完全平方公式的综合应用(知二求二)(二)(人教版)
完全平方公式的综合应用（知二求二）（二）（人
教版）
一、单选题(共10道，每道10分)
1.若，，则的结果为( )
A.7
B.13
C.94
D.106
2.若，，则的结果为( )
A. B.19
C. D.10
3.若，，则的结果为( )
A.45
B.39
C.15
D.21
4.若，，则的结果为( )
A.20
B.112
C.-40
D.80
5.若，，则的值为( )
A.112
B.12
C.72
D.176
6.若，则的结果为( )
A.5
B.11
C.7
D.1
7.若，则与的值分别为( )
A.11；119
B.11；123
C.7；83
D.7；47
8.若，则的值为( )
A.21
B.23
C.25
D.27
9.若，则的值为( )
A.256
B.196
C.194
D.322
10.若，则的结果为( )
A.40
B.5
C.10
D.20
学生做题后建议通过以下问题总结反思
问题1：填空：
问题2：已知，，求的值．
思路分析：
①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；
②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_________________________________；
③将，代入求解即可．所以=__________．
问题3：已知，求的值．
思路分析：
①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题；
②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_____________________；
③观察知x≠0，对其进行处理得____________，然后代入，得
=__________．
完全平方公式的综合应用(习题及答案)
完全平方公式的综合应用（习题） 例题示范 例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解． 【过程书写】 例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44 1a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________． （2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上 的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________． 6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______． 7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值． 思考小结 1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等 吗？若不相等，相差多少？ 2. 阅读理解题：
完全平方公式变形公式专题
半期复习(3)—- 完全平方公式变形公式及常见题型 一、公式拓展: 拓展一: 拓展二: 拓展三: 拓展四:杨辉三角形 拓展五: 立方与与立方差 二。常见题型: (一)公式倍比 例题:已知=４,求。 (１),则= (2)已知＝ (二)公式变形 (1)设(5a ＋3b)2＝(5a －3b)2+Ａ,则A ＝ (２)若()()x y x y a -=++22 ,则a 为 (３)如果,那么M 等于 (４)已知(a ＋b)２=m,(ａ—b)2＝n,则a ｂ等于 (５)若,则N 得代数式就是 (三)“知二求一” 1.已知ｘ﹣y=1,ｘ2+y 2=２５,求ｘy 得值. 2。若ｘ+ｙ=３,且(x ＋２)(ｙ＋2)=12. (1)求ｘy 得值; (2)求x 2+３xy+y 2得值. ３.已知:x ＋y=3,xy=﹣8,求: (1)ｘ２＋y 2 (2)(x 2﹣１)(y ２﹣1). 4.已知a ﹣b=3,ab=2,求: (1)(a+ｂ)2 (2)a 2﹣6ａｂ+b 2得值、 (四)整体代入 例1:,,求代数式得值、 例2:已知a ＝ x ＋2０,ｂ=x ＋19,c=ｘ+21,求a 2＋ｂ2+c 2－ab-bc-ac 得值 ⑴若,则＝ ⑵若,则＝ 若,则= ⑶已知a 2+b ２=6ab 且a 〉b ＞0,求 得值为
⑷已知,,,则代数式得值就是、 (五)杨辉三角 请瞧杨辉三角(1),并观察下列等式(２): 根据前面各式得规律,则(a+b)6= . (六)首尾互倒 １.已知m2﹣6m﹣1=0,求2ｍ２﹣6m＋＝。 2、阅读下列解答过程: 已知:ｘ≠０,且满足ｘ2﹣3ｘ=1.求:得值。 解:∵x2﹣３x=1,∴x2﹣3x﹣1=0 ∴,即. ∴==32+2=11. 请通过阅读以上内容,解答下列问题: 已知a≠０,且满足(2a+１)(1﹣2a)﹣(3﹣2a)２+９a２=14ａ﹣7, 求:(1)得值;(2)得值。 (七)数形结合 1、如图(1)就是一个长为2m,宽为２ｎ得长方形,沿图中得虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图(2)形状拼成一个正方形。 (1)您认为图(2)中得阴影部分得正方形边长就是多少? (2)请用两种不同得方法求图(2)阴影部分得面积; (3)观察图(2),您能写出下列三个代数式之间得等量关系不? 三个代数式:(m＋n)2,(m﹣ｎ)2,mn. (4)根据(3)题中得等量关系,解决下列问题:若a+ｂ=7,ａb=5,求(a﹣b)2得值. 2.附加题:课本中多项式与多项式相乘就是利用平面几何图形得面积来表示得,例如:(2a＋ｂ)(a+ｂ)＝2a2+3ab＋b２就可以用图1或图２得面积来表示. (１)请写出图3图形得面积表示得代数恒等式; (２)试画出一个几何图形,使它得面积能表示(ａ+b)(a+3b)=ａ2+4ab+3ｂ2。 (八)规律探求 15.有一系列等式:
完全平方公式 典型应用
完全平方公式的典型应用 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－ 41y 2等于－（ ）2 题型四、配方思想 1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求 21(1)2x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 6、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角
完全平方公式(完整知识点)
完全平方公式 完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。 必须注意的： ①漏下了一次项 ②混淆公式（与平方差公式） ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。 学会用文字概述公式的含义: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方 和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右 边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）. 完全平方公式口诀 前平方，后平方，二倍乘积在中央。 同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来） 即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号） 公式变形（习题） 变形的方法 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。 解答： (1)原式=16x2-24xy+9y2 (2)原式=a2+2ab+b2 （二）、变项数：
初中数学人教版八年级上册完全平方公式的综合应用(习题及答案)
初中数学人教版八年级上册实用资料 完全平方公式的综合应用（习题） ? 例题示范 例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2 221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，2 4224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解． 【过程书写】 例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ? 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44 1a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________． （2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上 的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________． 6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______． 7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值． ? 思考小结 1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等 吗？若不相等，相差多少？
《完全平方公式》说课稿
《完全平方公式》说课稿 广厚中心学校 冯桂秋
《完全平方公式》说课稿 龙江县广厚中学冯桂秋说课内容是：义务教育课程标准实验教科书《数学》（人教版）八年级（上册）《完全平方公式》（第一课时）。 以下我就从教材分析，教学方法与学法指导，学情分析，教学过程分析，四个方面来介绍这堂课的说课内容。 一、教材分析 教材的地位和作用： 完全平方公式是在学习了代数式的概念、整式的加减法、幂的运算和整式的乘法之后学习的，是对多项式乘法中出现特殊算式的一种归纳、总结，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。 完全平方公式是初中数学中的重要公式，重要的数学思想方法“配方法”的基础是依据完全平方公式。而且它是学习整式乘法，因式分解，分式运算的基础，是进一步研究《一元二次方程》《二次函数》的工具性内容。我认为本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。 教学目标 依据新课程标准的要求、教学内容和学生的实际，本节课将实现以下教学目标。 知识目标：了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行计算。 能力目标：体会数、形结合的优势，发展符号感和推理能力，体验数学建模的思想。
情感目标：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立自信心。 教学重点、难点： 根据对学生学习过程分析及课标要求我把重点定为：体会公式的推导，完全平方公式的结构特点及公式的直接运用。 难点为完全平方公式的应用以及对公式中字母a、b的广泛含义的理解。在教学过程中多处留有空白点供学生研究思考。 二、教学方法与手段 （一）教学方法：采用自主探索，启发引导，合作交流展开教学，引导学生主动地进行观察、猜测、验证和交流。同时考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与。遵循知识产生过程，从特殊→一般→特殊，将所学的知识用于实践中。 （二）教学手段：利用多媒体辅助教学，突破教学难点，公式的推导变成生动、形象、直观，提高教学效率。 （三）学法指导：学法上，教师引导学生积极思维，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出运算法则。 三学情分析 从心理特征来说，八年级的学生活泼好动、求知欲强，抽象思维和逻辑思维的发展正在上升阶段，自我认同感强，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中抓住这些特点，创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
完全平方公式的拓展
完全平方公式的变形 一、完全平方公式 ()b a +2=a 2+b 2+ab 2 () b a -2=a 2+b 2—ab 2 二、拓展一 1、()b a +2—（b a 2 2+）= 。 例已知a+b=5,ab= —6，求 b a 22+的值 2、（b a 22+）—()b a -2= 。 例若x —y=3,xy=10,则y x 22+ 的值是多少？ 延伸题：已知x —y=4，y x 22+ =20，求xy 的值, 拓展二 3、()b a +2—()b a -2 == 。 例：已知 ()y x +2=12，xy= —1求：()y x -2 的值 延伸题：例已知 ()n m +2=11，()n m -2=7，求mn 的值 4、()b a +2+ ()b a -2= 。 例： ()b a +2=15，()b a -2=7求：a 2+b 2的值
5、??? ??+x x 12=x 2+2x x 1 .+x 21=x 2+2+x 21 =x 2+x 21 +2（1） 由（1）式变形可以得到x 2+x 21=??? ??+x x 12—2 ??? ??-x x 12 =x 2+x 21—2 则??? ??+x x 12—?? ? ??-x x 12= 。 例：如果 ??? ??+x x 1=3,则x 2+x 21的值是多少： 延伸题：??? ??+x x 1=3 且x>x 1 则??? ??-x x 12的值为多少 6、拆项法（一般是拆常数项,来拼凑完全平方公式，进行完全平方公式的逆运用） 例： a 2+ b 2+4a —2b+5=0 求a 、b 的值 解：a 2+4a+b 2—2b+5=0 a 2+2?a ?2+4+b 2—2?b ?1+1.=0。。。。。。。。。。。。在这里将常数项5拆成4和1的和 ()22 +a +()12-b =0.。。。。。。。。。。。。。。。。。。完全平方公式的逆运用
完全平方公式综合应用.doc
精品文档“完全平方公式变形的应用”培优题姓名： 完全平方式常见的变形有: （ 1）a2 b2 (a b)2 2ab （ 2）a2 b2 (a b)2 2ab （ 3）a b 2 ( a b) 2 4ab （ 4）a 2 b 2 c 2 (a b c) 2 2ab 2ac 2bc （） 2 2 1、已知 m+n -6m+10n+34=0，求 m+n的值 2、已知x2y 24x 6 y 130 ，x、y都是有理数，求 x y的值。 练一练 A 组： 1 ．已知(a b) 5, ab 3 求 (a b)2与 3(a2b 2 ) 的值。 2 ．已知a b 6, a b 4 求ab与 a2b2的值。 3、已知a b 4, a2b2 4 求 a2b2与 (a b) 2的值。 4、已知 ( a+b)2 =60，( a-b) 2 =80，求 a2 +b2及 ab 的值
精品文档B组： 5．已知a b 6, ab 4 ，求 a2b 3a2b2ab 2的值。 6．已知x2 y2 2x 4y 5 0 ，求1 (x 1)2 xy 的值。2 7．已知x 1 6 ，求 x2 1 2的值。 x x 8、 x 2 3 x 1 0 ，求（） x 21 （） x 41 1 x 2 2 x 4 C 组: 10、已知三角形ABC 的三边长分别为a,b,c且a,b,c满足等式 3(a2b2c2 ) (a b c)2，请说明该三角形是什么三角形？
整式的乘法、平方差公式、完全平方公式、整式的除法 (B 卷) 综合运用题 姓名： 一、请准确填空 则 a 2004 b 2005 、若 a 2 b 2 － a b 1 + 2 +2 +2=0, + =________. 、一个长方形的长为 (2 a b 宽为 (2 a － b ), 则长方形的面积为 ________. 2 a －b +3 ), 3 3、5－( 2 的最大值是 － a － b 2 取最大值时， a 与 b 的关系 ) ________，当 5 ( ) 是________. 4. 要使式子 0.36 x 2 + 1 y 2 成为一个完全平方式，则应加上 ________. 4 5.(4 a m+1 －6a m ) ÷ 2a m － 1 =________. 2 6.29 × 31×(30 +1)=________. 7. 已知 x 2－5x+1=0, 则 x 2+ 1 =________. x 2 8. 已知 (2005 －a)(2003 －a)=1000, 请你猜想 (2005 －a) 2+(2003－a) 2 =________. 二、相信你的选择 － m x 且 x ≠ 则 m 等于 9. 若 x 2－x －m x +1) 0, =( )( A. －1 B.0 C.1 D.2 10.( x+a) 与( x+ 1 ) 的积不含 x 的一次项，猜测 a 应是 5 A.5 B. 1 C. － 1 D.－5 5 5 11. 下列四个算式 x 2y 4 ÷ 1 xy xy 3 ② a 6 b 4 c ÷ a 3b 2 a 2b 2c ③ x 8 y 2÷ : ① 4 4 = ; 16 8 =2; 9 3 y 5 3 2 m m 2 m － ÷ － － ，其中正确的有 x x y ; ④(12 m m ( m 3 =3 +8 4 ) 2 )= 6 +4 +2 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 12. 设( x m －1 n+2 5m －2 5 3 , n y ) ·( x y )= x y 则 m 的值为 A.1 B. －1 C.3 D. －3 13. 计算［ ( a 2－b 2)( a 2+b 2) ］2 等于 A. a 4－2a 2b 2+b 4 B. a 6+2a 4b 4+b 6 C.a 6－2a 4 b 4+b 6 D.a 8－2a 4b 4+b 8 14. 已知 ( a+b) 2 =11, ab=2, 则( a － b) 2 的值是 A.11 B.3 M 是 C.5 D.19 15. 若 x 2－ xy M 是一个完全平方式，那么 7 + A. 7 y 2 B. 49 y 2 C. 49 y 2 D.49y 2 2 2 4 16. 若 x, y 互为不等于 0 的相反数， n 为正整数 , 你认为正确的是 A. x n 、y n 一定是互为相反数 B.( 1 ) n 、( 1 ) n 一定是互为相反数 x y
人教版【教案】 完全平方公式
完全平方公式 【知识与技能】 1.完全平方公式的推导及其应用. 2.完全平方公式的几何解释. 【过程与方法】 经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力. 【情感态度】 在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神. 【教学重点】 完全平方公式的应用. 【教学难点】 完全平方公式的结构特征及几何解释. 一、情境导入，初步认识 问题一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，就给一块糖；来两个孩子，就给每个孩子两块糖，…… （1）第1天有a个男孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （2）第2天有b个女孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？ （3）第 3天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了孩子们多少块糖？ （4）这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ 【教学说明】（4）的结果需要化简，应用乘法法则可求出（a+b）2.引导学生结合教材认识从几何角度解释（a+b）2的结果.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”. 【归纳总结】公式的表达式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2. 公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式；左边是两数和的形式时，右边就是这两数的平方和加上这两数积的2倍（和对应加）；左边是两数差的形式时，右边就是这两数的平方和减去这两数积的2倍（差对应减）；两公式结构相同，仅一个符号不同.
二、思考探究，获取新知 例1计算下列各题. 【分析】（1）、（2）可直接应用公式.计算时，如遇小数，应将其化成分数，这样可方便计算.（3）、（ 4 ）应注意符号，或可直接应用公式（a-b）2=a2-2ab+b2. 例2计算：（1）1032；（2）2992. 【分析】通过观察可发现103=100+3，299=300-1，这样可应用完全平方公
新人教版完全平方公式教案
14.2.2 完全平方公式 时间： 地点：初二（20）班 开课教师：叶春意 一、 教学目标 知识与技能：了解完全平方公式的推导过程，理解公式的几何背景；能用文字 和符号语言表述完全平方公式，掌握公式的结构特征，会运用公式 】 进行准确的计算。 过程与方法：经历完全平方公式的探索过程，使学生熟悉完全平方公式的特征， 进一步发展学生的符号感和推理能力，培养学生的发现能力、归纳 能力。 情感、态度与价值观：体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中 ` 获得成功的体验与喜悦，树立学习信心。 二、 教学重难点 教学重点：能用语言准确表述完全平方公式，会运用公式进行准确的计算 教学难点：掌握公式的结构特征，会运用完全平方公式进行准确的计算 三、 教学过程 ! 1、复习旧知 （1）多项式与多项式相乘的法则： ()()a b m n am an bm bn ++=+++ （2）根据乘方的定义，2()a b +应该写成什么样的形式呢 2()a b += ~ 2、探究新知 问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律 （1）2(1)(1)(1)p p p +=++= （2）2(2)m +=
（3）2()a b += \ 师生活动：通过计算2()a b +=()()a b a b ++=22a ab ba b +++222a ab b =++，教师引导学生得出222()2a b a ab b +=++。 让学生观察上述公式，尝试总结222()2a b a ab b +=++的特点，小组交流讨论，并派学生代表回答。 教师给予肯定并进行相应补充：两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。 学生类比上题，计算下列多项式的积： （4）2(1)(1)(1)p p p -=--= ' （5）2(2)m -= （6）2()a b -= 通过计算，学生自主得出222()2a b a ab b -=-+，并尝试用文字语言表述该公式的特点：两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。教师给予肯定，并让学生将两个公式进行对比，进一步挖掘公式的结构特征： ①积为二次三项式； ②积中两项为两数的平方和； . ③另一项是两数的积的2倍，但符号与乘式中间的符号相同； ④公式中的a 、b 可以表示数、单项式或多项式。 222 222()2()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+ 教师指出，这两个公式叫做乘法的完全平方公式，并板书课题。 3、应用新知 - 例1 运用完全平方公式计算：
完全平方公式常考题型(经典)
完全平方公式典型题型 一、公式及其变形 1、 完全平方公式：222()+2a b a ab b +=+ （1）222()2a b a ab b -=-+ （2） 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。 注意： 222)()]([)(b a b a b a +=+-=-- 222)()]([)(b a b a b a -=--=+- 完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 2、公式变形 (1)+（2）得:22 22 ()()2a b a b a b ++-+= (12)-）（得: 22 ()()4 a b a b ab +--= ab b a ab b a b a 2)(2)(2222-+=-+=+，ab b a b a 4)()(22-+=- 3、三项式的完全平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++ 二、题型 题型一、完全平方公式的应用 例1、计算（1）（－ 21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 练习1、(1)（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）；（2）、（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 题型二、配完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2 是一个完全平方式，则N = 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 题型三、公式的逆用 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________．
数学教案的运用完全平方公式法
数学教案的运用完全平方公式法 1。使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法； 2。理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力。 3．进一步培养学生全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力． 4．通过运用公式法分解因式的教学，使学生进一步体会“把一个代数式看作一个字母”的换元思想。 1。问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法? 答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解。我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法。 2。把下列各式分解因式： (1)ax4－ax2 (2)16m4－n4。 解 (1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1) (2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2 =(4m2+n2)(4m2－n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m－n)。 问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式。 请写出完全平方公式。 完全平方公式是： (a+b)2=a2+2ab+b2， (a－b)2=a2－2ab+b2。 这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解。 和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2； a2－2ab+b2=(a－b)2。 这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。式子 a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式。运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式。 问：具备什么特征的多项是完全平方式? 答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式。 问：下列多项式是否为完全平方式?为什么? (1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2； (3)25x4－10x2+1； (4)16a2+1。
完全平方公式(2)
15.2.2 完全平方公式 教学任务分析 教学过程设计 一、 激发学生兴趣，引出本节内容 活动1 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p ＋1）2 =（p ＋1）（p ＋1）＝_________； （2）（m ＋2）2=（m ＋2）（m ＋2）＝_________； （3）（p －1）2 =（p －1）（p －1）＝_________； （4）（m －2）2=（m －2）（m －2）＝_________． 答案：（1）p 2+2p +1； （2）m 2+4m +4； （3）p 2－2p +1； （4）m 2－4m +4． 活动2 在上述活动中我们发现（a ＋b ）2＝222b ab a ++，是否对任意的a 、
b，上述式子都成立呢？ 学生活动设计 学生利用多项式与多项式相乘的法则实行计算，观察计算结果，寻找一般性的结论，并实行归纳，用多项式乘法法则可得 （a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． （a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab－ab+b2 =a2－2ab+b2． 所以 （a+b）2 = a2+2ab+b2， （a－b）2 = a2－2ab+b2． 教师活动设计 引导学生利用多项式的乘法法则实行推理，证明活动1中发现的结论的准确性． 二、问题引申，总结归纳完全平方公式 活动3 学生活动设计 分组讨论，合作交流，归纳完全平方公式的特点． 归纳 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即 （a+b）2=a2+2ab+b2， （a－b）2=a2－2ab+b2． 教师活动设计 在交流中让学生归纳完全平方公式的特征： （1）左边为两个数的和或差的平方； （2）右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍． 活动4 你能根据教材中的图15．2-2和图15．2-3中的面积说明完全平方公式吗?
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例 完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明. 一、正用 根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22 (23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22 [(2)3]m m =--222(2)6(2)9 m m m m =---+4322446129 m m m m m =-+-++43242129 m m m m =--++ 思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用 将公式逆向使用，即由右向左套用. 例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( ) 222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3 分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019 b x =+20172020 c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2 c a -=∴222 a b c ab bc ac ++---2221(222222)2 a b c ab bc ac = ++---2222221(222)2 a a b b b b c c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2 a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+
完全平方公式变形的应用练习题_2
（一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则= (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=22713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22 ，则a 为 ⑷如果22)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求))((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++=
完全平方公式的综合应用(讲义及答案)
完全平方公式的综合应用（讲义） ? 课前预习 1. 请利用完全平方公式计算下列各式： （1）(a +b )2-(a -b )2=_________； （2）(a +b )2-(a 2+b 2)=_________； （3）a 2+b 2-(a -b )2=__________． 2. 如图1是一个长为2m 、宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小 长方形，然后拼成一个如图2所示的正方形． 图1 图2 m n n m m n n m （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积； （2）观察图2，你能写出三个代数式2()m n +，2()m n -，mn 之间的等量关系吗？ ? 知识点睛 1. 知二求二：
2()a b +，2()a b -，22a b +，ab 有如下关系： )2 ( 因此，已知其中两个量的值，可根据他们之间的关系求解其余两个量的值． 2. 公式逆用： （1）观察是否符合公式的结构． （2）两边已知，中间未知，____________；两边未知，中间已知，______________． 3. 最值问题： 若关于x 的二次多项式可以写成_____________的形式，则由__________，可知__________，因此此多项式有最小值____；若关于x 的二次多项式可以写成_____________的形式，则由__________，可知___________，因此此多项式有最大值____． ? 精讲精练 1. 若2()3a b -=，2()19a b +=，则ab =______，22a b +=______． 2. 若24x y +=，1xy =，则224x y +=______，2(2)x y -=______． 3. 若a +b =4，228a b -=，则22a b +的值是__________． 4. 已知常数a ，b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值． 5. 已知a +b =3，ab =1，求22a b +，44a b +的值．
八年级数学上册综合训练完全平方公式的综合应用知二求二二天天练无答案 新人教版
完全平方公式的综合应用（知二求二）（二） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.若，，则的结果为( ) A.7 B.13 C.94 D.106 2.若，，则的结果为( ) A. B.19 C. D.10 3.若，，则的结果为( ) A.45 B.39 C.15 D.21 4.若，，则的结果为( ) A.20 B.112 C.-40 D.80 5.若，，则的值为( ) A.112 B.12 C.72 D.176
6.若，则的结果为( ) A.5 B.11 C.7 D.1 7.若，则与的值分别为( ) A.11；119 B.11；123 C.7；83 D.7；47 8.若，则的值为( ) A.21 B.23 C.25 D.27 9.若，则的值为( ) A.256 B.196 C.194 D.322 10.若，则的结果为( ) A.40 B.5 C.10 D.20
学生做题后建议通过以下问题总结反思 问题1：填空： 问题2：已知，，求的值． 思路分析： ①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题； ②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_________________________________； ③将，代入求解即可．所以=__________． 问题3：已知，求的值． 思路分析： ①观察题目特征，判断此类题目为“知二求二”问题； ②“_______”即为公式中的a，“_________”即为公式中的b，根据他们之间的关系可得_____________________； ③观察知x≠0，对其进行处理得____________，然后代入，得 =__________． 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
完全平方公式第一课时教案(新北师大版)
1.6.1完全平方公式 教材分析 本节内容主要研究的是完全平方公式的推导和公式在整式乘法中的应用。完全平方公式是初中代数的一个重要组成部分，是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法及平方差公式基础上的拓展，而且公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过对公式的学习来简化某些整式的运算，且在以后学习因式分解、解一元二次方程、配方法、勾股定理、二次函数求最大值（最小值）及图形面积计算都有举足轻重的作用。 一、知识与技能 1、理解完全平方公式的意义，熟记完全平方公式结构特征； 2、能运用完全平方公式进行简单的计算。 3、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。 二、过程与方法 1、经历探索过程，学会归纳推导出某种特定类型乘法并用简单的数学式子表达出，即给出公式。 2、在探索过程的教学中，培养学生观察、归纳的能力，发展学生的符号感和语言描述能力。 三、情感与态度 以探索、归纳公式和简单运用公式这一数学学习的成功体验，增加学习数学和使用数学的信心，爱数学的兴趣。 教学重点： 理解完全平方公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，正确运用公式。 教学难点： 公式的推导及对公式含义的理解。 教学方法： 学生探索归纳与教师讲授结合（建议小组合作学习） 课前准备： 投影仪、幻灯片 四、教学过程设计 （一）复习回顾，引出课题
1、回顾平方差公式的结构特征； 学生口述平方差公式及其结构特征。 2、下面算式能否运用平方差公式计算?请计算出结果。 （1）(m+3)2 = (m+3) (m+3) = ____; （2）(2-x)2=(2-x)(2-x) = ; 教师巡视，检查学生完成情况，关注学困生的完成情况，及时辅导、表扬和鼓励。 【设计意图】通过对特殊的多项式与多项式相乘的计算，既复习了旧知，又为下面学习完全平方公式作了铺垫，让学生感受从一般到特殊的认识规律，引出乘法公式----完全平方公式． （二）合作探究，获得新知 1.探索新知，尝试发现 问题：你能从式子中发现什么规律？回答下列问题： ①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母表示你的发现？ 师生活动：让学生观察算式及结果，通过自主探究、与小组进行合作交流，发现规律。教师提问，教师鼓励大胆表达意见,积极与小组同伴合作,讨论,交流,然后统一看法，得出式子左边是两个数的和或这两个数的差的平方，右边是三项式，其中两项是左边二项式中两项的平方和，另一项是左边二项式中两项乘积的两倍。 【设计意图】让学生积极参与数学再创造活动，化特殊为一般，培养数学建模思想，化归思想。使抽象、枯燥的公式变得生动、趣味，突破难点。让学生体验成功的快乐，自己是数学的主人。 2.总结归纳，发现新知 师生共同总结： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2 这两个公式叫做完全平方公式。 问题：①这两个公式有何相同点与不同点？②你能用自己的语言叙述这两个公式
完全平方公式2
完全平方公式 西外学校代声亮 教学建议 一、知识结构：引入完全平方公式几何意义、代数特征 公式应用 二、重点、难点分析 本节教学的重点是完全平方公式的熟记及应用．难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)．完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础。 1．两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．即： (a+b)2=a2 +2ab+b2 (a-b)2=a2 -2ab+b2 这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的． 这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍；公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式．
2．只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式． 在运用公式时，有时需要进行适当的变形，例如(a+b+c)2可先变形为[a+(b+c)]2或[(a+b)+c)]2或者[(a+c+b)]2，再进行计算在运用公式时，防止发生(a±b)2=a2±b2这样错误． 3．运用完全平方公式计算时，要注意： （1）切勿把此公式与公式(ab)2 =a2b2混淆，而随意写(a+b)2=a2+b2 （2）切勿把“乘积项”2ab 中的2丢掉． （3）计算时，要先观察题目特点是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的条件的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式条件的形式，则应运用乘法法则进行计算．4．(a+b)2 =a2+2ab+b2与(a-b)2 =a2-2ab+b2都叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． 三、教法建议 1．在公式的运用上，与平方差公式的运用一样，应着重让学生掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，教科书把公式中的字母同