上海市延安中学2018学年高一下学期期中考试数学试题
上海市2018-2019学年延安中学高一上学期数学期中考试
上海市2018-2019学年延安中学高一上学期数学期中考试（时间：90分钟 满分：100分）一、填空题（每小题3分，共45分）1.用描述法表示被7除余2的正整数的集合为__________2.函数()f x =的定义域为__________3.若函数()()24,g f x x x x==，则()()f x g x ⋅=_____________ 4.函数()20y x x x=+>的单调递增区间为______________ 5.已知四边形ABCD 为正方形，则其面积y 关于周长x 的函数解析式为_________6.不等式2311x x -≤+的解集为__________ 7.已知集合{}32A x x =-<≤，集合{}15B x x x =≤->或，则A B =U _________8.已知集合{}10,A x ax x R =+=∈，集合{}2280B x x x =--=，若A B ⊆，有可能取值构成的集合为______________9.已知函数()f x 是偶函数，且当0x >时，()()1f x x x =-，则当0x <时，该函数的解析式为()f x =__________10.已知命题α的逆命题为：“已知,x y R ∈，若1,2x y >>，则3x y +>”，则a 的逆否命题为__________命题（填“真”或“假”）11.已知集合{}{}2,211,230U R A x x B x x x ==-<=--<，则U C A B =I __________12.当0,0a b c d >><<时，给出以下结论：（1）ad bc <；（2）22a c b d +>+；（3）()()a b c b d a ->-，其中恒成立的序号为_______________13.已知1x >，则431x x x +-的最小值为_____________ 14.设数集{}31,,0143A x m x m N x n x n P x x ⎧⎫⎧⎫=≤≤+=-≤≤=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且,M P N P ⊆⊆，如果把b a -叫做集合{}x a x b ≤≤的长度，那么集合M N I 的长度的最小值与最大值的和为____________15.已知集合(){}22330,,A x x a x a a R x R =+--=∈∈，集合(){}22330,,B x x a x a a a R x R =+-+-=∈∈，若,A B A B ≠≠∅I ，则A B =U _______二、选择题（每小题3分，共12分）16.已知,x y R ∈，那么“0xy >”是“x y x y +=+”的（ ）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要17.若1a b >>，全集{},,2a b U R M x b x N x a ⎧+⎫==<<=<⎨⎬⎩⎭.{P x b a =<≤，则（ ） A.U P M C N =I B.U P C M N =I C.P M N =U D.P M N =I18.下列函数中，既不是奇函数，又不是偶函数，并且在(),0-∞上是增函数的是（ ）A.221y x x =--+B.5y x =C.21y x =-+D.53y x =+19.已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则()1f x +等于（ ） A.()()22111x x +++ B.22111x x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.()212x ++D.()212x +- 三、解答题（共43分）21.（5分）已知集合{}{}23,4,31,2,3A m m B m =--=-，若{}3A B =-I ，求实数m 的值22.（7分）已知a R ∈，解关于x 的不等式：()22120ax a x -++<；23.（8分）已知：,,a b c 为三角形的三边长，求证： ()()()234ab bc ca a b c ab bc ca ++≤++<++；24.（9分）现有A,B,C,D 四个长方体容器，已知容器A,B 的底面积均为2x ，高分别为,x y ，容器C,D 的底面积为2y ，高也分别为(),0,0,x y x y x y >>≠；现规定一种两人游戏规则：每人从四个容器中取出两个分别盛满水，两个容器盛水的和多者为胜，若事先不知道,x y 的大小，问如何取法可以确保一定获胜？请说明理由：25.（10分）某段地铁线路上有A,B,C 三站，5AB =（千米），3BC =（千米），在列车运行时刻表上，规定列车8:00从A 站出发，8:07到达B 站，并停留1分钟，8:12到达C 站，并在行驶时以同一速度v （千米/分）匀速行驶；列车从A 站出发到达某站的时间与时刻表上相应时间差的绝对值，称为列车在该站的运行误差；（1）分别用速度v 表示列车在B,C 两站的运行误差；（2）若要求列车在B,C 两站的运行误差之和不超过2分钟，求列车速度v 的取值范围； 答案1、{ x |x =7n +2,n ∈N }2、[-1,0）∪（0,2]3、4x (x ≠0)4、[√2，+∞）5、y =16x 26、（-1,4]，或者x |−1<x ≤4}7、（-∞，2] ∪(5, -∞)8、{0，12，−14} 9、f (x )=−x(1+x)10、假11、（-1,0] ∪[1,3）12、（1）13、4√3+714、125 15、{2，−3，−1}16、A 17、A 18、D 19、C20、m=2 22、当时，原不等式的解为 当时，原不等式的解为当时，原不等式的解为当时，原不等式的解为 当时，原不等式的解为：23、证明（a+b+c ）²-3（ab+bc+ac ）=12(a-b)²+12(b −c )²+12(a-c)²≥04（ab+bc+ac ）-(a+b+c)²=4ab+4bc+4ca-a ²-b ²-c ²-2ab-2bc-2ac=2ab+2bc+2ac-a ²-b ²-c ²=a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c)＞0。
陕西省延安市子长县中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题
子长中学2018-2019学年第二学期中期考试试题 高一数学（A ）命题人：杨爱琴（答题时间100分，满分120分）第I 卷(选择题)一、单选题（每小题5分，共60分） 1．与 °终边相同的角为（ ） A ． °B ． °C ． °D ． °2．在空间直角坐标系中，点)5,1,3(P 关于yOz 平面对称的点的坐标为（ ）A ．)5,1,3(--B ．)5,1,3(--C ．)5,1,3(-D ． )5,1,3(--3．已知角 的终边过点()8,-m P 且53cos -=α，则 的值为（ ）A ．6B ．-6C ．3D.-34．若θ是第三象限的角，且02cos >θ，则2θ是（ ）A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角5．已知正 的边长为 ，建立如图1所示的直角坐标系 ，则它的直观图的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．6．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角； ②ααα∈⇒∈∈AB B A 直线,；③侧棱与底面两边垂直的棱柱叫直棱柱；④顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形一定是平行四边形； ⑤将直角三角形旋转一周所得的旋转体是圆锥. 其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．一个正方体的展开图如图2所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ） A ． B ． 与 相交 C ．D ． 与 所成的角为图28.周长为8，面积为4的扇形圆心角的弧度数为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．89．如图3,平行四边形 中, ,沿 将 折起,使平面 平面 ,连接 ,则在四面体 的四个面中,有几个直角三角形（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个图310．直线3y x =绕原点按逆时针方向旋转30︒后所得直线与圆22(2)3x y -+=的位置关系是（ ）A.直线过圆心B.直线与圆相交，但不过圆心C.直线与圆相切D.直线与圆没有公共点11．球面上有 四个点，若 两两垂直，且 ，则该球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．12.有一种圆柱体形状的笔筒，底面半径为4 cm,高为12cm,现要为100个这种相同规格的笔筒涂色(笔筒内外都要涂色，笔筒厚度忽略不计).如果每0.5kg 涂料可以涂21m ，那么为这批笔筒涂色约需涂料(注：π取3.14)（ ） A.1.23kgB.1.76kgC.2.46kgD.3.52kg第II 卷（非选择题)二、填空题（每小题4分，共16分）13.若21sin =α，[)πα2,0∈则α=__________．14．圆()0222>=+a a y x 与圆()()14322=-++y x 相内切，则a 的值为__________．15.函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππ,6sin 2x x y ，的值域为__________．16.半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为__________． 三、解答题 17．（10分）（1）求值： 49tan 611sin 328cos πππ-⎪⎭⎫⎝⎛-+； （2）化简： ()()()()()()x xx x x x --⋅-+⋅+-︒︒︒︒︒sin 360cos 90tan 450tan 900cos 180sin .18. （10分）已知某几何体的俯视图是如图4所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。
2018-2019年上海市七宝中学高一下期中数学测试
七宝中学2018-2019学年度第二学期高一年级期中考试一、填空题1.函数()x y 4sin 21-=的最小正周期是________.2.函数x y 2cos =的对称轴方程是________.3.在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线x y 3=上，则=θ2sin _______.4.若锐角βα、满足()，135cos 53cos -=+=βαα则=βcos ______.5.函数2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递减区间为________.6.已知23sin 52x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，则=x ______(用反正弦表示).7.方程2cos 3sin =-x x 的解是_______.8.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为，、、c b a 面积为S ，且()，224c b a S -+=则=C cos _______.9.若将函数()()cos 08f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是_______.10.已知函数()()()()()sin 2cos 2sin 2cos 222x x x x f x ππππ+-=+，对任意，R x ∈都有不等式()()()21x f x f x f ≤≤恒成立，则12x x -的最小值为_________.11.已知函数()()()1sin 20192019xxx f x x R π-=∈+，下别列命题:①函数()x f 是奇函数；②函数()x f 在区间[]ππ，22-上共有13个零点；③函数()x f 在区间()10，上单调递增；④函数()x f 的图像是轴对称图像。
其中真命题有________(填所有真命题的序号).12.已知k 是正整数，且，20191≤≤k 则满足方程：︒⋯⋅︒⋅︒=︒+⋯+︒+︒k k sin 2sin 1sin sin 2sin 1sin 的k 有_______个.三、选择题13.“22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，”是“()x x =arcsin sin ”的（）A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分条件又非必要条件14.将函数sin 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图像上的点4P t π⎛⎫⎪⎝⎭，向左平移()0s s >个单位，得到点，'P 若点'P 位于函数x y 2sin =的图像上,则（）A .s t ，21=的最小值为6πB .s t ，23=的最小值为6πC .s t ，21=的最小值为12πD .s t ，23=的最小值为12π15.若方程0sin cos 212=+--a x x 有实数解，则实数a 的取值范围是（）A .⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-89，B .⎦⎤⎢⎣⎡-892，C .⎥⎦⎤⎢⎣⎡890，D .⎥⎦⎤⎢⎣⎡-891，16.如图，在△ABC 中，BC =，a AC =，b AB =，c O 是△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥AB 于F ，则OD :OE :OF等于（）A .cb a ::B .C B A cos :cos :cos C .C B A sin :sin :sin D .cb a 1:1:1三、解答题17.已知()7cos 2325θπ-=，且θ是第四象限角。
2018-2019学年上海市建平中学高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市建平中学 高一下学期期中数学试题一、单选题 1．“”2πθ=是“sin()cos x x θ+=”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当2πθ=时，()sin cos x x θ+= ，但是当()sin cos x x θ+= ，可能52πθ=， 据此可得“”2πθ=是“()sin cos x x θ+=”成立的充分不必要条件.本题选择A 选项.2的值等于（ ） A ．cos2 B ．1cos2C ．cos2-D ．1cos2- 【答案】Ccos 2cos 2===-.本题选择C 选项.3．ABC ∆中，，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断【答案】A【解析】，222x y z +=，()22x y z +>0>.则ABC ∆的形状为锐角三角形. 本题选择A 选项.点睛：判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.4．设函数()xxxf x a b c =+-，其中0c a >>，0a b >>，若a ，b ，c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ） ①对一切(),1x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈，使x a ，x b ，x c 不能构成一个三角形的三条边长； ③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()1,2x ∈，使()0f x =； A ．①②； B ．①③；C ．②③；D ．①②③；【答案】D【解析】①利用指数函数的性质以a ，b ，c 构成三角形的条件进行证明；②可以举反例进行判断；③利用函数零点的存在性定理进行判断； 【详解】①Q a ，b ，c 是ABC ∆的三条边，a b c ∴+>，0c a >>Q ，0c b >>，01ac ∴<<，01b c<<， 当(),1x ∈-∞时，()1x x xx x xa f x abc c b c c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣+⎦=-10x x a b a b c c c c c c +-⎛⎫>⋅+-=⋅> ⎪⎝⎭，∴①正确；②令2,3,4a b c ===，则a ，b ，c 可以构成三角形， 但2224,9,16a b c ===却不能构成三角形，∴②正确；③0c a >>Q ，0c b >>，若ABC ∆为钝角三角形，则2220a b c +-<，()10f a b c =+->Q ，()22220f a b c =+-<，∴根据函数零点的存在性定理可知在区间()1,2上存在零点，即存在()1,2x ∈，使()0f x =，故③正确； 故选：D 【点睛】本题考查的知识点较多，考查函数零点的存在性定理、考查指数函数的性质以及余弦定理的应用，属于中档题.二、填空题5．幂函数()f x 的图象过点，则()f x 的解析式是______________． 【答案】34y x =【解析】结合题意求解幂函数的解析式即可. 【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=，由题意可得：3α=，解得：34α=， 即()f x 的解析式是34y x =. 【点睛】本题主要考查幂函数的定义，函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．若角α的终边上一点3,4)(0)Pa a a -≠（，则cos α=____________. 【答案】35±【解析】若0a >，则3cos 5α==-，若0a <，则3cos 5α==， 综上所述，3cos 5α=±．7．若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为____________. 【答案】2:3 【解析】【详解】设扇形的半径为R ，内切圆半径为r ，∵扇形的中心角3π， ∴R−r=2r ，∴3r=R ，∴扇形的面积22603606R R ππ==内切圆面积为πr 229R π=，扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为2:3.8．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限． 【答案】二【解析】由点P （tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限． 【详解】因为点P （tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，则角α的终边在第二象限， 故答案为二．点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号． 9．已知(()sin πα-=α在第二象限角，则 tan α=____________. 【答案】12-【解析】由题意可得：()sin sin απα=-=结合角的范围有：cos α==， 则sin 1tan cos 2ααα==-. 点睛：解决此类问题要熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题.10．已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α=____________.【答案】3【解析】由题意：2222sincos2tan3222sin 5sin cos tan 1222ααααααα===++，解得：tan32α=或1tan23α=， 又α在第二象限，故tan32α=．11．求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-=____________.【解析】由题意：()()()tan 60tan tan 60tan601tan 60tan θθθθθθ-+=+-==--o oo o则：()()tan 60tan 60tan θθθθ-+=-o o，()()tan tan 60tan 60θθθθ+︒-︒-=12．已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos2x =____________.【解析】∵[,]42x ππ∈,∴272[,]636x πππ+∈.∵3sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴4cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴cos 2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 666666x x x x ππππππ=+-=+++=.点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．13．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是____________. 【答案】3π【解析】利用正弦定理有：222b ac a c +≥+，则2221cos 22a cb B ac +-=≤，则角B 的最小值是3π． 14．ABC ∆的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，则B =____________. 【答案】34π 【解析】∵3cos 2cos a C c A =，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA ， ∴3tanA=2tanC ，∵tanA=13，∴2tanC=3×13=1,解得tanC=12.∴()()tan tan tan tan[]tan 11tan tan A CB AC A C A Cπ+=-+=-+=-=--，∵B ∈(0,π)， ∴34B π=. 15．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12()log g x x =，，记函数(),()()()(),()()g x f x g x h x f x f x g x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()()5F x h x x =+-所有零点的和为____________. 【答案】5【解析】∵()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()12log g x x =，关于直线y=x 对称，()()()()()()(),,g x f x g x h x f x f x g x 记⎧≤⎪=⎨>⎪⎩∴可知h （x ）关于直线y=x 对称．∵y=x 与y=5-x ，交点为A （2.5，2.5）∴y=5-x ，与函数h （x ）交点关于A 对称，x 1+x 2=5，∴函数F （x ）=h （x ）+x-5，的零点．设h （x ）与y=5-x 交点问题，可以解决函数F （x ）=h （x ）+x-5零点问题．故函数F （x ）=h （x ）+x-5所有零点的和为5． 故答案为：5．点睛：本题考查了函数的交点，解决复杂函数的零点问题，反函数的对称问题，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()12log g x x =关于直线y=x 对称，则()h x 关于直线y=x 对称，利用y=x 与y=5-x 的交点，结合图求解即可．16．如果满足45B =︒，10AC =，BC k =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是____________.【答案】{}(0,10]102k ∈⋃ 【解析】【详解】 由正弦定理有：10sin sin 45k A =o， 则102k A =，()0,135A ∈o o， 可得，当(){}0,13590A ∈⋃o oo时满足题意， 此时(]{}0,10102k ∈⋃.17．已知α【答案】-1【解析】试题分析：由题意结合同角三角函数基本关系和诱导公式化简所给的三角函数式即可. 试题解析： 原式sin cos 1cos sin αααα-==--三、解答题 18．已知cosα=17，cos （α-β）=1314，且0＜β＜α＜π2． （Ⅰ）求tan2α的值； （Ⅱ）求cosβ． 【答案】（1）；（2）12.【解析】试题分析：(1)由题意求得tan α=tan2α= (2)构造角之后利用两角和差正余弦公式可得()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦ 12= 试题解析： （1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan21tan ααα===- （2）()cos cos βααβ⎡⎤=--⎣⎦ ()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-11317142=⨯= 点睛：(1)技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角； ②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等．(2)常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．19．如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.【答案】(1)2AP km =；（2）746AQ =-(km)．【解析】试题分析：（1）设AP x =，我们只要利用已知CPA DPB ∠=∠列出关于x 的方程即可，而这个方程就是在两个三角形中利用正切的定义，1tan AC CPA AP x∠==，2tan 6DB DPB BP x ∠==-，因此有126x x=-，解之得；实际上本题可用相似形知识求解，ACP BDP ∆~∆，则AP ACBP BD =，由引开出方程解出x ；（2）要使得CQD ∠最大，可通过求tan CQD ∠，因为tan tan[()]CQD CQA DQB π∠=-∠+∠tan()CQA DQB =-∠+∠，只要设AQ x =，则tan ,tan CQA DQB ∠∠都可用x 表示出来，从而把问题转化为求函数的最值,同（1）可得26tan 62x CQD x x +∠=-+，这里我们用换元法求最值，令6t x =+，则有21tan 74187418t CQD t t t t∠==-++-，注意到612t <<，tan CQD ∠可取负数，即CQD ∠为钝角，因此在tan CQD ∠取负值中的最小值时，CQD ∠取最大值.（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-. 3分 由tan tan αβ=，得126x x=-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处. 6分（2）设AQ x =，CQA α∠=，DQB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6xβ=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x xπαβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-10分令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t+∠===-+-++-，12分747455274663t t ≤+<+=Q ，， 当7427418180t t≤+-<，所张的角为钝角，最大角当74即746x =时取得，故点Q 应选在距A 746km 处. 14分【考点】(1)角相等的应用与列方程解应用题；（2）角与函数的最大值.20．若函数()f x 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()f x 为“V 形函数”，若函数()g x 定义域为R ，函数()0g x ＞对任意x ∈R 恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若()1()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x ∈R ，有()2f x ＞，问()f x 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）1a ≥；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)结合题中的定义和函数的性质可得所给函数不是“V 形函数” (2)由题意分离系数，结合函数解析式的特征可得1a ≥； (3)利用“V 形函数”结合题意讨论可得()f x 是“对数V 形函数”. 试题解析：（1）()()21212f x x x x +=+，()()221212f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足()()()1212f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数”（2）()102xg x a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞恒成立，∴0a ≥，根据题意，()()()1212g x x g x g x +⋅＜恒成立，即1212111222x x x x a a a +⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＜，去括号整理得1211122x x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫>-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，∴1a ≥（3）()()()1212f x x f x f x +<+，∵()12f x >，∴()111f x ->，同理()211f x ->，∴()()12111f x f x ⎡⎤⎡⎤-->⎣⎦⎣⎦，去括号整理得()()()()1212f x f x f x f x +＞， ∴()()()1212f x x f x f x +＜，()()()1212lg lg lg f x x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦⎣⎦＜，是“对数V 形函数”21．（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值； （2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c a b 、、满足9843a b c ≥≥≥≥≥≥的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中1()2p a b c =++， 三角形面积的海伦公式），∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++-- ()222222[]4c a b a b =--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36S ≤，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与34c ≤≤矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．【答案】（1）12+；（2）16；（3）见解析. 【解析】试题分析：(1)由题意结合均值不等式的结论可得周长最小值为12+第 11 页 共 11 页 (2)由题意得到面积函数，结合均值不等式的结论可得22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯⨯=，即面积最大值为232p (3)题中的解答存在问题，利用海伦公式三边可互换进行解答可得面积最大值为16.试题解析：（1）设两直角边为a b 、，=≥=∴12P a b =++12+（2）设夹α的两边为a b 、，则第三边p a b --，∴()2227cos 29a b p a b ab α+---==， ∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴()()330p p ≥， ∵3)0p（＜，∴30p ≤，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换，∴()2222222221644S a c b c b c b ⎡⎤=--++≤⎣⎦， 即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c=+=，a =16点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．。
上海市大同中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题
试卷第1页，总4页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ……
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…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 绝密★启用前 上海市大同中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题
试卷副标题 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号 一 二 三 总分
得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题) 请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得分 一、单选题
1．已知数列{}na是等差数列，数列{}nb分别满足下列各式，其中数列{}nb必为等差数
列的是（ ）
A．||nnba B．2nnba C．1nnba D．2nnab 2．下列等式中正确的是（ ）
A．cos(arccos)33 B．1arccos()1202
C．arcsin(sin)33 D．2arctan24
3．若将函数tan04yx的图像向右平移6个单位长度后，与函数
tan6yx
的图像重合，则的最小值为
A．16 B．14 C．13 D．12 4．定义函数sin,sincoscos,sincosxxxfxxxx，下列命题中正确的是（ ）
A．该函数的值域是[1,1]
B．该函数是以为最小正周期的周期函数 试卷第2页，总4页 …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ……
…
…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… C．当且仅当2xk（kZ）时，该函数取到最大值
D_2011-2012-高一下期中考-延安中学(2012)
4
(
3 3 3 3 12 , 0) cos( ) ， ( , ) cos( ) 2 4 5 4 4 4 13
4 ) ( 3 63 )] 4 65
sin( ) sin( ) sin[(
16、在锐角 ABC 中， a 1 ， B 2 A ，则 b 的取值范围为_____ ( 2, 3) _____. 二、选择题（本大题共 12 分，每小题 3 分） 17、若 f ( x) sin x 是最小正周期为 的奇函数，则 f ( x) 可以是（ （A） sin 2 x （B） cos 2 x C （C） sin x ） （C） D ） （D） cos x
18、已知 tan100 t ，则 cos 20 =（ （A）
2t 1 t2
（B）
1 t2 1 t2
t 2 1 t2 1
（D）
2t 1 t2
19、将函数 y sin x 的图像上的所有点向右平移
10
个单位，再把所得各点的横坐标伸长 C ）
到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像的函数解析式是（ （A） y sin(2 x
22、 （本题 6 分）已知 是三角形的一个内角，且满足 sin cos
1 ，求 tan . 5
sin 0 1 2 2 ，结合 sin cos 1 可解得 sin cos (0,1) ( , ) 5 2 cos 0
4 3 5 3 ) ， sin( ) ，且 ( , ) ， 4 5 4 13 4 4
(0, ) ，求 sin( ) 的值.
2018-2019学年上海市交大附中高一(下)期中数学试卷-学生版+解析版(无水印)
2018-2019学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一.填空题1．（3分）已知α是第一象限角，那么2α是第 象限角． 2．（3分）半径为1的扇形面积也为1，则其圆心角的弧度数是 ． 3．（3分）函数sin cos y x x =的最小正周期是 ．4．（3分）已知角α满足3cos 5α=-，其终边上有一点(,)P x y ，若4y =，则x = ．5．（3分）三角方程1sin 3x =满足[0x ∈，2]π的解构成的解集为 （用反正弦表示）． 6．（3分）在ABC ∆中，若b =2a =，且三角形有解，则A 的取值范围是 ． 7．（3分）若2sin 1cos αα=+，则tan α= ．8．（3分）将函数()3cos(2)4f x x π=-的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的对称轴方程为x = ．9．（3分）ABC ∆中，5AB =，4BC =，3CA =，D 为AB 边上的中点，则ACD ∆与BCD ∆的外接圆的面积之比为 ．10．（3分）下列是有关ABC ∆的几个命题：①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形； ②若cos cos a A b B =，则ABC ∆是等腰三角形； ③若cos cos a B b A b +=，则ABC ∆是等腰三角形； ④若cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形， 其中所有正确命题的序号是 ．11．（3分）已知函数sin cos y a x x =+，[0,]2x π∈，其最小值为a ，则实数a 的取值范围是 ．12．（3分）设1a 、2a R ∈，且121122sin 2sin(2)a a +=++，则12|10|a a π--的最小值等于 ． 二.选择题13．（3分）ABC ∆中，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的( )条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分D ．既不充分也不必要14．（3分）已知函数()sin sin 3f x x x =-，[0x ∈，2]π，则函数()f x 所有零点之和等于()A ．0B ．3πC ．5πD ．7π15．（3分）在ABC ∆中，2222sin()sin()a b A B a b A B ++=--，则ABC ∆的形状是( ) A ．等腰三角形但一定不是直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形但一定不是等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 16．（3分）已知函数2()cos()(1)sin()33f x x a x a ππ=+-+，()2xg x =，若[()]0f g x …，对(x ∈-∞，0]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1]-∞B ．1,)+∞C ．(-∞，1]-D ．[1-，)+∞三.解答题17．设α，(0,)βπ∈，且5sin()13αβ+=，tan()324απ+=． （Ⅰ）求cos α的值； （Ⅱ）求cos β的值．18．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，当[0,]2x π∈时，求函数()()()h x f x g x =+的值域．19．如图，已知O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，1BC =，点P 是半圆上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 两侧．（1）若POB θ∠=，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数并写出定义域； （2）求出四边形OPDC 面积的最大值，并写出面积取得最大值时的θ的值．20．若函数()f x 满足3()()2f x f x π=+且()()44f x f x ππ+=-，则称()f x 为“M 函数”． （1）试判断4()sin 3f x x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当[,]4x ππ∈时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在3[0,]2π上的单调递增区间； （3）在（2）条件下，当[,4]()2x k N ππ∈-∈时，关于x 的方程()(f x a a =为常数）有解，记该方程所有解的和为S ，请求出S ．21．若函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，[0,]2πϕ∈，()()f x f x +-的最大值为1．（1）求ϕ的值；（2）若函数()f x 在[1，2]内没有对称轴，求ω的取值范围；（3）若函数()f x 满足()(12)f x f x =+恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求ω的最小值．2018-2019学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）已知α是第一象限角，那么2α是第 一或三 象限角． 【解答】解：α是第一象限角， α∴的取值范围是(2,2)2k k πππ+ ()k Z ∈∴2α的取值范围是(,)4k k πππ+ ()k Z ∈ 分类讨论①当21k i =+ （其中)i Z ∈时，2α的取值范围是5(2,2)4i i ππππ++即2α属于第三象限角． ②当2k i =（其中)i Z ∈时，2α的取值范围是(2,2)4i i πππ+即2α属于第一象限角．故答案为：一或三．2．（3分）半径为1的扇形面积也为1，则其圆心角的弧度数是 2 【解答】解：设扇形圆心角的弧度数为α， 则扇形面积为211122S r αα===，解之，得2α=． 故答案为：2．3．（3分）函数sin cos y x x =的最小正周期是 π ． 【解答】解：函数1sin cos sin 22y x x x ==，它的最小正周期是：22ππ=． 故答案为：π．4．（3分）已知角α满足3cos 5α=-，其终边上有一点(,)P x y ，若4y =，则x = 3-【解答】解：由三角函数的定义得3cos 5α==-，则0x <，平方得2291625x x =+， 得22259916x x =+⨯， 即216916x =⨯，得29x =， 得3x =-，故答案为：3-． 5．（3分）三角方程1sin 3x =满足[0x ∈，2]π的解构成的解集为 1arcsin 3或1arcsin 3π- （用反正弦表示） 【解答】解：1sin 3x =，[0x ∈，2]π， 1sin 3x arac ∴=或1arcsin 3x π=-，故答案为：1arcsin 3或1arcsin 3π-．6．（3分）在ABC ∆中，若b =2a =，且三角形有解，则A 的取值范围是 (0，]4π．【解答】解：22b =2a =，且三角形有解，2A π∴<，且sin b A a …，即sin A …． 04A π<…．故答案为(0，]4π．7．（3分）若2sin 1cos αα=+，则tan α= 0，或43． 【解答】解：2sin 1cos αα=+，22sin cos 1αα+=，∴可得：22sin (2sin 1)1αα+-=，可得：25sin 4sin αα=， ∴解得：sin 0α=，或45， cos 1α∴=-，或35，sin tan 0cos ααα∴==，或43． 故答案为：0，或43． 8．（3分）将函数()3cos(2)4f x x π=-的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的图象的对称轴方程为x =11224k ππ+，k Z ∈ 【解答】解：函数()3cos(2)4f x x π=-的图象向右平移3π个单位长度后，得11()3cos[2()]3cos(2)3412g x x x πππ=--=-，由112()12x k k Z ππ-=∈，11()242k x k Z ππ∴=+∈， 故答案为：11()242k k Z ππ+∈． 9．（3分）ABC ∆中，5AB =，4BC =，3CA =，D 为AB 边上的中点，则ACD ∆与BCD ∆的外接圆的面积之比为 9:16【解答】解：由ABC ∆中，5AB =，4BC =，3CA =，知 ABC ∆为直角三角形，又D 为AB 边上的中点， 1522CD AB ∴==， 设ACD ∆与BCD ∆的半径分别为R ，r 则由正弦定理得12sin 16CD R A ==，12sin 12CD r B ==， ACD ∆与BCD ∆的外接圆的面积之比为22:9:16R r =，故答案为：9:16．10．（3分）下列是有关ABC ∆的几个命题：①若tan tan tan 0A B C ++>，则ABC ∆是锐角三角形； ②若cos cos a A b B =，则ABC ∆是等腰三角形； ③若cos cos a B b A b +=，则ABC ∆是等腰三角形； ④若cos sin A B =，则ABC ∆是直角三角形， 其中所有正确命题的序号是 ①③【解答】解：①．tan tan tan()(1tan tan )A B A B A B +=+-， tan tan tan tan()(1tan tan )tan A B C A B A B C ∴++=+-+ tan tan tan 0A B C =>，又A ，B ，C 是ABC ∆的内角，∴内角A 、B 、C 都是锐角，①正确；②．cos cos a A b B =，则sin cos sin cos A A B B =，则 sin2sin2A B =，sin 2sin 2cos()sin()0A B A B A B ∴-=+-=，cos()0A B ∴+=或sin()0A B -=， 2A B π∴+=或A B =，ABC ∴∆是等腰三角形或是直角三角形，②错误；③．若cos cos a B b A b +=，则sin cos sin cos sin A B B A B +=， sin()sin sin A B C B ∴+==，则C B =，即c b =，则ABC ∆是等腰三角形；③正确；④．若cos sin A B =，则sin cos sin()2B A A π==-，2B A π∴=-，2B A ππ+-=．即2A B π+=或2B A π-=，ABC ∴∆不一定为直角三角形，④错误，综上，所有正确命题的序号是①③． 故答案为：①③．11．（3分）已知函数sin cos y a x x =+，[0,]2x π∈，其最小值为a ，则实数a 的取值范围是 (-∞，1]【解答】解：由条件知当2x π=时，y a =，因为函数sin cos y a x x =+的周期为2π， 所以此函数在[0,]2π，的右端处取得最小值a ，所以必有1a …， 故答案为(-∞，1]． 12．（3分）设1a 、2a R ∈，且121122sin 2sin(2)a a +=++，则12|10|a a π--的最小值等于 4π． 【解答】解：根据三角函数的性质，可知1sin α，2sin 2α的范围在[1-，1]， 要使121122sin 2sin 2αα+=++，1sin 1α∴=-，2sin 21α=-．则：1122k παπ=-+，1k Z ∈．22222k παπ=-+，即224k παπ=-+，2k Z ∈．那么：12123(2)4k k πααπ+=+-，1k 、2k Z ∈． 12123|10||10(2)|4k k ππααππ∴--=+-+的最小值为4π． 故答案为：4π． 二.选择题13．（3分）ABC ∆中，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的( )条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分D ．既不充分也不必要【解答】解：解：充分性：在ABC ∆中，“cos cos A B >”，由余弦函数在(0,)π是减函数，故有A B <，若B 不是钝角，显然有“sin sin A B <”成立， 若B 是钝角，因为A B π+<，故有2A B ππ<-<，故有sin sin()sin A B B π<-=，综上，“cos cos A B >”可以推出“sin sin A B <”， 必要性：由“sin sin A B <”，若B 是钝角，在ABC ∆中，显然有0A B π<<<，可得，“cos cos A B >”， 若B 不是钝角，显然有02A B π<<<，此时也有cos cos A B >，综上，“sin sin A B <”推出“cos cos A B >”成立， 故，“cos cos A B >”是“sin sin A B <”的充要条件， 故选：A ．14．（3分）已知函数()sin sin3f x x x =-，[0x ∈，2]π，则函数()f x 的所有零点之和等于( ) A ．0 B ．3π C ．5π D ．7π【解答】解：()sin sin3sin (sin cos2cos sin 2)sin (sin cos22sin cos cos )f x x x x x x x x x x x x x x =-=-+=-+2sin sin (cos22cos )x x x x =-+2sin (1cos22cos )sin (cos2cos2)2sin cos2x x x x x x x x =--=--=-， 由()0f x =，得sin 0x =或cos20x =， 由sin 0x =得x k π=，k Z ∈，[0x ∈，2]π，0x ∴=或x π=或2x π=，由cos20x =得2222k x k ππππ+=+=，k Z ∈， 即24k x ππ+=， [0x ∈，2]π，4x π∴=或34x π=或54x π=或74x π=， 则所有零点之和为3570274444πππππππ++++++=，故选：D ．15．（3分）在ABC ∆中，2222sin()sin()a b A B a b A B ++=--，则ABC ∆的形状是( ) A ．等腰三角形但一定不是直角三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形但一定不是等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形【解答】解：由，2222sin()sin()a b A B a b A B ++=--，得 2222()sin()()sin()()a b A B a b A B a b +-=-+≠，2222()(sin cos cos sin )()(sin cos cos sin )()a b A B A B a b A B A B a b ∴+-=-+≠， 2222()(cos cos )()(cos cos )()a b a B b A a b a B b A a b ∴+-=-+≠，2222222222222222()()()()()2222a c b b c a a c b b c a a b a b a b a b a b ac bc ac bc+-+-+-+-∴+-=-+≠，22a b ∴=或222a b c +=，且a b ≠，ABC ∴∆是直角三角形但一定不是等腰三角形．故选：C ．16．（3分）已知函数2()cos()(1)sin()33f x x a x a ππ=+-+，()2xg x =，若[()]0f g x …，对(x ∈-∞，0]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(1]-∞B ．1,)+∞C ．(-∞，1]-D ．[1-，)+∞【解答】解：2()cos()(1)sin()33f x x a x a ππ=+-+ 212sin ()sin()[sin()1]333x x a x πππ=--++()2x g x =，令()k g x =，则当(x ∈-∞，0]时，(0k ∈，1]， 令3t k π=，则(0,]3t π∈， 2[()]()()12sin sin (sin 1)f g x f k f t t t a t ∴===--++ [()]0f g x …，对(x ∈-∞，0]恒成立，∴只需22sin sin 1()sin 1max t t a t +-+…令22sin sin 1()sin 1t t h t t +-=+，(0,]3t π∈， 则22(sin 1)3sin 3()2sin 1sin 1t t h t t t +--==-+， (0,]3t π∈，∴()()13max h t h π=， 1a ∴，故选：B ．三.解答题17．设α，(0,)βπ∈，且5sin()13αβ+=，tan()324απ+=． （Ⅰ）求cos α的值；（Ⅱ）求cos β的值．【解答】解：（Ⅰ）α，(0,)βπ∈，tan()324απ+=． 所以：22tan()324tan()241tan ()24αππααπ++==--+， 即：3cot 4α-=-， 所以：4tan 3α=， 则：43sin ,cos 55αα==． （Ⅱ）由于：5sin()13αβ+=， 且：4sin 5α=， 故：32ππα<<，且5sin()13αβ+=， 故：2παβπ<+<，所以：12cos()13αβ+=-， 则：cos cos[()]βαβα=+-，cos()cos sin()sin αβααβα=+++，12354()135135=-+， 1665=-． 18．已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的部分图象如图所示． （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，当[0,]2x π∈时，求函数()()()h x f x g x =+的值域．【解答】解：（1）52()63T πππ=⨯-=，∴22πωπ==⋯（2分） 则()sin(2)f x A x ϕ=+， 由五点对应法得23πϕπ⨯+=， 3πϕ∴=，即()sin(2)3f x A x π=+⋯（4分）又(0)sin 3f A π==A 则2A =⋯（6分）∴()2sin(2)3f x x π=+⋯（7分）（2）依题意()2sin 2g x x =⋯（9分）1()2sin(2)2sin 23sin 22cos2))326h x x x x x x x x =++=+=+=+ππ[0,]2x π∈，2[66x ππ∴+∈，7]6π，∴)[6x π+∈，()h x ∴的值域为[⋯（15分）19．如图，已知O 的半径为1，点C 在直径AB 的延长线上，1BC =，点P 是半圆上的一个动点，以PC 为边作正三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 两侧．（1）若POB θ∠=，试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数并写出定义域；（2）求出四边形OPDC 面积的最大值，并写出面积取得最大值时的θ的值．【解答】解：（1）在OPC ∆中，由余弦定理得：2222cos 144cos 54cos PC OP OC OP OC θθθ=+-=+-=-．OPC PDC y S S ∆∆∴=+112sin 4cos )2θθ=⨯⨯⨯-sin θθ=+2sin())3πθθπ=-+<<． （2）0θπ<<，2333πππθ∴-<-<，∴当32ππθ-=即56πθ=时，y 取得最大值2．∴当56πθ=时，四边形OPDC 面积的最大值为2． 20．若函数()f x 满足3()()2f x f x π=+且()()44f x f x ππ+=-，则称()f x 为“M 函数”． （1）试判断4()sin 3f x x =是否为“M 函数”，并说明理由； （2）函数()f x 为“M 函数”，且当[,]4x ππ∈时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在3[0,]2π上的单调递增区间； （3）在（2）条件下，当[,4]()2x k N ππ∈-∈时，关于x 的方程()(f x a a =为常数）有解，记该方程所有解的和为S ，请求出S ．【解答】解：（1）4()sin 3f x x =不是“M 函数”． 44()sin ()sin()43433f x x x πππ+=+=+，44()sin ()sin()43433f x x x πππ-=-=-， ()()()44f x f x x R ππ∴+≠-∈， 4()sin 3f x x ∴=不是“M 函数”．（2）函数()f x 满足3()()2f x f x π=+， ∴函数()f x 的周期32T π=， ()()()44f x f x x R ππ+=-∈，()()()2f x f x x R π∴=-∈， ①当3[24k x ππ∈+，3]2k ππ+时，33()()sin()22k k f x f x x ππ=-=- ②当3[22k x ππ∈-，3]24k ππ+时，33()[()]cos()222k f x f x k x πππ=--=-． 333cos(),22224()333sin(),2242x k k x k f x x k k x k ππππππππππ⎧--+⎪⎪∴=⎨⎪-++⎪⎩剟剟，k Z ∈； 在[0，3]2π上的单调递增区间：[4π，]2π，[π，3]2π； （3）由（2）可得函数()f x在[2π-，]π上的图象为：①当0a <…1a =时，()(fx a a =为常数）有2个解，其和为2π； ②当a 时，()(f x a a =为常数）有3个解，其和为34π； ③当12a <<时，()(f x a a =为常数）有4个解，其和为π． ∴当[2x π∈-，4]π时，记关于x 的方程()(f x a a=为常数）所有解的和为S ，则21,01263,4211a a S a a πππ⎧<=⎪⎪⎪⎪==⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩…． 21．若函数()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，[0,]2πϕ∈，()()f x f x +-的最大值为1．（1）求ϕ的值；（2）若函数()f x 在[1，2]内没有对称轴，求ω的取值范围；（3）若函数()f x 满足()(12)f x f x =+恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求ω的最小值．【解答】解：（1）()sin()f x x ωϕ=+，0ω>，[0,]2πϕ∈， ()()sin()sin()sin cos cos sin sin()cos cos()sin 2sin cos f x f x x x x x x x x ωϕωϕωϕωϕωϕωϕϕω+-=++-+=++-+-= 的最大值为1，2sin 1ϕ∴=，1sin 2ϕ∴=，6πϕ∴=．（2）()sin()6f x x πω=+ 在[1，2]内没有对称轴， ∴0620262ππωππω⎧<+<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩，或326232262πππωπππω⎧<+<⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩． 解得：06πω<<，或233ππω<<，即ω的取值范围为2(0,)(,)633πππ．（3）()sin()6f x x πω=+，()(12)f x f x =+恒成立，12∴为()f x 的一个周期，即212k πω=，*k N ∈，① 且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，06πωπ∴<+…，且326πωπ+…，解得：56πω…，②1118πω…，③①②③连立，ω∴的最小值为56π．。
上海市延安中学 2018 学年第学期期末考试高二年级数学试卷PDF无答案.pdf
上海市延安中学2018学年第学期期末考试高二年级数学试卷（考试时间: 90 分钟 满分: 100分）一、填空题（本大题共42分，每小题3分）1. -2的平方根是.2.若复数，其中是虚数单位，则_________.13z i =-i z z ⋅=3.已知直线与圆相切，则实数_________.2y kx =+221x y +=k =4.方程表示一个圆，则实数的取值范围是_________.220x y x y m +-++=m 5.与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆方程是_________.22194x y +=6.已知点和B ，动点满足，则的轨迹方程是_________.()30A ，()30B -，P 4PB PA -=P7.已知双曲线的渐近线方程为，且是上的一点，则双曲线的标准Γy =)pΓΓ_________.8.已知复数，且，则实数_________.()()()4231234a i z i i -=-+⋅-1z =a =9.设抛物线的准线与直线的距离为3，则该抛物线方程为_________.()2=0y mx m >1x =10.在复平面上，若正方形（按顺时针方向，表示原点）中的顶点对应复数为OABC O A ，12i +则顶点对应的复数为_________.C 11.直线（为参数）被双曲线截得的弦长为_________.122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 221x y -=12.已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当水面下降1米后，水面的宽为_________米.13.已知虚数满足（其中），若，则αβ、221010p p ααββ++=++=、p ∈R 1αβ-=_________.p =14.已知曲线:到两定点距离乘积为常数16的动点的轨迹，C ()()2020M N -，、，p 以下结论正确的是_________.（1）曲线一定经过原点；C （2）曲线与轴有且只有两个交点；C x （3）曲线关于轴对称，但不关于轴对称；C x y （4）的面积不大于8.MPN ∆二、选择题（本大题共12分，每小题3分）15.已知复数，“”是“为纯虚数”的（）z 0z z +=z （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件16,方程对应的曲线是（ ）0x17.已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足C O ()F -C P C 且，则椭圆的方程为（ ）OP OF =4PF =C （A ）（B ）221255x y +=2213010x y +=（C ）（D ）2213616x y +=2214525x y +=18.在平面直角坐标系中，已知点坐标为，为圆上的动xOy A ()31-，M N 、221:12C x y +=点，为圆上的动点，则四边形能构成矩形的个Q 222:14C x y +=AMQN 数是（ ）个（A ） 0个 （B ） 2个 （C ） 4个 （D ）无数个三、解答题（共46分）19.（本题6分） 已知是纯虚数，并使得，求z 21z i+∈-R z 20. （本题6分）已知曲线上每一点到点的距离比它到轴距离大1，C ()10F ，y 求曲线的方程.C 21.（本题6分）已知是实系数元二次方程的两个虚根，它们满足方程12z z 、，求.()122195z i z i +-=+2212z z +22.（本题8分）若直线经过点，且与双曲线只有一个公共点，l ()02，2213x y -=求直线的方程.l 23. （本题 10分）在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点在轴，xOy 221:1C mx my +=x，虚轴长为2；（1）求实数的值:m n 、（2）设椭圆，若分别为上的动点，且，222:41C x y +=M N 、12C C 、OM ON ⊥求证：点到直线的距离为定值O MN 24.（本题10分）如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点C y ()02，x M N 、在点的左侧），且;M N 3MN =（1）求圆的标准方程；C（2）过点任作一条线与椭圆1相交于两点，联结，求证:M 22148x y +=A B 、AN BN 、. ANM BNM ∠=∠。
2017-2018年上海市延安中学高一上周测—不等式数学试卷及答案
延安中学高一测试卷—不等式2017.11一. 填空题1. 不等式2560x x --<的解集是2. 不等式11x≤的解集是3. 5的解集是4. 已知x ∈Z ，则不等式312x x +≥-的解集是 5. 若103x <<，则(13)x x -的最大值是 6. 若x 和y 都是正数，且满足9xy =，则12x y+的最小值是 7. 不等式2312x x ->+的解集是 8. 已知对于任意实数x ，都有2221123kx kx x x ++<++，则实数k 的取值范围是 9. 关于x 的不等式组10ax a x >⎧⎨-+>⎩的解集为空集，则实数a 的取值范围是 10. 已知,,a b c 都是整数，若关于x 的不等式32(3)(2)()(2)0x x a x b x c ----≤的解集 是3(,1]{1}[,3]2-∞-，则乘积abc = 11. 若x 和y 都是正实数，且满足4x y +=，则12x y +的最小值是二. 选择题12. 下列命题中正确的是（ ）A. 若0a b <<，则1a b< B. 若a b c >>，则()()a b c b a c ->- C. 若a b >，则22a b > D. 若a b >，则33a b >13. 若关于x 的不等式20ax bx c ++<（0a ≠）的解集是∅，则（ ）A. 0a <且240b ac ->B. 0a <且240b ac -<C. 0a >且240b ac -≤D. 0a >且240b ac ->14. 若1a b >>，全集U =R ，{|}2a b M x b x +=<<，{}N x x a =<<，{|P x b x =<，则（ ） A. U P M N = B. U P M N = C. P M N = D. P M N =三. 解答题17. 解不等式组|23|7924x x -≤⎧⎪⎨>-⎪-⎩18. 解关于x 的不等式：22320kx k x k +->（k ∈R ）19. 已知,,a b c ∈R ，且0ac ≠，求证：22222111()(1)(1)b c b a a c+≤+++； 并指明出等号成立的条件.参考答案一. 填空题1. (1,6)-2. (,0)[1,)-∞+∞ 3. 2[,9)3 4. {0,1} 5. 1126. 37. 1(,2)(2,)(5,)3-∞--+∞8. (1,1]-9. [1,0]-10. 6- 11.34+二. 选择题12. D 13. C 14. A三. 解答题15. 1[2,)(4,5]2--.16. 当0k >，(,2)(,)x k k ∈-∞-+∞；当0k =，x ∈∅；当0k <，(,2)x k k ∈-.17. 作差法，证明略，当且仅当2c ab =时等号成立.。
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上海市延安中学2018学年度第二学期期中考试
高一年级数学试卷
一、填空题（本大题满分45分）本大题有15题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分． 1．函数sin 2y x =的最小正周期为 ． 2．函数tan y x =-的单调递减区间是 ．
3．使函数tan 2x
y =-取得最小值的x 的集合是 ．
4．求值：2arcsin cos 3x ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭ ．
5．已知sin 2cos θθ=，则tan 2θ的值为 ．
6．已知角α的终边位于函数3y x =-的图象上，则cos 2a 的值为 ．
7．函数π
2πsin 33y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭
的值域用区间表示为 ．
8．在ABC △中，已知7a =，8b =，13c =，则角C 的大小为 ．
9．在ABC △中，已知45A =︒，105B =︒，用
a
c
的值为 ． 10．在ABC △中，已知5a =，8b =，并且ABC △的面积为10，则角C 的大小为 ．
11．已知12sin 13α=，并且α是第二象限角，则tan 2
α
的值为 ．
12．化简：()()()()cos 44cos 33sin 46sin 57θθθθ︒+-︒+-︒︒+= ．
13．cos x x 可以写成()2sin x ϕ+的形式，其中02πϕ<≤，则ϕ= ．
14．把函数πsin 4y x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图像向右平移π2个单位，得函数()sin y x θ=+（02πθ<≤）
的图像，则θ的值为 ．
15．已知函数()sin y A x ωϕ=+，其中0A >，0ω>，x ϕ≤，在一个周期内，当π
12
x =
时，函数取得最小值2-；当7π
12
x =
时，函数取得最大值2．由上面的条件可知，该函数的解析式为 ．
二、选择题（本大题满分15分）本大题共有5题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．
16．函数()45sin y x x =-︒-
A ．是奇函数但不是偶函数
B ．是偶函数但不是奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
17．化简()()cos 2πcos2sin sin 2x θθθθ-++所得的结果是
A ．cos θ
B ．cos θ-
C ．cos3θ
D ．看不清
18．方程1
sin 2
x -
的解为 A ．()ππ16k
x k =+--，k ∈Z
B ．()π
2π16k
x k =-⋅
，*k ∈Z C ．()1π
π16
k x k +-+-⋅，k ∈Z
D ．()1π
2π16
k x k +=+-⋅，k ∈Z （角标全部清
楚）
19．sin 33sin x x =的一个充要条件是
A ．sin x θ=
B ．cos 0x =
C ．sin 1x =
D ．cos 1x =
20．若函数22232sin sin
42sin 2cos x x y x x
+-=
+既存在最大值M ，又存在最小值m ，则M m +的值为
A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．4- 三、解答题（本大题40分）本大题共有4题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 21．（本题满分8分）
求方程()sin cos tan 2cos x x x x +=在区间()0π，上的解．
22．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1题满分6分，第2题满分4分．
已知函数()22sin cos f x a x b x =+（a b >）的值域为[]13，．
（1）求a 、b 的值与()f x 的最小正周期；
（2）用五点法画出上述函数在区间[]ππ-，
上的大致图像． 23．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分． （1）证是三倍角的余弦分式：2cos34cos 3cos θθθ=-；
（2）利用等式sin 36cos54︒=︒，求sin18︒的值． 24．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6
分．
设(
)f x = （1）若锐角θ满足24
tan 27
θ=
，问：θ是否为方程()1f x =的解？为什么？
（2）求方程()1f x =在区间()-∞+∞，
上的解集．。