单因素方差分析ppt课件
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One-WayANOVA单因素方差分析ppt课件
i 1j 1 i 1j 1 i 1j 1
a n
2
xxxx xx xx 0
i1 j1 i j i i i1 i j1 i j i
an
a
n
xx nxx xx
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
1 x x , x x , i 1 , 2 , , a i i j i i n j 1 a n 1 x x x x i j, a n i 1 j 1
平方和 的分割 自由度 的分割
= S S T 总平方和
SSA
dfA
a 1
+
处理平方和
SSe
误差平方和
df
T an 1
总自由度
=
处理自由度
+
a n a
dfe
误差自由度
M S S Sd /f A A A
处理均方
M S S Sd /f e e e
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
减少计算误差 利于编程
x 2 C na
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
品 I II III 系 IV V
1
2 3 4
64.6
65.3 64.8 66.0
64.5
65.3 64.6 63.7
方差分析原理
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
a n
2
xxxx xx xx 0
i1 j1 i j i i i1 i j1 i j i
an
a
n
xx nxx xx
单因素方差分析的数据形式
X因素的a个不同水平（处理）
每 个 处 理 下 n 个 重 复
1 x x , x x , i 1 , 2 , , a i i j i i n j 1 a n 1 x x x x i j, a n i 1 j 1
平方和 的分割 自由度 的分割
= S S T 总平方和
SSA
dfA
a 1
+
处理平方和
SSe
误差平方和
df
T an 1
总自由度
=
处理自由度
+
a n a
dfe
误差自由度
M S S Sd /f A A A
处理均方
M S S Sd /f e e e
误差均方
固定效应模型
单因素固定效应模型的方差分析表
减少计算误差 利于编程
x 2 C na
C称为校正项。误差平方和 SSe ＝ SST－SSA
例 调查5个不同小麦品系株高，结果见下表：
品 I II III 系 IV V
1
2 3 4
64.6
65.3 64.8 66.0
64.5
65.3 64.6 63.7
方差分析原理
①因素的a个水平是人为特意选择的。 ②方差分析所得结论只适用于所选定的a个水平。
单因素方差分析课件
将原始数据减去1000，列表给出计算过程 表8.1.2 例2的计算表
水平
数据（原始数据-1000）
m
Ti
2
Ti
yi2j
j 1
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984 1133 505177 91363
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...a 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X a 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
Xij i ij , j 1, 2,..., r, i 1, 2,..., a. 线性统计模型
j 1
xi
41 33 38 37 31 39 37 35 39 34 40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
40 35 36 38 33
53
xij 546
i1 j 1
53
xij 15 36.4
i1 j 1
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造 成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的 不同水平造成。
集装箱类 型
最大抗压强度
平均抗压强 度
1
655.5 788.3 734.3 721.6 679.4 699.4 713.08
2
789.2 772.5 786.9 686.1 732.1 774.8 756.93
Minitab单因素方差分析(共83张PPT)
间有显著差异；
• 当 F F1 (r 1, n r) 时，保留原假设 H 0 ，因为尚无发现诸均
值 1, 2 ,, r 间有显著差异的迹象，只好保留 H 0 ．
单因素方差分析
Minitab
例2: 茶是一种饮料，它含有叶酸（folacin） ，这是一种维他命B。如今要比较各种茶叶 中的叶酸含量。
• 方差分析有单因素与多因素的区分。
单因素方差分析理论基础
单因素方差分析单因子试验的一般概述（记号） Minitab
在一个试验中只考察一个因子A及其r个水平A1，A2，… ，Ar．
在水平Ai下重复mi次试验，总试验次数n= m1+m2 +…+ mr．
记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，这里
多重比较
Minitab
同时比较任意两个水平间有无显著差异的问题称为多重比较问
题．
譬如，r=3 时，同时检验如下三个假设：
H 012：1 2，H 013：1 3，H 023： 2 3
的检验问题就是多重比较问题的一个例子．
这里的关键是“同时”两字．若
r
较大，要同时检验
r 2
个假
设，问题就复杂起来了．
中至少有
一个不成立”就构成多重比较的拒绝域
W yi y j c ．
i j
•经计算，对给定显著性水平 ，可得
c q1 (r, fe ) MSe / m
其 中 q1 (r, fe ) 是 统 计量 q(r, fe ) 的 抽 样 分布 的
1 分位数，可从给定的表中查得．
多重比较 重复数不等情况的多重比较(S法)
到方差分析表中，继续进行统计分析．
来源
平方和
T检验及单因素方差分析PPT课件
• t 分布是一个均值为零左右对称的丘形分布，峰 度低于标准正态分布，尾部高于标准正态分布。
• 自由度越大其分布越接近于正态分布，所以在大 样本检验中可以使用Z检验代替t检验。
• t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小 有关。与标准正态分布曲线相比，自由度df越小 ，t分布曲线越平坦，曲线中间越低，曲线双侧尾 部越高；自由度df越大，t分布曲线越接近正态分 布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正 态分布曲线。
最新课件
29
（6) 设置输出统计量 单击“Options”按钮，打开“Options”对话框，如图所示。选择要求输出
的统计量,并按要求的方式显示这些统计量。在该对话框中还可以选择对缺失值的 处理要求。 Exclude cases analysis by analysis选项，被选择参与分析的变量 含缺失值的观测量，从分析中剔除。
表5-3为方差齐次性检验结果，从显著性慨率看，p>0.05，说明各组的方差在 a=0.05水平上没有显著性差异，即方差具有齐次性。这个结论在选择多重比 较方法时作为一个条件。
最新课件
31
表5-4方差分析表： 第1栏是方差来源，包括组间变差“Between Groups”；组内变差“Within Groups”和总变差“Total”。 第2栏是离差平方和“Sum of Squares”，组间离差平方和87.600，组内离 差平方和为24.000，总离差平方和为111.600，是组间离差平方和与组内离 差平方和相加之和。 第3栏是自由度df，组间自由度为4，组内自由度为10；总自由度为14。 第4栏是均方“Mean Square”，是第2栏与第3栏之比；组间均方为21.900， 组内均方为2.400。 第5栏是F值9.125（组间均方与组内均方之比）。 第6栏：F 值为9.125，对应的概率值P为0.002<0.01。于是在0.01显著性水 平上拒绝H0假设，即5种品种虫数的平均值有显著性差异。
• 自由度越大其分布越接近于正态分布，所以在大 样本检验中可以使用Z检验代替t检验。
• t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小 有关。与标准正态分布曲线相比，自由度df越小 ，t分布曲线越平坦，曲线中间越低，曲线双侧尾 部越高；自由度df越大，t分布曲线越接近正态分 布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正 态分布曲线。
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29
（6) 设置输出统计量 单击“Options”按钮，打开“Options”对话框，如图所示。选择要求输出
的统计量,并按要求的方式显示这些统计量。在该对话框中还可以选择对缺失值的 处理要求。 Exclude cases analysis by analysis选项，被选择参与分析的变量 含缺失值的观测量，从分析中剔除。
表5-3为方差齐次性检验结果，从显著性慨率看，p>0.05，说明各组的方差在 a=0.05水平上没有显著性差异，即方差具有齐次性。这个结论在选择多重比 较方法时作为一个条件。
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31
表5-4方差分析表： 第1栏是方差来源，包括组间变差“Between Groups”；组内变差“Within Groups”和总变差“Total”。 第2栏是离差平方和“Sum of Squares”，组间离差平方和87.600，组内离 差平方和为24.000，总离差平方和为111.600，是组间离差平方和与组内离 差平方和相加之和。 第3栏是自由度df，组间自由度为4，组内自由度为10；总自由度为14。 第4栏是均方“Mean Square”，是第2栏与第3栏之比；组间均方为21.900， 组内均方为2.400。 第5栏是F值9.125（组间均方与组内均方之比）。 第6栏：F 值为9.125，对应的概率值P为0.002<0.01。于是在0.01显著性水 平上拒绝H0假设，即5种品种虫数的平均值有显著性差异。
单因素方差分析.ppt
SA和 SE 的统计特征
定理： 在单因素方差分析的模型下，
（1） S E ~ χ（2 n s） σ2
（2）SA 和 SE 相互独立。
（3） H 0：μ1 μ2 μs 为真时，
S A ~ χ（2 s 1）, σ2
ST σ2
~
χ（2 n 1）
由定理（1），有
E（ S E ） n s， σ2
98
样本 和 184 498 267
样本 均值 46 83 89
n1 4，n2 6，n3 3，
n 13
s
T T j 949
j 1
s nj
x
2 ij
75721
j1 i1
ST
s nj
x
2 ij
j1 i1
1 n
T2
6444
S A
误差（组内）平方和：
说明：
s nj
SE
( X ij X j )2
j1 i1
SE 表示在每个水平下的样本值与该水平下的样本 均值的差异，它是由随机误差引起的，所以，称SE是 误差（组内）平方和.
平方和分解公式： ST S A SE
证明：ST
s
nj
( X ij X )2
临界值
因子A
SA
随机误差 SE
总和
ST
s-1 SA/s-1 S A /(s 1) Fα (s 1, n s) n-s SE/ n-s S E /(n s)
n-1
（5）检验，若
S A /(s 1) S E /(n s)
Fα (s 1, n
连续变量的单因素方差分析ppt
11.2 案例
例：在CCSS项目中，考察2007年4月，2007年12月，2008年12 月，2009年12月这4 个时点的消费者信心指数平均水平是否 存在差异。
（1）假设H0：m1 = m2 = m3 = m4; H1： m1, m2, m3, m4不全相同
（2）预分析。 Analyze Compare Means Means…
谢谢观看
输出各水平下均值的折线图。
剔除所有含有缺失值的观测
计算中涉及的变 量含有缺失值时 暂时剔除观测
检验统计量=1.929相伴P值=0.123 > 0.05， 故可以认为4种水平下各总体的方差无显著差异， 满足单因素方差分析中的方差相等性要求。
图中第1列为方差分析中变异的来源，第2、3、4 列分别为离均差平方和、自由度、均方，检验统计量 F = 16.252，显著性（sig.）P = 0.000 < 0.05。由 此，认为拒绝原假设。
的方法，用于探索性的两两比较。 （2）Sidak法：使用Sidak校正的两两方法。 （3）Bonferroni法：使用Bonferroni校正的两两方
法。 （4）Scheffe法：用于检验分组均数所有可能的线性
组合，适用于样本含量不等的情形。 （5）Dunnett法：适用于指定对照组的情形。
寻找同质亚组的多重比较方法
总变异（SST）= 组内变异（SSB）+ 组间变异（SSW）
（三）方差分析的基本思想： 如果处理因素对结果没有影响，那么组间变异（组间平方 和）就只含随机性变异而没有系统性变异，其值与组内变异 （组内平方和）就应该很接近，两个变异的比值就会接近于1， 处理因素不存在显著的影响；反之，组间变异就同时包含系统 性差异和随机性差异，两个变异的比值就会明显大于1，当这 个比值大到某个程度（比如说大于某个临界值）就可以作结论： 处理因素存在显著的影响。
单因素方差分析(详细版) ppt课件
异常值的处理方法分为2种： (1) 保留异常值： 1）采用非参数Kruskal-Wallis H检验； 2）用非最极端的值来代替极端异常值（如用第二大的值代替）； 3）因变量转换成其他形式； 4）将异常值纳入分析，并坚信其对结果不会产生实质影响。 (2) 剔除异常值： 直接删除异常值很简单，但却是没有办法的办法。当我们需要删掉异常值时，应报告异常值大小及其对结果的影响，最好分别报告删除异常值前后的 结果。而且，应该考虑有异常值的个体是否符合研究的纳入标准。如pp果t课其件不属于合格的研究对象，应将其剔除，否则会影响结果的推论。 12
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
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11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
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布总体的简单随机样本
▪ 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 2. 各个总体的方差必须相同
▪ 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
的
▪ 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同 3. 观察值是独立的
▪ 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
8
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题
(计算总离差平方和 SST)
1. 全部观察值 xij与总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况
3. 其计算公式为
k
SST
ni
Байду номын сангаас
xij x 2
i1 j1
▪ 前例的计算结果：
SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2
=115.9295
单因素方差分析
1
什么是方差分析?
1. 检验多个总体均值是否相等
▪ 通过对各观察数据误差来源的分析来判断多个
总体均值是否相等
2
什么是方差分析?
（一个例子）
【例8.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种， 分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道 、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、 经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见 表8-1。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。
表8-1 该饮料在五家超市的销售情况
超市 无色
粉色 橘黄色
绿色
1
26.5
31.2
27.9
30.8
2
28.7
28.3
25.1
29.6
3
25.1
30.8
28.5
32.4
4
29.1
27.9
24.2
31.7
5
27.2
29.6
26.5
32.8
3
什么是方差分析?
（例子的进一步分析）
1. 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同
2. 对前面的例子
▪ H0: 1 = 2 = 3 = 4
• 颜色对销售量没有影响
▪ H0: 1 ，2 ，3， 4不全相等
• 颜色对销售量有影响
10
方差分析的基本思想和原理
（两类方差）
1. 组内方差
▪ 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 ▪ 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 ▪ 组内方差只包含随机误差
3. 样本数据
▪ 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样
本数据
6
单因素方差分析的数据结构
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1
x11 x21
: : xn1
因素(A) i
水平A2
…
x12
…
x22
…
:
:
:
:
xn2
…
水平Ak
x1k x2k : : xnk
7
方差分析中的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 ▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
15
构造检验的统计量
(计算组内误差项平方和 SSE)
1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差
平方和
2. 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离
差平方和
3. 该平方和反映的是随机误差的大小
4. 计算公式为
k ni
SSE
xij xi 2
i1 j1
▪ 前例的计算结果：SSE = 39.084
n
n
式中：n n1 n2 nk
13
构造检验的统计量
(前例计算结果 )
表8-2 四种颜色饮料的销售量及均值
超市
水平A ( i )
(j)
无色(A1) 粉色(A2) 橘黄色(A3) 绿色(A4)
1 2 3 4 5
合计
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
136.6
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
验的因素或因子
2. 水平
▪ 因素的具体表现称为水平 ▪ A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平
3. 观察值
▪ 在每个因素水平下得到的样本值 ▪ 每种颜色饮料的销售量就是观察值
5
方差分析的基本思想和原理
（几个基本概念）
1. 试验
▪ 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的
试验
2. 总体
▪ 因素的每一个水平可以看作是一个总体 ▪ 比体如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四个总
2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近
▪ 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
相等的证据也就越充分
▪ 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据
就越充分
9
提出假设
1. 一般提法
▪ H0: 1 = 2 =…= k (因素有k个水平） ▪ H1: 1 ，2 ，… ，k不全相等
2. 计算公式为
ni
xij
xi
j 1
ni
(i 1,2, , k)
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
12
构造检验的统计量
(计算全部观察值的总均值 )
1. 全部观察值的总和除以观察值的总个数
2. 计算公式为
k ni
k
xij
ni xi
x i1 j1 i1
147.8
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
132.2
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
157.3
573.9
水平均值 x1 =27.32 x2=29.56 x3=26.44 x4=31.46
总均值
观察值个数 n1=5
n2=5
n3=5
n4=5 x =28.695
14
构造检验的统计量
16
构造检验的统计量
(计算组间误差项平方和 SSA)
1. 各组平均值 xi (i 1,2, , k)与总平均值 x 的离差
2. 组间方差
▪ 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 ▪ 比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的
方差
▪ 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
11
构造检验的统计量
(计算水平的均值 )
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数
2.
设平的4为均假1绿为销设色无售饮色量料饮，的料3平为的均橘平销黄均售色销量饮售料，量的也，平就2粉是均色销检饮售验料下量的面，
▪ H0: 1 2 3 4 ▪ H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等
3. 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
4
方差分析的基本思想和原理
（几个基本概念）
1. 因素或因子 ▪ 所要检验的对象称为因子 ▪ 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检
▪ 比如，每种颜色饮料的销售量必需服从正态分布 2. 各个总体的方差必须相同
▪ 对于各组观察数据，是从具有相同方差的总体中抽取
的
▪ 比如，四种颜色饮料的销售量的方差都相同 3. 观察值是独立的
▪ 比如，每个超市的销售量都与其他超市的销售量独立
8
方差分析中的基本假定
1. 在上述假定条件下，判断颜色对销售量是否有 显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四 个正态总体的均值是否相等的问题
(计算总离差平方和 SST)
1. 全部观察值 xij与总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况
3. 其计算公式为
k
SST
ni
Байду номын сангаас
xij x 2
i1 j1
▪ 前例的计算结果：
SST = (26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2
=115.9295
单因素方差分析
1
什么是方差分析?
1. 检验多个总体均值是否相等
▪ 通过对各观察数据误差来源的分析来判断多个
总体均值是否相等
2
什么是方差分析?
（一个例子）
【例8.1】某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共有四种， 分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道 、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。现从地理位置相似、 经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一时期该饮料的销售情况，见 表8-1。试分析饮料的颜色是否对销售量产生影响。
表8-1 该饮料在五家超市的销售情况
超市 无色
粉色 橘黄色
绿色
1
26.5
31.2
27.9
30.8
2
28.7
28.3
25.1
29.6
3
25.1
30.8
28.5
32.4
4
29.1
27.9
24.2
31.7
5
27.2
29.6
26.5
32.8
3
什么是方差分析?
（例子的进一步分析）
1. 检验饮料的颜色对销售量是否有影响，也就 是检验四种颜色饮料的平均销售量是否相同
2. 对前面的例子
▪ H0: 1 = 2 = 3 = 4
• 颜色对销售量没有影响
▪ H0: 1 ，2 ，3， 4不全相等
• 颜色对销售量有影响
10
方差分析的基本思想和原理
（两类方差）
1. 组内方差
▪ 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 ▪ 比如，无色饮料A1在5家超市销售数量的方差 ▪ 组内方差只包含随机误差
3. 样本数据
▪ 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取的样
本数据
6
单因素方差分析的数据结构
观察值 ( j )
1 2 : : n
水平A1
x11 x21
: : xn1
因素(A) i
水平A2
…
x12
…
x22
…
:
:
:
:
xn2
…
水平Ak
x1k x2k : : xnk
7
方差分析中的基本假定
1. 每个总体都应服从正态分布 ▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分
15
构造检验的统计量
(计算组内误差项平方和 SSE)
1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离差
平方和
2. 反映每个样本各观察值的离散状况，又称组内离
差平方和
3. 该平方和反映的是随机误差的大小
4. 计算公式为
k ni
SSE
xij xi 2
i1 j1
▪ 前例的计算结果：SSE = 39.084
n
n
式中：n n1 n2 nk
13
构造检验的统计量
(前例计算结果 )
表8-2 四种颜色饮料的销售量及均值
超市
水平A ( i )
(j)
无色(A1) 粉色(A2) 橘黄色(A3) 绿色(A4)
1 2 3 4 5
合计
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
136.6
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
验的因素或因子
2. 水平
▪ 因素的具体表现称为水平 ▪ A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平
3. 观察值
▪ 在每个因素水平下得到的样本值 ▪ 每种颜色饮料的销售量就是观察值
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方差分析的基本思想和原理
（几个基本概念）
1. 试验
▪ 这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的
试验
2. 总体
▪ 因素的每一个水平可以看作是一个总体 ▪ 比体如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四个总
2. 如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本 的均值也会很接近
▪ 四个样本的均值越接近，我们推断四个总体均值
相等的证据也就越充分
▪ 样本均值越不同，我们推断总体均值不同的证据
就越充分
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提出假设
1. 一般提法
▪ H0: 1 = 2 =…= k (因素有k个水平） ▪ H1: 1 ，2 ，… ，k不全相等
2. 计算公式为
ni
xij
xi
j 1
ni
(i 1,2, , k)
式中： ni为第 i 个总体的样本观察值个数 xij 为第 i 个总体的第 j 个观察值
12
构造检验的统计量
(计算全部观察值的总均值 )
1. 全部观察值的总和除以观察值的总个数
2. 计算公式为
k ni
k
xij
ni xi
x i1 j1 i1
147.8
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
132.2
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
157.3
573.9
水平均值 x1 =27.32 x2=29.56 x3=26.44 x4=31.46
总均值
观察值个数 n1=5
n2=5
n3=5
n4=5 x =28.695
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构造检验的统计量
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构造检验的统计量
(计算组间误差项平方和 SSA)
1. 各组平均值 xi (i 1,2, , k)与总平均值 x 的离差
2. 组间方差
▪ 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 ▪ 比如，A1、A2、A3、A4四种颜色饮料销售量之间的
方差
▪ 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
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构造检验的统计量
(计算水平的均值 )
1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的简单
随机样本，第i个总体的样本均值为该样本的 全部观察值总和除以观察值的个数
2.
设平的4为均假1绿为销设色无售饮色量料饮，的料3平为的均橘平销黄均售色销量饮售料，量的也，平就2粉是均色销检饮售验料下量的面，
▪ H0: 1 2 3 4 ▪ H1: 1 , 2 , 3 , 4 不全相等
3. 检验上述假设所采用的方法就是方差分析
4
方差分析的基本思想和原理
（几个基本概念）
1. 因素或因子 ▪ 所要检验的对象称为因子 ▪ 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检