完全平方公式的综合应用(知二求二)(二)(人教版)
完全平方公式的综合应用（知二求二）（二）（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.若，，则的结果为( )
A.7 B.13
C.94 D.106
2.若，，则的结果为( )
A.B.19
C.D.10
3.若，，则的结果为( )
A.45 B.39
C.15 D.21
4.若，，则的结果为( )
A.20 B.112
C.-40 D.80
5.若，，则的值为( )
A.112 B.12
C.72 D.176
6.若，则的结果为( )
A.5 B.11
C.7 D.1
7.若，则与的值分别为( )
A.11；119 B.11；123
C.7；83 D.7；47
8.若，则的值为( )
A.21 B.23
C.25 D.27
9.若，则的值为( )
A.256 B.196
C.194 D.322
10.若，则的结果为( )
A.40 B.5
C.10 D.20
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：填空：
问题2：已知，，求的值．
思路分析：
①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；
②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_________________________________；
③将，代入求解即可．所以=__________．
问题3：已知，求的值．
思路分析：
①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；
②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_____________________；
③观察知x≠0，对其进行处理得____________，然后代入，得
=__________．
《完全平方公式》 知识清单
《完全平方公式》 知识清单
一、完全平方公式的定义
完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍。
用字母表示为：
（a ＋ b)² ＝ a² ＋ 2ab ＋ b²
（a b)² ＝ a² 2ab ＋ b²
二、完全平方公式的特征
1、 左边是两个相同的二项式相乘，即：（a ＋ b)×（a ＋ b) 或者
（a b)×（a b)。
2、 右边是三项式，其中首末两项分别是左边二项式的两项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的 2 倍。
3、 公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。
三、完全平方公式的推导
我们可以通过多项式乘法来推导完全平方公式。 以(a ＋ b)²为例：
＼
＼begin{align}
（a ＋ b)²&＝（a ＋ b)（a ＋ b)＼＼
＆＝a×a ＋ a×b ＋ b×a ＋ b×b\＼
＆＝a² ＋ 2ab ＋ b²
＼end{align}
＼
同理，对于(a b)²：
＼
＼begin{align}
（a b)²&＝（a b)（a b)＼＼
＆＝a×a a×b b×a ＋ b×b\＼
＆＝a² 2ab ＋ b²
＼end{align}
＼
四、完全平方公式的常见变形 1、 a² ＋ b² ＝ （a ＋ b)² 2ab 或者 a² ＋ b² ＝ （a b)² ＋ 2ab
2、 （a ＋ b)² ＋ （a b)² ＝ 2(a² ＋ b²)
3、 （a ＋ b)² （a b)² ＝ 4ab
五、完全平方公式的应用
1、 用于整式的乘法运算
例如：计算 （2x ＋ 3y)²
＼
＼begin{align}
＆（2x ＋ 3y)²\＼
＝＆（2x)² ＋ 2×（2x)×（3y) ＋ （3y)²\＼
＝＆4x² ＋ 12xy ＋ 9y²
完全平方公式变形公式及常见题型
完全平方公式变形公式及常见题型
加法形式的完全平方公式：
(a + b)² = a² + 2ab + b²
减法形式的完全平方公式：
(a - b)² = a² - 2ab + b²
这两个公式可以用来解决一些常见的数学题型，包括因式分解、求根、化简等。下面将分别介绍这些题型并给出解题方法和例题。
1.因式分解：
如果一个二次多项式可以进行因式分解，它的形式可以表示为(x+a)²或者(x-a)²。通过比较系数，可以求解出a的值。
例题：将多项式x²+6x+9进行因式分解。
解：这个多项式可以整理成(x+3)²的形式，所以其因式分解为(x+3)²。
2.求根：
可以利用完全平方公式来求解一个二次方程的根。
例题：求方程x²+6x+9=0的根。
解：可以通过变形公式x²+6x+9=(x+3)²得到，然后令(x+3)²=0，可以得到x=-3、所以方程的根为x=-3
3.化简：
通过利用完全平方公式的变形，可以化简一个复杂的二次多项式。 例题：化简多项式x²+8x+16
解：这个多项式可以整理成(x+4)²的形式。
4.求面积和周长：
通过完全平方公式，可以求解一个平方区域的面积和周长。
例题：一个正方形的边长为x，求其周长和面积。
解：正方形的周长为4x，面积为x²。
5.求最值：
通过完全平方公式，可以求解一个多项式的最大值或最小值。
例题：求多项式 y = ax² + bx + c 的最小值。
解：可以通过完全平方公式将该多项式转化为(x+p)²+q的形式，从而得到最小值为q。
这只是完全平方公式的一些常见应用，还有很多其他的题型和解题方法。希望这些例题和解题方法能够帮助你更好地理解和应用完全平方公式。
平方差和完全平方公式应用举例
平方差和完全平方公式应用举例
一、平方差公式
平方差公式描述了两个数(或代数式)的乘积与它们的差之间的关系：
(a+b)(a-b)=a²-b²
这个公式的应用在代数运算中非常常见，下面我们通过几个具体的例子来说明它的应用。
例子1：
计算(7+2)(7-2)
根据平方差公式，我们有：
(7+2)(7-2)=7²-2²
=49-4
=45
所以，(7+2)(7-2)=45
例子2：
计算(x+1)(x-1)
根据平方差公式，我们有：
(x+1)(x-1)=x²-1²
=x²-1
所以，(x+1)(x-1)=x²-1 二、完全平方公式
完全平方公式描述了一个一次多项式的平方的表达式：
(a + b)² = a² + 2ab + b²
这个公式的应用也非常广泛，下面我们通过几个具体的例子来说明它的应用。
例子3：
展开(x+2)²
根据完全平方公式，我们有：
(x+2)²=x²+2(x)(2)+2²
=x²+4x+4
所以，(x+2)²=x²+4x+4
例子4：
展开(3+2x)²
根据完全平方公式，我们有：
(3+2x)²=3²+2(3)(2x)+(2x)²
=9+12x+4x²
所以，(3+2x)²=4x²+12x+9
这些例子展示了平方差和完全平方公式在解题中的应用。它们可以用来简化计算过程，化简表达式和方程。例如，当我们需要计算两个数的乘积或平方时，我们可以利用平方差公式，将计算过程转化为相加或相减的操作，从而简化计算。
另外，完全平方公式可用于展开一个一次多项式的平方，从而获取更多的信息。这在求解方程和证明等问题中经常会遇到。
总结起来，平方差和完全平方公式是代数中常用的公式，它们的应用在代数运算、化简表达式、求解方程和证明等问题中都具有重要的作用。熟练掌握和灵活运用这些公式将有助于优化代数运算，提高解题能力。
完全平方公式的灵活应用
完全平方公式的灵活应用
类型一．已知（a+b）2和（a﹣b）2
1. 已知（a+b）2=25，（a﹣b）2=9，求ab与a2+b2的值．
2. 已知（a＋b）2＝9，（a－b）2＝5，求a2＋b2，ab的值．
类型二．已知x﹣或x+
3. 已知x﹣=3，求x2+ ； 那么如果x+ =3，求x2+
类型三．已知a+b和ab类
4. 已知a+b=5，ab=6．求下列各式的值：a2+b2 和（a﹣b）2．
5. 已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，（a－b）2的值．
6.已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2 （2）a2+b2
类型四．已知x+y与x2+y2
7.已知4yx，1022yx，求下列各式的值：（1）xy （2）yx
8. 已知a+b=3，322ba，求下列各式的值：（1）ab （2）ab
22yxyxyx)3)(3(baba平方差公式的灵活应用
类型一. 两次以上运用平方差公式
（a+b）(a-b)(a2+b2) (a+2)(a-2)(a2+4) （a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．
(a+1)(a-1)(2a+1)(4a+1)(8a+1)
(2-1)(2+1)(22+1)+1 (2+1)(22+1)(24+10)(28+1)(216+1)(232+1)+1
类型二. 需要先变形再用平方差公式
(-2x-y)(2x-y) (y-x)(-x-y) (-2x+y)(2x+y) (4a-1)(-4a-1)
类型三. 平方差公式的应用和逆用
1已知 |x+y+5|+(x-y-9)2=0,求x2-y2的值
2.已知228,4xyxy，求x-y的值 3. 已知x2-y2=10,2x+2y=4，求x-y的值
第六讲：完全平方公式的应用
望子成龙学校2011-2012寒假七年级数学学案 梅花香自苦寒来，宝剑锋从磨砺出！
1
第六讲 乘法公式变形的应用
完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。
一. 完全平方公式常见的变形有
a2+b2=（a+b）2-2ab，
a2+b2=（a-b）2+2ab，
（a+b）2-（a-b）2=4ab，
a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc）
二. 乘法公式变形的应用
例1： 已知：x2+y2+4x-6y+13=0，x、y均为有理数，求xy的值。
例已知，试求的值。21612242aaaaaa
例3 已知：a+b=8，ab=16+c2，求（a-b+c）2002的值。
练习：
1. 已知：x2+3x+1=0。
求：（）（）的值。11212244xxxx
望子成龙学校2011-2012寒假七年级数学学案 梅花香自苦寒来，宝剑锋从磨砺出！
2
2. 已知x，y，z满足条件
xyzxyyzzx310
求：x2+y2+z2
3、已知a2－3a＋1＝0．求aa1、221aa和21aa的值；
4、已知.,,052422bababa求的值。
5、已知51,1xyyx，求：（1）;22xyyx（2）)1)(1(22yx
6、 2211050491111
7、求方程：的整数解：229xy
望子成龙学校2011-2012寒假七年级数学学案 梅花香自苦寒来，宝剑锋从磨砺出！
3
8、已知72ba，42ba—，求22ba和ab的值．
9、下面是小明和小红的一段对话：
完全平方公式计算
完全平方公式计算
完全平方公式是一种用于计算一个数的平方根的方法。它的原理基于平方的定义，即一个数的平方是由该数与自己相乘得到的。完全平方公式可以用来解决很多与平方根有关的问题，例如找到一个数的平方根、确定两个平方根之间的整数等。
平方根（x）= ±根号下(b^2 - 4ac) / 2a
这个公式适用于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a，b和c为实数，且a不等于0。根据这个公式，我们可以计算方程的解，并确定方程的根的性质：如果b^2 - 4ac大于0，则方程有两个不同的实根；如果b^2 - 4ac等于0，则方程有两个相等的实根；如果b^2 - 4ac小于0，则方程没有实根，但有两个虚根。
下面是一个应用完全平方公式解决方程的例子：
例题1：解方程x^2-7x+12=0。
根据完全平方公式，我们可以得到：
平方根（x）=±根号下((-7)^2-4*1*12)/(2*1)
=±根号下(49-48)/2
=±根号下1/2
=±1/2
根据计算，方程的解为x=1/2和x=2、这意味着方程有两个实根，分别为1/2和2 例题2：在一个直角三角形中，已知直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的长度可以用以下公式表示：
斜边的长度=根号下(直角边1^2+直角边2^2)
代入已知的直角边长度，我们可以得到：
斜边的长度=根号下(3^2+4^2)
=根号下(9+16)
=根号下25
=5
根据计算，直角三角形的斜边的长度为5
完全平方公式是数学中一个非常有用的工具，可以用于解决各种问题。它提供了一种快速、简便的方法来计算数的平方根，并解决与平方根有关的各种问题。无论是解方程还是计算几何问题，完全平方公式都可以提供一个可靠的解决方案。因此，熟练掌握完全平方公式，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
初中数学完全平方公式(二)
试卷第1页，总11页 初中数学完全平方公式(二)
1. 若关于𝑥的二次三项式𝑥2+𝑚𝑥+16是一个完全平方式，则𝑚=（ ）
A.4 B.8 C.±4 D.±8
2. (2𝑎−𝑚)2=4𝑎2+2𝑎+14，则𝑚=( )
A.14 B.−14 C.12 D.−12
3. 已知多项式𝑥2+𝑘𝑥+14是一个完全平方式，则𝑘的值为( )
A.±1 B.−1 C.1 D.±12
4. 若多项式𝑥2+𝑚𝑥+4能用完全平方公式因式分解，则𝑚的值可以是________.
5. 已知： 𝑎2−5𝑎+1=0，则𝑎2+1𝑎2−5的值为________.
6. 一个多项式除以2𝑥+1，所得的商是𝑥2−1，余式是−5𝑥，则这个多项式是________.
7. 如果4𝑥2−𝑚𝑥𝑦+9𝑦2是一个完全平方式，则𝑚的值为________．
8. 若𝑥2+(𝑚−1)𝑥+9是完全平方式，则𝑚的值为________．
9. (𝑎+𝑏)2+ ________=(𝑎−𝑏)2.
10. 运用完全平方公式计算：
(1)(12+4𝑥)2；
(2)(12𝑎−13𝑏)2；
试卷第2页，总11页
(3)(5𝑚−3𝑛)2；
(4)(𝑎2+2𝑏)2；
(5)(−15𝑥−1102)2；
(6)(−𝑐𝑑+12)2．
11. 计算：(𝑎−𝑏−2𝑐)2.
12. 计算：
(1)(2𝑥+3𝑦)(2𝑥−3𝑦)；
(2)(𝑥+1)2−𝑥(𝑥+2).
13. 已知𝑎+𝑏=6，𝑎𝑏=2，求下列各式的值.
(1)𝑎2+𝑏2；
(2)(𝑎−𝑏)2.
14. 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．
分解因式： 𝑥4+4.
解： 𝑥4+4=𝑥4+4𝑥2+4−4𝑥2=(𝑥2+2)2−4𝑥2
初中数学 乘法公式(二)
乘法公式
一、知二推二
知二推二是完全平方公式的经典应用，其中蕴含了方程的思想．
①()()()()ababababababab
②()()()()()ababababababab
③()()()()()()ababababababab
④()()()()()ababababababab
二、高次型的知二推二
①222222442222222222()+()()2()22ababababababab
②222442224422222222()()(()()()224）ababababababab
③2244222222244222()()2()42()()ababababababab
④2244222222244222()()2()42()()ababababababab
三、倒数型的知二推二（知一推二）
①
②
③
【注】关于1aa的变形中有一个隐含条件11aa，因此已知221aa、1aa和1aa中的任意一个，就可以得出其他两个，故也称之为“知一推二”．
222211142aaaaaa222211122aaaaaa222211142aaaaaa模块一 知二推二
例题1
ababab22ab
11aa1aa221aa
22ab22ab22ab44ab 笔
记 区
填空：（1）()abab________； （2）()abab________；
（3）______________ab； （4）()()_______abab；
完全平方公式变形的应用练习题_2(DOC)
（一）公式倍比
例题：已知ba=4，求abba222。
⑴如果1,3caba，那么222accbba的值是
⑵1yx，则222121yxyx=
⑶已知xy２yx，yxxx2222)()1(则=
(二）公式组合
例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a2+b2 (2)ab
⑴若()()abab22713，，则ab22____________，ab_________
⑵设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A=
⑶若()()xyxya22，则a为
⑷如果22)()(yxMyx，那么M等于
⑸已知(a+b)2=m，(a—b)2=n，则ab等于
⑹若Nbaba22)32()32(，则N的代数式是
⑺已知,3)(,7)(22baba求abba22的值为 。
⑻已知实数a,b,c,d满足53bc，adbdac，求))((2222dcba
（三）整体代入
例1：2422yx，6yx，求代数式yx35的值。
例2：已知a= 201x＋20，b=201x＋19，c=201x＋21，求a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值
⑴若499,7322yxyx，则yx3=
⑵若2ba，则bba422= 若65ba，则baba3052=
⑶已知a2＋b2=6ab且a＞b＞0，求 baba的值为
⑷已知20042005xa，20062005xb，20082005xc，则代数式cabcabcba222的值是 ．
完全平方公式的综合应用(知二求二)(二)(人教版)(含答案)
完全平方公式的综合应用（知二求二）（二）（人教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.若，，则的结果为( )
A.7 B.13
C.94 D.106
答案：D
解题思路：
由题可知，相当于公式里的，相当于公式里的，
与之间相差．
题中给出，因此求出的值即可．
故选D．
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用
2.若，，则的结果为( )
A.B.19
C.D.10
答案：C
解题思路：
故选C．
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用
3.若，，则的结果为( )
A.45 B.39
C.15 D.21
答案：A
解题思路：
故选A．
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用
4.若，，则的结果为( )
A.20 B.112
C.-40 D.80
答案：D
解题思路：
故选D．
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用
5.若，，则的值为( )
A.112 B.12
C.72 D.176
答案：A
解题思路：
故选A．
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用
6.若，则的结果为( )
A.5 B.11
C.7 D.1
答案：C
解题思路：
故选C．
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用
7.若，则与的值分别为( )
A.11；119 B.11；123
C.7；83 D.7；47
答案：A
解题思路：
故选A．
试题难度：三颗星知识点：完全平方公式的应用
8.若，则的值为( )
A.21 B.23
C.25 D.27
答案：B
解题思路：
①分析：观察所求，可以化为，这是平方和的形式，
若在的两边同时除以，可以得到，