泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用

常用近似公式八1 +工，血mx（|"充分小），将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当廿1较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：

1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化：

对复杂函数J3）,想找多项式稣丈）来近似表示它。自然地，我们希望必）尽可能多地反映出函数/（幻所具有的性态一一如：在某点处的值与导数值；我们还关心玖（"）的形式如何确定；外（*）近似所产生的误差"

【问题一】

设/（工）在含工口的开区间内具有直到打斗1阶的导数，能否找出一个关于3

■此）的n次多项式

乩⑴二劣斗％（工-工°）+%3」工J +…+ %3 —工Q”①

且pf它）*由6）3 = 0,1,…M）

近似""•.）？

【问题二】

若问题一的解存在，其误差嵌）=了3）5工）的表达式是什么？

一、【求解问题一】

问题一的求解就是确定多项式的系数口D，口1，…*%。

次有■ J +仃1S -工u ）斗占L ）' +…+ &方-%）日

•■勾=入（勺）

P；（K）=及"*（应・^0 ） + 3^0-立淀 4 …+ ^a K（x -z0）M'}

二^1 = P；（x0）

PZ fx）= 2L% + 3 2% 3一利）+ 4 3 / （上一沔沪+ …+为伽一1）冬•知广’

二2・y = p；（Q

或@）=3 2 1 %+432 龟&-毛）+5 4 3 % Q-母）'+ …+叩（n-1）（n-T）（r-Jt^T-3

二3,2，1，知=尸怜。）

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出:

一般地，有

用（上―1）0 —•% = p 渲（气）=

从而，得到系数计算公式：

% =

广3。）

1（

广5）

Z I

尸（冲）

于是, 所求的多项式为:

1： -.! ⑵

二、【解决问题二】

泰勒（Tayler）中值定理

若函数「3）在含有*的某个开区间（白力）内具有直到"1阶导数,

则当况何面时，/'（X）可以表示成

丁（工）=■（%）+氏（Q

=汽知）+立乌羿心-知）' + t=i

底！

——OF)"】

(/? + !)! °

这里"是工。与耸之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路:

这表明：

只要对函数& （r ）=尸⑥-成）及g 。）=。一标）"'在笠与知 之间反复使用n + 1次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

【证明］

-1

1

\

以工口与艺为端点的区间I x o ］或［马工d ］记为T, 1仁（门或）。 函数 M ） = N ）-W 在I 上具有直至 ”+1 阶的导数， 且

■..L \〔、［——_ 尺"厂.〕_ U

函数 典）=（」*）"'在I 上有直至"十1阶的非零导数，

q （"l ）（t ）=（刘+功

于是，对函数 尺（*）及 典）在I 上反复使用 E 次柯西中值 定理，有

J"'®） i

芥k 阳

（s 知广 1 5 + 1）1

注意到；玲心。）=产切（0-*）（近）=。e= OJZ …E ） 火

己）=（£一此）XL 成”）（七）=。［北=0］七…/）, qgn （r ）= 3十1）1 （因4。）是关于r 的并十1次多项式） ［耻”）］5叫・0 （因儿⑴是关于，的阳次多项式） 职5= JO"）,则史g （E ）二/少⑴

⑴

o 7⑴一 W"二 &⑴

"1)

乌⑴一出）0"叩）

勺（肩=RZ ）- _ & （言i ） qE ，«鸟）

_ %«鸟）-&：（2_ 砒W 『）

矿显）->（0 -时（品） =%”（%）・ R ：E ） _ 肾仔） "时QQ-"3Q 一 才）（窑

g"」g ）

产”7（土心）

（> + 1）1

记4 = M 在气与工之间

冥）e 、.尸）（4） 三、几个概念

，⑴=了（为）+苴马羿,（sW'芸卑。-均广 k\ （打 + 1）!

此式称为函数丁3）按（工-工口）的籍次展开到 近阶的泰勒公式; 或者称之

为函数了仁）在点叱处的灯阶泰勒展开式。 当门5 时，泰勒公式变为

/（UH ）'公

，（工）二，（为）+、:* （x-r 0）a+1 =/（为）+ 广（最（s 标）

（0 + 1）!

这正是拉格朗日中值定理的形式。

因此，我们也称泰勒公式中的余项。

户+1）陌

耳（武）= --- -（x-x 0）n+l

O+1）!

为拉格朗日余项。

c

2、对固定的凡，若 V ' ' 看…一；小"

W ］在险与x 之间 土在心与ft 之间

A 在冲与土之间

1、

此式可用作误差界的估计

-<——------- -- X 一兀口1一0 （工T 工0 ）

J 寸（E）L 01 1°

故』「厂:,-1（ •：，门（'L）

表明：误差虬（X）是当I 冲时较3一为『高阶无穷小，这一余项表达式称之为皮亚诺余项。

3、若x o =0，则菱在。与¥之间，它表示成形

式,：..一•"，

泰勒公式有较简单的形式——麦克劳林公式

近似公式

73K 川）+2^22" 2^22 产”。）.必（0 < < 1）

11 21 用

误差估计式

n+l

麦瓦芳林展开式是一种特殊形式的奉勒展升式.容易札因此.求函数/■⑴在任意点X =为处的泰勒屐开式时.可通过变量昔换x - x c = t fl；归到这一情况，令X-X0 = t

则/（x） = y（t^x0）=F（O

对函数F（：）作麦在黄抹展开.

【例1】求JO）二/的麦克劳林公式。

解：• 「I —LLI 巳- •..，••」