(江苏专用)2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第57练 直线的方程练习 理
2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第60练直线与圆综合练练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第60练 直线与圆综合练练习 理________________．2．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为________．3．(2016·丽水一模)已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是________．4．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆C 位于y 轴的右侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆C 的标准方程为________．5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．6．过点P (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________________．7．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是______________．8．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________．9．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．10．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．答案精析1．2x ＋3y －1＝0 2.3 3.24．(x －2)2＋y 2＝2解析 设圆心为(a,0)(a ＞0)，由题意得|a |2＝2，所以a ＝2(a ＝－2舍去)，即圆C 的圆心为C (2,0)，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.5．10 2解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)，故EF ＝ 5.∴BD ＝210－52＝25， ∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2. 6．2x －4y ＋3＝0解析 设AB 的中点为D ，则co s∠ACB ＝2cos 2∠ACD －1.所以当cos∠ACD 最大时，cos∠ACB 最大，∠ACB 最小．当斜率存在时，设l ：y －1＝k (x －12)， 即kx －y ＋1－k 2＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|k2＋1|k 2＋1. 当CP ⊥AB 时，d 最大．此时k CP ＝－2，所以k ＝12， 所以y ＝12x ＋34； 当斜率不存在时，d ＝12＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋154＝52，舍去． 综上，直线l ：y ＝12x ＋34，即2x －4y ＋3＝0.7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，得(x －2)2＋(y －2)2＝18，所以r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12. 8．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使AB 最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1， 即x －y ＋3＝0.9．±1解析 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin 45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22，所以a ＝±1. 10．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为 B ′(x 0，y 0)，即y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3， 解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)． 由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时， PB ＋PQ 最小，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3 ＝－23－332＋＋2－3 ＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)， 故PB ＋PQ 的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为(32，12)．。
高考数学历年(2018-2022)真题按知识点分类平面解析几何(直线与方程)练习(附答案)
高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类平面解析几何（直线与方程）练习一、单选题1．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A B C ．12D ．132．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为p =（ ）A ．1B ．2C ．D ．44．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）点(0，﹣1)到直线()1y k x =+距离的最大值为（ ）A．1BC D ．25．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =图像上的点，则|OP |=（ ）A ．2B ．5C D6．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）直线2360x y +-=关于点()1,2-对称的直线方程是（ ） A ．32100x y --= B ．32230x y --= C ．2340x y +-=D ．2320x y +-=7．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知直线sin cos :y x l θθ=+的图像如图所示，则角θ是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角8．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知双曲线22221(00)x y C a b a b -=>>：，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为A B ．2 C ．2D ．9．（2018ꞏ北京ꞏ高考真题）在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．410．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是A ．15B ．25C ．45D ．65二、多选题11．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（ ）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒三、填空题12．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =对称的直线与圆22(3)(2)1x y +++=有公共点，则a 的取值范围是________．13．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．14．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________．15．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 16．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.四、解答题17．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B两点，点M 的坐标为(2,0).（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.18．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：ABM ABN ∠=∠．19．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小．．于圆．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．五、双空题20．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知双曲线22:163x yC-=，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．参考答案1．A【要点分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b +=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【答案详解】[方法一]：设而不求 设()11,P x y ，则()11,Q x y - 则由14AP AQk k ⋅=得：21112211114AP AQ y y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 由2211221x y a b +=，得()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x ax a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C的离心率c e a === A.[方法二]：第三定义设右端点为B ，连接PB ，由椭圆的对称性知：PB AQ k k =-故14AP AQ PA AQ k k k k ⋅=⋅-=-，由椭圆第三定义得：22PA AQb k k a⋅=-，故2214b a = 所以椭圆C的离心率c e a === A.2．D【要点分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【答案详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===， 依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 3．B【要点分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【答案详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B. 4．B【要点分析】首先根据直线方程判断出直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果. 【答案详解】由(1)y k x =+可知直线过定点(1,0)P -，设(0,1)A -， 当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即为||AP =故选：B.【名师点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题. 5．D【要点分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值．【答案详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D.【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 6．D【要点分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，,则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---，代入已知直线即可求得结果.【答案详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为()x y ，， 则其关于点()1,2-对称的点的坐标为(2,4)x y ---， 因为点(2,4)x y ---在直线2360x y +-=上， 所以()()223460x y --+--=即2320x y +-=. 故选：D.7．D【要点分析】本题可根据直线的斜率和截距得出sin 0θ<、cos 0θ>，即可得出结果. 【答案详解】结合图像易知，sin 0θ<，cos 0θ>， 则角θ是第四象限角， 故选：D.8．D【答案详解】要点分析：由离心率计算出ba，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．答案详解：e c a === 1ba∴= 所以双曲线的渐近线方程为x y 0±=所以点（4，0）到渐近线的距离d== 故选D名师点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．9．C【要点分析】P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，则根据几何意义得d 的最大值为1OA +.【答案详解】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ， 所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．D【要点分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【答案详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离65d ==,故选D. 【名师点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.11．ACD【要点分析】由AF AM =及抛物线方程求得3(42p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得(,33p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB =即可判断C 选项；由0OA OB ⋅< ，0MA MB ⋅< 求得AOB ∠，AMB∠为钝角即可判断D 选项.【答案详解】对于A ，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=， 代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则3()42p A ，则直线AB的斜率为2342p p =-，A 正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为2px y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y1p y p +=，则1y =2123p x ⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，解得13p x =，则(,)33p B ，则2p OB OF =≠=，B 错误； 对于C ，由抛物线定义知：325244312p p pAB p p OF =++=>=，C 正确； 对于D，2333(,(,0423343234p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭，则AOB ∠为钝角，又2225()(,)0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确. 故选：ACD.12．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【要点分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【答案详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=； 圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =， 依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦13．22(1)(1)5x y -++=【要点分析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【答案详解】[方法一]：三点共圆∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上，∴点M到两点的距离相等且为半径R ， ∴==R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，R=M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= [方法二]：圆的几何性质由题可知，M 是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线210xy +-=的交点(1,-1).R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=. 故答案为：22(1)(1)5x y -++= 14【要点分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.【答案详解】由已知，3c ==，所以双曲线的右焦点为(3,0)，所以右焦点(3,0)到直线280x y +-===.15．()0,1【要点分析】结合导数的几何意义可得120x x +=，结合直线方程及两点间距离公式可得1A x M =，2B x N =，化简即可得解.【答案详解】由题意，()1011,0,xx x e x f x e e x <=⎧---≥⎪=⎨⎪⎩，则()0,,0xx x f x e e x ⎧-⎪=<>⎨'⎪⎩，所以点()11,1x A x e -和点()22,1x B x e -，12,x xAM BN k e k e =-=,所以12121,0x xe e x x -⋅=-+=，所以()()111111,0:,11x x x xe e x x e AM e y M x -+=---+，所以1x AM ==，同理2B x N =,所以()10,1x e N AM B ===∈=. 故答案为：()0,1【名师点睛】关键点名师点睛：解决本题的关键是利用导数的几何意义转化条件120x x +=，消去一个变量后，运算即可得解. 16．4.【要点分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【答案详解】当直线0x y +=平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x =，y =即切点Q ，则切点Q 到直线0x y +=4=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.17．（1）AM的方程为2y x =-2y x =（2）证明见解析. 【要点分析】（1）根据l 与x 轴垂直，且过点()1,0F ，求得直线l 的方程为=1x ，代入椭圆方程求得点A的坐标为2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或1,2⎛-⎝⎭，利用两点式求得直线AM 的方程； （2）方法一：分直线l 与x 轴重合、l 与x 轴垂直、l 与x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【答案详解】（1）由已知得()1,0F ，l 的方程为=1x .由已知可得，点A的坐标为1,2⎛ ⎝⎭或1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以AM的方程为2y x =+2y x =. （2）［方法一］：【通性通法】分类＋常规联立 当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=o .当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为()()10y k x k =-≠，()()1122,,,A x y B x y ，则12x x <<MA 、MB 的斜率之和为121222MA MB y yk k x x +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得()()()12121223422MA MB kx x k x x kk k x x -+++=--.将()1y k x =-代入2212x y +=得()2222214220k x k x k +-+-=.所以，22121222422,2121k k x x x x k k -+==++. 则()33312122441284234021k k k k kkx x k x x k k --++-++==+.从而0MA MB k k +=，故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. 综上，OMA OMB ∠=∠.［方法二］：角平分线定义的应用当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ． 由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 点A 关于x 轴的对称点()11,N x y -，则直线BN 的方程为()()()()121121y y x x y y x x +-=+-．令=0y ，()()221211212122111212122122222222mm y x x my y y y x y x y m m x x m y y y y y y m -⋅--+++++=+====-++++，则直线BN 过点M ，OMA OMB ∠=∠． ［方法三］：直线参数方程的应用设直线l 的参数方程为=1+cos =sin x t y t αα⎧⎨⎩（t 为参数）．（*）将（*）式代入椭圆方程2212x y +=中，整理得()221sin 2cos 10t t αα++-=．则12211sin t t α-⋅=+，1222cos 1sin t t αα+=-+． 又()()11221cos ,sin ,1cos ,sin A t t B t t αααα++，则MA MB k k +=1212sin sin 1cos 21cos 2t t t t αααα+=+-+-1212sin sin cos 1cos 1t t t t αααα+=--()(()()122112sin cos 1+sin cos=cos 1cos 1t t t t t t αα-αα-α-()()()1212122sin cos sin cos 1cos 1t t t t t t ααααα-+=--()()22122sin cos 2sin cos 1sin 1sin 0cos 1cos 1t t αααααααα-+++=--， 即MA MB k k =-．所以OMA OMB ∠=∠． ［方法四］：【最优解】椭圆第二定义的应用 当直线l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当直线l 与x 轴不重合时，如图6，过点A ，B 分别作准线=2x 的垂线，垂足分别为C ，D ，则有AC BD x ∥∥轴．由椭圆的第二定义，有e AF AC=，||e ||BF BD =，得||||||||AF BF AC BD =，即||||||||AF AC BF BD =．由AC BD x ∥∥轴，有||||||||AF BF CM DM =，即||||||||AF CM BF DM =，于是||||||||AC CM BD DM =，且90ACM BDM ∠=∠=︒．可得AMC BMD ∠=∠，即有∠=∠AMO BMO ．［方法五］：角平分线定理逆定理＋极坐标方程的应用椭圆22:12x C y +=以右焦点为极点，x轴正方向为极轴，得ρ=设()()12,,,A B ρθρθπ+．22221122||12cos ,||12cos AM BM ρρθρρθ=+-=++．所以1||||AM AF ==2||||BM BF ==由角平分线定理的逆定理可知，命题得证． ［方法六］：角平分线定理的逆定理的应用设点O （也可选点F ）到直线,MA MB 的距离分别为12,d d ，根据角平分线定理的逆定理，要证OMA OMB ∠=∠，只需证12d d =． 当直线l 的斜率为0时，易得120d d ==．当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为：()()11221,,,,x my A x y B x y =+．由方程组22+=1,2=+1,x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210,Δ0m y my ++-=>恒成立，12222m y y m +=-+．12212y y m =-+． 直线MA 的方程为：()1111220,y x x y y d ---==因为点A 在直线l 上，所以111x my =+，故1d =同理，2d =()()()()12121222122222112242121121y y y y my y d d m y my m y my -+-⎡⎤⎣⎦-=⎡⎤⎡⎤+-++-+⎣⎦⎣⎦．因为()121222222022m m y y my y m m +-=-+=++，所以22120d d -=，即12d d =． 综上，OMA OMB ∠=∠．［方法七］：【通性通法】分类＋常规联立当直线l 与x 轴重合或垂直时，显然有OMA OMB ∠=∠．当直线l 与x 轴不垂直也不重合时，设直线l 的方程为1x my =+，交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ．由22+=12=+1x y x my ⎧⎪⎨⎪⎩得()222210m y my ++-=． 由韦达定理得12122221,22m y y y y m m --+==++． 所以()()()1212121212121220221111MA MB my y y y y y y y k k x x my my my my -++=+=+==------， 故MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠. ［方法八］：定比点差法设()0,1AF FB λλ=≠± ，()()1122,,,A x y B x y ，所以1212+1=1++0=1+x x y y λλλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由22112222222+=12+=2x y x y λλλ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩作差可得，()12121212112111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⨯+⨯=+-+-，所以， ()1221x x λλ-=-，又121x x λλ+=+，所以，()121113,322x x λλ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故()1222120111221122MA MB y y y y k k x x λλλ-+=+=+=--⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，MA 、MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.当1λ=时，l 与x 轴垂直，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠. 故OMA OMB ∠=∠．【整体点评】（2）方法一：通过分类以及常规联立，把角相等转化为斜率和为零，再通过韦达定理即可实现，是解决该类问题的通性通法；方法二：根据角平分线的定义可知，利用点A 关于x 轴的对称点N 在直线BM 上，证直线AN 过点M 即可；方法三：利用直线的参数方程证明斜率互为相反数；方法四：根据点M 是椭圆的右准线=2x 与x 轴的交点，用椭圆的第二定义结合平面几何知识证明，运算量极小，是该题的最优解；方法五：利用椭圆的极坐标方程以及角平分线定理的逆定理的应用，也是不错的方法选择； 方法六：类比方法五，角平分线定理的逆定理的应用； 方法七：常规联立，同方法一，只是设直线的方程形式不一样； 方法八：定比点差法的应用．18．（1）112y x =+或112y x =--；（2）证明见解析.【要点分析】（1）根据题意可得直线l 的方程为=2x ，从而得出点M 的坐标为()2,2或()2,2-，利用两点式求得直线BM 的方程；（2）方法一：设直线l 的方程为2x ty =+，点()11,M x y 、()22,N x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线BM 、BN 的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.【答案详解】（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为=2x ，可得M 的坐标为()2,2或()2,2-． 所以直线BM 的方程为112y x =+或112y x =--；（2）［方法一］：【通性通法】韦达定理＋斜率公式 设l 的方程为2x ty =+，()11,M x y 、()22,N x y ，由2=+2=2x ty y x ⎧⎨⎩，得2240y ty --=，可知122y y t +=，124y y =-． 直线BM 、BN 的斜率之和为()()()()()()()()21122112121212122244222222BM BN x y x y ty y ty y y yk k x x x x x x +++++++=+==++++++()()()()()()1212121224244202222ty y y y t tx x x x ++⨯-+⨯===++++，所以0BM BN k k +=，可知BM 、BN 的倾斜角互补，所以ABM ABN ∠=∠. ［方法2］：【最优解】斜率公式＋三点共线的坐标表示因为M ，N 在抛物线上，可设()2112,2M t t ，()2222,2N t t ，故()21122,2AM t t =- ，()22222,2AN t t =- ．而A ，M ，N 共线，故AM AN ∥，即()()2221122222220t t t t -⋅--⋅=，化简得()()1221410t t t t +-=．而M ，N 是不同的点，故12t t ≠，可得1210t t +=．这样()()()()121212222212121220222211BM BN t t t t t t k k t t t t +++=+==++++．故ABM ABN ∠=∠． 【整体点评】（2）方法一：通过联立方程得出根与系数的关系，再直接使用斜率公式化简即可证出，是此题问题的通性通法；方法二：通过设点，根据三点共线的坐标表示寻找关系，再利用斜率公式化简证出，省略了联立过程，适当降低了运算量，是此类问题的最优解． 19．（1）15（百米）； （2）见解析；（3）17+. 【要点分析】解：解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .利用几何关系即可求得道路PB 的长； （2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 解法二：（1）建立空间直角坐标系，分别确定点P 和点B 的坐标，然后利用两点之间距离公式可得道路PB 的长；（2）分类讨论P 和Q 中能否有一个点选在D 处即可.（3）先讨论点P 的位置，然后再讨论点Q 的位置即可确定当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案详解】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==，从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQ===此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ=d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，建立平面直角坐标系.因为BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，−3. 因为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A（4，3），B（−4，−3），直线AB的斜率为3 4 .因为PB⊥AB，所以直线PB的斜率为43 -，直线PB的方程为42533 y x=--.所以P（−13，9），15PB==.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，取线段BD上一点E（−4，0），则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知D（−4，9），又A（4，3），所以线段AD：36(44)4y x x=-+-剟.在线段AD上取点M（3，154），因为5OM=<=，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求； 当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -；当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识要点分析和解决实际问题的能力.20． ()3,0【要点分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【答案详解】在双曲线C 中，a =b =3c ==，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0，双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，即0x =，所以，双曲线C.故答案为：()3,0【名师点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，属于基础题.。
2018届高三数学 第57练 高考大题突破练—立体几何
第57练高考大题突破练——立体几何1．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图是腰长为6的等腰直角三角形，俯视图是正方形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD—A1B1C1D1?如何组拼？试证明你的结论；(3)在(2)的情形下，设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点为E, 求平面AB1E与平面ABC 所成二面角的余弦值．2.如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 为PC 的中点，N 点在AB 上且AN ＝13NB .(1)证明：MN ∥平面PAD ；(2)求直线MN 与平面PCB 所成的角．3.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝4，CB ＝2，AA 1＝2，∠ACB ＝60°，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)证明：平面AEB ⊥平面BB 1C 1C ； (2)证明：C 1F ∥平面ABE ；(3)设P 是BE 的中点，求三棱锥P －B 1C 1F 的体积．4．(2016·浙江)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF ＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角BADF的平面角的余弦值．答案精析1．解 (1)该几何体的直观图如图1所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的正方形，高PD ＝6，故所求体积是V ＝13×62×6＝72.(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的3倍，故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体，即由四棱锥D 1－ABCD ，D 1－BB 1C 1C ，D 1－BB 1A 1A 组成．其拼法如图2所示. (3)因为△AB 1E 的边长AB 1＝62，B 1E ＝35，AE ＝9，所以S △AB 1E ＝27，而S △ABC ＝18，所以平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为1827＝23.2．证明 方法一 (1)过点M 作ME ∥CD 交PD 于E 点，连接AE ， ∵AN ＝13NB ，∴AN ＝14AB ＝12DC ＝EM ，又EM ∥DC ∥AB ，∴EM ∥AN ， ∴四边形AEMN 为平行四边形， ∴MN ∥AE ，又∵AE ⊂平面PAD ，MN ⊄平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .(2)过N 点作NQ ∥AP 交BP 于点Q ，NF ⊥CB 于点F ，连接QF ，过N 点作NH ⊥QF 于点H ，连接MH ，易知QN ⊥平面ABCD ，∴QN ⊥BC ，又NF ⊥BC ，NF ∩QN ＝N ，NF ⊂平面QNF ，QN ⊂平面QNF ， ∴BC ⊥平面QNF ，∴BC ⊥NH ， ∵NH ⊥QF ，BC ∩QF ＝F ，BC ⊂平面PBC ，QF ⊂平面PBC ，∴NH ⊥平面PBC ，∴∠NMH 为直线MN 与平面PCB 所成角， 通过计算可得MN ＝AE ＝22，QN ＝34，NF ＝342，∴NH ＝QN ·NF QF ＝QN ·NF QN 2＋NF 2＝64， ∴sin ∠NMH ＝NHMN＝32，∴∠NMH ＝60°， ∴直线MN 与平面PCB 所成角为60°.方法二 (1)以A 为原点，以AD ，AB，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，如图所示，过点作ME ∥CD ，ME 交PD 于点E ，连接AE ，由已知可得A (0,0,0)，B (0,2,0)，D (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,0,1)，M (12，12，12)，E (12，0，12)，N (0，12，0)．∵NM →＝(12，0，12)，AE →＝(12，0，12)，∴MN ∥AE ，∵MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ， ∴MN ∥平面PAD .(2)不妨设a ＝(1，y ，z )，且a ⊥平面PCB ， 则a ⊥BC →，a ⊥BP →，而BC →＝(1，－1,0)，BP →＝(0，－2,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－y ＝0，－2y ＋z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝2，∴a ＝(1,1,2)．∴cos 〈a ，NM →〉＝a ·NM →|a ||NM →|＝12＋0＋16·22＝32.即向量a 与NM →的夹角为30°， ∴直线MN 与平面PCB 所成的角为60°. 3．(1)证明 在△ABC 中，∵AC ＝2BC ＝4，∠ACB ＝60°， ∴AB ＝23，∴AB 2＋BC 2＝AC 2， ∴AB ⊥BC ，由已知得AB ⊥BB 1，且BC ∩BB 1＝B ， 又∵BC ⊂平面BB 1C 1C ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，∴AB ⊥平面BB 1C 1C ， 又AB ⊂平面ABE ， ∴平面ABE ⊥平面BB 1C 1C .(2)证明 取AC 的中点M ，连接C 1M ，FM ， 在△ABC 中，FM ∥AB ， 而FM ⊄平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，∴直线FM ∥平面ABE ，AC 的中点，∴C 1M ∥AE ， FMC 1， 又AB ⊥平面BB 1C 1C ， ∴EH ⊥平面BB 1C 1C ， ∵P 是BE 的中点， ∴111112P B C F E B C F V V --=＝12×1113B C F S ∆·EH＝12×13×2×3＝33. 4．(1)证明 延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．因为平面BCFE ⊥平面ABC ，平面BCFE ∩平面ABC ＝BC ，且AC ⊥BC ， 所以AC ⊥平面BCFE ，因此BF ⊥AC .又因为EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，所以△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK ，且CK ∩AC ＝C ，CK ，AC 都在平面ACFD 内，所以BF ⊥平面ACFD .(2)解 方法一 过点F 作FQ ⊥AK 于Q ，连接BQ . 因为BF ⊥平面ACFD ，AK 在平面ACFD 内，所以BF ⊥AK ， 则AK ⊥平面BQF ，BQ 在平面BQF 内，所以BQ ⊥AK . 所以∠BQF 是二面角BADF 的平面角． 在Rt △ACK 中，AC ＝3，CK ＝2，得FQ ＝31313.在Rt △BQF 中，FQ ＝31313，BF ＝3，得cos ∠BQF ＝34. 所以，二面角BADF 的平面角的余弦值为34. 方法二 因为△BCK 为等边三角形，取BC 的中点O ，连接KO ，则KO ⊥BC ， 又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以KO ⊥平面ABC .以点O 为原点，分别以射线OB ，OK 的方向为x 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意得B (1,0,0)，C (－1,0,0)，K (0,0，3)，A (－1，－3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，32.因此，AC →＝(0,3,0)，AK →＝(1,3，3)，AB →＝(2,3,0)．设平面ACK 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面ABK 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ AC →·m ＝0，AK →·m ＝0，得⎩⎨⎧ 3y 1＝0，x 1＋3y 1＋3z 1＝0，取m ＝(3，0，－1)； 由⎩⎪⎨⎪⎧AB →·n ＝0，AK →·n ＝0，得⎩⎨⎧2x 2＋3y 2＝0，x 2＋3y 2＋3z 2＝0，取n ＝(3，－2，3)．于是，cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝34.所以，二面角BADF 的平面角的余弦值为34.。
精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第62练椭圆的几何性质练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第62练 椭圆的几何性质练习 理1．设椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(2016·衡水模拟)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e ＝________.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为________．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为________．5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP→＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 6．(2016·济南3月模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为____________________．7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.9．(2017·上海六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．10．(2016·镇江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝________.11．(2016·连云港二模)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________．12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若ED →＝6DF →，则k 的值为________．13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是________．答案精析 1.33解析 由题意知sin 30°＝PF 2PF 1＝12， ∴PF 1＝2PF 2.又∵PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 2＝2a3.∴tan 30°＝PF 2F 1F 2＝2a 32c ＝33. ∴c a ＝33. 2.63解析不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆定义，得|MF 1→|＋|MF 2→|＝2a ，再结合条件可知|MO →|＝|MF 2→|＝2a 3.如图，过M 作MN ⊥OF 2于N ，则|ON →|＝c2，|MN →|2＝|MO →|2－c24.设|MF 2→|＝x ，则|MF 1→|＝2x .在Rt△MF 1N 中，4x 2＝94c 2＋x 2－c 24，即3x 2＝2c 2，而x 2＝4a 29，所以43a 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63. 3.15解析 不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )，由条件可得－3c ＝－a ＋2c ， ∴a ＝5c ，故e ＝15.4.32解析 设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b 2)＝a 2×b 2－y 20b2，又k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b 2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝ 3b 24b2＝32. 5．15解析 AP →＝OP →－OA →＝(λ－1)OA →，即OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线．又OA →·OP →＝72，所以OA →与OP →同向，所以|OA →||OP →|＝72.设OP 与x 轴的夹角为θ，点A 的坐标为(x，y )，点B 为点A在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|·cos θ＝|OP →|·|OB →||OA →|＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72·|x |1625x 2＋9＝72·11625|x |＋9|x |≤72·12× 16×925＝15，当且仅当|x |＝154时，等号成立．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 6．9x ＋16y －25＝0解析 设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 216＋y 1－y 2y 1＋y 29＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0. 7．±34解析 由离心率为12可得c 2a 2＝14，可得a 2－b 2a 2＝14，即b ＝32a ，因为MF 2与x 轴垂直，故点M的横坐标为c ，故c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ＝±34a ，则M (c ，±34a )，直线MF 1的斜率为kMF 1＝±3a 8c ＝±38×2＝±34.8.57解析 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得BF ＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以OF ＝c ＝5，连结AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以BF ＝AF 1＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.9．(0，－1)解析 设椭圆的右焦点为E ，PQ ＋PF ＝PQ ＋2a －PE ＝PQ －PE ＋2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，PQ ＋PF 取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1， QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)． 10. 2解析 由椭圆C 的离心率为32，得c ＝32a ，b 2＝a 24，∴椭圆C ：x 2a 2＋4y 2a 2＝1，F (32a,0)．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， ∵AF →＝3FB →， ∴(32a －x A ，－y A )＝3(x B －32a ，y B )． ∴32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B ， 即x A ＋3x B ＝23a ，y A ＋3y B ＝0. 将A ，B 的坐标代入椭圆C 的方程相减得 9x 2B －x 2Aa2＝8，x B ＋x Ax B －x Aa2＝8，∴3x B －x A ＝433a ，∴x A ＝33a ，x B ＝539a ， ∴y A ＝－66a ，y B ＝618a ， ∴k ＝y B －y A x B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a＝ 2. 11.57解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255＝11525或－55(舍去)．设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，由正弦定理得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.12.23或38解析 依题设，得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2.则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →，知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 可得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.13．(2－1,1)解析 由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2. 又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a ， 即PF 1＝c aPF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ， 所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2aca ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c ＜2a 2a ＋c ＜2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0(0＜e ＜1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．14．[38，34]解析 由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0， 解得x ＝2或x ＝2619.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时， 直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程，消去y 化简得 7x 2－16x ＋4＝0， 解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫27，127， 此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。
精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第60练直线与圆综合练练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第60练 直线与圆综合练练习 理________________．2．已知圆x 2＋y 2－2x ＋my －4＝0上两点M ，N 关于直线2x ＋y ＝0对称，则圆的半径为________．3．(2016·丽水一模)已知圆x 2＋y 2＝4，过点P (0，3)的直线l 交该圆于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最大值是________．4．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆C 位于y 轴的右侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆C 的标准方程为________．5．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．6．过点P (12，1)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为____________________．7．若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同的点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是______________．8．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________．9．已知直线ax ＋y －1＝0与圆C ：(x －1)2＋(y ＋a )2＝1相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．10．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，平行于x 轴且过点A (33，2)的入射光线l 1被直线l ：y ＝33x 反射，反射光线l 2交y 轴于B 点，圆C 过点A 且与l 1，l 2都相切．(1)求l 2所在直线的方程和圆C 的方程；(2)设P ，Q 分别是直线l 和圆C 上的动点，求PB ＋PQ 的最小值及此时点P 的坐标．答案精析1．2x ＋3y －1＝0 2.3 3.24．(x －2)2＋y 2＝2解析 设圆心为(a,0)(a ＞0)，由题意得|a |2＝2，所以a ＝2(a ＝－2舍去)，即圆C 的圆心为C (2,0)，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.5．10 2解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)，故EF ＝ 5.∴BD ＝210－52＝25， ∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2. 6．2x －4y ＋3＝0解析 设AB 的中点为D ，则cos∠ACB ＝2cos 2∠ACD －1.所以当cos∠ACD 最大时，cos∠ACB 最大，∠ACB 最小．当斜率存在时，设l ：y －1＝k (x －12)， 即kx －y ＋1－k 2＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|k2＋1|k 2＋1.当CP ⊥AB 时，d 最大．此时k CP ＝－2，所以k ＝12， 所以y ＝12x ＋34； 当斜率不存在时，d ＝12＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋154＝52，舍去． 综上，直线l ：y ＝12x ＋34，即2x －4y ＋3＝0.7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，得(x －2)2＋(y －2)2＝18，所以r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12. 8．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使AB 最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1， 即x －y ＋3＝0.9．±1解析 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin 45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22，所以a ＝±1. 10．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33， 所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)， 即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )， 因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上， 所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上， 所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为 B ′(x 0，y 0)，即y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3， 解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)． 由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时， PB ＋PQ 最小，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3 ＝－23－332＋＋2－3 ＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)， 故PB ＋PQ 的最小值为221－3， 此时点P 的坐标为(32，12)．。
2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第65练直线与圆锥曲线综合练练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第65练 直线与圆锥曲线综合练练习 理取值范围是__________________．2．设a ，b 是关于t 的方程t 2cos θ＋t sin θ＝0的两个不等实根，则过A (a ，a 2)，B (b ，b 2)两点的直线与双曲线x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1的公共点的个数为________． 3．点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．4．已知直线kx －y ＋1＝0与双曲线x 22－y 2＝1相交于两个不同的点A ，B ，若x 轴上的点M (3,0)到A ，B 两点的距离相等，则k 的值为________． 5．(2016·唐山一模)F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B .若2AF →＝FB →，则C 的离心率是________．6．设F 1，F 2为椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)与双曲线C 2的公共的左，右焦点，椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限内交于点M ，△MF 1F 2是以线段MF 1为底边的等腰三角形，且MF 1＝2，若椭圆C 1的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，则双曲线C 2的离心率的取值范围是________． 7．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，其焦点为F 1，F 2，离心率为22，直线l ：x ＋2y －2＝0与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，(1)若点A 是椭圆E 的一个顶点，求椭圆的方程；(2)若线段AB 上存在点P 满足PF 1＋PF 2＝2a ，求a 的取值范围．8．(2016·山东实验中学第三次诊断)已知点A (－2,0)，B (2，0)，曲线C 上的动点P 满足A P →·B P →＝－3.(1)求曲线C 的方程；(2)若过定点M (0，－2)的直线l 与曲线C 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围；(3)若动点Q (x ，y )在曲线C 上，求u ＝y ＋2x －1的取值范围． 9．(2016·苏北四市联考)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上，下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .(1)若点P 坐标为(3，1)，求椭圆C 的方程；(2)延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，求椭圆C 的离心率；(3)求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案精析1．(－153，－1) 2.0 3．(1,2)解析 如图，由题意知A 点的纵坐标为b 2a，若△ABE 是锐角三角形，则必有∠AEF ＜45°，∴tan∠AEF ＝b 2a a ＋c ＜1，即c 2－ac －2a 2＜0，亦即e 2－e －2＜0，∴－1＜e ＜2. 又e ＞1，∴1＜e ＜2. 4.12解析 联立直线与双曲线方程⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋1＝0，x 22－y 2＝1 得(1－2k 2)x 2－4kx －4＝0，∵直线与双曲线相交于两个不同的点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2k 2≠0，Δ＝16k 2＋－2k 2＝－k 2＞0，解得－1＜k ＜1且k ≠±22. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k1－2k2. 设P 为AB 的中点，则P (x 1＋x 22，k x 1＋x 22＋1)，即P (2k 1－2k 2，11－2k 2)． ∵M (3,0)到A ，B 两点距离相等，∴MP ⊥AB ，∴k MP ·k AB ＝－1，即k ·11－2k 22k1－2k 2－3＝－1， 得k ＝12或k ＝－1(舍)，∴k ＝12. 5.233 解析 由已知得渐近线为l 1：y ＝b a x ，l 2：y ＝－b a x ，由条件得，F 到渐近线的距离FA ＝b ，则FB ＝2b ，在Rt△AOF 中，OF ＝c ，则OA ＝c 2－b 2＝a .设l 1的倾斜角为θ，即∠AOF ＝θ，则∠AOB ＝2θ. 在Rt△AOF 中，tan θ＝b a ，在Rt△AOB 中，tan 2θ＝3b a ，而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ， 即3b a ＝2b a 1－b 2a2，即a 2＝3b 2， 所以a 2＝3(c 2－a 2)， 所以e 2＝c 2a 2＝43， 又e ＞1，所以e ＝233. 6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4 解析 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，由题意知MF 1＝2，F 1F 2＝MF 2＝2c ，其中c 2＝a 22＋b 22＝a 21－b 21.又根据椭圆与双曲线的定义得 ⎩⎪⎨⎪⎧ MF 1＋MF 2＝2a 1，MF 1－MF 2＝2a 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2c ＝2a 1，2－2c ＝2a 2⇒a 1－a 2＝2c ，其中2a 1,2a 2分别为椭圆的长轴长和双曲线的实轴长．因为椭圆的离心率e ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，49，所以38≤c a 1≤49，所以94c ≤a 1≤83c ，而a 2＝a 1－2c ，所以14c ≤a 2≤23c ，所以32≤c a 2≤4，即双曲线C 2的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4. 7．解 (1)由椭圆的离心率为22，得a ＝2c ， ∵直线l 与x 轴交于A 点，∴A (2,0)，∴a ＝2，c ＝2，b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1. (2)由e ＝22，可设椭圆E 的方程为 x 2a 2＋2y 2a 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋2y 2a2＝1，x ＋2y －2＝0，得6y 2－8y ＋4－a 2＝0， 若线段AB 上存在点P 满足PF 1＋PF 2＝2a ，则线段AB 与椭圆E 有公共点， 等价于方程6y 2－8y ＋4－a 2＝0在y ∈[0,1]上有解． 设f (y )＝6y 2－8y ＋4－a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，f ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥43，4－a 2≥0， ∴43≤a 2≤4， 故a 的取值范围是233≤a ≤2. 8．解 (1)设P (x ，y )，A P →·B P →＝(x ＋2，y )(x －2，y )＝x 2－4＋y 2＝－3，得P 点轨迹(曲线C )方程为x 2＋y 2＝1，即曲线C 是圆．(2)可设直线l 的方程为y ＝kx －2，其一般方程为kx －y －2＝0，由直线l 与曲线C 有交点， 得|0－0－2|k 2＋1≤1， 得k ≤－3或k ≥3，即所求k 的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞)．(3)由动点Q (x ，y )，设定点N (1，－2)，则直线QN 的斜率k QN ＝y ＋2x －1＝u ， 又点Q 在曲线C 上，故直线QN 与圆有交点， 设直线QN 的方程为y ＋2＝u (x －1)，即ux －y －u －2＝0. 当直线与圆相切时，|－u －2|u 2＋1＝1， 解得u ＝－34， 当u 不存在时，直线与圆相切，所以u ∈(－∞，－34]． 9．(1)解 因为点P (3，1)，所以k OP ＝13， 又因为AF ⊥OP ，－b c ×13＝－1， 所以3c ＝b ，所以3a 2＝4b 2，① 又点P (3，1)在椭圆上，所以3a 2＋1b 2＝1，② 联立①②，解得a 2＝133，b 2＝134. 故椭圆方程为x 2133＋y 2134＝1. (2)解 由题意，直线AF 的方程为 x c ＋y b＝1， 与椭圆C 方程x 2a 2＋y 2b2＝1联立， 消去y 得a 2＋c 2a 2c 2x 2－2x c＝0， 解得x ＝0或x ＝2a 2c a 2＋c 2， 所以点Q 的坐标为(2a 2c a 2＋c 2，b c 2－a 2a 2＋c 2)，所以直线BQ 的斜率为 k BQ ＝b c 2－a 2a 2＋c 2＋b 2a 2c a 2＋c2＝bc a2，由题意得c b ＝2bc a 2，所以a 2＝2b 2， 所以椭圆的离心率e ＝c a＝ 1－b 2a 2＝22. (3)证明 因为线段OP 垂直于AF ， 则直线OP 的方程为y ＝c b ·x ，与直线AF 的方程x c ＋yb＝1联立， 解得两直线交点的坐标为(b 2c a 2，bc 2a2)． 因为线段OP 被直线AF 平分，所以点P 的坐标为(2b 2c a 2，2bc 2a2)， 由点P 在椭圆上得4b 4c 2a 6＋4b 2c 4a 4b2＝1， 又b 2＝a 2－c 2，设c 2a 2＝t (t ∈(0,1))， 代入上式得4[(1－t )2·t ＋t 2]＝1.(*) 令f (t )＝4[(1－t )2·t ＋t 2]－1＝4(t 3－t 2＋t )－1，则f ′(t )＝4(3t 2－2t ＋1)＞0在(0,1)上恒成立， 所以函数f (t )在(0,1)上单调递增，又f (0)＝－1＜0，f (1)＝3＞0，所以f (t )＝0在(0,1)上有解，即(*)式有解， 故存在椭圆C ，使线段OP 被直线AF 垂直平分。
江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线课件文
难度 .“看到准线想焦点，看到焦点想准线 ”，这是解决抛物线焦点
弦有关问题的重要途径.
跟踪训练 1
设 P是抛物线 y2 ＝ 4x上的一个动点，则点 P到点 A( － 1,1) 的
答案 解析
几何画板展示
5 距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为_____.
思维升华
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，
一般要用到根与系数的关系.
(2) 有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点 .
因为PB＋PF的最小值即为B，F两点间的距离，
所以 PB＋PF≥BF＝ 42＋22＝ 16＋4＝2 5，
即PB＋PF的最小值为2 5 .
2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－ y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2， 求d1＋d2的最小值.
x2＝16y 为________.
2 2
答案
解析
2
2 2 2 a ＋ b c b c b x y ∵ 2－ 2＝1的离心率为2，∴a＝2，即a2＝ a2 ＝4，∴a2＝3，a＝ 3. a b
2 2 p x y x2＝2py(p>0)的焦点坐标为 0 ， ， 2－ 2 2 a b
p 的距离PF＝x0＋ ， 2
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( × ) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是 a a ( ，0)，准线方程是x＝－ .( × ) 4 4 (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × ) (4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F( p ，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 2 2 p 则x1x2＝ ，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.( √ ) 4
(加练半小时)2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9_平面解析几何_第64练_(有解析)
1．x 轴上，若曲线C 经过点P (1,3)，则其焦点到准线的距离为________．2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP→＝4FQ →，则QF ＝____________. 3．已知抛物线C ：y 2＝4x ，顶点为O ，动直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C 交于A ，B 两点，则OA →·OB →的值为________．4．(2016·长春一模)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则AFBF ＝________.5．(2016·无锡模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A ，B ，C ，若BC ＝2BF ，且AF ＝3，则抛物线的方程是______________．6．(2016·黑龙江哈尔滨三中一模)直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若直线OA ，OB 的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝23，则l 过定点________．7．(2016·常州模拟)如图，抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为抛物线C 上的点，以F 为圆心，p2为半径的圆与直线AF 在第一象限的交点为B ，∠AFO ＝120°，A 在y 轴上的投影为N ，则∠ONB ＝________.8．已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为________．9．(2016·福建质检)过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点作倾斜角为30°的直线l与抛物线交于P，Q两点，分别过P，Q两点作PP1，QQ1垂直于抛线物的准线于P1，Q1，若PQ＝2，则四边形PP1Q1Q 的面积是________．10．(2016·镇江模拟)已知过拋物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O是坐标原点，AF＝2，则BF＝______，△OAB的面积是________．11．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．12．(2016·石家庄质量检测二)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B 两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点．若tan∠AMB＝22，则AB＝________.13．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若AB＝8，AF＜BF，则BF＝________. 14．(2016·扬州中学月考)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，并且△ABC的重心是抛物线的焦点，BC边所在的直线方程为4x＋y－20＝0，则抛物线的方程为__________．答案精析1.92 2.3 3.5 4.13解析 设抛物线的准线为l ：x ＝－p2，设FB ＝m ，F A ＝n ，过A ，B 两点向准线l 作垂线AC ，BD ， 由抛物线定义知AC ＝F A ＝n ，BD ＝FB ＝m ， 过B 作BE ⊥AC ，E 为垂足， AE ＝CE －AC ＝BD －AC ＝m －n ， AB ＝F A ＋FB ＝n ＋m .在Rt △ABE 中，∠BAE ＝60°， cos60°＝AE AB ＝m －n m ＋n ＝12，即m ＝3n . 故AF BF ＝n m ＝m3m ＝13. 5．y 2＝3x解析 分别过点A ，B 作准线的垂线AE ，BD ，分别交准线于点E ，D ，则BF ＝BD ， ∵BC ＝2BF ，∴BC ＝2BD ， ∴∠BCD ＝30°，又AE ＝AF ＝3，∴AC ＝6， 即点F 是AC 的中点， 根据题意得p ＝32， ∴抛物线的方程是y 2＝3x . 6．(－3,0)解析 设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎨⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋b ，得k 2x 2＋(2kb －2)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb －2k 2，x 1x 2＝b 2k 2.由k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝23，得2x 1x 2－3y 1y 2＝2x 1x 2－3(kx 1＋b )·(kx 2＋b )＝(2－3k 2)x 1x 2－3kb (x 1＋x 2)－3b 2＝0，代入可得b ＝3k ，所以y ＝kx ＋3k ＝k (x ＋3)，所以直线l 一定过点(－3,0)． 7．30°解析 因为点A 到抛物线C 的准线的距离为AN ＋p 2，点A 到焦点F 的距离为AB ＋p2，所以AN ＝AB ，因为∠AFO ＝120°，所以∠BAN ＝60°，所以在△ABN 中，∠ANB ＝∠ABN ＝60°，则∠ONB ＝30°. 8．2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 于点M 1，则MM 1＝AA 1＋BB 12.因为AB ≤AF ＋BF (F 为抛物线的焦点)，即AF ＋BF ≥6，所以AA 1＋BB 1≥6,2MM 1≥6，MM 1≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2. 9．1解析 由题意得，四边形PP 1Q 1Q 为直角梯形，PP 1＋QQ 1＝PQ ＝2，P 1Q 1＝PQ ·sin30°＝1，∴S ＝PP 1＋QQ 12·P 1Q 1＝1. 10．2 2解析 设A (x 0，y 0)，由抛物线定义知x 0＋1＝2， ∴x 0＝1，则直线AB ⊥x 轴， ∴BF ＝AF ＝2，AB ＝4.故△OAB 的面积S ＝12AB ·OF ＝12×4×1＝2. 11．2 6解析 如图所示，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ， 得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6， 故水面宽为26米．12．8解析 根据对称性，如图所示，不妨设l ：x ＝my ＋1(m ＞0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，x 1x 2＝y 214·y 224＝1，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝4m 2＋2. ∵tan ∠AMB ＝tan(∠AMF ＋∠BMF )， ∴y 1x 1＋1＋－y 2x 2＋11－y 1x 1＋1·－y 2x 2＋1＝22，即y 1(my 2＋2)－y 2(my 1＋2)(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝22， 解得y 1－y 2＝42m 2， ∴4m 2＋1＝42m 2， 解得m 2＝1(负值舍去)，∴AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋1＋x 2＋1＝4m 2＋4＝8.13．4＋2 2解析 由y 2＝4x ，得焦点F (1,0)．又AB ＝8，故AB 的斜率存在(否则AB ＝4)．设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，故x 1＋x 2＝2＋4k 2，由AB ＝AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋2＝8，得x 1＋x 2＝2＋4k 2＝6，即k 2＝1，则x 2－6x ＋1＝0，又AF ＜BF ，所以x 1＝3－22，x 2＝3＋22，故BF ＝x 2＋1＝3＋22＋1＝4＋2 2. 14．y 2＝16x解析 设抛物线的方程为y 2＝2px ， 由⎩⎨⎧4x ＋y －20＝0，y 2＝2px ， 可得2y 2＋py －20p ＝0， 由Δ＞0，得p ＞0或p ＜－160， 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－p2，所以x 1＋x 2＝5－y 14＋5－y 24 ＝10－14(y 1＋y 2)＝10＋p8，设A (x 3，y 3)，由三角形重心为F (p2，0)， 可得x 1＋x 2＋x 33＝p 2，y 1＋y 2＋y 33＝0， 所以x 3＝11p 8－10，y 3＝p2， 因为A 在抛物线上， 所以(p 2)2＝2p (118p －10)，从而p ＝8，所以所求抛物线的方程为 y 2＝16x .。
2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习专题9 平面解析几何 第62练含解析
1．设椭圆C ：a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(2016·衡水模拟)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e ＝________.3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为________．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为________．5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP →＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 6．(2016·济南3月模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为____________________．7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos ∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.9．(2017·上海六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．10．(2016·镇江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝________.11．(2016·连云港二模)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________．12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若ED →＝6DF →，则k 的值为________．13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是________．答案精析1.33解析 由题意知sin30°＝PF 2PF 1＝12，∴PF 1＝2PF 2.又∵PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 2＝2a 3. ∴tan30°＝PF 2F 1F 2＝2a 32c ＝33. ∴c a ＝33. 2.63 解析不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆定义，得|MF 1→|＋|MF 2→|＝2a ，再结合条件可知|MO →|＝|MF 2→|＝2a 3.如图，过M 作MN ⊥OF 2于N ，则|ON →|＝c2，|MN →|2＝|MO →|2－c 24.设|MF 2→|＝x ，则|MF 1→|＝2x . 在Rt △MF 1N 中，4x 2＝94c 2＋x 2－c 24，即3x 2＝2c 2，而x 2＝4a 29，所以43a 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63. 3.15解析 不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )，由条件可得－3c ＝－a ＋2c ， ∴a ＝5c ，故e ＝15.4.32解析 设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b2)＝a 2×b 2－y 20b 2，又k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b 2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝3b 24b 2＝32. 5．15解析 AP →＝OP →－OA →＝(λ－1)OA →，即OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线．又OA →·OP →＝72，所以OA →与OP →同向，所以|OA →||OP →|＝72.设OP 与x 轴的夹角为θ，点A 的坐标为(x ，y )，点B 为点A 在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|·cos θ＝|OP →|·|OB →||OA →|＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72·|x |1625x 2＋9＝72·11625|x |＋9|x |≤72·12×16×925＝15，当且仅当|x |＝154时，等号成立．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 6．9x ＋16y －25＝0解析 设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)16＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x1－x2 16＋y1－y29＝0，即y1－y2x1－x2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y－1＝－916(x－1)，即9x＋16y－25＝0.7．±3 4解析由离心率为12可得c2a2＝14，可得a2－b2a2＝14，即b＝32a，因为MF2与x轴垂直，故点M的横坐标为c，故c2a2＋y2b2＝1，解得y＝±b2a＝±34a，则M(c，±34a)，直线MF1的斜率为kMF1＝±3a8c＝±38×2＝±34.8.5 7解析设椭圆的右焦点为F1，在△ABF中，由余弦定理可解得BF＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB＝90°，又因为斜边AB的中点为O，所以OF＝c＝5，连结AF1，因为A，B关于原点对称，所以BF＝AF1＝8，所以2a＝14，a＝7，所以离心率e＝5 7 .9．(0，－1)解析设椭圆的右焦点为E，PQ＋PF＝PQ＋2a－PE＝PQ－PE＋2 2. 当P为线段QE的延长线与椭圆的交点时，PQ＋PF取最大值，此时，直线PQ的方程为y＝x－1，QE的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P的坐标为(0，－1)．10. 2解析由椭圆C的离心率为3 2，得c＝32a，b2＝a24，∴椭圆C：x2a2＋4y2a2＝1，F(32a,0)．设A(x A，y A)，B(x B，y B)，∵AF→＝3FB→，∴(32a －x A ，－y A )＝3(x B －32a ，y B )． ∴32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B ， 即x A ＋3x B ＝23a ，y A ＋3y B ＝0. 将A ，B 的坐标代入椭圆C 的方程相减得9x 2B －x 2Aa2＝8，(3x B ＋x A )(3x B －x A )a 2＝8，∴3x B －x A ＝433a ， ∴x A ＝33a ，x B ＝539a ， ∴y A ＝－66a ，y B ＝618a ， ∴k ＝y B －y Ax B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a ＝ 2.11.57解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255＝11525或－55(舍去)． 设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，由正弦定理得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57. 12.23或38解析 依题设，得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2.则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k 2. 由ED →＝6DF →，知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 可得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k， 所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.13．(2－1,1) 解析 由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2.又由正弦定理得sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a ， 即PF 1＝c aPF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ， 所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2aca ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c ＜2a 2a ＋c ＜2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0(0＜e ＜1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)． 14．38，34]解析 由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0， 解得x ＝2或x ＝2619. 由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时， 直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程，消去y 化简得 7x 2－16x ＋4＝0， 解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。
【加练半小时】2018版高考数学(江苏专用理科)专题复习：专题9 平面解析几何 第60练 Word版含解析
________________．2．已知圆x2＋y2－2x＋my－4＝0上两点M，N关于直线2x＋y＝0对称，则圆的半径为________．3．(2016·丽水一模)已知圆x2＋y2＝4，过点P(0，3)的直线l交该圆于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最大值是________．4．已知圆心在x轴上，半径为2的圆C位于y轴的右侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆C的标准方程为________．5．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．6．过点P(12，1)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，当∠ACB最小时，直线l的方程为____________________．7．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是______________．8．已知圆C的方程为x2＋y2－2y－3＝0，过点P(－1,2)的直线l与圆C交于A，B 两点，若使AB最小，则直线l的方程是________________．9．已知直线ax＋y－1＝0与圆C：(x－1)2＋(y＋a)2＝1相交于A，B两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a的值为________．10．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(33，2)的入射光线l1被直线l：y＝33x反射，反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1，l2都相切．(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；(2)设P，Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB＋PQ的最小值及此时点P的坐标．答案精析1．2x ＋3y －1＝0 2.3 3.24．(x －2)2＋y 2＝2解析 设圆心为(a,0)(a ＞0)，由题意得|a |2＝2，所以a ＝2(a ＝－2舍去)，即圆C 的圆心为C (2,0)，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝2.5．10 2解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，由圆的性质可知最长弦AC ＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)， 故EF ＝ 5.∴BD ＝210－(5)2＝25， ∴S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ＝10 2.6．2x －4y ＋3＝0解析 设AB 的中点为D ，则cos ∠ACB ＝2cos 2∠ACD －1.所以当cos ∠ACD 最大时，cos ∠ACB 最大，∠ACB 最小．当斜率存在时，设l ：y －1＝k (x －12)，即kx －y ＋1－k 2＝0，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|k 2＋1|k 2＋1. 当CP ⊥AB 时，d 最大．此时k CP ＝－2，所以k ＝12，所以y ＝12x ＋34； 当斜率不存在时，d ＝12＜⎪⎪⎪⎪⎪⎪14＋154＝52，舍去． 综上，直线l ：y ＝12x ＋34，即2x －4y ＋3＝0.7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12解析 由x 2＋y 2－4x －4y －10＝0，得(x －2)2＋(y －2)2＝18，所以r ＝3 2.如图，若圆O ′上至少有三个不同的点到直线l 的距离为22，则需要直线l 在如图中的l 1和l 2之间(包括l 1和l 2)，l 1和l 2为临界位置，此时圆心O ′(2,2)到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为d ＝2，从而易求l 1的倾斜角为π12，l 2的倾斜角为5π12，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12. 8．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使AB 最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0,1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1，因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1， 即x －y ＋3＝0.9．±1解析 因为△ABC 是等腰直角三角形，所以圆心C (1，－a )到直线ax ＋y －1＝0的距离d ＝r sin45°＝22，即d ＝1a 2＋1＝22，所以a ＝±1. 10．解 (1)易知直线l 1：y ＝2，设l 1交l 于点D ，则D (23，2)，因为直线l 的斜率为33，所以l 的倾斜角为30°，所以l 2的倾斜角为60°，所以k 2＝3，所以反射光线l 2所在的直线方程为y －2＝3(x －23)，即3x －y －4＝0.由题意，知圆C 与l 1切于点A ，设圆心C 的坐标为(a ，b )，因为圆心C 在过点D 且与l 垂直的直线上，所以b ＝－3a ＋8，①又圆心C 在过点A 且与l 1垂直的直线上，所以a ＝33，②由①②得a ＝33，b ＝－1，故圆C 的半径r ＝3，故所求圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.综上，l 2所在直线的方程为3x －y －4＝0，圆C 的方程为(x －33)2＋(y ＋1)2＝9.(2)设点B (0，－4)关于l 对称的点为 B ′(x 0，y 0)，即y 0－42＝33·x 02，且y 0＋4x 0＝－3，解得x 0＝－23，y 0＝2，故B ′(－23，2)． 由题意易知，当B ′，P ，Q 三点共线时， PB ＋PQ 最小，故PB ＋PQ 的最小值为B ′C －3 ＝(－23－33)2＋(2＋1)2－3 ＝221－3，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋12＋1＝x －33－23－33，y ＝33x ，得P (32，12)，故PB ＋PQ 的最小值为221－3，此时点P 的坐标为(32，12)．。
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（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第57
练 直线的方程练习 理
训练目标
熟练掌握直线方程的五种形式，会求各种条件的直线方程．
训练题型
(1)由点斜式求直线方程；(2)利用截距式求直线方程；(3)与距离、面积有关的
直线方程问题；(4)与对称有关的直线方程问题．
解题策略
(1)根据已知条件确定所求直线方程的形式，用待定系数法求方程；(2)利用直
线系方程求解.
1．若直线l1：3x－y＋1＝0，直线l2过点(1,0)，且l2的倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直
线l2的方程为________________．
2．过点P(1,2)作直线l，若点A(2,3)，B(4，－5)到它的距离相等，则直线l的方程是
________________．
3．(2016·如东高级中学期中)已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与
直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为______________．
4．过点(1,2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，
当△AOB的面积最小时，直线l的方程是________________．
5．光线沿直线y＝2x＋1的方向射到直线y＝x上被反射后光线所在的直线方程是
________________．
6．(2016·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿
y轴正方向平移5个单位，得到直线l1，再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y
轴负
方向平移2个单位，又与直线l重合，则直线l与直线l1的距离是________．
7．已知点P(a，b)，Q(b，a)(a，b∈R)关于直线l对称，则直线l的方程为________________．
8．(2016·常州模拟)在△ABC中，点A(3,2)，B(－1,5)，点C在直线3x－y＋3＝0上，若
△ABC的面积为10，则点C的坐标为____________．
9．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为____________．
10．(2016·福州模拟)若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴
上的截距之和的最小值为________．
11．(2016·苏州模拟)已知两条直线a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0都过点A(2,1)，则
过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是______________________．
12．在直线方程y＝kx＋b中，当x∈[－3,4]时，恰好y∈[－8,13]，则此直线方程为
__________________．
2
13．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最远时，直线l的方程为
__________________．
14．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为__________________________．
(2)若a＞－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，则△OMN的面积取最
小值时，直线l对应的方程为________________．
3
答案精析
1．3x＋4y－3＝0 2．4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0
3．3x＋y＋2＝0 4.2x＋y－4＝0
5．y＝x2－12
解析 在直线y＝2x＋1上取点(0,1)，(1,3)，关于直线y＝x的对称点(1,0)，(3,1)，过这
两点的直线为y－01－0＝x－13－1，即y＝x2－12.
6.115
解析 设直线l：ax＋by＋c＝0，依题意可得l1：a(x－3)＋b(y－5)＋c＝0，再将直线
l
1
沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位得直线l：
a(x－4)＋b(y－3)＋c＝0，故a＝－34b
，
则直线l与直线l1的距离
d
＝|－3a－5b＋c＋4a＋3b－c|a2＋b2＝|a－2b|a2＋b2＝|－34b－2b|－34b2＋b2＝115.
7．x－y＝0
解析 由题意知，kPQ＝－1，故直线l的斜率k＝1，又直线l过线段PQ的中点M(a＋b2，a＋b2)，
故直线l的方程为
y－a＋b2＝x－a＋b2，即x－y
＝0.
8．(－1,0)或(53，8)
解析 设点C到直线AB的距离为h，由题意知AB＝－1－2＋－2＝5，
∴S△ABC＝12AB·h＝52h＝10，
∴h＝4，
即点C到直线AB的距离为4.
易求得直线AB的方程为3x＋4y－17＝0.
设点C的坐标为(x0，y0)，
4
则 3x0－y0＋3＝0，|3x0＋4y0－17|5＝4，
解得 x0＝－1，y0＝0或 x0＝53，y0＝8，
即点C的坐标为(－1,0)或(53，8)．
9.12|ab|
解析 令x＝0，得y＝1b，
令y＝0，得x＝1a，
S
＝12|1a||1b|＝12|ab|.
10．4
解析 ∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1,1)，
∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，
∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b
＝2＋ba＋ab
≥2＋2 ba·ab＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．
∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.
11．2x＋y＋1＝0
解析 ∵点A(2,1)在直线a1x＋b1y＋1＝0上，
∴2a1＋b1＋1＝0.
由此可知，点P1(a1，b1)的坐标满足2x＋y＋1＝0.
∵点A(2,1)在直线a2x＋b2y＋1＝0上，
∴2a2＋b2＋1＝0.
由此可知，点P2(a2，b2)的坐标也满足2x＋y＋1＝0.
∴过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程是2x＋y＋1＝0.
5
12．3x－y＋1＝0或3x＋y－4＝0
解析 方程y＝kx＋b，即一次函数y＝kx＋b，
由一次函数单调性可知：
当k＞0时，函数为增函数，
∴ －3k＋b＝－8，4k＋b＝13，解得 k＝3，b＝1.
当k＜0时，函数为减函数，
∴ 4k＋b＝－8，－3k＋b＝13，
解得 k＝－3，b＝4.
∴此直线方程为3x－y＋1＝0或3x＋y－4＝0.
13．3x－2y＋5＝0
14．(1)x－y＝0或x＋y－2＝0
(2)x＋y－2＝0
解析 (1)当直线l经过坐标原点时，
由该直线在两坐标轴上的截距相等可得a＋2＝0，解得a＝－2.
此时直线l的方程为－x＋y＝0，
即x－y＝0；
当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，
由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa＋1＝2＋a，解得a＝0，
此时直线l的方程为x＋y－2＝0.
所以直线l的方程为x－y＝0或
x＋y
－2＝0.
(2)由直线方程可得M(2＋aa＋1，0)，
N(0,2＋a
)，
因为a＞－1，
所以S△OMN＝12×2＋aa＋1×(2＋a)
6
＝12×a＋＋1]2a＋1
＝12[(a＋1)＋1a＋1＋2]
≥12[2 a＋1a＋1＋2]＝2.
当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0时等号成立．此时直线l的方程为x＋y－2＝0.