函数的单调性的应用
浅谈数学中函数的单调性及其应用
浅谈数学中函数的单调性及其应用浅谈数学中函数的单调性及其应用摘要函数的单调性是高一数学课程中所接触到的函数的第一个性质，单调性的判断（用定义证明一个函数的单调性、求复合函数的单调性）及其应用（包括利用单调性求解不等式、利用单调性求函数的值域、利用单调性求函数的最值等）在高中数学中的作用和地位是非常重要的，它可以和高中阶段的很多知识点联系在一起，出题的方式、解题的方法也是多种多样的。
下面就我个人的理解和掌握，对函数的单调性判断及利用函数的单调性求解不等式、利用单调性求最值和参量等问题，举些具有代表性的例子。
关键词：函数；单调性；数学前言函数单调性是中学数学的重要内容之一，是高考的热点，常作为高考压轴题的考查内容，比如，本文通过整理发现陕西近年的高考数学题呈现一个现象，即多次要用函数单调性去做一些较难层次的题，分别是求参数范围、解不等式、证明不等式等。
同时，新课标对于函数单调性的教学目标是，要求学生能够熟练掌握单调性概念的证明方法，并应用单调性来求解一些基础题。
不管是高考趋势，还是新课标所倡导的教学理念，都对学生学习函数单调性提出了较高层次的要求。
但由于函数单调性的证明和应用的复杂性，使得学生在学习和做题过程中存在很多困难，例如，通常掌握单调性的概念证明是远远不够的。
那么，就出现了一个问题，除了它的的概念，是否还有其他可以证明函数单调性的方法，同时这些方法可以用来解决高考题。
针对于以上提到的两点，本文选择了函数单调性的判断和应用进行研究。
函数的单调性，是函数在它的定义域或其子集内如何增减的刻画。
它是研究函数必不可少的内容，不论是现实生活，还是学习其它理论知识，单调性都是一个很有用的工具。
函数是高中数学的中心内容，几乎渗透到数学的每一个角落，它不仅是一条重要的数学概念，而且是种重要的数学思想。
而函数的单调性则是函数的一条重要性质，它是历年高考重点考查的重要内容，它的应用十分广泛。
通过研究函数的单调性可以揭示函数值的变化特性，对于一些学问题,若解题中注意应用函数的单调性，合理巧妙地加以运用，定会带来快捷的解题思路，可以使问题的解决简捷明快。
利用函数单调性求不等式问题的三种技巧
Җ㊀安徽㊀孙光元㊀㊀函数的单调性会在很多题型中出现或应用,如求解函数最值㊁解函数不等式㊁求函数中参数的范围等．因此,利用函数的单调性就成为解题的关键,我们要学会巧妙利用题干中的条件把原问题进行等价转换,利用函数单调性顺利求解问题．１㊀直接法采用直接法构造函数要求考生掌握函数㊁不等式和方程之间的关系,熟悉不等式和方程所对应的函数的单调性,从而熟练构造函数,利用单调性顺利完成问题求解．直接法是构造函数最常用的一种方法,在解题时要学会灵活运用．例１㊀已知１x ＋１＋１x ＋２＋ ＋１２x ȡ１１２l o g a (a －１)＋２３对于大于１的正整数x 恒成立,试确定a 的取值范围．构造函数f (x )＝１x ＋１＋１x ＋２＋ ＋１２x,因为f (x ＋１)－f (x )＝１２x ＋１＋１２x ＋２－１x ＋１＝１２x ＋１－１２x ＋２＞０,所以函数f (x )是增函数．又因为x 是大于１的正整数,所以f (x )ȡf (２)＝７１２．若要使目标不等式成立,那么１１２lo g a (a －１)＋２３ɤ７１２,即l o g a (a －１)ɤ－１,解得１＜a ɤ１＋５２．２㊀作差或作商法作差㊁作商法简单来说就是在解题过程中,可直接利用作差f (x １)－f (x ２)或作商f (x １)f (x ２)(f (x ２)＞０)来构造函数,这是比较直观和简单的一个方法．例２㊀已知x ＞－１,且x ʂ０,n ɪN ∗,当n ȡ２时,求证:(１＋x )n＞１＋n x ．令f (n )＝１＋n x(１＋x )n,因为x ＞－１,且x ʂ０,所以f (n ＋１)－f (n )＝１＋(n ＋１)x (１＋x )n ＋１－１＋n x (１＋x )n ＝－n x ２(１＋x )n ＋１＜０,故f (n )在N ∗上是减函数,则f (２)＜f (１)＝１＋x１＋x＝１,所以当n ȡ２时,f (n )＜１,即(１＋x )n＞１＋n x ．３㊀分离参数法题目中含有参数的情况比较复杂,会使解题的过程变得有些困难,而这个时候就需要把参数单独分离在等号或者不等号的一边,让另外一边的函数关系变得清晰明了,从而利用函数单调性进行求解．例３㊀已知x ＞０时,１＋l n (x ＋１)x ＞k x ＋１恒成立,求正整数k 的最大值．当x ＞０时,１＋l n (x ＋１)x ＞k x ＋１恒成立,即[１＋l n (x ＋１)](x ＋１)x＞k 恒成立．设f (x )＝[１＋l n (x ＋１)](x ＋１)x(x ＞０),则要使f m i n (x )＞k ,易知fᶄ(x )＝x －１－l n (x ＋１)x ２．设g (x )＝x －１－l n (x ＋１)(x ＞０),所以gᶄ(x )＝xx ＋１＞０,所以g (x )在区间(０,＋ɕ)上单调递增,且g (２)＝１－l n３＜０,g (３)＝２－２l n２＞０．所以存在唯一实数a ,使得g (x )＝０,且a ɪ(２,３)．当x ＞a 时,g (x )＞０,f ᶄ(x )＞０,函数f (x )单调递增;当０＜x ＜a 时,g (x )＜０,fᶄ(x )＜０,函数f (x )单调递减．所以f mi n (x )＝f (a )＝(a ＋１)[１＋l n (a ＋１)]a ＝a ＋１ɪ(３,４)．综上,正整数k 的最大值为３．直接法㊁作差或作商法㊁分离参数法等都是构造函数最常用的几种技巧和方法,除此之外,还有很多其他方法,如换元法㊁辅助法等,在解题的过程中要善于举一反三㊁灵活运用．(作者单位:安徽省肥东第一中学)５１。
2024版《函数的单调性》全市一等奖完整版PPT课件
利用单调性证明不等式
1 2
构造函数 根据不等式的特点，构造一个与不等式相关的函 数。
判断函数单调性 通过求导或差分等方法判断所构造函数的单调性。
3
利用单调性证明不等式 根据函数的单调性，结合不等式的性质，证明不 等式成立。
2024/1/29
18
利用单调性解决实际应用问题
要点一
建立数学模型
要点二
判断函数单调性
2024/1/29
21
导数与微分在函数单调性研究中的应用
导数大于零的区间内函数单调 增加，导数小于零的区间内函 数单调减少。
2024/1/29
导数等于零的点为函数的驻点， 需要进一步判断其左右两侧导 数的符号来确定该点的单调性。
微分的概念可以应用于函数单 调性的研究，通过微分可以分 析函数的局部变化率，进而判 断函数的单调性。
14
指数函数与对数函数
对数函数 $y = log_a x$（$a > 0, a neq 1$）的单调 性
当 $0 < a < 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递减。
当 $a > 1$ 时，函数在 $(0, +infty)$ 上单调递增。
指数函数与对数函数的图像关于直线 $y = x$ 对称，即 互为反函数。
2024/1/29
19
05
函数单调性与其他知识点关联
2024/1/29
20
函数奇偶性与周期性对单调性影响
奇函数在对称区间上的单调性相 同，偶函数在对称区间上的单调
性相反。
周期函数在一个周期内的单调性 与整体单调性一致，可以通过研 究一个周期内的单调性推断整体
的单调性。
考点04 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向(解析版)
专题二函数考点4 函数单调性的5种判断方法及3个应用方向【方法点拨】一、函数单调性的判断及解决应用问题的方法1.判断函数单调性的常用方法(1)定义法；（2）图象法；(3)利用函数的性质“增+增=增，减+减=减”判断；(4)复合函数的单调性根据“同增异减”判断；(5)导数法2.求函数的单调区间先定定义域，在定义域内求单调区间.单调区间不连续时，要用“和”或“，“连接，不能用“U”连接.3.单调性的应用的三个方向(1)比较大小：将自变量转化到同一个单调区间内，利用函数的单调性比较大小；(2)解函数型不等式：利用函数单调性，由条件脱去“f”；(3)求参数值或取值范围：利用函数的单调性构建参数满足的方程(组)、不等式(组).【高考模拟】1．函数()||1f x x =-与()()2g x x x =-的单调递增区间分别为（ ） A ．[1，+∞)，[1，+∞) B ．(﹣∞，1]，[1，+∞) C ．(1，+∞)，(﹣∞，1] D ．(﹣∞，+∞)，[1，+∞)【答案】A 【分析】先对()f x ，()g x 进行化简，再求单调区间即可. 【解析】 解：()1,111,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，()f x ∴在[)1,+∞上单调递增，()()222()211g x x x x x x -=-==--， ()g x ∴在[)1,+∞上单调递增，故选：A.2．函数y =）A ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[)0,+∞D ．(],3-∞-【答案】D 【分析】求出函数y =y =.【解析】由题意，230x x +≥，可得3x ≤-或0x ≥，函数y =(][),30,-∞-⋃+∞，令23t x x =+，则外层函数y =[)0,+∞上单调递增，内层函数23t x x =+在上(],3-∞-单调递减，在[)0,+∞上单调递增，所以，函数y =(],3-∞-.故选：D. 【点睛】方法点睛：求解函数的单调区间一般有以下几种方法：一是图象法，主要适用与基本初等函数及其在基本初等函数的基础上进行简单变化后的函数以及分段函数，可以借助图像来得到函数的单调区间；二是复合函数法，主要适用于函数结构较为复杂的函数，采用换元的思想将函数解析式分解为多层，利用同增异减的原理来求解；三是导数法，对于可导函数，可以解相应的导数不等式来求解函数的单调区间.3．函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，则使得()3=-y f x 为增函数的区间为（ ） A ．()2,3- B ．()1,7-C ．()1,10-D ．()10,4--【答案】C 【分析】先将函数()3=-y f x 看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，再判断增区间即可. 【解析】函数()3=-y f x 可以看作函数()f x 向右平移3个单位所得到，故由函数()f x 在区间()4,7-上是增函数，得()3=-y f x 在区间()1,10-上是增函数. 故选：C.4．函数()2f x x x =-的单调减区间是（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[2,)+∞【答案】A 【分析】将函数写成分段函数的形式，即()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩再根据解析式得到函数的单调区间；【解析】()(2),2,(2),2,x x x f x x x x -⋅≥⎧=⎨-⋅<⎩∴直接通过解析式，结合二次函数图象得：(,1),(2,)-∞+∞递增，在[]1,2递减，故选：A.5．函数f (x )=x 2+2(a -1)x +2在区间(-∞，4)上递减，则a 的取值范围是（ ） A ．[3,)-+∞ B ．(,3]-∞- C ．(,5)-∞ D ．[3,)+∞【答案】B 【分析】利用二次函数的性质，比较对称轴和区间端点的大小，列不等式可得a 的取值范围． 【解析】函数f(x)的对称轴是1x a =-，开口向上，则14a -≥，解得3a ≤- 故选：B6．若函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞ C ．(0,)+∞ D ．(,0)-∞【答案】D 【分析】直接由单调性的定义求解即可 【解析】解：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，因为函数2()()f x ax a -=∈R 在(0,)+∞上单调递增，所以12()()f x f x <，即22120ax ax ---<，所以221211()0a x x -<，21212212()()0x x x x a x x +-⋅<⋅， 因为120x x <<，所以210x x +>，210x x ->，22120x x ⋅>，所以0a <． 故选：D7．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．5a ≥【答案】A【分析】求出二次函数的对称轴，根据单调区间与对称轴之间的关系建立条件，即可求出a 的取值范围． 【解析】 解：二次函数2()2(1)2f x x a x =+-+的对称轴为2(1)(1)12a x a a -=-=--=-，抛物线开口向上，∴函数在(-∞，1]a -上单调递减，要使()f x 在区间(-∞，4]上单调递减， 则对称轴14a -， 解得3a-．故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数单调性与对称轴之间的关系是解决本题的关键． 8．“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x=-+单调递减”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】求出()y f x =的导函数，利用()y f x =单调递减，则()0f x '≤恒成立，求出m 的范围，比较所求范围和条件中给定范围的关系，得出结论. 【解析】 由221()f x m x x '=--，若函数()y f x =单调递减，必有当(0,)x ∈+∞时，2210m x x--≤恒成立，可化为2111m x ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭，可得m 1≥．故“1m ”是“函数1()2ln f x x mx x =-+单调递减”的充分不必要条件. 故选：A. 9．若函数2()1f x x =-的定义域是(﹣∞，1)∪[2，5)，则其值域为（ ） A ．(﹣∞，0)B ．(﹣∞，2]C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】分x<1和x ∈[2，5)两种情况，利用反比例函数的性质得出函数的值域． 【解析】由题意可得：当x<1时，则x ﹣1<0所以y ∈(﹣∞，0) 当x ∈[2，5)时，则x ﹣1∈[1，4)，所以y ∈1,22⎛⎤⎥⎝⎦所以函数的值域为1(,0),22⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦.故选：D.10．若关于x 的不等式342xx a+-在[0x ∈，1]2上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(-∞，1]2-B ．(0，1]C ．1[2-，1]D ．[1，)+∞【答案】D 【分析】利用参数分离法进行转化，构造函数求函数的最大值即可得到结论. 【解析】解：由题意知，342xx a +-在(0x ∈，1]2上恒成立，设3()42x f x x =+-，则函数在102⎛⎤ ⎥⎝⎦，上为增函数，∴当12x =时，()12max 113()4211222f x f ==+-=-=， 则1a ， 故选：D . 【点睛】 关键点睛：本题的关键是将已知不等式恒成立问题，通过参变分离得到参数的恒成立问题，结合函数的单调性求出最值.11．若01m n <<<且1mn =，则2m n +的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．[3,)+∞C．)+∞D ．(3,)+∞【答案】D 【分析】先利用已知条件构造函数()2(),01f m m m m+<<=，再求其值域即得结果. 【解析】由01m n <<<且1mn =知，22m n m m +=+，故设()2(),01f m m m m+<<=， 设1201m m <<<，则()1212121212222()()1f m f m m m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 12120,01m m m m -<<<，即1222m m >，故()1212210m m m m ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，即12()()f m f m >， 函数2()f m m m =+在()0,1上单调递减，2(1)131f =+=，故函数的值域为(3,)+∞. 故选：D. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <； （2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论. 12．函数()()2404xf x x x x x =++>+的最小值为（ ） A ．2 B ．103C ．174D ．265【答案】C 【分析】 令4t x x =+，利用基本不等式求得4t ≥，构造函数()1g t t t=+，证明出函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，由此可求得函数()f x 的最小值. 【解析】令4t x x =+，则21144x x t x x==++，因为0x >，所以44t x x =+≥=，又2414x y x t x x t =++=++，令()1g t t t=+，其中4t ≥， 任取1t 、[)24,t ∈+∞且12t t >，即124t t >≥，则()()()()()121221121212121212111t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t --⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 124t t >≥，120t t ∴->，121t t >，()()120g t g t ∴->，即()()12g t g t >，所以，函数()g t 在[)4,+∞上为增函数，因此，()()min 1174444f xg ==+=. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.13．若函数1y ax =+在区间[]1,3上的最大值是4，则实数a 的值为（ ） A ．-1 B ．1C ．3D ．1或3【答案】B 【分析】分0a >和0a <两种情况求解，0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，从而可求出其最大值，当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，从而可求出其最大值，进而可得答案 【解析】解：当0a >时，1y ax =+在区间[]1,3上为增函数，则当3x =时，y 取得最大值，即314a +=，解得1a =；当0a <时，1y ax =+在区间[]1,3上为减函数，则当1x =时，y 取得最大值，即14a +=，解得3a =舍去， 所以1a =， 故选：B14．函数2y ax =+在[1，2]上的最大值与最小值的差为3，则实数a 为（ ） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．3或-3【答案】D 【分析】讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出函数的最值，作差即可求解. 【解析】解：①当0a =时，2=2y ax =+，不符合题意；②当0a >时，2y ax =+在[]1,2上递增，则()()2223a a +-+=，解得3a =； ③当0a <时，2y ax =+在[]1,2上递减，则()()2223a a +-+=，解得3a =-．综上，得3a =±， 故选：D ．15．已知函数24()2tx t f x x --+=+在区间[1,2]-上的最大值为2，则实数t 的值为（ ）A ．2或3B ．1或3C ．2D ．3【答案】A 【分析】 函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+，根据绝对值的最大值为2进行分类讨论检验即可. 【解析】 由题函数()24422tx t f x t x x --+==-+++，4[1,2],[1,4]2x t t t x ∈--+∈--+ ()24422tx t f x t x x --+==-+++的最大值为4t -或1t -当41t t -≥-时，即52t ≤时，最大值42t -=解得：2t =；当41t t -<-时，即52t >时，最大值12t -=解得：3t = 综上所述：t 的值等于2或3. 故选：A 【点睛】解决本题的关键是利用单调性求出42t x -++的范围，再结合绝对值的性质进行求解. 16．若函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1[2，1)B ．1(0,)7C ．1[7，1)2D ．1[2，1]【答案】C 【分析】根据分段函数的值域为R ，具有连续性，由12log y x =是减函数，可得(21)3y a x a =-+也是减函数，故得210a -<，(21)231a a -⨯+-，可得答案. 【解析】解：函数12,02()(21)3,2log x x f x a x a x <<⎧⎪=⎨⎪-+⎩的值域为R ， 由12log y x =是减函数，(21)3y a x a ∴=-+也是减函数，故得210a -<， 解得：12a <， 函数()f x 的值域为R ，12(21)23log 21a a -⨯+=-，解得：17a. ∴实数a 的取值范围是1[7，1)2.故选：C .17．若函数()f x 是R 上的减函数，0a >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．2()()f a f a < B ．1()f a f a ⎛⎫<⎪⎝⎭C ．()(2)f a f a <D ．2()(1)f a f a <-【答案】D 【分析】根据函数单调性，以及题中条件，逐项判断，即可得出结果. 【解析】因为函数()f x 是R 上的减函数，0a >，A 选项，()21a a a a -=-，当1a >时，2a a >，所以2()()f a f a <；当01a <<时，2a a <，所以2()()f a f a >，即B 不一定成立； B 选项，当1a >时，1a a >，所以1()f a f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭；当01a <<时，1a a <，所以1()f a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即B 不一定成立；C 选项，0a >时，2a a >，则()(2)f a f a >，所以C 不成立；D 选项，()2221311024a a a a a ⎛⎫--=-+=-+> ⎪⎝⎭，则21a a >-；所以2()(1)f a f a <-，即D一定成立. 故选：D.18．已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ） A ．(4)(0)(4)f f f -<< B ．(0)(4)(4)f f f <-< C ．(0)(4)(4)f f f <<- D ．(4)(0)(4)f f f <<-【答案】C 【分析】由(2)()f x f x +=-，即可得到()f x 图象的对称轴为1x =，所以根据图象上的点离对称轴的距离即可比较出(0),(4),(4)f f f -的大小关系. 【解析】由(2)()f x f x +=-得()f x 图象的对称轴为1x =，所以()f x 在(,1]-∞上单调递减，在[1,)+∞上单调递增，且(4)(2)f f =-， 所以(0)(2)(4)(4)f f f f <-=<-， 故选：C. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小的问题，解题方法如下：（1）首先根据题中所给的函数解析式，判断函数类型，根据题中所给的条件，判断出函数图象的对称轴；（2）利用对称性，将自变量所对应的函数值进行转换； （3）根据函数的单调性求得结果.19．若定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则下列各式一定成立的是（ ） A ．()()06f f < B ．()()32f f -> C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【解析】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误； C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确； D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误； 故选：C20．设函数()f x 是(),-∞+∞上的减函数，又若a R ∈，则（ ） A ．()()2f a f a >B ．()()2f a f a < C ．()()2f a a f a +<D ．()()211f a f +≤【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC 选项的正误，利用函数的单调性可判断D 选项的正误. 【解析】对于A 选项，取0a =，则2a a =，()()2f a f a ∴=，A 选项错误； 对于B 选项，取0a =，则2a a =，所以，()()2f af a =，B 选项错误；对于C 选项，取0a =，则2a a a +=，所以，()()2f a a f a +=，C 选项错误；对于D 选项，对任意的a R ∈，211a +≥，所以，()()211f a f +≤，D 选项正确.故选：D.21．函数()f x 的定义域为,(1)0,()f f x '=R 为()f x 的导函数，且()0f x '>，则不等式()()20x f x ->的解集是（ ）A ．(,1)(2,)-∞⋃+∞B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞C ．(0,1)(2,)+∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞【答案】A 【分析】依题意可得()f x 再定义域上单调递增，又()10f =，即可得到1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >；再分类讨论分别计算最后取并集即可；【解析】解：由题意可知()f x 在(),-∞+∞单调递增，又()10f =，1x <时，()0f x <；1 x >时，()0f x >； 对于()()2 0x f x ->，当2x >时，不等式成立， 当12x <<时，()20, 0x f x -<>，不等式不成立； 当1x <时，20x -<，且()0f x <， 不等式成立不等式的解集(,1)(2,)-∞⋃+∞ 故选：A .22．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()0f x f x ->，()20212021f e =，则不等式1ln 3f x ⎛⎫<⎪⎝⎭）A ．()6063,e +∞B ．()20210,eC ．()2021,e +∞D ．()60630,e【答案】D 【分析】由题意构造新函数()()xf x F x e =，得到函数的单调性，对问题进行变形，由单调性转化为求解不等式问题，即可得到结果 【解析】 由题可设()()x f x F x e=，'()()0f x f x ->，则2'()()'()()'()0x x x xf x e f x e f x f x F x e e--==>， 所以函数()F x 在R 上单调递增，2021(2021)(2021)1f F e==，将不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭1ln 311ln ln 3311ln ln 33x x x f x f x e e e ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅=， 可得1ln 13F x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即1ln (2021)3F x F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，有1ln 20213x <，故得60630x e <<，所以不等式1ln 3f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭()60630,e ，故选：D. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是构造新函数，然后运用函数单调性求解不等式，通常情况构造新函数的形式如：()()xf x F x e =、()()F x xf x =或者()()f x F x x =等，需要结合条件或者问题出发进行构造.23．已知函数2()121xf x =-+，且()41(3)xf f ->，则实数x 的取值范围是（ ）． A ．(2,)+∞ B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞【答案】D 【分析】用导数判断函数()f x 的单调性，再解不等式即可. 【解析】 因为()()22ln 2021x xf x -=<+'，所以函数2()121x f x =-+在R 上单调递减， 由于()41(3)xf f ->所以413x-<，得1x <故选：D 【点睛】关键点点晴：判断函数()f x 的单调性是解题的关键.24．已知定义在R 上的函数()f x 满足()13f =，对x ∀∈R 恒有()2f x '<，则()21f x x ≥+的解集为（ ） A ．[)1,+∞ B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．(),1-∞【答案】B 【分析】构造新函数()()21F x f x x =--，利用导数判断()F x 单减，又(1)0F =可解1x ≤. 【解析】令()()21F x f x x =--，则()()2F x f x ''=-， 又因为对x ∀∈R 恒有()2f x '< 所以()()20F x f x ''=-<恒成立， 所以()()21F x f x x =--在R 上单减. 又(1)(1)210F f =--=， 所以()0F x ≥的解集为(],1-∞ 故选：B 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式； (2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式； (4)解析式较复杂的不等式；25．已知函数f (x ) f (2a 2－5a ＋4)<f (a 2＋a ＋4) ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪(2,＋∞)B ．[2,6)C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦∪[2,6)D ．(0,6)【答案】C 【分析】由解析式知()f x 在定义域上递增，由已知函数不等式有2222544a a a a ≤-+<++，即可求解a 的取值范围. 【解析】由题意，()f x 在[2,)+∞上单调递增，∵22(254)(4)f a a f a a -+<++，即2222544a a a a ≤-+<++， ∴260a a -<或22520a a -+≥，可得26a ≤<或102a <≤. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性，列不等式求参数的范围.易错点是定义域容易被忽略.26．已知函数()f x 的图象关于y 轴对称，当0x ≥时，()f x 单调递增，则不等式(2)(1)f x f x >-的解集为__________． 【答案】1(,1)(,)3-∞-⋃+∞ 【分析】由题意可得()f x 为偶函数，再由偶函数的性质可将(2)(1)f x f x >-，转化为(2)(1)f x f x >-，再由当0x ≥时，()f x 单调递增，可得21x x >-，从而可求出x 的范围 【解析】解：依题意，()f x 为偶函数，当0x ≥时，()f x 单调递增，要满足(2)(1)f x f x >-，则要求21x x >-，两边平方得22412x x x >-+，即23210x x +->，即(1)(31)0x x +->，解得1(,1)(,)3x ∈-∞-⋃+∞． 故答案为：1(,1)(,)3-∞-⋃+∞．27．设()xf x a x =+，若()36f =，则不等式()()21f x f x ->的解集为____________.【答案】()1,+∞ 【分析】先由()36f =，解出a ，讨论()xf x a x =+的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【解析】因为()xf x a x =+，且()36f =，，所以33a =，解得1a =>.()(),ln 1x x f x f a x a x a =+∴=+' ln 0,ln 111,x x a a a a a >∴>∴>+，()x f x a x ∴=+在R 上单增.()()21f x f x ->可化为：21x x ->解得：1x >.不等式()()21f x f x ->的解集为()1,+∞ 故答案为：()1,+∞ 【点睛】利用单调性解不等式通常用于： (1)分段函数型不等式；(2)复合函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；28．已知定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，则不等式(1)01f x x +≥-的解集为___________.【答案】[]3,1-- 【分析】先由定义域为R 的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上为严格减函数，且()20f =，画出()f x 的草图，结合图像对(1)01f x x +≥-进行等价转化，解不等式即可.【解析】()f x 是定义域为R 的奇函数，且在区间(0,)+∞上为严格减函数，有()20f =，∴()f x 在区间(,0)-∞上为严格减函数且()20f =，可作出()f x 的草图：不等式(1)01f x x +≥-可化为：()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩或()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩对于()1010x f x ->⎧⎨+≥⎩，当1x >时()12,10x f x +>+<，无解；对于()1010x f x -<⎧⎨+≤⎩，当1x <时()12,10x f x +<+≤，由图像观察，210x -≤+≤解得：31x -≤≤- 所以不等式(1)01f x x +≥-的解集为[]3,1--.故答案为：[]3,1-- 【点睛】常见解不等式的类型：(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法； (2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则； (3)高次不等式用穿针引线法； (4)含参数的不等式需要分类讨论．29．已知函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立，则a 的取值范围是_________.【答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】由题意，把函数()()23log 440f x ax x =-+>在x ∈R 上恒成立转化为2430ax x -+>对x ∈R上恒成立，列不等式解得a 的范围. 【解析】()()23log 440f x x x α=-+>恒成立，即()2233log 44log 1430ax x ax x -+>⇔-+>恒成立，所以0a =时显然不成立.当0a ≠时()0Δ16120a a >⎧⎨=-<⎩得43a <，所以4,3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】（1）求参数的范围是常见题型之一，处理的方法有两种：①不分离参数，直接求最大值或最小值，解不等式；②分离参数法.（2）解指、对数型的不等式，通常化为同底的结构，利用函数的单调性解不等式.30．设函数3,1()1+1,1x x f x x x x ≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则不等式()26()f x f x ->的解集为_________．【答案】()3,2- 【分析】先判断函数的单调性，再解抽象不等式. 【解析】当1x >时，31+1y x x=-是增函数，此时1y >； 当1x ≤时， y x =是增函数，此时1y ≤， 所以函数()f x 是单调递增函数，()()2266f x f x x x ->⇔->，解得：32x -<<，所以不等式的解集是()3,2-. 故答案为：()3,2-。
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案
函数的单调性和奇偶性的综合应用教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性和奇偶性的概念；（2）掌握判断函数单调性和奇偶性的方法；（3）学会运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生观察、分析函数的单调性和奇偶性；（2）利用图形直观地展示函数的单调性和奇偶性；（3）培养学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生合作、探究的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数的单调性和奇偶性的概念；（2）判断函数单调性和奇偶性的方法；（3）运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。
2. 教学难点：（1）函数的奇偶性在实际问题中的应用；（2）函数的单调性在实际问题中的应用。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数的单调性和奇偶性的概念及判断方法；（2）准备相关实例和练习题；（3）准备多媒体教学设备。
2. 学生准备：（1）掌握函数的基本概念；（2）了解简单的函数图形；（3）具备一定的数学运算能力。
四、教学过程：1. 导入新课：（1）引导学生回顾函数的基本概念；（2）引导学生思考函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
2. 知识讲解：（1）讲解函数的单调性概念及判断方法；（2）讲解函数的奇偶性概念及判断方法；（3）结合实例分析函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。
3. 图形展示：（1）利用图形直观地展示函数的单调性和奇偶性；（2）引导学生观察、分析图形，加深对函数单调性和奇偶性的理解。
4. 课堂练习：（1）布置针对性练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论、交流，共同解决问题。
5. 总结提升：（1）总结本节课所学内容，强调函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用；（2）鼓励学生在日常生活中发现和运用函数的单调性和奇偶性。
函数单调性在解题中的应用策略
△ｙ：ｆｂ２）一“ｘ，）：ｆ伍２）＋“一ｘ；）：』垒蔓丝』㈨（ｘ：一ｘ。）
＾２一＾ｌ
‘．’一１≤ｘｌ＜ｘ２≤１
．’．一１≤一ｘ１≤ｌ又’．‘ｘ２＿ｘ１＞０
．・．由已知里至立±！【二监＞ｏ．・．ｆ（ｘ２）一“ｘ，）＞ｏ
＾２－＾１
．・．△ｙ＞Ｏ即ｆ（ｘ）在【＿１，１】上为增函数。
又‘．。ｆ（ｘ＋争）媸音）
９
万方数据
Ｘｕｅｋｅｉｉａ（）ｘｕｅ
獭静教学
１】，ｍ＋ｎ≠ｏ，堑巡＞ｏ。解不等式：
ｆ（ｘ号）姐音）
解：任取一１≤ｘ。＜ｘ：≤１，由于ｆ（ｘ）满足“一ｘ）＝一ｆ（ｘ） ．・．ｆ（ｘ）为奇函数，△ｘ＝ｘ：一ｘ。＞０
因此，ｙ：２。一１一、／丽的值域为［一＊，婴］
六、应用单调性解决实际问题 ［应用策略】应用单调性解决实际问题时，先对已知条 件进行综合分析、归纳与抽象，并与已知的函数模型相比 较，确定适用的函数模型的种类，正确地将实际问题转化 为函数模型。再结合函数模型及实际情况确定定义域，从 而应用函数单调性，确定解题思路，计算求解。最后，对实 际问题进行总结回答。 要特别强调的是解决此类问题时一定要注意结合定 义域解题。 引例：设计一幅宣传画，要求画面面积为４８４０ｃｍ：，画 面的上下各８ｃｍ空白，左右各留５ｃｍ空白，画面的高与宽 的长度比是１：入。怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣
设纸面积为ｙｃｍ２，则有：
ｙ＝（ｘ＋１６）队ｘ＋１０）＝入ｘ２＋（１６入＋１０）ｘ＋１６０
将ｘ：兰单代入上式，得：ｙ：舱）：５０００＋４４、仃矿
（８、／入＋—之：）
、／入
引例：设ａ＞ｏ，求证璺｝＋斋≥争
证明：设ｙ２半＋者
设ｔ：旦旦：ａ＋上 所以ｆ（ｔ）≥ｆ（２）＝手
因为ａ＞ｏ，所以ｔ：ａ＋上≥２ 又因为ｙ＝ｔ＋｝在区间［２，＋∞）上单调递增
函数单调性课件(公开课)
定义法
总结词
通过函数定义判断单调性
详细描述
在区间内任取两个数$x_{1}$、$x_{2}$，如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) leq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递增；如果$x_{1} < x_{2}$，都有$f(x_{1}) geq f(x_{2})$，则函数在这个区间内单调递减。
感谢您的观看
03 函数单调性的应用
单调性与最值
总结词
单调性是研究函数最值的重要工 具。
详细描述
单调性决定了函数在某个区间内的 变化趋势，通过单调性可以判断函 数在某个区间内是否取得最值，以 及最值的位置。
举例
对于函数f(x)=x^2，在区间(-∞,0) 上单调递减，因此在该区间上取得 最大值0。
单调性与不等式证明
单调递减函数的图像
在单调递减函数的图像上，随着$x$的增大，$y$的值减小，图像 呈现下降趋势。
单调性转折点
在单调性转折点上，函数的导数由正变负或由负变正，对应的函数 图像上表现为拐点或极值点。
02 判断函数单调性的方法
导数法
总结词
通过求导判断函数单调性
详细描述
求函数的导数，然后分析导数的符号，根据导数的正负判断函数的增减性。如 果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间 内单调递减。
总结词
单调性是证明不等式的重要手段。
详细描述
通过比较函数在不同区间的单调性，可以证明一些不等式。例如，如果函数f(x)在区间[a,b]上 单调递增，那么对于任意x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)，从而证明了相应的不等式。
举例
利用函数f(x)=ln(x)的单调递增性质，可以证明ln(x1/x2)≤(x1-x2)/(x1+x2)。
函数专题三——单调性的判断及应用
函数专题三——函数单调性函数单调性是研究函数值大小变化趋势的性质，在图象上体现为上升或下降，凡是与大小有关的问题往往与函数的单调性有着一定的关系，是函数中比较重要的基础性质，也是考查的重点内容。
一、夯实基础 （一）、判断单调性通常习题中所碰到的函数可分为两种类型：基本函数和复杂函数。
基本函数：指的是书本上学过的所有函数，基本函数是构成复杂函数的基础，是研究函数必需的基础知识；复杂函数：由基本函数通过各种方式构成的函数，常见类型大致分为复合函数和运算（非复合）函数。
基本函数的单调性可参考图象直观判断。
复杂函数判断单调性的常用方法如下： 1例1、例2、()x f 的小结：1<2x ，比较()1x f 练：12、()x f 在（０，＋∞）上的单调性，并说明理由。
2、图象法例3、判断函数2x x y -=的单调性。
小结：对于易作图的函数而言，图象法显然是一种直观易行的好方法。
3例4、例5、小结：练：1、设4、运算法例6、已知x ∈[0，1]，则函数x 12x 2y --+=的最大值为_________，最小值________。
例7、已知函数m xpx )x (f ++=（p ≠0)是奇函数。
⑴求m 的值；⑵若p<0，当x ∈[1，2]时，求函数)x (f 的最大值和最小值。
小结：练：1① ； ③ 2① ； ③ 345、分段函数例8、若()()()()⎩⎨⎧>≤+-=1x xlog 1x a4x 1a 3x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，31） C ．[71，31） D ．[71，1）练：1、已知函数()()()()⎩⎨⎧≥+-<=0x a4x 3a 0x a x f x ，满足对任意1x ≠2x ，都有()()0x x x f x f 2121<--成立，则a 的取值范围是 ( )A ．（0，3）B ．（1，3）C ．（0，41] D ．（∞-，3）（二）、应用 1已知0 A ．21 2312、若练：1是( )A ．（22，3）B ．（3，10）C ．（22，4）D ．（2-，3）2、已知函数()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0x xx 40x x4x x f 22，若()()a f a 2f 2>-，则实数a 的取值范围是( )A ．()()+∞⋃-∞-,21,B ．()2,1-C ．()1,2-D ．()()+∞⋃-∞-,12,1、函数()x f 在区间(2-，3)上是增函数，则()5x f y +=的递增区间是 （ ） A ．(3，8)B ．(7-，2-)C ．(2-，3)D ．(0，5)2、函数 ()3mx x 2x f 2+-=，当x ∈[2-，+∞）时是增函数，当x ∈（∞-，2-]时是减函数，则()1f =_____。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总结：此函数以下单调规律： 两边为增，中间为减．
－a
０
－a
点拨:含参函数,不能化为基本函数类型，常采用定义 法解题.
例3.已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足 : 对x,y (0,+)都有f(xy)=f(x)+f(y), 当x>1时,f(x)>0. 试证明:f(x)在(0,+)上是增函数
点拨:含参函数,能够化归为常见函数的单调性时,直接 讨论参数．
二．证明：根据函数单调性定义解题．
a 例 1 ：讨论函数f(x)=x+ (a>0)的单调性 x
解： 定义域 : (, 0) (0, )
先讨论(0, )上的单调性 x1 , x2 (0, ) x1 x2 a a f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 ) ( x2 ) x1 x2 a ( x1 x2 )(1 ) x1 x2
解：定义域：x 2 2 x 3 0 x (, 1) (3, ) 1 y u , u , v x2 2x 3 v 在（-，-1）上v是减函数且u,v恒为正 在（3，+）上是增函数且u,v恒为正 1 u= 2 在（-，-1）上是增函数 x 2x 3 在（3，+）上是减函数 1 y= 2 在（-，-1）上是增函数， x 2x 3 在（3，+）上是减函数
证：设x1 , x2 (0,+)且x1 <x2 f ( xy ) f ( x) f ( y ) 点拨：抽象函数的证明，注意x、y的任意性． x1 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) x2 x1 f ( ) 0 x1 x2 1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x)在(0,+)上是减函数
a 当x1 , x2 (0, a )时， 1 0 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 f ( x)在(0, a )上是减函数； a 当x1 , x2 [ a , )时， 1 0 f ( x1 ) f ( x2 ) x1 x2 f ( x)在[ a , )上是增函数； 同理f ( x)在(, a )上是增函数； 在[ a , 0)上是减函数
点拨：复合函数的证明，注意内层函数的值域是外层 函数的定义域．
三.函数单调性的应用
１．注意用已知函数的单调性
例1.已知函数f(x)=(m-1)x2 +2mx+3,且f(-x)=f(x) 3 对任意x都成立,比较f(- )与f(a2 -a+1)(a R)的大小. 4
解析:利用二次函数的单调性,和二次函数的对称性, 关键问题是求对称轴x=0,从而m=0,f(x)=-x2 3, 1 因此，f (a a 1) f ( ) 4
Y=2x
如图可得：在（-，-3]上为减函数， 在[3，+）上为增函数，
-3 3
x
在[-3，3]上为常函数，不具有单调性
例3：已知f(x)=8+2x-x , 若g ( x) f (2 x )，
2 2
试确定g ( x)的单调区间，及单调性
（重点班、实验班）
解：设u=2-x ,则 y g ( x) f (u ) 8 2u u (u 1) 7
2 2
2
f (u )的对称轴u 1 2 x x 1
2
u 2 x 的对称轴x 0
2
Y随x的变化如下表所示:
x
1 1 0 0 1 1
Y=g(x） 的单调性 1 7 u y
1 2 2 1 1
7 6 6 7 7
函数的单调性
１．函数单调性的判定． ２．函数单调性的证明． ３．函数单调性的应用．
一．函数单调性的判定方法：
１.利用已知函数的单调性 ２.利用函数图象 ３.复合函数的判定方法 ４.利用定义
例1.若函数f(x)在实数集上是减函数,求f(2x-x2) 的单调区间以及单调性.
ax+1 1 例5：讨论函数f(x)= (a )在(-2,+)上的单调性 x+2 2
a(x+2)-2a+1 2a 1 解： f(x)= a x2 x2 当-a+1>0时 a<1 f(x)在(-2,+)上是减函数 当-a+1<0时 a>1 f(x)在(-,-2)上是增函数
2
２．巧用证过的结论．
1 x2 2 x 2 例3.已知0<x , 求函数y= 的值域. 4 x
2 解析： y=x+ 2在(0, 2)上为减函数 x 1 在(0, ]上是减函数, 4 1 25 y f( ) 4 4 25 值域为[ ， ） 4
3.巧用函数图象的对称性．
例3.若x R,且f(-x)=f(x),f(x)在[0,+)上是减函数, 且满足f( )<f(a) , 求a的取值范围.
解析：巧用对称轴：x=0 f ( x)在[0，+）上是减函数 f ( x)在（-，0）上是增函数 f ( ) f (a ) a 0或 a 0 综上所诉：a (- , )
例4：作出函数f(x)= x2 6 x 9 + x2 6 x 9 的图象，并指出函数f(x)的单调区间
分析：作出函数图象，直观地判断函数的单调区间 解： 原函数可化为： -2x f(x)=|x-3|+|x+3|= 6 2x x -3 -3<x<3 x3
Y=-2x 6 y
解：先求定义域：
y f (u ) u 2x x2 u在（-，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数 而y=f(u)在R上是减函数 y f (2 x x 2 )在（-，1）上是减函数 在（1，+）上是增函数
例2：判断函数y
1 的单调性 2 x 2x 3
；看图写话 https:/// 看图写话 ；
成/虽然似确定石门/但却丝毫抪与石头相似/"马开也发现/和欧奕对望咯壹眼/都到咯对方心中の震撼/能用道纹交织成实质の如此石门/真无法想象这确定何其人物能做到の/ "难道确定至尊/ 两人心中涌起咯这种可能/心头震咯震/和至尊扯上关系/绝对非凡/ 站到石门脚下/马开和欧奕等人如 同蝼蚁/虽然密密麻麻都满确定修行者到石门之下/但到石门の对比下/壹切都显得那么渺袅/ 很多修行者立到石门之下/它们各自涌动着自身の意和法/都冲向巨大の石门/ 石门到各种意冲击下/居然壹道道涟漪扩散开来/缓缓の融化/水波粼粼/ 这の马开惊讶无比/修行者の意居然能化开石门の 道和法/ 欧奕和马开直直の盯着面前の修行者/这些修行者每壹佫都驱动咯全力/意驱动/法冲击/符文交织/渗透到石门中/石门就如同碰到蜡烛到加热壹般/缓缓の化开/ 只抪过/这些修行者做这些也十分吃力/每壹佫额头都有着汗水涌动而出/甚至有壹些修行者面色扭曲/难过狰狞/ 到马开着这 壹幕准备细细观望时/壹佫声音响起来/让马开の目光吸引过去/马开/来の正好/和我们壹起出手化开这石门/" "金爪雀/马开着出声の青年/正确定引诱无数人前来这里の金爪雀/它此刻带着无数の年少才俊/壹起出手舞动着意境冲击石门/石门被波动出片片涟漪/缓缓化开/ 金爪却那佫方向/有 数抪胜数の年少俊才/很多都十分抪凡/甚至马开到抪少天机榜上の人/ 甚至/欧奕都咦咯壹声/说确定其中有天机榜地榜の存到/ 望着那壹道道滂湃の意境冲击而出/着数抪胜数の年少俊才/马开望着那石门更确定意外咯起来/这些年少才俊/抪少确定古族弟子/都很确定强悍/ "马开/壹起出手/ 化开这石门/"金爪雀见马开未曾有出手の意思/抪由继续催促/它知道马开の强悍/心想要确定有马开帮忙出手/绝对可以尽快化开这壹处石门/进入其中/ 石门很宽阔/现到到石门下抪知道有多少修行者/也抪知道有多少修行者出手到化开石门/ 石门の入口有很多/它们只确定占据到其中壹佫入 口而已/金爪雀想要尽快进入其中/这样才能争の先机/ 有马开帮忙驱动/无疑能让它们の速度加快抪少/ 马开没有回答金爪雀/而确定向杨慧杨宁/她们既然说这处密地和族中有关系/那就按照她们の意思办/ "少爷/要确定我们实力足够の话/可以自己找壹佫入口进入/这石门有很多入口/成千上 万/数抪胜数/谁化开の入口/谁就确定那佫入口の主人/成为主人有什么好处/马开好奇の询问/ 杨慧杨宁摇头/我们只知道这些/抪知道具体/但能成为主人/自然确定好の/" 马开点点头/着金爪雀壹群人/又咯自己和欧奕/有没有把握/ 欧奕着金爪雀那些人/它们汇聚咯抪少年少才俊/实力都很强 大/合力十分恐怖/舞动の意境冲击/浩荡无边/可确定它们显然也很吃力/ "可以尝试/"欧奕没有多说什么/回答马开道/ 金爪雀见马开还没有举动/出声大喊道/马开/壹起出手/我们壹起进入其中/得先机/能夺取好地方/到时候可以完好の隐藏我们の肉身/" 马开抪知道它说の可以完好の隐藏肉 身确定什么意思/但既然欧奕已经做决定/马开也抪会出手和金爪雀联手/ 到杨慧杨宁の找寻到/到石门壹处纹理交织の节点/她们告诉两人这同样确定壹佫入口/ 马开和欧奕没有多说话/都以自身の意境舞动而出/冲击向石门而去/ "开/" 欧奕出口喝道/意境玄妙/诡异非凡/有古魇禁地の气息/ 意境接触到石门/石门壹道道涟漪暴动开来/ 金爪雀原本要两人帮忙/可着马开居然自己找咯壹处开启石门/它微微愣咯愣/没有想到马开自傲到这种地步/居然想凭借着数人之力开启壹佫入口/它难道就真の如此自信? /// 为咯（正文第壹二九三部分两人出手） 第壹二九四部分石封 欧奕和马 开出手/浩荡の意境涌动而出/冲击向石门/石门到意境の冲击下/化开咯壹道道涟漪/如同要融化壹样/波光粼粼/ 而与此同时/马开感觉到石门壹股恐怖の意冲击而出