浙江专升本数学历年真题

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浙江专升本《高数二》试卷及答案

2005年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》试卷1．函数x e x x xy --=)1(sin 2的连续区间是____________________.2．___________________________)4(1lim 2=-+-∞→x x x x .3．写出函数的水平渐近线和垂直渐近线4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点x=1处连续.5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ，（1）当r 是常数,θ是参数时，则_______________=dx dy .（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy_____________.二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（）时，)(x f 在c x =处取得极大值.)(A 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(B 当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , )(C 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , )(D 当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则). ()2()3(lim000=--+→hh x f h x f h).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0,00,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分⎰-11)(dx x f ＝（）. .2)( ,e1)( 0)( ,1)(D C B A -4．可微函数在点处有是函数在点处取得极值的（）。

浙江省专升本数学练习题

浙江省专升本数学练习题### 浙江省专升本数学练习题#### 一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = \sin(x) \)C. \( f(x) = x^3 \)D. \( f(x) = \cos(x) \)2. 计算定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 13. 以下哪个选项是二阶导数？A. \( \frac{d^2y}{dx^2} \)B. \( \frac{dy}{dx} \)C. \( \frac{d^2y}{dx} \)D. \( \frac{d^2x}{dy^2} \)4. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式是？A. 2B. -2C. 5D. -55. 函数 \( y = \ln(x) \) 的导数是？A. \( \frac{1}{x} \)B. \( x \)C. \( \ln(x) \)D. \( e^x \)6. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是？A. 0B. 1C. \( \pi \)D. \( \infty \)7. 以下哪个选项是线性方程的一般形式？A. \( ax^2 + bx + c = 0 \)B. \( ax + by = c \)C. \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \)D. \( ax^2 + bx + c = 0 \)（其中 \( a \neq 0 \)）8. 函数 \( y = e^x \) 的反函数是？A. \( \ln(x) \)B. \( e^{-x} \)C. \( \frac{1}{e^x} \)D. \( \ln(x) + 1 \)9. 以下哪个选项是二项式定理的展开式？A. \( (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \)B. \( (x+y)^n = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k \)C. \( (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k} \)D. \( (x+y)^n = \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} x^{k} y^{n-k} \)10. 计算 \( \sum_{k=1}^{n} k^2 \) 的值是？A. \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)B. \( \frac{n(n+1)}{2} \)C. \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} \)D. \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{4} \)#### 二、填空题（每题4分，共20分）1. 计算 \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x \) 的值是 _______。

浙江省专升本历年真题卷-浙江专升本真题及答案

浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》试卷一、填空题1．函数xe x x x y --=)1(sin 2的连续区间是。

2．=-+-∞→)4(1lim 2x x x x 。

3．（1）x 轴在空间中的直线方程是。

（2）过原点且与x 轴垂直的平面方程是。

4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时，函数)(x f 在点1=x 处连续。

5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x ，（1）当r 是常数,θ是参数时，则=dxdy。

（2）当θ是常数，r 是参数时，则=dxdy。

二．选择题1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导，),(b a c ∈，且0)('=c f ，则当（）时，)(x f 在c x =处取得极大值。

（A ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （B ）当c x a <≤时，0)('>x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f , （C ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('>x f , （D ）当c x a <≤时，0)('<x f ，当b x c ≤<时，0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导，则=--+→hh x f h x f h )2()3(lim000（）。

).(5)( ),( 4)( ),(x 3)( ),()(0'0'0'0'x f D x f C f B x f A3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0 ,0 0,0x ,)(22x e x e x f x x ，则积分 ()11-=⎰f x dx （）。

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【最新整理，下载后即可编傅】2005年浙江省普通商校“专升本”联考《高等数学(一)》试卷一、填空题1. 函数的连续区间是c■V -(A-l)-------------------------2.lim --------- =ogY x(x +4)3.(1) x 轴在空间中的直线方程是 ___________(2)过原点且与x 轴垂直的平面方程是 ______________点X=1处连续。

5.设参数方程［s ：cos2：y = r sin 2&(1)当厂是常数,&是参数时，则2=ax (2)当&是常数，厂是参数时，则字二CIX ------------二. 选择题1 •设函数y = f(x)在［°,b ］上连续可导,ce(a.b),且/ (c) = 0,则当( )时,fW 在x = C •处取得极大值。

(A) 当“ 5 X V c时，当 C V A ： S /?时， f'(x)>0, (B) 当0 W X V C 时， / «>0,当c < xSb时〉 /«<o, (C) 当 <7 5 X V C 时〉 / W<o ,当 c < x S Z?时， /(A )>0,(D) 当Sx vc 时， / W<o ,当 c v x S Z?时〉2.设函数y = /(x)在点"心处可导，则4.设函数f(x)= < ("IFG,bx + 1,x=\，当 G = ____ ,b =X<1时，函数门X )在lim /(儿+3力)一/(如一2力)=( )o(A)f(x°), (B)3f'(x0), (C)4f(x°), (D)5fg・F, x> 03.设函数/(x) = < 0, x = 0,则积分£/(%>/%= ( )o-e』，x<0 _(A) — l, (3)0 (C)l, (£>)2.e5.设级数f?”和级数都发散，则级数是( ). n=l ；f=l w-l(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)可能发散或者可能收敛三•计算题1.求函数y = U2-x + ir的导数。

浙江2014年专升本数学真题及答案

浙江2014年专升本数学真题及答案1、4.小亮用天平称得牛奶和玻璃杯的总质量为0.3546㎏，用四舍五入法将0.3546精确到0.01的近似值为（）[单选题] *A.0.35(正确答案)B.0.36C.0.354D.0.3552、要使多项式不含的一次项，则与的关系是（）[单选题] *A. 相等(正确答案)B. 互为相反数C. 互为倒数D. 乘积为13、16．“x2（x平方）－4x－5=0”是“x=5”的( ) [单选题] *A．充分不必要条件B．必要不充分条件(正确答案)C．充要条件D．既不充分也不必要条件4、? 是第（）象限的角[单选题] *A. 一(正确答案)B. 二C. 三D. 四5、11．2020·北京，1,4分)已知集合A={－1,0,1,2}，B={x|0<x<3}，则A∩B=( ) [单选题] * A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1,2}D．{1,2}(正确答案)6、14．在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”。

记录一被测人员在一周内的体温测量结果分别为+1，-3，-5，+1，-6，+2，-4，那么，该被测者这一周中测量体温的平均值是（??）[单选题] *A．1℃B．31℃C．8℃(正确答案)D．69℃7、26．已知（x﹣a）（x+2）的计算结果为x2﹣3x﹣10，则a的值为（）[单选题] *A．5(正确答案)B．﹣5C．1D．﹣18、48．如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（）[单选题] *A．46B．59(正确答案)C．64D．819、28、若的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三角形共有（）[单选题] *A. 6个，B. 7个，C. 8个，D. 9个(正确答案)10、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（-2）的值为（）。

2022-2023学年浙江省金华市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析)

2022-2023学年浙江省金华市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析) 学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.2.3.4.A.A.B.C.D.5.A.A.3f'(0)B.-3f'(0)C.f'(0)D.-f'(0) 6.7.8.A.A.B.C.D.9.10.11.（）。

A.2e2B.4e2C.e2D.012.（）。

A.-2/3B.2/3C.1D.3/213.设f(x)=xα+αx lnα，(α＞0且α≠1)，则f'(1)=A.A.α(1+lnα)B.α(1-lna)C.αlnaD.α+(1+α)14.15.16.17.A.A.B.C.D.18.两封信随机地投入标号为1，2，3，4的4个邮筒，则1，2号邮筒各有一封信的概率．等于A.1/16B.1/12C.1/8D.1/419.函数f(x)在[a，b]上连续是f(x)在该区间上可积的（）A.必要条件，但非充分条件B.充分条件，但非必要条件C.充分必要条件D.非充分条件，亦非必要条件20.21.22.23.24.A.A.(-∞，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，+∞)25.5人排成一列，甲、乙必须排在首尾的概率P=A.A.2/5B.3/5C.1/10D.3/1026.27.曲线y=x3的拐点坐标是（）。

A.(-1，-1)B.(0，0)C.(1，1)D.(2,8)28.29.30.二、填空题(30题)31.32.33.34.35.36.37.38.39.40.41.42.43.44.45.46. 函数曲线y=xe-x的凸区间是_________。

47.48.49.50.51.52.曲线y=ln(1+x)的垂直渐近线是________。

53.54.55.56.57.58.59.60.三、计算题(30题)61.62.63.64.求函数f(x)=x3-3x-2的单调区间和极值．65.66.67.68.69.70.71.求函数f(x)=(x2-1)3+3的单调区间和极值．72.①求曲线y=x2(x≥0)，y=1与x=0所围成的平面图形的面积S：②求①中的平面图形绕Y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy．73.74.75.76.已知x=-1是函数f(x)=ax3+bx2的驻点，且曲线y=f(x)过点(1，5)，求a，b的值．77.设函数y=x4sinx，求dy．78.79.80.81.82.83.84.85.86.87.88.89.90.四、综合题(10题)91.92.93.94.95.96.97.98.99.100.五、解答题(10题) 101.102.103.104.105.计算107.108.109.计算∫arc sinxdx。

2023年浙江省温州市成考专升本数学(理)自考测试卷(含答案)

2023年浙江省温州市成考专升本数学(理)自考测试卷(含答案)学校:________ 班级:________ 姓名:________ 考号:________一、单选题(30题)1.（）。

A.8B.14C.12D.102.方程3.设甲:a＞b:乙：|a|＞|b|，则( )A.甲是乙的充分条件B.甲是乙的必要条件C.甲是乙的充要条件D.甲不是乙的充要条件4.在△ABC中，若AB=3，A=45°，C=30°，则BC=（）。

5.若函数f(x)=x2+2(α一1)x+2在(-∞，4)上是减函数，则（）A.A.a=-3B.a≥3C.a≤-3D.a≥-36.不等式∣x-3∣>2的解集是A.{ x∣x >5或x <1}B.{ x∣x <1}C.{ x∣1<x5}7.函数y=sin2x的最小正周期是（）A.A.π/2B.πC.2πD.4π8.已知f(x)是偶函数，定义域为(-∞，+∞)，且在[0，+∞)上是减函数，设P=a2-a+1(a∈R)，则（）A.A.B.C.D.9.在△AB C中，已知△ABC的面积=(a2+b2-c2)/4，则∠C=( )A.π/3B.π/4C.π/6D.2π/310.11.不等式x2﹣2x<0的解集为()。

A.{x|x＜0，或x＞2}B.{x|-2＜x＜0}C.{x|0＜x＜2}D.{x|x＜-2，或x＞0}12.下列函数中，在区间(0，+∞)为增函数的是()。

A.y=x-1B.y=x2C.y=sinxD.y=3-x13.14.若函数f（x）=ax2+2ax（a>；0），则下列式子正确的是A.f（-2）>f（1）B.f（-2）<f（1）C.f（-2）=f（1）D.不能确定f（-2）和f（1）的大小15.16.第 9 题已知向量a=(4，x)，向量b=(5，-2)，且a⊥b，则x等于（）A.10 B.-10 C.1/10 D.-8/517.在△ABC中，已知AB＝5，AC＝3，∠A＝120°，则BC长为（）A.A.7B.6C.D.18.19.20.若a<b<0,则下列不等式中不成立的是21.从6名男大学生和2名女大学生中选取4名做上海世博会的志愿者，2名女大学生全被选中的概率为()A.1/3B.3/14C.2/7D.5/1422.A.A.B.C.D.23.24.下列四组中的函数f(x)，g(x)表示同一函数的是（）A.A.B.C.D.25.过点（2，-2)且与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线的双曲线方程是( )A.-x2/4+y2/2=1B.x2/2-y2/4=1C.-x2/2+y2=1D.-x2/4+y2/2或x2/2-y2/4=126. A.2 B.3 C.4 D.527.函数的值域为（）。

浙江省专升本历年真题卷

2005年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一、填空题1．函数x e x x xy --=)1(sin 2的连续区间是; 2．=-+-∞→)4(1lim 2x x x x ;3．1x 轴在空间中的直线方程是;2过原点且与x 轴垂直的平面方程是;4．设函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+=>+=--1 ,1b 1 ,1,)1(1)(2)1(12x x x a x e x x f x ,当_________,==b a 时,函数)(x f 在点1=x 处连续;5．设参数方程⎩⎨⎧==θθ2sin 2cos 32r y r x , 1当r 是常数,θ是参数时,则=dx dy ; 2当θ是常数,r 是参数时,则=dxdy; 二．选择题 1．设函数)(x f y =在b], [a 上连续可导,),(b a c ∈,且0)('=c f ,则当时,)(x f 在c x =处取得极大值;A 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f ,B 当c x a <≤时,0)('>x f ,当b x c ≤<时,0)('<x f ,C 当c x a <≤时,0)('<x f ,当b x c ≤<时,0)('>x f ,D 当c x a <≤时,0)('<x f ,当b x c ≤<时,0)('<x f . 2．设函数)(x f y =在点0x x =处可导,则=--+→hh x f h x f h )2()3(lim 000; 3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=--0 ,00,0x ,)(22x e x e x f x x ,则积分()11-=⎰f x dx ; 5．设级数∑∞=1n n a 和级数∑∞=1n n b 都发散,则级数∑∞=+1)(n n n b a 是.A 发散B 条件收敛C 绝对收敛D 可能发散或者可能收敛三．计算题1．求函数x x x y )1(2+-=的导数;2.求函数1223+-=x x y 在区间－1,2中的极大值,极小值;3.求函数xe x xf 2)(=的n 阶导数n n dxfd ;4．计算积分021132--+⎰dx x x ;5．计算积分⎰+dx ex211; 6．计算积分()1202+-⎰x x x e dx ;8.把函数11+=x y 展开成1-x 的幂级数,并求出它的收敛区间; 9.求二阶微分方程x y dx dydxy d =+-222的通解;10.设b a ,是两个向量,且,3,2==b a 求2222b a b a -++的值,其中a 表示向量a 的模; 四．综合题 1．计算积分02121sinsin 22++⎰n m x xdx π,其中m n ,是整数; 2．已知函数d cx bx ax x f +++=234)(23,其中常数d c b a ,,,满足0=+++d c b a , 1证明函数)(x f 在0,1内至少有一个根,2当ac b 832<时,证明函数)(x f 在0,1内只有一个根;2005年高数一答案A 卷一．填空题1．连续区间是),1()1,0()0,(+∞-∞2．213．1⎩⎨⎧==00z y 或者001z y x ==,或者0,0,===z y t x 其中t 是参数,20=x4．1,0-==b a5．1yxr 2-,2x y 23.1．解：令)1ln(ln 2+-=x x x y ,3分则x x x x x x x x x y )1)](1ln(1)12([222'+-+-++--=7分 -----------------------------------------------------------------------------------------------2．解：)43(432'-=-=x x x x y ,驻点为34,021==x x 2分法一46''-=x y ,04)0(''<-=y ,1)0(=y 极大值,5分 04)34(''>=y ,275)34(-=y 极小值.7分5分当0=x 时,1=y 极大值,当34=x 时,275-=y 极小值7分 3．解：利用莱布尼兹公式 x nn e n n nx x dxfd )]1(2[2-++=7分 4．解：⎰⎰⎰------=--=+-0101012]1121[)2)(1(1231dx x x dx x x dx x x 3分＝34ln12ln1=---x x 7分 5．解：⎰+dx e x 211＝=+-+⎰dx ee e xxx 222113分 ++-=)1ln(212x e x C 其中C 是任意常数7分6．解：⎰-+12)2(dx e x x x ＝=+--+⎰dx e x ex x x x 1102)12()2(3分＝2－⎰+1)12(dx e x x ＝2－)13(-e +12x e =＝e e e -=-+-12233;7分8：解：=-+=+=]2111[2111x x y 2分＝∑∞=+--012)1()1(n n n n x ,5分收敛区间为-1,3.7分9.解：特征方程为0122=+-λλ,特征值为1=λ二重根,齐次方程0222=+-y dx dydxy d 的通解是x e x c c y )(~21+=,其中21,c c 是任意常数. 3分 x y dx dydxy d =+-222的特解是2+=*x y ,6分所以微分方程的通解是x e x c c x y y y )(2~21+++=+=*,其中21,c c 是任意常数7分10．解：2222b a b a -++＝=--+++)2()2()2()2(b a b a b a b a 3分＝26)(222=+b a .7分四．综合题： 1．解：法一⎰++π212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 21--++⎰π4分＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-++-≠=---++++-⎰πππ00 ,21]1)1[cos(21 ,0])sin(1)1sin(11[21mn dx x m n m n x m n m n x m n m n 10分法二当m n ≠时⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝－dx x m n x m n ])cos()1([cos 210--++⎰π4分＝0])sin(1)1sin(11[210=---++++-πx m n m n x m n m n 7分当m n =时 ⎰++π0212sin 212sin xdx m xdx n ＝⎰⎰=+-=+πππ000221])12cos(1[21212sin x dx x n xdx n ＝2π10分 2．证明：1考虑函数dx cx bx ax x F +++=234)(,2分)(x F 在0,1上连续,在0,1内可导,0)1()0(==F F , 由罗尔定理知,存在)1,0(∈ξ,使得0)('=ξF ,即0)()('==ξξf F ,就是=)(ξf 023423=+++d c b a ξξξ, 所以函数)(x f 在0,1内至少有一个根.7分 2c bx ax x F x f 2612)()(2'''++==因为ac b 832<,所以0)83(129636)2)(12(4)6(222<-=-=-ac b ac b c a b , )('x f 保持定号,)(x f 函数)(x f 在0,1内只有一个根.10分2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一、填空题1．=n ;2．函数()f x =;3．若1(), 0x f x x A x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则=A ;4．设ln(y x x =,则=dydx; ---------------------------密封线------------------------------------5．3 22 2(1)cos 1sin -+=+⎰x xdx x ππ; 8．微分方程2(21)x x y dy x edx+-=+的通解=y ; 二．选择题1．函数()f x 的定义域为[]0,1,则函数11()()55f x f x ++-的定义域;2．当0x →时,与x 不是等价无穷小量的是;3．设0()()xF x f t dt =⎰,其中2,01()1,12⎧≤<=⎨≤≤⎩x x f x x ,则下面结论中正确;()A 31,01()3, 12⎧≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩x x F x x x ()B 311,01()33, 12⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩x x F x x x 4．曲线(1)(2),(02)y x x x x =--≤≤与x 轴所围图形的面积可表示为;()A 20(1)(2)x x x dx ---⎰5．设,a b 为非零向量,且a ⊥b ,则必有; 三．计算题1．计算123lim()6x x x x -→∞++; 2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+,求dy dx; 3．设函数2222cos sin t t x e t y e t⎧=⎨=⎩,求dydx ; 4．计算不定积分221sin cos dx x x ⎰;5．计算定积分 1 0x x dxe e-+⎰;6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足0,100====x x dxdyy 的特解;7．求过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩,且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程;8．将函数2()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数,并指出收敛半径;10．当a 为何值时,抛物线2y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小,求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积; 四．综合题-----------密封线--------------------1．本题8分设函数()f t 在[0,1]上连续,且()1f x <,证明方程：x02()1x f t dt -=⎰在(0,1)内有且仅有一实根;2．本题7分证明：若0,0,0m n a >>>,则()()m n mnm nm nm n x a x a m n ++-≤+; 3．本题5分设()f x 是连续函数,求证积分2(sin )(sin )(cos )4f x I dx f x f x ππ==+⎰;2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷A 卷答案一．填空题 1．5n =;2．函数()f x =3x =;3．若1(), 0x f x x A x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续,则1A =4．;设ln(y x x =,则dy dx = 5．3 22 2(1)cos 1sin 2x x dx x πππ-+=+⎰ 8．微分方程2(21)x x y dyx e dx+-=+的通解为y =2ln()x x e C ++,其中C 为任意常数; 二．选择题1、C2、D3、D4、C5、B 三．计算题1．计算123lim()6x x x x -→∞++; 解：123lim()6x x x x -→∞++=631 ( ) ()3623lim(1)6x x x x x +---+→∞-+3分又因为633lim(1)6x x e x +-→∞-=+5分313lim() ()622x x x →∞--=-+6分所以123lim()6x x x x -→∞++=32e -;7分2．设[cos(ln )sin(ln )]y x x x =+,求dy dx; 解；11[cos(ln )sin(ln )][sin(ln )cos(ln )]dy x x x x x dx x x=++-+4分=()2cos ln x 7分3．设函数2222cos sin t t x e t y e t⎧=⎨=⎩,求dy dx ; 解：2222cos 2sin cos t t dxe t e t tdt =-2分 2222sin 2sin cos t t dye t e t tdt=+4分 2222222(cos sin cos )(cos sin cos )2(sin sin cos )(sin sin cos )t t dydy e t t t t t t dt dx dx e t t t t t t dt++===--7分4．计算不定积分221sin cos dx x x⎰. 解：2222221sin cos sin cos sin cos x xdx dx x x x x+=⎰⎰3分 =2211[]cot tan sin cos dx x x C x x+=-++⎰7分5．计算定积分 1 0x x dxe e-+⎰;解： 112 001x x x x dx e dx e e e-=++⎰⎰3分= 12 0()1()x x d e dx e +⎰5分= 1 0arctan arctan 4xe e π=-;7分6．求微分方程22322x d y dy y e dx dx -+=满足001,0,x x dyy dx ====的特解;解：微分方程22322x d y dyy e dx dx-+=对应的特征方程为特征根为121,2r r ==1分而1λ=,所以11r λ==为单根,2分对应的齐次方程的通解为212x xY C e C e =+3分非齐次方程的通解为*x y Cxe λ=代入原方程得2C =-4分有通解2122x x x y C e C e xe =+-5分有000,1x x dyy dx ====12121210,1220C C C C C C +=⎧⇒⇒==⎨+-=⎩ 有解22x xy e xe =-7分7．求过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩,且垂直于已知平面2350x y z ++-=的平面方程;解：通过直线321023220x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩的平面束方程为321(2322)0x y z x y z λ+--+-++=即 (32)(23)(12)(12)0x y z λλλλ++-+-++-+=3分要求与平面2350x y z ++-=垂直,则必须4202λλ+=⇒=-6分所求平面方程为8550x y z -++=7分8．将函数2()ln(32)f x x x =++展开成x 的幂级数,并指出收敛半径; 解：()ln(1)(2)ln(1)ln(2)f x x x x x =++=+++2分=ln 2ln(1)ln(1)2xx ++++3分=110011ln 2(1)()(1)121n nn n n n x xn n +∞∞+==+-+-++∑∑=1110112ln 2(1)()12n nn n n x n +∞++=++-+∑6分收敛半径1R =7分10．当a 为何值时,抛物线2y x =与三直线,1,0x a x a y ==+=所围成的图形面积最小,求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积; 解：设所围面积为()S a3312(1)()3a aa a S a x dx ++-==⎰2分令'1()02S a a =⇒=-3分''()20S a =>,所以11()212S -=为最小的面积4分 11122212 2450 - 022580x V y dx x dx x ππππ====⎰⎰7分四；综合题1·设函数()f t 在[0,1]上连续,且()1f x <,证明方程x02()1x f t dt -=⎰在(0,1)内有且仅有一实根;证明：令 0()2()1xF x x f t dt =--⎰,则在[0,1]上()F x 连续,2分 1 1(0)10,(1)2()11()0F F f t dt f t dt =-<=--=->⎰⎰,4分由闭区间上连续函数的介值定理知道在(0,1)内至少存在一点C ,使得()0F C =5分又因为'()2()10F x f x =->>,所以()F x 单调上升,()0F x =在[]0,1内最多有一个根,所以 x02()1x f t dt -=⎰在()0,1内有且仅有一个实根;7分2．证明：若0,0,0m n a >>>,则()()m nmnm n m nm n x a x a m n ++-≤+; 证明：令()()m nF x x a x =-2分'111111()()()()[()]()[()]m n m n m n m n F x mx a x nx a x x a x m a x nx x a x ma m n x ------=---=---=--+令'()0maF x x m n=⇒=+,当,1m n ≠时,0,x x a ==,此时(0)()0)F F a == +11223(1)()()0()n n m n m n m n ma na m n a n n m n m n m n --+--+--=-<+++5分所以()ma F m n +是()F x 在(),-∞+∞上的极大值,有唯一性定理知：()maF m n+是最大值,故()()()m n m nm nma m n F x F am n m n ++≤=++7分3．设()f x 是连续函数,求积分2(sin )(sin )(cos )f x I dx f x f x π=+⎰的值;解：令,2x t dx dt π=-=-2(sin )(cos )2(sin )(cos )24f x f x I dx I f x f x πππ+==⇒=+⎰.2007年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一、填空题 1．函数()2lg 1-=x y 的定义域是;2．设x y 3sin 5=,则=dxdy ; 3．极限=+⎰∞→dx x x n n 121lim ;4．积分⎰=+dx x xsin 1cot ;5．设,1111xxy -++=则()=5y ;6．积分=-⎰π97sin sin dx x x ;8．微分方程()032=+++dy y y y x xdx 的通解; 二．选择题1．设()()⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=x x x x x f ln 2311sin 13211≥<x x ,则1=x 是()x f 的; A 连续点B 跳跃间断点C 无穷间断点D 振荡间断点 2.下列结论中正确的是; A 若1lim1=+∞→nn n a a ,则n n a ∞→lim 存在,B 若A a n n =∞→lim ,则1lim lim lim 11==∞→+∞→+∞→nn n n n n n a a a a ,C 若A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim ,则B b n n A a n =∞→)(lim ,D 若数列{}n a 2收敛,且0122→--n n a a ()∞→n ,则数列{}n a 收敛;3．设()⎰=xdt t tx 0sin α,()()⎰+=x t dt t x sin 011β,则当0→x 时,()x α是()x β的;A 高阶无穷小B 等价无穷小C 同阶但非等价无穷小D 低阶无穷小4．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧==t ty t t x ln ln ,则=→dx dy e x lim ; A 2e B 21e C 2e -D 21e -三．计算题1．设xx y 42ln 1cos ln+=,求dxdy ; 2．由方程22ln arctan y x xy+=所确定的y 是x 的函数,求dx dy ;3．计算极限xxx cos 1lim 0-+→; 4．计算积分xdx e x cos 2sin 3⎰+; 5．计算积分()⎰+dx e xe x x21;6．计算积分()⎰+40221tan πdx x e x ;7．求经过点()1,1,1且平行于直线⎩⎨⎧=--=--152032z y x z y x 的直线方程;9．任给有理数a ,函数()x f 满足()()10+-=⎰xdt t a f x f ,求()x f10．将函数()xx x f --=31在点10=x 处展开成幂级数,并指出收敛区间端点不考虑; 四．综合题1．设直线ax y =与抛物线2x y =所围成的图形的面积为1S ,直线1,==x ax y 与抛物线2x y =所围成的面积为2S ,当1<a 时,,试确定a 的值,使得21S S S +=最小; 3．当π<<x 0时,求证πx x >2sin ; 高等数学一答案一．填空题： 1．()()∞+⋃.33,22．5ln 5cos sin 33sin 2'xx x y =3．0 4．C xx++sin 1sin ln5．()()651!52x y -⨯=6．94 8．()C y y x =++222ln二．选择题：1、A2、D3、C4、D 三．计算题：1．解;()x x y 4ln 1ln 21cos ln 2+-=2;解：方程两边对x 求导数,得()yx yx y y x y y x 2222''-+=⇒+=-⇒; 3．解:令x t =,212sin lim cos 1lim cos 1lim 20==-=-+++→→→t t tt x x o t o t x 4．解：原式＝()⎰+=+++C e x d e x x 2sin 32sin 3312sin 331 5．解：()⎰+dx e xe x x21＝()⎰⎰⎰+++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++dx e e x e xd e e xd x xx x x 111111)1(2＝()()()C e x e xC e e x e e d e x x x x x x x x+++-+-=++-+-=++-+----⎰1ln 11ln 1111 6．解：()⎰+4221tan πdx x e x ＝()=+=+⎰⎰⎰42442222tan 2sec tan 2secπππxdx e xdx e dx x x ex xx＝＝24024242402tan tan 2tan 2tan πππππe x e xdx e xdx e x e xxxx==+-⎰⎰7．解：平行于直线⎩⎨⎧=--=--152032z y x z y x 的直线的方向向量应是所求直线方程为317111--=-=--z y x ; 9．解：原方程两边对x 求导数,得()()'=-f x f a x (1)()()()()'''=--=---=-⎡⎤⎣⎦f x f a x f a a x f x , 所以()f x 满足()()0''+=f x f x (2)由原方程令0=x ,得()01=f ,由方程1得()()0'=f f a ; 方程2对应的特征方程为210+=λ,即=±i λ, 所以2有通解()12cos sin =+f x C x C x ;()01=f ,得11=C ,即()2cos sin =+f x x C x ;()2sin cos '=-+f x x C x ,()()220cos sin '===+f C f a a C a , 所以2cos 1sin =-a C a ,则()cos cos sin 1sin =+-af x x x a;10．解：()()()()11111121212=-⋅=-⋅---⎛⎫- ⎪⎝⎭f x x x x x100111222+∞∞==---⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑n n n n x x x ;收敛区间为112-<x ,即13-<<x ; 四、综合题：1．解：当01<<a 时,=y ax 与2=y x 的交点坐标是()0,0和()2,a a ,则33333112332323--=-+-=-+a a a a a a a ; ()212'=-S a a ,令()0'=S a ,得=a ; ()20''=>S a a ,所以在01<<a 时,min 26==S S ;当0≤a 时,=y ax 与2=y x 的交点坐标是()0,0和()2,a a ,则333112332623=-++-=--+a a a a a ;()21022'=--<a S a ,则()S a 在0≤a 时单调减少;故在0≤a 时,()0S 为()S a 的最小值,即()min 103==S S ; 又因为2163-<,所以在1<a 时,S的最小值在=a ,即min 26==S S ; 3、证明：令()sin 12=-x f x x π,则()2cos tan 222⎛⎫- ⎪⎝⎭'=x x x f x x ; 当0<<x π时,cos02>x,tan 22>x x ,()0'<f x ,从而()f x 在()0,π内单调减少,所以()()0>=f x f π,0<<x π即sin12sin 2>⇒>xx x x ππ; 2008年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学一试卷一.选择题 1.函数()()x x x f cos 12+=是;A 奇函数B 偶函数C 有界函数D 周期函数 2.设函数()x x f =,则函数在0=x 处是;A 可导但不连续B 不连续且不可导C 连续且可导D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ,则成立;4.方程22y x z +=表示的二次曲面是; A 椭球面B 柱面C 圆锥面D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =,则在()b a ,内,曲线()x f y =上平行于x 轴的切线;A 至少有一条B 仅有一条C 不一定存在D 不存在二.填空题1.计算=→2sin 1lim 0xx x ;2.设函数()x f 在1=x 可导,且()10==x dx x df ,则()()=-+→x f x f x 121lim0;. 3.设函数(),ln 2x x f =则()=dxx df ;4.曲线x x x y --=233的拐点坐标;5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ;6.()=⎰2x dt t f dxd ; 7.定积分()=+⎰-ππdx x x2;10.设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行,则平面∏的方程为; 三.计算题:每小题6分,共60分1.计算xe x x 1lim 0-→;2.设函数()()x x g e x f x cos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy ;3.计算不定积分()⎰+x x dx1;4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x ;5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f ;6.设()x f 在[]1,0上连续,且满足()()⎰+=12dt t f e x f x ,求()x f ;7.求微分方程x e dx dydxy d =+22的通解; 8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数;四.综合题1.设平面图形由曲线x e y =及直线0,==x e y 所围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积; 2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.--------------------------密封线高等数学一答案1.21;;3.x 1;4.)3,1(-;5.211x +; 6.()x f -;7.332π;10.224=+-z y x .三．计算题每小题6分,共60分1.解法一.由洛必达法则,得到1lim 1lim 00xx x x e x e →→=-…………..4分1=.…………6分解法二.令t e x =-1,则()t x +=1ln ………..2分于是,()11ln lim 1lim00=+=-→→t tx e t x x .…………6分 2.解.x dx dg sin -=,()x e x f dx dg f y sin sin -=-=⎪⎭⎫⎝⎛=…………3分故x e dxdyx cos sin --=.………..6分 3.解法一.令t x =,,则2t x =,………..2分()()⎰⎰⎰+=+=+=+.arctan 21212122C t tdtt t tdt x x dx ……….5分 C x +=arctan 2.……….6分解法二.()()⎰⎰=+=+21)(21x x d x x dx ……….4分C x +=arctan 2.……….6分4.解.⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=0dx e xedx xe x x x……….3分10=-=+∞-xe .………..6分5.解.()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=---12410212cos xdx dx xdx x f dx x f dx x f ……….3分1sin 532sin 5110025+=+=-x x .……….6分 6.解.设()A dx x f =⎰1,两边对已给等式关于x 从0到1积分,得到()()⎰⎰⎰⎰+-=+=+=110110102122dx x f e A eAdx dx e dx x f x x……….4分从而解得()e dx x f -=⎰11..………..5分代入原式得()()e e x f x -+=12.……….6分7.解.特征方程为02=+k k ,得到特征根1,021-==k k ,………..1分故对应的齐次方程的通解为x e c c y -+=21,………..3分由观察法,可知非齐次方程的特解是xe y 21=*,………..5分因而,所求方程的通解为x x e e c c y 2121++=-,其中21,c c 是任意常数.……….6分8.解.因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n ,….3分所以()221ln x x x =+())11432(1432 ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(1143236543≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n .……..6分四.综合题:每小题10分,共30分1.解法一1.()⎰-=1dx e e S x ……….4分()111=+-=-=e e eex x .………..6分2.()⎰-=122dx e e V x π………..9分()()12121212221022+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e e e x e x πππ………..12分解法二.1⎰-=1dx e e S x ……….3分110=-=x ee .………..6分2.⎰-=122dx e e V x ππ……….9分()12221022+=-=e e e xπππ.…………12分2.解.定义域为),(+∞-∞,()23632-=-=x x x x dxdy,令0=dx dy ,得到2,021==x x 驻点,…….2分 (),1622-=x dx y d 由022=dxyd ,得到13=x ,…….3分故 )0,(-∞),2(+∞为单调增加区间,0,2为单调减少区间;……….10分极大值为－1,极小值为－5,……..11分)1,(-∞为凸区间,),1(+∞为凹区间………12分 3.证明.令()()],ln )1[ln(11ln x x x x x x F -+=⎪⎭⎫⎝⎛+=()(),11ln 1ln 111ln 1ln +--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+=x x x x x x x x dx dF ……….2分利用中值定理,()ξ1ln 1ln =-+x x ,其中1+<<x x ξ,…….4分所以0111>+-=x dx dF ξ,因此,当0>x 时,()x F 是单调增加的,………5分而e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛++∞→11lim ,所以当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.………..6分2005年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷一、填空题 3．写出函数的水平渐近线和垂直渐近线; 二．选择题 4．可微函数在点处有是函数在点处取得极值的;充分条件,必要条件, 充分必要条件,既非充分又非必要条件; 三．计算题4．计算极限)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x .7．函数方程,其中变量是变量的函数,求和9．求微分方程x y x dx dyxsin )(sin cos =+的通解. 10．直线1=x 把圆422=+y x 分成左,右两部分,求右面部分绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积.四．综合题：本题共2个小题,每小题10分,共20分1．设m n ,是整数,计算积分⎰πcos cos mxdx nx .2005年高数二答案A 卷一．填空题3．10y =,22x = 二．选择题 4、D三．计算题4．解：)1sin()1(lim 1--+-→x x e e x x ＝)1cos(1lim 1-+→x e x x ＝1+=e7．解：---------------------------------------------------------------------------------------------------2222222233422202(2)2()021()()(1)()()()220()()dy dy x y xy dx dxdyx y x y dxdy x y x dx x y x y x dy x y x x x x y x d y x y dx dxx y x y x y x x xy y x y x y ∴+++=⇒+++=+⇒=-=--+++-+++-++=-=-++++++=-=-=++3分7分9．解：xx x y 2cos sin )'cos (=5分 1cos +=x C y 其中C 为任意常数7分10．解：直线1=x 与圆422=+y x 的交点是)3,1(),3,1(21-P P ,2分右面部分绕y 轴旋转一周的所得几何体的体积.⎰---=332]1)4[(dy y V π5分＝ππ34)33(233=-yy 7分四．综合题：1．解：⎰π0cos cos mxdx nx ＝⎰-++π])cos()[cos(21dx x m n x m n 3分＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==≠=mn m n m n ,00 ,0 ,2ππ10分2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷一、填空题1.若3sin 41,0()0ax x e x f x xa x -⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =连续,则a =; 2.曲线231x t y t⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为;3.设函数sin (21)x y x =+,则其导数为;4.22(1cos )x x dx -+⎰＝;5.设cos(sin )y x =,则dy =dx ;6.曲线y =1x =,3x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周, 所得旋转体体积为;7.微分方程450y y y '''-+=的通解为;8.若级数3111n n α∞-=∑收敛,则α的取值范围是;二．选择题1．lim arctan 1x x x x →-∞=+; A 2πB 2π-C 1D 不存在 2.当0x →时,()sin f x x x =-是比2x 的.A 高阶无穷小B 等价无穷小C 同阶无穷小D 低阶无穷小3.级数n ∞=. ()A 绝对收敛()B 条件收敛()C 发散()D 无法判断4.曲线2y x =与直线1y =所围成的图形的面积为.5.广义积分30(1)x dx x +∞+⎰为. ()A 1-()B 01()2C -1()2D 三．计算题1. 计算极限020tan lim x x tdt x →⎰;2．计算函数y x =y '; 3计算由隐函数ln y e x y =确定的函数()y f x =的微分dy ;4.判别正项级数211)n n ∞=+的敛散性; 5.计算不定积分⎰6. 求幂级数203n n n x ∞=∑的收敛半径与收敛区间;7. 计算定积分20sin x xdx π⎰; 8. 计算微分方程22(1)(1)dy x y dx y x +=+满足初始条件(0)1y =的特解; 9. 计算函数sin(ln )y x =的二阶导数y '';10.将函数ln y x =展成(1)x -的幂级数并指出收敛区间.四．综合题1.设0a b <<,证明不等式11(2,3,)()n n n n b a ab n n b a ---<<=-; 2．设函数220()()f x x f x dx =-⎰,求()f x 在区间[0,2]上的最大值与最小值; 3.设1sin ,0()0,0x x f x x x α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,α为实数试问α在什么范围时,1()f x 在点0x =连续；2()f x 在点0x =可导;4．若函数0()()()xx f x x t f t dt e =-+⎰,求()f x ; 2006年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷A 参考答案及评分标准一、填空题1.若3sin 41,0()0ax x e x f x x a x -⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =连续,则 a =1.2.曲线231x t y t ⎧=+⎨=⎩在2t =处的切线方程为37y x =-. 3.设函数sin (21)x y x =+,则其导数为sin 2sin (21)[cos ln(21)]21x x y x x x x '=++++. 4.22(1cos )x x dx -+⎰＝4.5.设cos(sin )y x =,则dy =cos sin(sin )x x -dx .6.曲线y =1x =,3x =及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周,所得旋转体体积为(3ln32)π-.7.微分方程450y y y '''-+=的通解为212(cos sin )x y e C x C x =+.8.若级数3111n n α∞-=∑收敛,则α的取值范围是23α> 二、选择题1、B2、A3、B4、C5、D三、计算题2. 计算极限020tan lim xx tdt x →⎰. 解：020tan lim x x tdt x →⎰＝0tan lim 2x x x→5分＝126分 2．计算函数y x =y '. 解1：两边取对数,得11ln 2ln ln(1)ln(1)22=++--y x x x 1分两边求导数2112(1)2(1)y y x x x '=+++-4分＝2211x x x ⎫+⎪-⎭6分解2：由于1ln 2ln [ln(1)ln(1)]2x x x x y e e ++--==,所以12ln [ln(1)ln(1)]22111211x x x y e x x x ++--⎡⎤⎛⎫'=++ ⎪⎢⎥+-⎝⎭⎣⎦4分＝2211x x x ⎫+⎪-⎭6分 3计算由隐函数ln y e x y =确定的函数()y f x =的微分dy .解：方程两边关于x 求导数,把y 看成x 的函数.ln y xy y e y y''=+3分解得ln y y y y ye x'=-4分所以函数()y f x =的微分ln y y y dy dx ye x =-6分 5.判别正项级数211)n n ∞=+的敛散性. 解1：由于2211ln(1)n n +<,所以32211)n a n n =+<=3分已知级数31213(1)2n p n ∞==>∑收敛5分由比较判别法知级数211)n n∞=+收敛.6分解2：取321n b n =,2232211)ln(1)lim lim lim 11n n n n n a n n b n n→∞→∞→∞++==＝14分因为级数3121n n∞=∑收敛5分所以原级数211)n n ∞=+收敛;6分 5.计算不定积分⎰解1：＝2分＝C +6分解2：设t =则2x t =,2dx tdt =,于是⎰22(1)tdt t t +⎰4分 =221dt t +⎰=2arctan t C +5分=C +6分6.求幂级数203n n n x ∞=∑的收敛半径与收敛区间.解：当0x ≠时,12(1)2123lim lim 33n n n n n n n nu x x u x +++→∞→∞==2分所以当231x <,即||x <时,幂级数203n n n x ∞=∑收敛；当231x >,即||x >时,幂级数203n nn x ∞=∑发散,所以幂级数的收敛半径R =3分由于x =±,级数203n n n x ∞=∑成为01n ∞=∑发散;5分因此幂级数收敛区间为(6分 11.计算定积分20sin x xdx π⎰ 解：由于公式21sin (1cos2)2x x =-,所以 20sin x xdx π⎰＝01(1cos2)2x x dx π-⎰2分＝000111(cos2)cos2222x x x dx xdx x xdx πππ-=-⎰⎰⎰ ＝201sin 2044x xd x ππ-⎰3分＝20sin 21sin 20444x x xdx πππ-+⎰5分＝21cos2048x ππ- ＝24π6分12.计算微分方程22(1)(1)dy x y dx y x +=+满足初始条件(0)1y =的特解. 解：分离变量得2211ydy xdx y x=++2分两边积分2211ydy xdx y x =++⎰⎰ 于是有22221(1)1(1)2121d y d x y x ++=++⎰⎰ 即22111ln(1)ln(1)222y x C +=++4分或22ln(1)ln(1)y x C +=++将初始条件(0)1y =代入得ln2C =5分所求特解是2221y x =+6分13.计算函数sin(ln )y x =的二阶导数y ''. 解：cos(ln )x y x'=3分 22sin(ln )cos(ln )sin(ln )cos(ln )x x x x y x x--+''==-6分 14.将函数ln y x =展成(1)x -的幂级数并指出收敛区间.解：因为ln ln[1(1)]y x x ==+-1分根据幂级数展开式231ln(1)(1)23nn x x x x x n -+=-+++-+,11x -<≤2分于是231(1)(1)(1)ln (1)(1)23nn x x x x x n ----=--+++-+5分收敛区间是(0,2]x ∈6分四、综合题1.设0a b <<,证明不等式11(2,3,)()n nn n b a a b n n b a ---<<=-证明：设(),2n f x x n =≥,2分则()f x 在闭区间[,]a b 上满足Lagrange 定理条件,于是存在一点(,)a b ξ∈,使()()()f b f a f b aξ-'=-3分即1n nn b a n b a ξ--=-4分因为2n ≥且a b ξ<<,所以111n n n a b ξ---<<,5分因此11n n n n b a na nb b a ---<<-,从而11()n n n n b a a b n b a ---<<-.7分 2．设函数220()()f x x f x dx =-⎰,求()f x 在区间[0,2]上的最大值与最小值.解：由于定积分20()f x dx ⎰是一确定的实数,设20()f x dx k =⎰1分对()f x 的等式两边积分有于是208()23k f x dx k ==-⎰2分由上式解得89k = 28()9f x x =-3分令()20f x x '==得驻点0x =4分当(0,2)x ∈时,恒有()0f x '>,表明()f x 在区间(0,2)内严格增加,5分所以8(0)9f =-是函数()f x 在[0,2]的最小值6分 28(2)9f =是函数()f x 在[0,2]的最大值.7分． 3.设1sin ,0()0,0x x f x x x α⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,α为实数试问α在什么范围时 1()f x 在点0x =连续；2()f x 在点0x =可导.解：1当0α>时,x α是0x →时的无穷小量,而1sin x是有界变量,2分所以当0α>时,001lim ()lim sin 0(0)x x f x x f xα→→===3分即当0α>时,()f x 在点0x =连续;4分2当1α>时,由导数定义及有界变量乘无穷小量是无穷小量,得 001sin ()(0)(0)lim lim x x x f x f x f x x α→→-'==6分＝101lim sin 0x x x α-→=7分所以当1α>时,()f x 在点0x =可导.8分 4．若函数0()()()x x f x x t f t dt e =-+⎰,求()f x . 解：00()()()x x x f x x f t dt tf t dt e =-+⎰⎰ 上式两边关于x 求导数 0()()()()x x f x f t dt xf x xf x e '=+-+⎰,0()()x x f x f t dt e '=+⎰1分 ()()x f x f x e ''=+2分记()y f x =,则上式是二阶常系数非齐次微分方程,即x y y e ''-=I 0y y ''-=的通解是*12x x y C e C e -=+,12,C C 为任意常数;3分由于1λ=是0y y ''-=的特征方程210r -=的单根,所以设x y axe =是方程I 的一个特解,于是有x x y ae axe '=+与2x x y ae axe ''=+ 将它们代入方程I 得12a =4分于是方程I 的通解为1212x x x y C e C e xe -=++,II 这里12,C C 为任意常数. 从已知条件可求得,(0)1f =,(0)1f '=并代入方程II5分得1212(0)11(0)12f C C f C C =+=⎧⎪⎨'=-+=⎪⎩ 解得1231,44C C ==7分所求函数311()442x x x f x e e xe -=++8分 2007年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷一、填空题 1. 设)1ln(1-+=x y ,其反函数为; 封线--------2. 设23ln 2+-=x x x y ,函数y 的可去间断点为; 3. 设x e x x y =)(,则曲线)(x y 与直线1=x 及x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为;4. 级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件为;5. 确定曲线12-=x x y 的垂直渐近线为；斜渐近线为; 6. 广义积分21ln e dx x x+∞=⎰; 7. 对于x xe x y x y x y x sin )(2)(2)(=+'+'',其特解可以假设为;二、选择题1.曲线13-=x y 的拐点为A )1,0(-B (1,0)C )2,1(--D 无拐点2.当0x →时,2(1cos )x -是2sin x 的.()A 同阶但不是等价无穷小()B 等价无穷小()C 高阶无穷小()D 低阶无穷小3.若2)1(='f ,则0(1)(1)lim sin x f x f x→+-= A 2B 2-C 1D 0 4.对于幂级数∑∞=-11)1(n p n n ,下列说法中正确的为 A 当1<p 时,发散B 当1<p 时,条件收敛C 当1>p 时,条件收敛D 当1>p 时,绝对收敛5.若x x y sin =,x y sin =分别为非齐次线性方程)(x f qy y p y =+'+''的解,则x x y sin )1(+=为下列方程中的解：A 0=+'+''qy y p yB )(2x f qy y p y =+'+''C )(x f qy y p y =+'+''D )(x xf qy y p y =+'+''三、计算题1. 求曲线12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程;2. 12+=x e y x,求)(x y '; 3. 求微分方程x e y y y 252=+'+''的通解;4. 设函数()y y x =由方程2022=-⎰-y t dt e xy 确定,求微分dy ; 5. 求极限)cot 11(lim 20x x xx -→; 6. 确定级数∑∞=13!sin n n n n 的收敛性; 7.计算定积分20x ⎰. 8. 确定幂级数∑∞=-111n n n x na 收敛半径及收敛域,其中a 为正常数; 9. 求⎰++-dx x x x x )1(322; 10.求解微分方程x e x y y sin cos -=+'. 四、综合题 1. 将函数x y arctan =展开为麦克劳林级数. 2.计算21n n →∞++++ 3. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,0,cos )()(x a e x x x x x f x ϕ,其中)(x ϕ具有二阶导数,且1)0(=ϕ,0)0(='ϕ,1)0(=''ϕ, (1)确定a 的值,使)(x f 在0=x 处连续； (2)求)(x f '; 4．设)(x f 在),1[+∞具有连续导数,且满足方程⎰=+-x dt t f t x f x 1221)()1()(,求)(x f ; 2007年浙江省普通高校“专升本”联考高等数学二试卷A 参考答案及评分标准一、填空题：只需在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,本题共有8个空格,每一空格5分,共40分 8. 设)1ln(1-+=x y ,其反函数为11+=-x e y . ----------------------------------------------------------------------------9. 设23ln 2+-=x x xy ,函数y 的可去间断点为1=x . 10.设x e x x y =)(,则曲线)(x y 与直线1=x 及x 轴所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为)1(412e +π. 11.级数1n n u ∞=∑收敛的必要条件为lim 0n n u →∞=.12.确定曲线12-=x x y 的垂直渐近线为1=x ,斜渐近线为1+=x y .13.广义积分21ln edx x x+∞=⎰1. 14.对于x xe x y x y x y x sin )(2)(2)(=+'+'',其特解可以假设为]sin )(cos )[(*x D Cx x B Ax e y x +++=.二、选择题1、A2、C3、A4、D5、B 三、计算题11.求曲线12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程. 解：x x xe e x y 22)(+=',1分2)0(='y 1分切线方程：12+=x y 2分法线方程：121+-=x y 2分12.12+=x e y x,求)(x y '. 解：)1ln(2121ln 2+-=x x y 3分 )121(12122+-+='x xx e y x 3分 13.求微分方程x e y y y 252=+'+''的通解. 解：1052=+'+''y y y特征方程为0522=++r r ,解为i r 21±-=2分通解为)2sin 2cos (21x C x C e y x +=-2分 2设特解为x Ae y =*,代入求得41=A 1分故原方程通解为x x e x C x C e y 41)2sin 2cos (21++=-1分14.设函数()y y x =由方程2022=-⎰-yt dt e xy 确定,求微分dy .解：2220y y xyy y e -''+-=4分dx xyey dy y 222-=-2分15.求极限)cot 11(lim 20x x x x -→. 解：)cot 11(lim 20x x x x -→xx x x x x sin cos sin lim 20-=→2分 30cos sin lim xx x x x -=→2分 313sin lim 20==→x x x x 2分 16.确定级数∑∞=13!sin n n nn 的收敛性.解：!!sin 33n n n n n ≤,1分由比值判别法判断,级数∑∞=13!n n n 收敛3分由比较判别法判断原级数绝对收敛2分 17.计算定积分20x ⎰.解：设t x sin 2=,2cos dx tdt =1分2sin 2222204sin 2cos x tx t tdt π==⋅⎰⎰1分2204sin 2tdt π=⎰2分202(1cos4)t dt ππ=-=⎰2分18.确定幂级数111n nn x na∞-=∑收敛半径及收敛域,其中a 为正常数.。

浙江省专升本《高等数学》试卷

浙江省专升本《高等数学》试卷一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）1.下列函数相等的是（）A ．2,x y y xx==B．y y x==C．2 ,y x y == D．|| ,y x y ==2.曲线xe y x=（）A ．仅有水平渐近线B ．既有水平又有垂直渐近线C ．仅有垂直渐近线D ．既无水平又无垂直渐近线3.设区域D 由直线,()x a x b b a ==>，曲线()y f x =及曲线()y g x =所围成，则区域D 的面积为（）A ．[()()]baf xg x dx−⎰B ．|[()()]|ba f x g x dx −⎰C ．[()()]bag x f x dx−⎰D ．|()()|baf xg x dx−⎰4.若方程lnzx y=确定二元隐函数(,)z f x y =，则z x ∂=∂（）A ．1B ．x eC ．xyeD ．y5.下列正项级数收敛的是（）A ．2131n n ∞=+∑ B ．21ln n n n ∞=∑ C ．221(ln )n n n ∞=∑ D．2n ∞=二、填空题（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有10个小题，每小题4分，共40分）1.当0x →时，2sin x a x +与x 是等价无穷小，则常数a 等于．2.设函数2sin 21, 0()0ax x e x f x xa x ⎧+−≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)−∞+∞内连续，则a = ．3.曲线1y x=在点(1,1)处的切线方程为．4.设()sin xf t dt x x =⎰，则()f x =． 5.设函数22ln()z x y =+，则11|x y dz === ．6.定积分22(x −−⎰=．7.过点(1,2,0)−并且与平面23x y z ++=垂直的直线方程为．8.二重积分11sin x ydx dy y⎰⎰= ．9.幂级数1!nn n n x n ∞=∑的收敛半径R = ．10.微分方程20xy y '−=的通解是．三、计算题（本题共有10个小题，每小题6分，共60分） 1. 求011lim()1x x x e →−−．2.已知函数lnsin(12)y x =−，求dy dx． 3.求不定积分arctan x xdx ⎰．4.函数2, 0,()2, 0,x x f x x x +≤⎧=⎨−>⎩，计算11()f x dx −⎰的值．5.设函数(,)z z x y =是由方程22xy z e z e −+−=所确定，求212|x y dz ==−．6.设D 是由直线0,1x y ==及y x =围成的区域，计算2y DI e dxdy −=⎰⎰．7.设由参数方程2, 2,t x e y t t ⎧=⎨=+⎩所确定的函数为()y y x =，求212|t d ydx =， 8.求函数22(,)328f x y x y xy x =+−+的极值．9.求微分方程223xy y y e '''+−=的通解．10.将函数21()43f x x x =++展开成(1)x −的幂级数．四、综合题（本题3个小题，共30分，其中第1题12分，第2题12分，第3题6分） 1.设平面图形D 是由曲线xy e =，直线y e =及y 轴所围成的，求：⑴平面图形D 的面积；⑵平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积．2. 欲围一个面积为1502m 的矩形场地．所用材料的造价其正面是每平方米6元，其余三面是每平方米3元．问场地的长、宽各为多少时，才能使所用的材料费最少．3.设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导且(0)(1)0f f ==，1()12f =，证明：存在(0,1)ξ∈使()1f ξ'=．。

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浙江专升本数学历年真题
一、选择题
1. 下列哪个集合是有限集？
A. 正整数集
B. 实数集
C. 自然数集
D. 有理数集
答案: C
2. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12，下列哪个点是 f(x) = 0 的解？
A. (1, 1)
B. (2, 2)
C. (3, 3)
D. (4, 4)
答案: B
3. 下列哪个不等式的解集表示函数 f(x) = x^2 - 4x + 3 的值域？
A. x ≤ 2
B. x ≥ 2
C. x > 2
D. x < 2
答案: B
4. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4, 5}，B = {3, 4, 5, 6, 7}，求A ∩ B。

A. {3, 4, 5}
B. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
C. {3, 4, 5, 6, 7}
D. {1, 2}
答案: A
二、解答题
1. 解方程组：
2x + y = 5
x - y = 1
解答:
将第二个方程两边同时加上 y：
2x + y = 5
x - y + y = 1 + y
化简得到：
2x + y = 5
x = 1 + y
将第二个方程的结果代入第一个方程：2(1 + y) + y = 5
化简得到：
2 + 2y + y = 5
3y + 2 = 5
3y = 3
y = 1
将 y 的值代入第一个方程得到：
2x + 1 = 5
2x = 4
x = 2
所以方程组的解为 x = 2，y = 1。

2. 已知函数 f(x) = x^2 - 3x + 2，求函数的最大值。

解答:
首先求出函数的导数：
f’(x) = 2x - 3
令导数等于 0，求得驻点：
2x - 3 = 0
x = 3/2
将驻点代入函数得到最大值：
f(3/2) = (3/2)^2 - 3(3/2) + 2
化简得到：
f(3/2) = 9/4 - 9/2 + 2
f(3/2) = 1/4
所以函数 f(x) 的最大值为 1/4。

3. 计算集合S = {1, 2, 3, …, 99, 100} 中所有奇数的和。

解答:
集合S 中，奇数的个数为50，最大值为100，最小值为1。

奇数的和可以表示为：50 * (最大值 + 最小值) / 2。

所以，奇数的和为：50 * (100 + 1) / 2 = 2550。

三、计算题
1. 现有一辆汽车，油箱容量为 50L，平均每耗油 8L，问需要加多少次油？
解答:
需要加油的次数可以通过总油量除以每次耗油量得到。

总油量 = 油箱容量 = 50L
每次耗油量 = 8L
需要加油的次数 = 总油量 / 每次耗油量= 50L / 8L ≈ 6.25次
所以需要加油的次数为 6 次。