精选中考数学易错题专题复习一元二次方程

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围；

（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．

【答案】（1）1

2

k ≤；（2）3k = 【解析】

试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ?=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2

121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值．

试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12

； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2， ∴k 1＝1，k 2＝－3. ∵k ≤

1

2

，∴k ＝－3.

2．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？

【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠． 【解析】 【分析】

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可； （2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可. 【详解】

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x ）2=5670，解得：x 1=10%，x 2=190%（不合题意，舍去）； 答：平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x ）2=（1﹣10%）2=81%． ∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

3．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出

的值.

月份

用水量（吨）

水费（元）

四月

35

59.5

五月

80

151

【答案】

4．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；

（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤1

4

时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·

x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：

（1）?= ()()

2

2

21420k k k +-+≥，解得14

k ≤

（2）由22

12120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-

+≥， 由根与系数的关系可得：2

121221,2x x k x x k k +=+=+

代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()2

10k -≤， 得1k =.

由于k 的取值范围为14

k ≤

， 故不存在k 使22

12120x x x x --≥．

5．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．

（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1． 【解析】 【详解】

分析：（1）求出根的判别式24b ac ?=-，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ?=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.

详解：（1）解：由题意：0a ≠．

∵()2

2242440b ac a a a ?=-=+-=+>，

∴原方程有两个不相等的实数根．

（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如： 解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．

点睛：考查一元二次方程()2

00++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ?=-，

当240b ac ?=->时，方程有两个不相等的实数根. 当240b ac ?=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ?=-<时，方程没有实数根.

6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程． （1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？

（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

【答案】(1)2000；(2)2米 【解析】 【分析】

（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程； （2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程 【详解】

解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x 米2，

根据题意得：

4600022000x -﹣

4600022000

1.5x

-= 4 解得：x=2000，

经检验，x=2000是原方程的解;

答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米； （2）设人行道的宽度为x 米，根据题意得， （20﹣3x ）（8﹣2x ）=56

解得：x=2或x=

26

3

（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米．

7．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元. （1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？

（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.

【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7. 【解析】 【分析】

（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解. 【详解】

（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.

由题得：()()18344282a b a b +=?

?

+++=?

解之得：10

8a b =??

=?

答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =

经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】

本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.

8．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件：（1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？

（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天

开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可

以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．

【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．

【解析】

试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；

（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．

试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，

150（x﹣20）=2250，

解得x=35，

答：销售单价至少为35元；

（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，

150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，

m﹣m2=12，

60m﹣3m2=192，

m2﹣20m+64=0，

m1=4，m2=16，

∵要使销售量尽可能大，

∴m=16．

【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．

9．阅读下面的材料，回答问题：

解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：

设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．

当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；

当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；

∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．

（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．

（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．

【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．

【解析】

【详解】

解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;

（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．

由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．

由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．

10．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．

（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；

（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．

【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（

1

2

-，0）或（

1

2

，0）.

【解析】

【分析】

（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；

（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-

4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．

【详解】

解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，

所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），

由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，

所以0＝a+2，

解得a＝﹣2；

（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”

∴11

a b

-=，

∴a+b＝0．

∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根

∴a+b＝k＝0，

∴x2﹣4＝0，

∴x1＝2，x2＝﹣2．

①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为

1

,0

2

??- ???

；

②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（1

2

，0 ）

∴综上所述，“x牵手点”为

1

,0

2

??

- ?

??

或（

1

2

，0）

【点睛】

本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．