' 故 =-'+''y y y 2[]x A x B e x sin 2cos 2-()()[]x A B x B A e x sin cos -+++ ()()x x e x B x A e x x sin 7cos sin cos 2-=+-

或 ()()x x x A B x A B sin 7cos sin 3cos 3-=+--

比较上述等式两端的x x sin ,cos 的系数，可得 73,13-=--=+-B A B A 因此，.1,2==B A 故()x x e y x

sin 1cos 21+= 所求通解为()x

x x e C e C x x e y 21sin 1cos 2+++= 19．求方程组3553dY Y dx ⎛⎫= ⎪-⎝⎭

的实基本解组 解：方程组的特征多项式为 3553

--λλ，其特征根是i 532,1±=λ，那么

属于1λ的特征向量⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=11i α， 属于2λ的特征向量⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=i 12α。 则方程的基本解组为()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=Φ-+-+x i x i x i x

i ie e e ie x 535353531， 其实基本解组为()()0111-ΦΦx 。

而()⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=Φ--i i i i 1121110111 因此所求实基本解组为 ()=Φx ()()0111-ΦΦx

()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-+x e x e x e x e i i ie e

e ie t t t t x i x i x i x i 5cos 5sin 5sin 5cos 1121333353535353 四、应用题（每小题 11 分，共11分）。 20．（1）求函数()at

f t e =的拉普拉斯变换

（2）求初值问题3322(0)0,(0)0

t

x x x e x x '''⎧-+=⎨'==⎩的解