2015-2016年河南省焦作市高三(上)期中数学试卷及参考答案(理科)
2016年河南省焦作市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|x≤3}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{1，4}2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i3．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于两个相关随机变量x，y而言，点P（，）在其回归直线上；③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真命题为（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③4．在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣15．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76，=﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元6．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4π B．π C．π D．20π7．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A．B．C．D．8．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种9．在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．1511．已知双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐进线方程为y=x，F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上的一点，满足|PF1|：|PF2|=3：1，则|+|的值是（）A．4 B．2C．2D．12．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．14．若曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a=．15．若多项式，则a9=．16．若x，y满足x2﹣2xy+3y2=4，则的最大值与最小值的和是．三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜3），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求t的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望．18．已知等差数列{a n}中，a10=19公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求a n；（2）设b n=a n2n，求数列{b n}的前n项和S n．19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．联表补充完整；错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．K2=．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，B1C=2，∠ABB1=60°．（1）证明：AB1⊥平面ABC；（2）求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）不垂直坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，﹣），求直线l的方程．22．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．2016年河南省焦作市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|x≤3}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{2，3} D．{1，4}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x∈R|x≤3}，∴A∩B={1，2，3}，故选：B．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（）A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的对称关系，求出复数z2，然后求解z1z2即可．【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，所以z2=1﹣i，∴z1z2=（1+i）（1﹣i）=2．故选：A．3．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②对于两个相关随机变量x，y而言，点P（，）在其回归直线上；③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位；④两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于1；其中真命题为（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【考点】线性回归方程．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①不正确，②对于两个相关随机变量x，y而言，点P（，）在其回归直线上，正确；③在回归直线方程=0.2x+12中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，正确．④两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0，故不正确．故选：D．4．在平面直角坐标系中，已知向量=（1，2），﹣=（3，1），=（x，3），若（2+）∥，则x=（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣1【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由向量的坐标运算结合已知求得的坐标，进一步得到2+的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求x的值．【解答】解：由=（1，2），﹣=（3，1），得=（1，2）﹣（3，1）=（﹣2，1），则，∴2+=（2，4）+（﹣4，2）=（﹣2，6），，又（2+）∥，∴6x+6=0，得x=﹣1．故选：D．5．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户程=计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元【考点】线性回归方程．【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得═8﹣0.76×10=0.4，∴回归方程为=0.76x+0.4，把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，故选：B．6．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4π B．π C．π D．20π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．7．某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P（AB）=0.4，P（A）=0.7，利用条件概率公式P（B|A）=，即可得结论．【解答】解：设“某次射中”为事件A，“随后一次的射中”为事件B，则P（AB）=0.4，P（A）=0.7，∴P（B|A）==，故选：C．8．某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）A．36种B．30种C．24种D．6种【考点】计数原理的应用．【分析】先不考虑学生甲，乙不能同时参加同一学科竞赛，从4人中选出两个人作为一个元素，同其他两个元素在三个位置上排列，其中有不符合条件的，即甲乙两人在同一位置，去掉即可．【解答】解：从4人中选出两个人作为一个元素有C42种方法，同其他两个元素在三个位置上排列C42A33=36，其中有不符合条件的，即学生甲，乙同时参加同一学科竞赛有A33种结果，∴不同的参赛方案共有36﹣6=30，故选：B9．在直角坐标系中，P点的坐标为，Q是第三象限内一点，|OQ|=1且，则Q点的横坐标为（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】设∠xOP=α，根据三角函数的坐标法定义，得到α的三角函数值，然后利用三角函数公式求Q的横坐标．【解答】解：设∠xOP=α，则，，；故选：A．10．设函数f（x）=，则当x＞0时，f[f（x）]表达式的展开式中常数项为（）A．﹣20 B．20 C．﹣15 D．15【考点】二项式系数的性质．【分析】依题意，可求得f[f（x）]=，利用二项展开式的通项公式即可求得f[f（x）]表达式的展开式中常数项．【解答】解：当x＞0时，f[f（x）]==的展开式中，常数项为：=﹣20．故选A．11．已知双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐进线方程为y=x，F1，F2分别为双曲线C的左右焦点，P为双曲线C上的一点，满足|PF1|：|PF2|=3：1，则|+|的值是（）A．4 B．2C．2D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=x，求出b，c，利用|PF1|：|PF2|=3：1，可得|PF1|=6，|PF2|=2，再求|+|即可．【解答】解：∵双曲线C：﹣=1（b＞0）的一条渐近线方程为y=x，∴b=，∴c=，∵|PF1|：|PF2|=3：1，∴|PF1|=6，|PF2|=2，∴cos∠F1PF2==0，∴|+|2=36+4=40，∴|+|=2．故选：C．12．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R），g（x）=﹣，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，则实数a的范围为（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】特称命题．【分析】将不等式进行转化，利用不等式有解，利用导数求函数的最值即可得到结论．【解答】解：若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x∈[1，e]时有解，设F（x）=f（x）﹣g（x）=a（x﹣）﹣2lnx+=ax﹣2lnx＞0有解，x∈[1，e]，即a，则F′（x）=，当x∈[1，e]时，F′（x）=≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，即F mi n（x）=F（1）=0，因此a＞0即可．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2]．【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】根据题意，原命题的否定“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]14．若曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线与直线x+ay=1垂直，则实数a=2．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求出曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线斜率，根据切线与直线x+ay=1垂直的关系，求出a的值．【解答】解：∵y=xlnx，x＞0；∴y′=lnx+1，当x=e时，y′=lne+1=2；∴曲线y=xlnx在点（e，e）处的切线斜率为k=2，又该切线与直线x+ay=1垂直，∴﹣•2=﹣1，解得a=2．故答案为：2．15．若多项式，则a9=﹣10．【考点】二项式定理的应用．【分析】先凑成二项式，再利用二项展开式的通项公式求出（x+1）9的系数．【解答】解：x3+x10=x3+[（x+1）﹣1]10，题中a9（x+1）9只是[（x+1）﹣1]10展开式中（x+1）9的系数故a9=C101（﹣1）1=﹣10．故答案为：﹣10．16．若x，y满足x2﹣2xy+3y2=4，则的最大值与最小值的和是1．【考点】基本不等式．【分析】设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0）；从而可得r2（cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α）=4，而=，从而化简即可．【解答】解：设x=rcosα，y=rsinα，（r＞0）；∵x2﹣2xy+3y2=4，∴r2cos2α﹣2rcosαrsinα+3r2sin2α=4，∴r2（cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α）=4，∴==（cos2α﹣2cosαsinα+3sin2α）=（1﹣sin2α+2sin2α）=（1﹣sin2α+1﹣cos2α）=（2﹣sin（2α+）），故当sin（2α+）=1时，有最小值（2﹣）；当sin（2α+）=﹣1时，有最大值（2+）；而（2﹣）+（2+）=1，故答案为：1．三、解答题（共6小题，满分70分.解答时应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．甲、乙、丙三人参加某次招聘会，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为（0＜t＜3），且三人是否应聘成功是相互独立的．（Ⅰ）若甲、乙、丙都应聘成功的概率是，求t的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设ξ表示甲、乙两人中被聘用的人数，求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）利用相互独立事件概率计算公式可得：，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为．ξ可取0，1，2．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式、数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题意，∴t=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得乙应聘成功的概率均为．ξ可取0，1，2．，，，∴．18．已知等差数列{a n}中，a10=19公差d≠0，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求a n；（2）设b n=a n2n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）由a1，a2，a5成等比数列，可得=a1•a5，即=a1•（a1+4d），与a10=19=a1+9d，联立解出即可得出．（2）b n=a n2n=（2n﹣1）•2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）∵a1，a2，a5成等比数列，∴=a1•a5，即=a1•（a1+4d），∵a10=19=a1+9d，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1．（2）b n=a n2n=（2n﹣1）•2n，∴数列{b n}的前n项和S n=2+3×22+…+（2n﹣1）•2n，2S n=22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣S n=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴．19．为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．联表补充完整；（）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（Ⅱ）将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率．K2=．【考点】频率分布直方图；茎叶图；独立性检验．【分析】（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整，计算观测值k，对照数表得出概率结论；（Ⅱ）利用频率视作概率，得出X服从二项分布，求出对应的概率值．2×2列联表补充完整如下：假设H0：该学科成绩与性别无关，则K2的观测值k===3.125，因为3.125＞2.706，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（Ⅱ）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率f==0.4视作概率；设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X，则X服从二项分布B（3，0.4），所求概率P=P（X=2）+P（X=3）=×0.42×0.6+×0.43=0.352．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，B1C=2，∠ABB1=60°．（1）证明：AB1⊥平面ABC；（2）求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连结AB1，在△ABB1中，利用余弦定理，求出AB1=，利用勾股定理证明AB1⊥AB，AB1⊥AC，即可证明AB⊥平面ABC．（2）以A为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面BCB1的法向量，平面BCB1的一个法向量，利用向量的数量积求解AC1与平面BCB1所成角的正弦值即可．【解答】解：（1）连结AB1，在△ABB1中，AB=1．BB1=2，∠ABB1=60°，由余弦定理得，AB12=AB2+BB12﹣2AB•BB1cos∠ABB1=3，∴AB1=，…∴BB12=AB2+AB12，∴AB1⊥AB．…∵AB1=，AB=AC=1，B1C=2，∴B1C2=AB12+AC2，∴AB1⊥AC．所以AB⊥平面ABC（2）如图，以A为原点，以，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（0，0，），B（1，0，0），C（0，1，0），∴=（﹣1，0，﹣），=（﹣1，1，0）．设平面BCB1的法向量=（x，y，z），由，得，令z=1，得x=y=．∴平面BCB1的一个法向量为=（，，1）．…∵==（﹣1，1，）…∴cos===…．…∴AC1与平面BCB1所成角的正弦值为：．21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（1，）在该椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）不垂直坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，﹣），求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆所过点A可求得b值，由离心率及a2=b2+c2可求得a值，从而得椭圆方程；（2）设直线方程y=kx+t及A、B点的坐标，将直线方程代入椭圆方程，化简整理关于x的一元二次方程，利用韦达定理分别求得x1+x2和x1•x3的值，写出y1+y2和y1•y2的表达式，由题意AB为直径的圆过原点，可知，根据向量数量积的坐标化简整理5t2=4+4k2，△＞0，解得t＜﹣或t＞，设出中点坐标，由中点坐标公式及直线PD与直线l垂直，求得t的值，即可求得k的值，写出直线方程．【解答】解：（1）由题意得，a2=b2+c2，解得：a=2，b=1，所以椭圆C的方程是．…（2）设直线l的方程为y=kx+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，则由△＞0⇒4k2+1＞t2，x1+x2=，x1•x3=，…y1+y2=kx1+t+kx2+t=k（x1+x2）+2t=，y1•y2=（kx1+t）×（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2，=k2×+kt（）+t2，=，∵以AB为直径的圆过坐标原点，所以⇒x1x2+y1y2=0，∴x1x2+y1y2=+=0，∴5t2=4+4k2，…△＞0⇒4k2+1＞t2，t＜﹣或t＞，又设AB的中点为D（m，n），则有：，∵直线PD与直线l垂直，所以=⇒=，…由解得，当t=﹣时，△＜0舍去当t=1时，k=±，∴所求直线方程为y=x+1或y=﹣x+1．…22．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求函数的单调区间，可先求出函数的导数，由于函数中含有字母a，故应按a的取值范围进行分类讨论研究函数的单调性，给出单调区间；（II）由题设条件结合（I），将不等式，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0在x＞0时成立转化为k＜（x＞0）成立，由此问题转化为求g（x）=在x＞0上的最小值问题，求导，确定出函数的最小值，即可得出k的最大值；【解答】解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k）f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k）f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．2016年7月5日。
高三数学一模试卷理(含解析)
2016年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2| B．•=2 C．﹣与垂直 D．∥4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．88．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6 C．4+D．611．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．112．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|= ．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10（Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF ∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P （x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E 点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．2016年河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣或x＞3，即B={x|x＜﹣或x＞3}，∵A={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}，故选：D．2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2| B．•=2 C．﹣与垂直 D．∥【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，对选项中的命题进行分析判断即可．【解答】解：∵向量=（2，0），=（1，1），∴||=2，||===2，||=||，A正确；•=2×1+0×1=2，B正确；（﹣）•=（1，﹣1）•（1，1）=1×1﹣1×1=0，∴（﹣）⊥，C正确；2×1﹣0×1≠0，∴∥不成立，D错误．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选D．8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】由题意知函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值，从而可得（•+a）2=3+a2，从而解出f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），从而确定单调增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=，∴函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值；∴（•+a）2=3+a2，解得，a=1；故f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），故2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，故2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故选：C．9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，且a2k﹣1=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6 C．4+D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B．C．D．1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a，连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线，∴OQ=a，又OQ=2b，∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2），即c2=a2，∴===2b+≥2=．当且仅当2b=，即b=时，有最小值为．故选：C．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A．B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f （x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|= 2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d，再由弦长公式可得弦长．【解答】解：圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==1，半径r=2，故|AB|=2=2，故答案为：2．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，化为直线方程的斜截式，利用线性规划知识求出t的范围，取绝对值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，则，由图可知，当直线过O时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为﹣3；直线过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故答案为：1．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为5．【考点】类比推理．【分析】f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，∴f（x）=+的最小值为=5．故答案为：5．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10（Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由统计数据能作出频率分布直方图，利用频率分布直方图能估算这100学生的数学平均成绩．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由统计数据作出频率分布直方图如下：∴估算这100学生的数学平均成绩：=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2PEξ==．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF ∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF∥平面DCE，∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，由相似比得，即，得x=4（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=，取CD的中点M，则MD与AB平行且相等，则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=，∵BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，又∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．又∵BC⊂平面BCE，∴平面BDE⊥平面BEC．（ III）建立空间坐标系如图：设AB=1，∵x=2，∴CD=2，则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面EF的一个法向量为=（x，y，z），则由得，则取=（0，1，1），设平面EBC的法向量为=（x，y，z），则，得，令y=1，则z=2，x=1，即=（1，1，2），则cos＜，＞===，则＜，＞=30°，∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P （x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）利用垂径定理和勾股定理列方程解出p即可得出抛物线方程；（II）联立方程组，由根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，假设存在符合条件的P点，则k PA+k PB=0，代入斜率公式化简即可求出x0，y0．【解答】解：（I）设抛物线的准线方程为x=﹣．圆O的半径r=2，由垂径定理得=4，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（II）联立方程组得y2+4y﹣4m=0，∴△=16+16m＞0，解得m＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4m．若抛物线上存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称，则k PA+k PB=0，∴+=+==0，∴y0=﹣=2，x0==1．∴存在点P（1，2），只要m＞﹣1，直线PA，PB关于直线x=1对称．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x1+x2）+a+，①，分别把两个零点x1，x2，代入到F（x）中，转化，分离参数得到a﹣（x1+x2）=，再代入得到= [ln+]，换元，构造函数得到h（t）=lnt+，根据导数求出h（t）的最大值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+a﹣=，令f′（x）＞0，得x＞，f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，∴F（x）=3g（x）﹣2xg′（x）=﹣x2+ax+3lnx﹣2，∴F′（x）=﹣2x+a+，即： =﹣（x1+x2）+a+，①∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，∴a﹣（x1+x2）=，代入①得： =+=[ln+]= [ln+]，令=t，则0＜t＜1，∴h（t）=lnt+，∴h′（t）=+=﹣=≥0∴h（t）在（0，1）上为增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∵x1＜x2，∴＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E 点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；河南省焦作市2016届高三数学一模试卷理（含解析）（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．21 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河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学文试题 Wor
河南省焦作市2015届高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1＜y＜3}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[0，3）C．（1，2]D．[0，3]分析：根据题意画出数轴，再由交集的运算求出A∩B．解答：解：由题意得，集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1＜y＜3}，如图所示：则A∩B=（1，2]，故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，以及数形结合思想，属于基础题．2．设i是虚数单位，（1+i）=3﹣i，则复数z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求解，则答案可求．解答：解：∵（1+i）=3﹣i，∴，∴．故选：B．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值是（）A．30 B．31 C．62 D．63分析：由判断框可知：n＜6时执行循环结构，否则输出s即结束程序．解答：解：由框图知，第一次循环得S=2，n=2，第二次循环得S=2+4=6，n=3，第三次循环得S=6+8=14，n=4，第四次循环得S=14+16=30，n=5，第五次循环得S=30+32=62，n=6，此时不满足条件，结束循环；故选C点评：熟练掌握循环结构的功能和正确判断流程走向是解题的关键．4．下列函数中是偶函数，且在（0，2）内单调递增的是（）A．y=x2﹣2x B．y=cosx+1 C．y=lg|x|+2 D．y=2x分析：根据偶函数的定义，偶函数图象关于y轴对称的特点，以及对数函数，余弦函数的单调性即可找出正确选项．解答：解：y=x2﹣2x不是偶函数，所以不符合条件；y=cosx+1，在（0，π）内是减函数，所以不符合条件；y=lg|x|+2=，所以该函数是偶函数，在（0，2）内单调递增，所以该选项正确；y=2x的图象不关于y轴对称，所以不是偶函数，所以不符合条件．故选C．点评：考查偶函数的定义，偶函数的图象关于y轴对称的特点，以及余弦函数、对数函数的单调性，指数函数的图象．5．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．分析：首先根据实轴长为2，解得双曲线的方程为：x2﹣y2=1，进一步求出离心率．解答：解：已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，即2m=2解得：m=1即a=1所以双曲线方程为：x2﹣y2=1离心率为故选：B点评：本题考查的知识要点：双曲线的方程，及离心率的求法6．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2C．3D．4分析：由直线与平面垂直的判定定理知命题①正确；在命题②的条件下，直线l可能在平面α内，故命题为假；在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中，由α∩γ=n知，n？α且n？γ，由n？α及∥βα∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，命题④正确．解答：解：∵①若m∥l，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理，得l⊥α，故①正确；②若m∥l，m∥α，则l∥α或l⊂α，故②错误；③如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，平面ABB1A1∩平面ABCD=AB，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，平面ABCD∩平面BCC1B1=BC，由AB、BC、BB1两两相交，得：若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n不成立，故③是假命题；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则由α∩γ=n知，n⊂α且n⊂γ，由n⊂α及n∥β，α∩β=m，得n∥m，同理n∥l，故m∥l，故命题④正确．故选：B．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求得ω=2，根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变化规律，求得函数的解析式为y=sin（2x﹣+ϕ），再由函数的奇偶性求得ϕ=，可得函数f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈z，求得x的值，可得对称中心为（，0），k∈z，从而得出结论．解答：解：由于函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，|ϕ|＜）的最小正周期为π，故=π，ω=2．把其图象向右平移个单位后得到的函数的解析式为y=sin[2（x﹣）+ϕ]=sin（2x﹣+ϕ），为奇函数，∴﹣+ϕ=kπ，∴ϕ=kπ+，k∈z∴ϕ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈z，可得x=，k∈z，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故点（，0）是函数的一个对称中心，故选C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变化规律，复合三角函数的对称性，属于中档题．8．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）．，故体积为：，，故体积为：，V=+=，9．在△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交BC于点D，=+λ（γ∈R），则||=（）．分析：取AC的一个三等分点E，满足AE=AC，作DF平行于AE，则由条件可得四边形AEDF 为平行四边形，求得∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，可得△AFD为等腰三角形，AF=DF=AC，故平行四边形AEDF为菱形．利用余弦定理求得AD、BD、CD的值，再由三角形的内角平分线性质可得，由此求得λ的值，从而得到AD的值．解答：解：△ABC中，∵AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且=+λ，取AC的一个三等分点E，满足AE=AC，作DF平行于AE，则由条件可得四边形AEDF为平行四边形，∴∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，故△AFD为等腰三角形，∴AF=DF=AC，故四边形AEDF为菱形．再由AF=λAB=3λ=DF=AC，可得AC=9λ，菱形AEDF的边长为3λ．△AFD中，由余弦定理可得AD2=（3λ）2+（3λ）2﹣2•3λ•3λ•cos120°=27λ2，∴AD=3λ．△ABD中，由余弦定理可得BD2=32+27λ2﹣2×3×3λ×cos30°=27λ2﹣27λ+9，∴BD=3．△ACD中，由余弦定理可得CD2=81λ2+27λ2﹣2×9λ×3λ×cos30°=27λ2=3λ．再由三角形的内角平分线性质可得，即=，解得λ=，或λ=（舍去）．故AD=3λ=3×=2，故选D．点评：本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，余弦定理以及三角形的内角平分线性质应用，求得λ的值，是解题的关键和难点，属于中档题．10．已知正项等比数列{a n}满足a3•a2n﹣3=4n（n＞1），则log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n﹣1==11．已知点P在抛物线y2=4x上，点M在圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，点N坐标为（1，0），+112．已知函数f（x）满足f（x）=2f（），当x∈[1，+∞）时，f（x）=lnx，若在区间（0，e2），），）），））﹣，＞＜∴，解得，＜＜＜＜）=2ln，此时，＜﹣＞﹣可得＜综上：＜，二、填空题：每小题5分，共20分．13．（2012•德阳二模）某学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图可估记名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生数是800．，得=0.814．已知点O为坐标原点，点M（2，﹣1），点N（x，y）满足不等式组，则•的最大值为10．由题意作出其平面区域，==•=2x==•=2x故•15．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+1，若数列{b n}满足b n=，则其前n项和T n=．=+==故答案为：16．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（lgx）＞的解集为（0，10）．考点：指、对数不等式的解法；函数单调性的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）小于0，得到g（x）为减函数，将所求不等式变形后，利用g（x）为减函数求出x的范围，即为所求不等式的解集．解答：解：设g（x）=f（x）﹣x，由f′（x）＜，得到g′（x）=f′（x）﹣＜0，∴g（x）为减函数．又f（1）=1，∵f（lgx）＞=lgx+，∴g（lgx）=f（lgx）﹣lgx＞=g（1）=f（1）﹣=g（lg10），∴lgx＜lg10，0＜x＜10，故不等式f（lgx）＞的解集为（0，10），故答案为：（0，10）．点评：此题考查了其他不等式的解法，涉及的知识有：利用导数研究函数的增减性，对数函数的单调性及特殊点，以及对数的运算性质，是一道综合性较强的试题，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，cosA成等差数列．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC周长的最大值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由acosC，bcosB，ccosA为等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用正弦的化简求出cosB的值，即可确定出B的度数；（2）由b，sinB的值，利用正弦定理表示出a与c，进而表示出三角形ABC周长，利用余弦函数的值域即可确定出周长的最大值．解答：解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA，利用正弦定理化简得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴cosB=，则B=60°；（2）∵b=2，sinB=，∴由正弦定理得：====，即a=sinA，c=sinC，∵A+C=120°，即C=120°﹣A，∴△ABC周长为a+b+c=（sinA+sinC）+2=[sinA+sin（120°﹣A）]+2=×2sin60°cos（A﹣60°）+2=4cos（A﹣60°）+2，∵0＜A＜120°，∴﹣60°＜A﹣60°＜60°，∴＜cos（A﹣60°）≤1，即4＜4cos（A﹣60°）+2≤6，则△ABC周长的最大值为6．点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题关键．18．（12分）2014年9月，河南省第十二届运动会在焦作举行，我市男子篮球队获得冠军，赛前集训期间，甲、乙两球员进行定点投篮训练，每人每组投篮100次，各5组，如图所示茎叶图表示甲、乙两位球员的投篮命中次数，其中一个数字模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）若X=8，如果你是教练，你会首先选择甲、乙中的哪位球员上场？并说明理由；（2）若乙的平均投篮命中次数高于甲的平均投篮命中次数，从甲、乙两人投篮中次数不低于90次的5组中任选2组，求所选2组投篮命中次数差的绝对值不超过2次的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（1）X=8时，求出甲乙运动员得分的平均数与方差，由此得出正确的结论；（2）求出乙的平均投篮命中次数高于甲的平均投篮命中次数时X的值，再列出基本事件，求出对应的概率．解答：解：（1）X=8时，甲运动员得分的平均数=（88+89+90+91+92）=90，乙运动员得分的平均数是=（83+83+87+98+99）=90；甲的方差是=[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2，乙的方差是=[（83﹣90）2+（83﹣90）2+（87﹣90）2+（98﹣90）2+（99﹣90）2]=54.4；二人的得分水平相当，甲更稳定些，应选择甲上场；（2）当乙的平均投篮命中次数高于甲的平均投篮命中次数时，X＞8，∴X=9；从甲、乙两人投篮中次数不低于90次的5组中任选2组，基本事件为（90，91）、（90，92）、（90，99）、（90，99）、（91，92）、（91，99）、（91，99）、（92，99）、（92，99）、（99，99）共10组；所选2组投篮命中次数差的绝对值不超过2次的基本事件是（90，91）、（90，92）、（91，92）、（99，99）共4组，∴它的概率为P==0.4．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据图中数据进行计算、分析，从而得出正确的结论，是基础题．19．（12分）如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC=CD=BC=2，点F是线段AD的中点．（1）求证：AB∥平面CEF；（2）求几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两部分的体积之比．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）连结BD，交CE于点H，连结FH，从而FH是△ABD的中位线，从而证明AB∥平面CEF；（2）由题意知，点F到平面BCDE的距离是点A到平面BCDE的距离的一半，S△CDE=S矩，从而得V F﹣CDE：V A﹣BCDE=1：4，从而得到几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两形BCDE部分的体积之比为1：3．解答：解：（1）证明：如图，连结BD，交CE于点H，连结FH，∵四边形BCDE为矩形，∴H是线段BD的中点，又∵点F是线段AD的中点，∴FH是△ABD的中位线，∴FH∥AB，又∵FH⊂平面CEF，AB⊄平面CEF；∴AB∥平面CEF；（2）∵点F是线段AD的中点．∴点F到平面BCDE的距离是点A到平面BCDE的距离的一半，又∵S△CDE=S矩形BCDE，∴V F﹣CDE：V A﹣BCDE=1：4，∴几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两部分的体积之比为1：3．点评：本题考查了学生的空间想象力，同时考查了作图能力及线面平行的判断、几何体的体积求法等，属于中档题．20．（12分）已知椭圆的短轴为2，左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且满足△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l与椭圆交于A、B两点，△ABO面积为，判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）运用待定系数法，设出椭圆方程，由题意得，2b=2，2a+2c=6，又a2=b2+c2，解出a，b即可；（2）设直线l：y=kx+m，联立椭圆方程和直线方程，消去y，运用韦达定理，弦长公式和三角形的面积公式，化简整理，得到3+4k2=2m2，再由|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22代入化简整理，即可得到为定值．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为：+=1．由椭圆的短轴为2，即有2b=2，由于△PF1F2的周长为6，则2a+2c=6，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C方程为：+=1；（2）设直线l：y=kx+m，联立椭圆方程，消去y，得到：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，判别式△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即3+4k2＞m2，点O到直线的距离d=，弦长AB=|x1﹣x2|，则△ABC面积为S=d•|AB|=|x1﹣x2|•=，即有m2（﹣）=12，化简得，（3+4k2）2﹣4（3+4k2）m2+4m4=0，即为（3+4k2﹣2m2）2=0，即3+4k2=2m2，检验判别式大于0，则k2=，x1+x2=，x1x2=2﹣，则|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=（1+k2）[（x1+x2）2﹣2x1x2]+2km（x1+x2）+2m2=（1+）[﹣2（2﹣）]﹣+2m2=2m2+1﹣4m2+6+2m2=7．故|OA|2+|OB|2为定值，且为7．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，弦长公式，和面积公式，考查化简和整理的运算求解能力，具有一定的运算量，属于综合题．21．（12分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）求导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2，建立方程组，即可求a，b的值；（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，等价于恒成立，求出函数的最值，即可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵，∴∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，∵直线x+y=2的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1∴有，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得由及x＞0，可得令，∴，令h（x）=1﹣x﹣lnx，∴，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）max=g（1）=1要使成立，只需m＞1故m的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．一、选修22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．考点：圆的切线的性质定理的证明；圆內接多边形的性质与判定．专题：综合题．分析：（Ⅰ）连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，再证明OC∥AD，即可证得AC平分∠BAD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而BC=CE，利用ABCE四点共圆，可得∠B=∠CED，从而有，故可求BC的长．解答：（Ⅰ）证明：连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，（2分）因为CD为半圆的切线，所以OC⊥CD，又因为AD⊥CD，所以OC∥AD，所以∠OCA=∠CAD，∠OAC=∠CAD，所以AC平分∠BAD．（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴BC=CE，（6分）连接CE，因为ABCE四点共圆，∠B=∠CED，所以cosB=cos∠CED，（8分）所以，所以BC=2．（10分）点评：本题考查圆的切线，考查圆内接四边形，解题的关键是正确运用圆的切线性质及圆内接四边形的性质．一、选修23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2﹣t﹣1=0，由根与系数的关系，求出+=的值．解答：解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y+1=0，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴；∴+=+====．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．一、选修24．若a＞0，b＞0，+=2．（1）求a3+b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a+3b=4？并说明理由．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由于a＞0，b＞0，+=2．利用基本不等式的性质可得，即ab≥1．利用基本不等式的性质可得a3+b3≥即可得出．（2）由于a，b＞0，利用（1）及基本不等式的性质可得2a+3b≥2≥，即可得出．解答：解：（1）∵a＞0，b＞0，+=2．∴，化为ab≥1，当且仅当a=b=1时取等号．∴a3+b3≥≥2，∴a3+b3的最小值为2；2）∵a，b＞0，∴2a+3b≥2≥＞4，故不存在a，b＞0，使得2a+3b=4．点评：本题综合考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。
2023-2024学年河南省焦作市高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河南省焦作市高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合M ＝{x |x +1≥0}，N ＝{x |2x ＜1}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x |﹣1≤x ＜0}的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．复数z 满足1+zi +zi 2＝|3+4i |，则z =（ ） A ．﹣2﹣2iB ．﹣2+2iC ．2﹣2iD ．2+2i3．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，a 1＝16，公比q =12，则T n 取最大值时n 的值为（ ）A ．3B ．6C ．4或5D ．6或74．在△ABC 中，BD →=13BC →，点E 是AD 的中点，记AB →=a →，AC →=b →，则BE →=（ ）A ．−13a →+13b →B ．−23a →+16b →C ．−13a →−13b →D ．23a →−16b →5．在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 如图所示，则tan A ＝（ ）A ．74B ．1C ．53D ．√526．已知O 为坐标原点，直线l 过抛物线D ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，与D 及其准线依次交于A ，B ，C 三点（其中点B 在A ，C 之间），若|AF |＝4，|BC |＝2|BF |．则△OAB 的面积是（ ）A ．√3B ．4√33C ．2√3D ．8√33 7．l 、l ′为两条直线，α，β为两个平面，满足：l ∩l ′＝O ，l 与l ′的夹角为π6，α∥β，l ⊥α，α与β之间的距离为2．以l 为轴将l ′旋转一周，并用α，β截取得到两个同顶点O （点O 在平面α与β之间）的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为V 1、V 2，则V 1+V 2的最小值为（ ） A ．π3B ．2π3C ．π9D ．2π98．设[x ]表示不超过x 的最大整数（例如：[3.5]＝3，[﹣1.5]＝﹣2），则[log 21]+[log 22]+[log 23]+⋯+[log 22046]＝（ ） A ．9×210﹣8B ．9×211﹣8C ．9×210+2D ．9×211+2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有一组样本数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则下列说法正确的是（ ） A ．设a ∈R ，则样本数据ax 1，ax 2，…，ax n 的平均数为a xB ．设a ，b ∈R ，则样本数据ax 1+b ，ax 2+b ，…，ax n +b 的标准差为a 2s 2C ．样本数据x 12，x 22，…，x n 2的平均数为x 2D ．s 2=1n∑ n i=1x i 2−x 2 10．已知m ＞0，n ＞0，且m +n ＝2mn ，则下列结论中正确的是（ ） A ．mn ≥1 B ．m +n ≤√2 C ．m 2+n 2≥2D ．2m +n ≥3+2√211．在平面直角坐标系xOy 中，由直线x ＝﹣4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则（ ） A ．∠APB 恒为锐角 B ．当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C ．|AP |的最小值为4D ．存在点P ，使得（PA →+PO →）•OA →=012．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r （0＜r ＜2），设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（ ） A ．当r ＝1时，V =7√3πB ．V 存在最大值C ．当r 在区间（0，2）内变化时，V 逐渐减小D ．当r 在区间（0，2）内变化时，V 先增大后减小 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某市高三年级男生的身高X （单位：cm ）近似服从正态分布N （175，σ2），已知P （175≤X ＜180）＝0.2，若P（X≤a）∈[0.3，0.5]．写出一个符合条件的a的值为．14．已知圆C：x2+y2﹣4x cosθ﹣4y sinθ＝0，则与圆C总相切的圆D的方程是．15．如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按（2，2）将导致（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）改变状态．如果要求只改变（1，1）的状态，则需按开关的最少次数为．16．机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点A（x1，y1），B（x2，y2）的闵氏距离为D p（A，B）＝（|x1﹣x2|p+|y1﹣y2|p）⬚1p，其中p为非零常数．如果点M在曲线y＝e x上，点N在直线y＝x﹣1上，则D1（M，N）的最小值为．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4…．即先取a1＝1，接着复制该项粘贴在后面作为a2，并添加后继数2作为a3；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为a4，a5，a6，并添加后继数3作为a7，…依次继续下去．记b n表示数列{a n}中n首次出现时对应的项数．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求a1+a2+a3+⋯+a63．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足6cos C+c＝2b，a＝3．（1）证明：△ABC外接圆的半径为√3；（2）若2S△ABC≤t(a2+2b2+11c2)恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x，s2．经计算，∑10i=1(x i−x)2=1690，∑10n=1x2= 33050．（1）求x；（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列；（3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N（μ，σ2），用x，s2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y，求Y的数学期望E（Y）．附：若∈～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973．20．（12分）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线P A，PB，PC构成的三面角P﹣ABC，∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则cosγ＝cosαcosβ+sinαsinβcosθ．（1）当α、β∈(0，π2)时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°，①求∠A1AB的余弦值；②在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．21．（12分）我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数e（离心率）．我们称此定点是焦点，定直线是准线．已知双曲线E：3x2﹣y2﹣24x+36＝0．（1）求双曲线E的准线；（2）设双曲线E的右焦点为F，右准线为l．椭圆C以F和l为其对应的焦点及准线过点F作一条平行于y＝x的直线交椭圆C于点A和B．已知C的中心P在以AB为直径的圆内，求椭圆C的离心率e 的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝e x−a3x3−x22−2ax．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（3）若f（x）的最小值为1，求a．2023-2024学年河南省焦作市高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．已知集合M ＝{x |x +1≥0}，N ＝{x |2x ＜1}，则下列Venn 图中阴影部分可以表示集合{x |﹣1≤x ＜0}的是（ ）A ．B ．C ．D ．解：集合M ＝{x |x +1≥0}＝{x |x ≥﹣1}，N ＝{x |2x ＜1}＝{x |x ＜0}，∴集合{x |﹣1≤x ＜0}＝M ∩N ． 故选：A ．2．复数z 满足1+zi +zi 2＝|3+4i |，则z =（ ） A ．﹣2﹣2iB ．﹣2+2iC ．2﹣2iD ．2+2i解：因为1+zi +zi 2＝|3+4i |＝5，z =4i−1=4(i+1)(i−1)(i+1)=−2i −2，所以z =−2+2i ． 故选：B ．3．已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，a 1＝16，公比q =12，则T n 取最大值时n 的值为（ ）A ．3B ．6C ．4或5D ．6或7解：等比数列{a n }的前n 项积为T n ，a 1＝16，公比q =12，则a 4=a 1q 3=2，a 5＝1，a 6=12，故T n 取最大值时n 的值为4或5． 故选：C ．4．在△ABC 中，BD →=13BC →，点E 是AD 的中点，记AB →=a →，AC →=b →，则BE →=（ ）A ．−13a →+13b →B ．−23a →+16b →C ．−13a →−13b →D ．23a →−16b →解：画出图形，如图所示：∴BE →=12(BA →+BD →)=−12AB →+12BD →=−12AB →+12×13BC →=−12AB →+16（AC →−AB →）=−23AB →+16AC →=−23a →+16b →． 故选：B ．5．在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 如图所示，则tan A ＝（ ）A ．74B ．1C ．53D ．√52解：如图所示，tan ∠BAE =BE AE =36=12，tan ∠DAC =CD AD =23， 所以tan ∠A ＝tan （∠BAE ∠+DAC ）=tan∠BAE+tan∠DAC 1−tan∠BAE⋅tan∠DAC =12+231−12×23=74．故选：A ．6．已知O 为坐标原点，直线l 过抛物线D ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F ，与D 及其准线依次交于A ，B ，C 三点（其中点B 在A ，C 之间），若|AF |＝4，|BC |＝2|BF |．则△OAB 的面积是（ ） A ．√3B ．4√33C ．2√3D ．8√33解：过点B 作BM 垂直于准线，垂足为M ，过点A 作AN 垂直于准线，垂足为N ，设准线与x轴相交于点P，如图，则|BM|＝|BF|，|AN|＝|AF|＝4，在△MBC中，|BC|＝2|BF|，所以|BC|＝2|BM|，所以∠MCB＝30°，在△ANC中，|AC|＝2|AN|＝8，所以|AC|＝|AF|+|CF|＝8，所以|CF|＝8﹣|AF|＝4．又CN⊥x轴，∠MCB＝30°，所以PF|=12|CF|=2，又抛物线D：y2＝2px，则P(−p2，0)，F(p2，0)，所以|PF|=p2+p2=p=2，所以抛物线D：y2＝4x，点F（1，0）．因为∠MCB＝30°，所以直线AB的斜率k=−√3，则直线AB：y=−√3(x−1)，与抛物线方程联立{y=−√3(x−1)y2=4x，消y并化简得3x2﹣10x+3＝0，设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=10 3，则|AB|＝|BF|+|AF|＝|BM|+|AN|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p=103+2=163，又直线AB：y=−√3(x−1)，可化为√3x+y−√3=0，则点O到直线AB的距离d=|−√3|√3+1=√32，所以SΔOAB=12|AB|⋅d=12×163×√32=4√33．故选：B．7．l、l′为两条直线，α，β为两个平面，满足：l∩l′＝O，l与l′的夹角为π6，α∥β，l⊥α，α与β之间的距离为2．以l为轴将l′旋转一周，并用α，β截取得到两个同顶点O（点O在平面α与β之间）的圆锥．设这两个圆锥的体积分别为V1、V2，则V1+V2的最小值为（）A．π3B．2π3C．π9D．2π9解：两个圆锥的轴截面如图所示，设O1，O2分别为两圆锥的底面圆的圆心，设半径分别为r1，r2，易知O1O2⊥DE，O1O2⊥BC，直线DE，BC分别为两圆锥与α，β的交线，∵α与β之间的距离为2，∴设OO1＝h，OO2＝2﹣h，∵l与l′的夹角为π6，∴∠DOE=π3，由圆锥的性质知OB＝OC，OD＝OE，∴△ODE，△OBC为等边三角形，∴tan∠OBC=OO2BO2=2−ℎr2=√3，∴r2=2−ℎ3=√33(2−ℎ)，同理可得r1=√33ℎ，∴V1+V2=13πr12ℎ+13πr22(2−ℎ)=13π(√33ℎ)2ℎ+13π[√33(2−ℎ)]2(2−ℎ)=19π[ℎ3+(2−ℎ)3]，0＜h＜2，设f(ℎ)=19π[ℎ3+(2−ℎ)3]，0＜ℎ＜2，则f′(ℎ)=19π[3ℎ2−3(2−ℎ)2]=13π(−4+4ℎ)=0，解得：h＝1，∴当h∈（0，1）时，f′（h）＜0，f（x）单调递减；当h∈（1，+∞）时，f′（h）＞0，f（x）单调递增，∴f(ℎ)min=f(1)=29π，∴V1+V2的最小值为2π9．故选：D．8．设[x]表示不超过x的最大整数（例如：[3.5]＝3，[﹣1.5]＝﹣2），则[log21]+[log22]+[log23]+⋯+[log22046]＝（）A．9×210﹣8B．9×211﹣8C．9×210+2D．9×211+2解：由于[log21]＝0，[log22]＝[log23]＝1，[log24]＝[log25]＝[log26]＝[log27]＝2，[log28]＝[log29]＝...＝[log215]＝3，.....，[log21024]＝[log21025]＝...＝[log22046]＝10，故[log21]+[log22]+[log23]+⋯+[log22046]＝0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+128×7+256×8+512×9+1024×10﹣10；令S＝2×1+22×2+23×3+24×4+25×5+26×6+27×7+28×8+29×9+210×10；①，2S＝22×1+23×2+24×3+25×4+26×5+27×6+28×7+29×8+210×9+211×10；②，所以﹣S＝（21+22+...+210）﹣211×10，解得S＝211×10﹣211+2＝9×211+2．所以[log21]+[log22]+[log23]+⋯+[log22046]＝9×211+2﹣10＝9×211﹣8．故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．有一组样本数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则下列说法正确的是（）A．设a∈R，则样本数据ax1，ax2，…，ax n的平均数为a xB．设a，b∈R，则样本数据ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的标准差为a2s2C．样本数据x12，x22，…，x n2的平均数为x2D．s2=1n∑n i=1x i2−x2解：因为样本数据x1，x2，…，x n的平均数为x，方差为s2，则ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的平均数为a x+b，方差为a2s2，所以样本数据ax1，ax2，…，ax n的平均数为a x，故A正确；ax1+b，ax2+b，…，ax n+b的标准差为|a|s，故B错误；根据题意，样本数据x12，x22，…，x n2的平均数无法计算，故C错误；s2=1n ∑n i=1(x i−x)2=1n∑n i=1(x i2−2x i x+x2)=1n∑n i=1x i2−2x2+x2=1n∑n i=1x i2−x2，故D正确．故选：AD．10．已知m＞0，n＞0，且m+n＝2mn，则下列结论中正确的是（）A．mn≥1B．m+n≤√2C．m2+n2≥2D．2m+n≥3+2√2解：因为m＞0，n＞0，m+n＝2mn，2mn=m+n≥2√mn，所以mn≥1，当且仅当m＝n＝1等号成立，故A正确，当m＝n＝1，m+n＝2mn，则m+n=1+1＞√2，故B错误；因为mn ≥1，所以m 2+n 2≥2nm ≥2，故C 正确； 当m ＝n ＝1时，则2m +n =3＜3+2√2，故D 错误． 故选：AC ．11．在平面直角坐标系xOy 中，由直线x ＝﹣4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则（ ） A ．∠APB 恒为锐角 B ．当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C ．|AP |的最小值为4D ．存在点P ，使得（PA →+PO →）•OA →=0解：若椭圆的方程x 2a 2+y 2b 2=1，点P （x 0，y 0）在椭圆上，则过点P 的椭圆的切线方程为xx 0a 2+yy 0b 2=1．证明：因为椭圆的方程x 2a 2+y 2b 2=1，切点P （x 0，y 0），所以x 02a 2+y 02b 2=1，即b 2x 02+a 2y 02=a 2b 2，①对方程求导得y ′=−b 2xa 2y ，所以切线的斜率k =−b 2x0a 2y 0，所以切线方程为y ﹣y 0=−b 2x0a 2y 0（x ﹣x 0），所以a 2y 0y ﹣a 2y 02=−b 2x 0x +b 2x 02， 所以a 2y 0y +b 2x 0x ＝b 2x 02+a 2y 02，把①代入得a 2y 0y +b 2x 0x ＝b 2+a 2， 所以x 0x a 2+y 0y b 2=1．对于A ：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），p （﹣4，m ）， 因为椭圆方程为x 24+y 23=1，所以椭圆在A （x 1，y 1）处的切线方程为x 1x 4+y 1y 3=1，椭圆在B （x 2，y 2）处的切线方程为x 2x 4+y 2y 3=1，因为点P 在两条切线上， 所以﹣x 1+my 13=1，﹣x 2+my23=1， 所以直线AB 的方程为x +my3=1，即3x ﹣my +3＝0， 所以直线AB 恒过定点（﹣1，0），以AB 为直径的圆的半径最大无限接近a ＝2，但该圆与直线x ＝﹣4相离， ∴∠APB 始终为锐角，故A 正确；对于B ：当AB 垂直于x 轴时，由对称性可知P （﹣4，0）， 由A 点外的切线方程过点P ，可得x 1⋅(−4)4=1，可得x 1＝﹣1，代入椭圆方程可得y 1=32，∴A （﹣1，32），∴k AP =32−0−1−(−4)=12，故B 正确；对于C ：由B 可得当AB 垂直于x 轴时，|AP |=√(−1+4)2+(32−0)2=√454=3√52＜4，故C 错误；对于D ：取AO 中点M ，（PA →+PO →）•OA →=2PM →•OA →，若（PA →+PO →）•OA →=0， 则PM ⊥AO ，即△P AO 为等腰三角形， ∴P A 2＝（x 1+4）2+（y 1﹣m ）2＝PO 2＝16+m 2，化简得x 12+y 12+8x 1﹣2my 1＝0，由A知：my 1＝3x 1+3，y 12=3（1−x 124），整理得x 12+8x 1﹣12＝0，∴x 1＝2√7−4或x 1＝﹣2√7−4（舍去），∴存在P 满足题意，故D 正确． 故选：ABD ．12．已知圆台的上下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为r （0＜r ＜2），设圆台的体积为V ，则下列选项中说法正确的是（ ） A ．当r ＝1时，V =7√3πB ．V 存在最大值C ．当r 在区间（0，2）内变化时，V 逐渐减小D ．当r 在区间（0，2）内变化时，V 先增大后减小解：设圆台的上底面的圆心为O 1，下底面的圆心为O ，点A 为上底面圆周上任意一点， 圆台的高为h ，球的半径为R ， 如图所示，则ℎ=OO 1=√R 2−(O 1A)2=√4−r 2V =13(S +√SS′+S′)ℎ=13(4π+√4π⋅πr 2+πr 2)√4−r 2=π3(r 2+2r +4)√4−r 2(0＜r ＜2)， 对选项A ：r =1，V =π3(1+2+4)√3=7√33π，A 不正确； V ′=π3⋅−3r 3−4r 2+4r+8√4−r2， 设f （r ）＝﹣3r 3﹣4r 2+4r +8，则f '（r ）＝﹣9r 2﹣8r +4， 令f '（r ）＝0可得9r 2+8r ﹣4＝0，解得r 1=−8−4√1318，r 2=−8+4√1318， 易知r 2∈（0，2），且当r ∈（0，r 2），f '（r ）＞0； r ∈（r 2，2），f '（r ）＜0，f （r ）在（0，r 2）单调递增，在（r 2，2）单调递减， 由f （0）＝8，f （1）＝5，f （2）＝﹣24，∃r 0∈（1，2），使得f （r 0）＝0，当r ∈（0，r 0），f （r ）＞0，即V '＞0； 当r ∈（r 0，2），f （r ）＜0，即V '＜0，所以V 在（0，r 0）单调递增，在（r 0，2）单调递减，则B ，D 正确，C 错误． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某市高三年级男生的身高X （单位：cm ）近似服从正态分布N （175，σ2），已知P （175≤X ＜180）＝0.2，若P （X ≤a ）∈[0.3，0.5]．写出一个符合条件的a 的值为 171（答案不唯一，满足a ∈[170，175]即可） ．解：因为P （175≤X ＜180）＝0.2，所以P （X ≤170）＝P （X ≥180）＝0.5﹣0.2＝0.3， 若P （X ≤a ）∈[0.3，0.5]，则a ∈[170，175]， 所以符合条件的a 的值可以为171．故答案为：171（答案不唯一，满足a ∈[170，175]即可）．14．已知圆C ：x 2+y 2﹣4x cos θ﹣4y sin θ＝0，则与圆C 总相切的圆D 的方程是 x 2+y 2＝16 ． 解：圆C 标准方程为（x ﹣2cos θ）2+（y ﹣2sin θ）2＝4， 则圆C 的圆心为（2cos θ，2sin θ），半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D的方程是x2+y2＝16．故答案为：x2+y2＝16．15．如表为一个开关阵列，每个开关只有“开”和“关”两种状态，按其中一个开关1次，将导致自身和所有相邻的开关改变状态．例如，按（2，2）将导致（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2）改变状态．如果要求只改变（1，1）的状态，则需按开关的最少次数为5．解：由题意可得，只有在（1，1）以及周边按动开关才可以使得按开关的次数最少，具体操作如下：假设开始按动开关前所有开关都是“开“的状态，要求只改变（1，1）的状态，在按动（1，1）后，（1，2）、（2，1）的状态也发生了改变，下一步可以同时恢复或逐一恢复，同时恢复需按动（2，2），但会导致周边（2，3）、（3，2）状态也会改变，因此导致按动开关的次数更多，所以接下来逐一恢复，则至少按开关3次，依次类推，沿着周边的开关再按动，可以使得按动开关的次数最少，即按动5次可以满足题意，按动开关的情况如下表所示：故答案为：5．16．机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点A（x1，y1），B（x2，y2）的闵氏距离为D p（A，B）＝（|x1﹣x2|p+|y1﹣y2|p）⬚1p，其中p为非零常数．如果点M在曲线y＝e x上，点N在直线y＝x﹣1上，则D1（M，N）的最小值为2．解：设N（x，x﹣1），M（t，e t），则D1(M，N)=|x−t|+|x−1−e t|，令f（x）＝1+e t﹣x，则f′（x）＝e x﹣1，∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（0）＝2，即1+e t≥t+2＞t，当x≤t时，D1(M，N)=t−x+1+e t−x=e t+t+1−2x≥e t﹣t+1≥2，当t＜x＜1+e t时，D1(M，N)=x−t+1+e t−x=1+e t−t≥2；当x≥1+e t时，D1(M，N)=x−t+x−1−e t=2x−t−1−e t≥2（1+e t）﹣t﹣1﹣e t＝1+e t﹣t≥2，综上所述：D1（M，N）的最小值为2．故答案为：2．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}为：1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4…．即先取a1＝1，接着复制该项粘贴在后面作为a2，并添加后继数2作为a3；再复制所有项1，1，2并粘贴在后面作为a4，a5，a6，并添加后继数3作为a7，…依次继续下去．记b n表示数列{a n}中n首次出现时对应的项数．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）求a1+a2+a3+⋯+a63．解：（1）由题意知：b n+1＝2b n+1，即b n+1+1＝2（b n+1），且b1+1＝2，所以数列{b n+1}是以b1+1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以b n+1=2n，则b n=2n−1；（2）由（1）可知，b6=26−1=63，所以6在前63项中出现1次，5在前63项中出现2次，4在前63项中出现2×2＝4次，3在前63项中出现4×2＝8次，2在前63项中出现8×2＝16次，1在前63项中出现16×2＝32次，所以a1+a2+a3+⋯+a63＝1×32+2×16+3×8+4×4+5×2+6×1＝120．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足6cos C+c＝2b，a＝3．（1）证明：△ABC外接圆的半径为√3；（2）若2S△ABC≤t(a2+2b2+11c2)恒成立，求实数t的取值范围．解：（1）由6cos C+c＝2b，a＝3，得2a cos C+c＝2b，由正弦定理得：2sin A cos C+sin C＝2sin B＝2sin（A+C）＝2sin A cos C+2cos A sin C，化简得2cos A sin C＝sin C．因为sin C≠0，所以cosA=1 2．又A∈（0，π），所以A=π3，所以△ABC外接圆的半径为a2sinA=2×√32=√3．（2）要使2S△ABC≤t(a2+2b2+11c2)恒成立，即t≥2S△ABCa2+2b2+11c2恒成立，即求2S△ABCa2+2b2+11c2的最大值．由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc，所以2S△ABCa2+2b2+11c2=2×12bcsinA(b2+c2−bc)+2b2+11c2=√32⋅bc3b2+12c2−bc因为bc≠0，所以√32⋅bc3b2+12c2−bc=√32⋅13bc+12cb−1≤√32⋅2√c⋅b−1=√322，当且仅当b2＝4c2，即b=2√3，c=√3时，等号成立，所以实数t的取值范围为[√322，+∞)．19．（12分）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为x ，s 2．经计算，∑ 10i=1(x i −x)2=1690，∑ 10n=1x 2=33050． （1）求x ；（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X ，求X 的分布列；（3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布N （μ，σ2），用x ，s 2的值分别作为μ，σ2的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]的人数为Y ，求Y 的数学期望E （Y ）．附：若∈～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ≤ξ≤μ+σ）≈0.6827，P （μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ≤ξ≤μ+3σ）≈0.9973． 解：（1）x =110×(38+41+44+51+54+56+58+64+74+80)=56． （2）因为体质测试不合格的学生有3名， 所以X 的可能取值为0，1，2，3．因为P(X =0)=C 73C 103=724，P(X =1)=C 72C 31C 103=2140，P(X =2)=C 71C 32C 103=740，P(X =3)=C 33C 103=1120．所以X 的分布列为（3）因为x =56，s 2=110∑ 10i=1(x 1−x)2=110×1690=169， 所以μ＝56，σ＝13．因为P （30≤X ≤82）＝P （μ﹣2σ≤ξ≤μ+2σ）≈0.9545， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间[30，82]得概率约为0.9545， 故Y ～B （100，0.9545），所以E （Y ）＝100×0.9545＝95.45．20．（12分）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线P A ，PB ，PC 构成的三面角P ﹣ABC ，∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∠APB ＝γ，二面角A ﹣PC﹣B的大小为θ，则cosγ＝cosαcosβ+sinαsinβcosθ．（1）当α、β∈(0，π2)时，证明以上三面角余弦定理；（2）如图2，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°，①求∠A1AB的余弦值；②在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．解：（1）证明：如图，过射线PC上一点H作HM⊥PC交P A于M点，作HN⊥PC交PB于N点，连接MN，则∠MHN是二面角A﹣PC﹣B的平面角，在△MNP中，由余弦定理可得，MN2＝MP2+NP2﹣2MP•NP•cosγ，在△MNH中，由余弦定理可得，MN2＝MH2+NH2﹣2MH•NH•cosθ，两式相减得可，MP2﹣MH2+NP2﹣NH2﹣2MP•NP•cosγ+2MH•NH•cosθ＝0，则2MP•NP•cosγ＝2PH2+2MH•NH•cosθ，两边同除以2MP•NP，可得cosγ＝cosαcosβ+sinαsinβcosθ；（2）解：①由平面AA1C1C⊥平面ABCD，可知θ＝90°，由（1）得cos∠A1AB＝cos∠A1AC•cos∠CAB，因为cos∠A1AC＝60°，cos∠BAC＝45°，所以cos∠A1AB=12×√22=√24；②假设在直线CC1上存在点P，使BP∥平面DA1C1，连接B1C，延长C1C至P，使CP＝C1C，连结BP在棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ，AB ∥CD ，AB ＝CD ， 则A 1B 1∥DC ，且A 1B 1＝DC ， 所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形， 故A 1D ∥B 1C ，在四边形B 1BPC 中，B 1B ∥CP ，B 1B ＝CP ， 所以四边形B 1BPC 为平行四边形， 故B 1C ∥BP ， 所以A 1D ∥BP ，又A 1D ⊂平面DA 1C 1，BP ⊄平面DA 1C 1， 则BP ∥平面DA 1C 1．故当点P 在C 1C 的延长线上，且使CP ＝C 1C 时，BP ∥平面DA 1C 1．21．（12分）我们给予圆锥曲线新定义：动点到定点的距离，与它到定直线（不通过定点）的距离之比为常数e （离心率）．我们称此定点是焦点，定直线是准线．已知双曲线E ：3x 2﹣y 2﹣24x +36＝0． （1）求双曲线E 的准线；（2）设双曲线E 的右焦点为F ，右准线为l ．椭圆C 以F 和l 为其对应的焦点及准线过点F 作一条平行于y ＝x 的直线交椭圆C 于点A 和B ．已知C 的中心P 在以AB 为直径的圆内，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．解：（1）由3x 2﹣y 2﹣24x +36＝0，得(x−4)24−y 212=1．所以双曲线(x−4)24−y212=1的中心（4，0），右焦点F（8，0），a＝2，c＝4，所以准线为x=4+a2c=5或x=4−a2c=3．（2）设M（x，y）是椭圆C上任意一点，2a上椭圆的长轴长，2c椭圆的焦距，设A（x A，y A），B（x B，y B），则√(x−8)2+y2|x−5|=e．①又直线AB的方程为y＝x﹣8．②由①②联立得（2﹣e2）x2﹣（32﹣10e2）x+128﹣25e2＝0，由题意知x A、x B是这个方程的两个根，所以x A+x B=32−10e22−e2=16+6e22−e2，x A⋅x B=128−25e22−e2所以y A+y B=x A−8+x B−8=6e22−e2，所以圆心坐标为(8+3e22−e2，3e22−e2)．从而有|AB|=√2|x A−x B|=√2⋅√(x A+x B)2−4x A x B=√2⋅√(32−10e22−e2)2−4⋅128−25e22−e2=12e2−e2．又在椭圆C中，根据椭圆的定义，当M为椭圆左顶点时，设N（5，0），|MF| |MN|=a−c3−(a−c)=e，得a−c=3ee+1．又ca=e，所以c=3e21−e2，故椭圆的中心坐标为P(8+3e21−e2，0)，又点P在以AB为直径的圆内，所以(3e21−e2−3e22−e2)2+(3e22−e2)2＜(6e2−e2)2，整理得e6﹣6e4+10e2﹣4＜0，即（e2﹣2）（e4﹣4e2+2）＜0．因为椭圆的离心率e2﹣2＜0，所以（e2﹣2）2﹣2＞0，即e2＜2−√2，故0＜e＜√2−√2，故离心率e的取值范围为（0，√2−√2）．22．（12分）已知函数f（x）＝e x−a3x3−x22−2ax．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在[0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（3）若f（x）的最小值为1，求a．解：（1）a＝0时，f（x）＝e x−x22，则f（1）＝e−12，f′（x）＝e x﹣x，所以f'（1）＝e﹣1，所以y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣（e−12）＝（e﹣1）（x﹣1），即2（e﹣1）x﹣2y+1＝0．（2）因为f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f′（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣2a≥0在区间[0，+∞）上恒成立，所以a≤（e x−xx2+2）min，令g（x）=e x−xx2+2，则g′（x）=(e x−1)(x2+2)−(e x−x)⋅2x(x2+2)2，令h（x）＝（e x﹣1）（x2+2）﹣（e x﹣x）•2x，则h′（x）＝x2e x+2x，当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）单调递增，h（x）≥h（0）＝0，所以g′（x）≥0，所以g（x）单调递增，所以g（x）min＝g（0）=12，所以a≤12，所以a的取值范围为（﹣∞，12 ]．（3）f（x）＝e x−a3x3−x22−2ax，f（0）＝1，所以f′（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣2a，f′（0）＝1﹣2a，所以f″（x）＝e x﹣2ax﹣1，f″′（x）＝e x﹣2a，当a=12时，f（x）＝e x−16x3−x22−x，则f′（x）＝e x−x22−x﹣1，令g（x）＝e x−x22−x﹣1，则g′（x）＝e x﹣x﹣1，g″（x）＝e x﹣1，当x＜0时，g″（x）＜0，g′（x）单调递减，当x≥0时，g″（x）≥0，g′（x）单调递增，g′（x）≥g′（0）＝0，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，且g（0）＝0，所以，当x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞0时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（0）＝1，所以a=12适合，当a＞12时，当0＜x＜ln2a时，f″′（x）＜0，f″（x）在（0，ln2a）上单调递减，f″（x）＜f″（0）＝0，f′（x）＜f′（0）＝1﹣2a＜0，所以f（x）在（0，ln2a）上单调递减，此时f（x）＜f（0）＝1，舍去，当a≤0时，当x＜0时，f″（x）＝e x﹣2ax﹣1＜0，f′（x）在（﹣∞，0）上单调递减，f′（x）＞f′（0）＝1﹣2a＞0，f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）＜f（0）＝1，舍去，当0＜a＜12时，当ln2a＜x＜0时，f″′（x）＞0，f″（x）在（ln2a，0）上单调递增，f″（x）＜f″（0）＝0，f′（x）在（ln2a，0）上单调递减，f′（x）＞f′（0）＝1﹣2a＞0，f（x）在（ln2a，0）上单调递增，所以f（x）＜f（0）＝1，舍去，综上所述，a=1 2．。
河南省洛阳市2016届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣22．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．24．已知α∈（﹣，0），且sin2α=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．37．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C． D．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]11．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3）12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[12，+∞）C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是．15．下列四个命题：①函数f（x）=cosxsinx的最大值为1；②命题“∀x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“∃x∈R，x﹣2＞lgx”；③若△ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；④“a≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为．16．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }满足：a 1=，a 2=2且3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2． （1）令b n =a n ﹣a n ﹣1，求证：{b n }是等差数列，并求{a n }的通项公式； （2）为使+++…+＞成立的最小的正整数n ．18．在用“五点法”画函数f （x ）=Asinx （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g （x ）的图象，求g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．19．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 2图象上一点P （2，f （2））处的切线方程为y=﹣3x +2ln2+2．（1）求a ，b 的值；（2）若方程f （x ）+m=0在内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底）．20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成公差为1的等差数列，C=2A ． （1）求a ，b ，c 的值；（2）求方向上的投影．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0）．（1）求函数f （x ）的最小值g （a ），并证明g （a ）≤0；（2）求证：∀n ∈N*，都有1n +1+2n +1+3n +1+…+n n +1＜成立．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣2【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求出公差d即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，a6=0，∴a6﹣a2=4d=﹣2，解得d=﹣，∴数列{a n}的公差为﹣．故选：C．2．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵＜1，∴﹣1＜0，∴＞0，∴x（x﹣2）＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴∁R M=[0，2]，∵y=x2﹣1≥﹣1，∴N=[﹣1，+∞），∴∁R M∩N=[0，2]，故选：D．3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．4．已知α∈（﹣，0），且sin2α=﹣，则sinα+cosα=（）A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由题意易得2sinαcosα=﹣，由a∈（﹣，0），可得sinα+cosα=，代入即可求值得解．【解答】解：∵sin2α=﹣，∴2sinαcosα=﹣，∵a∈（﹣，0），∴cosα+sinα＞0，∴sinα+cosα===．故选：B．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】数列与函数的综合．【分析】首先根据题意求出函数的导数为f′（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案．【解答】解：由题意可得：函数y=ln（x+2）﹣x，所以f′（x）=．因为当x=b时函数取到极大值c，所以有且ln（b+2）﹣b=c，解得：b=﹣1，c=1．即bc=﹣1．因为实数a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc=﹣1．故选A．6．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．3【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的求和公式，可得=8，=2，两式相除，即可得出结论．【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，∴=8，=2，∴，∴a5=±2．故选：A．7．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）【考点】对数值大小的比较．【分析】先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．【解答】解：①当3﹣log2x＜log2x时，即x＞4时f（x）=3﹣log2x，②当3﹣log2x＞log2x时，即x＜4时f（x）=log2x，∴f（x）＜1；当x＞4时，f（x）=3﹣log2x＜1，此时：x＞16；当x＜4时f（x）=log2x＜1，此时：0＜x＜2；综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+∞）．故选：D．8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…M13的坐标，从而可求||的值．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…M13（6π+，0），∴=（6π，0），∴||=6π．故选A．9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C． D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），当n=1时，a1=2．当n≥2时，a n=S n1，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．﹣S n﹣1【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），∴当n=1时，a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，∴a n=，∴=．则n≥2时，a12+a22+…+=4+4×=．故选：B．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，令y=2求出临界值，结合图象，即可得到a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=的图象如下图所示：∵函数f（x）的值域是[0，2]，∴1∈[0，a]，即a≥1，又由当y=2时，x3﹣3x=0，x=（0，﹣舍去），∴a∴a的取值范围是[1，]．故选：B．11．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，求导g′（x）=，从而可判断函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，从而得到答案．【解答】解：令g（x）=，故g′（x）=，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，∴f′（x）＜0，∵＞x，∴xf′（x）﹣f（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上是增函数，故＞＞，＞＞，故2f（3）＞3f（2），f（2）＞2f（1），f（e3）＞ef（e2），ef（e）＜f（e2）；故选C．12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[12，+∞）C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）【考点】抽象函数及其应用；分段函数的应用．【分析】求出x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，则对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，从而对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．求出右边的范围，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：设x∈[﹣2，0），则x+2∈[0，2），∵x∈[0，2）时，f（x）=的最小值为﹣，∴x∈[﹣2，0），f（x）的最小值为﹣，∴对任意的t∈[1，2）都有﹣≥成立，∴对任意的t∈[1，2）都有2a≥t3+4t2．令y=t3+4t2，则y′=3t2+8t＞0，∴y=t3+4t2在[1，2）上单调递增，∴5≤y＜24，∴2a≥24，∴a≥12，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．【考点】定积分．【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．【解答】解：由，解得x=0，1．∴曲线所围成图形的面积===．故答案是．14．已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f （x ）=在R 上有极值，则向量，的夹角的取值范围是 （，π） ．【考点】利用导数研究函数的极值；平面向量数量积的运算．【分析】由已知条件得f′（x ）=x 2+||x +•=0成立，△=||2﹣4•＞0，由此能求出与的夹角的取值范围．【解答】解：∵关于x 的函数f （x ）=x 3+||x 2+•x 在R 上有极值， ∴f′（x ）=x 2+||x +•=0成立，方程有根， △=||2﹣4•＞0， ∴||2﹣4||•||cosθ＞0，由||=2||≠0，得cosθ，∴＜θ＜π故答案为：（，π）．15．下列四个命题：①函数f （x ）=cosxsinx 的最大值为1；②命题“∀x ∈R ，x ﹣2≤lgx”的否定是“∃x ∈R ，x ﹣2＞lgx”； ③若△ABC 为锐角三角形，则有sinA +sinB +sinC ＞cosA +cosB +cosC ；④“a ≤0”是“函数f （x ）=|x 2﹣ax |在区间（0，+oo ）内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为 ②③④ ． 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①函数f （x ）=cosxsinx=sin2x 的最大值为，不正确； ②命题“∀x ∈R ，x ﹣2≤lgx”的否定是“∃x ∈R ，x ﹣2＞lgx”，正确；③∵△ABC 为锐角三角形，∴A +B ＞，∴A ＞﹣B ，∵y=sinx 在（0，）上是增函数，∴sinA ＞sin （﹣B ）=cosB 同理可得sinB ＞cosC ，sinC ＞cosA ，∴sinA +sinB +sinC ＞cosA +cosB +cosCsinA ，正确；④a ≤0，函数f （x ）=|x 2﹣ax |的零点是a ，0，结合二次函数的对称轴，可得函数f （x ）=|x 2﹣ax |在区间（0，+∞）内单调递增；若函数f （x ）=|x 2﹣ax |在区间（0，+∞）内单调递增，结合二次函数的对称轴，可得≤0，∴a ≤0，∴“a ≤0”是“函数f （x ）=|x 2﹣ax |在区间（0，+∞）内单调递增”的充分必要条件，正确．故答案为：②③④．16．已知e 为自然对数的底数，函数f （x ）=e x ﹣e ﹣x +ln （+x ）+1，f′（x ）为其导函数，则f （e ）+f′（e ）+f （﹣e ）﹣f′（﹣e ）= 2 ． 【考点】导数的运算．【分析】由已知函数解析式，令函数g （x ）=f （x ）﹣1，可知函数g （x ）为奇函数，求导后判断g′（x ）=f′（x ）为偶函数，然后借助于函数奇偶性的性质可得f （e ）+f （﹣e ）=2，f′（e ）﹣f′（﹣e ）=0，由此求得f （e ）+f′（e ）+f （﹣e ）﹣f′（﹣e ）=2．【解答】解：f （x ）=e x ﹣e ﹣x +ln （+x ）+1，令g （x ）=f （x ）﹣1=e x ﹣e ﹣x +ln （+x ），则g （﹣x ）=f （﹣x ）﹣1=，g （x ）+g （﹣x ）=0，故g （x ）为奇函数，g′（x ）=f′（x ）==，由g′（x ）﹣g′（﹣x ）=﹣，可知g′（x ）=f′（x ）为偶函数，g （e ）+g （﹣e ）=f （e ）﹣1+f （﹣e ）﹣1=0，∴f （e ）+f （﹣e ）=2． 又f′（e ）=f′（﹣e ）， ∴f′（e ）﹣f′（﹣e ）=0，∴f （e ）+f′（e ）+f （﹣e ）﹣f′（﹣e ）=2． 故答案为：2．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n }满足：a 1=，a 2=2且3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2． （1）令b n =a n ﹣a n ﹣1，求证：{b n }是等差数列，并求{a n }的通项公式； （2）为使+++…+＞成立的最小的正整数n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2，变形为：a n +1﹣a n =a n ﹣a n ﹣1+．可得b n +1﹣b n =，利用等差数列的定义即可证明．（2）由（1）可得：a n ﹣a n ﹣1=．利用“累加求和”可得：a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=，可得=3．利用“裂项求和”可得：+++…+=3=＞，解出即可．【解答】（1）证明：∵3（a n +1﹣2a n +a n ﹣1）=2，变形为：a n +1﹣a n =a n ﹣a n ﹣1+． ∵b n =a n ﹣a n ﹣1，∴b n +1﹣b n =，由a 2﹣a 1=a 1﹣a 0+，∴=b 1+，解得b 1=．∴{b n }是等差数列，首项为，公差为．∴b n ==．（2）解：由（1）可得：a n ﹣a n ﹣1=．∴a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=+×2++…+=，∴=3．∴+++…+=3+…+=3=＞成立， 则n ＞5． 因此为使+++…+＞成立的最小的正整数n=6．18．在用“五点法”画函数f （x ）=Asinx （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g （x ）的图象，求g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换；正弦函数的图象．【分析】（1）根据用五点法作函数f （x ）=Asinx （ωx +φ）的图象，求得表中①②③④处数据，并直接写出函数f （x ）的解析式．（2）由条件利用 y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）=2sin （x +），再根据整弦函数的单调性求得g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．【解答】解：（1）由表格可得A=2，再根据ω•2π+φ=，ω•5π+φ=，求得ω=，φ=﹣，令x ﹣=0，求得x=故①为．令x ﹣=π，求得x=，Asin0=0，故②为，④为0．令x ﹣=2π，求得x=，故③为．函数f （x ）的解析式为f （x ）=2sin （x ﹣），（2）将y=f （x ）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到y=2sin （x ﹣），再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g （x ）=2sin [（x +π）﹣]=2sin （x +）的图象．由2kπ﹣≤x +≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x ≤4kπ+，k ∈Z ，故g （x ）在z ∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间为[﹣，]．19．已知函数f （x ）=alnx ﹣bx 2图象上一点P （2，f （2））处的切线方程为y=﹣3x +2ln2+2．（1）求a ，b 的值；（2）若方程f （x ）+m=0在内有两个不等实根，求m 的取值范围（其中e 为自然对数的底）．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的几何意义．【分析】（1）对函数f （x ）进行求导，根据f'（2）=﹣3得到关于a 、b 的关系式，再将x=2代入切线方程得到f （2）的值从而求出答案．（2）由（1）确定函数f （x ）的解析式，进而表示出函数h （x ）后对其求导，根据单调性与其极值点确定关系式得到答案．【解答】解（1），，f （2）=aln2﹣4b ．∴，且aln2﹣4b=﹣6+2ln2+2．解得a=2，b=1．（2）f （x ）=2lnx ﹣x 2，令h （x ）=f （x ）+m=2lnx ﹣x 2+m ，则，令h'（x ）=0，得x=1（x=﹣1舍去）．在内，当x∈时，h'（x）＞0，∴h（x）是增函数；当x∈（1，e]时，h'（x）＜0，∴h（x）是减函数．则方程h（x）=0在内有两个不等实根的充要条件是即1＜m≤．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．（1）求a，b，c的值；（2）求方向上的投影．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】（1）由a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）•，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b．即可得出．（2）由（1）可知：cosA=，可得cosC=cos2A=2cos2A﹣1．由于与的夹角为（π﹣C），可得方向上的投影=cos（π﹣C）．【解答】解：（1）∵a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．∴可分别设为b﹣1，b，b+1，由正弦定理可得：=，化为．又由余弦定理可得：（b﹣1）2=（b+1）2+b2﹣2b（b+1）•，化为b2﹣5b=0，b＞1，解得b=5．∴a，b，c的值分别为4，5，6．（2）由（1）可知：cosA=，∴cosC=cos2A=2cos2A﹣1=．∵与的夹角为（π﹣C），∴方向上的投影=cos （π﹣C ）=5×（﹣cosC=）=﹣．21．设函数f （x ）=e x ﹣ax ﹣1（a ＞0）．（1）求函数f （x ）的最小值g （a ），并证明g （a ）≤0；（2）求证：∀n ∈N*，都有1n +1+2n +1+3n +1+…+n n +1＜成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数f （x ）的单调区间，从而求出f （x ）的最小值g （a ）=a ﹣lna ﹣1，再求出g （a ）的单调区间，从而得到g （a ）≤0；（2）根据题意得到e x ＞x +1，从而可得（x +1）n +1＜（e x ）n +1=e （n +1）x ，给x 赋值，从而得到答案．【解答】解：（1）由a ＞0，及f′（x ）=e x ﹣a 可得： 函数f （x ）在（﹣∞，lna ）递减，在（lna ，+∞）递增， ∴函数f （x ）的最小值g （a ）=f （lna ）=a ﹣alna ﹣1， 则g′（a ）=﹣lna ，故a ∈（0，1）时，g′（a ）＞0，a ∈（1，+∞）时，g′（a ）＜0，从而g （a ）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，且g （1）=0，故g （a ）≤0；（2）证明：由（Ⅱ）可知，当a=1时，总有f （x ）=e x ﹣x ﹣1≥0，当且仅当x=0时“=”成立，即x ＞0时，总有e x ＞x +1，于是可得（x +1）n +1＜（e x ）n +1=e （n +1）x ，令x +1=，即x=﹣，可得（）n +1＜e ﹣n ，令x +1=，即x=﹣，可得：（）n +1＜e 1﹣n ，令x +1=，即x=﹣，可得：（）n +1＜e 2﹣n ，…，令x +1=，即x=﹣，可得：（）n +1＜e ﹣1，对以上各等式求和可得：（）n +1+（）n +1+（）n +1+…+（）n +1＜e ﹣n +e 1﹣n +e 2﹣n +…+e ﹣1=＜＜，∴对任意的正整数n，都有（）n+1+（）n+1+（）n+1+…+（）n+1＜，∴1n+1+2n+1+3n+1+…+n n+1＜成立．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】对第（Ⅰ）问，根据“”直接写出l的参数方程，利用极坐标与直角坐标的转换关系式，可将曲线C的方程化为直角坐标方程；对第（Ⅱ）问，联立l的参数方程与曲线C的普通方程，消去x与y，得到关于t的一元二次方程，写出|PM|+|PN|关于t及α的表达式，利用韦达定理及α的范围，可探求|PM|+|PN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l过定点P（4，2），且倾斜角为α，∴l的参数方程为（t为参数）．由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，将代入上式中，整理得曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x=0．（Ⅱ）将l的参数方程代入x2+y2=4x中，得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由题意有△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，得sinα•cosα＞0，∵0≤α＜π，∴sinα＞0，且cosα＞0，从而0＜α＜．设点M，N对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理，得t1+t2=﹣4（sinα+cosα）＜0，t1•t2=4＞0，∴t1＜0，且t2＜0，∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=﹣t1﹣t2=4（sinα+cosα）=．由0＜α＜，得，∴≤1，故|PM|+|PN|的取值范围是．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由m＞0，由f（x）的解析式利用绝对值三角不等式证得结论．（Ⅱ）分当＜2时和当≥2时两种情况，分别根据f（2）＞5，求得m的范围，再把所得m的范围取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）由m＞0，有f（x）=|x﹣|+|x+m|≥|﹣（x﹣）+x+m|=+m≥4，当且仅当=m，即m=2时取“=”，所以f（x）≥4成立．（Ⅱ）f（2）=|2﹣|+|2+m|．当＜2，即m＞2时，f（2）=m﹣+4，由f（2）＞5，求得m＞．当≥2，即0＜m≤2时，f（2）=+m，由f（2）＞5，求得0＜m＜1．综上，m的取值范围是（0，1）∪（，+∞）．2017年1月15日。
河南省焦作市博爱县第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案)
焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试数 学考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数过定点M ，点M 在直线上且，则的最小值为（ ）A. B. C. D.2.设，，，则，，的大小关系为（ ）A. B. C. D.3.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为.已知点，若P ，Q 的余弦距离为（ ）A. B.C. D.4.若复数且，则满足的个数为（ ）A.0B.2C.1D.45.已知在中，.若与的内角平分线交于点，的外接圆半径为，则面积的最大值为（ ）A. B.6.已知点为椭圆上第一象限的一点，左、右焦点为的平分线与轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则面积为（ ）B.C.D.3()1x f x a -=1mx ny +=,0m n >12m n+3+4+34128a =3log 2b =2log 3c =a b c a b c<<b a c<<b c a<<c a b<<()()1122,,,,A x y B x y O cos(,)A B =cos ,OA OB 〈〉1cos(,)A B -(sin ,cos ),(1,0)P Q ααcos 2=α15-1535-35()i ,z x y x y =+∈R 5i z -+=21x y --=z ABC V cos cos sin a B b A c C +=BAC ∠ABC ∠I ABC V 1ABI △1+11-1P 22:143x y C +=1212,,F F F PF ∠x M 1F PM ,H O 12OH =12F PF 327.假设甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋,再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球,则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）A.37150B.975C.1837D.128.已知数列满足，且，若函数，记，则数列的前9项和为（ ）A.0B. C.D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.记实数，，，中的最大数为，最小数为.已知函数，，其中，，分别为内角，，的对边，且，则下列说法正确的是（ ）A.当时，的最小值为B.若的图象关于直线对称，则C.“”是“为等边三角形”的充要条件D.“”是“为等边三角形”的必要不充分条件10.已知函数，下列结论正确的是（ ）A.的最小正周期为B.若直线是图象的对称轴，则C.在上的值域为D.若，且，则11.如图，正方体的棱长为4，点E 、F 、G 分别在棱、、上，满足，，记平面与平面的交线为，则（ ）{}n b *211,n n n n b b b b n +++-=-∈N 5π2b =()2cos sin cos 2xg x x x =+()n n a gb ={}n a 92-12921x 2x L n x {}12max ,,,n x x x {}12min ,,,n x x x (){}min ,f x x x t =+max ,,min ,,a b c a b c k b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎩⎭⎩⎭a b c ABC V A B C a b c ≤≤1t =-()f x 12()f x 12x =-1t =1k =ABC V 1k =ABC V ()sin 2cos f x x x =+()f x 2π0x x =()f x 0sin x =()f x []0,π⎡-⎣(],,0,2παβαβ≠∈()()2f f αβ==-()3cos 5αβ+=1111ABCD A B C D -11D A 11D C 1A A 11111114D E D F D A D C ==11(0)A GA Aλλ=>EFG 11A B CD lA.存在使得平面截正方体所得截面图形为四边形B.当时，三棱锥体积为C.当时，三棱锥的外接球表面积为D.当时，直线与平面所成的角的正弦值为三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.从，，，2，3，4，6，9中任取两个不同的数，分别记为，，记“”，则 .13.已知函数，在区间上的单调函数，其中是直线l 的倾斜角，则的所有可能取值区间为 .14.已知函数，若不等式仅有1个整数解，则实数的取值范围为 .四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数 f (x )=a ⋅3x +13x−1是定义域为 R 的偶函数.（1）求 a 的值；（2）若 g (x )=9x +9−x +mf (x )+m 2−1，求函数g (x ) 的最小值.16.（15分）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.(0,1)λ∈EFG 34λ=B EFG -3234λ=1A EFG -34π12λ=l ABCD 141312m n A =log 0m n <()P A =()21tan 32f x x x θ=++2πθ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦θθ43()()ln f x a x x x x =--()0f x <a 1000(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.17.（15分）记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.(1)求A 取值的范围；(2)若，求周长的最大值；(3)若，求的面积.a 1000(]14,16(]16,18553(]14,16X X 8()8P k 8k (]8,10()8P k k ABC V ()()sin sin sin sin C A B B C A -=-2a =ABC V 2,2b A B ==ABC V18.（17分）如图，正方形的边长为2，，分别为，的中点.在五棱锥中，为棱上一点，平面与棱，分别交于点，.(1)求证：；(2)若底面，且，直线与平面所成角为.（i ）确定点的位置，并说明理由；（ii ）求线段的长.19.（17分）已知数列的前n 项和.若，且数列满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)求证：数列的前n 项和；(3)若对一切恒成立，求实数的取值范围.焦作市博爱一中2024—2025学年高三（上）期中考试数学 参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个AMDE B C AM MD P ABCDE -F PE ABF PD PC G H AB FG ∥PA ⊥ABCDE PA AE =BC ABF π6F PH {}n a ()()113n n S a n *=-∈N 1423log n n b a +={}n c n n n c a b =⋅{}n b {}n c 23n T <()2114n c t t ≤+-n *∈N t选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】C6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】BD 10.【答案】ACD 11.【答案】BD三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】，14.【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）（1）由偶函数定义知 f (−x )=f (x ) ，即 a ⋅3−x +13−x−1=a ⋅3−x +3⋅3x=a ⋅3x +3⋅3−x ，所以 (a−3)(3x −3−x )=0，对 ∀x ∈R 成立，所以a =3.（2）由题意知 g (x )=9x +9−x +mf (x )+m 2−1=32x +3−2x +m (3⋅3x+13x−1)+m 2−1，令 u =3x +3−x ,u⩾2，所以 u 2=(3x +3−x )2=32x +3−2x +2，所以 32x +3−2x =u 2−2，所以 y =g (x )=u 2−2+3mu +m 2−1=u 2+3mu +m 2−3,u⩾2.当 −3m 2⩽2 ，即 m⩾−43时，y =u 2+3mu +m 2−3 在 [2,+∞) 上单调递增，所以 y min =22+3m ×2+m 2−3=m 2+6m +1 ，即 g (x )min =m 2+6m +1；15283ππ,π[46⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭π2ln 3ln 2[,184当 −3m 2>2 ，即 m <−43时，y =u 2+3mu +m 2−3 在 (2,−3m 2) 上单调递减，在(−3m 2,+∞) 上单调递增，所以 g (x )min =−54m 2−3 .综上， g (x )min ={−54m 2−3,m <−43,m 2+6m +1,m⩾−43.16.（15分）（1）由已知，解得，所以平均数为.（2）这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生分别有人，和人；所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，所以随机变量的可能取值有，，所以，，则分布列为期望；（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，则，若为最大值，则，即，即，解得，又，且，则.17.（15分）【答案】(1)；(2)6；(3).()20.020.030.050.050.150.050.040.011a ++++++++=0.1a =10.0430.0650.170.190.3⨯+⨯+⨯+⨯+⨯110.2130.1150.081706290.1.+++⨯=⨯+⨯⨯1000(]14,16(]16,1810000.0880⨯=10000.0220⨯=5(]14,1680548020⨯=+(]16,18541-=X 23()2435C 32C 5P X ===()3435C 23C 5P X ===()321223555E X =⨯+⨯=(]8,1030.1520.310⨯==()888883337C 1C 10101010kkkkk k P k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=⋅⋅ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()8P k ()()()()888811P k P k P k P k ⎧≥+⎪⎨≥-⎪⎩8171888191883737C C 101010103737C C 10101010k k k kk k k k k kk k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩1713810110131710910k k k k ⎧⋅≥⋅⎪⎪-+⎨⎪⋅≥⋅⎪-⎩ 1.7 2.7k ≤≤N k ∈08k ≤≤2k =π(0,]3A ∈218.（1）在正方形中，，又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，则；（2）（i ）当为中点时，有直线与平面所成角为，证明如下：由平面，可得建立空间直角坐标系，如图所示：则，又为中点，则，设平面的一个法向量为n =(x,y,z )，则有，即，令，则，则平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则，故当为中点时，直线与平面所成角的大小为.（ii ）设点的坐标为，因为点在棱上，所以可设，即，所以，因为是平面的法向量，所以，即，解得，故，则，所以.19.（17分）（1）证明：由题意知，当时，，所以.当时，，所以，AMDE //AB DE AB ⊄,PDE DE ⊂PDE //AB PDE AB ⊂ABFG ABFG ⋂PDE FG =AB FG ∥F PE BC ABF π6PA ⊥ABCDE ,,PA AB PA AE ⊥⊥A xyz -()()()()0,0,0,1,0,0,2,1,0,0,0,2A B C P F PE ()()()()0,1,1,1,1,0,1,0,0,0,1,1F BC AB AF ===ABF 00n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 00x y z =⎧⎨+=⎩1z =1y =-ABF ()0,1,1n =-BC ABF α||1sin |cos ,|2||||n BC n BC n BC α⋅=<>==F PE BC ABF π6H (),,u v w H PC ()01PH PC λλ=<<()(),,22,1,2u v w λ-=-2,,22u v w λλλ===-()0,1,1n =-ABFGH 0n AH ⋅=()()0,1,12,,220λλλ-⋅-=23λ=422,,333H ⎛⎫⎪⎝⎭424,,333PH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2PH ==1133n n S a =-2n ≥111133n n n n n a S S a a --=-=-114n n a a -=1n =1111133S a a =-=114a =所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.因为，所以，所以，令，可得，所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列.（2）证明：由（1）知，所以，所以，两式相减，可得，所以，所以.（3）若对一切恒成立，只需要的最大值小于或等于.因为，所以，所以数列的最大项为和，且.所以，即，解得或，即实数的取值范围是.{}n a 1414()14nn a n *⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N 1423log n n b a +=114413log 23log 2324nn n b a n ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭11b =()11n b b n d =+-3d ={}n b ()1324nn n n c a b n ⎛⎫=⋅=⨯- ⎪⎝⎭()()211211111435324444n nn n T c c c n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()2311111114353244444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()231311111133332444444nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()21111114411113233214424414n n n n n n -++⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯-⨯-=-- ⎪⎝⎭-2321334nn n T +⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭23n T <()2114n c t t ≤+-n *∈N n c ()2114t t +-()()111119931320444n nn n n nc c n n +++-⎛⎫⎛⎫-=+⨯--⨯=≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1234c c c c =>>> {}n c 1c 2c 1214c c ==()211144t t ≤+-220t t +-≥1t ≥2t ≤-t (][),21,-∞-+∞。
河南省焦作市2015届高三上学期期中考试数学文试题 Word版含答案
河南省焦作市2015届高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0≤x≤2}，B={y|1＜y＜3}，则A∩B=（）A．[1，2）B．[0，3）C．（1，2]D．[0，3]2．设i是虚数单位，（1+i）=3﹣i，则复数z=（）A．1﹣2i B．1+2i C．2﹣i D．2+i3．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的s值是（）A．30 B．31 C．62 D．634．下列函数中是偶函数，且在（0，2）内单调递增的是（）A．y=x2﹣2x B．y=cosx+1 C．y=lg|x|+2 D．y=2x5．已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的实轴长2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．设l，m，n表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题：①若m∥l，m⊥α，则l⊥α；②若m∥l，m∥α，则l∥α；③若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，则l∥m∥n；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，n∥β，则l∥m．7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称8．某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．B．C．8D．49．在△ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交BC于点D，=+λ（γ∈R），则||=（）A．1 B．C．3D．210．已知正项等比数列{a n}满足a3•a2n﹣3=4n（n＞1），则log2a1+log2a3+log2a5+…+log2a2n﹣1=（）A．n2B．（n+1）2C．n（2n﹣1）D．（n﹣1）2 11．已知点P在抛物线y2=4x上，点M在圆（x﹣3）2+（y﹣1）2=1上，点N坐标为（1，0），则|PM|+|PN|的最小值为（）A．5 B．4C．3D．+1 12．已知函数f（x）满足f（x）=2f（），当x∈[1，+∞）时，f（x）=lnx，若在区间（0，e2）内，函数g（x）=f（x）﹣ax与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（0，）D．（0，）二、填空题：每小题5分，共20分．13．学校为了解学生数学课程的学习情况，在1000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）．根据频率分布直方图可估记名学生在该次数学考试中成绩不低于60分的学生数是_________．14．已知点O为坐标原点，点M（2，﹣1），点N（x，y）满足不等式组，则•的最大值为_________．15．已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n+1，若数列{b n}满足b n=，则其前n项和T n=_________．16．定义在R上的函数f（x）满足：f（1）=1，且对于任意的x∈R，都有f′（x）＜，则不等式f（lgx）＞的解集为_________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC，bcosB，cosA成等差数列．（1）求角B的大小；（2）若b=2，求△ABC周长的最大值．18．（12分）2014年9月，河南省第十二届运动会在焦作举行，我市男子篮球队获得冠军，赛前集训期间，甲、乙两球员进行定点投篮训练，每人每组投篮100次，各5组，如图所示茎叶图表示甲、乙两位球员的投篮命中次数，其中一个数字模糊，无法确认，在图中以X 表示．（1）若X=8，如果你是教练，你会首先选择甲、乙中的哪位球员上场？并说明理由；（2）若乙的平均投篮命中次数高于甲的平均投篮命中次数，从甲、乙两人投篮中次数不低于90次的5组中任选2组，求所选2组投篮命中次数差的绝对值不超过2次的概率．19．（12分）如图，四边形BCDE为矩形，平面ABC⊥平面BCDE，AC⊥BC，AC=CD=BC=2，点F是线段AD的中点．（1）求证：AB∥平面CEF；（2）求几何体ABCDE被平面CEF分成的上下两部分的体积之比．20．（12分）已知椭圆的短轴为2，左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，且满足△PF1F2的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l与椭圆交于A、B两点，△ABO面积为，判断|OA|2+|OB|2是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．21．（12分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，求实数m的取值范围．一、选修22．（10分）已知AB为半圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作半圆的切线CD，过点A作AD⊥CD于D，交半圆于点E，DE=1．（Ⅰ）求证：AC平分∠BAD；（Ⅱ）求BC的长．一、选修23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．一、选修24．若a＞0，b＞0，+=2．（1）求a3+b3的最小值；（2）是否存在a，b，使得2a+3b=4？并说明理由．。
河南省焦作市高三数学上学期期中试题 文(扫描版)
河南省焦作市2017届高三数学上学期期中试题文（扫描版）焦作市2016-2017学年（上）高三年级期中水平测试文科数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B C C D C A B A A D B13. 5 14. 192 15. ① 16. 1(,0)3-三、解答题17.(12分)解：(Ⅰ)由0cos cos )2(=--B c C b a 及正弦定理得0cos sin cos )sin sin 2(=--B C C B A ，……………………………………………2分 整理得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2+=A C B sin )sin(=+=， …………4分 ,0sin π,0≠∴<<A A Θ21cos =∴C ， ……………………………………………5分又.3ππ,0=∴<<C C Θ ……………………………………………………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知21cos =C ，又,7,13==+c b a由余弦定理得ab ab b a C ab b a c 31693)(cos 22222-=-+=-+=，……………8分 ab 316949-=∴，即40=ab ，………………………………………………………10分 所以1sin 2ABC S ab C ∆=…………………………………………………………………11分1π40sin 10323=⨯⨯=． ………………………………………………12分18.(12分)解：(Ⅰ)设初赛成绩的中位数为x ，则：()()0.0010.0040.009200.02700.5x ++⨯+⨯-= ………………………………4分 解得81x =，所以初赛成绩的中位数为81. …………………………………………6分 (Ⅱ)该校学生的初赛分数在[)110,130有4人，分别记为,,,A B C D ，分数在[)130,150有2人，分别记为,a b ， …………………………………………7分 则在6人中随机选取2人，总的基本事件有:()()()()(),,,,,,,,,A B A C A D A a A b ， ()()()(),,,,,,,B C B D B a B b ，()()()C,,,,,D C a C b ,()()(),,,,,D a D b a b共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个 …………………………11分 故所求概率为8.15P =………………………………………………………………12分19.(12分)解：(Ⅰ)证明：设线段的中点为，连接，. …………………………………………………1分在△中，为中位线，故，又平面，平面，所以平面. ……………………………………………3分在底面直角梯形中，，且,故四边形为平行四边形， 即.又平面，平面， 所以平面. …………………………………………5分 又因为平面，平面，且，所以平面平面. 又平面，所以有平面. ……………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，点到平面的距离与点到平面的距离相等. 设点到平面的距离为， …………………………………7分因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥DC ，又DC ⊥AD故DC ⊥面PAD.则DC ⊥PD在Rt △PAD 中，， 1222PCD S DC PD ∴==V g .……………………………………9分 ，又， ………………………………11分 所以.即点到平面的距离为2. …………………12分 20.(12分)解：(Ⅰ)由2a ＝4得a ＝2，故c ＝ae ＝3，b ＝1，…………………………………3分所以椭圆方程为：1422=+y x . ………………………………………………………4分 (Ⅱ)由题可知，k m =，设点()11,y x P ，()22,y x Q ，………………………………5分 由2214y kx k x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，()2222418440k x k x k +++-=， 由4226416(1)(41)0k k k ∆=--+>，解得R k ∈， 由韦达定理得，2122841k x x k +=-+，21224441k x x k -=+， ……………………………7分 由题意知，2OP OQ k k k =⋅，即22222221212121212121212()()y y k x x k x x k k x x k k k x x x x x x x x ++++===++， 所以22121212()0k x x k x x x x ++=， …………………………………………………………9分 解得12k =±， ……………………………………………………………………………10分 故直线l 的方程为：210x y -+=或210x y ++= …………………………………12分21.(12分)解：(Ⅰ)'()sin cos (sin cos )x x x f x e x e x e x x =+=+， ………………………………1分 令sin cos 2sin()4y x x x π=+=+，当3(2,2)44x k k ππππ∈-+，Z k ∈时0>y ，所以'()0f x >， 故()f x 在3(2,2)44x k k ππππ∈-+上单调递增，其中Z k ∈，…………………………3分 当37(2,2)44x k k ππππ∈++，Z k ∈时0<y ，所以'()0f x <， 故()f x 在37(2,2)44x k k ππππ∈++上单调递减，其中Z k ∈. ………………………5分 (Ⅱ)令()()sin x g x f x kx e x kx =-=-，即()0g x ≥恒成立， 而'()(sin cos )x g x e x x k =+-，令)cos (sin )(x x e x h x +=，则x e x h x cos 2)(='，∵[0,]2x π∈，'()0()h x h x ≥⇒在[0,]2π上单调递增， 所以21()h x e π≤≤，………………………………………………………………………7分当1k ≤时，'()0g x ≥，()g x 在[0,]2π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意；……………………………………………………………9分当2k e π≥时，'()0()g x g x ≤⇒在[0,]2π上单调递减， ()(0)0g x g ≤=，与题意不合；…………………………………………………………10分当21k e π<<时， '()g x 为一个单调递增的函数，而'(0)10g k =-<，2'()02g e k ππ=->， 由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得0'()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0g x ≤，从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，……………………………………………………11分 故当0[0,)x x ∈时，()(0)0g x g ≤=，与题意不合，综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞．……………………………………………………12分（22）解： 证明：（Ⅰ）如图， 设DE 与BC 交于点F ，则，,CFE CDF DCF ∠=∠+∠DEC EDA ∠=∠+∠又因DC 为圆O 的切线，所以DCF DAE ∠=∠，又因DE 为ADC ∠的平分线，所以CDF EDA ∠=∠，所以DEC CFE ∠=∠即，CEF CFE ∠=∠，所以CFE ∆为等腰三角形，又因CH 为ACB ∠的平分线，所以CH EF ⊥，即CH DE ⊥┈┈┈┈┈5分（Ⅱ）因DC 为圆O 的切线，所以2DC DB DA =g ，又因DE 为ADC ∠的平分线，2AE CE = 所以DC CEDA AE =，所以2DCDAAEDB DC CE ===即2DC DB =.┈┈┈┈┈10分（23）解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为()2214x y -+=化为极坐标方程为22cos 30ρρθ--=┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）由2sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，得cos 0ρθθ+=化为直角坐标方程为220x y x +++=，由()2222140x y x y x ⎧-+=⎪⎨+++=⎪⎩得0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,0x y =-⎧⎨=⎩所以曲线1C与2C的交点的直角坐标为(0,或()1,0-化为极坐标为2π⎛⎫⎪⎝⎭或()1,0-.┈┈┈┈┈10分（24）解：（Ⅰ）由()1f x <得31314x x -+-<可化为，111144,,771414121444x x x x x x ⎧⎧≥≤<<⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨-<⎪⎪⎪-<+<⎩⎪⎪⎩⎩或或 得33168x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，所以()1f x <的解集为33168x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭┈┈┈┈┈┈┈6分 （Ⅱ）因为32a b c ++= 所以3)(2222=++≥+++++c b a c c a b b c a a b 所以23222≥++c a b c a b ┈┈┈┈┈┈┈10分。
(精品)2016届河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣22．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ＝（）A．B．C．1 D．24．已知α∈（﹣，0），且sin2α＝﹣，则sinα+cosα＝（）A．﹣ B．C．﹣ D．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．37．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=的值域是[0，2]，则实数a 的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，]C．[1，2]D．[，2]11．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，若＞x，则下列不等关系成立的是（）A．f（2）＜2f（1）B．3f（2）＞2f（3）C．ef（e）＜f（e2）D．ef（e2）＞f（e3）12．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=4f（x）．x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣2，0）对任意的t∈[1，2）都有f（x）≥成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．[12，+∞）C．（﹣∞，6]D．[6，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．求曲线y=，y=x2所围成图形的面积．14．已知向量，满足||=2||≠0，且函数在f（x）=在R上有极值，则向量，的夹角的取值范围是．15．下列四个命题：①函数f（x）=cosxsinx的最大值为1；②命题“?x∈R，x﹣2≤lgx”的否定是“?x∈R，x﹣2＞lgx”；③若△ABC为锐角三角形，则有sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC；④“ａ≤0”是“函数f（x）=|x2﹣ax|在区间（0，+oo）内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为．16．已知e为自然对数的底数，函数f（x）=e x﹣e﹣x+ln（+x）+1，f′（x）为其导函数，则f（e）+f′（e）+f（﹣e）﹣f′（﹣e）=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}满足：a1=，a2=2且3（a n+1﹣2a n+a n﹣1）=2．（1）令b n=a n﹣a n﹣1，求证：{b n}是等差数列，并求{a n}的通项公式；（2）为使+++…+＞成立的最小的正整数n．18．在用“五点法”画函数f（x）=Asinx（ωｘ+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一周期内的图象时，列表并填人了部分数据，如表：ωｘ+φ0π2πx①2π②5π③Asin（ωｘ+φ）02④﹣20（1）请将上表中①②③④处数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得图象向左平移π个单位，得到y=g（x）的图象，求g（x）在z∈[﹣2π，2π]时的单调递增区间．19．已知函数f（x）=alnx﹣bx2图象上一点P（2，f（2））处的切线方程为y=﹣3x+2ln2+2．（1）求a，b的值；（2）若方程f（x）+m=0在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中e为自然对数的底）．20．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成公差为1的等差数列，C=2A．（1）求a，b，c的值；（2）求方向上的投影．21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0）．（1）求函数f（x）的最小值g（a），并证明g（a）≤0；（2）求证：?n∈N*，都有1n+1+2n+1+3n+1+…+n n+1＜成立．四、请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．【选修4-l：几何证明选讲】22．如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，l是过定点P（4，2）且倾斜角为α的直线，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系（取相同单位长度）中，．曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ（Ⅰ）写出求直线l的参数方程，并将曲线C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C与直线l相交于不同的两点M、N，求|PM|+|PN|的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣|+|x+m|（m＞0）（1）证明：f（x）≥4；（2）若f（2）＞5，求m的取值范围．2015-2016学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分．在每小题给出的四个选项中-只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n}满足a2=2，a6=0，则数列{a n}的公差为（）A．B．2 C．﹣ D．﹣2【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的通项公式，列出方程求出公差d即可．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=2，a6=0，∴a6﹣a2=4d=﹣2，解得d=﹣，∴数列{a n}的公差为﹣．故选：C．2．已知R是实数集，M==（）A．（﹣1，2）B．[一l，2]C．（0，2） D．[0，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先通过解不等式及函数的值域求出集合M，N，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵＜1，∴﹣1＜0，∴＞0，∴x（x﹣2）＞0，解得x＜0，或x＞2，∴M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∴?R M=[0，2]，∵y=x2﹣1≥﹣1，∴N=[﹣1，+∞），∴?R M∩N=[0，2]，故选：D．3．已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（ +λ）∥，则λ＝（）A．B．C．1 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出要用的+λ向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．﹣，则sinα+cosα＝（）4．已知α∈（﹣，0），且sin2α＝A．﹣ B．C．﹣ D．【考点】二倍角的正弦．﹣，由a∈（﹣，0），可得【分析】由题意易得2sinαcosα＝sinα+cosα＝，代入即可求值得解．﹣，【解答】解：∵sin2α＝﹣，∴2sinαcosα＝∵a∈（﹣，0），∴cosα+sinα＞0，∴sinα+cosα＝==．故选：B．5．已知实数a，b，c，d成等比数列，且对函数y=ln（x+2）﹣x，当x=b时取到极大值c，则ad等于（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】数列与函数的综合．【分析】首先根据题意求出函数的导数为f′（x）=，再结合当x=b时函数取到极大值c，进而求出b与c的数值，再利用等比数列的性质得到答案．【解答】解：由题意可得：函数y=ln（x+2）﹣x，所以f′（x）=．因为当x=b时函数取到极大值c，所以有且ln（b+2）﹣b=c，解得：b=﹣1，c=1．即bc=﹣1．因为实数a，b，c，d成等比数列，所以ad=bc=﹣1．故选A．6．在等比数列{a n}中，a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，则a5的值（）A．±2 B．2 C．±3 D．3【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的求和公式，可得=8，=2，两式相除，即可得出结论．【解答】解：设等比数列的公比为q，则∵a2+a3+…+a8=8， ++…+=2，∴=8，=2，∴，∴a5=±2．故选：A．7．已知函数f（x）=min，其中min（p，q}表示p，q两者中较小的一个，则满足f（x）＜1的x的集合为（）A．（0，）B．（0，）∪（4，+∞）C．（0，2） D．（0，2）∪（16，+∞）【考点】对数值大小的比较．【分析】先根据“设min{p，q}表示p，q两者中的较小的一个”求得函数f（x），再按分段函数用分类讨论解不等式．【解答】解：①当3﹣log2x＜log2x时，即x＞4时f（x）=3﹣log2x，②当3﹣log2x＞log2x时，即x＜4时f（x）=log2x，∴f（x）＜1；当x＞4时，f（x）=3﹣log2x＜1，此时：x＞16；当x＜4时f（x）=log2x＜1，此时：0＜x＜2；综上不等式的解集为：（0，2）∪（16，+∞）．故选：D．8．直线y=与曲线y=2sin（x+）cos（x﹣）在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，则|等于（）A．6πB．7πC．12πD．13π【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知y=sin2x，依题意可求得M1，M2，M3，…Ｍ13的坐标，从而可求||的值．【解答】解：∵y=2sin（x+）cos（x﹣）=2cosxsinx=sin2x，∴由题意得：sin2x=，∴2x=2kπ+或2x=2kπ+，∴x=kπ+或x=kπ+，k∈Z，∵正弦曲线y=sin2x与直线y=在y轴右侧的交点自左向右依次记为M1，M2，M3，…，∴得M1（，0），M2（，0），M3（π+），M4（π+），…Ｍ13（6π+，0），∴=（6π，0），∴||=6π．故选A．9．已知数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），则n≥2时，a12+a22+…+a n2=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n}的前n项和S n=2n（n∈N*），当n=1时，a1=2．当n≥2时，a n=S n。
2015-2016学年河南郑州高三上学期期中联考试卷及答案
2015—2016学年上学期期中联考高中三年级数学（理）注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分。
考生首先阅读答题卷上的文字信息, 然后在机读卡上作答第Ⅰ卷、答题卷上作答第Ⅱ卷，在试题卷上作答无效。
交卷时只交机读卡和答题卷。
第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{|A x y==，且A B B=，则集合B可能是（A）{1,2,3}（B）{|11}x x-<<（C）{2,2}-（D）R（2）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为z，则复数2z=（A）34i--（B）54i+（C）54i-（D）34i-（3）已知命题1:0,2p x xx∀>+≥，则p⌝为（A）10,2x xx∀>+<（B）10,2x xx∀≤+<（C）10,2x xx∃≤+<（D）10,2x xx∃>+<（4）函数)(xf的导数为)(xf'.命题P: 若函数)(xf在区间),(ba内无极值点,则)(xf'在区间),(ba内无零点. 命题P的逆命题,否命题,逆否命题中,正确的个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（5）由曲线1=xy，直线3,==yxy所围成的平面图形的面积为（A）4－ln 3 （B）2－ln 3 （C）4＋ln 3 （D）329（6）数列{}n a的前n项和为n S，11a=，23a=，且21n n na a a++=-（*∈Nn），则2015S=（A）1342 （B）1344 （C）1346 （D）1348（7）下列函数中,既是奇函数又在区间]2,2[-上单调递增的是（A）xxf sin)(=（B）)1,0(,)(≠>+=-aaaaxf xx（C）xxxf-+=33ln)(（D）)1,0(,)(≠>-=-aaaaxf xx（8）设α是第三象限角，53sin)sin(cos)cos(-=+-+ββαββα，则=2tanα（A）-3 （B）-2 （C）2 （D）3（9）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,并且对任意的正整数n 成立243n n S S +=+,则2a = （A ）2（B ）6 （C ）2或6 （D ）2或6-（10）设,a b是两个非零的平面向量，给出下列说法①若0=∙b a ，则有||||a b a b +=-；②||||||=∙；③若存在实数λ，使得a b λ= ，则||||||a b a b +=+ ；④若||||||a b a b +=+，则存在实数λ，使得a b λ= .其中说法正确的个数是（A ） 1（B ） 2 （C ）3（D ） 4（11）设2log ,3.0log ,5.0log 3.025===c b a ，则 （A ）b a c <<（B ）b c a <<（C ）c b a <<（D ）a b c <<（12已知方程sin x k x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是（A ）1tan()41πααα++=- （B ）1tan()41πααα-+=+（C ）1tan()41πβββ++=- （D ）1tan()41πβββ-+=+ 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
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2015-2016学年河南省焦作市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设A={x|y=}，B={x|y=ln（x2﹣1）}，则A∩∁U B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．∅2．（5分）若复数z满足=2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i3．（5分）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．44．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．对于命题P：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢P：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0 B．若两条不同直线a，b满足a⊥α，b⊥α，则a∥bC．“m=﹣1“是直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与l2：3x+my+3=0垂直的充要条件D．p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件5．（5分）为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙三人中有2人被选中的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，则向量=+与=﹣2的夹角为（）A．30°B．60°C．150° D．120°7．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大的面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．79．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升 B．升C．升D．升10．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（其中ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递减区间是（）A．[kπ，+kπ]，k∈Z B．[﹣+kπ，kπ]，k∈ZC．[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z D．[+kπ，+kπ]，k∈Z11．（5分）已知双曲线C：的一个焦点为F，若双曲线上存在点A使△AOF为正三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．+112．（5分）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．B．（）C．（，1）D．（，1）二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知x，y取值如表：画散点图可知：y与x线性相关，且求得回归线方程为=+1，则m的值为（精确到0.1）14．（5分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则++=．15．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x ﹣4y﹣9=0的距离的最小值为．16．（5分）已知f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的增函数，对∀x∈R，总有f（cosx ﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，求实数b的取值范围．三、解答题17．（12分）在△ABC中，a，b，c是其三个内角A，B，C的对边，且a≥b，sin2A+cos2A=2sin2B（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）设c=，求△ABC的面积S的最大值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．19．（12分）某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）设函数f（x）=x﹣﹣mlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=x﹣lnx﹣，∃x1，x2∈[1，e]使得f（x1）≥h（x2）成立，求m的范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：平面几何选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．2015-2016学年河南省焦作市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）设A={x|y=}，B={x|y=ln（x2﹣1）}，则A∩∁U B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．∅【解答】解：由A中y=，得到2﹣x≥0，即x≤2，∴A={x|x≤2}，由By=ln（x2﹣1）得到x2﹣1＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，∴∁U B={x|﹣1≤x≤1}，则A∩∁U B={x|﹣1≤x≤1}，故选：C．2．（5分）若复数z满足=2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．2﹣2i B．﹣2﹣2i C．﹣2+2i D．2+2i【解答】解：∵=2i，∴=2i（1+i）=2i﹣2，∴z=﹣2﹣2i．故选：B．3．（5分）过曲线y=x3+bx+c上一点A（1，2）的切线方程为y=x+1，则bc的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣4 D．4【解答】解：求导可得y′=3x2+b，由题意可得，解得，则bc=﹣6．故选：A．4．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．对于命题P：∃x∈R，使得x2+x﹣1＜0，则￢P：∀x∈R，均有x2+x﹣1≥0 B．若两条不同直线a，b满足a⊥α，b⊥α，则a∥bC．“m=﹣1“是直线l1：mx+（2m﹣1）y+1=0与l2：3x+my+3=0垂直的充要条件D．p是q的必要不充分条件，则￢p是￢q的充分不必要条件【解答】解：A，由特称命题的否定是全称命题，故A正确；B，利用平面与平面垂直的性质，可知B正确；C，“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”的充要条件为“m=﹣1或m=0”，故错误；D，∵p是q的必要不充分条件，∴由q可以推出p成立，而由p推不出q成立，∵原命题与逆否命题是等价命题，∴由￢p可以推出￢q成立，由￢q推不出￢p 成立．因此，￢p是￢q的充分不必要条件．正确故选：C．5．（5分）为了纪念抗日战争胜利70周年，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为阅兵安保人员，为9月3号的阅兵提供安保服务，则甲、乙、丙三人中有2人被选中的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：从甲、乙、丙等5名候选学生中选2名作为青年志愿者，共有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊）10种情况，其中甲、乙、丙中2个被选中包含其中的三种情况．所以则甲、乙、丙中2个被选中的概率为．故选：A．6．（5分）已知单位向量，的夹角为60°，则向量=+与=﹣2的夹角为（）A．30°B．60°C．150° D．120°【解答】解：设向量=+与=﹣2的夹角为θ，∵单位向量，的夹角为60°，∴=1×1×cos60°=．∴==，==．=﹣2﹣=1﹣2﹣=﹣．∴cosθ===﹣，∴θ=120°．故选：D．7．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：将该几何体放入边长为1的正方体中，如图所示，由三视图可知该四面体为A﹣BA1C1，由直观图可知，最大的面为BA1C1；在等边三角形BA1C1中A1B=，所以面积S=××sin=．故选：A．8．（5分）已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6…∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，∴共要循环7次，故j=7．故选：D．9．（5分）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升 B．升C．升D．升【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，把d=代入①得：a1=，则a5=+（5﹣1）=．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（其中ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递减区间是（）A．[kπ，+kπ]，k∈Z B．[﹣+kπ，kπ]，k∈ZC．[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z D．[+kπ，+kπ]，k∈Z【解答】解：f（x）=sinωx+cosωx（其中ω＞0）=2sin（ωx+），∵函数f（x）的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，∴函数的周期为=π，再由=π，解得ω=2，∴函数f（x）=2sin（2x+），∵把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位得到函数g（x）的图象，∴g（x）=2sin[2（x+）+]=2sin（2x+）=2cos2x，∴g（x）的减区间满足2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，即，k∈Z，∴g（x）的单调递减区间是[kπ，+kπ]，k∈Z．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：的一个焦点为F，若双曲线上存在点A使△AOF为正三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．+1【解答】解：∵双曲线上存在点A使△AOF为正三角形，设F为右焦点，OF=c，A在第一象限，∴点A的坐标为（c，c）代入双曲线方程得：﹣=1，即为﹣=1，即e2﹣=1，解得e=1+．故选：C．12．（5分）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．B．（）C．（，1）D．（，1）【解答】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=3x2﹣2x，∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）则，解得；．∴实数a的取值范围是（，1）故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知x，y取值如表：画散点图可知：y与x线性相关，且求得回归线方程为=+1，则m的值为 1.7（精确到0.1）【解答】解：将=3.2代入回归方程为=+1可得=4.2，则4m=6.7，解得m=1.675，即精确到0.1后m的值为1.7．故答案为：1.7．14．（5分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则++=﹣7．【解答】解：如图所示，则A（3，0），B（0，4），C（0，0）．=（﹣3，4），=（﹣3，0），=（0，﹣4），∴++=9+0﹣16=﹣7．故答案为：﹣7．15．（5分）已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x ﹣4y﹣9=0的距离的最小值为2．【解答】解：不等式表示的平面区域如图由可得x=1，y=1，根据图形可知（1，1）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离的最小，最小值为=2故答案为：216．（5分）已知f（x）是定义在[﹣4，+∞）上的增函数，对∀x∈R，总有f（cosx﹣b2）≥f（sin2x﹣b﹣3）恒成立，求实数b的取值范围[﹣，+] ．【解答】解：由题意可得cosx﹣b2≥sin2x﹣b﹣3≥﹣4 恒成立，∴sin2x≥b﹣1 ①，且cosx﹣sin2x≥b2﹣b﹣3 ②．解①求得b≤sin2x+1≤2．解②可得﹣≥﹣，即≤+2≤2，∴﹣≤b﹣≤，即﹣≤b≤+．再把①②的解集取交集，可得x∈[﹣，+]．三、解答题17．（12分）在△ABC中，a，b，c是其三个内角A，B，C的对边，且a≥b，sin2A+cos2A=2sin2B（Ⅰ）求角C的大小（Ⅱ）设c=，求△ABC的面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin2A+cos2A=2sin2B，∴2（sin2A+cos2A）=2sin2B，∴2sin（2A+）=2sin2B，∴sin（2A+）=sin2B，∴2A+=2B或2A+=π﹣2B，由a≥b，知A≥B，所以2A+=2B不可能成立，所以2A+=π﹣2B，即A+B=，所以C==…6分（Ⅱ）由（Ⅰ），C=，所以sinC=，S=，cosC=⇒﹣⇒﹣ab=a2+b2﹣3⇒3﹣ab=a2+b2≥2ab⇒ab≤1，即△ABC的面积S的最大值为…12分18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD ⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．19．（12分）某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星．这5名幸运之星可获得A、B两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数小于3的获得A奖品，抛掷点数不小于3的获得B奖品．（1）求这5名幸运之星中获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数的概率；（2）设X、Y分别为获得A、B两种奖品的人数，并记ξ=|X﹣Y|，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【解答】解：这5名幸运之星中，每人获得A奖品的概率为，B奖品的概率为．（1）要获得A奖品的人数大于获得B奖品的人数，则A奖品的人数可能为3，4，5，则则所求概率为；（2）ξ的可能取值为1，3，5，则，，，∴ξ的分布列是：故随机变量ξ的数学期望E（ξ）=+5×=．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左焦点到点P（2，1）的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵左焦点（﹣c，0）到点P（2，1）的距离为，∴，解得c=1．又，解得a=2，∴b2=a2﹣c2=3．∴所求椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，△=64m2k2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，化为3+4k2＞m2．∴，．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）==．∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），k AD•k BD=﹣1，∴，∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴．化为7m2+16mk+4k2=0，解得m1=﹣2k，．，且满足3+4k2﹣m2＞0．当m=﹣2k时，l：y=k（x﹣2），直线过定点（2，0）与已知矛盾；当m=﹣时，l：y=k，直线过定点．综上可知，直线l过定点，定点坐标为．21．（12分）设函数f（x）=x﹣﹣mlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=x﹣lnx﹣，∃x1，x2∈[1，e]使得f（x1）≥h（x2）成立，求m的范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣﹣mlnx（1）定义域上为（0，+∞），f′（x）=1+=，∵函数f（x）在定义域上为增函数，∴x2﹣mx+1≥0，在x＞0时恒成立．即x≥m在x＞0时恒成立，根据对钩函数得出m≤2，故m的范围为：m≤2．（2）函数h（x）=x﹣lnx﹣，∃x1，x2∈[1，e]使得f（x1）≥h（x2）成，即f（x）的最大值≥h（x）的最小值，∵f（x）的最大值=f（e）=e﹣﹣m，h′（x）=1＞0，x∈[1，e]，∴h（x）单调递增，h（x）的最小值为h（1）=1﹣，∴可以转化为e﹣﹣m≥1，即m≤e﹣1，m的范围为：m≤e﹣1．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：平面几何选讲】22．（10分）如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．【解答】（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（5分）（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知圆的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos（θ﹣）+6=0．（Ⅰ）将极坐标方程化为普通方程；（Ⅱ）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值．【解答】解：（1）即ρ2﹣4（+），即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0．（2）圆的参数方程为，∴x+y=4+（sinα+cosα）=4+2sin（α+）．由于﹣1≤sin（α+）≤1，∴2≤x+y≤6，故x+y 的最大值为6，最小值等于2．【选修4-5：不等式选讲】24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，3]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立．而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．第21页（共21页）。