三角形中位线
《三角形的中位线》ppt
练一练：
• 1.已知三角形的三边长分别为6、8、10，顺 次连接各边中点所得的三角形周长是多少？
• 2.如果⊿ABC的三边长分别为a,b,c, AB,BC,AC各边中点分别是D，E，F，则 ⊿DEF的周长是多少？
• 3.取任意一张三角形纸片，你能否把它剪成 四个全等的三角形？怎么剪？
A D B F E C
A E C
（1）要保证剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片，剪
痕的位置有什么要求？
（2）若要使△ADE与梯形DBCE能拼成平行四边形， 剪痕的位置有什么要求？ （3）要把所剪得的两个图形拼成 一个平行四边形，可将其中的三角
D A E F
形作怎样的图形变换？
B C
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线 A
∴四边形DBFE是平行四边形 ∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC 即DE=1/2BC
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
A
几何语言表述：
E
C
D
B
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE)
1 DE// BC 2 适用范围
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
∵D、 E分别为AB、AC的中点 D E
∴DE为△ABC的中位线
同理DF、EF也为△ ABC的中位线 三角形有三条中位线
B 注意
F
C 三角形的中位线和三角形的中线不同 三角形的中位线与第三边有什么关系?
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
证明命题：三角形的中位线平行且等于第三边的一半
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
B
证法四：如图，过E作AB的平行线交BC于 F，自A作BC的平行线交FE于G ∵AG∥BC ∴∠EAG=∠ECF ∴AG=FC，GE=EF
三角形中位线定理
4．如图，△ABC中，D，E，F 分别是AB，BC，AC的中点，若 AB=10cm，AC=•cm，• 四边形 6 求 ADEF的周长．
6．已知△ABC中，D为BC上的一 点E，F，H，G分别是AC，CD， DB，AB的中点，EF+AD=6，求 GH的长．
7．如图，在△ABC中，中线BE， CD交于点O，F，G分别是OB， OC的中点. 求证：四边形DFGE是平行四边形
B 图1 C 则DE= cm，为什么？
Bபைடு நூலகம்
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别
D。
A
。F 4 5 3 。 图2 E
是各边中点 AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm， 则△DEF的周长=
12
C
cm.
△DEF面积是_________
1、如图，DE是△ ABC 的中位线，AF是△ABC的中线，猜测： DE 与AF有何关系？并证明 2、 BE是△ ABC 的中线，CD是△ABC的中线,交于F, 猜测：EF与BF有何关系？并证明 3、如图， △ABC 中，D、E、F分别为AB、AC、BC的中点， 猜测： △DEF与△ABC 的周长与面积各有什么关系？并证明。
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点 D，E，F，G分别是BC，AC，AB的 中点，若AB=BC=3DE=6，求四边形 DEFG的周长
9．如图，已知△ABC是锐角三角形， 分别以AB，AC为边向外侧作两个等边 △ABM• △CAN．D，E，F分别是MB， 和 BC，CN的中点，连结DE，FE，求证： DE=EF．
1．如图，在△ABC中，D，E分 别是AB，AC的中点，DE=4，则 BC=_______．
2．已知三角形的三边长分别是4， 5，6，则它的三条中位线围成的 三角形的周长是________．
三角形的中位线
三角形的中位线1. 引言在几何学中，三角形是最基本的形状之一。
它由三条边和三个顶点组成。
在研究三角形的性质时，有一条特殊的线段叫做中位线，它连接三角形的一个顶点和对边中点。
本文将介绍三角形的中位线的定义、性质和应用。
2. 定义三角形的中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
对于三角形ABC，以顶点A为例，其中位线是连接顶点A和对边BC中点的线段AD。
3. 性质三角形的中位线有以下几个重要的性质：3.1. 中点中位线的一个重要特点是它的中点。
对于三角形ABC来说，中位线AD的中点是线段BC的中点。
这意味着中位线将三角形分为两个面积相等的小三角形。
3.2. 长度在一个三角形中，三个中位线的长度是相等的。
对于三角形ABC来说，中位线AD的长度等于中位线BE和CF的长度。
3.3. 平行性三角形的三条中位线互相平行。
也就是说，对于三角形ABC来说，中位线AD 和中位线BE是平行的，中位线BE和中位线CF是平行的，中位线CF和中位线AD是平行的。
3.4. 相交点三角形的三条中位线相交于一个点，这个点被称为三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，它从三个顶点到对边的距离之和最小。
3.5. 面积三角形的三条中位线将三角形分成六个小三角形。
这六个小三角形的面积之和等于三角形的面积。
4. 应用三角形的中位线在几何学和实际应用中有一些重要的应用：4.1. 三角形面积通过利用三角形的中位线，可以更方便地计算三角形的面积。
由于三条中位线将三角形分成六个小三角形，我们可以根据这些小三角形的面积相加来得到整个三角形的面积。
4.2. 构造平行线利用三角形的中位线平行性，我们可以构造出一对平行线。
例如，如果我们在三角形ABC的中位线AD上取一个点E，并将DE延长到与BC相交于点F，那么线段EF就与AB平行。
4.3. 定位三角形重心通过绘制三角形的中位线，我们可以定位三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，通过中位线的相交点可以轻松确定。
三角形的中线和中位线
三角形的中线和中位线三角形是几何学中最基本的图形之一。
它由三条边和三个顶点组成，具有丰富的性质和特点。
本文将重点介绍三角形的中线和中位线。
一、中线中线是指从一个顶点连到对边中点的线段。
一个三角形有三个顶点，因此它有三条中线。
用示意图表示，如下所示：（插入示意图）中线的特点如下：1. 三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 中线的长度相等，且等于三角形两边的和的一半。
3. 三角形的重心到顶点的距离是中线长度的2/3。
二、中位线中位线是指连接三角形两个顶点的中点的线段。
一个三角形有三个顶点，因此它有三条中位线。
用示意图表示，如下所示：（插入示意图）中位线的特点如下：1. 三角形的三条中位线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 中位线的长度相等，且等于三角形两边的和的一半。
3. 重心到中位线的交点的距离是中位线长度的1/3。
三、中线和中位线的关系中线和中位线都是连接顶点和对边中点的线段，它们有一些共同的性质和特点：1. 三角形的三条中位线和三条中线都会交于同一个点，这个点就是三角形的重心。
2. 中线和中位线的长度相等，都等于三角形两边的和的一半。
3. 重心到中线的交点和重心到中位线的交点之间的距离关系为2:1。
4. 中位线的交点将中线一分为二，且分割的线段长度与两条中位线的长度之间的关系为1:2。
四、中线和中位线的应用中线和中位线在几何学中具有广泛的应用，特别是在解决三角形相关问题时：1. 利用中线和中位线的性质可以求解三角形的重心，从而确定三角形的位置和形状。
2. 中线和中位线的长度关系可以用来推导其他三角形边长和角度的关系。
3. 基于中线和中位线的性质，可以证明一些三角形的定理和性质，如垂心定理和松弛定理等。
综上所述，三角形的中线和中位线是三角形的重要属性和特点，它们有着丰富的性质和应用。
通过研究中线和中位线，我们可以更好地理解和分析三角形，深入掌握几何学的知识。
对于几何学的学习和应用来说，中线和中位线是必不可少的重要内容之一。
三角形中位线
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA旳中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。 A
证明：连结AC
H D
∵ AH=HD，CG=GD，
E
∴ HG∥AC，HG 1 AC
G
2
同理 EF∥AC，EF 1 AC B
F
C
2
∴ HG EF
∴ 四边形EFGH是平行四边形。
返回
1 2
AB
证明：取AB旳中点N，连结MN、DN 在△ABC中， ∵ AN=NB，BM=MC ∴MN∥AC ∴∠NMB=∠C
在△ADB中， ∵ AD⊥BC，AN=NB。
∴ DN= NB ∴∠NDB=∠B= 2∠C
A
∵∠NDB=∠MDN+∠DNM
∴∠MDN=∠DNM
N
∴ DM=DN=
1 2
AB
BD M
H
所得旳四边形是什么？ B
矩形
D
F
G
C
返回
（4）顺次连结正方 形各边中点所得旳四 边形是什么？
A
E
D
F 正方形 H
B
G
C
返回
（5）顺次连结梯形各边 中点所得旳四边形是什 么？
A ED
F 平行四边形
B
G
H C
返回
（6）顺次连结等腰梯形 各边中点所得旳四边形 是什么？
A F B
E 菱形
G
D H C
三角形中位线
提问：
A
连结三角形两边中点旳线 段叫做三角形旳中位线
D
E
三角形中位线定理： 三角形旳中位线平行于
第三边，而且等于它旳二分
之一。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线在几何学中，三角形是最基本的图形之一，而其中线和中位线则是与三角形密切相关的概念。
本文将重点探讨三角形的中线与中位线，并阐述它们在三角形属性研究和实际应用中的重要性。
一、中线的概念首先，我们来介绍三角形的中线。
中线是连接三角形的一个顶点与对边中点的直线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A与对边BC的中点M的线段AM就是该三角形的中线。
中线有以下两个重要性质：1. 中线的长度相等：在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段的长度相等。
即AM = BM = CM。
2. 中线互相平分：在任意三角形中，中线互相平分。
即AM与BM 的长度相等，BM与CM的长度相等，CM与AM的长度相等。
二、中位线的概念接下来，我们来介绍三角形的中位线。
中位线是连接三角形的两个顶点的中点与对边中点的直线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A 与对边BC中点M以及连接顶点B与对边AC中点N的线段AM和BN就是该三角形的中位线。
中位线有以下两个重要性质：1. 中位线长度：在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段的长度等于对边的一半。
即AM = 0.5 BC，BN = 0.5 AC。
2. 中位线交点：在任意三角形中，三条中位线的交点被称为三角形的重心G，也就是三角形的质心。
重心G将每条中位线都平分成两段，其中一段的长度是另一段的两倍。
三、中线和中位线的应用中线和中位线是研究三角形属性时经常使用的重要工具。
它们有多种应用，如下所示：1. 确定三角形的重心：通过连接三角形的顶点和对边中点，可以确定三角形的重心G。
重心G在三角形内部，对于一些三角形问题的解决具有重要作用。
2. 判断三角形的形状：根据中线和中位线互相平分的性质，可以判断三角形的形状。
例如，如果三角形的三条中位线相等，则该三角形是等边三角形；如果三角形的中线相等，则该三角形是等腰三角形。
3. 解决三角形的证明问题：在三角形的证明中，利用中线和中位线的性质可以简化问题的证明过程。
三角形的中线与中位线
三角形的中线与中位线在解析几何中，三角形是一个基础而重要的概念，而其中线和中位线则是三角形中的两个重要线段。
本文将介绍三角形的中线和中位线，并探讨它们的性质和应用。
一、中线的定义和性质中线是连接三角形两个顶点与对应边中点的线段。
在任意三角形ABC中，连结A与BC的中点D，B与AC的中点E，C与AB的中点F，则线段DE称为三角形ABC的中线。
中线有以下几个重要性质：1. 中线长度相等在任意三角形中，三条中线的长度是相等的。
这一性质可以用中位线定理进行证明。
假设DE为中线，在三角形ABC中，连接EF和FD，由中位线定理可知，EF和FD分别是AC和AB的中位线，所以EF=FD=1/2AC=1/2AB，因此DE与EF长度相等。
2. 中线互相平分在任意三角形中，三条中线相互平分。
换句话说，三条中线的交点是三角形的重心。
设三条中线相交于点G，则可以证明GD:GA=GE:GB=GF:GC=1:2。
3. 中线与对应边平行在任意三角形中，中线与对应边是平行的。
即DE∥AB，EF∥BC，FD∥AC。
这一性质可以通过向量法进行证明，利用向量的平行性质和中点的定义可以推导出这一结论。
二、中位线的定义和性质中位线是连接三角形的两个边中点的线段。
在任意三角形ABC中，连结AB的中点D，AC的中点E，BC的中点F，则线段DE称为三角形ABC的中位线。
中位线有以下几个重要性质：1. 中位线长度相等在任意三角形中，三条中位线的长度是相等的。
由于中位线连接对边的中点，而对边的长度相等，所以中位线的长度也相等。
2. 中位线与对边平行在任意三角形中，中位线与对边是平行的。
即DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB。
这一性质同样可以通过利用向量法进行证明。
3. 中位线与中线交点在任意三角形中，三条中位线的交点是三角形的重心。
与中线类似，重心是三角形内部的一个特殊点，可以用中位线的交点来确定。
重心具有平分中线和平分面积的性质，是三角形的一个重要参考点。
三角形的中位线
1 ∴EG∥BC，EG= BC 2 1 ∴FH∥BC，FH= BC 2
∵DF=CF，DH=BH
∴EG∥FH，EG= FH
∴四边形EGFH是平行四边形，
回顾小结，共同提升
小结： （1）这节课学习了哪些具体内容？ （2）应注意哪些概念之间的区别？
（三角形的中位线平行于第三 边，并且等于它的一半）
C
M
N
B
2．已知:三角形的各边分别为6cm,8cm, 10cm， 则连结各边中点所成三角形的周长为 12 cm,
A 6 D 5 B E 8 4 3 C F 10
3.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、CD、AC、BD的中点 。四边形EGFH是平行 四边形吗？请证明你的结论。
B
C
ห้องสมุดไป่ตู้
定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.
已知：如图，DE是△ABC的中位线.
求证:
1 DE∥BC, DE= BC 2
B D
A
E
F
书写格式： ∵DE是△ABC的中位线. 或
1 ∴DE∥BC, DE= BC 2
C
∵AD=BD，AE=CE
1 ∴DE∥BC, DE= BC 2
（三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半）
灵活运用，自我检测
1、如图,任意画一个四边形，顺次连结四边形四条边
的中点，所得的四边形有什么特点？请证明你的结论，
并与同伴交流。
已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明： 连接AC， ∵AE=BE，BF=CF 1 ∴EF∥AC，EF= AC ∵AH=DH，DG=CG 1 ∴HG∥AC，HG= AC
三角形中位线
三角形中位线在我们学习三角形的众多知识中，三角形中位线是一个非常重要且有趣的概念。
它看似简单，却蕴含着丰富的几何性质和实用价值。
首先，咱们来弄清楚啥是三角形中位线。
三角形中位线，就是连接三角形两边中点的线段。
比如说，在三角形 ABC 中，D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，那么线段 DE 就是三角形 ABC 的一条中位线。
三角形中位线有几个特别重要的性质。
其中一个关键性质就是：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这可太有用啦！为啥这么说呢？咱们来想想，如果我们知道了一条中位线的长度，那就能马上算出与之平行的那条边的长度。
反过来，如果我们知道了第三边的长度，也能迅速得出中位线的长度。
比如说，在三角形 ABC 中，DE 是中位线，BC ＝ 10 厘米。
因为中位线等于第三边的一半，所以 DE 的长度就是 5 厘米。
又或者，已知中位线 DE 长 6 厘米，那 BC 的长度就是 12 厘米。
那这个性质是咋证明出来的呢？咱们可以通过构造平行四边形来证明。
连接三角形的一个顶点和中位线的一个端点，比如说连接 CE 。
因为 D 是 AB 的中点，E 是 AC 的中点，所以 AD ＝ BD ，AE ＝ CE 。
这样一来，四边形 BCED 就是一个平行四边形，根据平行四边形的性质，对边平行且相等，就可以得出 DE 平行于 BC 且 DE ＝ 1/2 BC 。
三角形中位线的这些性质在解决很多几何问题中都能派上大用场。
比如在求三角形的边长、角度，或者证明线段之间的关系时，中位线往往能成为解题的关键线索。
咱们来看个实际的例子。
有一个三角形的田地，三边长度分别是 12 米、16 米和 20 米。
现在要在这块田地上修一条平行于最长边的小路，并且这条小路恰好是中位线。
那这条小路的长度是多少呢？因为 20 米是最长边，所以与之平行的中位线连接的是另外两条边的中点。
根据中位线的性质，中位线等于第三边的一半，所以这条中位线的长度就是 10 米。
三角形的中位线
如图1，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
ED C B A图12. 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
如图1，△ABC 中，DE 是中位线，则有DE ∥BC ，12DE BC 。
3. 三角形中位线定理的证明教材上的证明方法如图2所示，延长DE 到点F ，使EF=DE ， FE D C B A图2连接CF ，进一步证明四边形DBCF 是平行四边形。
请写出定理的证明过程。
（1）三角形中位线的定义是判定的主要方法。
（2）如图5，运用定理“过三角形一边的中点与另一边平行的直线平分第三边”来判定线段是三角形的中位线. ED C B A图5已知，△ABC 中，点D 是AB 的中点，DE ∥BC ，试说明线段DE 是△ABC 的中位线。
5.三角形中位线定理的逆定理三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
”那么它的逆命题为______________________________________________________________________。
这个逆命题是真命题还是假命题？请作图并证明。
6.关于运用三角形中位线定理的题目特点：含有“中点”、“中线”之类的字眼，或者通过线段相等、平行四边形、等腰三角形三线合一等方式间接说明是中点，并且“中点”的数量一般不止一个。
方法：根据题目中的“中点”寻找或构造中位线模型，如下图。
ED A7.中点四边形：依次连接四边形各边的中点所得的四边形称为中点四边形。
1.画一个四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
2.画一个对角线相等的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
3.画一个对角线互相垂直的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
4.画一个对角线互相垂直且相等的四边形ABCD，依次连接四边的中点M、N、P、Q，判定四边形MNPQ的形状。
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- 1 -
学案导学小组互助课型课时计划
总第 课时
课题 三角形中位线 课型 新
班别 2.1 2.2 时间 教具 课时 第7课时
教
学
目
标
知识与技能
1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
过程与方法
经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
情感态度与
价值观
能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所
运用的归纳、类比、转化等思想方法．
重点
掌握和运用三角形中位线的性质．
难点
三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）
课前自主学习设计 利用导学案，初步了解平行四边形的判定条件
教学过程设计
内容流程 教师活动 学生活动 时间 二次备课
⒈情境创设，明确目标 ⒉自查互查， 预习检测 ⒊解疑生疑，合作探究 复习提问： 1． 平行四边形的性质；平行四边形的判定；它们之间有什么联系？ 2． 你能说说平行四边形性质与判定的用途吗？ 找一名学生读导学案中的学习目标 组织各组组长检查小组成员导学案完成情况，并汇报结果 生回答： 互逆的 生看学习目标 小组组长组织同学先自查，然后互查
3分
3分
10分
- 2 -
⒋展示提升，精心点拨 ⒌高效训练，巩固提高 ⒍小结反思，归纳梳理 平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．） 3．【探究】 实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图） 图中有几个平行四边形？你是如何判断的？ 例习题分析 例1（教材P98例4） 如图，点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=21BC． 分析：所证明的结论既有平行关系， 学生小组合作探究：画一个三角形把它分成四个全等的三角形，把图形画到黑板上 各组代表到台前展示 生先讨论，然后师生共同完成。 方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=21DF，所以DE∥BC且4分 8分
15分
2分
- 3 -
又有数量关系，联想已学过的知识，
可以把要证明的内容转化到一个平
行四边形中，利用平行四边形的对
边平行且相等的性质来证明结论成
立，从而使问题得到解决，这就需
要添加适当的辅助线来构造平行四
边形．
方法1：如图（1），延长DE到
F，使EF=DE，连接CF，由△ADE
≌△CFE，可得AD∥FC，且
AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，
所以四边形BCFD是平行四边
形．所以DF
∥BC，
DF=BC，因为
DE=21DF，所
以DE∥BC且DE=21BC．
（也可以过点C作CF∥AB交DE
的延长线于F点，证明方法与上面
大体相同）
定义：连接三角形两边中点的线
段叫做三角形的中位线．
【思考】：
（1）想一想：①一个三角形的中位
线共有几条？②三角形的中位线与
中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎
样的关系？
三角形中位线的性质：三角形的中
位线平行与第三边，且等于第三边
的一半．
〖拓展〗利用这一定理，你能证明
出在设情境中分割出来的四个小三
角形全等吗？（让学生口述理由）
DE=21BC．
学生可能答：
（1）一个三角
形的中位线共
有三条；三角形
的中位线与中
线的区别主要
是线段的端点
不同．中位线是
中点与中点的
连线；中线是顶
点与对边中点
的连线． （2）
三角形的中位
线与第三边的
关系：三角形的
中位线平行与
第三边，且等于
第三边的一
半．）
小组竞赛，完
成导学案的
习题
生畅谈收获，
有疑问的提
出疑问
- 4 -
教师指导学生完成导学案中的
习题
本节课，你有哪些收获？哪些
疑问？
板 书 设 计 三角形的中位线
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2.三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．
作业 布置
教材课后习题第3题