三角形的中位线

第十八章 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第3课时 三角形的中位线
学习目标：1.理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；
2.能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
重点：理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理. 难点：能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题.
一、知识回顾
1.平行四边形的性质和判定有哪些？
边：①AB ∥CD,AD____BC ②AB=CD,AD____BC 平行四边形ABCD ③AB ∥CD,AB_____CD
角：∠BAD____∠BCD ，∠ABC____∠ADC
对角线：AO____CO,DO____BO
一、要点探究
探究点1：三角形的中位线定理
概念学习 三角形中位线：连接三角形两边中点的线段.
如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE.
则线段DE 就称为△ABC 的中位线.
想一想 1.一个三角形有几条中位线？你能在△ABC 中画出它所有的中位线吗？
2.三角形的中位线与中线有什么区别？
猜一猜 如图，DE 是△ABC 的中位线，DE 与BC 有怎样的位置关系，又有怎样的数量关系？
猜想：三角形的中位线________三角形的第三边且
________第三边的________．
量一量 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？ 证一证 如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点.
1
.2
DE BC DE BC 求证：∥，
分析：
课堂探究
自主学习
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
配套PPT 讲授
1.情景引入 （见幻灯片3-4）
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片5-18）
性 质
判 定
教学备注
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片5-18） 倍长DE 至F
DF 与AC 互相平分 构造全等 三角形
角、边相等
平行四
边形
线段相等、平行
证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ，
∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ，
∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是________________， ∴
DF_____BC ,DF_______BC ， 12
DE DF =又∵，
∴
DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F
，使EF=DE ．连接FC ．
∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ． ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵，
∴DE_____BC ,DE=______BC.
要点归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
符号语言：△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，
12
=.
DE BC DE BC 则，
重要结论：①中位线DE 、EF 、DF 把△ABC 分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和BDEF ，四边形BFED 和CFDE ，四边形ADFE 和DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
典例精析
例1如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 的中点，AF 平分∠CAB ，交DE 于点
F.若DF ＝3，求AC 的长.
例2 如图，在四边形ABCD 中，AB=CD ，M 、N 、P 分别是AD 、BC 、BD 的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN 的度数．
教学备注 教学备注 配套PPT 讲授
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片5-18）
例3 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为AB 的中点，在AB 的延长线上取一点D ，使BD ＝AB ，求证：CD ＝2CE.
方法总结：恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键．
针对训练
1. 如图，△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 中点． （1） 若DE=5，则BC=________．
（2） 若∠B=65°，则∠ADE=_________°. （3） 若DE+BC=12，则BC=_________.
2. 如图，A ，B 两点被池塘隔开，在A ，B 外选一点C ，连接AC 和BC ，并分别找出
AC 和BC 的中点M ，N ，如果测得MN=20m ，那么A ，B 两点间的距离为______m ． 探究点2：三角形的中位线的与平行四边形的综合运用 典例精析
例4 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、
DA 中点．
求证：四边形EFGH 是平行四边形．
方法总结:顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
变式题 如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 四边之中点．求证：四边形EFGH 为平行四边形.
第1题图 第2题图 教学备注 配套PPT 讲授 3.探究点2新知讲授
（见幻灯片19-25）
E
G F
H
B C D A
例5 如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF=12
BC ，连接CD 和EF ．
（1）求证：DE=CF ； （2）求EF 的长．
针对训练
1. 如图，在△ABC 中，AB=6，AC=10，点D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则四边形ADEF 的周长为 ( ) A.8 B.10 C.12 D.16
2.如图，▱ABCD 的周长为36，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD=12，求△DOE 的周长．
二、课堂小结
1.如图，在△ABC 中，点E 、F 分别为AB 、AC 的中点．若EF 的长为2，则BC 的长为 （ ） A.1 B.2 C.4 D.8
当堂检测
三角形的中位线定理的应用
三角形的中
位线定理
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半 三角形的中位线
教学备注 配套PPT 讲授 3.探究点2新知讲授
（见幻灯片19-25）
4.课堂小结（见幻灯片32）
5.当堂检测（见幻灯片26-31）
2.如图，在▱ABCD 中，AD=8，点E ，F 分别是BD ，CD 的中点，则EF 等于 （ ） A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图，点 D 、E 、F 分别是 △ABC 的三边AB 、BC 、AC 的中点. （1）若∠ADF=50°，则∠B=____________°；
（2）已知三边AB 、BC 、AC 分别为12、10、8，则△ DEF 的周长为_____________. 4.在△ABC 中，E 、F 、G 、H 分别为AC 、CD 、 BD 、 AB 的中点，若A D=3，BC=8，则四边形EFGH 的周长是______________.
5. 如图，在△ABC 中，AB=6cm ，AC=10cm ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，BD 的延长线交AC 于点F ，E 为BC 的中点，求DE 的长．
6. 如图，E 为▱ABCD 中DC 边的延长线上一点，且CE ＝DC ，连接AE ，分别交BC 、BD 于点F 、 G ，连接AC 交BD 于O ，连接OF ，判断AB 与OF 的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
7.如图，在四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，BD=12，AC=16，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求EF 的长．
教学备注
5.当堂检测（见幻灯片26-31）
第1题图 第2题图 第3题图。